第03章_幂级数展开
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第03章_幂级数展开
数学物理方法
第3章 幂级数展开要学习幂级数展开？ 实变函数的幂级数展开： (1) 将实变函数进行泰勒展开，截取幂级数的前面有限项 的和可以作为函数的近似（项数取决于要达到的近似 程度）； (2) 常微分方程可用级数方法求解。 §3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第3章 幂级数展开
2
§3.1 复数项级数 1. 复数项级数 设有复数项的无穷级数
w =w +w +w + +w +
它的每一项都可分为实部和虚部， wk uk ivk 前n+1项的级数和为 复数项无穷级数的和
其中，w( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 ) 2
幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数，在收敛圆内不 可能有奇点。 幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次。 因为收敛圆的内部是单连通区域，所以幂级数在收敛圆 内又可以逐项积分。 逐项积分或逐项求导不改变收敛半径。P37 习题1. 2.
lim ak z z0
k k
k
数学物理方法
第3章 幂级数展开
k
11
例1：求幂级数 z 的收敛圆
k 0
解： a 1 k
R lim
ak ak 1
k
1 lim 1 k 1
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1 z 1
事实上，本例是几何级数，公比是z，所以 前n+1项的和为：
数学物理方法
第3章 幂级数展开
第3章 幂级数展开要学习幂级数展开？ 实变函数的幂级数展开： (1) 将实变函数进行泰勒展开，截取幂级数的前面有限项 的和可以作为函数的近似（项数取决于要达到的近似 程度）； (2) 常微分方程可用级数方法求解。 §3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第3章 幂级数展开
2
§3.1 复数项级数 1. 复数项级数 设有复数项的无穷级数
w =w +w +w + +w +
它的每一项都可分为实部和虚部， wk uk ivk 前n+1项的级数和为 复数项无穷级数的和
其中，w( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 ) 2
幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数，在收敛圆内不 可能有奇点。 幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次。 因为收敛圆的内部是单连通区域，所以幂级数在收敛圆 内又可以逐项积分。 逐项积分或逐项求导不改变收敛半径。P37 习题1. 2.
lim ak z z0
k k
k
数学物理方法
第3章 幂级数展开
k
11
例1：求幂级数 z 的收敛圆
k 0
解： a 1 k
R lim
ak ak 1
k
1 lim 1 k 1
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1 z 1
事实上，本例是几何级数，公比是z，所以 前n+1项的和为：
数学物理方法
第3章 幂级数展开
03_幂级数展开
k = n +1
∑ w ( z) < ε
k
n+ p
( p 为任意正整数 为任意正整数)
如果N和 无关 就称复变项级数 无关， 复变项级数(2)在 或 上一致收敛。 如果 和z无关，就称复变项级数 在B(或l)上一致收敛。
在区域B上一致收敛的复变项级数的每一项都是 上的连续 在区域 上一致收敛的复变项级数的每一项都是B上的连续 上一致收敛的复变项级数的每一项都是 函数，则级数的和也是B上的连续函数 上的连续函数。 函数，则级数的和也是 上的连续函数。 上一致收敛的复变项级数的每一项都是l上的连续 在曲线 l上一致收敛的复变项级数的每一项都是 上的连续 上一致收敛的复变项级数的每一项都是 函数，则级数的和也是l上的连续函数 而且级数可以沿l逐项 上的ห้องสมุดไป่ตู้续函数， 函数，则级数的和也是 上的连续函数，而且级数可以沿 逐项 积分。 积分。 如果对于某个区域B(或曲线 上所有的点z，复变项级数(2) 如果对于某个区域 或曲线l)上所有的点 ，复变项级数 或曲线 上所有的点 的各项的模 wk ( z ) ≤ mk ，而正的常数项级数
由此，可得到收敛半径R的另一公式： 由此，可得到收敛半径 的另一公式： 的另一公式
1 R = lim k →∞ k | a | k
幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。 幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。
的收敛圆， 为复变数 为复变数。 例1：求幂级数 ：求幂级数1+t+t2+⋅⋅⋅ +tk+⋅⋅⋅ 的收敛圆，t为复变数。
a0 + a1 z − z0 + a2 z − z0 + ⋅⋅⋅ + ak z − z0 + ⋅⋅⋅
第三章幂级数展开
17
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开 函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
18
解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
19
