线性规划的实际应用举例

线性规划的实际应用举例

即两为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(

的实际应用举例加以说明。个变量的线性规划)

1 物资调运中的线性规划问题

万个40万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运1 A，B两仓库各有编织袋50例/元万个、180/万个到乙地。已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元到甲地，20元／万个。问如何调运，能150/万个、万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元? ?总运费的最小值是多少使总运费最小仓库调Bz元。那么需从x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为解：设从A仓库调运40-x万个到甲

地，调运运万个到乙地。20-y

从而有

。z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000

1)(图，即可行域。作出以上不等式组所表示的平面区域

z'=z-7000=20x+30y. 令

：20x+30y=0，作直线l

且与原点距离最小，0)，，l的位置时，直线经过可行域上的点M(30l把直线向右上方平移至l y=0时，即x=30，亦取得最小值，取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000z'=20x+30y 元)。30+30×z=20×

0+7000=7600(min

万个到乙地，可使总万个到甲地，20B30万个到甲地，从仓库调运10A答：从仓库调运元。运费最小，且总运费的最小值为7600

2 产品安排中的线性规划问题

吨，麦麸0.4吨需耗玉米某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料2例1O.4

吨，其余添加剂0.2．

吨甲种1吨，其余添加剂0.2吨。每吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3元。可供饲料厂生产的玉米供应500元，每1吨乙种饲料的利润是饲料的利润是400吨。问甲、乙300吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过量不超过600 ? ?最大利润是多少两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大

1。分析：将已知数据列成下表

2表1例表

元，那么吨、y吨，利润总额为z解：设生产甲、乙两种饲料分别为x

z=400x+500y。

即可行域。(图2)作出以上不等式组所表示的平面区域

平行，所以线段l4x+5y=6000与。并把400x+500y=0l向右上方平移，由于l：作直线l：1。，N(0，1200)M(250MN上所有坐标都是整数的点(整点)都是最优解。易求得，1000)

，y=1000时，1000)取整点M(250，，即x=250

。元1000=600000()=60(万元)=400×z250+500×max

吨，能使利润总额达到最大。最大利润为1000可安排生产甲种饲料250吨，乙种饲料答：万元。60 使我们认识到最优解的个数还例2课本题中出现的线性规划问题大都有唯一的最优解。注：有其他可能，这里不再深入探究。

3 配料与下料中的线性规划问题

例3 甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如表2。

表2例3表

)维生A单千400700600

B(单位/千克) 维生素500 400 800

千克) 元成本(/4 9 11

某食物营养研究所想用xkg甲种食物，ykg乙种食物，zkg丙种食物配成100kg混合食物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B。

1)用x，y表示混合食物的成本c(元)；

2)确定x，y，z的值，使成本最低。

解：1)依题意有：

(3) x+y+z=100

(4) c=11x+9y+4z

得：(3)得z=100-x-y，代入(4)由

c=11x+9y+4(100-x-y)=7x+5y+400，其中x＞0，y＞0。

2)将z=100-x-y代入(1)，(2)，并化简，得

图3)，即可行域。作出不等式组( 所表示的平面区域

，且与M向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点l：7x+5y=0，把直线l作直线l原点的距

离最小。

点的坐标, 由求得M

c=7x+5y+400亦取得最小值，y=20时，7x+5y取得最小值，故当x=50，

。c=7×50+5×20+400=850min

；y＞0)＞答：1) c=7x+5y+400(x0，时，成本c最低。，2) 当x=50，y=20z=30

长两种规格的零件毛坯，其中0.8m0.6m和长的条钢各2m及3m10根，需截成例4 现有个，为使材料不浪费，且使所用条钢根数最小，该300.8m长的毛坯需0.6m长的毛坯需20个，如何设计下料方案。

长3m个，0.8m长的毛坯1长的条钢可截成解：为使材料不浪费，2m0.6m长的毛坯2个，

3个。0.8m的条钢可截成0.6m长的毛坯1个，长的毛坯

长的条钢y根，则根，设需截2m长的条钢x3m

4)作出可行域(如图，目标函数为z=x+y.

此直线经经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，中，)为参数x+y=t(t作出一组平行线

过直线2x+y=20和直线x+3y=30的交点M(6，8)。

故当x=6，y=8时，z=x+y取最小值。

答：符合条件的下料方案是：使用2m长的条钢6根、3m长的条钢8根。

通过上述例题，不难发现，简单的线性规划在实际生活中有较广泛的应用。在工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等许多领域都常常使用线性规划方法。

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：

一是征人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；

二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解。其基本的解决步骤是：

1)建立线性约束条件及线性目标函数；

2)画出可行域；

3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；

4)作答。

特别值得一提的是，涉及更多变量的线性规划问题是不能用图解法求解的，需要借助计算机及专门的软件来解决。