2020-2021学年人教A版数学必修1课后强化练习第3章综合素能检测解析含答案

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2020-2021学年人教A版数学必修1课后强化练习解析含答案3-2-1

3.2.1一、选择题1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( )A ．45元B ．55元C ．65元D ．70元[答案] D[解析] 设每件商品定价为x 元，则一个月的销量为500－(x －50)×10＝1000－10x 件，故月利润为y ＝(x －40)·(1000－10x )＝－10(x －40)(x －100)， ∵⎩⎨⎧ x >401000－10x >0，∴40<x <100，∴当x ＝70时，y 取最大值，故选D.2．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )A ．B ，A ，CB ．A ，C ，B C ．A ，B ，CD ．C ，A ，B[答案] B[解析] A 种债券的收益是每100元收益3元；B 种债券的利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100(1＋51.4－5050)≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－97100，100元一年到期的本息和为100(1＋100－9797)≈103.09(元)，收益为3.09元．3．某厂原来月产量为a ，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b ，则( )A ．a ＝bB ．a >bC ．a <bD ．a 、b 的大小无法确定 [答案] B[解析] 一月份产量为a(1＋10%)，二月份产量b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1%)，∴b<a，故选B.4．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点[答案] D[解析] 从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(S0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．5．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是( )A．3.5m B．3mC．2.5m D．2m[答案] C[解析] 建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为y＝a(x－1)2＋2.∵抛物线过点A(0,1)∴将(0,1)点代入方程得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋2.令y＝0，得x＝1＋2，x＝1－2(舍)，故落在水面上的最远点B到O点距离为(1＋2)m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.6．某市原来民用电价为0.52元/kw·h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kw·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw·h.对于一个平均每月用电量为200kw·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量( )A．至少为82kw·hB．至少为118kw·hC．至多为198kw·hD．至多为118kw·h[答案] D[解析] ①原来电费y1＝0.52×200＝104(元)．②设峰时段用电为x kw·h，电费为y，则y＝x×0.55＋(200－x)×0.35＝0.2x＋70，由题意知0.2x＋70≤(1－10%)y1，∴x≤118.答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kw·h.二、填空题7．英语老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元．[答案] 5514.99[解析]根据题意，五年后的本息共5000(1＋1.98%)5＝5514.99(元)．8．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T是时间t的函数：T(t)＝at2＋bt＋c(a≠0)，其中温度的单位是°C，时间的单位是小时，t＝0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°C ，12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C ，则T (t )＝________.[答案] －3t 2＋t ＋60[解析] 将t ＝－4，T ＝8；t ＝0，T ＝60；t ＝1，T ＝58分别代入函数表达式中即可解出a ＝－3，b ＝1，c ＝60.三、解答题9．某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元，假设该物品的价格年增长率是平均的，那么2010年该物品的价格是多少？(精确到元)[解析] 从1964年开始，设经过x 年后物价为y ，物价增长率为a %，则y ＝100(1＋a %)x ，将x ＝40，y ＝500代入得500＝100(1＋a %)40，解得a ＝4.1，故物价增长模型为y ＝100(1＋4.1%)x .到2010年，x ＝46，代入上式得y ＝100(1＋4.1%)46≈635(元)．10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a 升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y ＝ae －nt ，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲的水只有a 8. [解析] 由题意得ae －5n ＝a －ae －5n ，即e －5n ＝12，设再过t 分钟桶甲中的水只有a8，得ae－n(t＋5)＝a8，所以(12)t＋55＝(e－5n)t＋55＝e－n(t＋5)＝18＝(12)3，∴t＋55＝3，∴t＝10.∴再过10分钟桶甲的水只有a8.11．某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售．请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的实惠大．面对问题我们并不能一目了然．于是我们首先作了一个随机调查．把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以．调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？请给予说明．[解析] 在实际问题中，甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制．所以这个问题应该有几种情形：(1)若甲商厦确定每组设奖．当参加人数较少时，少于1＋2＋10＋200＝213人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客．(2)若甲商厦的每组营业额较多时，他给顾客的优惠幅度就相应的小．因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共10000＋2000＋1000＋1000＝14000元．假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为14000÷5%＝280000.所以由此可得：(1)当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多．(2)当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠则小于1 4000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是1 4000元，优惠较大．(3)当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的优惠大．12．某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x<20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？[解析] 只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木材量为2Q(1＋20%)5，画出函数y＝(1＋x%)5与y＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故当x<14.87%时就考虑重栽，否则让它继续生长．*13.(湖南长沙同升湖实验学校高一期末)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n 是羊毛衫标价x 的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？[解析] (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则n ＝kx ＋b (k <0)，∴⎩⎨⎧ 0＝300k ＋b 75＝225k ＋b，∴⎩⎨⎧ k ＝－1b ＝300，∴n ＝－x ＋300. y ＝－(x －300)·(x －100)＝－(x －200)2＋10000，x ∈(100,300] ∴x ＝200时，y max ＝10000即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，－(x －300)·(x －100)＝10000×75%∴x 2－400x ＋30000＝－7500，∴x 2－400x ＋37500＝0，∴(x －250)(x －150)＝0∴x 1＝250，x 2＝150所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.14．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能使完成全部任务最快？[分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成任务最快．[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x )名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，∴制作100张课桌所需时间为函数P (x )＝1007x，制作200把椅子所需时间为函数Q (x )＝20010(30－x )，完成全部任务所需的时间f (x )为P (x )与Q (x )中的较大值．欲使完成任务最快，须使P (x )与Q (x )尽可能接近(或相等)．令P (x )＝Q (x )，即1007x ＝20010(30－x )，解得x ＝12.5，∵人数x ∈N ，考察x ＝12和13的情形有P (12)≈1.19，Q(12)≈1.111，P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176，∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，∵f(12)>f(13)，∴x＝13时，f(x)取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．[点评] 本题有几点需特别注意，人数x必须是自然数，故P(x)与Q(x)不相等，f(x)是P(x)与Q(x)中的较大者，完成任务最快的时间是f(x)的最小值．。

2020-2021学年人教A版数学必修1课后强化练习解析含答案2-2-2-4

2.2.2.4一、选择题1.12log 612－log 62等于( ) A ．2 2 B ．122C.12D ．3[答案] C[解析] 12log 612－log 62＝12log 612－12log 62＝12log 6122＝12log 66＝12，故选C. 2．以下函数中，在区间(－∞，0)上为单调增函数的是( ) A ．y ＝－log 12(－x )B ．y ＝2＋x1－xC ．y ＝x 2－1D ．y ＝－(x ＋1)2[答案] B[解析] y ＝－log 12(－x )＝log 2(－x )在(－∞，0)上为减函数，否定A；y＝x2－1在(－∞，0)上也为减函数，否定C；y＝－(x＋1)2在(－∞，0)上不单调，否定D，故选B.3．(09·陕西文)设不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为( )A．[0,1) B．(0,1)C．[0,1] D．(－1,0][答案] A[解析] 由题意知M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|－1<x<1}，∴M∩N＝[0,1)，故选A.4．f(x)＝a x，g(x)＝－log b x且lg a＋lg b＝0，a≠1，b≠1，则y＝f(x)与y＝g(x)的图象() A．关于直线x＋y＝0对称B．关于直线x－y＝0对称C．关于y轴对称D．关于原点对称[答案] B[解析] ∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，f(x)＝a x，g(x)＝－log b x＝－log1x＝log a xa∴f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线x－y＝0对称．5．(2010·安徽理，2)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪log12x ≥12，则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ [答案] A[解析] log 12x ≥12，∴0<x ≤22，∁R A ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)，故选A.6．(2010年延边州质检)函数y ＝xa x|x |(a >1)的图象的大致形状是( )[答案] C[解析]∵y ＝xa x|x |＝⎩⎨⎧a x (x >0)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x(x <0)，∵a >1，∴当x >0时，y ＝a x 单增，排除B 、D ；当x <0时，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x单减，排除A ，故选C. 7．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a 0，∴c >a ，∵ln x －2ln x ＝－ln x >0，∴a >b ，∴c >a >b .8．设A ＝{x ∈Z|2≤22－x <8}，B ＝{x ∈R||log 2x |>1}，则A ∩(∁R B )中元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由2≤22－x <8得，－1<x ≤1， ∵x ∈Z ，∴x ＝0,1，∴A ＝{0,1}；由|log 2x |>1，得x >2或0<x <12，∴∁R B ＝{x |x ≤0或12≤x ≤2}，∴A ∩(∁R B )＝{0,1}．9．(09·全国Ⅰ)已知函数f (x )的反函数为g (x )＝1＋2lg x (x >0)，则f (1)＋g (1)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析] ∵g (1)＝1，f (x )与g (x )互为反函数， ∴f (1)＝1，∴f (1)＋g (1)＝2.10．对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎨⎧a ，若a ≤b ；b ，若a >b，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[答案] C[解析]∵a *b ＝⎩⎨⎧a ，若a ≤b ，b ，若a >b .而函数f (x )＝log12(3x －2)*log 2x 的大致图象如右图所示的实线部分，∴f (x )的值域为(－∞，0]．二、填空题11．若正整数m 满足10m －1<2512<10m ，则m ＝______.(其中lg2＝0.3010)[答案] 155[解析] 将已知不等式两边取常用对数，则m －1<512lg2<m ， ∵lg2＝0.3010，m ∈Z ＋，∴m ＝155.12．若a ＝log 3π、b ＝log 76、c ＝log 20.8，则a 、b 、c 按从小到大顺序用“<”连接起来为________．[答案] c log 33＝1，b ＝log 76<log 77＝1， log 76>log 71＝0，c ＝log 20.8<log 21＝0 ∴c 0x －1≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3或x ≤1x >1x ≠2，∴x ≥3.14．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是__________．[答案] 0<a <12或a >1[解析] 当a >1时，log a 12<0成立，当0<a <1时，log a 12<log a a ，∴12>a >0.三、解答题15．设A ＝{x ∈R|2≤x ≤π}，定义在集合A 上的函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的最大值比最小值大1，求a 的值．[解析] a >1时，y ＝log a x 是增函数，log a π－log a 2＝1，即log a π2＝1，得a ＝π2.0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，log a 2－log a π＝1，即log a 2π＝1，得a ＝2π.综上可知a 的值为π2或2π.16．已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0且a ≠1)，(1)求f (x )的定义域； (2)判断y ＝f (x )的奇偶性； (3)求使f (x )>0的x 的取值范围．[解析] (1)依题意有1＋x 1－x>0，即(1＋x )(1－x )>0，所以－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数．因为函数的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝log a (1＋x1－x )－1＝－log a 1＋x1－x ＝－f (x )，因此y ＝f (x )为奇函数．(3)由f (x )>0得，log a 1＋x1－x >0(a >0，a ≠1)，①当0<a <1时，由①可得0<1＋x1－x <1，②解得－1<x <0；当a >1时，由①知1＋x1－x >1，③解此不等式得0<x <1.17．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且关于x 的二次方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，判断△ABC 的形状．[解析] ∵方程有等根∴Δ＝4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝4－4lg 10(c 2－b 2)a 2＝0， ∴lg 10(c 2－b 2)a 2＝1，∴10(c 2－b 2)a 2＝10 ∴c 2－b 2＝a 2即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．18．(1)计算： lg 23－lg9＋lg10(lg 27＋lg8－lg 1000)(lg0.3)(lg1.2)(2)设a 、b 满足条件a >b >1,3log a b ＋3log b a ＝10，求式子log a b －log b a 的值．[分析] (1)因9＝32,27＝33,8＝23,12＝22·3，故需将式中的项设法化为与lg2，lg3相关的项求解；(2)题设条件与待求式均为x ＋y ＝c 1，x －y ＝c 2的形式，注意到x ·y ＝log a b ·log b a ＝1，可从x ·y 入手构造方程求解．[解析] (1)lg0.3＝lg 310＝lg3－lg10＝lg3－1， lg1.2＝lg 1210＝lg12－1＝lg(22·3)－1＝2lg2＋lg3－1. lg 23－lg9＋lg10＝lg 23－2lg3＋1＝1－lg3， lg 27＋lg8－lg 1000＝32(lg3＋2lg2－1)，原式＝32·(1－lg3)·(lg3＋2lg2－1)(lg3－1)(lg3＋2lg2－1)＝－32. (2)解法1：∵log b a ·log a b ＝lg a lg b ·lg b lg a＝1， ∴log b a ＝1log a b. 由log a b ＋log b a ＝103，得：log a b ＋1log a b ＝103. 令t ＝log a b ，∴t ＋1t ＝103，化简得3t 2－10t ＋3＝0，由a >b >1，知0<t <1，∴t ＝13. ∴log a b －log b a ＝log a b －1log a b ＝13－3＝－83. 解法2：log a b ·log b a ＝lg b lg a ·lg a lg b＝1， ∵3log a b ＋3log b a ＝10，∴9(log a b ＋log b a )2＝100， ∴log 2a b ＋log 2b a ＝1009－2＝829∴(log a b －log b a )2＝log 2a b ＋log 2b a －2＝649. ∵a >b >1，∴log a b －log b a <0，∴log a b －log b a ＝－83.。

