求线性目标函数的取值范围或最值.docx
2017-2018学年高中数学北师大版必修5课件：求线性目标函数的最值
题型一
题型一
题型二
题型三
令 y=− ������ +
3
2
������ -1 3
, 要使z 取得最大值,
2
只需将直线 l0:y=− ������平移至经过点A. 3 ������-������-2 = 0, 联立 得A(3,1). ������ + 2������-5 = 0, 故 zmax= 2×3+3×1+ 1=10.
题型一
题型二
题型三
由 z=x+2y+2,得 y=- x+ z-1,得到斜率为- ,在 y 轴上的截距为
1 z-1,且随 2
1 2
1 2
1 2
z 变化的一组平行直线.
1 2 1 2 1 2
由图可知,当直线 y=- x+ z-1 经过可行域上的点 A 时,截距 z-1 最小,即 z 最小, 解方程组 ������ = -2, ������-������ = 1, 得 即 A(-2,-3), ������ + 2 = 0, ������ = -3, ∴zmin=-2+2×(-3)+2=-6. 最大.∴zmax=x+2y+2=4+2=6. ∴z=x+2y+2 的最大值是 6,最小值是-6.
第1课时 求线性目标函数的最值
1.了解线性规划的意义. 2.理解目标函数、约束条件、二元线性规划、可行解、可行域、 最优解等基本概念. 3.会求线性目标函数的最值.
线性规划中的基本概念
名称 意义 约束条件 变量 x,y 满足的一组条件 线性约束条 由 x,y 的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组 件 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x,y 的解析式 线性目标函 目标函数是关于 x,y 的一次解析式 数 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小 题 值问题
线性目标函数的最值
线性目标函数的最值
在线性规划中，我们通常会遇到线性目标函数的最值问题。
线性目标函数是指由线性项组成的目标函数，其中每个变量的系数都是常数。
最值问题要求找出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
在解决线性目标函数的最值问题时，我们可以使用多种方法。
其中一种常用的方法是图形法。
首先，我们将目标函数表示为一个以变量为自变量的直线方程。
然后，我们将所有约束条件表示为线性不等式，并将它们绘制在一个二维坐标系中。
通过观察约束条件和目标函数在图中的关系，我们可以确定目标函数取得最大值或最小值的范围。
另一种解决线性目标函数最值问题的常用方法是单纯形法。
这是一种基于可行解空间的迭代算法，通过不断迭代改善当前解的目标函数值，直到找到最优解。
单纯形法利用了线性规划解的几何特性，通过在可行解空间中移动，逐步接近最优解。
当线性目标函数的变量较多或约束条件较复杂时，我们还可以使用线性规划软件来求解最值问题。
这些软件能够自动解决包含数百个变量和约束条件的线性规划问题，并给出最优解。
线性目标函数的最值问题在实际中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们需要确定如何安排资源以最大化利润或最小化成本。
在运输领域，我们需要确定如何最优地分配货物以最小化运输成本。
在金融领域，我们需要确定如何最优地分配投资以最大化收益。
总之，线性目标函数的最值问题是线性规划中的核心问题之一。
通过图形法、单纯形法或线性规划软件，我们可以解决这类问题，并得出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
这些方法在实际中有广泛的应用，能够帮助我们进行有效的决策和资源分配。
高考数学备考中等生百日捷进提升系列专题07利用线性规划求目标函数的最值(捷进提升篇)原.doc
笫七章不等式利用线性规划求目标函数的最值【背一背重点知识】1.平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集•确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出來，结合图形通过计算解决.2.线性规划问题解题步骤：①作图——画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线/;②平移——将直线/平行移动，以确定最优解的对应点4的位置；③求值——解有关方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，求出目标函数的最值.3.最优解的确定方法：线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当Q0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上方平移到端点（--般是两直线交点）的位置得到的；当肚0时，则是向下方平移. 【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）线性目标函数屮的z不是直线亦血=2在），轴上的截距，把H 77目标函数化为y=-x4-二可知一是直线ax+by=z在）•，轴上的截距，要根据b的符号确定目b bb标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.（2）数形结合思想要牢记，作图—定要准确，整点问题要验证解决.（3）求解线性规划屮含参问题的基本方法：线性规划中的含参问题主耍有两类：一是在条件不等式组中含有参数；二是在目标函数中含有参数.解决此类问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或収值范围；二是先分离含有参数的式子，然后通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件.2.典型例题：0<x<4例1已知关于无,y的不等式组｛x+y-4»0 ,所表示的平面区域的面积为16,则£的Ax-y + 4>0值为（）yni ，例2已知实数兀y 满足ly<2x-\y 如果目标函数z = 的最小值为-1,则实数加等于y<m()A. 7 B ・ 5C. 4D. 3x+y-2<0 例3兀,y 满足约朿条件x-2y-2<0,若z = y-ax^得最大值的最优解不咋二，则实数2x-y + 2>0d 的值为( )A, — — 1 B. — C.2 或 1 2 2【练一练提升能力】 x+yWl1. 已知不等式组表示的平面区域为M,若直线y = kx — 3k 与平面区域M 有公 y>0共点，则k 的取值范围是()2. 给定区域£>：,令点集7 = {(x 0,y 0)e Z)|X 0,>;}G Z,(x 0,y 0)是么二兀+歹在D 上収得最大 值或最小值的点},则T 中的点共确定 _____ 条不同的直线.D. — 3D. 2或一 1 A.丄0 B. (1] -OO —L 3 J L 3」 C. °5 D. 1—OO —— ，3A. -1 或 3B. 1 C ・1或一33.若实数芯)•满足条件(则7 = •的最大值是■【背一背重点知识】已知兀>0, y>0,贝|J（1）如果积xy是定值”，那么当且仅当时，兀+y有最小值是2“（简记：积定和最小）.⑵如果和兀+y是定值卩，那么当且仅当x = y时，小有最大值是厶（简记：和定积最大）.