展成幂级数的几种方法
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开
时，有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
5
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z) n 1
在C上连续，则
wn (z)dz wn (z)dz
n
8
举例
求级数 z n 的敛散半径及收敛圆
n 1
9
求级数 (1)n1 z2(n1) 的敛散半径收敛圆 n1
10
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
11
可积性
12
第三节 Taylor级数展开
13
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开 函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
18
解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
19
展成幂级数的几种方法
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开
时，有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
5
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z) n 1
在C上连续，则
wn (z)dz wn (z)dz
n
8
举例
求级数 z n 的敛散半径及收敛圆
n 1
9
求级数 (1)n1 z2(n1) 的敛散半径收敛圆 n1
10
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
11
可积性
12
第三节 Taylor级数展开
13
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；
幂级数展开
0 1 0 2 0
1
1
2
由于级数在CR1上一致收敛,由一致收敛级数的逐项可积 分性质得:
1 2 i
w ( )
CR1
z
d
1 2 i
a0
CR1
z
d
1 2 i
a1 ( z 0 )
CR1
z
d
1 2 i
a 2 ( z 0 )
k
证明: 取比收敛圆稍稍缩小的圆周CR1, 为其上的任 一点,级数的和记作 (3.2.9)
w ( ) a 0 a1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )
2
取CR1内任一点z, 1 a ( z ) 1 2 (i z 用有界函数 a a z ) 1 w ( ) 1 遍乘上式 i z 2 i z 2 i z 2 2 i z
解： R lim
k
级数在 z 1 绝对收敛
=
例2.求幂级数 1 z 2 z 4 z 6 的收敛圆,z为复变数 解:把 z 记作 t ,则级数为 1 t t 2 t 3 , t面上的
2
收敛半径
R lim
ak a k 1
k
1
则z面上的收敛半径为
其中, W ( z )
k 1
W (z)
wk ( z )
则级数在区域B上(或者曲线L)一致收敛于 W ( z ) W ) W ((zz) 称为和函数
,
注意: 一致收敛的概念是和一定的区域联系在一起
b.一致收敛的充要条件 对于B上(或L)上的点z， ，存在自然数
1
1
2
由于级数在CR1上一致收敛,由一致收敛级数的逐项可积 分性质得:
1 2 i
w ( )
CR1
z
d
1 2 i
a0
CR1
z
d
1 2 i
a1 ( z 0 )
CR1
z
d
1 2 i
a 2 ( z 0 )
k
证明: 取比收敛圆稍稍缩小的圆周CR1, 为其上的任 一点,级数的和记作 (3.2.9)
w ( ) a 0 a1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )
2
取CR1内任一点z, 1 a ( z ) 1 2 (i z 用有界函数 a a z ) 1 w ( ) 1 遍乘上式 i z 2 i z 2 i z 2 2 i z
解： R lim
k
级数在 z 1 绝对收敛
=
例2.求幂级数 1 z 2 z 4 z 6 的收敛圆,z为复变数 解:把 z 记作 t ,则级数为 1 t t 2 t 3 , t面上的
2
收敛半径
R lim
ak a k 1
k
1
则z面上的收敛半径为
其中, W ( z )
k 1
W (z)
wk ( z )
则级数在区域B上(或者曲线L)一致收敛于 W ( z ) W ) W ((zz) 称为和函数
,
注意: 一致收敛的概念是和一定的区域联系在一起
b.一致收敛的充要条件 对于B上(或L)上的点z， ，存在自然数
幂级数展开
f (z) ln z,
f '(z) 1 , z
f
''(z)
1! z2
,
f (1) ln 1 n2i,
f '(1) 1, f ''(1) 1,
可象单值函数那样在各单值 分支上作泰勒展开。
f
(3) (z)
2! z3 ,
f (3) (1) 2!,
y
f
(4)
(z)
3! z4
,
f (4) (1) 3!,
|
z
z0
|
|
z
z0 R
|
,
引入记号 R lim ak
a k k 1
若 | z z0 | 1 R
| z z0 | R
(3.2.3) (3.2.4)
则实幂级数 (3.2.2)收敛，复幂级数 (3.2.1)绝对收敛
若 | z z0 | R 则(3.2.2)发散
12
故当 z z0 R ，绝对收敛
解 f (z) (1 z)m ,
f (0) 1m ,
f '(z) m(1 z)m1,
