拟合优度检验和假设检验
计量经济学的统计检验
统计检验
区间估计
• ������2
•R • 调整���ത���2
拟合优度
显著性检验
• 方程的显著性检验 • 参数的显著性检验
拟合优度
拟合优度（Goodness of Fit）是指回归直线对观测值的拟合程度。 度量拟合优度的统计量是可决系数（亦称判定系数）������2。 拟合优度是样本回归线对数据的拟合有多么好的一个度量。 ������2是双变量情形下的表示，������2是多变量情况下的表示。 维恩图： (a) ������2=0 (f) ������2=1
如例子中一样，置信水平一般用百分比表示，因此置信水平0.95 上的置信区间也可以表达为：95%置信区间。置信区间的两端被 称为置信极限。对一个给定情形的估计来说，置信水平越高， 所对应的置信区间就会越大。
缩小置信区间
由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真 值的“接近”程度，因此置信区间越小越好。 要缩小置信区间，需 1. 增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越大，t分布表
k
1)
F与���ത���2同方向变化，���ത���2=0时，F=0，F越大，���ത���2越大，���ത���2=1时，F为 无穷大。
F检验是检验回归方程总显著性的，也是检验���ത���2的显著性的。
➢通过F值的取值范围算出���ത���2的取值范围，与实值比较，满足取值范 围说明模型在该置信水平下成立。
������2
������2 公式
������2 性质
R2 =
ESS TSS
= (Y^ i - Y)2 (Yi - Y)2
=
y^i2 yi2
R 2 ESS 1 RSS
TSS
泊松回归的假设检验方法
泊松回归的假设检验方法
泊松回归（Poisson regression）通常用于建模计数数据的回归分析，其中因变量是计数型变量。
在泊松回归中，假设检验用于确定自变量对因变量的影响是否显著。
以下是常见的泊松回归中的假设检验方法：
假设检验类型：
1.回归系数的显著性检验：对每个自变量的回归系数进行检验，判断它们对因变量的影响是否显著。
通常使用t 检验或Wald 统计量来评估回归系数的显著性。
2.全局模型的拟合优度检验：评估整个模型的拟合情况和自变量的整体影响。
通常采用拟合优度检验，如对数似然比检验（Likelihood Ratio Test）或Wald 测试来比较拟合了自变量的模型和未拟合自变量的模型。
进行假设检验的步骤：
1.确定假设：在进行检验之前，首先明确要检验的假设。
典型情况下，假设为“自变量对因变量没有显著影响”。
2.计算相关统计量：对每个回归系数进行检验，计算相应的统计量，如t 值、Wald 统计量或对数似然比统计量。
3.设定显著性水平：确定显著性水平，通常为0.05 或0.01，用于判断检验结果是否显著。
4.假设检验：使用所选的统计量和显著性水平，进行假设检验。
如果计算得到的统计量的p 值小于显著性水平，就可以拒绝原假设，即认为自变量对因变量有显著影响。
正态性检验的几种方法
正态性检验的几种方法一、引言正态分布是自然界中一种最常见的也是最重要的分布。
因此，人们在实际使用统计分析时，总是乐于正态假定，但该假定是否成立，牵涉到正态性检验。
目前，正态性检验主要有三类方法：一是计算综合统计量，如动差法、Shapiro-Wilk 法(W 检验)、D ’Agostino 法(D 检验)、Shapiro-Francia 法(W ’检验)。
二是正态分布的拟合优度检验，如2χ检验、对数似然比检验、Kolmogorov-Smirov 检验。
三是图示法(正态概率图Normal Probability plot)，如分位数图(Quantile Quantile plot ，简称QQ 图)、百分位数(Percent Percent plot ，简称PP 图)和稳定化概率图(Stablized Probability plot ，简称SP 图)等。
而本文从不同角度出发介绍正态性检验的几种常见的方法，并且就各种方法作了优劣比较，还进行了应用。
二、正态分布2.1 正态分布的概念定义1若随机变量X 的密度函数为()()()+∞∞-∈=--,,21222x e x f x σμπσ其中μ和σ为参数，且()0,,>+∞∞-∈σμ则称X 服从参数为μ和σ的正态分布，记为()2,~σμN X 。
另我们称1,0==σμ的正态分布为标准正态分布，记为()1,0~N X ，标准正态分布随机变量的密度函数和分布函数分别用()x ϕ和()x Φ表示。
引理1 若()2,~σμN X ，()x F 为X 的分布函数，则()⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=σμx x F由引理可知，任何正态分布都可以通过标准正态分布表示。
2.2 正态分布的数字特征引理2 若()2,~σμN X ，则()()2,σμ==x D x E 引理3 若()2,~σμN X ，则X 的n 阶中心距为()()N k kn k k n kn ∈⎩⎨⎧=-+==2,!!1212,02σμ定义2 若随机变量的分布函数()x F 可表示为：()()()()x F x F x F 211εε+-= ()10<≤ε其中()x F 1为正态分布()21,σμN 的分布函数，()x F 2为正态分布()22,σμN 的分布函数，则称X 的分布为混合正态分布。