〜〜4【讲一讲提高技能】1•必备技能：（1）在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧，使其满足基本不等式中“正"（即条件要求中字母为正数）、“定"不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错课.而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键./ 1 \2（2）.对于公式临，ab< -—要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两j 2丿个公式也体现了cib和a+b的转化关系.（3）.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得：若忽略了某个条件，就会出现错误.2.典型例题：例1若实数x,y满足xy = l f则x2 + 2y2的最小值为 ________________ 例2某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内测量点的车辆数，单位: 辆/小时）与车流速度u （假设车辆以相同速度u行驶，单位：米/秒）平均车长/（单位：米）的值有关，其公式为F= 27600°VV2+18V +20/（1） ___________________________________________ 如果不限定车型，/ = 6.05,则最大车流量为______________________________________________ 辆/小时；（2） _____________________________________________________________ 如果限定车型,1 = 5,则最大车流量比（1）中的最大车流量增加_________________________ 辆/小时.【练一练提升能力】2 11..己知x>0,y>0,且一+ —= 1,若x+2y>m2+2m恒成立，则实数加的值取值范圉是（）A. m > 4或加5-2 B・m<-4或加A . [70】 c. [C.3] D. [3.+X )1. 一元二次方程根的判别式；2. 导数的计算公式及求导法则.【讲一讲提高技能】1. 必备技能：恒成立问题的解法：(1) 用一元二次方程根的判别式法.有关含有参数的一元二次不等式的恒成立问题，若能把 不等式转化成二次函数或二次方程，利用根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解 决.(2) 分离参数求最值法.如果能够将参数分离出來，建立起明确的参数和变量的关系，则可 以利用函数的单调性求解.«>/(%)恒成立Od>.f(x)畑，即大于时大于函数/(兀)值域 的上界.a<f{x)恒成立oaV/GL”，即小于时小于函数/(x)值域的下界.2 .典型例题：例1若函数丄在(丄.+X )是增函数，则a 的取值范围是() x 22. 若 log 4(3^ + 4/?) = log 2 J",贝I J Q + /?的最小值是(A.6 + 2巧B. 7 + 2語 D.7 + 4 巧3. 若正实数满足a + b = l,则() A. 丄+丄有最大值a bB. ab 有最小值丄 4C. y/a 4- y[b 冇最大值 /7D. a 2+b 2有最小值出 2 C. 6 + 4^3不等式恒成立问题【背一背重点知识】\x + 2y-4<0,例2当实数兀，y满足%-y-l<0,时，15处+yW4恒成立，则实数Q的取值范围是X> \y【练一练提升能力】2 1 1A. 10B. 9C. 8D. 7「已知。
线性目标函数最值
。
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线性规划
练习1: 解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
列条件：
2x+y=0 y
解第第线 一 二性 步 步xy规 ： ：划 在 在yx问 平 可题面行1的直域一角内般坐找步标到2x+骤系最y=：中优-3作解O 出所可 对C行 应(12,域 的122)； 点x+y；=3 第的三 最步 大y： 值解 或方 最1程小的值最。优解A(，-1,从-1而) 求出目标函数B(2,-1)
x 1
时,z的最大值和最小值.
y
C
5
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x 4 y 3 1.先作出3x 5 y 25
x 1 所 表 示 的 区 域.
2.作直线l0 : 2x y 0
x-4y+3=0 3.作一组与直线l0平行的 直线l : 2x y t, t R
（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足
的二元一次不等式组叫做x,y的
；
z=2x+y 叫做
；
y
3
x+y=1
x-y=0
满足
的解(x,y)都叫做可行解；
0
x
使z=2x+y取得最大值的可行解
且最大值为
；
使z=2x+y取得最小值的可行解
，
y=-1
(-1,-1) ，
(2,-1)
2x+y=0
且最小值为
；
这两个可行解都叫做问题的
探索结论
P108
作业
A6
Y 1
对高考线性规划中常见目标函数最值的探讨.doc
对高考线性规划中常见目标函数最值的探讨韩勇学习了线性规划后，其主要应用于解决目标函数的最值从而解决实际问题, 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱, 解答出错，现将目标函数各类型及解法总结如下：一、目标函数为直线型，如Z = ax^hyx>0例1、已知实数x,y满足约束性条件y>0 ,讨论下列目标函数的最值x+y<\(1)Z = 2x+y (2) Z = 2x-y解：画出可行域，0(0, 0), A(l, 0), B(0, 1)(1)作过原点的直线2x+y = 0,平移直线，\y目标函数看为y = -2x + Z,直线上移Z增大，所以Z在0(0, 0)点有最小值为0,在A(l, 0)有最大值为2(2)作过原点的直线2x-y = 0,平移直线，目标函数看为y = 2x-Z ,直线上移Z变小，所以Z在B(0, 1)点有最小值为-1,在A(l, 0)有最大值为2小结：直线型目标函数的最值，画出可行域，作过原点的目标函数平行移动即可的最值。
二、目标函数为距离型(或距离的平方)，如Z=J(X3)2+()，2)2X-2J<0例2、己知实数x,y满足约束性条件尤+)，-3",求目标函数Z = 的最值x>\解：画出可行域，0(0, 0), A(l「)，B(l, 2), C(2, 1), 2法一：Z = Jr + y2表示的是可行域内动点(X, y)与定点0 (0, 0)连线的距离。
当(x, y)运动到A(l「)时距离最小为龙，当(x, y)运动到B(l,2)时距离最2 2 大为,法二：也可理解为以定点o(o,0)为圆心的动半径的圆与可行域的交点问题。
点A(l,l)是圆与可行域的第一个交点，2半径最小为匝。
点B(l,2)是圆与可行域最2后一个交点，半径最大为右小结：距离型目标函数的最值，关键是找准定点。
线性规划求最值的常见题型
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
������0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理 解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点 或最小值点．
(2)������ = ������������++31的最值.