f '(0) m1m ,
f ''(z) m(m 1)(1 z)m2 ,
f ''(0) m(m 1)1m ,
f (3) (z) m(m 1)(m 2)(1 z)m3, f (3) (0) m(m 1)(m 2)1m ,
级数收敛，
S
lim
n
Sn
S称为级数和；若极限不存在，
则称级数发散。
2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：
对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时，
数学物理方法_第三章_幂级数展开
数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法，它是通过使用幂级数来表示一个函数，从而方便对函数进行近似计算和分析。
在许多问题中，幂级数展开可以简化计算的复杂性，帮助我们更好地理解问题的本质。
幂级数是一个无穷级数，形式为：f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中，a0、a1、a2...是常数系数，x0是展开点。
幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数，进而通过截断级数的方式来近似求解。
这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。
幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开，泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。
泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。
泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示，形式如下：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛，它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。
以下是幂级数展开的几个典型应用：1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。
通过截断幂级数，我们可以用其前几项来近似计算函数的值。
这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的，因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。
2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。
对于一些微分方程，无法找到解析解，但通过将解展开成幂级数的形式，可以将微分方程转化为代数方程，从而求得解的逼近解。
3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。
通过截取幂级数的前几项，我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式，从而方便我们进行数值计算。
4.解析几何的研究在解析几何中，幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。
通过展开曲线或曲面，我们可以对其性质进行分析和计算，帮助我们更好地理解几何问题。
数学物理方法复变函数第三章幂级数
阿贝尔判别法是通过对幂级数的部分 和进行估计来确定收敛半径的方法， 适用于幂级数的系数随幂次增加而趋 于零的情况。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
北京大学数学物理方法经典课件第三章-幂级数展开
泰勒级数的定义及性质
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它将函数展开为一系列的非负整数次幂函数的和。泰勒级数在解析学中起 着重要的作用，具有一些重要的性质。
泰勒展开的应用
通过泰勒展开，我们可以将复杂的函数近似为一个多项式，从而简化计算和分析。泰勒展开在数学和物理领域 中有广泛的应用，包括数值计算、数值解微分方程等。
幂级数展开的基本思想和方法
幂级数展开的基本思想是将待展开的函数表示为幂级数的形式，然后通过求 解系数的方式得到展开式。常用的展开方法包括泰勒展开和洛朗展开。
幂级数展开的典型例题
通过具体的例题，我们可以更好地理解和应用幂级数展开。这些例题涉及到各种函数的展开，以及如何利用展 开式求解问题。
幂级数练习题解析
为了加深对幂级数展开的理解提高 解决问题的能力和技巧。
幂级数分析的收敛性问题
在进行幂级数展开时，我们需要考虑展开式的收敛性。这一节将介绍幂级数 在不同区域内的收敛性条件，并给出相应的判别方法。
幂级数收敛半径的计算方法
幂级数的收敛半径是一个重要的概念，它决定了幂级数在哪些点上收敛。我们将介绍几种计算收敛半径的方法， 并通过例题进行实际应用。
经典函数的泰勒级数展开
许多经典函数都可以表示为泰勒级数的形式。在这一节中，我们将重点介绍 几个常见函数的泰勒级数展开，比如指数函数、对数函数、三角函数等。
洛朗级数的定义及性质
洛朗级数是一种特殊的幂级数展开形式，它包含了正幂次和负幂次两部分。 洛朗级数在解析学和复变函数中有重要的应用。
洛朗展开的应用
幂级数展开的误差估计
在实际计算中，我们常常需要估计幂级数展开的误差。这一节将介绍如何使 用剩余项来估计幂级数展开的误差，并给出具体的计算方法。
幂级数展开
1 z
级数的部分和为
z 1
lim z n 0
n
z n 发散.
