数理方程第一章-2

u S f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
u n f2
S
Hale Waihona Puke Baidu
第三类边界条件：物理条件规定了 u 与其导数在边界上值之间的某个线性 关系，如 u ( u) f 3
n
S
说明：（ 1）f1 , f 2 , f 3 都定义在边界 S 上，一般也依赖于时间t ; （2）若 f1 f 2 f 3 0 ，称之为齐次边界条件 ，否则称之为非齐次；
（3）对于稳恒场，上述边 界条件的两端均不含时 间t ;
（4）边界条件的推导，步 骤与泛定方程的推导大 致相同，但微元只能在 边界上选取。
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数理方程：边界条件
第一类边界条件：直接给出考察量在边界S上的值：
u( x, t ) S f1
第二类边界条件：给出考察量的导数在边界上的值：

a
右端点在振动过程中不受 u (位移)方 向的外力，从而这个端点在位移方向 上的张力为 0。 u T sin T tg T 0 x x a
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u
0
T
（3）弹性支承端
x
a
设弹性支承端原来的位 置： u0
则 u xa 表示弹性支承的应变。
由 Hooke定律知，这时弦在 x a 处，沿位移u 方向的引力
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二、边界条件——具体物理问题的边界约束状态
以弦振动为例，弦振动时，其端点（以 x=a 表示这个端点）所受到的约束情 况，通常有以下三类
u
x
0
（1）固定端（右端）
右端点在振动过程中始终保持不动。
u xa 0 or u (a, t ) 0
●
a
u
x
0
（2）自由端（右端）
u u 0 x S
分别称为第一类，第二类，第三类齐次边界条件
u x
u( x, t ) S f1
f2
S
u u f3 x S
fi0
分别称为第一类，第二类，第三类非齐次边界条件
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数理方程：泛定方程
要求：写出弦振动的定解问题。
2 2u u 2 a 2 t x 2
(0<x<L, t>0)
u ( x) t t 0
u( x, t ) t 0 ( x),
从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情况，那末其 后的发展，也必是确定的了；换言之，其相应的数学问题，应该有唯一的解。
一、初始条件——系统内部描述与时间有关的初始状态的数学 表述。 （1）弦振动
物体若以： ( x )为初位移， ( x )为初速度.
初始条件表述为： u t 0 ( x ) u ( x) t t 0
（2）热传导
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物体若以： (M ) 表示 t 0 时，其内部任意一点 M ( x, y, z) 处的温度。
初始条件表述为： u ( M , t ) t 0 ( M )
特别说明：Poisson 方程，Laplace 方程，都是描述稳恒状态的，与初 始条件无关，可不提初始条件。 列出初始条件，一般都不至于感到困难，不过有一点必须强调：初始条 件应当说明整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！
u （ u) u1 S n S
其中 h k
由于 u1 是可测量的，设u1 f3 ( x, y, z, t )，那么有
u （ u) f 3 n S
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本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
ds ●M S(闭曲面) V(体积)
(2) 物体 V 与周围介质处于绝热状 态.
则边界条件为：
u 0, 流经 S 的热量流速为0 n S
u
内部介质
u1
k
(3) 两种不同介质间的热交换
外面介质
S
S1
k1
u
内部介质
u1
(3) 两种不同介质间的热交换
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现在考虑将物体置于另 外一种介质的情况:
数理方程：初始条件
u 泛定方程只含一阶微商 t ，只有一个初始条件：
u( x, t ) t 0 ( x)
2u 泛定方程含二阶微商 t 2 ，需要两个初始条件:
u( x, t ) t 0 ( x)
u t
( x)
t 0
泛定方程不含时间变量，不涉及初始条件（例如 拉普拉斯方程）
(0<x<L, t>0)
u 0 t t 0
例1 ：
u( x, t ) t 0 ( x),
(0x L)
u( x, t ) x0 0, u( x, t ) xL 0 (t>0)
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例2：
已知：均匀柔软弦，x=0是自由端，x=L固定， 弦的初始位移和初始速度为任意函数
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建立数学物理方程
1. 统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分 析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方 程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物 学、生态学、经济学、社会学等。
du 人口增长问题 u (Malthus模型) dt
众多的生物学 d u u u 2 (Logistic模型) 及社会学问题 d t
初始条件:
u( x, t ) t 0 ( x)
u ( x) t t 0
(初始速度)
(初始位移)
（弦振动） (热传导)
u( x, t ) t 0 ( x) (初始温度分布)
边界条件:
u( x, t ) x0 0
(起点固定)
u( x, t ) xL f (t ) （弦振动）
因此有关系 k
u dS d t h(u u1 )dS d t n
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因此有关系
k
u dS d t h (u u1 ) dS d t n
u k h ( u u1 ) n
即
u k h u h u1 n
所以，当物体和外界有 热交换时，相应的边界 条件为
(热传导方程)
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建立数学物理方程
3.规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵 循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯 韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物 理量的微分方程。
E E 2 E 2 t t H H 2 2 H 2 t t
2
(电磁场方程)
用于激光的 半经典理论
2u 2u 0

