数理方程第一章-2
数理方程第二版 课后习题答案教学教材
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
数理方程第1讲
CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
数理方程第一章答案
u = f( − 3 ) + g(x + y) (−3 ) + ( ) = 3 代入边界条件得： (−3 ) + ( ) = 0 (2)式积分得： (−3 ) + ( ) = 3 −
(−3 ) + ( ) = 0 (3)
求得： 所以：
( )= ( )= u= ( + ) + ( −3 )
14.解下列定解问题. = , > 0, − ∞ < x < +∞ (2). (0, ) = 特征方程： 特征线 f(x + at) f(x) = u=( + )
∫ ( )
[∫ ( ) +
∫ ( )
+ ]
( ) ( )
( )]
+ ( )+
(2).
+ ( , ) = ( , ) ,u = u(x, y)
直接套用公式 6. 推导杆的微小纵振动方程 解： 设细杆截面积 S，密度 ，杨氏模量 E 取一小段 dx, 用牛顿第二定律得：
E S u ( x dx, t ) u ( x, t ) 2u ES Sdx 2 x x t
数理方程 A 参考答案 中国科学技术大学
代入原方程得：
u 1, u f ( )
u xy f ( x 2 y 2 ) 15.一端固定的半无界弦的定解问题. = , > 0, >0 ( , 0) = 0 (0, ) = sin , (0, ) =
若为cos ,则 =? 解： 为满足边界条件作以下延拓： φ(x) = sin , 由达朗贝尔公式得： u(t, x) = [sin( +
d 2 R 2 dR )0 dr 2 r dr
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
2015/10/13
11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数理方程第一章定解问题liu婧-1
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内
部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律 , 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小 面积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以 及物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导 数三者成正比, 即
数学物理方程
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
数理方程1
2.1 分类与化简 目标: 通过自变量变换,使方程的形式简化,甚至可以求 出其通解 ⎧ξ = ξ ( x, y ) 自变量变换 ⎨
α = (α1 ,L, α n ), α = α1 + L + α n .
半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性
Aα ( x) Dα u + A ( x, u , Du, K , D ∑ α
=N 0
N −1
u ) = g ( x),
拟线性(Quasi-Linear)：最高阶导数是线性的
∑ Aα ( x, u, Du,K, D α
=N
N −1
u)Dα u
x x0 y 0
∫
y
w( s, t )dsdt + f ( x) + g ( y )
( f , g为任意连续可微函数)
(4)u = u ( x, y ) : u x = u y 作变量代换s = x + y, t = x − y ⇒ u x = u s s x + ut t x = u s + ut u y = u s s y + ut t y = u s − ut ⇒ us = 0 ⇒ u = f (t ) ( f为任意函数) ⇒ u ( x, y ) = f ( x − y ) 一般地，au x + bu y = 0 (a, b为常数) ⇒ u = f (bx − ay )
b
b
解：设( x1 ,L, x n ) ∈ Ω(求解区域)，若函数 u = u ( x1 ,L, x n )在Ω内足够光滑并且在Ω内 恒满足偏微分方程(*), 则称u为(*)的经典解
数理方程第二版(谷超豪)答案第一章-第三章
的通解可以写成
u=
F ( x − at ) + G ( x + at ) h−x
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t = 0 : u = ϕ (x ),
解：令 (h − x )u = v 则
∂u = Ψ ( x ). ∂t
∂v (h − x ) ∂u = u + ∂v , (h − x )2 ∂u = (h − x ) u + ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ,故 ( x, x + ∆x ) 上所受摩阻力为 ∂t ∂u − b ⋅ p( x )s ( x ) ⋅ ∆x ∂t
运动方程为:
ρ (x )s (x )∆x ⋅
∂ 2u
∂u ∂u ∂u x − b ⋅ ρ (x )s (x )∆x = ES x + ∆x − ES ∂x ∂t ∂t ∂t 2
∂ ∂v ∂u ∂ 2v 2 ∂u 2 ∂u [(h − x) = −(u + ) + (h − x) + (h − x) = (h − x)(u + 2 ) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ x
又 代入原方程，得
(h − x ) ∂
2
u
∂t 2
=
∂ 2v ∂t 2
(h − x ) ∂
即
2
v
∂x 2
ρg (l − x) sin θ ( x); ρg (l − ( x + ∆x)) sin θ ( x + ∆x)
其中 θ ( x) 表示 T ( x) 方向与 x 轴的夹角 又 于是得运动方程
sin θ ≈ tgθ =
∂u ∂x.