n 0
n 0
由阿贝尔定理知:
收敛范围为一单位圆域
z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有
1 1 z z2 zn . 1 z
19
第3章
例3.2.2
幂级数展开
k 0
y
z2 z0
o
x
14
第3章
幂级数收敛性的三种情况
幂级数展开
•
(1) 在 z z0 R 内收敛，在 z z0 R 中发散。
z z0 R— 收敛圆，R— 收敛半径
例如： 1 z z 2
z n （R 1）
z 2 nn z n
i
an (1 i)n ( 2)n e ;
an 1 ( 2)n1 l lim lim 2 n n a n ( 2) n
n i 4
1 2 故 R 2 2
23
第3章
幂级数展开
例3.2.5 解
(n 1) z n 的收敛半径与和函数. 求级数
n 0
要对具体级数进行具体分析.
z z 例如: z 、 、 2 ， 均为1 收敛圆周 z 1 R ， n 1 n 1 n n 1 n
n
n
n
z n —— 收敛圆周上无收敛点;
n 1
z n —— 在点 z 1 发散，在点 z 1收敛； n 1
n
zn n2 —— 在收敛圆周上处处收敛。 n 1
级数的部分和为
z 1
lim z n 0
n
z n 发散.
n 0
n 0
由阿贝尔定理知:
收敛范围为一单位圆域
z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有
1 1 z z2 zn . 1 z
19
第3章
例3.2.2
幂级数展开
k 0
y
z2 z0
o
x
14
第3章
幂级数收敛性的三种情况
幂级数展开
•
(1) 在 z z0 R 内收敛，在 z z0 R 中发散。
z z0 R— 收敛圆，R— 收敛半径
例如： 1 z z 2
z n （R 1）
z 2 nn z n
i
an (1 i)n ( 2)n e ;
an 1 ( 2)n1 l lim lim 2 n n a n ( 2) n
n i 4
1 2 故 R 2 2
23
第3章
幂级数展开
例3.2.5 解
(n 1) z n 的收敛半径与和函数. 求级数
n 0
要对具体级数进行具体分析.
z z 例如: z 、 、 2 ， 均为1 收敛圆周 z 1 R ， n 1 n 1 n n 1 n
n
n
n
z n —— 收敛圆周上无收敛点;
n 1
z n —— 在点 z 1 发散，在点 z 1收敛； n 1
n
zn n2 —— 在收敛圆周上处处收敛。 n 1
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
函数的幂级数展开公式
函数的幂级数展开公式
（1）函数的幂级数展开介绍
函数的幂级数展开指的是按不断次幂展开一个函数，得到一系列有限
项的展开式。
函数的幂级数展开可以对复杂函数进行简单化，反映函数在
特定点的行为，并且也可以进行解析计算解决一些求积问题，因此函数的
幂级数展开得到了广泛的应用。
（2）基本步骤
（2）然后，在确定函数分解后，需要对每一个因子进行幂级数展开，该展开式的系数可以通过利用积分求得。
（3）最后，将每一个因子的幂级数展开后得到的结果相加，就可以
得到函数的幂级数展开式了。
（3）例题
例子：求函数f(x)=e^(3x)-2e^x+1的幂级数展开式
解：根据上面的步骤，我们首先对f(x)进行函数分解
第二步，对每一个因子进行幂级数展开，有：
e^(3x)=1+3x+9/2x^2+27/6x^3+...
e^x-1=x+x^2/2+x^3/6+...
最后，将每一个因子的幂级数展开后得到的结果相加，就可以得到函
数的幂级数展开式了，即
f(x)=1+3x+9/2x^2+27/6x^3+...+x^2/2+x^3/6+...。
数学物理方程第三章幂级数展开PPT课件
z
z0
() a 0 a 1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )2
而
1
1
2i z
有界，
利用柯西公式得
2 1 iC ' ( z )d 2 1 iC 'a 0z0 d 2 1 iC 'a 1 ( z z0 )d 2 1 iC 'a 2 ( z z0 )2 d
a 0 a 1 (z z0 ) a 2 (z z0 )2
Np
k (z1) .