从目标函数的 几何意义思考
非线性目标函 数
（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值
可求得������可���目���9���行标���,���域8函���������中数.=的���的������点几������������到������何���������P2意=点义=的���可���距2���表���离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中 徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题 二、求非线性目标函数的最值问题 三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函 数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视 台的广告时间为主要变 量，公司的收益为两个 电视台获得的收益总和， 故可设两个电视台的广 告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别
特别解析汇报：线性规划求最值
特别解析：线性规划求最值一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）．（A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］ （C ）［－1，2］ （D ）［1，2］解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z x y =-， 变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）．注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．例2 已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（ ）分析：将目标函数变形可得124zy x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直12y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。
解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-。
二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题例3 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），0y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点． ∴312P ⎛⎫⎪⎝⎭，．故答案为32． 注：解决本题的关键是理解目标函数0y y z x x -==-的 几何意义，当然本题也可设yt x=，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时，t 最大．代入y tx =，求出32t =， 即得到的最大值是32． 例3.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域.解析：所给的不等式组表示圆224x y +=的右半圆(含边界)，-5 5 3Ox y CA BL31y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．问题的几何意义：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434a b a b ⎧+=⎨--=⎩解得2565a b ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此min 33z =。
高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题精编版
简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念题型一、求线性目标函数的最值【例1】 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32 [解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y ＝3x －z 斜率为3.由图象知当直线y ＝3x －z 经过A (2,0)时，z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过B ⎝⎛⎭⎫12，3时，z 取最小值－32，∴z ＝3x －y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，6，故选A. [答案] A 【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【对点训练】1．设z ＝2x ＋y ，变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.题型二、求非线性目标函数的最值【例2】 设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．[解] 画出满足条件的可行域如图所示，(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u 最大值＝73，u 最小值＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v 最大值＝－33－5＝32，v 最小值＝83－5＝－4.【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【对点训练】2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则yx的最大值是________，最小值是________．[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝yx 表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为(52，92)，C 点坐标为(1,6)，所以k OB＝95，k OC ＝6. 故y x 的最大值为6，最小值为95. [答案] 6 95题型三、已知目标函数的最值求参数【例3】 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是________． [解析] 如右图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋2y －a ＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝a －22，代入x －2y ＝2中，解得a ＝2. [答案] 2 【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．【对点训练】3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．310D ．0[解析] 选D 由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例4】 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)．∴z 最大值＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．【类题通法】利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．【对点训练】4．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z 最小值＝3×1＋6×2＝15.答案：15【练习反馈】1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．⎝⎛⎭⎫12，12解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除选项A ，B ，D ，故选C.2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.3.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是________．解析：不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示．目标函数可化为y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 及其平行线，知当此直线经过点A 时，－12z 的值最大，即z 的值最小．又A 点坐标为(3,6)，所以z 的最小值为3－2×6＝－9.答案：－94．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域，A (1,1)，C (1,3)．由图可得，|PO |最小值＝|AO |＝2；|PO |最大值＝|CO |＝10.答案：2105．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3，求z ＝x ＋2y 的最小值．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3的可行域，如图所示．画出直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内某点，且可行域内其他点都在l 的不包含直线l 0的另外一侧，该点到直线l 0的距离最小，则这一点使z ＝x ＋2y 取最小值．显然，点A 满足上述条件，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －3y ＝3得点A ⎝⎛⎭⎫125，35， ∴z 最小值＝125＋2×35＝185.。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x 、y 满足约束条件，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件 ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，D 、，解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为，选C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于由右图可知 ,故0＜m ＜3，选C5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩4545230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩3330m m +>⎧⎨-<⎩七、比值问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
巧解线性目标函数的值域
巧解线性目标函数的值域作者：杨亚雄来源：《中国校外教育·基教(中旬)》2013年第07期线性目标函数是新课标的一大热点和必考内容，随着其内容向纵深发展，考查形式多样化，与之密切相连的线性目标函数的值域逐渐浮出水面，活跃在近年的高考题和竞赛题中，笔者根据近几年线性目标函数的值域总结了几中解决方法，供大家参考。
线性目标函数值域线性平移解线性目标函数 Z=Ax+By 的约束条件的值域问题，就是在由满足约束条件的可行解（x y）组成的可行域内，利用线性平移的方法找到点（x0 y0 ），使目标函数取得最大值或最小值。
线性规划求值域的基本方法有五种：分别是几何意义法、变量替换法、解不等式法、界点定值法、向量投影法。
例设x y满足条件 x-4y≤1 ①3x+5y≤25 ②x≥1 ③求z=2x-y的值域解法：1.几何意义法如图1先作出可行域求得A（5、2）B（1、1）C（1、225）作出l0 ：2x-y=0再平移，当过l0 C点时，zmin =-1252.变量替换法由z=2x-y得y =2x- z代入约束条件-7x+4z≤-3 ①13x-5z≤25 ②x≥1 ③把z看作纵轴，划出区域如图2 观察可知最高点H（5、8）L（1、-125）所以zmin =-125 zmax=83.解不等式法由解法2可知-7x+4z≤-3 ①13x-5z≤25 ②x≥1 ③可变为4z+37≤x ①x≤5z+2513 ②x≥1 ③所以1≤5z+2513 ①4z+37≤5z+2513 ②解得-125x≤84.界点定值法把△ABC的顶点A（5 、2）B（1、1）C（1、225）的坐标分别代到目标函数中当x=5 y=2时z=2x-y=2×5-2=8当x=1 y=1时z=2x-y=2-1=1当x=1 y=-125时z=2x-y=2×1-225=-125即zmin =-125 zmax =85.向量投影法笔者根据自己教学过程中发现学生对目标函数的几何意义理解不够深刻时错误解题与浪费时间的原因。
线性目标函数的几种“变式”及相应最值的求法
标函数的问题ꎬ遇到这类问题ꎬ我们该如何处理呢?
【 关键词】 线性规划ꎻ目标函数ꎻ几种变式
线性规划是优化的具体模型之一. 在本模块的教学中ꎬ
教师应引导学生体会线性规划的基本思想ꎬ借助几何直观
解决简单的线性规划问题ꎬ不必引入很多名词. 在« 普通高
解题技巧与方法
１４０
ＪＩＥＴＩ ＪＩＱＩＡＯ ＹＵ ＦＡＮＧＦＡ
线
性目标函数的几种“ 变
式” 及
相应最值的求法
线性目标函数的几种“
变式”
及相应最值的求法
◎谯 用 ( 贵州省罗甸县第一中学ꎬ贵州 黔南布依族苗族自治州 ５５０１００)
等学校招生全国统一考试大纲( 课程标准实验版) » 中ꎬ对线
性规划有这样的描述:“ 对线性规划仍以考查线性目标函数
的最值为重点ꎬ还可能以考查线性规划思想方法的形式出
现ꎬ如利用代 数 式 的 几 何 意 义 ( 距 离、 斜 率、 面 积 等) 求 最
值” . 基于此ꎬ我们说目标函数存在几种变式.
例 １ 某厂拟生产甲、乙两种试销产品ꎬ每件销售收入
题中抽象出简单的二元线性规划问题ꎬ然后加以解决.