一元线性回归模型的统计检验
注意英文缩写的含义
TSS： Total Sum of Squares / 总离差平方和
RSS： Regression Sum of Squares / 回归平方和 Residual Sum of Squares / 残差平方和
ESS: Error Sum of Squares / 误差平方和（残差平方和） Explained Sum of Squares / 解释平方和（回归平方和）
（2）变量的显著性检验
对于最小二乘估计量ˆ1，已经知道它服从正态分布
ˆ1 ~ N(1,
2
xБайду номын сангаас2 )
由于真实的 2未知，在用它的无偏估计量ˆ 2
ei2 (n 2)替代时，可构造如下统计量
t ˆ1 1 ˆ1 1 ~ t(n 2)
ˆ 2 xi2
假设检验采用的是具有概率性质的反证法。先 假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此 假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受 原假设。判断结果合理与否，依据是小概率事件 原理。
假设检验的步骤： （1）提出原假设和备择假设； （2）根据已知条件选择检验统计量； （3）根据显著性水平确定拒绝域或临界值； （4）计算出统计量的样本值并作出判断。
其中X 和Y 分别是变量X与Y的样本均值。 r的取值范围是：[-1,1]
（4）样本可决系数与样本相关系数的关系 联系：
在数值上， 一元线性回归模型的样本可决系 数等于被解释变量与解释变量之间样本相关系数 的平方:
r2
yˆi2 yi2
ˆ12
xi2 yi2
( (
xi yi )2 xi2 )2
所以有
yi2 yˆi2 ei2
回归模型的统计检验
分布。 F 统计量服从自由度为 ( k , n − k − 1) 的 F 分布。选定 分布表（见本书附录） 一个显著性水平 α ，查 F 分布表（见本书附录） ， 可以得到一个临界值 Fα ( k , n − k − 1) 。
F检验与R2的关系
根据二者关系，有需注意的几个问题： ⑴F检验实际上也是判定系数的显著性检验。 ⑵如果模型对样本有较高的拟合优度，F检 验一般都能通过。 ⑶实际应用中不必过分苛求R2值的大小， 重要的是考察模型的经济意义是否合理。
∑ x ∑ x − (∑ x x ) ∑ x σˆ ∑ x ∑ x − (∑ x x )
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 x2 σ 2 ∑ ˆ
2
2
然后根据样本观测值和估计值，构造计算统计量： 然后根据样本观测值和估计值，构造计算统计量：
ˆ βi − βi t= ˆ S βi
ˆ ˆ ∑(y − y) = ∑ (y − y) + ∑ (y − y )
2 2 i i i i 2
y
yi
ei
yi − y
ˆ ( yi − y )
SRF
y
xi
x
TSS = Σ ( y i − y ) 2 ˆ ESS = Σ ( y i − y ) 2 ˆ RSS = Σ ( y i − y i ) 2
拟合优度检验统计量：可决系数( 2、拟合优度检验统计量：可决系数(判
定系数) 定系数)R2和校正可决系数 R2
（1）可决系数 ）
R 2 进行拟合优度检验，可决系 用可决系数 进行拟合优度检验，
数的计算公式为： 数的计算公式为：
( yi − y )2 ∑ˆ 2 R = ( yi − y )2 ∑
二项分布拟合优度检验
二项分布拟合优度检验
二项分布拟合优度检验是一种用于检验观察数据是否符合二项分布的统计方法。
二项分布拟合优度检验的步骤如下：
1. 假设检验：
- 零假设H0：观察数据符合二项分布。
- 备择假设H1：观察数据不符合二项分布。
2. 计算期望频数：
- 计算每个类别的期望频数，期望频数等于总样本量乘以对
应类别的理论概率。
3. 计算卡方统计量：
- 计算卡方统计量，公式为：X² = Σ((观察频数-期望频数)²/期望频数)，其中Σ表示对所有类别求和。
4. 查表计算P值：
- 根据类别数减去1和给定的显著性水平，查询卡方分布表，得到拒绝域的卡方值。
- 如果计算得到的卡方统计量大于表中的卡方值，则拒绝零
假设，否则不能拒绝零假设。
- 根据卡方分布表，还可以计算拒绝域的P值，如果计算得
到的P值小于给定的显著性水平，则拒绝零假设。
如果拒绝了零假设，则可以认为观察数据不符合二项分布；如果不能拒绝零假设，则可以认为观察数据符合二项分布。
第八章拟合优度检验
142 149 142 137 134 144 146 147 140 142
140 137 152 145
解 为粗略了解数据的分布情况，先画出直方图。
步骤如下： 1.找出数据的最小值、最大值为126、158，取区 间[124.5, 159.5],它能覆盖[126, 158]； 2.将区间[124.5, 159.5]等分为7个小区间,小区间的 长度Δ=(159.5-124.5)/7=5, Δ称为组距，小区 间的端点称为组限，建立下表：
Y 50 31 26
17
10
8
6
6
8
试检验相继两次地震间隔天数 X 服从指数分布.