(2021年整理)人教版A版高中数学必修1课后习题及答案三章全

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高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．(1)中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．(2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3)3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：(1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2)因为小于8的素数为2,3,5,7,所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3)由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩,得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4)由453x -<，得2x <,所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1){,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==;（3)2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根,2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集;（5）{0}2{|}x x x = (或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；(6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；(2)当2k z =时,36k z =;当21k z =+时，363k z =+,即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习(第11页)1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形,{|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形．4．解：显然{2,4,6}U B =,{1,3,6,7}U A =，则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页) A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； (2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数; （4）2R ∈ 2是实数；(5）9Z ∈ 93=是个整数; （6）2(5)N ∈ 2(5)5=是个自然数．2．（1）5A ∈；（2）7A ∉; （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1)大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；(2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求;（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-,得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；（3)由不等式342x x ≥-，得45x ≥,即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉; 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈; {1}-A ; ∅A ； {1,1}-=A ；2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形;{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解:3782x x -≥-,即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}A B =，{3,4,5,6}A C =，而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =,则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项,即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；(2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形，{|}S A x x =是梯形．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<,{|3,7}R A x x x =<≥或,{|2,10}R B x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或，(){|3,7}R A B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或，(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集,得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==,当3a =时，集合{3}A =,则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =,则{1,3,4},{1}A B A B ==；当4a =时,集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解:显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B =，得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =，得{1,3,5,7}U B =,而()U U B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习(第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠,即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2)要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．解：（1）由2()32f x x x =+,得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=,即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=,即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；(2)不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．解：显然矩形的另一边长为，y ==，且050x <<,即(050)y x =<<．2．解：图象(A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象(B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件(1），返回家里的时刻,离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松,缓缓行进．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．4．解：因为3sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B 中素是3；的元因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；(2)x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3)要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且;（4）要使原式有意义,则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩,即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解:(1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2)2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；(3)对于任何实数，都有362=，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同,x x得函数()f x与()g x相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；(2)定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；(4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++, 即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．解:(1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-, 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--，即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+,得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即22d x y =+22100(0)d x x x =+>，由周长为l ，即22l x y =+,得202(0)l x x x=+>，另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+,得22222()22220(0)l x y x y xy d d =+=++=+>，即2220(0)l d d =+>．9．解:依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t dπ=，显然0x h ≤≤，即240vt h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤,得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解:(1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； (2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3)当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应． 2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x-，得222125x xt +-=+，(012)x ≤≤，即24125x xt +-=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时,2441242583()55t h +-=+=+≈．第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大(小）值练习（第32页)1．答：在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多,生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明:设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->, 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数。

2020-2021学年新教材数学人教A版必修第一册：第3章章末综合提升

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)圆锥曲线的定义及应用【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M 的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________.(1)C(2)60°[(1)把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝|3x＋4y－12|5.∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．(2)双曲线方程16x2－9y2＝144，化简为x29－y216＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义知|m －n |＝2a ＝6，又已知m ·n ＝64，在△PF 1F 2中，由余弦定理知 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝m 2＋n 2－(2c )22m ·n＝(m －n )2＋2m ·n －4c 22m ·n＝36＋2×64－4×252×64＝12.所以∠F 1PF 2＝60°.]“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．[跟进训练]1．若A (3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，P 为抛物线上任意一点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．72 [设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF |＝|PD |， ∴要求|P A |＋|PF |取得最小值，即求|P A |＋|PD |取得最小值，当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小，为3＋12＝72.]圆锥曲线的方程【例2】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(2)已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于A ，B 两点，且a ＝2b .若|AB |＝25，求椭圆的方程．(1)C [法一：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎨⎧c ＝2a ，b ＝3a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .依题意，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a 到直线y ＝3x 的距离分别为d 1，d 2，因为d 1＋d 2＝6，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪3c －b 2a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪3c ＋b 2a 2＝6，所以23a －3a 2＋23a ＋3a 2＝6，解得a ＝3，所以b ＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.法二：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎨⎧c ＝2a ，b ＝3a ，如图所示，由d 1＋d 2＝6，即|AD |＋|BE |＝6，可得|CF |＝3，故b ＝3，所以a ＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.](2)[解]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0.由Δ＝16－4(8－2b 2)＞0，得b 2＞2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵|AB |＝25，∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25，即52·16－4(8－2b 2)＝25，解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16. ∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．[跟进训练]2．(1)以直线3x ±y ＝0为渐近线，一个焦点坐标为F (0,2)的双曲线方程是( ) A ．y 2－x 23＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 23－y 2＝1 D ．y 23－x 2＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．(1)D [设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为焦点在y 轴上，所以方程可化为y 2－λ－x 2－λ3＝1，由条件可知－λ－λ3＝4，解得λ＝－3.所以双曲线方程为3x 2－y 2＝－3，即y 23－x 2＝1.](2)[解] 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3，即双曲线的渐近线方程为y ＝±3x . 由题意得，抛物线的准线方程为x ＝－p2，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p ·p2＝3，解得p ＝2或p ＝－2(舍)．所以抛物线的标准方程为y 2＝4x .圆锥曲线性质及应用【例3】 (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13D ．14(2)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233[思路探究] (1)利用数形结合，采取三角函数定义建立方程求解； (2)根据弦长建立方程，求解．(1)D(2)A[(1)由题意易知直线AP的方程为y＝36(x＋a)，①直线PF2的方程为y＝3(x－c)．②联立①②，得P点纵坐标y＝35(a＋c)，如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝35(a＋c)．因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，PH＝35·(a＋c)，所以sin 60°＝PHPF2＝35(a＋c)2c＝32，即a＋c＝5c，即a＝4c，所以e＝ca＝14.故选D.(2)由题意可知圆的圆心为(2,0)，半径为2.因为双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba x，即bx±ay＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以|2b|a2＋b2＝22－12，所以ba＝ 3.故离心率e＝1＋b2a2＝2.故选A.]求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．本例(2)条件改为“双曲线左、右焦点为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 2作C 的渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，求C 的离心率．”[解] 点F 2(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离|PF 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪bc a －01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝b (b ＞0)，而|OF 2|＝c ，所以在Rt △OPF 2中，由勾股定理可得|OP |＝c 2－b 2＝a ，所以|PF 1|＝6|OP |＝6a . 在Rt △OPF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc，在△F 1F 2P 中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝b 2＋4c 2－6a 22b ·2c，所以b c ＝b 2＋4c 2－6a 24bc ⇒3b 2＝4c 2－6a 2，则有3(c 2－a 2)＝4c 2－6a 2，解得ca ＝3(负值舍去)，即e ＝ 3.2．本例(2)条件改为“双曲线的一条渐近线经过(3，－4)，求其离心率”． [解] 由条件知双曲线的焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±b a x ，把(3，－4)代入y ＝－ba x ，得－4＝－b a ×3，∴b a ＝43. ∴离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53.直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线关系中，常见的有哪几种问题．[提示] 公共点个数问题，弦长问题、中点弦问题、定点、定值问题及最值问题．2．圆锥曲线中如何处理定点问题？[提示] ①引进参数法．引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．②特殊到一般法．根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例4】设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右顶点是A (2,0)，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆交于两点M ，N (M ，N 不同于点A )，若AM →·AN →＝0，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．[思路探究] (1)由椭圆右顶点的坐标为A (2,0)，离心率e ＝12，可得a ，c 的值，由此可得椭圆C 的方程；(2)当直线MN 斜率不存在时，设l MN ：x ＝m ，易得m ＝27，当直线MN 斜率存在时，直线MN ：y ＝kx ＋b (k ≠0)，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立，得(4k 2＋3)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，由AM →·AN →＝0可得b ＝－27k ，从而得证．[解] (1)右顶点是A (2,0)，离心率为12，所以a ＝2，c a ＝12，∴c ＝1，则b ＝3， ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线MN 斜率不存在时，设l MN ：x ＝m ，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得：|y |＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24，|MN |＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24，设直线MN 与x 轴交于点B ，|MB |＝|AB |，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24＝2－m ， ∴m ＝27或m ＝2(舍)，∴直线m 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0；当直线MN 斜率存在时，设直线MN 斜率为k ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则直线MN ：y ＝kx ＋b (k ≠0)，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立，得(4k 2＋3)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， x 1＋x 2＝－8kb4k 2＋3，x 1x 2＝4b 2－124k 2＋3，y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2， Δ＝(8kb )2－4(4k 2＋3)(4b 2－12)＞0，k ∈R ， AM →·AN →＝0，则(x 1－2，y 1)(x 2－2，y 2)＝0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0，∴7b 2＋4k 2＋16kb ＝0， ∴b ＝－27k 或b ＝－2k ，∴直线l MN ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27或y ＝k (x －2)，∴直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0或(2,0)舍去；综上知直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.1．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)证明代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形．(3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可．2．圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．[跟进训练]3.已知椭圆E 的中心在坐标原点，两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，短半轴长为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过焦点F 2的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，满足F 1A →⊥F 1B →，求直线l 的方程．[解] (1)由题意，椭圆E 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，短半轴长为2，可得c ＝1，b ＝2，则a ＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆E 的标准方程x 25＋y 24＝1；(2)由题意知直线l 与x 轴不重合，设直线l ：x ＝ny ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧4x 2＋5y 2＝20x ＝ny ＋1，整理得(4n 2＋5)y 2＋8ny －16＝0，可得y 1＋y 2＝－8n 4n 2＋5，y 1y 2＝－164n 2＋5，又由F 1A →⊥F 1B →，则F 1A →·F 1B →＝0，得(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝0，代入直线可得(ny 1＋2，y 1)·(ny 2＋2，y 2)＝0，即 (n 2＋1)y 1y 2＋2n (y 1＋y 2)＋4＝0，代入可得(n 2＋1)⎝⎛⎭⎪⎫－164n 2＋5＋2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－8n 4n 2＋5＋4＝0，解得n 2＝14，所以直线l 的方程为x ＝±12y ＋1，即直线l 的方程为：2x ＋y －2＝0或2x －y －2＝0.[培优层·素养升华]【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且与抛物线y 2＝x 交于M ，N 两点，△OMN (O 为坐标原点)的面积为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，点A 为椭圆上一动点(非长轴端点)，F 1，F 2为左、右焦点，AF 2的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．[思路探究] (1)由题意求得a ，b ，c 的值即可确定椭圆方程；(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系和均值不等式即可确定三角形面积的最大值．[解] (1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线y 2＝x 交于M ，N 两点，可设M (x ，x )，N (x ，－x )，∵△OMN 的面积为22， ∴x x ＝22，解得x ＝2，∴M (2，2), N (2，－2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝224a 2＋2b 2＝1a 2＝b 2＋c2，解得a ＝22，b ＝2，c ＝2，∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A (2，2)，B (2，－2)，C (－2，－2)，故S △ABC ＝12×22×4＝42；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 28＋y 24＝1，化简得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8k 2－8＝0，则Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－8)＝32(k 2＋1)＞0， x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1·x 2＝8k 2－82k 2＋1，|AB |＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2] ＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 22k 2＋12－4·8k 2－82k 2＋1 ＝42·k 2＋12k 2＋1，点O 到直线kx －y －2k ＝0的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝2|k |k 2＋1，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d ＝4|k |k 2＋1，∴S △ABC ＝12|AB |·2d ＝12·⎝⎛⎭⎪⎫42·k 2＋12k 2＋1·4|k |k 2＋1＝82·k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2.∵k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＝k 2(k 2＋1)[k 2＋(k 2＋1)]2≤k 2(k 2＋1)4k 2(k 2＋1)＝14，又k 2≠k 2＋1，所以等号不成立． ∴S △ABC ＝82·k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＜42，综上，△ABC 面积的最大值为4 2.(1)本题属于直线与圆锥曲线的综合问题．这类题目常出现在高考题的压轴题位置．难度属于中难程度．(2)本题以椭圆为载体，考查了直线及椭圆与数学运算能力、逻辑推理能力． (3)解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：①注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； ②强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．[跟进训练]4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点(－3,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，O 为坐标原点，求OM →·ON →的取值范围．[解] (1)因为椭圆C 的短轴长为2，所以2b ＝2，所以b ＝1，又椭圆C 的离心率为32，所以c a ＝a 2－b 2a ＝a 2－1a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝k (x ＋3)代入x 24＋y 2＝1，消去y 可得 (1＋4k 2)x 2＋24k 2x ＋36k 2－4＝0，所以Δ＝(24k 2)2－4×(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，即k 2＜15，且x 1＋x 2＝－24k 21＋4k 2，x 1x 2＝36k 2－41＋4k 2，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1＋3)·k (x 2＋3)＝(1＋k 2)x 1x 2＋3k 2(x 1＋x 2)＋9k 2＝(1＋k 2)·36k 2－41＋4k 2＋3k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 21＋4k 2＋9k 2＝41k 2－41＋4k 2＝－4＋57k 21＋4k 2，因为0≤k 2＜15，所以0≤57k 21＋4k 2＜193，所以－4≤－4＋57k 21＋4k2＜73，所以OM →·ON →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，73.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册课后提升训练：第三章圆锥曲线的方程测评