解 设甲、乙两种产品分别生产 ｘꎬｙ 件ꎬ约束条件是
ìïｘ ＋ ２ｙ≤４００ꎬ
ï２ｘ ＋ ｙ≤５００ꎬ
目标函
íｘ≥０ꎬ
ï
îｙ≥０ꎬ
数是 ｚ ＝ ３ｘ ＋ ２ｙ. 要求出适当
的 ｘꎬｙꎬ使得 ｚ ＝ ３ｘ ＋ ２ｙ 取得
最大值ꎬ要先画出可行域ꎬ如
图所 示ꎬ 考 虑 ３ｘ ＋ ２ｙ ＝ ａꎬ
ｘ ＋２
点 Ａ( － ２ꎬ － ２) 连线的斜率.
１
４
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题
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16
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17
类型一 二元一次不等式表示的平面区域及整 点问题 解题准备： 不等式组表示的平面区域是各个不 等式所表示的平面点集的交集，即是各个不等 式所表示的平面区域的公共部分．整点：区域 内横、纵坐标为整数的点．
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18
x－y＋5≥0， 【典例 1】 画出不等式组 x＋y≥0， x≤3.
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28
[点评 ]
由于点 A 不是整点，在可行域中寻找满足条件的整
点时，不能以与 A 点的距离为依据，应以与过点 A 的直线 l 的距 离为依据， 从图可知整点 C(4,1)， 距点 A 最近， 然而 SC＝7× 4＋ 1× 5 4 4 1 5 5 ＝ 33，而点 C 到 l 的距离 dC＝ ，点 B 到 l 的距离为 dB＝ ， 74 74 因此，应舍 C 而取 B.用数形结合的观点看，直线 l：7x＋ 5y＝ t 在 t 4 y 轴上的截距为 ，l 只有过可行域中与直线 7x＋ 5y＝ 34 距离最近 5 5 t 的点，在 y 轴上的截距 才最大，即 t 最大，使 S＝ 7x＋ 5y 达到最 5
答案：D
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点评：学习数学要在“做中学”，勤动笔，勤 动脑，这里的“动”是没有人可以替代的．
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4．某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要 2 求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 ， 且对每个项目的投资 3 不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润， 对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划 投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( A．36 万元 C． 30.4 万元 B． 31.2 万元 D．24 万元 )
目标函数系数与最佳解范围目标函数系数的最佳解范围
3
1/3 1/3 8/3 1/3
8
0
0
800 400 6400
1 10/3 0 0 -20/3 1 8 80/3 0 0 -80/3 0
zj cj - zj
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例題: Jonni’s 玩具公司
單形法: 第三個表
x1 x2 s1 s2
基底 cB
x2 x1 8 3
3
0 1 3 0
為了使第 cj - zj 列保持非正, 故8/3 < c1 < 4
Slide 26
例題: Jonni’s 玩具公司
c2 (小型玩偶)的最佳解範圍 以 c2 取代目標函數中的8（第cB 行).然後重新計算 zj 和 cj - zj 列.
zj 3 c2 -60 +10c2 9 - c2 3600 + 400c2
s.t. x1 + 2x2 + 3x3 < 15 -3x1 - 4x2 - 6x3 < -24 x1 + x2 + x3 < 10 -x1 - x2 - x3 < -10 x1, x2, x3 > 0
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例題: 原題和正規型!
正規原題的對偶命題 有四個對偶變數, U1, U2, U3‘, U3“.對偶變數的目標函數係 數，為原命題的RHS. 對偶命題的 RHS ，為原命題目標 函數係數的對偶. 對偶命題的列，為原命題的行. Min z = 15U1 - 24U2 + 10U3' - 10U3"
s.t. U 1 - 3U 2 + U 3 ' 2U1 - 4U2 + U3' 3U1 - 6U2 + U3' U3" > 2 U3 " > 1 U3" > 3
线性目标函数的最值及取值范围-学易试题君之每日一题君2018学年高二数学(文)人教版(上学期期末复习)
高考频度：★★ห้องสมุดไป่ตู้★☆难易程度：★★★☆☆
（1）已知点x，y满足约束条件 ，则 的最大值与最小值之和为
A．7B．9
C．11D．12
（2）已知实数x，y满足 ，则 的取值范围是________________．
【参考答案】（1）C；（2） ．
故z的最大值与最小值之和为11，故选C．
1．【答案】B
【解析】画出不等式组 表示的可行域，如图中阴影部分所示，平移直线 ，可知当直线经过点 时，目标函数 取得最小值，最小值为6．故选B．
图1图2
（2）作出 表示的平面区域，如图2中阴影部分所示．
易知目标函数 + · ，它表示可行域内的点与Q( ， )连线的斜率的一半再加上 ，易得A(1，3)，B(3，1)，所以直线QA的斜率 ，直线QB的斜率 ，
数形结合可知， + + ，所以 的取值范围是 ．
【名师点睛】（ 1）解线性目标函数 在约束条件下的最值及取值范围问题，就是在满足约束条件的可行解 组成的可行域内，利用线性平移的方法找到点 ，使目标函数取得最大值或最小值．求解的关键是准确作出可行域，正确理解目标函数的几何意义．学+科网
（2）线性约束条件下的线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值或取值范围．
1．已知x，y满足不等式组 ，则目标函数 的最小值为
A．4B．6
C．8D．10
2．已知实数x，y满足 ，则 的取值范围为________________．
线性目标函数问题.doc
课题 线性规划一、基础知识1、若点()2,t -在直线2360x y -+=的下方区域，则实数t 的取值范围是2、图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示为3、已知实数x y 、满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤≤，则2z x y =-的最大值是______．5、已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2222x y x y +--的最小值为例题巩固线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为a z c y xb b -=-+，则zc b-可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.8、设,2,,2,x y x y z y x y -≥=<⎧⎨⎩ 若－2≤x ≤2，－2≤y ≤2，则z 的最小值为▲二, 非线性目标函数问题的解法当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。