解 所求问题为: 在水平 0.05下检验假设
H0 : X 的概率密度
f
(
x)
1
x
e
,
0,
x 0, x 0.
由于在 H0 中参数 未具体给出, 故先估计 .
由最大似然估计法得 ˆ x 2231 13.77,
A5 :19.5 x 24.5 10
A6 : 24.5 x 29.5 8
A7 : 29.5 x 34.5 6
A8 : 34.5 x 39.5 A9 : 39.5 x
6
8
pˆ i
npˆ i
fi2 / npˆi
0.2788 45.1656
55.3519
0.2196 35.5752
27.0132
A7 :154.5 x
npˆ i
0.73
4.36 5.09
14.72
26.21
23.61
11.22
3.15 14.37
fi2 / npˆi
4.91
6.79 41.55 24.40 10.02 =87.67
一元线性回归模型的统计检验
3. 怎样进行拟合优度检验 （1）总离差平方和的分解 已知有一组样本观测值( Xi ,Yi )(i 1, 2, , n)，得到 如下样本回归直线：
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi
Y的第i个观测值与样本均值的离差yi Yi Y 可分 解为两部分之和：
yi Yi Y Yi Yˆi Yˆi Y ei yˆi (1)
规则：p值越小，越能拒绝原假设H0.
三、回归系数的置信区间
对参数作出的点估计虽然是无偏估计，但一 次抽样它并不一定等于真实值，所以需要找到包 含真实参数的一个范围，并确定这个范围包含参 数真实值的可靠程度。
在变量的显著性检验中已经知道：
t ˆi i ~ t(n 2) i=0,1
Sˆi
给出置信度1，查自由度为(n 2)的t分布表，
假设检验的步骤： （1）提出原假设和备择假设； （2）根据已知条件选择检验统计量； （3）根据显著性水平确定拒绝域或临界值； （4）计算出统计量的样本值并作出判断。
（2）变量的显著性检验
对于最小二乘估计量ˆ1，已经知道它服从正态分布
ˆ1 ~ N(1,
2
xi2 )
由于真实的 2未知，在用它的无偏估计量ˆ 2
在上述收入——消费支出的例子中，如果给定
=0.01，查表得：
t 2 (n 2) t0.005 (8) 3.355
由于
Sˆ1 0.042
Sˆ0 98.41
于是，计算得到1、0的置信区间分别为：
(0.6345,0.9195)
(-433.32,226.98)
则
TSS RSS ESS
Y的观测值围绕其均值的总离差可分解为两部 分：一部分来自回归线(RSS)，另一部分则来自随 机势力(ESS)。因此，我们可以用回归平方和RSS 占Y的总离差平方和TSS的比例来度量样本回归线 与样本观测值的拟合优度。
5第五章 拟合优度检验
体色 F2观测尾数
鲤鱼遗传试验F2观测结果
青灰色 1503 红色 99 总数 1602
⒈ 提出无效假设与备择假设
H 0 : 鲤鱼体色F2 代分离符合3： 1 比率 H A : 鲤鱼体色F2 代分离不符合3： 1 比率
⒉计算理论次数 青灰色的理论数为： E1=1602 ×3/4=1201.5 红色的理论数： E2=1602×1/4=400.5 2 3.计算 c 因为该资料只有k=2组，所以此例的 自由度为2-1=1 ( O，需进行连续性矫正。 E 0.5) 2
9 9 p(0) , 9 3 3 1 16 3 p(1) p(2) , 16 1 p(3) 16
9 T0 179 100.6875 , 16 3 T1 T2 179 33.5625 16
1 T3 179 11.1875 16
按公式
行总数 列总数 Ei 总数
计算各格理论值，填于各格 括号中。再计算统计量：
2
( 254 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 246 263.5 0.5)
( 219 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 281 263.5 0.5)
263.5 263.5 1.222 1.222 1.097 1.097 4.638
尾区概率 P=P1+P0=0.122+0.010=0.132。 由于不知什么性别对药物反 应强烈；∴应进行双侧检验， 即与 =0.025 比较。 2 ， ∴接受H0，男女对该药反应 无显著不同。
2 P
0.025
作业26/11
p102
报告中的假设检验和拟合优度
报告中的假设检验和拟合优度假设检验是统计学中一种重要的推理方法，用于对样本数据进行推断，并验证研究假设的可信度。
拟合优度则是用来评价模型的拟合程度的指标，其指示了观测值与模型拟合值之间的接近程度。
本文将围绕假设检验和拟合优度展开论述，分为以下六个部分进行详细阐述。
标题一：假设检验的意义和基本步骤这一部分将从假设检验的定义、意义以及基本步骤入手，介绍如何对研究假设进行检验。
首先，解释什么是假设检验，并说明其在统计学研究中的重要性。
然后，详细描述假设检验的基本步骤，包括建立原假设和备择假设、选择合适的显著性水平、计算检验统计量以及进行假设检验的决策。
标题二：假设检验中的类型I错误和类型II错误这一部分将阐述假设检验中的两种错误类型：类型I错误和类型II错误。
首先，解释类型I错误是指什么以及其产生的原因。