数理方程第二版 课后习题答案讲解学习
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
数理方程第一部分
数理方程第一部分前言数学物理方程的研究对象是描述各种自然现象的微分方程、积分方程、函数方程等等。
通常，《数学物理方程》教材中所研究的内容，着重是偏微分方程的三类曲型方程的定解问题。
它产生于如振动和波动、流体流动、电磁场、弹性、热传导、粒子扩散等实际问题。
当前，数学技术已成为高科技的重要部分，数学建模、数值计算已越来越发挥重要作用，正在成为广大数学工作者特别是应用数学工作者和计算数学工作者广阔的用武之地，而数学物理方程是一门重要的基础课，是进一步学习现代数学知识的准备，是利用数学知识为经济建设服务的桥梁。
数理方程教材中主要讨论基本理论和求解这些问题的一些方法和技巧。
本讲义是根据课程设置需要及本课程特点而编写的。
由于理论内容涉及到的高等数学知识比较多且深，推导过程长，常使初学者难以掌握主要过程和整体思路，所以本讲义将重点放在这两个内容上。
对于较深入（主要是理论证明方面）的知识或例题将在课堂补充讲解。
另外，一些相对简单的推导过程留给读者（读者也可通过查阅参考书得到这些结果），一些繁琐而不重要的内容给予说明。
这样，一方面可以使解决问题的过程变得精悍，减少读者的学习负担，另一方面，可以使读者通过这些推导练习加深对理论内容的理解，起到由点到面，循序渐近的作用，增强学好这门课的信心。
由于准备仓促，遗漏及错误之处在所难免，在此作者表示歉意，并请读者指正。
主要参考书1.复旦大学数学系主编《数学物理方程》，人民教育出版社；(数学系本科生用书)2.戴嘉尊《数学物理方程》，东南大学出版社；(数学系本科生用书)3.华南理工大学研究生处《数学物理方法》，华南理工大学出版社(工科硕士研究生用书)4.杨秀雯等《数学物理方程与特殊函数》，天津大学出版社(工科硕士研究生用书)第一章典型方程和定解问题§1.1 一些典型方程的推导1.1.1 波动方程的推导例1.1.1 弦的波动方程。
解(1)假设长为l且均匀柔软的弦，两端固定,其上作用一外力，作微小横振动.(2)建立数学模型如图. 设时刻弦上处振幅为具有二阶边连续偏导数=(,),,在弦上t x u u x t取微段MM'.由弦均匀设线密度为ρ，由弦柔软知张力沿弦的切线方向，由弦作微小横振动可设),(,00t x f 度为设弦上横向连续外力密≈'≈αα───在时刻t 弦上点x处单位长度上的作用力大小，设微段的重心处横坐标为ξ,并),(0t f ξ以近似微段上各点处的力密度，则(如图)①水平方向合力： 取,0cos cos T T T T ≈'⇒=-''αα'=T T ②铅垂方向合力： 由牛顿第二定律得 .),(sin sin 0s t f T T ∆⋅+-''ξαα.),(),(,, (1.1.1)),(),(),( ),,~,,,0( 0,),( ),(),(),( ),(),()],(),([ ),(),()tan (tan ),(),()sin (sin ),(),(sin sin 0222222211010000单位质量上的横向力与弦的材料及张力有关其中或连续时当得并令故两边同除之间位于--=--=+∂∂=∂∂+''=''''''∆∆→→→∆→∆∆∆+''⋅∆≈∆+∆''''⋅∆≈∆+'-∆+'''⋅∆≈∆+-'''⋅∆≈∆+-'''⋅∆≈∆+-''ρρξξξξρξξξρξξρξααξρξααξρξααt x f t x f Ta f xu a t u t x f t x u a t x u u u x s x x x x x x x x t u s s t f x t u T t u s s t f t x u t x x u T t u s s t f T t u s s t f T t u s s t f T T xx tt tt xx tt xx tt x x tttttt称(1.1.1)为一维波动方程.当0≠f 时称为非齐次方程；当f =0时称为齐次方程.据题意给出弦上点所满足的偏微分方程及其它条件一并给出的定解问题：).<(0 )()0,(),()0,()0( 0),(,0),0()0 ,<(0 (I) 2⎪⎩⎪⎨⎧<=='=>==><+''=''l x t x u x x u t t l u t u t l x f u a u t xx tt ψϕ(3)求解(参§3.1)；(4)检验(§9.1).(5)改善假设，重新推导方程.特别地，当弦的两端拉紧且弦只受重力作用时，,0g f ρ-=方程为g u a u xxtt-''='' 2,,g u g u tttt >>''''即远大于重力加速度因弦上的加速度故可忽略g ，而有 (1.1.2) 22222xua t u ∂∂=∂∂ .