近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种： 1． 比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
2.距离问题当目标函数形如22()()z x a y b =-+-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q a b 距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。
3．截距问题例4 不等式组x+y 00x y x a ≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域面积为81，则2x y +的最小值为_____解析 令2z x y =+，则此式变形为2y x z =-+，z 可看作是动 抛物线2y x z =-+在y 轴上的截距，当此抛物线与y x =-相切 时，z 最小，故答案为14-4．向量问题已知平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。
二次线性规划求目标函数的最值.doc
1. （13年江苏T9）抛物线_y = x 2在x = l 处的切线与两少标轴围成三角形区域为/J （乜含 三角形内部和边界）.若点P （x, y ）是区域D 内的任意一点，则x + 2y 的取值范围是 _______ . 【测景H 标】异数的几何意义、直线方程以及线性规划问题.【考杏方式】给定函数和切点横屮标，利川导数的儿何意义求出切线方程，然后得到可行域，【参考答粱】[—2,—]【试题解析】由于/二2x,所以抛物线在x = l 处的切线方程为y-l = 2（x-l ）,即:v = —l.iffli 出可行域（如图）.（步骤 1）设x + 2）’ = z,则），=—丄x +丄z 经过点A （丄，0），B （0，—1）吋，z 分别取敁大值和敁小值，此时敁大值z nWi =—，敁小值=-2 ,故取值范围是 2[-2,-].（步骤 2）22. （13安徽T12）若非负数变fix,满足约束条件【测SFI 标】二元线性规划求FI 标函数敁值.【考杏方式】结合约朿条件，成用数形结合思想M 出不等式组所表示的平面区域，求出线性 规划FI 标函数的最大值. 【参考答案】4【试题解析】先画岀讨行线，再画n 标函数线过原点时的直线，句上平移，寻找满足条件的最优解，代入即可得所求./1B第1题阁LSC23x-y^-\ x +2)<4冉利用线性规划问题的一般解法求解鉍值范ffl根裾题目屮的约束条件M出可行域，注意到x，y非负，得可行域为如阁所示的阴影部分（包括边界）.作直线＞，=-并向上平移，数形结合吋知，当直线过点A（4,0）时，JC+J取得最大值，最大值为4.x (2)3. （13年浙江T15）设z 二虹+y,其屮实数厶y 满足< x —2y + 4 ...0 ,若z 的最人值为 2x-y-4…12，则实数h.【测fiFI 标】线性规划解蛣值.【考查方式】给岀约朿条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性 规划目标函数的最小值. 【参考答案】2x (2)【试题解析】作出不等式组x-2;v + 4...O 表示的平而区域，得到如阁的AABC 及其内部，2x 一）'’一 4，，0艿中 A (2，0), B (2, 3), C (4, 4)(步骤 1)设z=F （x ，y ） =kx+y,将直线z = 进行平移，可得①当A<0吋，且线/的斜率-k>0.（步骤 2）由图形可得当/经过点B （2, 3）或C （4, 4）时，z 可达最人位，此时，z=F （2, 3）lIldA=2々+3 或z.mx =F （4，4） =4H4.（步骤 3）IlldX但由于A<0,使得2H3<12.rt4H4<12,不能使Z 的最大位为12,故此种情况不符合题 意.（步骤4）②当feO 时，直线/的斜率-feO,由图形可得当/经过点C 时，鬥标函数z 达到敁大值 此吋 zm ax =/? (4, 4) =4K4=12,解得 h2.IIlUA FGQ43符合题意，综上所述，实数）1的值为2.（步骤5）4. （13福建T6）若变量x ，y 满足约束条件1x^l 3^0,则 z = 2x+y的最人饥和最小值分别为（A. 4 和 3 C. 3 和 2【测量目标】二元线性规划求H 标函数最值.【考查方式】给出不等式组，作出其表示的可行域、再通过T 移图象 求最优解.B. 4 和 2 D. 2 和 0【参考荇案】B【试题解析】作出可行域，通过目标函数线的〒•移寻求最优解.作出可行域如图阴影部分.（步骤1）作直线2x+y = 0,并14右上平移，过点A 吋z 取最小值，过点B 吋z 取最人值，可 求得 A （l ，0），S （2,0），X...0，5. （13 年全国卷 T15 ）苦x 、满足约束条件、x + 3y...4，则3x+y …4,【测fiFI 标】二元线牲规划求FI 标函数敁值.【考杏方式】直接给出函数的约朿条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小 值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找敁优解.由不等 式组作出可行域，如图阴影部分所示（包拈边界），且过点义（1，1）时，z min =-1 + 1= 0.1剔x 36. （13年新课标IT14）设冬y 满足约束条件，则z = y 的最人值为 —1叕仏一夕0【测量FI 标】线性规划解敁值.【考查方式】直接给出约束条件，利川线性规划性质求Z. 【参考答案】3【试题解析】作出可行域，进一步探索鉍人值.作ill 可行域如图阴影部分.nun = 2，max =4.（步骤2）’4、 %GXX3第5题图CQ09第6题图（步骤1）.由数形结合知，直线y = x+z作且线Zv- y = 0,并向右平移，当平移至直线过点万时，z = 2x-y取得最大{x = 3’得 B （3,3） ....Znm =2x3-3 = 3.（步骤2）x-y = O, max2x + 3），-6，，07.（13尔山永T14）在平面直角坐标系屮，A/为不等式姐＜ x+.y-2...0所表示的..0区域上一动点，则直线|OM|的最小值为_______【测景H标】二元线性规划求目标函数的最小值.【考查方式】给出约朿条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的〒面区域，求出线性规划H标函数的最小值.【参考答案】【试题解析】如图所示，M为图屮阴影部分的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以|OM|的最小第7题阁SFT5x+y，，8,8.（13年四川T8）若变fix，y满足约束条件j2y_X” 4’.R. z = 5y — %的《大值为6/,敁X...0，y ...0，小值为则一&的值是（）A. 48B.30C.24D.16 【测呈目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出变量约束条件，画图求n标阑数的最优解.【参考答案】c【试题解析】先将不等式2y-x，，4转化为x-2y...-4,画出不等式组表示的平面区域，并Y 7找出目标阑数= ^+—的最优解，进时求得A 6的值. 55X 7Z = 5y-^y = r -.