然后，详细介绍类型II错误的概念和原因，并与类型I错误进行对比。
最后，探讨如何在假设检验中平衡类型I错误和类型II错误，以及如何选择适当的显著性水平和样本容量来降低错误的可能性。
标题三：拟合优度和相关性检验这一部分将介绍拟合优度的概念和相关性检验的基本原理。
首先，解释什么是拟合优度，并说明其在模型拟合中的重要性。
然后，详细介绍相关性检验的基本原理和计算方法，包括卡方检验和相关系数的计算公式。
最后，讨论如何解读拟合优度和相关性检验的结果，并对数据拟合的可信度进行评估。
标题四：单样本假设检验和配对样本假设检验这一部分将重点讨论单样本假设检验和配对样本假设检验两种常见的假设检验方法。
首先，解释单样本假设检验的原理和应用场景，并详细介绍其步骤和计算方法。
然后，说明配对样本假设检验的概念和原理，并描述其应用和计算方法。
最后，对比分析两种方法的异同点，并讨论其局限性和适用范围。
标题五：独立样本假设检验和方差分析这一部分将探讨独立样本假设检验和方差分析两种常见的假设检验方法。
首先，解释独立样本假设检验的原理和应用场景，并详细介绍其步骤和计算方法。
数理统计中的参数估计与置信区间估计及假设检验与拟合优度检验
数理统计中的参数估计与置信区间估计及假设检验与拟合优度检验数理统计是一门研究如何利用数据对未知参数进行估计和进行推断的学科。
本文将介绍数理统计中的参数估计与置信区间估计，以及假设检验与拟合优度检验的基本概念和相关方法。
一、参数估计与置信区间估计在数理统计中，参数是描述总体特征的量，例如总体均值、总体方差等。
参数估计就是利用样本统计量对总体参数进行估计。
常用的参数估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是选择参数值使得观测到的样本出现的概率最大化。
假设总体服从某个分布，最大似然估计通过优化似然函数来估计参数。
最大似然估计具有良好的性质，例如渐近正态性和无偏性等。
矩估计是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是利用样本矩与总体矩的对应关系来估计参数。
例如，样本均值可以用来估计总体均值，样本矩可以通过总体矩的方法进行计算得到。
矩估计具有较好的渐近正态性和无偏性。
参数估计的结果往往带有一定的不确定性，为了评估估计结果的准确性，常使用置信区间估计。
置信区间估计是指通过样本数据得到的区间，该区间包含了未知参数的真值的概率。
常见的置信区间估计方法有正态分布的置信区间估计和大样本下的置信区间估计。
二、假设检验在数理统计中，假设检验是一种推断方法，用于检验总体参数的假设是否成立。
假设检验的基本思想是通过样本数据来判断假设是否得到支持。
常用的假设检验方法有正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验和两样本均值的假设检验等。
假设检验包括建立原假设和备择假设，选择适当的检验统计量，并设定显著性水平，进行统计推断。
结果的判断依据是计算得到的检验统计量是否落在拒绝域内。
如果检验统计量落在拒绝域内，拒绝原假设，否则接受原假设。
假设检验的结果可以提供统计学上的证据，用于决策和推断。
三、拟合优度检验拟合优度检验是一种用于检验总体数据是否符合某个特定分布的方法。
在数理统计中，拟合优度检验常用于检验样本数据与给定的分布是否相符。
精选拟合优度检验和假设检验
2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论
由
可推出：
与
或
R2
R2
R2
R2
在中国居民人均收入-消费一元模型中，
在中国居民人均收入-消费二元模型中，
三、变量的显著性检验（t检验）
方程的总体线性关系显著每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的
因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。 这一检验是由对变量的 t 检验完成的。
二、方程的显著性检验(F检验)
方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。
1、方程显著性的F检验
即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n中的参数j是否显著不为0。
注意：一元线性是对相同的原假设H0：1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系：
在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中，由应用软件计算出参数的t值：
给定显著性水平=0.05，查得相应临界值： t0.025(28) =2.048。
对于中国居民人均消费支出的例子： 一元模型：F=985.6616（P54） 二元模型：F=560.5650 （P72）
给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界值： 一元例：F(1,30)=4.17 二元例： F(2,28)=3.34
显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。