N 1
05.12.2020
N(z2)
阜师院数科院
k (z2) k (z1) k (z2)
3.2 幂级数 幂函数的复变项级数
1. 定义 对于各复常数 z0,a1,a2, ,ak, , 级数
a k ( z z 0 ) k a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2 a k ( z z 0 ) k (3.2.1)
故当 z z0 R 当 z z0 R
，(3.2.1) 绝对收敛。 ，(3.2.1) 可能发散。
R 叫收敛半径，以 z 0 为圆心，R 为半径的圆叫
幂级数的 收敛圆
最简单的收敛区域。保证幂级数在圆内的点上绝 对收敛，而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收 敛的。
根值判别法
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 收敛，(3.2.1) 绝对收敛。
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 发散，(3.2.1) 发散。
05.12.2020
阜师院数科院
故 R lim 1
a k k k
例 (1) 1tt2 tk
解： ak 1
收敛半径:
R lim ak 1 a k
z0
() a 0 a 1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )2
而
1
1
2i z
有界，
利用柯西公式得
2 1 iC ' ( z )d 2 1 iC 'a 0z0 d 2 1 iC 'a 1 ( z z0 )d 2 1 iC 'a 2 ( z z0 )2 d
a 0 a 1 (z z0 ) a 2 (z z0 )2
Np
k (z1) .
N 1
05.12.2020
N(z2)
阜师院数科院
k (z2) k (z1) k (z2)
3.2 幂级数 幂函数的复变项级数
1. 定义 对于各复常数 z0,a1,a2, ,ak, , 级数
a k ( z z 0 ) k a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2 a k ( z z 0 ) k (3.2.1)
故当 z z0 R 当 z z0 R
，(3.2.1) 绝对收敛。 ，(3.2.1) 可能发散。
R 叫收敛半径，以 z 0 为圆心，R 为半径的圆叫
幂级数的 收敛圆
最简单的收敛区域。保证幂级数在圆内的点上绝 对收敛，而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收 敛的。
根值判别法
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 收敛，(3.2.1) 绝对收敛。
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 发散，(3.2.1) 发散。
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故 R lim 1
a k k k
例 (1) 1tt2 tk
解： ak 1
收敛半径:
R lim ak 1 a k
函数的幂级数展开公式
函数的幂级数展开公式
函数的幂级数展开公式是指将函数 f(x) 展开成一个无穷级数
的形式，即 f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + ...,其中 a0、a1、a2、...、an 等都是常数，而 x 则是自变量。
幂级数展开公式的种类很多，根据不同的展开方式和常数的选择，可以得到不同的展开式。
例如，对于正弦函数 sinx，可以通过展开sinx 到无穷级数的形式得到:
sinx = x - x33 - x55 - x77 - ...
同样，对于指数函数 e^x，也可以展开成幂级数的形式:
e^x = 1 + x + x2 + x3 + ...
对于一些特定的函数，也可以通过其他方式展开成幂级数的形式。
例如，对于 lnx，可以通过展开 lnx 到无穷级数的形式得到:
lnx = x - x22 - x33 - x55 - x77 - ...
幂级数展开公式是一种重要的数学工具，在函数计算、微积分等领域都有广泛的应用。
第三章 幂级数展开
0
n d
3.6 孤立奇点的分类
对于解析函数f(z)的孤立奇点z=z0,在挖去奇
点的环域上作Laurent展式:
f z bk z z0 k
k
由展开式的情况,将奇点分为三种类型:
1) 可去奇点
展开式中无负幂次项,性质 lim f z b0
2) m阶极点
z z0
展开式中有有限项负幂次项,其最高的负幂
解: 1) f z 1 1 1
2 z 1 z 3
1
z 1
1 z1
1 z
1n
n0
1 z n1 ,
1 z3
11 31 z
3
1n
n0
zn 3n 1
f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
zn 3n 1
2) f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
3n z n1
bk z z0 k , bk
k 0
1
2i C
(
f
z0 ) k 1
d .