（步骤姻知目标碰＞，= — + —， 过 点 A （8,0） z nlin = 5夕一 x=5x0 —8= —8 ,即/? = 一8.Y7目称函数y 二—I —过点 B （4， * 5 5z max = 5y-x = 5x4-4 = 16,即 cz = 16....6/— /?二 16 — （一8）=24,故选 C.（步骤 3）x-y + 3 09. （13年广东T13 ）己知变量冬）;满足约朿条件，—1剽义1，则z = x+ y y..A的敁大值是 _________【测景H 标】线性规划M 题的最值求解.【考负方式】画出线性约束条件表示的平面区域，川图解法求最值. 【参考答案】5【试题解析】画出乎面区域如图阴影部分所示，由z = x + y,得y = —x + z ,z 表示直线+ z 在;V 轴上的截距，（步骤1）由图知，当直线＞' = -x+z 经过点S （l,4）吋，目标函数取得最大值，为z = l + 4 = 5.（步骤 2）x+2y” 8，10. （13年湖南T13）若变量x ，y 满足约束条件、0劉x 4,则x+y 0 穀J ），3的最人值为 _____ .【测景S 标】线性规划知识求最值.【考査方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平而区域，求出线性X+），，，8,2）’-%，，4, x ...0,x+y ."8，2y-x ...-4, X...0,由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，时 （步骤2）4）时第8题图GXX15第9题图LSC35规划目标函数的最人值. 【参考答案】6【试题解析】根据不等式组出其〒面区域，令2 =又+>，，结合直线2 =又+3,的特征求解. 如图，岡出不等式组表示的平面区域，平行移动2 =又+7经过点4（4,2）吋，Z 取最人值6 .11. （13年陕西T7）若点位于曲线），=•¥与），=2所围成的封闭区域，则2%-），的最小值为 （）• A. —6 B. ~2 C. 0 【测景目标】二元线性规划求R 标函数最值.【考杏方式】M 出封闭区域，找出最优解，简单的数形结合能力. 【参考答案】A【试题解析】曲线y = |x|,j = 2所M 成的封闭区域如图阴影部分所示， 当直线/: y = 2%向左平移时，（2;c — y ）的伉在逐渐变小， 当/通过点/1（-2,2）吋，（2x-）O tni n 二―6.3x + v — 6 ...0，12. （13天津T2）设变置x ，y 满足约束条件2，，0,则R 标函数z 二y-2x 的最小值 >’一 3，，0，为（）A. -7B.-4C. 1D.2【测撒目标】二元线性规划求目标函数的最位.【考査方式】给出约朿条件，作出可行域，通过平移II 标函数，求可行 域的最值. 【参考符案】A【试题解析】作出可行域，平移直线y = 2x ，当直线过可行域内的点A （5,3）时，Z 有最小值，Z. =3-2x5 = -7.jxq21x — y +1 •..（），13. （13年新课标I1T3）设％，y 满足约束条件，x+y-1...0，，则z=2x-3j.，的最小值足 又”3，（）D. 2 y第11题图CGC44A.-7B.-6C.-5D.-3 【测量H标】二元线性规划求y标函数的最小值.【考查方式】不等式组给flix, y的可行区间，n标函数求出最小值.【参考答案】B【试题解析】本题可先画出可行域，然后根裾阁象确定出蛣小值点进行解答.作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）知直线z=2;r-3y过点C吋，取得最小值. MF28f -^ = 3, [x-y=2x3-3x4=-6, 故选+ l = O,第13题图B.。
求线性目标函数的取值范围或最值
简单的线性(整数)规划问题一.知识要点：1.线性规划的基础概念(1)线性约束条件约束条件都是关于x, y的一次整式不等式.(2)目标函数待求最值(最大值或最小值)的函数.(3)线性目标函数目标函数是关于变量x, y的一次解析式(整式).(4)线性规划在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候, 对应的线性规划问题, 也称为整数规划问题.(5)可行解满足全部约束条件的解(x, y).(6)可行域全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域.(7)最优解使目标函数取到最大值或最小值的可行解.注意:①线性约束条件即可用二元一次不等式表示, 也可以用二元一次方程表示.②最优解如果存在(当然, 最优解有不存在的情况), 其个数并不一定是唯一的, 可能有多个最优解, 也可能存在无数个最优解.③目标函数z ax by=+取到最优解(最大或最小值)的点, 往往出现在可行域的顶点或边界上.④对于整数规划问题(,x yゥ), 最优解未必在边界或顶点处取∈∈得, 往往要在可行域的顶点或边界附近寻找.⑤寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图, 从而有助于我们发现最优解.二. 解题思路:解决线性规划问题, 先要准确作出可行域, 且明白目标函数表示的几何意义, 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界点或顶点可能不在是最优点, 而是在它们的临近区域的整点.三．求解步骤①在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题, 则要先正确写出规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域).②结合目标函数的几何意义, 将目标函数变形写成直线的方程形式或写成一次函数的形式.③确定最优点: 在可行域平行移动目标函数变形后的直线, 从而找到最优点.④ 将最优点的坐标代入目标函数即可求出最大值或最小值.四. 高考题演练1. (新课标全国高考) 设x , y 满足约束条件1010,3x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则23z x y =-的最小值是( ) 提示1 A. 7- B. 6- C. 5- D. 3-2. (高考) 若变量x , y 满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩, 则2z x y =+的最大值和最小值分别为( ). 提示2 A. 43和 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0 3. (高考) 某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行, A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人, 租金分别为1600元/辆和2400元/辆, 旅行社要求租车的总数不超过21辆, 且B 型车不多于A 型车7辆. 则租金最小为( ). 提示3 A. 31200元 B. 36000元 C. 36800元 D. 38400元 4. (高考) 若变量x , y满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩, 则2x y +的最大值为( ). 提示4 A. 52- B. 0 C. 53D.525. (天津高考) 设变量,x y满足约束条件360,20,30x yx yy+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x=-的最小值为( ) 提示5A. 7-B. 4-C.1D. 26. (高考) 若点(x, y)位于曲线y x=与2y=所围成的封闭区域, 则2x y-的最小值是( ). 