第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)1.抛物线y=4x 2的焦点坐标是( ) A.(0,1) B.(1,0)C.(0,116)D.(116,0)y=4x 2的标准方程为x 2=14y ,即p=18,开口向上,焦点在y 轴的正半轴上,故焦点坐标为(0,116).2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为( )A.x 29+y 216=1B.x 225+y 216=1C.x 225+y 216=1或x 216+y 225=1D.x 2+y 2=1,得{2c =6,2a +2b =18,a 2=b 2+c 2,解得{a =5,b =4,c =3.∴椭圆的方程为x 2+y 2=1或x 2+y 2=1.3.已知0<θ<π,则双曲线C 1:x 22−y 22=1与C 2:y 22−x 22=1的( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等C 1和C 2的实半轴长分别是sin θ和cos θ,虚半轴长分别是cos θ和sin θ,半焦距都等于1,故选D .4.过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)相交于A ,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于( )A.√24 B.√22 C.14D.12A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b2=0.根据题意有x 1+x 2=2×1=2,y 1+y 2=2×1=2,且y 1-y 2x 1-x 2=-12,所以2a 2+2b2×(-12)=0,所以a 2=2b 2,所以a 2=2(a 2-c 2),整理得a 2=2c 2,所以c a =√22,所以e=√22.5.已知双曲线x 2-y 23=1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A.1 B.0C.-2D.-8116P (x 0,y 0),则x 02−y 023=1,由题意得A 1(-1,0),F 2(2,0),则PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x 0,-y 0)·(2-x 0,-y 0)=x 02-x 0-2+y 02,由双曲线方程得y 02=3(x 02-1),故PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4x 02-x 0-5(x 0≥1),可得当x 0=1时,PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值-2,故选C .6.已知a>b>0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2−y 2b2=1,C 1与C 2的离心率之积为√32,则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±√2y=0 B.√2x ±y=0 C.x ±2y=0D.2x ±y=0c 1,c 2,则e 1·e 2=c 1a ·c 2a=√a 2-b 2a·√a 2+b 2a=√a 4-b 4a 2=√32,所以b=√2,所以双曲线C 2的渐近线方程为y=±bx=±√2x ,即x ±√2y=0.7.设圆(x+1)2+y 2=25的圆心为C ,A (1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为( ) A.4x 2−4y 2=1B.4x 2+4y 2=1C.4x 225−4y 221=1D.4x 225+4y 221=1,圆心C (-1,0),半径等于5,设点M 的坐标为(x ,y ),∵AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ,∴|MA|=|MQ|,又|MQ|+|MC|=5,∴|MC|+|MA|=5>|AC|,依据椭圆的定义可得,点M 的轨迹是以A ,C 为焦点,且2a=5,c=1,∴b=√212,故椭圆方程为x 2254+y 2214=1,即4x 225+4y 221=1,故选D .8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F 1,F 2是一对相关曲线的焦点,P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F 1PF 2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A.√3B.√2C.2√33D.2a 1,椭圆的离心率为e 1,则e 1=c1,a 1=c1.双曲线的实半轴长为a ,双曲线的离心率为e ,e=c a ,a=ce , 设|PF 1|=x ,|PF 2|=y (x>y>0),则4c 2=x 2+y 2-2xy cos60°=x 2+y 2-xy ,当点P 被看作是椭圆上的点时,有4c 2=(x+y )2-3xy=4a 12-3xy ,当点P 被看作是双曲线上的点时,有4c 2=(x-y )2+xy=4a 2+xy ,两式联立消去xy 得4c 2=a 12+3a 2,即4c 2=(c e 1)2+3(c e )2,所以(1e 1)2+3(1e )2=4,又1e 1=e ,所以e 2+3e2=4,整理得e 4-4e 2+3=0,解得e 2=3或e 2=1(舍去),所以e=√3,即双曲线的离心率为√3.二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分)9.两数1,9的等差中项是a ,等比中项是b ,则曲线x 2+y 2=1的离心率可能是( ) A.√10B.2√10C.45D.25a=5,b=±3,当a=5,b=-3时e=√5+3√5=2√105, 当a=5,b=3时e=√2√5=√105.10.若方程x 25-t +y 2t -1=1所表示的曲线为C ,则下面四个命题中正确的是( )A.若t<1,则C 为双曲线B.若1<t<5,则C 为椭圆C.若C 为双曲线,则焦距为4D.若C 为焦点在y 轴上的椭圆,则3<t<5A,当t<1时,5-t>4,t-1<0,此时表示焦点在x 轴上的双曲线,所以正确的;对于B,当t=3时,此时方程x 2+y 2=2表示圆,所以不正确;当方程x 25-t +y 2t -1=1表示焦点在y 轴上椭圆,则满足{5-t >0,t -1>0,5-t <t -1,解得3<t<5,所以D 正确;对于C,当t=0时,方程x 25−y 21=1,此时双曲线的焦距为2√6,所以不正确.11.已知△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,若圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,该圆锥曲线E 的离心率可以是( ) A.√2-1 B.√2C.√2D.√2+1△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆,当C=π2时,离心率e=2c 2a=AB CA+CB=√22,当C=π4时,离心率e=AB CA+CB=√2+1=√2-1;(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线,根据双曲线的特征可得,则只有C=π, 此时,离心率e=2c2a =AB|CA -CB |=√2-1=√2+1.12.(2020·山东济南一中月考)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1,椭圆C 1的上顶点为M ,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点,且双曲线C 2的离心率为e 2,P 为曲线C 1与C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,则正确的是( ) A.e2e 1=2B.e 1·e 2=√32C.e 12+e 22=52D.e 22−e 12=1MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,故三角形MF 1F 2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c ,则c=b=√22a ,所以e 1=√22.在焦点三角形PF 1F 2中,|PF 1|=x ,|PF 2|=y ,双曲线C 2的实半轴长为a', 则{x 2+y 2-xy =4c 2,x +y =2√2c ,|x -y |=2a '故xy=43c 2,从而(x-y )2=x 2+y 2-xy-xy=8c 23, 所以(a')2=2c 23即e 2=√62,故e2e 1=√3,e 2e 1=√32,e 12+e 22=2,e 22−e 12=1.三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±32x 的双曲线的标准方程为 .2a=6,∴a=3.当焦点在x 轴上时,∵双曲线的渐近线方程为y=±32x , ∴b3=32,∴b=92.∴方程为x 29−y 2814=1;当焦点在y 轴上时,∵双曲线的渐近线方程为y=±32x ,∴3=3,∴b=2,∴方程为y 2−x 2=1.故双曲线的标准方程为y 29−x 24=1或x 29−y 2814=1.x 24=1或x 29−y 2814=114.抛物线x 2=2py (p>0)的焦点为F ,其准线与双曲线x 2−y 2=1相交于A ,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则p= .x 2=2py (p>0)的准线方程为y=-p 2,由{y =-p 2,x 2-y 2=3解得准线与双曲线x 2-y 2=3的交点为A (-√3+14p 2,-p 2),B (√3+14p 2,-p 2),所以|AB|=2√3+14p 2.由△ABF 为等边三角形,得√32|AB|=p ,解得p=6.15.如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m .水位下降1 m 后,水面宽为米;已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A ,B 两点,则A ,B 两点间的距离|AB|= .,水平向右为x 轴正方向,竖直向上为y 轴正方向.设抛物线方程为x 2=-2py ,将点(-2,-2)代入x 2=-2py ,解得p=1,∴x 2=-2y.水位下降1m 后,设直线y=-3与抛物线的交点为(x 0,-3),则有x 02=6,解得x 0=±√6,∴水面宽为2√6m .抛物线方程为x 2=-2y ,焦点(0,-12),即直线方程为y=2x-12, 联立方程{x 2=-2y ,y =2x -12,得4y 2+36y+1=0,有y 1+y 2=-9,∵焦点在y 轴负半轴,由焦点弦公式得|AB|=-(y 1+y 2)+p=10.√6 1016.已知点F (-c ,0)(c>0)是双曲线x 2a2−y 2b2=1的左焦点,过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2+y 2=c 2交于点F 和另一个点P ,且点P 在抛物线y 2=4cx 上,则该双曲线的离心率的平方e 2的值为 .,设双曲线的右焦点为F',由题意可知FF'为圆x 2+y 2=c 2的直径.设P (x ,y )(x>0),则有{ y 2=4cx ,①x 2+y 2=c 2,②y x+c =ba ,③将①代入②得x 2+4cx-c 2=0,则x=-4c±2√5c2=-2c ±√5c ,即x=(√5-2)c 或x=(-√5-2)c (舍去),将x=(√5-2)c 代入③,得√5c -2c+c=ba,即y=bc (√5-1)a,再将x ,y 的表达式代入①,得b 2c 2(√5-1)2a 2=4c 2(√5-2),即b 2(√5-1)2a 2=4(√5-2),∴b 2a 2=√5-(5-1)2=c 2-a 2a 2=e 2-1, 解得e 2=√5+12.四、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2√33,直线l 过A (a ,0),B (0,-b )两点,原点O 到直线l 的距离是√32. (1)求双曲线的方程;(2)过点B 作直线m 交双曲线于M ,N 两点,若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23,求直线m 的方程.依题意得l 的方程为x +y-b =1,即bx-ay-ab=0.由原点O 到直线l 的距离为√32,得√a 2+b =abc=√32,又e=c=2√3,∴b=1,a=√3. 故所求双曲线方程为x 2-y 2=1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直,设直线m 的方程为y=kx-1,则点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)是方程组{y =kx -1,x 23-y 2=1的解,消去y ,得(1-3k 2)x 2+6kx-6=0.① 依题意知1-3k 2≠0,当Δ=36k 2-4(1-3k 2)·(-6)=24-36k 2>0,即k 2<23时,由根与系数的关系,得x 1+x 2=6k3k 2-1,x 1x 2=63k 2-1,∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1-1)(kx 2-1)=(1+k 2)x 1x 2-k (x 1+x 2)+1=6(1+k 2)3k 2-1−6k23k 2-1+1=63k 2-1+1=-23,解得k=±12.当k=±12时,方程①均有两个不相等的实数根,∴直线m 的方程为y=12x-1或y=-12x-1.18.(本小题满分12分)已知动圆C 过定点F (0,1),且与直线l 1:y=-1相切,圆心C 的轨迹为E. (1)求动点C 的轨迹方程;(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ,Q ,且PQ 中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离,知点C 的轨迹是以F 为焦点,l 1为准线的抛物线,∴所求轨迹的方程为x 2=4y.(2)由题意易知直线l 2的斜率存在,又抛物线方程为x 2=4y ,当直线l 2的斜率为0时, |PQ|=4√2.当直线l 2的斜率k 不为0时,设中点坐标为(t ,2),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有x 12=4y 1,x 22=4y 2,两式作差得x 12−x 22=4(y 1-y 2),即得k=x 1+x 24=t 2,则直线l 2的方程为y-2=t2(x-t ),与x 2=4y 联立得x 2-2tx+2t 2-8=0.由根与系数的关系得x 1+x 2=2t ,x 1x 2=2t 2-8, |PQ|= √(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=√(1+t 24)[4t 2-4(2t 2-8)]=√(8-t 2)(4+t 2)≤6, 当且仅当8-t 2=4+t 2,即t=±√2时,等号成立. 即|PQ|的最大值为6.19.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,焦距为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)记斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,椭圆C 上存在点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求四边形OAPB 的面积.由题意知c=1,a=2,则b=√3,故椭圆C 的方程是x 24+y 23=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),设直线l :y=kx+m.由{y =kx +m ,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0, 故Δ=48(4k 2+3-m 2)>0且{x 1+x 2=-8km 3+4k2,x 1x 2=4m 2-123+4k2.由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得{x 0=x 1+x 2,y 0=y 1+y 2,且点P 在椭圆C 上,所以(x 1+x 2)24+(y 1+y 2)23=1,其中x 1+x 2=-8km3+4k2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m=6m3+4k2,代入(x 1+x 2)24+(y 1+y 2)23=1,化简可得4m 2=3+4k 2.|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2(4√3√3+4k 2-m 2)3+4k 2,坐标原点到直线l 的距离d=|m |√1+k.所以四边形OAPB 的面积 S=|AB|d=4√3√3+4k 2-m 2·|m |3+4k2=12m 24m 2=3. 20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,椭圆M :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,左、右顶点分别为A ,B ,线段AB 的长为4.P 在椭圆M 上且位于第一象限,过点A ,B 分别作l 1⊥PA ,l 2⊥PB ,直线l 1,l 2交于点C.(1)若点C 的横坐标为-1,求P 点的坐标;(2)直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ,且AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的取值范围.由题意得{ca=12,2a =4,解得a=2,c=1,∴b 2=a 2-c 2=3.∴椭圆M 的方程是x 2+y 2=1,且A (-2,0),B (2,0),设P (x 0,y 0),则k PA =yx 0+2,∵l 1⊥PA ,∴直线AC 的方程为y=-x 0+2y 0(x+2), 同理,直线BC 的方程为y=-x 0-2y 0(x-2).联立方程{y =-x 0+2y 0(x +2),y =-x 0-2y 0(x -2),解得{x =-x 0,y =x 02-4y 0, 又∵x 02-4y=4-43y 02-4y 0=-43y 0,∴点C 的坐标为(-x 0,-43y 0),∵点C 的横坐标为-1,∴x 0=1,又∵P 为椭圆M 上第一象限内一点,∴y 0=32,∴P 点的坐标为(1,32).(2)设Q (x Q ,y Q ),∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{-x 0+2=λ(x Q +2),-43y 0=λy Q , 解得{x Q =-x0λ+2λ-2,y Q =-43λy 0,∵点Q 在椭圆M 上,∴14(-xλ+2λ-2)2+13(-43λy 0)2=1,又y 02=3(1-x 024), 整理得7x 02-36(λ-1)x 0+72λ-100=0,解得x 0=2或x 0=36λ-507,∵P 为椭圆M 上第一象限内一点,∴0<36λ-507<2,解得2518<λ<169, 故λ的取值范围为(2518,169). 21.(本小题满分12分)如图,M 是抛物线y 2=x 上的一点,动弦ME ,MF 分别交x 轴于A ,B 两点,且MA=MB.(1)若M 为定点,证明:直线EF 的斜率为定值;(2)若M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心G 的轨迹方程.M (y 02,y 0),直线ME 的斜率为k (k>0),由|MA|=|MB|可知直线MF 的斜率为-k ,即直线ME 的方程为y-y 0=k (x-y 02). 由{y -y 0=k (x -y 02),y 2=x ,消去x ,得ky 2-y+y 0(1-ky 0)=0. 解得y E =1-ky 0k ,则x E =(1-ky 0)2k2.同理可得y F =1+ky 0-k ,x F =(1+ky 0)2k2.故k EF =y E -yFx E -x F=1-ky 0k -1+ky 0-k (1-ky 0)2k 2-(1+ky 0)2k2= 2k-4ky 0k2=-12y 0(定值). 因此,直线EF 的斜率为定值.M (y 02,y 0).∵当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,∴k=1.∴直线ME 的方程为y-y 0=x-y 02. 由{y -y 0=x -y 02,y 2=x得E ((1-y 0)2,1-y 0). 同理可得F ((1+y 0)2,-(1+y 0)). 设重心G (x ,y ),则有{x =x M +x E +x F 3=y 02+(1-y 0)2+(1+y 0)23=2+3y 023,y =y M +y E +y F 3=y 0+(1-y 0)-(1+y 0)3=-y 03,消去参数y 0,得y 2=19x-227(x >23).22.(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1,0),椭圆C 1过点G (1,32),抛物线C 2的顶点为原点. (1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程;(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点,过点P 作抛物线C 2的两条切线PA ,PB ,其中A 、B 为切点.①设直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值; ②若直线AB 交椭圆C 1于C ,D 两点,S △PAB,S △PCD分别是△PAB ,△PCD 的面积,试问:S△PAB S△PCD是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由.因为抛物线C 2的焦点为(1,0),且顶点为原点,所以p2=1,所以p=2,所以抛物线C 2的标准方程为y 2=4x ,设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1,则c=1且{a 2-b 2=1,1a 2+94b2=1,解得a 2=4,b 2=3,所以椭圆C 1的方程为:x 24+y 23=1.(2)①证明:设P (-1,t ),过点P 与抛物线y 2=4x 相切的直线为y-t=k (x+1), 由{y -t =k (x +1),y 2=4x 消去x 得y 2-4k y+4t k +4=0, 由Δ=(-4k )2-4(4tk +4)=0,得k 2+tk-1=0,则k 1k 2=-1.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由①得y 1=21,y 2=22,则x 1=1k 12,x 2=1k 22,所以直线AB 的方程为y-y 1=y 2-y1x 2-x 1(x-x 1),所以y-y 1=2k 2-2k 11k 22-1k 12(x-x 1),即y=-2k 1+k 2(x-1),即直线AB 恒过定点(1,0),设点P 到直线AB 的距离为d ,所以S △PAB S△PCD=12d ·|AB |12d ·|CD |=|AB ||CD |, 当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=k 3(x-1),设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4), 由{y 2=4x ,y =k 3(x -1),消去y 得k 32x 2-(2k 32+4)x+k 32=0,k 3≠0时,Δ>0恒成立, |AB|=√(1+k 32)(x 2-x 1)2=√(1+k 32)·16+16k 32k 34=4(1+k 32)k 32,由{x 24+y 23=1,y =k 3(x -1)消去y 得(3+4k 32)x 2-8k 32x+4k 32-12=0,Δ>0恒成立,则|CD|=√(1+k 32)(x 3-x 4)2=√(1+k 32)·144+144k 32(3+4k 32)2=12(1+k 32)3+4k 32.所以S△PAB S△PCD=4(1+k 32)k 3212(1+k 32)3+4k 32=3+4k 323k 32=1k 32+43>43,当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为x=1,此时|AB|=4,|CD|=3,S △PAB S△PCD=43,所以S △PAB S△PCD的最小值为43.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