根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量
服从自由度为(k , n-k-1)的F分布
给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。
假设检验的前世今生
假设检验的前世今生这篇是上一篇「统计？我懂个P !」的姊妹篇。
其实，「前世今生」系列的文章我已经看到过好几篇了，比如「正太分布的前世今生」、「Meta分析的前世今生」。
不知为何，我个人也很喜欢「前世今生」这个词。
今天呢，就聊一聊我知道的一点「假设检验的前世今生」吧。
假设检验是统计学里最重要、最基础的的概念，即便是不知道，不了解这个术语，与统计学毫不相干的人，在日常生活中，也不知不觉地应用了假设检验。
比如，我们在街上水果摊闲逛买橘子。
甜的时候，我们的思维过程：不甜的时候，我们的思维过程：当然，以上只是个简单类比，不必细究。
不过，相比一些翻译教材喜欢用老外的「法官定罪」的例子来说，这个场景应该更容易为国人所理解。
现行的假设检验，叫原假设显著性检验( Null Hypothesis Significance Testing，NHST)。
其基本思路和框架在现行的统计教材中论述较多，在此仅简要概括：1.建立假设，确定检验水平。
假设包括两种，一种称为原假设、无效假设、零假设（Null Hypothesis，H0）；另一种称为备则假设（Alternative hypothesis, H1），H1是H0的对立面。
原假设H0通常是「别担心，啥事也没有」，比如没有差异，没有疗效等。
H1 则是「有情况，要留意啊」，比如有差异，有疗效。
检验水平alpha，又称显著性水平，这个是预先规定游戏标杆，通常为0.05。
2.计算检验统计量，计算P值。
我们认为手头已有的数据是从H0 为真的总体中的一个抽样，但是这个可能性是多少？这需要计算评估。
如何计算评估呢？我们可以计算检验统计量，不过不同的问题，计算的检验统计量不同，如Z值，t值，F值，X2值，这样岂不是比较乱？是的，所以把那些统计量统统对应到P值，统一用P值来解决。
3.做出统计推断结论。
比较P值及alpha值，如果 P<=alpha, 拒绝h0,差异显著，有统计学意义；反之，如果p="">alpha, 不拒绝H0,差异不显著，无统计学意义。
非线性回归模型的假设检验方法
非线性回归模型的假设检验方法在统计学中，回归分析是一种常用的数据分析方法，用于研究因变量与一个或多个自变量之间的关系。
线性回归模型是最简单和最常用的回归模型之一，但是在实际应用中，很多现象并不满足线性假设。
因此，非线性回归模型应运而生，用于更准确地描述这些非线性关系。
然而，在使用非线性回归模型时，我们也需要进行假设检验，以验证模型的可靠性和有效性。
一、非线性回归模型的基本介绍非线性回归模型是指自变量与因变量之间存在非线性关系的回归模型。
与线性回归模型不同的是，非线性回归模型的形式更加复杂，可以包括多项式、指数、对数、幂函数等。
举个例子，假设我们想研究身高与体重之间的关系，如果我们单纯使用线性回归模型，可能会得到一个不太理想的结果。
因为在现实生活中，身高与体重之间的关系很可能是非线性的，比如说身高低的人可能相对来说体重的增长速度更快。
因此，我们需要使用非线性回归模型来更准确地描述这种关系。
二、非线性回归模型的参数估计与线性回归模型一样，非线性回归模型的参数估计也是通过最小化误差平方和来实现的。
然而，由于非线性回归模型的形式复杂，参数估计的方法也相应有所不同。
最常用的方法是通过迭代算法来逐步优化参数的估计值，其中最为典型的方法是最小二乘法。
最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来估计参数的方法。
它通过不断调整参数的值，使得预测值与观测值之间的残差尽可能小。
在非线性回归模型中，由于没有显式的封闭解析解，因此通常需要通过迭代的方式来求解估计参数。
三、非线性回归模型的假设检验在建立非线性回归模型后，我们需要进行假设检验，以验证模型的可靠性和有效性。
通常情况下，我们会关注模型对于自变量的拟合优度以及模型参数是否显著。
1. 拟合优度检验拟合优度用于评估模型对于样本数据的拟合程度。
我们常用的指标是决定系数R-squared，它表示模型拟合所解释的因变量方差所占的比例。
在非线性回归模型中，R-squared的计算方式与线性回归模型相同，只是基于非线性模型的拟合。
统计学中的假设检验与拟合优度检验
统计学中的假设检验是一种基于样本数据来判断总体参数是否符合某种假设的方法。
它是统计推断的重要工具之一，广泛应用于各个领域中。
假设检验的基本步骤包括提出原假设和备择假设、选择适当的检验统计量、给出拒绝域、计算检验统计量的值、作出决策。
其中，原假设是对总体参数的某种假设，备择假设则指出了原假设不成立的情况。
选择适当的检验统计量是根据样本数据和所研究的问题的不同来确定的，通常使得检验统计量的分布在原假设成立时已知。
拒绝域则是在给定显著性水平的情况下，决定接受或拒绝原假设的范围。
最后，我们利用样本数据计算检验统计量的值，并与拒绝域进行比较，根据比较结果作出决策。
拟合优度检验是一种用于测验某个已知概率分布是否能够拟合样本数据的统计方法。
