第二章 线性时不变系统的时域分析

1.连续时间 连续时间LTI系统的微分方程及其求解 连续时间 系统的微分方程及其求解 对连续时间LTI系统，如果 x(t) 为输入， y(t) 为输出，则描述输入和输出之间的 微分方程为：
∑
d y (t ) ak = k dt k =0
N
k
∑
d x(t ) bk dt k k =0
N
k
(2.109)
4.稳定性 稳定性
有界输入产生有界输出，则这个系统就 是稳定系统。 所谓有界，即输入或输出的最大幅值是 一个有限值。 例系统 y[n]=nx[n] 就是一个不稳定系统， 因为，当输入 x[n] 是有界时，系统的输 出却有界，它将随着 n 值的增加而增加， 直至无穷。
三、线性时不变系统的时域描述
线性时不变系统也简称为LTI系统，其 系统， 线性时不变系统也简称为 系统 分析方法建立在信号分解的基础之上。 分析方法建立在信号分解的基础之上。 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。 的组合。 连续时间LTI系统用微分方程描述； 系统用微分方程描述； 连续时间 系统用微分方程描述 离散时间LTI系统用差分方程描述。 系统用差分方程描述。 离散时间 系统用差分方程描述
一、系统的定义及表示
系统：具有特定功能的总体， 系统：具有特定功能的总体，可以看作信号 的变换器、处理器。 的变换器、处理器。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统的表示方法 （1）数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 ）数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 （2）系统框图：形象地表示其功能。 ）系统框图：形象地表示其功能。
n
∑C e
k k =1
αkt
⑵ 如果在特征根中， 是 k 重特征根 am ， 则与 am 相对应的齐次解为:
k
∑C t
i i =1
k i
e
ai t
=0
⑶ 如果特征根中有共轭复根 α ± jβ ，则 共轭复根所对应的齐次解为:
e (C1 cos β t + C 2 sin β t )
αt
在上述三种齐次解中，Ci 是待定系数， 它的确定与特解有关。 举例2.14
y[n] ay[n 1] = x[n]
一阶差分方程
N 阶离散系统的差分方程为： 阶离散系统的差分方程为：
∑ a y[n k ] = ∑ b x[n k ]
k k k =0 k =0
N
M
(2.113)
离散系统差分方程的形式类似于连续系统的微分方 程，只不过这里用差分信号替代了微分方程中的微 分信号而已。 分信号而已。 （2）差分方程的求解 ） 对于一阶差分方程式， 对于一阶差分方程式，如果输入信号 x[n]=δ[n] ， 将如何求得呢？ 则输出信号 y[n] 将如何求得呢？
这个常系数线性微分方程， 这个常系数线性微分方程，其完全解由 齐次解和特解两部分组成 。 齐次解是微分方程在输入为0时的齐次 齐次解是微分方程在输入为 时的齐次 方程的解（ 方程的解（式2.111） ） 而特解则是在输入的作用下满足微分方 程式(2.109) 的解。 的解。 程式
对于式(2.109)的微分方程，相应的齐次 方程为
（1）差分方程 离散系统的基本部件有移位器（ 离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器 或延迟器）、相加器和倍乘器，这些基本部件 或延迟器）、相加器和倍乘器， ）、相加器和倍乘器 常用以下框图来表示： 常用以下框图来表示：
下图是一个简单的离散系统，它由一个延时器、 下图是一个简单的离散系统，它由一个延时器、 是一个简单的离散系统 一个相加器和一个倍乘器组成。 一个相加器和一个倍乘器组成。根据图中各个 部件的连接关系和各个部件的基本功能， 部件的连接关系和各个部件的基本功能，写出 该系统输入 x[n] 和输出 y[n] 之间的关系为： 之间的关系为：