人教A版高中数学必修1练习第3章综合素能检测

第三章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1，④函数f(x)＝2x－1的零点是0，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案] C[解析]当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．2．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()A．大于0B．小于0C．等于0 D．无法判断[答案] D[解析]如图(1)和(2)都满足题设条件．3．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是()A．－1 B．0C．－1和0 D．1和0[答案] C[解析]由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1.4．方程lg x＋x－2＝0一定有解的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[答案] B[解析] ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝lg2＞0 ∴f (x )在(1,2)内必有零点．5．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额， ①如果不超过200元，则不予优惠．②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )A ．413.7元B ．513.6元C ．546.6元D ．548.7元[答案] C[解析] 两次购物标价款：168＋4230.9＝168＋470＝638(元)，实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．7．(08·山东文)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a 、b 满足的关系是( )A ．0<a －11，又当x ＝0时，－1<f (0)<0， ∴－1<log a b <0，∴a －1P (2005)D ．P (2007)>P (2008) [答案] D[解析] 机器人程序为前进3步、后退2步，则P (3)＝3，P (5)＝1均正确，即5步等于前进了一个单位长度，∴p (2003)＝P (2000)＋P (3)＝403， P (2005)＝P (2000)＋P (5)＝401， ∴P (2003)>P (2005)正确．又P (2007)＝P (2005)＋P (2)＝403， P (2008)＝P (2005)＋P (3)＝404， ∴P (2007)>P (2008)错误．9．已知函数f (x )的图象如图，则它的一个可能的解析式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝4－4x ＋1C ．y ＝log 3(x ＋1)D ．y ＝x 13(x ≥0)[答案] B[解析] 由于过(1,2)点，排除C 、D ；由图象与直线y ＝4无限接近，但到达不了，即y ＜4知排除A ，∴选B.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如表.A ．(－10，－1)∪(1＋∞)B ．(－∞，－1)∪(3＋∞)C ．(－1,3)D ．(0，＋∞) [答案] C[解析]由表可知f(x)的两个零点为－1和3，当－1＜x＜3时f(x)取正值∴使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是(－1,3)．11．方程4x－3×2x＋2＝0的根的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案] C[解析]由4x－3×2x＋2＝0，得(2x)2－3×2x＋2＝0，解得2x＝2，或2x＝1，∴x＝0，或x＝1.12．若方程m x－x－m＝0(m＞0，且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是() A．m＞1 B．0＜m＜1C．m＞0 D．m＞2[答案] A[解析]方程m x－x－m＝0有两个不同实数根，等价于函数y＝m x与y＝x＋m的图象有两个不同的交点．显然当m＞1时，如图(1)有两个不同交点当O＜m＜1时，如图(2)有且仅有一个交点．故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示．令f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则下列关于f (x )＝0的解叙述正确的是________．①有三个实根； ②x ＞1时恰有一实根； ③当0＜x ＜1时恰有一实根； ④当－1＜x ＜0时恰有一实根；⑤当x ＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)． [答案] ①⑤[解析] f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，12)和(12，1)内，故只有①⑤正确．14．某工程由A 、B 、C 、D 四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、x 、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A 、B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B 、C 完成后，D 可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大为________．[答案] 3 [解析] 如图，设工程所用总天数为f (x )，则由题意得：当x ≤3时，f (x )＝5＋4＝9，当x >3时，f (x )＝2＋x ＋4＝6＋x ，∴f (x )＝⎩⎨⎧9 x ≤36＋x x >3，∵工程所用总天数f (x )＝9， ∴x ≤3，∴x 最大值为3.15．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为______．[答案] (－14，14)[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ a ×12＝4k ＋1＝4∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4k ＝3由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x2y ＝3x ＋1得，⎩⎨⎧y ＝－14y ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4. 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x(x ≤0)log 9x (x ＞0)，则方程f (x )＝13的解为________．[答案] －1或39.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝13x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧log 9x ＝13x ＞0∴x ＝－1或x ＝39三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)方程x 2－1x ＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．[解析] 不存在，因为当x ＜0时，－1x＞0∴x 2－1x ＞0恒成立，故不存在x ∈(－∞，0)，使x 2－1x＝0.18．(本题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？[解析] 设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y 元，则依题意有 y ＝0.10(20x ＋10×250)－0.15×10(x －250) ＝0.5x ＋625，x ∈[250,400]．该函数在[250,400]上单调递增，所以x ＝400时，y max ＝825(元)．答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元． 19．(本题满分12分)电信局为了配合客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系，如下图所示(实线部分)．(注：图中MN ∥CD .)试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A 、B 各付话费多少元？ (2)方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠．[解析] 由图知M (60,98)，N (500,230)，C (500,168)，MN ∥CD . 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A (x )、f B (x )，则f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 98 0≤x ≤60，310x ＋80 x >60.f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧168 0≤x ≤500，310x ＋18 x >500.(1)通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元．(2)因为f B (n ＋1)－f B (n )(n >500)＝310(n ＋1)＋18－310n －18＝310＝0.3(元)．∴方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元． (3)由图知，当0≤x ≤60时，f A (x )<f B (x )，当x >500时，f A (x )>f B (x )，∴当60<x ≤500时，由f A (x )>f B (x )，得x >8803，即当通话时间在(8803，＋∞)内时，方案B 较A 优惠．20．(本题满分12分)若关于x 的方程x 2－2ax ＋2＋a ＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a 的取值范围．(1)方程两根都大于1；(2)方程一根大于1，另一根小于1. [解析] 设f (x )＝x 2－2ax ＋2＋a (1)∵两根都大于1，∴⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4(2＋a )>0a >1f (1)＝3－a >0，解得2<a <3.(2)∵方程一根大于1，一根小于1， ∴f (1)<0 ∴a >3.21．(本题满分12分)某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解析] 设过滤n 次，则2100·⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000即⎝⎛⎭⎫23n ≤120，∴n ≥lg120lg 23＝1＋lg2lg3－lg2≈7.4又∵n ∈N ，∴n ≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．22．(本题满分14分)若二次函数y ＝－x 2＋mx －1的图象与两端点为A (0,3)、B (3,0)的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．[分析] 先求出线段AB 的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式组求得m 的取值范围．[解析] 线段AB 的方程为x ＋y ＝3，由题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3(0≤x ≤3) ①y ＝－x 2＋mx －1 ②在[0,3]上有两组实数解．将①代入②得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0(0≤x ≤3)，此方程有两个不同的实数根．令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4.则二次函数f (x )在x ∈[0,3]上有两个实根，故有：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋1)2－16＞0，0＜m ＋12＜3，f (0)＝4＞0，f (3)＝9－3(m ＋1)＋4≥0，解得3＜m ≤103.故m 的取值范围是(3，103]．[点评] 本题可能会出现下面的错解，令f (x )＝－x 2＋mx －1. ∵f (0)＝－1＜0，f (x )的图象开口向下，线段AB x ＋y ＝3(0≤x ≤3) 如图，要使f (x )的图象与线段AB 有两个不同交点应满足．⎩⎪⎨⎪⎧f (3)≤0f (m 2)＞3－m20＜m 2＜3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤103m ＜－17－1或m ＞17－10＜m ＜6，∴无解．错因是顶点在线段AB 的上方与抛物线与线段AB 有两个交点不等价．。