(2) ?1sin sin tan tan lim ?)tan (tan )sin (sin (1) : ., : 00推导上面的方程按单调减少且凸的微段吗换为上面为何能将问题进行推导的理以等价无穷小的手段这里是利用牛顿第二定程也可用其它方法推导方注=-'-'-'-'→'→αααααααααα 例1.1.1’ 弹性直杆的纵向振动问题(题3). 例1.1.1” 锥体杆的纵向振动（复旦P11）例 1.1.2 薄膜的振动问题(天大P133) 例1.1.3 三维波动问题（南京P6）1.1.2 热传导方程的推导1．梯度与方向导数: 设u u x y z l ==(,,),(cos ,cos ,cos ),具一阶连续偏导数0αβγ 则u 的梯度和u 沿)(0l l 或方向的方向导数分别为.)grad (gradu cos cos cos ),,,(=gradu 0l u l zuy u x u l u z u y u x u =⋅=++= γ∂∂β∂∂α∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂2．高斯公式:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑Ω∑∑Ω--=++=++=∑++=++=++通量故有的外法线向量为其中dS n udS z u y u x u v z u y u x u n dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz v z R y Q x P ∂∂γ∂∂β∂∂α∂∂∂∂∂∂∂∂γβαγβα∂∂∂∂∂∂)cos cos cos ()d ( ).cos ,cos ,(cos )cos cos cos ()d (22222203．热传导：热量总是从温度高的地方流向温度低的地方；4．热传导学中的傅里埃（Fourier ）实验定律：这实际上是将热量故应取负值相反而热量流向与温度增加即沿外法向故高且靠近曲面的点处温度向内有热量由体外流经曲面当物体内部温度低时例如产生的的方向相反而即取得最大值的方向流向和温度梯度的正向其中负号是由于热流的即三者成正比的法线方向的方向导数沿曲面及物体温度以曲面面积与时间的热量内流过一个无穷小面积物体在无限短的时间段(,,,0grad ,,,,.grad ),( ,,, n n n u nuu ludSdtnuk dQ n udS u dS dt dQ dS dt >⋅=-=∂∂∂∂∂∂∂∂).,, 过程如下面的推导进行计算也可只按热量值的相等按向量来运算例1.1.4 三维热传导方程的推导 解（1）假设：.,0生热量单位时间单位体积上产热源强度性假设物体均匀且各向同--f (2)建立数学模型：.,,.n S S其外法线方向为分片光滑的边界为区域假设物体对应的有界闭如图Ω设时刻t 物体上点M x y z u u x y z t u (,,)(,,,),.处的温度为且具有二阶连续偏导数由物体均匀可设密度=ρ为常数,由各向同性可设比热系数为常数c ──单位质量温度升高一个单位所需热量.则.,,(1.1.3) )( ),,,()(),,,( ,],,[),,,(,)],,,()([),,,( ,),,,( ],[)3(),,,(= ),,,(]),,,(),,,([ ],[)2( )( ],[)1( 0222222220222222210 0222222 021 2221 222222 2121212121212121ρρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ρ∂∂∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂c f f c ka f zu y u x u a t u t z y x f zuy u x u k t z y x u c t t t z y x f u dvdt t z y x f z uy u x u k dvdt t z y x u c Q Q Q dvdtt z y x f Q t t dvdt t z y x u c dvdt t z y x u c dv t z y x u t z y x u c Q t t dvdt z uy u x u k dt dS n u k Q S t t t t tt t t t t t t t t t t t t t t S ==+++=+++='Ω+++='+==''=⋅-⋅=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩΩ其中即得的任意性连续及的二阶偏导数连续由假设即故由能量守恒定律有上物体内部产生的热量在时间区间需的热量上物体内部温度升高所在时间区间流入的总热量上通过在时间区间源入升源升入(1.1.4) )( ,0 ;,0 .