它常用于判断样本数据是否来自期望的分布，以验证总体模型的合理性。
拟合优度检验的基本思想是将观察频数与理论频数进行比较，通过对比两者之间的差异，判断样本数据与所假设的分布是否相符。
在进行拟合优度检验时，首先需要提出原假设和备择假设。
原假设通常是样本数据与所假设的分布相符，备择假设则相反。
其次，利用样本数据计算观察频数，并根据所假设的分布计算理论频数。
计算出观察频数和理论频数后，再进行统计量的计算。
常见的拟合优度检验统计量有卡方检验、Kolmogorov-Smirnov检验等。
根据计算得到的统计量的值，结合显著性水平和自由度，可以判断样本数据与所假设的分布是否拟合良好。
假设检验和拟合优度检验在统计学中有着广泛的应用。
它们可以用于检验某种理论假设的合理性，验证总体模型的适用性，也可以用于比较不同样本或总体之间的差异。
通过假设检验和拟合优度检验，我们可以对统计数据进行客观的评估，从而提供科学的依据和决策支持。
总之，统计学中的假设检验和拟合优度检验是一种重要的工具，可以用于判断总体参数是否符合某种假设，以及样本数据是否符合预期的分布。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和样本数据的特点选择适当的检验统计量，合理设置显著性水平，从而进行科学的统计推断和决策。
计量经济学的2.3 一元线性回归模型的统计检验
ˆ ˆ P( ) 1
如果存在这样一个区间，称之为置信区间 （confidence interval）； 1-称为置信系数（置信度） （confidence coefficient）， 称为显著性水平（level of significance）（或犯第I类错误的概率，即拒真的概 率）；置信区间的端点称为置信限（confidence limit） 或临界值（critical values）。置信区间以外的区间称 4 为临界域
由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计 值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间 越小越好。 (i t s , i t s )
2 i 2 i
要缩小置信区间，需要减小 （1）增大样本容量n，因为在同样的置信水平 下， n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大样本 容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；
5
如何构造参数值的估计区间？ 通过构造已知分布的统计量
6
构造统计量（1）
回顾： 在正态性假定下
以上统计量服从自由度为n-2的x2分布，n为样本量
7
构造统计量（2）
ˆ ˆ 0 和 1 服从正态分布
ˆ E ( 0 )= 0
ˆ E ( 1 )=1
Var 0） （ˆ
X
i 1 n i 1
§2.3 一元线性回归模型的统 计检验
一、参数的区间估计 二、拟合优度检验 三、参数的假设检验 （对教材内容作了扩充）
1
一、参数的区间估计
参数的两种估计：点估计和区间估计
点估计
通过样本数据得到参数的一个估计值。
（如：最小二乘估计、最大似然估计）
点估计不足：
（1）点估计给出在给定样本下估计出的参数的可能取值，但 它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真 值有多“近”。 （2）虽然在重复抽样中估计值的均值可能会等于真值，但由 于抽样波动，单一估计值很可能不同于真值。 2
数理统计14：什么是假设检验，拟合优度检验（1），经验分布函数
数理统计14：什么是假设检验，拟合优度检验（1），经验分布函数在之前的内容中，我们完成了参数估计的步骤，今天起我们将进⼊假设检验部分，这部分内容可参照《数理统计学教程》（陈希孺、倪国熙）。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：什么是假设检验假设检验是⼀种统计推断⽅法，⽤来判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的。
其步骤，其实就是提出⼀个假设，然后⽤抽样作为证据，判断这个假设是正确的或是错误的，这⾥判断的依据就称为该假设的⼀个检验。
假设检验在数理统计中有重要的⽤途，⽐如：橙⼦的平均重量是80⽄，这就是⼀个假设。
我们怎么才能知道它是对的还是错的？这需要我们对橙⼦总体进⾏抽样，然后对样本进⾏⼀定的处理，⽐如计算总体均值的区间估计，如果区间估计不包含80⽄，就认为原假设不成⽴，便拒绝原假设。
当然，由于样本具有随机性，因此我们只是对该假设进⾏检验⽽不是证明，也就是说不论假设检验的结果是接受假设还是拒绝假设，都不能认为假设本⾝是正确的或是错误的。
同时，假设的检验也不是唯⼀确定的，对任何假设都可以有⽆数种⽅案进⾏检验，⽐如上⾯的例⼦，95%的区间估计是⼀种检验，99%的区间估计也可以作为检验，90%的当然也可以，只要事先确定了即可。
总之，要将实⽤问题转化为统计假设检验问题处理，⼀般需要经历以下⼏个步骤：明确所要处理的问题，将其转化为⼆元问题，只能⽤“是”和“否”来回答。
设计适当的检验，规定假设的拒绝域，即拒绝假设时样本X 会落⼊的区域范围（当然也可以是统计量会落⼊的范围，这两个意思是⼀致的）。