在
C r
上
：
z0
z z0 ,
1 z
z0
1
z
z0
1 z z0
1
1 z0
z z0
k 0
z0
z z0
k
k 1
,
1
f d
2i Cr z
1
[
k 0 2 i CR
f
z0 n d ]z z0 n1
z0 ) k 1
k 0
f
n (z0 k!
)
(
z
z0
n d
3.6 孤立奇点的分类
对于解析函数f(z)的孤立奇点z=z0,在挖去奇
点的环域上作Laurent展式:
f z bk z z0 k
k
由展开式的情况,将奇点分为三种类型:
1) 可去奇点
展开式中无负幂次项,性质 lim f z b0
2) m阶极点
z z0
展开式中有有限项负幂次项,其最高的负幂
解: 1) f z 1 1 1
2 z 1 z 3
1
z 1
1 z1
1 z
1n
n0
1 z n1 ,
1 z3
11 31 z
3
1n
n0
zn 3n 1
f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
zn 3n 1
2) f z
1 2
n0
1n
1 z n1
1n
n0
3n z n1
bk z z0 k , bk
k 0
1
2i C
(
f
z0 ) k 1
d .
在
C r
上
：
z0
z z0 ,
1 z
z0
1
z
z0
1 z z0
1
1 z0
z z0
k 0
z0
z z0
k
k 1
,
1
f d
2i Cr z
1
[
k 0 2 i CR
f
z0 n d ]z z0 n1
z0 ) k 1
k 0
f
n (z0 k!
)
(
z
z0
数学物理方法-复变函数-第三章-幂级数
收敛域
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
幂级数的展开式
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
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例3 将f ( x) (1 x) ( R)展开成x的幂级数.
解: 有如下牛顿二项式展开式（展开过程略）
(1 x)
1 x ( 1) x2 ( 1)( n 1) xn
求幂级数的和函数经常要通过逐项微分和逐项积分来处理幂级数通过逐项微分和逐项积分以后收敛半径不变但端点的收敛性可能改变求常数项级数的和函数要通过一个恰当的幂级数的和函数作过渡
幂级数的展开式
当前您浏览的位置是第一页，共二十一页。
一、泰勒级数
上节告诉我们：
幂级数在其收敛域内有一个和函数，把这句话反过来说，就是 这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数。
2!
n! x (1,1)
注意: 在x 1处收敛性与的取值有关.
x=1 x=-1
0 -1< <0
1 >0 <0
绝对收敛 条件收敛
发散 绝对收敛
发散
当前您浏览的位置是第十二页，共二十一页。
当 1, 1时, 有
2
1 1 x x2 x3 (1)n xn (1,1) 1 x
问题： 只要函数f(x)在已知点任意阶可导，f(x) 在该点的泰勒级数总是可以写出的，那 末这个泰勒级数在收敛区间内是否一定 收敛于f(x)呢?
即
f
(x) ? n0
f
(
n
)
(
x0
) (
x
n!
x0 )n
不一定.
当前您浏览的位置是第五页，共二十一页。
例如
f (x)
第三章 幂级数展开精品文档
k
a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2
称为双边级数。
正幂部分的收敛范围：
在 z z0
R1 圆域内收敛，收敛半径为 R1
lim k
ak ak 1
。
负幂部分的收敛范围：在 R2 Fra bibliotekz z0
圆外域内收敛，R2
lim
k
a(k 1) ak
(z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z 1 1 (z 1)
当 0 z 1 1时，
f (z)
1
z 1k z 1k
z 1 k0
k 1
1
例 3. 在 z0 0 的邻域上把函数 e z 展开为级数。
1
2 i
CR1
w( ) z
d
ak
k 0
1
2 i
( z0 )k d CR1 z
ak (z z0 )k w(z) k 0
w(z) 为解析函数。
例 1. 求幂级数
1 z k 的收敛半径。
k0 k!
R lim
1 k!
lim (k 1)! lim (k 1)
2
……
f (n) (z) sin(z n )
2
f (n) (0) sin n
2
0 (1)k
n 2k n 2k 1
f (z) sin z
(1)k z 2k1 z 1 z 3 1 z 5 1 z 7
k0 (2k 1)!