(1.1.3) 2222222zu y u x u a t u f f ∂∂∂∂∂∂∂∂++==≠称齐次波动方程时当称为非齐次波动方程时当为三维波动方程称例 1.1.5 二维热传导方程的推导──请详细给出推导过程通过侧面流入热量为一方面则处温度为板上时刻的边界正向为域初始时刻温度分布为热量单位时间单位面积产生热源强度面上下底面绝热同性设平面薄板均匀且各向解, :),,(.),,(,)(,,: 0t M u M t D y x f Γ--ϕ)( ,),,()( )],,(),,([ , )()(])[=)cos sin ())cos()2cos(()cos cos ()cos cos ( 222220222212222221212121212121212121212121f yu x u a t u dt d t y x f dtt d y ux u k dt d t u c dtd t uc dtd t u c d t y x u t y x u c Q dtd y ux u k dt dy x u dx y u k dt dx y u dy x u k dtds y uds x u k dt ds y u ds x u k dtds y uds x u k dsdt y u x u k dsdt n u k Q t t Dt t D t t Dt t DDt t Dt t Dt t t tt t t t t t t t t t ++=++===⋅-⋅=+=+-=--=-+-=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓΓΓ∂∂∂∂∂∂σσ∂∂∂∂σ∂∂ρσ∂∂ρσ∂∂ρσρσ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕπ∂∂πϕ∂∂β∂∂α∂∂β∂∂α∂∂∂∂从而有故由能量守恒得内部升温需要的热量为另一方面升入例 1.1.6 一维热传导方程的推导──请详细给出推导过程,),( )],(),([ , = , ).(,)(),(,,, 2220002200001202202200000212121212121212121212121f x u a t u dt dx t x f dt dx xukS dt dx t u c dtdx tuc dx dt t u c dx t x u t x u c Q dt dx x ukS dt dx x u kS dt x u x u kS dt xuxukS Sdt nunu k Sdt nu kSdt nu kQ x f q t t l t t l t t l t t l lt t l t t l t t l x t t lx x t t lx x t t lx t t x t t lx +=+===⋅-⋅===⎥⎦⎤-⎢⎣⎡⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=⎥⎦⎤+⎢⎣⎡=+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰========∂∂∂∂∂∂∂∂ρ∂∂ρ∂∂ρρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ϕ从而有故由能量守恒得内部升温需热量为另一方面通过两端面流入热量为一方面则为初始时刻杆上温度分布热量单位时间单位长度产生热源强度线入的热量即单位时间单位面积流流入另一端有恒定热流一端温度为零侧面绝热设杆均匀各向同性升入状态下二维或三维的动态稳恒方程拉普拉斯位势方程二维或三维的方程泊松热传导方程波动方程归结为则可将以上推导的方程或或表示算子如果用小结 0 (Laplace) )( (Poisson) ,)Laplace ( : 2222222222222222222=∇=∇+∇=+∇=+++∇u f u fu tufu t uzy x y x x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 这就是本书所研究的主要方程类型.弦振动方程描述波的传播现象，它具有对时间是可逆的性质；热传导方程反映了热的传导，物质的扩散是不可逆现象；而拉普拉斯方程描述平衡的状态，定常的状态.这三种方程所描述的自然现象的本质十分不同，因而这三种方程的性质也十分不同.最后,我们指同前面讨论的三种情形虽然是相互排斥的，但并不包括二阶线性方程的所有情形.§1.2 初始条件与边界条件初始条件： 用以说明初始状态的条件.