抽取样本X 进⾏观测，计算需要的统计量的值。
根据样本的具体值作出接受假设或者否定假设的决定。
以下是假设检验问题的⼀些常⽤概念：零假设即原假设，指的是进⾏统计检验时预先建⽴的假设，⼀般是希望证明其错误的假设，⽤字母H 0表⽰。
这种区分⽅式⽐较⽞乎。
多元线性回归模型的统计检验
我们所要进行的统计检验包括两个方面，一方面检验回归方程对样本数据的拟合程度，通过可决系数来分析；另一方面检验回归方程的显著性，通过假设检验对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断，包括对回归方程线性关系的检验和对回归系数显著性的检验。
一、拟合优度检验
Testing the Simulation Level
变量显著性检验即对回归系数的显著性进行检验，如果变量是显著的，那么回归系数应该显著地不为0。于是，在变量显著性检验中设计的原假设为：
H0：i=0
而备择假设为：
H1: i0
其中 的下角标i，在一元回归模型中取值1：
在二元回归模型中取值1、2。
可见，Ｆ与R2同向变化：当R2 ＝０时，Ｆ＝０；当R2=时，Ｆ为无穷大；R2越大，Ｆ值也越大。
因此，Ｆ检验是所估计回归总显著性的一个度量，也
是对
的一个显著性检验。即：
检验原假设
，等价于检验
Back
9、静夜四无邻，荒居旧业贫。。10、雨中黄叶树，灯下白头人。。11、以我独沈久，愧君相见频。。12、故人江海别，几度隔山川。。13、乍见翻疑梦，相悲各问年。。14、他乡生白发，旧国见青山。。15、比不了得就不比，得不到的就不要。。。16、行动出成果，工作出财富。。17、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。。9、没有失败，只有暂时停止成功！。10、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。。11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。。12、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。。13、不知香积寺，数里入云峰。。14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。15、楚塞三湘接，荆门九派通。。。16、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。。17、空山新雨后，天气晚来秋。。9、杨柳散和风，青山澹吾虑。。10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。11、越是没有本领的就越加自命不凡。12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。16、业余生活要有意义，不要越轨。17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。
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由于 (Yi Yˆ)(Yˆi Y ) ei (Yˆi Y )
ˆ0 ei ˆ1 ei X 1i ˆk ei X ki - Y ei
=0
所以有：
TSS (Yi Yˆi )2
(Yˆi
2
Y)
RSS
ESS
注意：一个有趣的现象
Yi Y Yi Yˆi Yˆi Y
H1： j不全为0
F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS
由于回归平方和 ESS yˆi2 是解释变量 X的联合体对被解
释变量 Y 的线性作用的结果，考虑比值
ESS / RSS
yˆ
2 i
ei2
如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度 高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存 在线性关系。
因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推 断。
根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立 的条件下，统计量
F ESS / k RSS /(n k 1)
服从自由度为(k , n-k-1)的F分布
给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)， 由样本求出统计量F的数值，通过
F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1) 来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的 线性关系是否显著成立。
我们有：
（1） R 2 R 2
（2）仅当K=0时，等号成立。即 R2 R 2
（3）当K增大时，二者的差异也随之增大
（4） R 2 可能出现负值。
例1 以前面的数据为例，Yt = 1 + 2X2 t + 3X3 t + u t