【说明】
由幂级数可得一个正项级数，
a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2
称为双边级数。
正幂部分的收敛范围：
在 z z0
R1 圆域内收敛，收敛半径为 R1
lim k
ak ak 1
。
负幂部分的收敛范围：在 R2 Fra bibliotekz z0
圆外域内收敛，R2
lim
k
a(k 1) ak
(z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z 1 1 (z 1)
当 0 z 1 1时，
f (z)
1
z 1k z 1k
z 1 k0
k 1
1
例 3. 在 z0 0 的邻域上把函数 e z 展开为级数。
1
2 i
CR1
w( ) z
d
ak
k 0
1
2 i
( z0 )k d CR1 z
ak (z z0 )k w(z) k 0
w(z) 为解析函数。
例 1. 求幂级数
1 z k 的收敛半径。
k0 k!
R lim
1 k!
lim (k 1)! lim (k 1)
2
……
f (n) (z) sin(z n )
2
f (n) (0) sin n
2
0 (1)k
n 2k n 2k 1
f (z) sin z
(1)k z 2k1 z 1 z 3 1 z 5 1 z 7
k0 (2k 1)!
【说明】
由幂级数可得一个正项级数，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
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数学物理方法
第3章 幂级数展开
(n) w(n) (z) wk (z) k 0
7
(n) 而且wk (z)在B内的任意一个闭区域上一致收敛。 k 0
对于区域B(或曲线l )上所有各点z, 如果函数项级数各项的 模 wk ( z ) mk , 而正的常数项级数 mk收敛, 则函数项级数
数学物理方法
第3章 幂级数展开
6
在B上一致收敛的级数的每一项wk(z)都是B上的连续函数 ，则级数的和w(z)也是B上的连续函数。 在l上一致收敛的级数的每一项wk(z)都是l上的连续函数， 则级数的和w(z)也是l上的连续函数，而且级数可以沿l逐 项积分。
w( z ) d z w ( z ) d z w ( z ) d z
这个正的常数项级数收敛。根据上节最后的结论，幂级 数在收敛圆内部不仅绝对收敛而且一致收敛。 2. 根值判别法 1 绝对收敛
1 发散 1 求收敛半径的另一方法： R lim k k ak
z z0 R 绝对收敛
z z0 R 发散
WangChengyou © Shandong University, Weihai
n
k 0
n
k
nk
p
k 0
k
A, qk B
k 0
p q = p q c
k 0 k l 0 l k 0 l 0 k l n0
AB
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数学物理方法
对于任一给定的小正数 , 必有N 存在, 使得当n N时, Fn p +1 Fn +1 wn 1 wn 2 wn p = 式中p为任意正整数。
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k n 1
w
n p
k
数学物理方法
第3章 幂级数展开
12
k 2k ( 1) z 的收敛圆 例2：求幂级数 k 0
解： ak (1)
k
ak R lim 1 k a k 1
事实上，本例也是几何级数，公比为 z 2
k 2k 2 4
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1
1 若 z 1 ( 1) z =1 z z 2 ( z 1) 1 z k 0
在B(或l )上各点z, 对于任一给定的小正数 , 必有N ( z )存在, 使得当n N ( z )时,
k n 1
w ( z) , 式中p为任意正整数。
k
n p
若N与z无关，则称级数在B(或l)上一致收敛。
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1 f ( ) d 证明：由Cauchy公式，有 f ( z ) 2π i CR1 z 1 1 1 1 z z0 1 z z0 z0 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 z0 k 1 z ( z 1) 2 k 0 1 z 1 z z0 z z0 1 z0 z0 z0 k z0 z z0 1 z z0 k 0 z0 z z z0 0 CR1 k ( z z0 ) k 1 CR ( z ) k 0 0
第3章 幂级数展开
5
2. 函数项级数
w ( z) w ( z) w ( z) w ( z) w ( z)
k 0 k 0 1 2 k
它的各项都是z的函数。如果级数在某个区域B(或某条曲 线l)上的所有点，级数都收敛，则称级数在B(或l)上收敛。 根据柯西收敛判据，函数项级数在B(或l)上收敛的充分必 要条件：
n n n n n
k 0
k
0
1
2
k
w u iv
k 0 k k 0 k k 0
n
n
n