一般地，波动问题的初始条件有两个,即开始时的位移)(0M u t t ϕ==与开始时的速度 ,),(0件有一个而热传导问题的初始条M u t t t ψ='=即开始时体内各点温度).(0M u t t ϕ==边界条件： 用以说明边界上的约束情况的条件.1. 第一类边界条件如弦的振动问题中,当x =0端固定时，有u x ==00.又如杆上的热传导问题中,当x =0端温度分布为)()(0t f u t f x ==时有. 一般地，用S 表示一维的某端点或二维区域的边界线或三维区域的边界面，则有, ),(S P t P f u S∈=称为第一类边界条件. 2. 第二类边界条件如弦的振动问题中,当x =l 端自由时，有∂∂unx l==0.又如杆上的热传导问题中,当x =l 端与外界处于绝热状态时有∂∂unx l==0，而当端面有热流f t 0()流入时，有∂∂u nf t x l==().一般地，有,),(S P t P f nu S∈=∂∂称为第二类边界条件. 3. 第三类边界条件如弦的两端垂直固定在弹性支承上:.0)( 0 ,),( ,0),0,( ),()( :,0 02222000=-∂∂=-∂∂∂∂→∆>∂∂∆=-+∂∂∆====+=∆+=x x x x xx ku x uT uk x uT x t u x u x t u x u k x uT x x 或得有界由令故取为负值而弹性体恢复力向下为则此微段上的受力情况端取一微段在ξξρ.0)( 0 ,),( ,0)0,( ),()()( :),0](,[ 022220=+∂∂=-∂∂-∂∂→∆<∂∂∆-=-+∂∂-<∆∆+====-=∆+=x lx lx l x xl x ku x uT uk x uT x t u x u xt u x u k xuT x l x l l x 或得有界由令而弹性体恢复力向上为则此微段上的受力情况端取一微段在ξξρ如果在热传导过程中，物体Ω的内部和周围介质通过边界S 有热量交换，以u 1表示和物体接触的介质的温度,这时利用另一个热传导实验定律：从一介质流入另一介质的热量和两个介质的温度差成正比，即,)(11dSdt u u k dQ -=得S 上流速（单位时间单位面积通过的热量）为Su u k dSdt dQ)(11-=(*)其中k 1是两介质间的热交换系数.在物体内部任取一个无限贴近于边界S 的闭曲面Γ，由于在Γ内侧热量不能积累，所以在Γ上的热量流速应等于边界S 上的热量流速，而在Γ上由于热量dQ k u n dSdt dQ dSdt=-∂∂,得流速为=-k u n ∂∂Γ，假设内部温度低，则速度方向均向内，故有),/( )(111S k k u u n u u u k n u kS SS 的极限为Γ==⎪⎭⎫⎝⎛+⇒-=-Γσσσ∂∂∂∂一般地，有∂∂σu n u f P t P S+⎛⎝ ⎫⎭⎪=∈(,) S.称为第三类边界条件.对于以上的三类边界条件，当f =0称为是齐次边界条件，否则称为非齐次边界条件. 注意：第三类边界条件形式不能简单地视为第一类、第二类两类边界条件的和使用.§1.3 定解问题的提法解（古典解）: 如果一个函数具有偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数，并且代入 该方程能使它成为恒等式，则此函数称为该方程的解（古典解）.定解条件： 初始条件与边界条件都称为定解条件。
数理方程第一章
6、求解方法
分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 牛顿运动定律： 横向： T cos α = T 'cos α ' 纵向： T sin α + T 'sin α '− ρ gds ≈ ma − 其中：cos α ≈ 1 cos α ' ≈ 1
2
4、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
Lui = f i
∑f
i
=f
∑u ∑u
i
i
=u
Lu = f
Lu = 0
Lui = 0
=u
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上)
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
5、微分方程的解
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。 通解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意 常数的解。 特解： 通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。