设观测数据为：Y： 3 1 8 3 5 X2：3 1 5 2 4 X3：5 4 6 4 6
故回归方程为：
Yˆ 4 2.5X 2 1.5X3
R2
Y Xˆ nY 2
Y Y nY 2
3
Y Xˆ 20
76
109
4 2.5
106.5
Y Y
3
1
8
3
1
5
8
108
1.5
nY
2
5
3 1 8 3
5 2
80
3
5
5
R2 106.5 80 26.5 0.9464 108 80 28
Yi Y
2
Yi Yˆi
2
Yˆi Y
2
Yi Y 2
Yi Yˆi 2
Yˆi Y 2
为方便计算，我们也可以用矩阵形式表示R2
我们有：残差 e Y Yˆ Y Xˆ
残差平方和：
e 2 ee (Y ˆX )(Y Xˆ)
Y Y ˆX Y Y Xˆ ˆX Xˆ Y Y ˆX Y Y Xˆ ˆX X ( X X )1 X Y Y Y ˆX Y Y Xˆ ˆX Y Y Y Y Xˆ
R 2 1 (n 1)(1 R2 ) 1 4 (1 0.9464) 0.8928
(n k 1)
(5 3)
习题. 设 n = 20, k = 3, R2 = 0.70 ， 求R 2。 当n = 10，n = 5 时， R又2 是多少。
例2. 设 n = 20, k = 3, R2 = 0.70 ， 求R 2。
而
Y Y 2 Y 2 nY 2 Y Y nY 2
将上述结果代入R2的公式，得到：
R2 1 e2 (Y Y )2
Y
Y
nY Y
2 (Y Y Y Y nY 2
Xˆ )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Y Xˆ nY 2
Y Y nY 2
这就是决定系数R2 的矩阵形式。
判定系数
R 2 ESS 1 RSS
TSS
TSS
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个 解释变量， R2往往增大（Why?)
这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增 加解释变量即可。—— 但是，现实情况往往是，由增 加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2 需调整。
调整的判定系数（adjusted coefficient of determination）
对于中国居民人均消费支出的例子：
一元模型：F=985.6616（P54）
二元模型：F=560.5650 （P72） 给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界 值：
一元例：F(1,30)=4.17 二元例： F(2,28)=3.34 显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。
第三章 多元线性回归模型
------- 拟合优度检验与假设检验
一、拟合优度检验
1、可决系数与调整的可决系数 总离差平方和的分解
则
TSS (Yi Y )2
((Yi Yˆi ) (Yˆi Y )) 2
(Yi Yˆi )2 2(Yi Yˆi )(Yˆi Y ) (Yˆi Y )2
试求 R2和R 2 。
解：我们有
3 1
Y
8
3
5
1 3 5 1 1 4
X 1
5
6
1 2 4
1
4
6
ˆ
( X X )1
X Y
5 15
15 55
25
1
20
81 76
25 81 129 109
267 /10 45 /10
8
45 /10 1
3/2
8 20 4 3 / 2 76 2.5 10 / 4 109 1.5
二、方程的显著性检验(F检验)
方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量 与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成 立作出推断。
1、方程显著性的F检验
即检验模型
Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i
i=1,2, ,n
中的参数j是否显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设：
H0： 0=1=2= =k=0
解：
R 2 1 (n 1)(1 R2 ) 1 19 (1 0.70) 0.644
(n k 1)
(20 4)
下面改变n的值，看一看 R 2 的值如何变化。我们有
若n = 10，则 R 2= 0.55 若n = 5， 则 R 2 = - 0.20
由本例可看出，R 2有可能为负值。 这与R2不同 （ 0 R2 1 ）。
在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自 由度减少，所以调整的思路是：将残差平方和与总离差平 方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度 的影响:
R 2 1 RSS /(n k 1) TSS /(n 1)
其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总 体平方和的自由度。
R是2 经过自由度调整的决定系数，称为修正决定系数。