2020-2021学年人教A版数学必修1课后强化练习解析含答案2-2-2-3

2.2.2.3一、选择题1.已知a>0且a≠1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x和y＝log a(－x)的图象可能是( )[答案] D[解析] 若0<a<1，则y＝a－x单调增，只能是A、C，此时，log a(－x)单调增，排除C，x＝1时，log a(－x)无意义，排除A；∴a>1，此时y＝log a(－x)单调减，排除B，故选D.2.若0<a<1，函数y＝log a(x＋5)的图象不通过( )A.第一象限B．第二象限C.第三象限D．第四象限[答案] A[解析] 将y＝log a x的图象向左平移5个单位，得到y＝log a(x＋5)的图象，故不过第一象限，选A.3.设0<x <y <1，则下列结论中错误．．的是( ) ①2x <2y ②⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23y③log x 2<log y 2 ④log 12x >log 12yA ．①②B ．②③C ．①③D ．②④[答案] B[解析] ∵y ＝2u 为增函数，x <y ，∴2x <2y ，∴①正确； ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23u 为减函数，x <y ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x >⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23y ，∴②错误；∵y ＝log 2x 为增函数，0<x <y <1，∴log 2x <log 2y <0，∴log x 2>log y 2，∴③错误；∵y ＝log 12u 为减函数0<x <y ，∴log 12x >log 12y ，∴④正确．4．如下图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 的取值分别为3、43、35、110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次是( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35[答案] A[解析] 根据对数函数图象的变化规律即可求得． 5．函数y ＝log 12|x ＋2|的增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由y ＝log 12|x ＋2|∵t ＝－(x ＋2)在x ∈(－∞，－2)上是减函数，y ＝log 12t 为减函数，∴此函数在(－∞，－2)上是增函数．6．设a >0且a ≠1，函数y ＝log a x 的反函数与y ＝log a 1x的反函数的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．原点对称[答案] B7．(08·陕西)设函数f (x )＝2x ＋3的反函数为f －1(x )，若mn ＝16(m 、n ∈R ＋)，则f －1(m )＋f －1(n )的值为( )A ．－2B ．1C．4 D．10[答案] A[解析] 解法一：由y＝2x＋3得x＝－3＋log2y，∴反函数f－1(x)＝－3＋log2x，∵mn＝16，∴f－1(m)＋f－1(n)＝－6＋log2m＋log2n＝－6＋log2(mn)＝－6＋log216＝－2.解法二：设f－1(m)＝a，f－1(n)＝b，则f(a)＝m，f(b)＝n，∴mn＝f(a)·f(b)＝2a＋3·2b＋3＝2a＋b＋6＝16，∴a＋b＋6＝4，∴a＋b＝－2.8．若函数f(x)＝log a|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，则f(x)( )A．在(－∞，0)上是增函数B．在(－∞，0)上是减函数C．在(－∞，－1)上是增函数D．在(－∞，－1)上是减函数[答案] C[解析] 当－1<x<0时，0<x＋1<1，又log a|x＋1|>0，∴0<a<1因此函数f(x)＝log a|x＋1|在(－∞，－1)上递增；在(－1，＋∞)上递减．9．已知函数f(x)＝log a(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数y＝f－1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是( )A．增函数B．减函数C ．先增后减D ．先减后增[答案] A[解析] 由于y ＝f －1(x )过点(1,7)，因此y ＝f (x )过点(7,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧log a (4－k )＝0log a (7－k )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3a ＝4，∴f (x )＝log 4(x －3)是增函数．10．已知函数f (x )＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是( )A ．－8≤a ≤－6B ．－8<a <－6C ．－8<a ≤－6D ．a ≤－6[答案] C[解析]⎩⎪⎨⎪⎧3－a ×(－1)＋5>0a6≤－1⇒－8<a ≤－6，故选C.[点评] 不要只考虑对称轴，而忽视了定义域的限制作用．二、填空题11．y ＝log a x 的图象与y ＝log b x 的图象关于x 轴对称，则a 与b 满足的关系式为________．[答案] ab ＝112．方程2x ＋x ＝2，log 2x ＋x ＝2,2x ＝log 2(－x )的根分别为a 、b 、c ，则a 、b、c的大小关系为________．[答案] b>a>c[解析] 在同一坐标系内画出y＝2x，y＝log2x，y＝2－x，y＝log2(－x)的图象．∴b>a>c.13．方程a－x＝log a x(a>0且a≠1)的解的个数为____．[答案] 1[解析] 当a>1时，在同一坐标系中作出y＝log a x和y＝a－x的图象如图，则两个图象只有一个交点．同理，当0<a<1时，可观察出两个图象也只有一个交点．14．已知c1：y＝log a x，c2：y＝log b x，c3：y＝log c x的图象如图(1)所示．则在图(2)中函数y＝a x、y＝b x、y＝c x的图象依次为图中的曲线__________．[答案] m1，m2，m3[解析] 由图(1)知c>1>a>b>0故在图(2)中m 3：y ＝c x ，m 2：y ＝b x ，m 1：y ＝a x . 15．函数y ＝a x ＋1(0<a ≠1)的反函数图象恒过点______． [答案] (1，－1)[解析] 由于y ＝a x ＋1的图象过(－1,1)点，因此反函数图象必过点(1，－1)．三、解答题16．已知函数f (x )＝log 1a (2－x )在其定义域内单调递增，求函数g (x )＝log a (1－x 2)的单调递减区间．[解析] 由于f (x )＝log 1a(2－x )在定义域内递增，所以0<1a<1，即a >1，因此g (x )＝log a (1－x 2)的递减区间为[0,1)．17．我们知道，y ＝a x (a >0且a ≠1)与y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数．只要把其中一个进行指对互化．就可以得到它的反函数的解析式．任意一个函数y ＝f (x )，将x 用y 表示出来能否得到它的反函数？据函数的定义：对于自变量x 的每一个值y 都有唯一确定的值与之对应．如果存在反函数，应是对于y 的每一个值，x 都有唯一确定的值与之对应，据此探究下列函数是否存在反函数？若是，反函数是什么？若否，为什么？(1)y ＝2x ＋1; (2)y ＝x ；(3)y ＝x 2;(4)y ＝2x －1x ＋1.[解析] (1)∵y ＝2x ＋1是单调增函数，由y ＝2x ＋1解得x ＝12(y －1)这时对任意y ∈R ，都有唯一确定的x 与之对应，也就是x 是y 的函数，按习惯用x 表示自变量，y 表示函数，则y ＝2x ＋1的反函数为y＝12(x－1)．(2)同(1)的道理，∵y＝x单调增，也存在反函数，由y＝x解出x＝y2，∴y＝x的反函数为y＝x2，因为这里的x就是y＝x中的y且y≥0，∴x≥0，即反函数为y＝x2(x≥0)．(3)∵x＝±1时，都有y＝1，反过来对于y＝1，x有两个值与之对应，故y ＝x2不存在反函数．(4)由y＝2x－1x＋1解得x＝y＋12－y，对y的每一个值，x都有唯一值与之对应，故存在反函数，反函数为y＝x＋12－x(x≠2)．。

2020_2021学年新教材高中数学模块质量检测含解析新人教A版选择性必修第三册

模块质量检测一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知变量x 与y 满足关系y ＝0.8x ＋9.6，变量y 与z 负相关．下列结论正确的是()A ．变量x 与y 正相关，变量x 与z 正相关B ．变量x 与y 正相关，变量x 与z 负相关C ．变量x 与y 负相关，变量x 与z 正相关D ．变量x 与y 负相关，变量x 与z 负相关2．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()A ．49B ．29C ．12D ．133．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ(满分150分)服从正态分布N(75，σ2)，且P(60<ξ<90)＝0.8，则P(ξ≥90)＝()A ．0.4B ．0.3C ．0.2bD ．0.14．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 8展开式中的常数项为()A ．28B ．－28C ．56D ．－565．已知离散型随机变量X 的分布列为：则随机变量X 的期望为() A ．134B ．114C ．136D ．1166．参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为()A ．360B ．720C ．2160D ．43207．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：患病未患病合计服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 合计3075105附表及公式：α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x α2.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：χ2＝2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）A ．0.025B ．0.010C ．0.005D ．0.0018．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的概率为()A ．332B ．1564C ．532D ．516二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好B ．经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个C．若D(X)＝1，Y＝2X－1，则D(Y)＝4D．设随机变量X～N(μ，7)，若P(X<2)＝P(X>4)，则μ＝310．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是()A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好B．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好C．在经验回归方程y^＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y^平均增加0.2个单位D．若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.9462，则变量y和x之间的负相关很强11．一组数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2x n＋1的平均值为7，方差为4，记3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3x n＋2的平均值为a，方差为b，则()A．a＝7B．a＝11C．b＝12D．b＝912．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是()A．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种D．所有不同分派方案共43种三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.2，则P(X>0)＝________．14．若随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)的值为________．15.某种品牌汽车的销量y()之间具有线性相关关系，样本数据如表所示：经计算得经验回归方程y＝b x＋a的斜率为0.7，若投入宣传费用为8万元，则该品牌汽车销量的预报值为________万辆．16．已知(ax－1)2020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2020x2020(a>0)，得a0＝________．若(a0＋a2＋…＋a2020)2－(a1＋a3＋…＋a2019)2＝1，则a＝________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为32. (1)求n 的值；(2)求展开式中x 4的系数．18．(本小题满分12分)生男生女都一样，女儿也是传后人，由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.(1)完成下列2×2列联表：(2)附：χ2＝n2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(其中n＝a＋b＋c＋d).19．(本小题满分12分)据某县水资源管理部门估计，该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A.为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证．由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测．(1)假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A的概率；(2)在概率中，我们把发生概率非常小(一般以小于0.05为标准)的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的．假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A，试判断“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A”的估计是否正确，并说明理由．参考数据：93＝729，94＝6561，95＝59049.20．(本小题满分12分)在全国科技创新大会上，主席指出为建设世界科技强国而奋斗．某科技公司响应号召基于领先技术的支持，不断创新完善，业内预测月纯利润在短期内逐月攀升．该公司在第1个月至第9个月的月纯利润y(单位：万元)关于月份x 的数据如表：(2)请预测第12个月的纯利润．附：经验回归的方程是：y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －i ＝1n（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －.参考数据：∑i ＝19x i y i ＝1002，i ＝19(x i －x －)2＝60.21．(本小题满分12分)1933年7月11日，中华苏维埃某某国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日，中华人民某某国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节，为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答，已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．(1)求A 恰好答对两个问题的概率； (2)求B 恰好答对两个问题的概率；(3)设A 答对题数为X ，B 答对题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．22．(本小题满分12分)某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x(亿元)与科技改造直接收益y(亿元)的数据统计如下：模型①：y ^＝4.1x ＋11.8；模型②：y ^＝21.3x －14.4；当x>16时，确定y 与x 满足的经验回归方程为：y ^＝－0.7x ＋a.(1)根据下列表格中的数据，比较当0<x ≤16时模型①、②的相关指数R 2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益．(附：刻画回归效果的相关指数R 2＝1－i ＝1n（y i －y ^i ）2i ＝1n（y i －y －）2.)(2)为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16亿元与20亿元时公司实际收益的大小．(附：用最小二乘法求经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数公式b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －·y －∑i ＝1n x 2i －n x －2＝i ＝1n（x i －x －）（y i －y －）i ＝1n（x i －x －）2；a ^＝y －－b ^x －)(3)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X 大幅提高，X 服从正态分布N(0.52，0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元．求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望．(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827， P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9545.)模块质量检测1．解析：根据变量x 与y 满足关系y ＝0.8x ＋9.6可知，变量x 与y 正相关；再由变量y 与z 负相关知，变量x 与z 负相关．故选B .答案：B2．解析：甲独自去一个景点有3种，乙、丙有2×2＝4种，则B “甲独自去一个景点”，共有3×4＝12种，A “三个人去的景点不相同”，共有3×2×1＝6种，概率P(A|B)＝612 ＝12 .故选C .答案：C3．解析：∵数学成绩ξ服从正态分布N(75，σ2)，则正态分布曲线的对称轴方程为x ＝75，又P(60<ξ<90)＝0.8，∴P(ξ≥90)＝12 [1－P(60<ξ<90)]＝12(1－0.8)＝0.1.故选D .答案：D4．解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8 x8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r＝(－1)r C r 8 x 8－4r3，令8－4r 3＝0，解得r ＝6，∴二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 8展开式中的常数项为(－1)6C 68＝28.故选A .答案：A5．解析：由分布列的概率的和为1，可得：缺失数据：1－13 －16 ＝12.所以随机变量X 的期望为：1×13 ＋2×16 ＋3×12 ＝136 .故选C .答案：C6．解析：根据题意，分2步进行分析：①在6人中任选3人，安排在第一排，有C 36 A 33 ＝120种排法；②将剩下的3人全排列，安排在第二排，有A 33 ＝6种排法；则有120×6＝720种不同的排法；故选B . 答案：B7．解析：χ2＝105（10×30－20×45）255×50×30×75 ≈6.109∈(5.024，6.635)所以这种推断犯错误的概率不超过0.025，故选A . 答案：A8．解析：设这个球落入④号球槽为时间A ，落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，所以P(A)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 ＝516 .故选D .答案：D9．解析：对于A ，在残差图中，残差点比较均匀的分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好，选项正确；对于B ，经验回归直线不一定经过样本数据中的一个点，它是最能体现这组数据的变化趋势的直线，选项错误；对于C ，D(Y)＝D(2X －1)＝22D(X)＝4×1＝4，选项正确；对于D ，随机变量X ～N(μ，7)，若P(X<2)＝P(X>4)，则μ＝2＋42＝3，选项正确；综上可得，正确的选项为A ，C ，D ，故选ACD . 答案：ACD10．解析：A 可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A 正确；B 用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大说明拟合效果越好，故B 错误；C 在经验回归方程y ^ ＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y ^平均增加0.2个单位，故C 正确；D 若变量y 和x 之间的相关系数为r ＝－0.946 2，r 的绝对值趋向于1，则变量y 和x 之间的负相关很强，故D 正确．故选ACD .答案：ACD11．解析：设X ＝(x 1，x 2，x 3，…，x n )，数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均值为7，方差为4，即E(2X ＋1)＝7，D(2X ＋1)＝4，由离散型随机变量均值公式可得E(2X ＋1)＝2E(X)＋1＝7，所以E(X)＝3，因而3x 1＋2，3x 2＋2，3x 3＋2，…，3x n ＋2的平均值为a ＝E(3X ＋2)＝3E(X)＋2＝3×3＋2＝11；由离散型随机变量的方差公式可得 D(2X ＋1)＝4D(X)＝4，所以D(X)＝1，因而3x 1＋2，3x 2＋2，3x 3＋2，…，3x n ＋2的方差为b ＝D(3X ＋2)＝9D(X)＝9，故选BD .答案：BD12．解析：对于选项A ：若C 企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共有24＝16种，若C 企业派1名医生则有C 14 ·23＝32种，所以共有16＋32＝48种．对于选项B ：若每家企业至少分派1名医生，则有C 24 C 12 C 11A 22·A 33 ＝36种．对于选项C ：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，若甲企业分2人，则有A 33 ＝6种；若甲企业分1人，则有C 23 C 11 A 22 ＝6种，所以共有6＋6＝12种．对于选项D ：所有不同分派方案共有34种．故选ABC .答案：ABC13．解析：因为随机变量X ～N(1，σ2)，P(X>2)＝0.2，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.2，因此P(X>0)＝1－P(X ≤0)＝1－0.2＝0.8.答案：0.814．解析：由题意可得：16 ＋p ＋13 ＝1，解得p ＝12 ，因为E(X)＝2，所以：0×16 ＋2×12 ＋a ×13＝2，解得a ＝3. D(X)＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1. D(2X －3)＝4D(X)＝4. 答案：415．解析：由题意可得x －＝3＋4＋5＋64 ＝4.5；y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5；经验回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 的斜率为0.7，可得y ^ ＝0.7x ＋a ^，所以3.5＝0.7×4.5＋a ^ ，可得a ^ ＝0.35，经验回归方程为：y ^＝0.7x ＋0.35，投入宣传费用为8万元，则该品牌汽车销量的预报值为：0.7×8＋0.35＝5.95(万辆). 答案：5.9516．解析：已知(ax －1)2 020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 020x 2 020(a>0)，令x ＝0，可得a 0＝1.令x ＝1得，(a －1)2 020＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 020，令x ＝－1得，(－a －1)2 020＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 020，而(a 0＋a 2＋…＋a 2 020)2－(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 020)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 020)＝(a －1)2 020(－a －1)2 020＝[(a －1)(－a －1)]2 020＝(a 2－1)2 020＝1，解得a ＝2 (负值和0舍).答案：1217．解析：(1)由题意可得，2n ＝32，解得n ＝5；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5 ，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5 x10－3r . 由10－3r ＝4，得r ＝2. ∴展开式中x 4的系数为C 25 ＝10.18．解析：(1)因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5＝100.因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525＝105. 2×2列联表如下：(2)由2×2列联表得：χ2＝200（60×55－45×40）2105×95×100×100 ＝600133≈4.511>3.841＝x 0.05故在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为是否生二孩与头胎的男女情况有关． 19．解析：(1)假设估计值是正确的，即随机抽一口水井，含有杂质A 的概率p ＝0.1.抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质A 的概率P ＝1－(1－0.1)5＝0.409 51；(2)在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A 的概率为C 35 ·(0.1)3·(0.9)2＝0.0081<0.05.说明在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质A 是小概率事件，它在一次试验中几乎是不可能发生的，说明“该县10%的乡村饮用水井中含有杂质A ”的估计是错误的．20．解析：(1)x －＝19 (1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝5，y －＝19(13＋14＋17＋18＋19＋23＋24＋25＋27)＝20.b ^ ＝∑i ＝19x i y i －9x － y－∑i ＝19（x i －x －）2＝1 002－9×5×2060＝1.7.a ^＝y －－b ^x －＝20－1.7×5＝11.5.∴y 关于x 的经验回归方程为y ＝1.7x ＋11.5； (2)由y ＝1.7x ＋11.5，取x ＝12，得y ＝1.7×12＋11.5＝31.9(万元). 故预测第12个月的纯利润为31.9万元．21．解析：(1)A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． A 恰好答对两个问题的概率为：P 1＝C 24 C 12C 36＝35.(2)B 恰好答对两个问题的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49. (3)X 所有可能的取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 14 C 22 C 36 ＝15；P (X ＝2)＝C 24 C 12 C 36 ＝35；P (X ＝3)＝C 34 C 02 C 36＝15.所以E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，随机变量Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以E (Y )＝3×23＝2.D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.D (Y )＝3×23×13＝23.因为E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定，所以选择投票给学生A .22．解析：(1)由表格中的数据，有182.4>79.2，即182.4∑i ＝17（y i －y －）2>79.2∑i ＝17（y i －y －）2，所以模型①的R 2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．所以当x ＝16亿元时，科技改造直接收益的预测值为： y ^＝21.3×16 －14.4＝70.8(亿元).(2)由已知可得：x －－20＝1＋2＋3＋4＋55＝3，∴x －＝23，y －－60＝8.5＋8＋7.5＋6＋65 ＝7.2，∴y －＝67.2，∴a ＝y －＋0.7x －＝67.2＋0.7×23＝83.3， ∴当x>16亿元时，y 与x 满足的经验回归方程为： y ^＝－0.7x ＋83.3，∴当x ＝20亿元时，科技改造直接收益的预测值 y ^＝－0.7×20＋83.3＝69.3，∴当x ＝20亿元时，实际收益的预测值为 69．3＋10＝79.3亿元>70.8亿元，∴科技改造投入20亿元时，公司的实际收益更大． (3)∵P(0.52－0.02<X<0.52＋0.02)＝0.954 5， P(X>0.50)＝1＋0.954 52 ＝0.977 25，P(X ≤0.5)＝1－0.954 52 ＝0.022 75，∵P(0.52－0.1<X<0.52＋0.1)＝0.682 7， ∴P(X>0.53)＝1－0.682 72＝0.158 65，∴P(0.50<X ≤0.53)＝0.977 25－0.158 65＝0.818 6，设每台发动机获得的奖励为Y(万元)，则Y 的分布列为：∴每台发动机获得奖励的数学期望E(Y)＝0×0.022 75＋2×0.818 6＋4×0.158 65＝2.271 8(万元).。