k
F n1
w u
k 0
n
k
k 0
k
i vk
k 0
k 0
若limwk limuk ilimvk F 有限， 称级数 wk 收敛于F。
例：求幂级数
z 1
( z / 2)
k 0
2k
解： R lim k
lim
1
2k
a2 k
1 1 / 22 k
的收敛半径
k 2 k
2
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第3章 幂级数展开
13
P36：根据“幂级数在收敛圆内部绝对收敛而且一致收敛 ”，幂级数的和可以表示为连续函数的回路积分，而连 续函数的回路积分可在积分号下求导任意多次，也是解 析函数。 1 w( ) 2 d a a ( z z ) a ( z z ) 0 1 0 2 0 C 2πi R1 z
k 1 k
k
ak 1 lim z z0 k a k
1 绝对收敛
1 发散
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第3章 幂级数展开
9
ak 令： R lim k a k 1
z z0 R
绝对收敛
z z0 R 发散
其中，z0, a0, a1, a2, …都是复常数。这样的级数称为以z0 为中心的幂级数。 考察由幂级数各项的模组成的正项级数 2 k a0 a1 z z0 a2 z z0 ak z z0 1. 比值判别法(达朗贝尔判别法)
lim
ak 1 z z0 ak z z0
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数学物理方法
第3章 幂级数展开
2
§3.1 复数项级数 1. 复数项级数 设有复数项的无穷级数
w =w +w +w + +w +
它的每一项都可分为实部和虚部， wk uk ivk 前n+1项的级数和为 复数项无穷级数的和
lim ak z z0
k k
k
数学物理方法
第3章 幂级数展开
k
11
例1：求幂级数 z 的收敛圆
k 0
解： a 1 k
R lim
ak ak 1k 1 lFra bibliotekm 1 k 1
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1 z 1
事实上，本例是几何级数，公比是z，所以 前n+1项的和为：
k 0
在B(或l )上绝对且一致收敛。
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数学物理方法
第3章 幂级数展开
8
§3.2 幂级数 如果函数项级数的各项都是幂函数
k 2 a ( z z ) a a ( z z ) a ( z z ) k 0 0 1 0 2 0 k 0
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第3章 幂级数展开
14
基本要求
1. 理解级数绝对收敛的概念； 2. 掌握正项级数的比值判别法和根值判别法； 3. 会求复变函数幂级数的收敛圆或收敛半径。
作业：P37 3.(4), 4.(4)
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,
数学物理方法
第3章 幂级数展开
4
如果由级数各项的模(正实数)组成的级数
k 0
2 2 wk uk vk k 0
收敛，则称级数绝对收敛。绝对收敛的级数必收敛。 绝对收敛的级数的性质： (1) 绝对收敛的级数各项先后次序可以任意改变，其和不 变。 (2) 设有两个绝对收敛的级数，其和分别为A和B，将它 们逐项相乘，得到的级数也是绝对收敛的，而且它的和 n 就等于AB。 其中, c pq
其中，w( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 ) 2
幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数，在收敛圆内不 可能有奇点。 幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次。 因为收敛圆的内部是单连通区域，所以幂级数在收敛圆 内又可以逐项积分。 逐项积分或逐项求导不改变收敛半径。P37 习题1. 2.
数学物理方法
第3章 幂级数展开
1
第3章 幂级数展开
为什么要学习幂级数展开？ 实变函数的幂级数展开： (1) 将实变函数进行泰勒展开，截取幂级数的前面有限项 的和可以作为函数的近似（项数取决于要达到的近似 程度）； (2) 常微分方程可用级数方法求解。 §3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
对正的常数项级数 ak R1k，应用比值判别法，
k 0
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第3章 幂级数展开
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ak 1 R1k 1 ak 1 1 lim R1 = R1 1 = lim k k k a ak R1 R k
k0 k0 k0
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