输入响应、零状态响应和完全响应。
解： 自由响应：1/2e-3t 强迫响应 ：1 3 3 t 零输入响应：y zi (t ) = e
2
y zs (t ) = 1 e 3t 零状态响应：
1 3 t y 完全响应 ： (t ) = e + 1 2
t >0
t >0
五、单位冲激响应
单位冲激响应也简称为冲激响应，常用 符号 h ( t ) 或 h [ n ] 表示 。 单位冲激响应是系统在单位冲激信号激 励下的零状态响应； 或者说，是系统在零状态的条件下对单 位冲激信号激励时的响应。
如果系统的起始状态y(0－)≠0，则系统的 输出 y(t) 和系统的输入 x(t) 之间就不满 足线性和时不变性。然而，只要 y(0－)=0， y(t) 和 x(t) 之间就能够满足 线性和时不变的关系。
完全响应等于零输入响应加上零状态响 应：
零输入响应：在激励信号 x(t) 为0，或者 不考虑激励信号的作用时，由系统起始 状态 y(k)(0-) 产生的响应； 零状态响应：当系统起始状态 y(k)(0-) 为 0，或者不考虑系统的起始状态时，由激 励信号 x(t) 产生的响应。
1.冲激响应的特点 冲激响应的特点
框图法就是用一个方框来表示一个系统 或子系统，而方框中的符号表示输入和 输出之间的关系 :
系统分类
线性系统和非线性系统 时不变系统和时变系统 因果系统和非因果系统 稳定系统和不稳定系统 我们主要讨论线性时不变系统。 我们主要讨论线性时不变系统。
二、系统的基本性质
系统的基本特性包括有线性、时不变性、 因果性和稳定性等 。 1.线性 1.线性 如果系统的输入和输出之间满足叠加性 和比例性，则该系统就是线性系统。 叠加性 比例性 线性系统
例1-17－例1-20
2.时不变性 时不变性
时不变性的含义是，如果系统的输入在 时间上有一个平移 t0，则由其引起的响 应也产生一个同样的平移.
例1-14－例1-16
3.因果性 因果性
如果一个系统在任何时刻的输出只与系 统当前时刻的输入和过去的输入有关， 而与系统未来的输入无关，则这个系统 就是因果系统。 例1-12
在特征根都是单根的情况下，零状态响 应的形式为：
y zs (t ) =
N
∑
i =1
Ai eαit + B(t )
零输入响应和零状态响应的概念同样适 用于离散系统，而且，它们的求解方法 也相同。
dy(t ) + 3 y (t ) = 3u (t ) 举例：已知 dt
y(0-)=3/2，求自由响应、强迫响应、零
微分方程的完全解、齐次解和特解是数 学上的名词； 在信号与系统的术语中，微分方程的解 就是系统的响应。 微分方程的完全解称为完全响应 齐次解称为自由响应（与激励信号无关） 特解称为强迫响应（和激励信号有关） 完全响应＝自由响应＋ 完全响应＝自由响应＋强迫响应
3.离散时间 离散时间LTI系统的差分方程求解 离散时间 系统的差分方程求解
重要意义： （1）零状态响应能够真实地反映系统特性； （2）系统的零状态响应可以用卷积的方法 求解。
2．零输入响应和零状态响应的求解 ．
零输入响应的求解 零输入响应的解的形式应和微分方程齐次解的 形式相同，它应是微分方程齐次解中的一部分。 如果一个 N 阶微分方程的 N 个特征根 αi 都是单 根，则零输入响应 yzi(t) 可写为：
求解差分方程的方法有两种： （1）迭代法，也叫做递归法，这种方法易 于用计算机求解，但不易给出一个闭式 的解答。 （2）经典法，这种方法完全可以按照微 分方程的求解方式进行，其完全解也分 为齐次解和特解两部分。 例2.15
根据特征根的性质， 根据特征根的性质，差分方程的齐次解也 有以下三种形式： 有以下三种形式： ⑴ 如果特征根 α1、α2 、αn 都是单根， 则齐次解的形式为 ⑵ 如果在特征根中， αm 是 K 重特征根， 则齐次解中与 αm 相对应的有 K 项，其 形式为
d k y (t ) ∑ ak dt k = 0 k =0
n
特征方程为
ak α n k = 0 ∑
k =0
n
解此特征方程就可求得特征根。