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册同步练习：第三章真题分类专练 Word版含解析

新20版练B1数学人教A 版第三章真题分类专练题组1 函数的定义域和值域1.(北京高考)函数f (x )=xx -1(x ≥2)的最大值为。

答案：2解析：解法一(分离常数法):依题意知f (x )=xx -1=x -1+1x -1=1+1x -1,因为x ≥2,所以x -1≥1,0<1x -1≤1,所以1+1x -1∈(1,2]。

故当x =2时,函数f (x )=xx -1取得最大值2。

解法二(反解法):令y =xx -1,所以xy -y =x ,所以x =yy -1。

因为x ≥2,所以yy -1≥2,所以yy -1-2=2-yy -1≥0,解得1<y ≤2。

故函数f (x )的最大值为2。

2.(江苏高考)函数y =√3-2x -x 2的定义域是。

答案：[-3,1]解析：要使函数y =√3-2x -x 2有意义,则有3-2x -x 2≥0,解得-3≤x ≤1,则函数y =√3-2x -x 2的定义域是[-3,1]。

3.(上海学考)函数y =x 2-2x +4,x ∈[0,2]的值域为。

答案：[3,4]解析：因为y =(x -1)2+3,0≤x ≤2,所以x =1时,y min =3;x =0或2时,y max =4,所以y ∈[3,4]。

4.(上海学考)函数f (x )=√x -2的定义域为。

答案：[2,+∞)解析：因为x -2≥0,所以x ≥2,故填[2,+∞)。

题组2 分段函数及其应用5.(山东学考)已知函数f (x )={x (x +1),x ≥0,2x -1,x <0,则f (3)= 。

答案：12解析：f (3)=3×(3+1)=12。

6.(2017·天津高考)已知函数f (x )={x 2-x +3,x ≤1,x +2x ,x >1。

设a ∈R ,若关于x 的不等式f (x )≥|x2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( )。

人教A版数学必修一第3章综合素能检测.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013～2014学年度河北孟村回民中学月考试题)若函数f (x )在[a ，b ]上连续，且同时满足f (a )·f (b )＜0，f (a )·f (a ＋b2)＞0.则( )A ．f (x )在[a ，a ＋b2]上有零点B ．f (x )在[a ＋b2，b ]上有零点C ．f (x )在[a ，a ＋b2]上无零点D ．f (x )在[a ＋b2，b ]上无零点[答案] B[解析] 由已知，易得f (b )·f (a ＋b 2)＜0，因此f (x )在[a ＋b2，b ]上一定有零点，但在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．2．函数y ＝1＋1x 的零点是( )A ．(－1,0)B ．x ＝－1C ．x ＝1D ．x ＝0[答案] B3．下列函数中，增长速度最快的是( ) A ．y ＝20x B ．y ＝x 20 C ．y ＝log 20x D ．y ＝20x [答案] D4．已知函数f (x )＝2x －b 的零点为x 0，且x 0∈(－1,1)，那么b 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－1,1)C ．(－12，12)D ．(－1,0)[答案] A[解析] f (x )＝2x －b ＝0，得x 0＝b2，所以b2∈(－1,1)，所以b ∈(－2,2)．5．函数f (x )＝ax ＋b 的零点是－1(a ≠0)，则函数g (x )＝ax 2＋bx 的零点是( ) A ．－1 B ．0 C ．－1和0 D ．1和0[答案] C[解析] 由条件知f (－1)＝0，∴b ＝a ，∴g (x )＝ax 2＋bx ＝ax (x ＋1)的零点为0和－1. 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6m－4－6－6－4n6由此可以判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (－3)＝6＞0，f (－1)＝－4＜0， ∴f (－3)·f (－1)＜0.∵f (2)＝－4＜0，f (4)＝6＞0，∴f (2)·f (4)＜0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)． 7．用二分法求方程f (x )＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f (32)＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈(1，32)B ．x 0＝－32C ．x 0∈(32，2)D ．x 0＝1[答案] C[解析] 由于f (2)·f (32)＜0，则x 0∈(32，2)．8．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y0.240.5112.023.988.02则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a ，b 为待定系数)( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b x C ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋bx[答案] B[解析] 代入数据检验，注意函数值．9．设a ，b ，k 是实数，二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足：f (k －1)与f (k )异号，f (k ＋1)与f (k )异号．在以下关于f (x )的零点的说法中，正确的是( )A ．该二次函数的零点都小于kB ．该二次函数的零点都大于kC ．该二次函数的两个零点之间差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内 [答案] D[解析] 由题意得f (k －1)·f (k )＜0，f (k )·f (k ＋1)＜0，由零点的存在性定理可知，在区间(k －1，k )，(k ，k ＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D 正确．10．(2013～2014山东梁山一中期中试题)若函数f (x )＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f (x )－10.875－0.29690.2246－0.05151那么方程x 3－x －1＝0的一个近似根(精确度为0,1)为( ) A ．1.2 B ．1.3125 C ．1.4375 D ．1.25[答案] B[解析] 由于f (1.375)＞0，f (1.3125)＜0，且 1．375－1.3125＜0.1，故选B.11．(2013～2014河北广平县高一期中试题)“龟兔赛跑”讲过了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路线，t 为时间，则图中与故事情节相吻合的是( )[答案] D12．已知函数f (x )的图象如图，则它的一个可能的解析式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝4－4x ＋1C ．y ＝log 3(x ＋1)D ．y ＝x 13(x ≥0)[答案] B[解析] 由于过(1,2)点，排除C 、D ；由图象与直线y ＝4无限接近，但到达不了，即y ＜4知排除A ，∴选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．如函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则另一个零点是________． [答案] 3[解析] 代入x ＝0得m ＝－3.∴f (x )＝x 2－3x ，则x 2－3x ＝0得x 1＝0，x 2＝3 因此另一个零点为3.14．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．[答案] (2,3)[解析] 设f (x )＝x 3－3x －5，则f (2)＜0，f (3)＞0，f (4)＞0，有f (2)f (3)＜0，则下一个有根区间是(2,3)．15．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，…，x 2013，则x 1＋x 2＋…＋x 2013＝________.[答案] 0[解析] 由于奇函数图象关于原点对称，因此零点是对称，所以x 1＋x 2＋…＋x 2013＝0. 16.已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示．令f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则下列关于f (x )＝0的解叙述正确的是________．①有三个实根； ②x ＞1时恰有一实根； ③当0＜x ＜1时恰有一实根； ④当－1＜x ＜0时恰有一实根；⑤当x ＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)． [答案] ①⑤[解析] f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，12)和(12，1)内，故只有①⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数． [解析] 解法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1＜0，f (2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3＞0， ∴函数f (x )在区间(0,2)上必定存在零点．又f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故函数f (x )有且只有一个零点．解法二：在同一坐标系内作出函数h (x )＝2－2x 和g (x )＝lg(x ＋1)的图象，如图所示，由图象知y ＝lg(x ＋1)和y ＝2－2x 有且只有一个交点，即f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．18．(本小题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？[解析] 设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y 元，则依题意有 y ＝0.10(20x ＋10×250)－0.15×10(x －250) ＝0.5x ＋625，x ∈[250,400]．该函数在[250,400]上单调递增，所以x ＝400时，y max ＝825(元)．答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元． 19．(本小题满分12分)某公司今年1月份推出新产品A ，其成本价为492元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：销售价x (元/件) 650 662 720 800 销售量y (件)350333281200由此可知，销售量y (件)与销售价x (元/件)可近似看作一次函数y ＝kx ＋b 的关系(通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确)．试问：销售价定为多少时，1月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量．[解析] 由表可知⎩⎪⎨⎪⎧ 350＝650k ＋b ，200＝800k ＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1000，故y ＝－x ＋1000. 设1月份利润为W ，则W ＝(x －492)(－x ＋1000)＝－x 2＋1492x －492000＝－(x －746)2＋64516，∴当x ＝746，W max ＝64516，此时销售量为1000－746＝254件，即当销售价定为746元/件时，1月份利润最大，最大利润为64516元，此时销售量为254件．20．(本小题满分12分)用二分法求f (x )＝x 3＋x 2－2x －2在x 的正半轴上的一个零点(误差不超过0.1)．[解析] 显然f (2)＝23＋22－2×2－2＝6＞0. 当x ＞2时f (x )＞0，又f (0)＝－2＜0，f (1)＝－2＜0，故f (x )在(1,2)区间内有零点.区间中点值中点函数值 [1,2] 1.5 0.625 [1,1.5] 1.25 －0.984 [1.25,1.5] 1.375 －0.260 [1.375,1.5] 1.438 0.165 [1.375,1.438]因为|1.375－1.438|＝0.063＜0.1，故f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的零点为x ＝1.4.21．(本小题满分12分)某城市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，但不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)．(1)求f (x )和g (x )；(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？ [解析] (1)f (x )＝5x (15≤x ≤40)；g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤30，2x ＋30，30＜x ≤40.(2)由f (x )＝g (x )，得⎩⎪⎨⎪⎧ 15≤x ≤30，5x ＝90或⎩⎪⎨⎪⎧30＜x ≤40，5x ＝2x ＋30，即x ＝18或x ＝10(舍)．当15≤x ＜18时，f (x )－g (x )＝5x －90＜0，即f (x )＜g (x )，应选甲家；当x ＝18时，f (x )＝g (x )，即可以选甲家也可以选乙家．当18＜x ≤30时，f (x )－g (x )＝5x －90＞0，即f (x )＞g (x )，应选乙家．当30＜x ≤40时，f (x )－g (x )＝5x －(2x ＋30)＝3x －30＞0，即f (x )＞g (x )，应选乙家．综上所述：当15≤x ＜18时，选甲家；当x ＝18时，可以选甲家也可以选乙家；当18＜x ≤40时，选乙家．22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[分析] (1)根据10年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解． (2)根据到今年为止，森林剩余面积为原来的22，列方程求解． (3)求出第n 年后森林剩余面积，根据森林面积至少要保留原面积的14列不等式求解．[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12.解得x ＝1－(12)110 .(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ，即(12)m10 ＝(12)12 ，m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍伐了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， (12)n 10 ≥(12)32 ，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．[点评] 通过本题，重点强调高次方程、指数不等式的解法．对于高次方程应让学生明确，主要是开方运算；对于指数不等式，强调化为同底，应用指数函数的单调性求解，本题中化为同底是一大难点．。

