求线性目标函数的取值范围或最值.docx

简单的线性 (整数 )规划问题

一. 知识要点：

1.线性规划的基础概念

(1)线性约束条件

约束条件都是关于x, y 的一次整式不等式.

(2)目标函数

待求最值 (最大值或最小值 )的函数 .

(3)线性目标函数

目标函数是关于变量x, y 的一次解析式(整式).

(4)线性规划

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候 , 对应的线性规划问题 , 也称为整数规划问题 .

(5)可行解

满足全部约束条件的解 (x, y).

(6)可行域

全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域 .

(7)最优解

使目标函数取到最大值或最小值的可行解.

注意 :

①线性约束条件即可用二元一次不等式表示 , 也可以用二元一次方程

表示 .

②最优解如果存在 (当然 , 最优解有不存在的情况 ), 其个数并不一定是唯一的 , 可能有多个最优解 , 也可能存在无数个最优解 .

③目标函数 z ax by 取到最优解(最大或最小值)的点,往往出现在可行域的顶点或边界上 .

④对于整数规划问题 ( xゥ, y ), 最优解未必在边界或顶点处取得, 往往

要在可行域的顶点或边界附近寻找 .

⑤寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图 , 从而有助于我们发现最优解 .

二.解题思路 :

解决线性规划问题 , 先要准确作出可行域 , 且明白目标函数表示的

几何意义 , 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点 (或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界点或顶点可能不在是最优点 , 而是在它们的临近区域的整点 .

三．求解步骤

①在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题 , 则要先正确写出

规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域 ).

②结合目标函数的几何意义 , 将目标函数变形写成直线的方程形式或

写成一次函数的形式 .

③确定最优点 : 在可行域平行移动目标函数变形后的直线 , 从而找到最优点 .

④将最优点的坐标代入目标函数即可求出最大值或最小值.

四. 高考题演练

x y 10

1. (新课标全国高考 ) 设x, y满足约束条件x y 1 0,则z 2 x 3y 的

x 3

最小值是 ()提示1

A.7

B.6

C.5

D.3

x y2

2. (高考 ) 若变量x, y满足约束条件x 1,则z2x y 的最大值和

y 0

最小值分别为 ().提示 2

A. 4和3

B. 4和2

C. 3和2

D. 2和0

3.(高考 ) 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排 900 名客人旅行 , A、

B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60人, 租金分别为 1600 元/

辆和 2400 元/ 辆, 旅行社要求租车的总数不超过21 辆, 且B型车不多于 A 型车7辆. 则租金最小为 ().提示 3

A. 31200元

B.36000元

C. 36800元

D. 38400元

y2x

4. (高考 ) 若变量,y满足约束条件, 则x 2 y 的最大值为

x y1

y1

().提示 4

A.5

B. 0

C.5

D.

5 232

3x y 60,

5. ( 天津高考) 设变量x, y 满足约束条件x y 2 0, 则目标函数

y 30

z y 2 x的最小值为()提示 5

A. 7

B.4

C. 1

D. 2

6. (高考 ) 若点 ( ,)位于曲线y x 与y 2 所围成的封闭区域,则 2x y

x y

的最小值是 ().提示 6

A. 6

B.2

C. 0

D.2

x y8,

2y x4

7. (高考 ) 若变量x, y满足约束条件, 且目标函数z 5y x 的

x0

y0

最大值为, 最小值为

b , 则a b 的值是() 提示 7

a

A. 48

B.30

C. 24

D. 16

参考答案 :

提示 1：不等式组表示的平面区域如图 1 中阴影部分所示 , 其顶点A, B, C的面积可直接算出, 待求面积为

S ABC1AC h1(44

) 1 4 .

V2233

x y 10,

图1

提示 2：不等式组x10,所围成的平面区域如图 2 中阴影部分所

ax y10

示, 面积为 2, 则21AC 1AC a 1 4 a3or 5 其中-5舍

2

去.

图 2

提示 3: 已知可求出

图 3

uuur uuur uuur uuur uuur

OA,OB. 可设 OA(2,0), OB (1, 3), OP(x, y), 则3

1

y

2 x ( x

)

2 3

, 由

1

3x

y 2y 2 3.

3

y

y

3

可行域参考图 3, 所求面积 S 2

1 4 3 4 3.

2

可行域由如下四个子区域拼接而成 :

3x y

3x y ① y 0

y 0

3x y 2y 2 3 y

3x 2 3

3x

y

3x y ② y 0

y 0

3x y 2y 2 3

y

3 x 2 3

3 3

3x y

3x y ③

y 0

y 0

3x

y 2 y

2 3

y

3

2 3

x

3

3

3x y

3x y ④

y 0

y 0

3x y 2 y 2 3 y

3x 2 3

x 0,

提示 4：已知 a 0, b 0, 且当

y

0,

时, 恒有 ax by 1

x

y 1

当 x 0 y 1 by b 1 0 b 1. 同理 , 当 y

x

1 ax a 1

0 a 1.