(电位的泊松方程:有源场) (电位的拉氏方程:无源场)
用于电磁场 与电磁波的 理论器件技 术等问题
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数学物理方程：完整表述
泛定方程 定解条件
定解问题
一.
2
均匀弦的横振动方程
u u( x , t ) (振幅)
a2 k c
2 2 2 u u u u a2 ( 2 2 2 ) x y z t
—— 三维热传导方程
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初始条件与边界条件
前面谈到：物理规律 数学表述；我们还需要将
具体条件 数学表述出来
所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上的物理 情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。
a2 T
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2u 2u a x 2 t 2
二.
2 2 i i a2 2 2 x t

i i( x, t ) , v v( x, t )
—— 一维波动方程
(电流、电压)
传输线方程(电报方程)
2 2 a 2 2 x t
这时，利用另一个热传 导实验（Newton）定律：从一介质流入 另一介质的热量
和两介质间的温度差成 正比
dQ h (u u1 ) dS d t
由于在物体表面的热量不能堆积，因此在曲面S上的热流量应该等于表面S1上的热流 量。
流过表面 S 上的热流量为 流过表面 S1 上的热流量为
u dS d t n dQ h (u u1 ) dS d t dQ k
u T x k u xa
xa
k为弹性体的倔强系数
u 或 （ u) 0 x x a
k 这里 T
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热传导问题： (1) S 的温度分布 u( x, y, z, t ) 为已知函数 f ( x, y, z, t ) 则边界条件为： uS f f 为定义在S 上（一般依赖于 t )的函数 n
u x f2
S
第三类边界条件：给出考察量及其导数的线性组合：
u u f3 x S
（ f1 , f 2 , f 3 均为已知函数）
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数理方程：边界条件
（自由端/绝热）
u( x, t ) S 0
u x 0
S
(弹性支撑/热交换)
例如：一根均匀杆，原 长为l , 一端固定 , 另一端被拉长e 而静止 .突然松手，任其纵向振 动.
初始速度显然为零，初 始位移若写成
u t 0 e ，就大错特错了。
因为 e 是杆右端的初始位移， 并不是杆上各处的初始 位移。
验证：当 x 0 时， u t 0 0 ; 当 x l 时， u t 0 e .
l
考虑到杆的初始伸长是 均匀的， t 0 时杆被拉长了e ，故单 位长度被拉长 e ，于是有 l
初位移： u ( x, t ) t 0
x
l
初速度：
x
u ( x, t ) 0 u(x,t)指的是杆上x点在时 t t 0 刻t的位移，不是此时杆
的长度，而是杆的伸长
x e l
e
0
x
u
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内部介质的温度为u , 热传导系数为k ，表面为 S。
外面介质
k
S
S1
k1
外部介质的温度为u1 , 热传导系数为k1 ，表面为S1。
两个表面无限接近，两种介质间的热交换系数为h，取正值。
k 为热传导系数.
能够测量的只是和物体接触处的介质温度u1，而u1与物 h 为两介质间的热交换系 数. 体表面温度u往往并不相同，这样在物体表面处与周围 介质就产生热交换。
2 u 2 u a t x 2
孤立波方程：
u sin u xt
拉普拉斯方程：
2u 2u 2u 0 x 2 y 2 z 2
冲击波方程：
u u u 0 t x
线性
非线性
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数理方程：定解条件
初始条件，边界条件，还可以有衔接条件等， 统称“定解条件”。例如：
(终点被微扰)
衔接条件:
E1切 E（光由空气入水电场强度切向分量相等） 2切
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数理方程：定解问题
一个泛定方程与相应的定解条件构成“定解问题”。 例如弦振动的一个定解问题（两端固定，初始位移是 任意的，初始速度为零）可以表示为
2 2u u 2 a 2 t x 2
2
1 a LC
2
2u 2u a 2 2 x t
2
—— 高频传输线方程
三.
电磁场方程
a2(
四.
u u u u ) x2 y2 z2 t2
2 2 2 2
E u H
a2
1

—— 三维波动方程
热传导方程
u u( x, y, z , t ) (场点 t 时刻的温度分布)
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建立数学物理方程
2.微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附 近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达 式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统 的微分方程。
弦振动问题 传输线问题 热传导问题
2 2u u 2 a 2 2 （波动方程) t x
2 u 2 u a t x 2
数理方程包括常 微分方程和偏微 分方程等。由于 同一个方程可以 广泛描述多种物 理作用，故称为 “泛定方程”。 如 果函数 u 和它的 各阶导数都是一 次幂，称为线性 微分方程。
波动方程：
2 2u 2 u a t 2 x 2
人口增长方程：
du u u2 dt
热传导方程：