人教A版数学必修一第三章综合素能检测.doc

第三章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1；④函数f(x)＝2x－1的零点是0.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．42．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值() A．大于0B．小于0C．等于0 D．无法判断3．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx 的零点是()A．－1 B．0C．－1和0 D．1和04．方程lg x＋x－2＝0一定有解的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)5．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，①如果不超过200元，则不予优惠．②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )A ．413.7元B ．513.6元C ．546.6元D ．548.7元6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1]log 81x ，x ∈(1，＋∞)，则方程f (x )＝14的解为( )A.74B ．3C ．3或74D ．无解7．(08·山东文)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a 、b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1B ．0P (2 005)D ．P (2 007)>P (2 008)9．已知函数f (x )的图象如图，则它的一个可能的解析式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝4－4x ＋1C ．y ＝log 3(x ＋1)D ．y ＝x 13 (x ≥0) 10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如表.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 …y －24 －10 0 6 8 6 0 －10 －24 …则使ax 2＋bx ＋c ＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－10，－1)∪(1＋∞)B ．(－∞，－1)∪(3＋∞)C ．(－1,3)D ．(0，＋∞)11．方程4x －3×2x ＋2＝0的根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．312．若方程m x －x －m ＝0(m ＞0，且m ≠1)有两个不同实数根，则m 的取值范围是( )A ．m ＞1B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞2第二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示．令f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则下列关于f (x )＝0的解叙述正确的是________．①有三个实根；②x ＞1时恰有一实根；③当0＜x ＜1时恰有一实根；④当－1＜x ＜0时恰有一实根；⑤当x ＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．14．某工程由A 、B 、C 、D 四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、x 、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A 、B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B 、C 完成后，D 可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大为________．15．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为______．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤0)log 9x (x ＞0)，则方程f (x )＝13的解为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)方程x 2－1x ＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．18．(本题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？19．(本题满分12分)若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．(1)方程两根都大于1；(2)方程一根大于1，另一根小于1.20．(本题满分12分)某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)21．(本小题满分12分)某地区2000年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表，根据此表所给的信息进行预测：(1)如果不采取任何措施，那么到2015年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷？(2)如果从2005年底后采取植树造林措施，每年改造0.6万公顷的沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积将减少到90万公顷？22．(本小题满分12分)某电器公司生产A型电脑.2007年这种电脑每台平均生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价，从2008年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低，到2011年，尽管A型电脑出厂价仅是2007年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．(1)求2011年每台A型电脑的生产成本；(2)以2007年生产成本为基数，求2007～2011年生产成本平均每年降低的百分率(精确到1%，注：5≈2.236，6≈2.449)．观测时间2001年底2002年底2003年底2004年底2005年底比原有面积增加数(万公顷)0.200 0 0.400 0 0.600 1 0.799 9 1.000 1详解答案1[答案] C[解析]当log 3(x －1)＝0时，x －1＝1，∴x ＝2，故③错，其余都对．2[答案] D[解析] 如图(1)和(2)都满足题设条件．3[答案] C[解析] 由条件知f (－1)＝0，∴b ＝a ，∴g (x )＝ax 2＋bx ＝ax (x ＋1)的零点为0和－1.4[答案] B[解析] ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝lg2＞0∴f (x )在(1,2)内必有零点．5[答案] C[解析] 两次购物标价款：168＋4230.9＝168＋470＝638(元)，实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．6[答案] B[解析] 当x ≤1时 2－x ＝14∴x ＝74(舍)当x >1时log 81x ＝14∴x ＝3，故选B.7[答案] A[解析] 令g (x )＝2x ＋b －1，则函数g (x )为增函数，又由图象可知，函数f (x )为增函数，∴a >1，又当x ＝0时，－1<f (0)<0，∴－1<log a b <0，∴a －1P (2 005)正确．又P (2 007)＝P (2 005)＋P (2)＝403，P (2 008)＝P (2 005)＋P (3)＝404，∴P (2 007)>P (2 008)错误．9[答案] B[解析] 由于过(1,2)点，排除C 、D ；由图象与直线y ＝4无限接近，但到达不了，即y ＜4知排除A ，∴选B.10[答案] C[解析] 由表可知f (x )的两个零点为－1和3，当－1＜x ＜3时f (x )取正值∴使ax 2＋bx ＋c ＞0成立的x 的取值范围是(－1,3)．11[答案] C[解析] 由4x －3×2x ＋2＝0，得(2x )2－3×2x ＋2＝0，解得2x ＝2，或2x ＝1，∴x ＝0，或x ＝1.12[答案] A[解析] 方程m x －x －m ＝0有两个不同实数根，等价于函数y ＝m x 与y ＝x ＋m 的图象有两个不同的交点．显然当m ＞1时，如图(1)有两个不同交点当0＜m ＜1时，如图(2)有且仅有一个交点．故选A.13[答案] ①⑤[解析] f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，12)和(12，1)内，故只有①⑤正确．14[答案] 3[解析] 如图，A (2天)→C (x )天B (5天)D (4天)设工程所用总天数为f (x )，则由题意得：当x ≤3时，f (x )＝5＋4＝9，当x >3时，f (x )＝2＋x ＋4＝6＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧9 x ≤36＋x x >3， ∵工程所用总天数f (x )＝9，∴x ≤3，∴x 最大值为3.15[答案] (－14，14)[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ a ×12＝4k ＋1＝4∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4k ＝3 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2y ＝3x ＋1得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－14y ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4. 16[答案] －1或39.[解析] 由条件知⎩⎨⎧ 3x ＝13x ≤0或⎩⎨⎧ log 9x ＝13x ＞0∴x ＝－1或x ＝3917[解析] 不存在，因为当x ＜0时，－1x ＞0∴x 2－1x ＞0恒成立，故不存在x ∈(－∞，0)，使x 2－1x ＝0.18[解析] 设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有y ＝0.10(20x ＋10×250)－0.15×10(x －250)＝0.5x ＋625，x ∈[250,400]．该函数在[250,400]上单调递增，所以x ＝400时，y max ＝825(元)．答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．19[解析] 设f (x )＝x 2－2ax ＋2＋a(1)∵两根都大于1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a 2－4(2＋a )>0a >1f (1)＝3－a >0，解得2<a <3.(2)∵方程一根大于1，一根小于1，∴f (1)<0 ∴a >3.20[解析] 设过滤n 次，则2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤11 000即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，∴n ≥lg 120lg 23＝1＋lg2lg3－lg2≈7.4 又∵n ∈N ，∴n ≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．21[解析] (1)由表观察知，沙漠面积增加数y 与第x 年年底之间的图象近似地为一次函数y ＝kx ＋b 的图象．将x ＝1，y ＝0.2与x ＝2，y ＝0.4代入y ＝kx ＋b ，求得k ＝0.2，b ＝0，所以y ＝0.2x (x ∈N )．因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2015年底沙漠面积大约为95＋0.2×15＝98(万公顷)．(2)设从2011年算起，第x 年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷．由题意，得95＋0.2x －0.6(x －5)＝90，解得x ＝20(年)．故到2020年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷．22[解析] (1)设2011年每台电脑的生产成本为x 元，依据题意，有x (1＋50%)＝5000×(1＋20%)×80%，解得x ＝3 200(元)．(2)设2007～2011年间每年平均生产成本降低的百分率为y ，则依据题意，得5000(1－y )4＝3 200，解得y 1＝1－255，y 2＝1＋255(舍去)．所以y ＝1－255≈0.11＝11%.所以，2011年每台电脑的生产成本为3200元，2007年到2011年生产成本平均每年降低11%.。

2020-2021学年人教A数学必修1配套训练：第三章函数的应用全章素养整合

单元综合检测(三)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y ＝1＋1x 的零点是( )A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．0解析：由1＋1x ＝0，得1x ＝－1，∴x ＝－1.答案：B2．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )解析：由二分法的定义易知选A. 答案：A3．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( )解析：由题意h ＝20－5t (0≤t ≤4)，其图象为B. 答案：B4．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … y ＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … y ＝x 20.040.361.01.963.244.846.769.011.56…A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)解析：构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8，2.2)上．答案：C5．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A．200双B．400双C．600双D．800双解析：要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，即10x－(5x＋4 000)≥0，解得x≥800.答案：D6．某工厂12年来某产品总产量S与时间t(年)的函数关系如图所示，下列四种说法：①前三年总产量增长的速度越来越快；②前三年总产量增长的速度越来越慢；③第3年后至第8年这种产品停止生产了；④第8年后至第12年间总产量匀速增加．其中正确的说法的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：由图可知，前三年是由快变慢，第3～第8年总产量未发生变化，即停止生产．第8～第12年体现为匀速增长(直线模型)故②、③、④正确．答案：C7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于()A．55台B．120台C．150台D．180台解析：设产量为x台，利润为S万元，则S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3 000)＝－0.1x2＋36x－3 000＝－0.1(x－180)2＋240，则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．答案：D8．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12＜0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：由f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，知方程f (x )＝0在⎣⎡⎦⎤－12，12内有实数根，而f (x )在[－1,1]上是增函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－12<0，f ⎝⎛⎭⎫12>0，易知方程f (x )＝0在[－1,1]内有唯一实数根．答案：C9．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：在同一直角坐标系下作出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2的图象，如图所示．由图知f (x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选C. 答案：C10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( ) A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值D ．不大于0解析：∵函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，均有f (x )>0，而0<x 1<x 0，∴f (x 1)>0. 答案：A11．如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记正方形ABCD 位于直线x ＝t (t ＞0)左侧部分的面积为f (t )，则f (t )的大致图象是( )解析：由题意得，f (t )＝⎩⎨⎧t 2，0＜t ≤22，－(t －2)2＋1，22＜t ＜2，1，t ≥2，故其图象为C. 答案：C12．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，b ⎝⎛⎭⎫0<b ≤32为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形，如图所示，则这些图形中实线部分总长度的最小值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：由题意知实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 是关于b 的一次函数，一次项系数2π－8<0，故l 关于b 的函数单调递减．因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l min ＝(2π－8)×32＋12＝3π.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．已知函数f (x )＝3mx －4，若在区间[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是__________．解析：因为函数f (x )在[－2,0]上存在零点x 0使f (x 0)＝0，且f (x )单调，所以f (－2)·f (0)≤0，所以(－6m －4)×(－4)≤0，解得m ≤－23.所以，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－23. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－23 14．若函数f (x )＝|4x －x 2|－a 的零点个数为3，则a ＝__________.解析：作出函数y ＝|x 2－4x |与函数y ＝4的图象(图略)，可发现它们恰有3个交点．答案：415．我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每天涨停、后两日每天跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌情况是__________(用数字作答)．解析：(1＋10%)2·(1－10%)2＝0.980 1, 而0.980 1－1＝－0.019 9，即跌了1.99%. 答案：跌了1.99%16．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N *)，则n ＝__________. 解析：设g (x )＝ln x ，h (x )＝－3x ＋7，则函数g (x )和函数h (x )的图象交点的横坐标是函数f (x )的零点．在同一坐标系中画出函数g (x )和函数h (x )的图象，如图所示．由图象知函数f (x )的零点属于区间⎝⎛⎭⎫1，73，又f (1)＝－4＜0，f (2)＝－1＋ln 2＝ln 2e ＜0，f (3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f (x )的零点属于区间(2,3)．所以n ＝2. 答案：2三、解答题(本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)设函数f (x )＝e x －m －x ，其中m ∈R ，当m >1时，判断函数f (x )在区间(0，m )内是否存在零点．解析：f (x )＝e x－m－x ，所以f (0)＝e －m －0＝e －m >0，f (m )＝e 0－m ＝1－m .又m >1，所以f (m )<0，所以f (0)·f (m )<0.又函数f (x )的图象在区间[0，m ]上是一条连续曲线，故函数f (x )＝e x－m－x (m >1)在区间(0，m )内存在零点．18．(12分)用二分法求方程2x ＋x －8＝0在区间(2,3)内的一个实数解．(精确度为0.1) 解析：设函数f (x )＝2x ＋x －8，∵f (2)＝22＋2－8＝－2＜0，f (3)＝23＋3－8＝3＞0，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.156 85(2,2.5) 2.25 －0.993 2 (2.25,2.5) 2.375 －0.437 6 (2.375,2.5)2.437 5－0.145 5∵|2.437 5－∴方程2x ＋x －8＝0的一个实数解近似值为2.437 5.19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解析：(1)由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0≤x ≤10，1.5＋2log 5(x －9)，x ＞10.(2)由题意知1.5＋2log 5(x －9)＝5.5， 2log 5(x －9)＝4， log 5(x －9)＝2，所以x －9＝52，解得x ＝34.即老江的销售利润是34万元．20．(12分)如图，直角梯形OABC 位于直线x ＝t 右侧的图形的面积为f (t )．(1)试求函数f (t )的解析式； (2)画出函数y ＝f (t )的图象．解析：(1)当0≤t ≤2时， f (t )＝S 梯形OABC －S △ODE ＝(3＋5)×22－12t ·t ＝8－12t 2，当2＜t ≤5时，f (t )＝S 矩形DEBC ＝DE ·DC ＝2(5－t )＝10－2t ，所以f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧8－12t 2 (0≤t ≤2)10－2t (2＜t ≤5).(2)图象．21．(12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t (天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格(单位：元)为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格(单位：元)为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t (天)的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值．解析：(1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2t ＋200)⎝⎛⎭⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N . (2)当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，当t ＝20时，S 的最大值为6 400；当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数，当t ＝31时，S 的最大值是6 210.∵6 210＜6 400，∴当销售时间为20天时，日销售额S 有最大值6 400元．22．(12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q (单位：元/10 kg)与上市时间t (单位：天)的数据情况如下表：t 50 110 250 Q150108150(1)Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a log b t ；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解析：(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a log b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得：⎩⎪⎨⎪⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c .解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10 kg)．。

