2013年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

专 平面向量及应用． 题： 分 以向量 析：
、
的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量
、
、
的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2 且μ=﹣
，即可得到
的值． 解 解：以向量 答：
、
的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得
=（﹣1，1）， =（6，2）， =（﹣1，﹣3） ∵
A． 充分而不必要条件
B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件
D． 既不充分也不必要条件
考 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 点：
专 简易逻辑． 题：
分 按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标 析： 原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．
x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=
x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=
x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案． 解 解：先根据约束条件 答：
画出可行域， 要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=
x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m） 在直线y=
﹣x﹣1．
故选D．
点 本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对 评： 称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的
原则，是基础题．
6．（5分）（2013•北京）若双曲线
的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A． y=±2x
B．
C．
D．
考 双曲线的简单性质．菁优网版权所有 点：
，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出
．
解 解：设等比数列{an}的公比为q， 答： ∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴
，解得
． ∴
=
=2n+1﹣2． 故答案为：2，2n+1﹣2．
点 熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的 评： 关键． 11．（5分）（2013•北京）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线， PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD= ，AB= 4 ．
直到条件满足为止．
解 解：框图首先给变量i和S赋值0和1． 答： 执行
，i=0+1=1； 判断1≥2不成立，执行
，i=1+1=2； 判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为
．
故选C．
点 本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行 评： 后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础
2013年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项 中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）（2013•北京）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}， 则A∩B=（ ）
A． {0}
B．{﹣1，0} C．{0，1}
题．
5．（5分）（2013•北京）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所
得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ ）
A． ex+1
B． ex﹣1
C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1
考 函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象变化．菁优网版权所有 点：
专 函数的性质及应用． 题：
分 析：
考 与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
点： 专 直线与圆． 题： 分 由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．利用切割线定理可得
析： PA2=PD•PB，即可求出x，进而得到PD，PB．AB为圆O的直径，
PA为圆O的切线，利用切线的性质可得AB⊥PA．再利用勾股定理 即可得出AB． 解 解：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．
首先求出与函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然
后换x为x+1即可得到要求的答案．
解 答：
解：函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x， 而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex
的图象关于y轴对称，
所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e
∴
，解之得λ=﹣2且μ=﹣
因此， =
=4 故答案为：4
点 本题给出向量 评：
用向量 、 线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算 法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题． 14．（5分）（2013•北京）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣
A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距
7．（5分）（2013•北京）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂
直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）
A．
B． 2
C．
D．
考 定积分．菁优网版权所有 点：
专 圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分 先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用 析： 定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．
考 正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有 点： 专 解三角形． 题： 分 （Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值． 析： （Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得c的值． 解 解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3， 答：
2．（5分）（2013•北京）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于
（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考 复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有 点：
专 数系的扩充和复数． 题：
分 化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对 析： 应点所在象限．
到直线ρsinθ=2的距离1， 故答案为：1． 点 本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思想． 评：
10．（5分）（2013•北京）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40， 则公比q= 2 ；前n项和Sn= 2n+1﹣2 ．
考 等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．菁优网版权所有 点： 专 等差数列与等比数列． 题： 分 利用等比数列的通项公式和已知即可得出 析：
点 本题考查充要条件的判定，用到的知识是三角函数的图象特征． 评： 是基础题．
4．（5分）（2013•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （ ）
A． 1
B．
C．
D．
考 程序框图．菁优网版权所有 点：
专 算法和程序框图． 题：
分 从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的 析： 大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，
解 答：
解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）， ∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，
∴直线l的方程为y=1，
由
，可得交点的横坐标分别为﹣2，2． ∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为
=（ x﹣
）| =
． 故选：C．
点 本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直 评： 线的方程，求出积分区间，确定被积函数．
8．（5分）（2013•北京）设关于x，y的不等式组
表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考 简单线性规划．菁优网版权所有 点：
专 不等式的解法及应ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ． 题：
分 先根据约束条件 析：
画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包 含直线y=
解 解：复数（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，
答： 复数对应的点（3，﹣4），
所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．
故选D．
点 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计 评： 算能力．
3．（5分）（2013•北京）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的 （ ）
考 点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．菁优网版权所有 点： 专 直线与圆． 题： 分 先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程， 析： 然后用点到直线的距离来解． 解 解：在极坐标系中，点 答：
化为直角坐标为（
，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2， （
，1），到y=2的距离1，即为点
考 排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 点： 专 排列组合． 题： 分 求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2 析： 张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可． 解 解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法 答： 数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一
专 圆锥曲线的定义、性质与方程． 题：
分 通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐 析： 近线方程．
解 解：由双曲线的离心率 答：
，可知c=
a，
又a2+b2=c2，所以b=
a， 所以双曲线的渐近线方程为：y=
=±
x． 故选B．
点 本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能 评： 力．
又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF， ∴CC1∥平面D1EF． ∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与 CC1的距离． 过点C1作C1M⊥D1F， ∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1． ∴C1M⊥平面D1EF． 过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C． 取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形． 可得NP⊥平面D1EF， 在Rt△D1C1F中，C1M•D1F=D1C1•C1F，得
答： ∵PA为圆O的切线，∴PA2=PD•PB， ∴32=9x•（9x+16x），化为
，∴
． ∴PD=9x=
，PB=25x=5． ∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA． ∴
=
=4． 故答案分别为
，4． 点 熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关 评： 键． 12．（5分）（2013•北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全 部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不 同的分法种数是 96 ．
组，分给4人，共有4×
=96种． 故答案为：96． 点 本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题 评： 的关键，考查分析问题解决问题的能力． 13．（5分）（2013•北京）向量 ，
，
在正方形网格中的位置如图所示，若
（λ，μ∈R），则
= 4 ．
考 平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有 点：
x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y= x﹣1的下方， 故得不等式组
， 解之得：m＜﹣ ． 故选C．
点 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题 评： 时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后
结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即 可求出答案． 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）（2013•北京）在极坐标系中，点（2， ）到直线ρsinθ=2的距离等于 1 ．
解 解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点． 答： 但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，
将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有 φ=π． 故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件． 故选A．
=
．
∴点P到直线CC1的距离的最小值为
． 故答案为
点 熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的 评： 关键． 三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤 15．（13分）（2013•北京）在△ABC中，a=3，b=2
，∠B=2∠A． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求c的值．
D． {﹣1，0，1}
考 交集及其运算．菁优网版权所有 点：
专 集合． 题：
分 找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集． 析：
解 解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}， 答： ∴A∩B={﹣1，0}．
故选B
点 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关 评： 键．
离的最小值为 ．
考 点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
点： 专 空间位置关系与距离． 题：
分 如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判 析： 定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距
离．
解 解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1， 答： ∴CC1∥EF，