根据特征根是单根 、 重根、 共轭复根， 根据特征根是 单根、 重根 、 共轭复根 ， 单根 齐次解的形式也有所不同， 齐次解的形式也有所不同 ， 一般有三种 情况。 情况。 都是单根， ⑴ 如果特征根 a1 、a2 、an 都是单根，则 齐次解的形式为
基本内容： 基本内容： （1） 系统的定义及表示 ） （2） ） 系统的基本性质 （3） ） 线性时不变系统的时域描述 （4） ） 零输入响应和零状态响应 （5） ） 单位冲激响应
重点难点： 重点难点： 零状态响应的求解方法 响应的求解方法； （1） ） 零状态响应的求解方法； 冲激响应的求解方法； （2） ） 冲激响应的求解方法；
第二章 线性时不变系统的时域分析
学习目标： 学习目标： (1) 正确理解零输入响应、零状态响应、冲激 正确理解零输入响应、零状态响应、 响应和阶跃响应的基本概念； 响应和阶跃响应的基本概念； (2)能应用不同的方法求解零状态响应和冲激 能应用不同的方法求解零状态响应和冲激 响应； 响应； (3)掌握用冲激响应卷积求解零状态响应的原 掌握用冲激响应卷积求解零状态响应的原 理和方法 (4) 掌握用冲激响应表征系统的基本特性。 掌握用冲激响应表征系统的基本特性。
y zi (t ) =
N
∑
i =1
Ci e αBiblioteka Baidui t
待定系数 Ci 完全由系统的起始状态 y(k)(0-) 确定
零状态响应的求解 齐次解中剩下的一部分将和特解一起组 成系统的零状态响应 。 零状态响应有3种求解方法 （1）零状态响应＝完全响应－零输入响应； （2）利用系统从起始状态 y(k)(0-) 到初始 状态 y(k)(0+) 的跳变量y(k)(0) 来求解系 统的零状态响应 ； （3）卷积法
数学表达式： 数学表达式：微分方程和差分方程
常用的系统描述方法是数学方程，包括 有用于连续系统的微分方程和用于离散 系统的从差分方程。 列写系统的数学方程有两条基本依据： （1）系统内部元器件或子系统的连接关系 （拓扑约束）； （2）另一条是元器件或子系统的电气特性 （性能约束）。
系统的框图表示法
⑶ 如果特征根中有共轭复 根 α ± jβ ，则共轭复根所 对应的齐次解为
差分方程的特解形式: 差分方程的特解形式:
4．差分方程的应用 ．
差分方程的应用主要表现在两个方面： (1)描述本身就是离散系统的事件，如银行 利率、股市行情、人口统计等； (2)用来仿真连续系统，也就是用一个离散 系统来近似连续系统。 举例：
y(t)与y[n]计算结果的比较
四、零输入响应和零状态响应
1．起始状态对系统的影响 ． 用线性方程 y ( t ) = a x ( t ) + b 来描 述的系统可能不是一个线性系统！为什 么？ 如果方程中没有常数项 b ，则 y(t)=ax(t) 所描述的系统就是一个线性系统 。
将系统的响应分为两部分： （1）与激励信号无关，完全由某些“常数” 决定； （2）完全由激励信号确定。 结论：完全由激励信号确定的响应与激励 信号之间就可能满足线性关系了。 举例说明
常见激励信号的特解形式
微分方程的特解与激励信号有关，根据 不同的激励信号，特解也有不同的形式。 几种常见的激励信号，特解的形式见表 2.1所示。 特解的求解过程一般是将表2.1中和激励 信号相对应、并具有待定系数 B 的特解 代入微分方程后求出待定系数 B，这样 也就求出了特解。
微分方程的齐次解和特解求出以后， 微分方程的齐次解和特解求出以后 ， 其完全解的 形式也就确定下来了。 但是， 形式也就确定下来了 。 但是 ， 完全解中的待定系 数则需要由方程给定的初值来确定。 数则需要由方程给定的初值来确定。 为求得这些初值， 为求得这些初值 ， 我们将系统在激励信号加入前 瞬间的状态定义为系统的起始状态， 瞬间的状态定义为系统的起始状态，记为 y(k)(0-)； ； 而将系统在激励信号加入后瞬间的状态定义为系 统的初始状态， 记为y 统的初始状态 ， 记为 (k)(0+) ， 确定系统完全响应 所需要的初值是初始状态 y(k)(0+)， （ 系统的初始 ， 时刻的响应） 状态就是系统在 t=0+ 时刻的响应）。