提示6A. 6-B. 2-C.0D. 27. (高考) 若变量,x y满足约束条件8,24,x yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且目标函数5z y x=-的最大值为a, 最小值为b, 则a b-的值是( ) 提示7A. 48B. 30C.24D. 16参考答案:提示1：不等式组表示的平面区域如图1中阴 影部分所示, 其顶点A , B , C 的面积可直接算 出, 待求面积为1144(4)1.2233ABC S AC h =⋅=⨯-⨯=V 图1提示2：不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩所围成的平面区域如图2中阴影部分所示, 面积为2, 则12114352AC AC a a or =⋅⇒=+=⇒=-其中-5舍去.图2 图3提示3: 已知可求出,.3OA OB π〈〉=u u u r u u u r 可设(2,0),(1,3),(,),OA OB OP x y ===u u u r u u u r u u u r 则1(22x x y λλμμ⎧=⎪+=⎧⎪⎪⇒⎨=⎪=⎪⎩,由12y y λμ+≤⇒-+≤ 可行域参考图3,所求面积1242S =⨯⨯=可行域由如下四个子区域拼接而成:①002y yy y y y y ≥≥≥⇔≥⎨⎨⎪-+≤≤+⎩②002yy y y y y y ≥≥≤⇔≤⎨⎨⎪--≤⎪≥-⎪⎩③0233yy y y y y y x ≤≤≥⇔≥⎨⎨⎪⎪++≤⎩⎪≤+⎪⎩④002y y y y y y y ≤≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪+-≤≥-⎩⎩提示4：已知0,0,a b ≥≥且当0,0,1x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时, 恒有1ax by +≤⇒当0110 1.x y by b b =⇒=⇒=≤⇒≤≤同理, 当0110 1.y x ax a a =⇒=⇒=≤⇒≤≤不等式组0101ab≤≤⎧⎨≤≤⎩所围成的平面区域参考图4, 其面积为1.图4 图5提示5: 由不等式组直接作出平面区域见图5, 注意直线20kx y-+=过定点(0, 2). 由平面区域面积为4, 可知122241 3.2k k or⨯⨯+=⇒=-其中-3舍去.提示6：换元法平面区域{}(,)(,)B x y x y x y A=+-∈, 可令2,2m nxm x yn x y m ny+⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=--⎩⎪=⎪⎩再根据条件,1221(,)00,22m n m nmm nx y A m nm nm n+-⎧+≤⎪≤⎧⎪+⎪⎪∈⇔≥⇔+≥⎨⎨⎪⎪-≥⎩-⎪≥⎪⎩由此不等式组确定的平面区域即为{}(,)(,)B x y x y x y A=+-∈确定的平面区域, 见图6, 其面积为112 1.2⨯⨯=图6 图7提示7: 平面区域D见上图7阴影部分所示, 直线1y kx=+过定点(0, 1)根据平面几何知识可知, 若直线1y kx=+将区域D分成面积相等的两部分, 则直线1y kx=+只需过AB的中点即可. 易求中点坐标33 (,)22. 再代入到直线1y kx=+, 可求1.3 k=。
目标函数系数的取值范围
目标函数系数的取值范围1. 取值范围为正实数当目标函数系数的取值范围为正实数时，表示对目标的增加有正向的促进作用。
换言之，增加目标函数系数的值将使得问题的目标得到更好的实现。
例如，在生产计划中，如果目标函数系数代表利润，那么增加目标函数系数的值将使得企业的利润更大。
因此，当目标函数系数的取值范围为正实数时，问题的解将趋向于使目标函数值最大化。
2. 取值范围为负实数与正实数相反，当目标函数系数的取值范围为负实数时，表示对目标的增加有负向的阻碍作用。
换言之，增加目标函数系数的值将使得问题的目标实现变得更困难。
例如，在资源分配中，如果目标函数系数代表成本，那么增加目标函数系数的值将使得资源分配的成本更高。
因此，当目标函数系数的取值范围为负实数时，问题的解将趋向于使目标函数值最小化。
3. 取值范围为零当目标函数系数的取值范围为零时，表示目标函数系数对目标的实现没有影响。
换言之，无论目标函数系数取多少，问题的目标实现都不会受到任何影响。
例如，在线性回归中，如果目标函数系数代表特征的重要性，那么目标函数系数为零可能表示该特征对目标变量的影响不显著。
因此，当目标函数系数的取值范围为零时，问题的解可以不受目标函数系数的影响而得出。
4. 取值范围为整数当目标函数系数的取值范围为整数时，表示目标的优化需要整数解。
换言之，问题的解必须是整数值才能满足目标函数的要求。
例如，在生产调度中，如果目标函数系数代表生产数量，那么目标函数系数为整数可能表示生产数量必须为整数值。
因此，当目标函数系数的取值范围为整数时，问题的解必须满足整数约束条件。
5. 取值范围为任意实数当目标函数系数的取值范围为任意实数时，表示目标的优化没有特定的限制。
换言之，问题的解可以是任意实数值，没有特定的优化方向和程度。
例如，在线性规划中，如果目标函数系数代表某个指标的权重，那么目标函数系数为任意实数可以表示对该指标的优化没有特定的要求。
因此，当目标函数系数的取值范围为任意实数时，问题的解可以是任意实数值。
目标函数系数的取值范围
目标函数系数的取值范围目标函数是数学规划中的一个重要概念，它用于描述问题的目标或者利益。
在线性规划中，目标函数是一个线性表达式，其中每个变量的系数决定了在优化过程中该变量的重要性。
本文将讨论目标函数系数的取值范围，并解释不同取值范围对优化结果的影响。
1. 系数取值为正数：如果目标函数系数都为正数，那么最优解将会在约束条件允许的范围内最大化目标函数的值。
这种情况常见于追求最大收益、最大利润、最大效益等问题。
例如，一个企业希望最大化其销售额，那么目标函数中的销售额系数应为正数，以确保在满足其他约束条件的前提下，销售额能够最大化。
2. 系数取值为负数：与系数取值为正数相反，如果目标函数系数都为负数，那么最优解将会在约束条件允许的范围内最小化目标函数的值。
这种情况常见于成本最小化、风险最小化、损失最小化等问题。
例如，一个企业希望最小化其生产成本，那么目标函数中的成本系数应为负数，以确保在满足其他约束条件的前提下，成本能够最小化。
3. 系数取值为零：如果目标函数中某个变量的系数为零，那么该变量在优化过程中将不会对目标函数的值产生影响。
这种情况常见于某些变量与目标函数之间不存在直接的关联关系，或者该变量在实际问题中并不需要被优化。
例如，一个企业的目标是最大化销售额，而目标函数中的某些变量与销售额无关，那么这些变量的系数可以设为零。
4. 系数取值范围为正负数：在实际问题中，目标函数系数的取值范围往往是正负数都有可能。
这种情况下，最优解将会在约束条件允许的范围内使得目标函数的值最大或最小。
例如，一个企业希望在给定的资源约束下最大化利润，那么目标函数中的利润系数可以是正数，表示追求最大利润，也可以是负数，表示追求最小成本。
需要注意的是，目标函数系数的取值范围只是影响优化结果的一个因素，还有其他因素如约束条件、变量的取值范围等也会对优化结果产生影响。
在实际问题中，我们需要综合考虑这些因素，选择合适的目标函数系数取值范围，以获得最优解。
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简单的线性 (整数 )规划问题
一. 知识要点：
1.线性规划的基础概念
(1)线性约束条件
约束条件都是关于x, y 的一次整式不等式.