v n
M
温度发生变化需要的热量为： Q2 = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t 2 ) − u ( x, y, z , t1 )]dV V t2 t 2 ∂u ∂u = ∫∫∫ cρ ∫ dtdV = ∫t ∫∫∫ cρ dVdt t1 ∂t 1 ∂t V V
Q1 = Q2
2
热场
∫ ∫∫∫ k∇ udV dt = ∫
数理方程第一章、第二章习题全解
u( 0 , t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件,当冲量 k 作用于 x = c处时, 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦 ( c δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
2 .4 习题全解
1. 设弦的两端固定于 x = 0 及 x = l, 弦的初始位称如图 2 2 所 示,初速度为零, 又设有外力作用, 求弦作横向振动时的位移函数 u( x, t) 。
解 如图 2 2 所示, 弦作横向振动时初始条件为
62
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
图2 2
u( x, 0) = φ( x ) =
5. 若 F( z) , G( z) 是任意两个二次连续可微函数 , 验证
u = F( x + at ) + G( x - at )
满足方程
2u t2
=
a2
2x2u。
解 作自变量代换ξ= x + at,η= x - at, 由复合函数求导法则
有
所以 于是
u t
数理方程教学大纲
数理方程教学大纲一、引言数理方程是物理学、工程学、经济学等多个学科的重要工具。
它以数学为语言，描述了自然现象中的各种复杂现象，帮助我们理解并解决实际问题。
本教学大纲旨在为学生提供全面、系统的数理方程学习方案，培养其运用数理方程解决实际问题的能力。
二、教学目标1、理解数理方程的基本概念和分类；2、掌握常见数理方程的解法及应用；3、能运用数理方程解决实际问题；4、培养学生对数理方程的兴趣和爱好。
三、教学内容1、数理方程基本概念：讲解什么是数理方程，其基本形式和分类等；2、一阶线性微分方程：讲解一阶线性微分方程的基本解法，包括分离变量法、积分因子法等；3、高阶微分方程：讲解高阶微分方程的解法，如降阶法、常数变易法等；4、偏微分方程：讲解偏微分方程的基本概念和分类，以及常见的偏微分方程的解法；5、特殊类型方程：讲解一些特殊类型的数理方程，如Sturm-Liouville 方程、Schrödinger方程等；6、数理方程应用：通过实例讲解数理方程在物理学、工程学、经济学等领域的应用。
四、教学方法1、课堂讲解：通过讲解典型例题，使学生掌握数理方程的基本概念和解题方法；2、数值模拟：利用计算机进行数值模拟，帮助学生理解数理方程的解的性质和实际应用；3、小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进交流与合作，加深对数理方程的理解；4、自主学习：鼓励学生通过自主学习，深入探究数理方程的相关知识和应用领域。
五、教学资源1、教材：选用优秀的数理方程教材，保证教学内容的科学性和系统性；2、网络资源：推荐优秀的数理方程学习网站和在线课程资源，以便学生进行拓展学习；3、教学软件：使用适当的数学软件和编程工具，辅助学生进行数理方程的学习和计算；4、实验课程：设置相关的实验课程，让学生在实践中进一步理解和掌握数理方程的相关知识。
六、评估与反馈1、课堂表现：观察学生在课堂上的表现，包括听讲、提问、讨论等方面的情况；2、作业与考试：定期布置作业和进行考试，以检验学生对数理方程知识的掌握程度；3、反馈与指导：根据学生的表现和考核结果，进行及时的反馈和指导，帮助学生发现不足并改进学习策略。
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因此有关系 k
u dS d t h(u u1 )dS d t n
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因此有关系
k
u dS d t h (u u1 ) dS d t n
u k h ( u u1 ) n
即
u k h u h u1 n
所以，当物体和外界有 热交换时，相应的边界 条件为
例如：一根均匀杆，原 长为l , 一端固定 , 另一端被拉长e 而静止 .突然松手，任其纵向振 动.