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题含解析

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1，由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1，则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)，则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →，故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )，则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )，因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0，所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)，所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。

【新教材】2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册单元素养评价(三)

单元素养评价(三)(第四章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1.(2022·兰州高一检测)下列函数中，随x的增大，其增大速度最快的是( )A.y=0.001e xB.y=1 000ln xC.y=x1 000D.y=1 000·2x【解析】选A.在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快；指数函数中，底数越大，增长速度越快.2.= ( )A.B .C .D .【解析】选C.====.3.若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点四周的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：x 2 2.5 2.25 2.375 2.312 5 2.281 25 f(x)的近似值-0.369 10.334 0-0.011 90.162 40.075 60.031 9那么方程x-3+log3x=0的一个近似根(精确度0.1)为( ) A.2.128 B.2.249 C.2.26 D.2.29【解析】选C.依据题意，方程x-3+log3x=0的根就是函数f(x)=log3x+x-3的零点，由表格可得：f(2.25)≈-0.011 9，且f(2.281 25)≈0.031 9，有f(2.25)·f(2.281 25)<0且|2.281 25-2.25|=0.031 25<0.1，则函数f(x)的零点在区间(2.25，2.281 25)中，即方程x-3+log3x=0的一个近似根在区间(2.25，2.281 25)中，分析选项：只有C选项的数值在区间(2.25，2.281 25)中，则方程x-3+log3x=0的一个近似根为2.26.4.函数y=a x-2 019+2 018(a>0且a≠1)的图象必经过点( )A.(2 019，2 019)B.(2 018，2 018)C.(2 018，2 019)D.(2 019，2 018)【解析】选A.对于函数y=a x-2 019+2 018(a>0且a≠1)，令x-2 019=0，求得x=2 019，当x=2 019时，y=2 019，可得它的图象必经过点(2 019，2 019).5.(2022·漳州高一检测)今有一组试验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.0 7.5 12 18.1现预备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A.y=2x-2B.y=C.y=2x-1D.y=log2x【解析】选B.由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排解A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排解C.6.(2022·枣庄高一检测)围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能消灭黑、白、空三种状况，因此有3361种不同的状况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也争辩过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列最接近的是(lg 3≈0.477) ( ) A.10-26B.10-35C. 10-36 D. 10-25【解析】选C.令10x =，即10x+208=3361，两边同时取以10为底的对数，得lg 10x+208=lg 3361，即x+208=361×lg3≈361×0.477=172.197，则x=-35.803，所以四个选项中最接近的是10-36，故选C.7.已知a=log52，b=log0.50.3，c=0.50.3，则a，b，c的大小关系是( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a【解析】选B.由于a=log52，b=log0.50.3，c=0.50.3，所以a=log52<log 5==0.5<c=0.50.3<0.50=1，b=log0.50.3=lo >lo=log23>log22=1，所以a<c<b.8.若函数f(x)=在(1，3)上是增函数，则关于x的不等式a x-1>1的解集为( )A.{x|x>1}B.{x|x<1}C.{x|x>0}D.{x|x<0} 【解析】选A.令y=2x2-3x+1，则其对称轴是x=，开口向上，故函数在(1，3)上递增，而f(x)在(1，3)上递增，依据复合函数同增异减的原则，a>1，则a x-1>1=a0，故x-1>0，解得：x>1.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.设f(x)=若f(x)-a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值可以是( )A.B.1 C.-1 D.2【解析】选AB.作出函数f(x)=的图象如图：又f(x)-a=0有三个不同的实数根，所以函数f(x)=与直线y=a有三个交点，由图象可得：0<a≤1.所以a 可以取，1.10.已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3，则下列选项中正确的是( )A.f(4)=-3B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点C.函数y=f(x)的最小值为-4D.函数y=f(x)的最大值为4【解析】选ABC.由f(x)=(log2x)2-log2x2-3，得f(4)=(log24)2-2log24-3=-3，即选项A正确，令(log2x)2-log2x2-3=0，即(log2x)2-2log2x-3=0，解得log2x=3或log2x=-1，即x=8或x=，即选项B正确，由f(x)=(log2x)2-2log2x-3=(log2x-1)2-4≥-4，即函数f(x)的最小值为-4，无最大值，即选项C正确，选项D错误.11.若a，b是实数，其中a>0，且a≠1，则满足log a>1的选项是( )A.a>1，b>0B.a>1，b<0C.0<a<1，0<b<aD.0<a<1，b<0【解析】选BC.当a>1时，a-b>a，所以b<0；当0<a<1时，0<a-b<a，所以0<b<a.12.已知函数f =g =f+x，若g有且仅有一个零点，则a 的取值可以是( )A.-3B.-2C.0D.1【解析】选CD.g(x)有且仅有一个零点等价于f=-x有且仅有一个根，如图，结合y=f，y=-x的图象可知，e0+a≥0，a≥-1，故a的取值可以是0，1.故选CD.光速解题：本题可以用逐一代入a的值，作图验证的方法解题.三、填空题(每小题5分，共20分)13.若100a=5，10b=2，则2a+b=_______.【解析】由题意知，a==lg 5，b=lg 2，所以2a+b=lg 5+lg 2=1.答案：114.函数f =的值域为_______.【解析】当x<1时，0<f<2；当x≥1时，f≤0.故函数的值域为.答案：15.函数f=1+log a x的图象恒过定点A，则点A的坐标为_______，若点A在直线mx+ny-2=0上，其中mn>0，则+的最小值为_______.【解析】函数恒过定点A，故m+n=2，=×=≥×=2.答案： 216.已知函数f=ln x+e x-m，函数f 在区间上是_______(填“增”或“减”)函数，若函数f 在区间上有零点，则m的取值范围是_______. 【解析】由于在区间上随着x的增大，ln x，e x均增大，故函数f是增函数；由题意知<0，解得e<m<1+e e.答案：增四、解答题(共70分)17.(10分)计算下列各式的值：(1)-++ .(2)lg 500+lg -lg 64+50(lg 2+lg 5)2.【解析】(1)原式=+1-1++e-=+e.(2)原式=lg 5+lg 102+lg 23-lg 5-lg 26+50(lg 10)2=lg 5+2+3lg 2-lg 5-3lg 2+50=52.18.(12分)(2022·张家口高一检测)已知函数f(x)=x2-2ax，g(x)=log a(4-x)(a>0，a≠1).(1)若函数f(x)的定义域为[0，1]，求f(x)的最小值；(2)当a=2时，求使不等式log a f(x)-g(x)>0成立的x的取值范围.【解析】(1)f(x)=(x-a)2-a2，定义域为[0，1]时，当0<a<1时，f(x)min=f(a)=-a2；当a>1时，f(x)min=f(1)=1-2a.(2)当a=2时，不等式可化为log2(x2-4x)>log2(4-x)，即得x<-1，综上，x的取值范围是(-∞，-1).19.(12分)已知函数f(x)=log a(-x2+ax-9)(a>0，a≠1).(1)当a=10时，求f(x)的值域和单调减区间；(2)若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围.【解析】(1)当a=10时，f=log 10=log 10，设t=-x2+10x-9=-+16，由-x2+10x-9>0，得x2-10x+9<0，得1<x<9，即函数的定义域为，此时t=-+16∈，则y=log10t≤log1016，即函数的值域为，要求f的单调减区间，等价为求t=-+16的单调递减区间，由于t=-+16的单调递减区间为，所以f 的单调递减区间为.(2)若f存在单调递增区间，则当a>1时，函数t=-x2+ax-9存在单调递增区间即可，则判别式Δ=a2-36>0，得a>6或a<-6舍去，当0<a<1时，函数t=-x2+ax-9存在单调递减区间即可，则判别式Δ=a2-36>0，得a>6或a<-6，此时a不成立，综上实数a的取值范围是a>6.20.(12分)已知函数f(x)=2-x，g(x)=log3x.(1)请在给定的同一个坐标系中画出f(x)和g(x)函数的图象.(2)设函数h(x)=f(x)-3，求出h(x)的零点.(3)若g(x)<，求出x的取值范围.【解析】(1)图象如图所示，(2)令h(x)=0，得f(x)=3，即2-x=3，解得x=lo3，故h(x)的零点是lo 3.(3)g(x)的定义域为(0，+∞)，由g(x)<得log3x<，即log3x<log 3，即log3x<log 3.由于g(x)=log3x在定义域内单调递增，故得0<x<.21.(12分)(2022·潍坊高一检测)已知函数f(x)=(1)在给定的直角坐标系内直接画出f(x)的图象.(2)写出f(x)的单调区间，并指出单调性(不要求证明).(3)若函数y=t-f(x)有两个不同的零点，求实数t的取值范围.【解析】(1)由题意知，函数f(x)大致图象如图：(2)依据(1)中函数f(x)的大致图象，可知函数f(x)在[-1，0]上单调递增，在(0，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增.(3)依据(1)中函数f(x)的大致图象，可知①当t<-1时，直线y=t与y=f(x)没有交点；②当t=-1时，直线y=t与y=f(x)有1个交点；③当-1<t≤1时，直线y=t与y=f(x)有2个交点；④当1<t<2时，直线y=t与y=f(x)有1个交点；⑤当2≤t<3时，直线y=t与y=f(x)有2个交点；⑥当t=3时，直线y=t与y=f(x)有1个交点；⑦当t>3时，直线y=t与y=f(x)没有交点.综上可知，当y=t-f(x)有两个不同的零点时，t的取值范围为：-1<t≤1或2≤t<3.22.(12分)已知函数f(x)=(1)计算f的值.(2)争辩函数f(x)的单调性，并写出f(x)的单调区间.(3)设函数g(x)=f(x)+c，若函数g(x)有三个零点，求实数c的取值范围.【解析】(1)由已知得f=f(-2)=-2×(-2)2-4×(-2)+1=1.所以f=f(1)=1+1=2.(2)当x≤0时，f(x)=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3.依据抛物线的性质知，f(x)在区间(-∞，-1)上单调递增，在区间[-1，0]上单调递减；当x>0时，f(x)=x+1，明显f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.综上，f(x)的单调增区间是(-∞，-1)和(0，+∞)，单调减区间是[-1，0].(3)作出f(x)的图象，如图：函数g(x)有三个零点，即方程f(x)+c=0有三个不同实根，又方程f(x)+c=0等价于方程f(x)=-c，所以当f(x)的图象与直线y=-c有三个交点时，函数g(x)有三个零点. 数形结合得，c满足：1<-c<3，即-3<c<-1.因此，函数g(x)有三个零点，实数c的取值范围是(-3，-1).关闭Word文档返回原板块。

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