(2)目标函数
待求最值 (最大值或最小值 )的函数 .
(3)线性目标函数
目标函数是关于变量x, y 的一次解析式(整式).
(4)线性规划
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候 , 对应的线性规划问题 , 也称为整数规划问题 .
(5)可行解
满足全部约束条件的解 (x, y).
(6)可行域
全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域 .
(7)最优解
使目标函数取到最大值或最小值的可行解.
注意 :
①线性约束条件即可用二元一次不等式表示 , 也可以用二元一次方程
表示 .
②最优解如果存在 (当然 , 最优解有不存在的情况 ), 其个数并不一定是唯一的 , 可能有多个最优解 , 也可能存在无数个最优解 .
③目标函数 z ax by 取到最优解(最大或最小值)的点,往往出现在可行域的顶点或边界上 .
④对于整数规划问题 ( xゥ, y ), 最优解未必在边界或顶点处取得, 往往
要在可行域的顶点或边界附近寻找 .
⑤寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图 , 从而有助于我们发现最优解 .
二.解题思路 :
解决线性规划问题 , 先要准确作出可行域 , 且明白目标函数表示的
几何意义 , 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点 (或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界点或顶点可能不在是最优点 , 而是在它们的临近区域的整点 .
三．求解步骤
①在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题 , 则要先正确写出
规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域 ).
②结合目标函数的几何意义 , 将目标函数变形写成直线的方程形式或
写成一次函数的形式 .
③确定最优点 : 在可行域平行移动目标函数变形后的直线 , 从而找到最优点 .
④将最优点的坐标代入目标函数即可求出最大值或最小值.
四. 高考题演练
x y 10
1. (新课标全国高考 ) 设x, y满足约束条件x y 1 0,则z 2 x 3y 的
x 3
最小值是 ()提示1
A.7
B.6
C.5
D.3
x y2
2. (高考 ) 若变量x, y满足约束条件x 1,则z2x y 的最大值和
y 0
最小值分别为 ().提示 2
A. 4和3
B. 4和2
C. 3和2
D. 2和0
3.(高考 ) 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排 900 名客人旅行 , A、
B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60人, 租金分别为 1600 元/
辆和 2400 元/ 辆, 旅行社要求租车的总数不超过21 辆, 且B型车不多于 A 型车7辆. 则租金最小为 ().提示 3
A. 31200元
B.36000元
C. 36800元
D. 38400元
y2x
4. (高考 ) 若变量,y满足约束条件, 则x 2 y 的最大值为
x y1
y1
().提示 4
A.5
B. 0
C.5
D.
5 232
3x y 60,
5. ( 天津高考) 设变量x, y 满足约束条件x y 2 0, 则目标函数
y 30
z y 2 x的最小值为()提示 5
A. 7
B.4
C. 1
D. 2
6. (高考 ) 若点 ( ,)位于曲线y x 与y 2 所围成的封闭区域,则 2x y
x y
的最小值是 ().提示 6
A. 6
B.2
C. 0
D.2
x y8,
2y x4
7. (高考 ) 若变量x, y满足约束条件, 且目标函数z 5y x 的
x0
y0
最大值为, 最小值为
b , 则a b 的值是() 提示 7
a
A. 48
B.30
C. 24
D. 16
参考答案 :
提示 1：不等式组表示的平面区域如图 1 中阴影部分所示 , 其顶点A, B, C的面积可直接算出, 待求面积为
S ABC1AC h1(44
) 1 4 .
V2233
x y 10,
图1
提示 2：不等式组x10,所围成的平面区域如图 2 中阴影部分所
ax y10
示, 面积为 2, 则21AC 1AC a 1 4 a3or 5 其中-5舍
2
去.
图 2
提示 3: 已知可求出
图 3
uuur uuur uuur uuur uuur
OA,OB. 可设 OA(2,0), OB (1, 3), OP(x, y), 则3
1
y
2 x ( x
)
2 3
, 由
1
3x
y 2y 2 3.
3
y
y
3
可行域参考图 3, 所求面积 S 2
1 4 3 4 3.
2
可行域由如下四个子区域拼接而成 :
3x y
3x y ① y 0
y 0
3x y 2y 2 3 y
3x 2 3
3x
y
3x y ② y 0
y 0
3x y 2y 2 3
y
3 x 2 3
3 3
3x y
3x y ③
y 0
y 0
3x
y 2 y
2 3
y
3
2 3
x
3
3
3x y
3x y ④
y 0
y 0
3x y 2 y 2 3 y
3x 2 3
x 0,
提示 4：已知 a 0, b 0, 且当
y
0,
时, 恒有 ax by 1
x
y 1
当 x 0 y 1 by b 1 0 b 1. 同理 , 当 y
x
1 ax a 1
0 a 1.
不等式组
a
1
所围成的平面区域参考图4, 其面积为 1. 0b1
图 4图 5
提示 5: 由不等式组直接作出平面区域见图5,注意直线 kx y 2 0 过
定点 (0, 2). 由平面区域面积为 4, 可知1
22k 2 4 k 1 or 3. 2
其中 -3 舍去 .提示 6：换元法
平面区域 B( x y, x y) ( x, y)
m n m n
22条件 ,m n
(x, y) A0
2
m n
20
m n
A ,可令
m
x y
x
2, 再根据
n x y m n
y
2
1
m1
m n 0, 由此不等式组确定的平
m n0
面区域即为 B(x y, x y) (x, y) A 确定的平面区域,见图6,其面积1
为 1 2 1.
2
图 6图7
提示 7: 平面区域D见上图 7 阴影部分所示 , 直线y kx 1过定点(0, 1)根据平面几何知识可知 , 若直线y kx 1将区域D分成面积相等的两
部分 , 则直线y kx 1只需过 AB 的中点即可.易求中点坐标(3
,
3
) .再
1.22
代入到直线 y kx 1 ,可求 k
3。