初始速度显然为零，初 始位移若写成
u t 0 e ，就大错特错了。
因为 e 是杆右端的初始位移， 并不是杆上各处的初始 位移。
验证：当 x 0 时， u t 0 0 ; 当 x l 时， u t 0 e .
2
1 a LC
2
2u 2u a 2 2 x t
2
—— 高频传输线方程
三.
电磁场方程
a2(
四.
u u u u ) x2 y2 z2 t2
2 2 2 2
E u H
a2
1
—— 三维波动方程
热传导方程
u u( x, y, z , t ) (场点 t 时刻的温度分布)
u S f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
u n f2
S
第三类边界条件：物理条件规定了 u 与其导数在边界上值之间的某个线性 关系，如 u ( u) f 3
n
S
说明：（ 1）f1 , f 2 , f 3 都定义在边界 S 上，一般也依赖于时间t ; （2）若 f1 f 2 f 3 0 ，称之为齐次边界条件 ，否则称之为非齐次；
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二、边界条件——具体物理问题的边界约束状态
以弦振动为例，弦振动时，其端点（以 x=a 表示这个端点）所受到的约束情 况，通常有以下三类
u
x
0
（1）固定端（右端）
右端点在振动过程中始终保持不动。
u xa 0 or u (a, t ) 0
●
a
u
x
0
（2）自由端（右端）
2
(电磁场方程)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用于激光的 半经典理论
2u 2u 0
(电位的泊松方程:有源场) (电位的拉氏方程:无源场)
用于电磁场 与电磁波的 理论器件技 术等问题
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数学物理方程：完整表述
泛定方程 定解条件
定解问题
一.
2
均匀弦的横振动方程
u u( x , t ) (振幅)
初始条件:
u( x, t ) t 0 ( x)
u ( x) t t 0
(初始速度)
(初始位移)
（弦振动） (热传导)
u( x, t ) t 0 ( x) (初始温度分布)
边界条件:
u( x, t ) x0 0
(起点固定)
u( x, t ) xL f (t ) （弦振动）
（3）对于稳恒场，上述边 界条件的两端均不含时 间t ;
（4）边界条件的推导，步 骤与泛定方程的推导大 致相同，但微元只能在 边界上选取。
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数理方程：边界条件
第一类边界条件：直接给出考察量在边界S上的值：
u( x, t ) S f1
第二类边界条件：给出考察量的导数在边界上的值：
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建立数学物理方程
2.微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附 近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达 式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统 的微分方程。
弦振动问题 传输线问题 热传导问题
2 2u u 2 a 2 2 （波动方程) t x
2 u 2 u a t x 2
l
考虑到杆的初始伸长是 均匀的， t 0 时杆被拉长了e ，故单 位长度被拉长 e ，于是有 l
初位移： u ( x, t ) t 0
x
l
初速度：
x
u ( x, t ) 0 u(x,t)指的是杆上x点在时 t t 0 刻t的位移，不是此时杆
的长度，而是杆的伸长
x e l
e
0
x
u
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(热传导方程)
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建立数学物理方程
3.规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵 循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯 韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物 理量的微分方程。
E E 2 E 2 t t H H 2 2 H 2 t t
从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情况，那末其 后的发展，也必是确定的了；换言之，其相应的数学问题，应该有唯一的解。
一、初始条件——系统内部描述与时间有关的初始状态的数学 表述。 （1）弦振动
物体若以： ( x )为初位移， ( x )为初速度.
初始条件表述为： u t 0 ( x ) u ( x) t t 0
(终点被微扰)
衔接条件:
E1切 E（光由空气入水电场强度切向分量相等） 2切
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数理方程：定解问题
一个泛定方程与相应的定解条件构成“定解问题”。 例如弦振动的一个定解问题（两端固定，初始位移是 任意的，初始速度为零）可以表示为
2 2u u 2 a 2 t x 2
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建立数学物理方程
1. 统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分 析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方 程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物 学、生态学、经济学、社会学等。
du 人口增长问题 u (Malthus模型) dt
众多的生物学 d u u u 2 (Logistic模型) 及社会学问题 d t
a2 k c
2 2 2 u u u u a2 ( 2 2 2 ) x y z t
—— 三维热传导方程
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初始条件与边界条件
前面谈到：物理规律 数学表述；我们还需要将
具体条件 数学表述出来
所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上的物理 情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。
（2）热传导
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物体若以： (M ) 表示 t 0 时，其内部任意一点 M ( x, y, z) 处的温度。
初始条件表述为： u ( M , t ) t 0 ( M )
特别说明：Poisson 方程，Laplace 方程，都是描述稳恒状态的，与初 始条件无关，可不提初始条件。 列出初始条件，一般都不至于感到困难，不过有一点必须强调：初始条 件应当说明整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！
数理方程包括常 微分方程和偏微 分方程等。由于 同一个方程可以 广泛描述多种物 理作用，故称为 “泛定方程”。 如 果函数 u 和它的 各阶导数都是一 次幂，称为线性 微分方程。
波动方程：
2 2u 2 u a t 2 x 2
人口增长方程：
du u u2 dt
热传导方程：
u （ u) u1 S n S
其中 h k
由于 u1 是可测量的，设u1 f3 ( x, y, z, t )，那么有
u （ u) f 3 n S
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本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
(0<x<L, t>0)
u 0 t t 0
例1 ：
u( x, t ) t 0 ( x),
(0x L)
u( x, t ) x0 0, u( x, t ) xL 0 (t>0)
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例2：
已知：均匀柔软弦，x=0是自由端，x=L固定， 弦的初始位移和初始速度为任意函数
a2 T
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2u 2u a x 2 t 2
二.
2 2 i i a2 2 2 x t
i i( x, t ) , v v( x, t )
—— 一维波动方程
(电流、电压)
传输线方程(电报方程)
2 2 a 2 2 x t
这时，利用另一个热传 导实验（Newton）定律：从一介质流入 另一介质的热量
和两介质间的温度差成 正比
dQ h (u u1 ) dS d t
由于在物体表面的热量不能堆积，因此在曲面S上的热流量应该等于表面S1上的热流 量。
流过表面 S 上的热流量为 流过表面 S1 上的热流量为
u dS d t n dQ h (u u1 ) dS d t dQ k
u T x k u xa
xa
k为弹性体的倔强系数
u 或 （ u) 0 x x a
k 这里 T
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热传导问题： (1) S 的温度分布 u( x, y, z, t ) 为已知函数 f ( x, y, z, t ) 则边界条件为： uS f f 为定义在S 上（一般依赖于 t )的函数 n
数理方程：初始条件
u 泛定方程只含一阶微商 t ，只有一个初始条件：
u( x, t ) t 0 ( x)
2u 泛定方程含二阶微商 t 2 ，需要两个初始条件: