中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)
中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
线段最值问题（一）一．两点之间线段最短两点之间，线段最短经常结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和圆来求解线段或者线段和的最大最小值问题。
解题的关键是找到定点和定长的线段，然后利用上述知识找到临界位置，求出最值.1.两点之间，线段最短：A 和B 两点之间，线段AB 最短.2. AB a =，BC b =（a b >），则当点C 在D 点时，min AC AB AC a b =-=-，当点C 在点E时，max AC AB BC a b =+=+二．垂线段最短垂线段最短是直线外一点与直线上各点的连线中垂线段最短的简称，如图，线段AB 外一点C 与线段上各点的连线中，垂线段CD 最短.一．考点：两点之间线段最短，垂线段最短二．重难点：两点之间线段最短，垂线段最短三．易错点：1．利用两点之间线段最短求解最值时要找到定点和定线段，然后再找到临界位置求解；2．利用垂线段最短求解最值时关键是找准定点和动点所在的线段或直线．题模一：两点之间线段最短例1.1.1 在RtABC 中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6．（I ）如图①，将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，所得到与AB 交于点M ，则CM 的长=__； （II ）如图②，点D 是边AC 上一点D 且3，将线段AD 绕点A 旋转，得线段AD ′，点F 始终为BD ′的中点，则将线段AD 绕点A 逆时针旋转__度时，线段CF 的长最大，最大值为__．【答案】 （1）6（2）150；63+【解析】 （Ⅰ）如下图①所示：∵将线段CA绕点C顺时针旋转30°，∴△AMC 为等腰三角形，AM=MC∵∠BAC=30°，∴△MBC为等边三角形，∴AM=MB=CM又∵BC=6，∴AB=2BC=12，∴CM=6故答案为：6（2）∵在RtABC中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6，∴AB=12取AB的中点E，连接EF、EC，EF是中位线，所以12 EF AD=∴CF的最大值为63EC EF+=，即：当将线段AD绕点A逆时针旋转150度时，线段CF的长最大，最大值为63+例1.1.2如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动．则点C到原点的最大距离是（）A．23B．26C．3D．2【答案】A【解析】如图，当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长．设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，∵△ABC为等边三角形，边长为2，OC⊥AB∴33AF=BF=1，∵∠BOC=∠AOC=22.5°，∴∠EOA=∠EAO=22.5°，∴∠FEA=∠FAE=45°，∴AF=EF=1，2∴OC=OE +EF +CF=123例1.1.3 如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ）A ． 23B ． 3C ． 2D ． 31【答案】D【解析】 AC 的中点O ，连接AD 、DG 、BO 、OM ，如图．∵△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，∴AD ⊥BC ，GD ⊥EF ，DA=DG ，DC=DF ，∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC ，DA DC =DG DF， ∴△DAG ∽△DCF ，∴∠DAG=∠DCF ．∴A 、D 、C 、M 四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO ≤BM+OM ，即BM ≥BO ﹣OM ，当M 在线段BO 与该圆的交点处时，线段BM 最小，此时，22BC OC -2221-3OM=12AC=1， 则BM=BO ﹣31．例1.1.4 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，连结AM 、CM ．（1） 当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；（2）当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 31时，求正方形的边长．【答案】 （1）见解析（2）见解析（32【解析】 该题考查的是四边形综合．（1）当M 点落在BD 的中点时，AM CM +的值最小．……………………………1分（2）如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时AM BM CM ++的值最小．……………………………2分理由如下：∵M 是正方形ABCD 对角线上一点又AB BC =，BM BM =∴△ABM ≌△CBM∴BAM BCM ∠=∠……………………………3分又BE BA BC ==∴BEC BAM ∠=∠在EC 上取一点N 使得EN AM =，连结BN又∵EB AB =∴△BNE ≌△ABM……………………3分又∵60EBN NBA ∠+∠=︒即60NBM ∠=︒∴△BMN 是等边三角形．∴BM MN ＝……………………………4分根据“两点之间线段最短”，得EN MN CM EC ++=最短∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，即等于EC 的长．……………………………5分（3）过E 点作EF BC ⊥交CB 的延长线于F设正方形的边长为x，则3BF，2xEF=……………………………6分在Rt△EFC中，解得2x=（舍去负值）．2．……………………………7分例1.1.5正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH ⊥BF所在直线于点H，连接CH．（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是______；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．【答案】（1）CH=AB；（2）成立，见解析（3）323【解析】（1）如图1，连接BE，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵点E是DC的中点，DE=DF，∴点F是AD的中点，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．如图2，连接BE，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵AD=CD，DE=DF，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（3）如图3，∵CK≤AC+AK，∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，∴∠KDF=∠HDE，∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH，在△DFK和△DEH中，∴△DFK≌△DEH，∴DK=DH，在△DAK和△DCH中，∴△DAK≌△DCH，∴AK=CH又∵CH=AB，∴AK=CH=AB，∵AB=3，∴AK=3，2，∴CK=AC+AK=AC+AB=323，即线段CK长的最大值是323例 1.1.6在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN= ，NM 与AB 的位置关系是 ；（2）当4＜BD ＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（2）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．【答案】 （110（2）见解析【解析】 （1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，∴CD=2，∴22AC CD 5，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴210∵N 为ED 的中点，∴AN=1210 ∵M 为AB 的中点，∴AM=122 ∵∠CAB=∠DAN=45°，∴∠CAD=∠MAN ，∴△ACD ∽△AMN ，∴∠AMN=∠C=90°，∴MN ⊥AB ， 10（2）①补全图形如图2所示，②（1）中NM 与AB 的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠CAN+∠NAM=45°，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴AD=AE ，∠DAE=90°，∵N 为ED 的中点， ∴1452DAN DAE ∠=∠=，AN ⊥DE ， ∴∠CAN+∠DAC=45°，∴∠NAM=∠DAC ，在Rt △AND 中，cos AN AD=∠DAN=cos45°=22，同理=22， ∴AC AM AB AN=，∵∠DAC=45°﹣∠CAN=∠MAN ， ∴△ANM ∽△ADC ，∴∠AMN=∠ACD ，∵D 在BC 的延长线上，∴∠ACD=180°﹣∠ACB=90°，∴∠AMN=90°，∴MN ⊥AB ；（2）连接ME ，EB ，过M 作MG ⊥EB 于G ，过A 作AK ⊥AB 交BD 的延长线于K ，则△AKB 等腰直角三角形，在△ADK 与△ABE 中，AK AB KAD BAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADK ≌△ABE ，∴∠ABE=∠K=45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC=4，∴2，2，∴MG=2，∵∠G=90°，∴ME≥MG，∴当ME=MG时，ME的值最小，∴ME=BE=2，∴DK=BE=2，∵CK=BC=4，∴CD=2，∴BD=6，∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是2．例 1.1.7如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【答案】（1）b=﹣2，c=3（2）M（﹣125，5125）（3）①见解析②PA+PC+PG的最小值为19P的坐标（﹣919123）【解析】分析：（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题．（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．（3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM=AM NQAC QC求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，∴3930c b c =⎧⎨--+=⎩解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴b=﹣2，c=3．（2），对于抛物线y=﹣x 2﹣2x+3，令y=0，则﹣x 2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，∴点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标（﹣23，1）， 设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到2130k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得3535k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线CE 为y=﹣35x+35， 由2335523y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--+⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或1255125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点M 坐标（﹣125，5125）． （3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR=PG ．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q 坐标（﹣6，3在RT △QCN 中，3CN=7，∠QNC=90°，∴22QN NC +19∵sin ∠ACM=AM NQ AC QC =， ∴657 ∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR ，cos30°=AM AP ， ∴1219619∴22AC AM -1419， ∴PC=CM ﹣819 ∴CK=2819，123，∴OK=CK﹣CO=9 19，∴点P坐标（﹣919123）．∴PA+PC+PG的最小值为19P的坐标（﹣919123）．题模二：垂线段最短例1.2.1如图，边长为10的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是．【答案】 2.5【解析】取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF=60°，又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∴∠DCF=∠GCE，∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD=12 BC，∴CD=CG，又∵CE旋转到CF，∴CE=CF，在△DCF和△GCE中，∴DF=EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD=12×60°=30°，AG=12AC=12×10=5，∴EG=12AG=12×5=2.5， ∴DF=2.5．例1.2.2 如图，⊙O 2P 是直线y=﹣x+6上的一点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（ ）A ． 3B ． 4C ． 62D ． 21【答案】B【解析】 ∵P 在直线y=﹣x+6上，∴设P 坐标为（m ，6﹣m ），连接OQ ，OP ，由PQ 为圆O 的切线，得到PQ ⊥OQ ，在Rt △OPQ 中，根据勾股定理得：OP 2=PQ 2+OQ 2，∴PQ 2=m 2+（6﹣m ）2﹣2=2m 2﹣12m+34=2（m ﹣3）2+16，则当m=3时，切线长PQ 的最小值为4．例1.2.3 在平面直角坐标系xOy 中，定义点P （x ，y ）的变换点为P ′（x+y ，x ﹣y ）．（1）如图1，如果⊙O 的半径为2①请你判断M （2，0），N （﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O 的位置关系；②若点P 在直线y=x+2上，点P 的变换点P ′在⊙O 的内，求点P 横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O 的半径为1，且P 的变换点P ′在直线y=﹣2x+6上，求点P 与⊙O 上任意一点距离的最小值．【答案】 （1）①变换点在⊙O 上；变换点在⊙O 外；P 横坐标的取值范围为﹣2＜x ＜0； ②﹣2＜x ＜0（2310﹣1 【解析】 （1）①M （2，0）的变换点M′的坐标为（2，2），则2222+2，所以点M （2，0）的变换点在⊙O 上；N （﹣2，﹣1）的变换点N′的坐标为（﹣3，﹣1），则2231+102，所以点N （﹣2，﹣1）的变换点在⊙O 外；②设P 点坐标为（x ，x+2），则P 点的变换点为P′的坐标为（2x+2，﹣2），则22(22)(2)x ++-∵点P′在⊙O 的内， 22(22)(2)x ++-2，∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x ＜0，即点P 横坐标的取值范围为﹣2＜x ＜0；（2）设点P′的坐标为（x ，﹣2x+6），P （m ，n ），根据题意得m+n=x ，m ﹣n=﹣2x+6，∴3m+n=6，即n=﹣3m+6，∴P 点坐标为（m ，﹣3m+6），∴点P 在直线y=﹣3x+6上，设直线y=﹣3x+6与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，过O 点作OH ⊥AB 于H ，交⊙O 于C ，如图2，则A （2，0），B （0，6），∴2226+10 ∵12OH•AB=12OA•OB ， ∴210310 ∴310﹣1， 即点P 与⊙O 310﹣1． 例1.2.4 已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=1，AB=2，BC=3，问题1：如图1，P 为AB 边上的一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ ，DC 的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题4：如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）对角线PQ与DC不可能相等；（2）PQ的长最小为4；（3）PQ的长最小为5；（4）PQ 2（n+4）．【解析】问题1：过点D作DE⊥BC于点E，∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC∴四边形ABED是矩形，∴DE=AB=2，BE=AD=1，∴CE=BC-BE=2，∴2∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，设PB=x，则AP=2-x，在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2-x）2+1=8，化简得x2-2x+3=0，∵△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，∴方程无解，∴对角线PQ与DC不可能相等．问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ，∴∠ADP=∠QCH，又∵PD=CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，∴AD=HC，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．问题3：如图2′，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，PD=DE，∴G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，同理可证∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，即ADCH=PDCQ=12，∴CH=2，∴BH=BC+CH=3+2=5，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，∵PE∥BQ，AE=nPA，∴G是AB上一定点，作QH∥CD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，∴∠QBH=∠PAD，∴△ADP∽△BHQ，∵AD=1，∴BH=n+1，∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABMD是矩形，∴BM=AD=1，DM=AB=2∴CM=BC-BM=3-1=2=DM，∴∠DCM=45°，∴∠KCH=45°，∴CK=CH•cos45°=22（n+4），∴当PQ⊥CD时，PQ 2（n+4）．随练1.1如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．32B．2C．813D．1213【答案】B【解析】∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴22+BO BC，∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．随练1.2如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC=90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．【答案】（1）见解析2565（2）①②PB313【解析】（1）欲证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可．（2）①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．由△PEB∽△AEC，得PB BE=，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．解法类似．AC CE②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可．（1）证明：如图1中，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC，∴BD=CE．（2）①解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴225AE AC+同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴25b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，∴225AE AC+同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴65，2565综上，②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）∵AE⊥EC，∴2222AC AE--=213由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=90°，3∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD=AE=1，∴PB=BD﹣31．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴2222--=AC AE213由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=90°，3∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD=AE=1，∴3．综上所述，PB313．随练1.3如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值= cm．【答案】（1）①（﹣39）；②631）（2）12【解析】（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则BC=6，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，∴BD=3，3所以点C的坐标为（﹣39）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=12×cos∠BAO=12×cos30°3∴3x，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'O B'中，由勾股定理得，（3x）2+（6+x）2=122，解得：x=631），∴滑动的距离为631）；（2）设点C 的坐标为（x ，y ），过C 作CE ⊥x 轴，CD ⊥y 轴，垂足分别为E ，D ，如图3： 则OE=﹣x ，OD=y ，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB ，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE ∽△BCD ， ∴CE AC =CD BC ，即CE 63=3CD ∴y=3，OC 2=x 2+y 2=x 2+3）2=4x 2，∴取AB 中点D ，连接CD ，OD ，则CD 与OD 之和大于或等于CO ，当且仅当C ，D ，O 三点共线时取等号，此时CO=CD+OD=6+6=12，第二问方法二：因角C 与角O 和为180度，所以角CAO 与角CBO 和为180度，故A ，O ，B ，C 四点共圆，且AB 为圆的直径，故弦CO 的最大值为12．随练1.4 如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是''',,B C D ，则'''BB CC DD ++的最大值为______，最小值为______。
初中求线段最值汇总 中考复习
几何中线段最值的求法模型1：垂线段最短直线l 处有一定点A ，点B 是l 上一动点，当AB ⊥l 时，AB 最短．1．(2019·泰安)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是(D)A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2模型2 将军饮马A ，B 是直线l 同侧两定点，P 是直线l 一动点，作点B 关于直线l 的对称点B′，直线AB′交直线l 于点P ，此时PA ＋PB 最小，等于AB′.)2．(2019·凉山州改编)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的图象过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)．P 点是对称轴上一动点，当P 点的坐标为(1，2)时，PA ＋PC 最小，最小值为32．模型3：利用圆的特性确定最值A 是⊙O 外一定点，P 是⊙O 上一动点，P 点运动到点B 时，AP 最小，P 点运动到C 点时，AP 最大．3．(2019·乐山)如图，抛物线y ＝14x 2－4与x 轴交于A ，B 两点，P 是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连接OQ ，则线段OQ 的最大值是(C)A ．3B.412C.72D ．4AB 是⊙O 的定弦，P 是⊙O 上的动点，PC 过圆心O ，且PC ⊥AB 时，P 点到AB 的距离最大．直线l 是定直线，P 是⊙O 上的动点，过点P 作直线的垂线：PC 过圆心O ，PC ⊥L 时，P 2C 最长；P 1C 最短.4．(2019·广元)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且∠BPC ＝60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是6＋33．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=4.AD=6,E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将∆EBF 沿EF 所在直线折叠得到∆EB ’F ，连接B ’D,则B ’D 的最小值是 。
中考专题总结复习线段及差最大值与最小值
中考专题------线段和〔差〕的最值问题一、两条线段和的最小值。
根本图形剖析：一〕、两个定点：1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小；〔1〕点 A、B 在直线 m 两侧：AAmPmBB〔2〕点 A、B 在直线同侧：AABBmPmA'A、A’是关于直线 m 的对称点。
2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。
〔1〕两个点都在直线外侧：AmAmP'PnnQ' QBB〔2〕一个点在内侧，一个点在外侧：AAmmPBBnnQB'〔3〕两个点都在内侧：A'mmAAPBQBnnB'〔4〕、台球两次碰壁模型变式一：点 A 、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短 .nAnA'BAB DmEmB'填空：最短周长 =________________变式二：点 A 位于直线 m,n 的内侧 , 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA周长最短 .nA'nAAQmPmA"二〕、一个动点，一个定点：〔一〕动点在直线上运动：点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小〔在图中画出点 P 和点B〕1、两点在直线两侧：nnBmmPA A2、两点在直线同侧：nnBAAmPmA'〔二〕动点在圆上运动点 B 在⊙O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小〔在图中画出点 P 和点 B〕1、点与圆在直线两侧：B'OOBmP' P mAA2、点与圆在直线同侧：OOBAAmmPA'三〕、 A、B 是两个定点， P、Q 是直线 m 上的两个动点， P 在 Q 的左侧 ,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求 P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。
中考数学总复习——线段最值
线段最值线段最值问题是指在一定的条件下，求线段长度的最大值或最小值.求线段最值问题的基本方法有：1.轴对称模型，本讲主要涉及轴对称在四边形中的应用；2.线段运动问题.1、轴对称模型【练习1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．【练习2】如图，在锐角三角形ABC中，BC=,∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是___.【练习3】如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作 两个等腰直角△ACD 和△BCE,则DE 的最小值为________.M NA BCD【练习4】如图，当四边形PABN的周长最小时，a=_______.【练习5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为_________.2、线段运动问题【练习1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）A ．222B ．52C ．62D ．6【练习2】已知平行四边形ABCD 中，AC=10，BD=8，则AD 的取值范围是__________.【练习3】如图，将两张长为8cm,宽为2cm的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时菱形的周长有最小值8cm,那么菱形周长的最大值是___________cm.【练习4】如图，∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1,运动过程中，点D到点O的最大距离为( )AD.152MNOACD【练习5】如图，C为线段上BD一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD，连接AC、EC, 已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)请问点C满足什么条件时, AC+CE的值最小？(3)根据(2)的最小值.。
中考专题复习-----线段和差地最大值与最小值
中考专题------线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析： 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：m m BmABm（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型nmnmnnnm变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动m nmnmnm点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mmmm过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
（2）点A、B在直线m同侧：练习题QQ1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ．3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .Q5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC 上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；A（1）点A、B在直线m同侧：AB解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
线段最值问题专题方法
线段最值问题专题方法
线段最值问题？嘿，这可不是个小难题呢！那咱就来说说这线段最值问题的专题方法。
先讲讲步骤吧！你想想，就像在走迷宫一样，得有个方向。
第一步，确定动点轨迹，这可重要啦！要是不知道动点在哪瞎找，那可就像无头苍蝇一样，能找到最值才怪呢！第二步，根据不同的轨迹类型选择合适的方法。
如果是直线型轨迹，那就利用“垂线段最短”这个法宝；要是圆弧轨迹呢，那就得想到圆心和半径啦！
注意事项也不少呢！你可千万别小瞧了这些细节。
首先，一定要仔细分析题目条件，别漏看了任何一个关键信息。
其次，在计算的时候要认真仔细，一个小错误可能就会让你的结果谬以千里。
那这过程中的安全性和稳定性咋样呢？这么说吧，只要你按照正确的步骤来，就像走在平坦的大路上一样安全稳定。
可要是你乱来，那可就危险啦，说不定就会掉进陷阱里。
再说说应用场景和优势。
这线段最值问题在生活中的应用可多啦！比如在建筑设计中，要确定最短的布线路径；在物流运输中，要找到最短的运输路线。
优势嘛，那就是能帮你节省时间、成本，提高效率。
来个实际案例吧！比如说要在河边建一个水泵站，向两个村庄供水，问水泵站建在哪里才能使铺设的管道最短。
这不就是典型的线段最值问题嘛！通过分析，找到两个村庄关于河边的对称点，连接对称点和另一个村庄，与河边的交点就是水泵站的最佳位置。
这样一来，就可以大大节省铺设管道的成本。
咱这线段最值问题的专题方法就是这么厉害！只要你掌握了，就能在各种问题中如鱼得水。
赶紧去试试吧！。
中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)
MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或 可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时 ，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
解答过程：
连接OC交e O于点P，此时PC最小. 在RtBCO中， Q BC=4，OB=3， OC=5，PC=OC OP=2. 即PC最小值为2.
小结：
此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与 两定点连线的夹角为确定值；若点P在△ABC外部，则CP 长存在最大值；若∠APB为非直角时，则作△ABP的外接 圆，此时AB为非直径的弦.
'
2
2
2
在 R t C D D '中 ，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的 最 小 值 为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算 出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合 的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
，52
)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点
，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
y
中考数学专题讲练 线段最值问题二
线段最值问题（二）一．利用轴对称求最值轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题，相关模型比较多，主要包含以下几种类型： 1．如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．2．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．3．如图，直线l 和l 同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．4．如图，直线l 和l 异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．lll5．如图，点P 是MON ∠内的一点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使PAB ∆的周长最小．6．如图，点P ，Q 为MON ∠内的两点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使四边形PAQB 的周长最小．7．如图，点A 是MON ∠外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．l8．如图，点A 是MON 内的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．9．造桥选址问题二．利用二次函数求最值利用二次函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量，然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等，最后根据函数的增减性，并结合自变量的取值范围，求出最值．l 2l 1一．考点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值二．重难点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值三．易错点：1．利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题，此时直接按照相应模型来求解即可，如果出现有定点也有动点的情况，可以先把动点固定下来，然后利用模型找到最值时的位置，最后再去确定动点的位置；2．利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向，一定要注意自变量的取值范围，并不是所有的最值都是在顶点取到．题模一：利用轴对称求最值例1.1.1在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（31点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是__．【答案】 4【解析】如图所示：∵点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），∴直线OD的解析式为，直线OE的解析式x，设点C关于直线OE的对称点C′所在直线CC′的解析式为y=﹣+b，把C 的坐标（1故直线CC ′的解析式为y=+联立直线OE 的解析式和直线CC ′的解析式可得x y=⎧⎪⎨⎪-+⎩，解得x=1.5y=2⎧⎪⎨⎪⎩．故交点坐标为（1.5，2）， ∴点C ′坐标为（2，0），设点B 关于直线OD 的对称点B ′所在直线BB ′的解析式为y=x +b ′， 把B 的坐标（3，b ′b ′故直线BB ′的解析式为y=x +联立直线OD 的解析式和直线BB ′的解析式可得y=x 3⎧⎪⎨-+⎪⎩解得x=1.5⎧⎪⎨⎪⎩故交点坐标为（1.5∴点B ′坐标为（0，则B ′C ′，即CE +DE +DB 的最小值是4．例1.1.2 已知抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为__． 【答案】 （2，﹣6） 【解析】 ∵抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）， ∴12×42+4b=0， ∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=12x 2﹣2x=12（x ﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为：直线x=2， ∵点C （1，﹣3），∴作点C 关于x=2的对称点C ′（3，﹣3）， 直线AC ′与x=2的交点即为D ，因为任意取一点D （AC 与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC ．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD ﹣CD |＜AC ′．所以最大值就是在D 是AC ′延长线上的点的时候取到|AD ﹣C ′D |=AC ′．把A ，C ′两点坐标代入，得到过AC ′的直线的解析式即可； 设直线AC ′的解析式为y=kx +b ，∴4k b=03k b=3+⎧⎨+⎩﹣ ，解得：k=3b=12⎧⎨-⎩，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．例1.1.3如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．C．20D．【答案】B【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，所以，PQ=P1Q，PR=P2R，所以，△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2，由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，连接P1O、P2O，则∠AOP=∠AOP1，OP1=OP，∠BOP=∠BOP2，OP2=OP，所以，OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°，所以，△P1OP2为等腰直角三角，所以，P1P21即△PQR最小周长是故选B．例1.1.4如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．B．6C．D．3【答案】C【解析】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=6，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=6∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+例1.1.5如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=____A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM+NB=A′N+NB=A′B ，过点B 作BE ⊥AA′，交AA′于点E ，易得AE=2+4+3=9，，A′E=2+3=5，在Rt △AEB 中，，在Rt △A′EB 中，． 故选：B ．题模二：利用二次函数求最值例1.2.1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （﹣1，0）和点B （4，0），且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；（3）当m ＞0，n ＞0时，过点P 作直线PE ⊥y 轴于点E 交直线BC 于点F ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，连接EG ，请直接写出随着点P 的运动，线段EG 的最小值． 【答案】 （1）y=﹣12x 2+32x+2 （2）（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）（3【解析】 （1）把A （﹣1，0），B （4，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中，可得 a-b+2=016a+4b+2=0⎧⎨⎩解得1 a=23 b=2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣∴抛物线的解析式为：y=﹣12x2+32x+2．（2）∵抛物线的解析式为y=﹣12x2+32x+2，∴点C的坐标是（0，2），∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），∴AD=2﹣（﹣1）=3，∴△CAD的面积=132=32⨯⨯，∴△PDB的面积=3，∵点B（4，0）、点D（2，0），∴BD=2，∴|n|=3×2÷2=3，∴n=3或﹣3，①当n=3时，﹣12m2+32m+2=3，解得m=1或m=2，∴点P的坐标是（1，3）或（2，3）．②当n=﹣3时，﹣12m2+32m+2=﹣3，解得m=5或m=﹣2，∴点P的坐标是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．综上，可得点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．（3）如图1，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），∴n=24m+n=0⎧⎨⎩解得1 m=2 n=2⎧⎪⎨⎪⎩﹣∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣12x+2，∵点P的坐标是（m，n），∴点F的坐标是（4﹣2n，n），∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣85）2+165，∵n＞0，∴当n=85时，线段EG即线段EG例1.2.2如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM 周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）M（，）；（4）（，）．【解析】（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DEO．∴OD=AO=1．∴D（0，1）．（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．∵x=﹣=，∴点B′的坐标为（2，4）．∵点B与点B′关于x=对称，∴MB=B′M．∴DM+MB=DM+MB′．∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，∴△BDM的最小值=+．设直线B′D的解析式为y=kx+b．将点D、B′的坐标代入得：，解得：k=，b=1．∴直线DB′的解析式为y=x+1．将x=代入得：y=．∴M（，）．（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．∵S梯形D O GF=（OD+FG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA= OD•OA=×1×1=，S△AG F=AG•FG=﹣a3+4a2﹣3a，∴S△FD A=S梯形D O GF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣．∴当a=时，S△FD A的最大值为．∴点P的坐标为（，）．例1.2.3如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x =0代入y =﹣12x +4得：y =4，∴A （0，4）． 将y =0代入得：0=﹣12x +4，解得x =8，∴B （8，0）．∴OA =4，OB =8． ∵M （﹣1，2），A （0，4），∴MG =1，AG =2．∴tan ∠MAG =tan ∠ABO =12． ∴∠MAG =∠ABO ．∵∠OAB +∠ABO =90°，∴∠MAG +∠OAB =90°，即∠MAB =90°．∴l 是⊙M 的切线．（3）∵∠PFE +∠FPE =90°，∠FBD +∠PFE =90°，∴∠FPE =∠FBD ．∴tan ∠FPE =12．∴PF ：PE ：EF 2：1．∴△PEF 的面积=12PE •EF =12PF PF =15PF 2． ∴当PF 最小时，△PEF 的面积最小．设点P 的坐标为（x ，﹣29x 2﹣49x +169），则F （x ，﹣12x +4）． ∴PF =（﹣12x +4）﹣（﹣29x 2﹣49x +169）=﹣12x +4+29x 2+49x ﹣169=29x 2﹣118x +209=29（x ﹣18）2+7132．∴当x =18时，PF 有最小值，PF 的最小值为7132．∴P （18，5532）． ∴△PEF 的面积的最小值为=15×（7132）2=50415120．随练1.1 四边形ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使三角形AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A ． 80°B ． 90°C ． 100°D ． 130°【答案】C【解析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠NM=2（∠A′+∠A″）即可解决．延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=′MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+′MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），∵∠BAD=130°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=50°M∴∠AMN+∠NM=2×50°=100°．故选C．随练1.2如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是123（，），在x，y轴上分（，），B点的坐标是27别有一点P和Q，若有四边形PABQ的周长最短，求周长最短的值．【答案】如图所示：四边形PABQ的周长最短，∵A点的坐标是123（，），（，），B点的坐标是27∴AB123（，），B'-（，），27A'-A B=，故''则四边形PABQ的周长最短的值为：【解析】利用作B点关于y轴对称点B'，作A点关于x轴对称点A'，进而连接AB''，交y轴于点Q，交x轴于点P，进而利用勾股定理得出答案．随练1.3如图，已知30∠=︒，在OM上有两点A、B分别到ON的距离为2cm和1cm，若在ONMON-的值最大，求P点到O点的距离．上找一点P使PA PB-的值最大，P应在OM上，【答案】因为A、B在OM上，要使PA PB-＜，如果P不在OM上，则P、A、B构成三角形，根据三角形的三边关系，PA PB AB所以，P是OM和ON的交点，即O点，所以P到O的距离为0．【解析】根据三角形的三边关系，两边的差小于第三边，可以判定当P点在OM和ON的交点处PA PB-的值最大，从而求得P点到O点的距离．随练1.4小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA PB+的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：①作点A关于直线l的对称点A''．②连结A B'，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在ABC△中，点D、E分别是AB、AC边的中点，6BC=，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得PDE△的周长最小．①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出PDE △周长的最小值__________．（2）如图2在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且1EF =，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF 周长的最小值_____．【答案】 （1）①见解析②8（2）6+【解析】 该题考查的是将军饮马问题．（1）如图1，作D 关于BC 的对称点'D ，由轴对称的性质可知'D P D P =，DPE C DE DP PE ∆=++'DE D P PE =++ 'D E D E ≥+∴当'D 、P 、E 共线时DPE C ∆最小，即P 为'D E 与BC 的交点， …………………………………………………1分此时，由D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE //BC 且132DE BC ==， 且D 到BC 距离为A 到BC 距离一半，即为2，由轴对称的性质可知'D P D P =，'DD BC ⊥，∴'DD 即为D 到BC 距离两倍，所以'4D D =，∵DE //BC ，'DD BC ⊥∴'DD DE ⊥，在Rt △'DD E 中，'90D DE ∠=︒，由勾股定理'5D E =，∴358DPE C ∆=+=； ……………………………………………………………2分（2）如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取1CH =，则CH 和EF 平行且相等，∴四边形CHEF 为平行四边形，∴CF HE =，由轴对称的性质可知GE ME =，CGEF C CG GE EF CF =+++1CG ME EH =+++ 1CG MH ≥++∴当M 、E 、H 共线时CGEF C 最小，连接HM 与AB 的交点即为E ，在EB 上截取1EF =即得F ，……………4分此时3DH =，3DG AG AM ===，∴9DM =，在Rt △DHM 和Rt △DGC 中由勾股定理：MH =5DG = ∴516CGEF C =+++……………………………………………5分随练1.5 在平面直角坐标系中，已知y=﹣12x 2+bx+c （b 、c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x2+2x﹣1；（2）见解析；（3）当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为【解析】（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴111641 2cb c=-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣12x2+2x﹣1．（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵直线的斜率为1，∴△P′PM是等腰直角三角形，∵∴P′M=PM=1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，∵y=﹣12x2+2x﹣1=﹣12（x﹣2）2+1，∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣12（x﹣3）2+2，令y=0，则0=﹣12（x﹣3）2+2，解得x1=1，x=52，∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解()213221y xy x⎧=--+⎪⎨⎪=-⎩，得1xy=⎧⎨=⎩或32xy=⎧⎨=⎩∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为随练1.6如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．【答案】（1）y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3．（2≤m≤6）；（3）m=时，MN最小==【解析】（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点C的横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A（2，6），∴D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a（6﹣2）2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∴E（，3），∴BE=，∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3∵点F（m，6）是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．（2≤m≤6）（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴B（0，3），C（4，3），∵A（2，6），∴直线AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）∴PN=m，PM=﹣m+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，∴当m=时，MN最小==作业1如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A．3B．C．2D．【答案】D【解析】作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，∵cos60°=12，OAOB''=12，∴∠OA′B′=90°，∴∴线段AQ+PQ+PB的最小值是：作业2阅读材料：，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x P与点A（0，1点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：（1P（x，0）与点A（1，1）、点B____的距离之和．（填写点B的坐标）（2____．【答案】（1）（2，3）（2）10【解析】（1∴代数式P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴，故答案为：10．作业3定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P(1，2)，Q(4，2)．①在点A(1，0)，B(52，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）A、B（2）见解析（3）Q）或Q（）【解析】解:（1）A 、B……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P′，连接P′Q ，P′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P′ (1，－2).设直线P′Q 的表达式为y kx b =+，根据题意，有242k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得43103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴直线P′Q 的表达式为41033y x =-.……………4分 当0y =时，解得52x =. 即52t =.………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP′＝4，PQ ＝3， PQ ⊥PP′，∴'5P Q .∴“等高距离”最小值为5.…………………………………………………6分（3）Q）或Q（）.………………………………8分作业4 如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点在x 轴上，线段OA ，OB 的长分别为方程x 2﹣8x+12=0的两个根（OB ＞OA ），点C 是y 轴上一点，其坐标为（0，﹣3）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的关系式；（3）D是点C关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，M，N分别是y轴、x轴上的两个动点．①当△CEM是等腰三角形时，请直接写出此时点M的坐标；②以D、E、M、N位顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点M，N的坐标；若没有，请说明理由．【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）．（2）y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）有；①M（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②M（0，﹣53）N（107，0）【解析】（1）∵x2﹣8x+12=0，∴（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵OB＞OA，∴OA=2，OB=6，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）．（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），将C（0，﹣3）代入得：﹣3=﹣12a，解得：a=14，∴经过A，B，C三点的抛物线的关系式为：y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）①依据题意画出图形，如图1所示．设点M的坐标为（0，m），∵抛物线的关系式为y=14x2﹣x﹣3=14（x﹣2）2﹣4，∴点E（2，﹣4），∴CM=|m+3|，．△CEM是等腰三角形分三种情况：当CE=CM，解得：3或m=3，此时点M的坐标为（03）或（03）；当CE=ME，解得：m=﹣3（舍去）或m=﹣5，此时点M的坐标为（0，﹣5）；当CM=ME时，有，解得：m=﹣112，此时点M的坐标为（0，﹣112）．综上可知：当△CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②四边形DEMN有最小值．作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y 轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小，如图2所示．∵点C（0，﹣3），点E（2，﹣4），∴点D（4，﹣3），=∵E、E′关于y轴对称，D、D′关于x轴对称，∴EM=E′M，DN=D′N，点E′（﹣2，﹣4），点D′（4，3），∴EM+MN+DN=D′E′=∴C四边形DEMN．设直线D′E′的解析式为y=kx+b，则有3442k bk b⎧-+⎨-=-+⎩，解得：7653kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线D′E′的解析式为y=76x﹣53．令y=76x﹣53中x=0，则y=﹣53，∴点M（0，﹣53）；令y=76x﹣53中y=0，则76x﹣53=0，解得：x=107，∴点N（107，0）．故以D、E、M、N，此时点M的坐标为（0，﹣53），点N的坐标为（107，0）．作业5已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B．（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；（2）当，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积．①当y 轴时，求S （t ）的最大值，以及此时点P 的坐标； ②当AB=m （正常数）时，S （t ）是否仍有最大值，若存在，求出S （t ）的最大值以及此时点P 的坐标（t ，T ）满足的关系，若不存在说明理由．【答案】 见解析【解析】 此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，根的判别式，函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．（1）若AB 的中点落在y 轴上，那么A 、B 的横坐标互为相反数，即两个横坐标的和为0；可联立两个函数的解析式，那么A 、B 的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c 的取值范围；（2）由于直线AB 的斜率为1，当A 、B 两点横坐标差的绝对值为2；联立两个函数的解析式，可得到关于x 的方程，那么A 、B 的横坐标就是方程的两个根，可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b 、c 的关系式，即可得到c 的最小值以及对应的b 的值，由此可确定抛物线的解析式；（3）①在（2）中已经求得了b 、c 的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y 轴，那么c=1，可据此求出b 的值；进而可确定抛物线的解析式，过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，可根据抛物线和直线AB 的解析式表示出P 、Q 的纵坐标，进而可求出PQ 的表达式，以PQ 为底，A 、B 横坐标的差的绝对值为高即可求出△PAB 的面积，进而可得出关于S （t ）和t 的函数关系式，根据函数的性质即可求出△PAB 的最大面积及对应的P 点坐标；②结合（2）以及（3）①的方法求解即可．（1）由x 2+bx+c=x+1，得x 2+（b-1）x+c-1=0①．设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） （x 1＜x 2）．∵AB 的中点落在y 轴，∴A ，B 两点到y 轴的距离相等，即A ，B 两点的横坐标互为相反数，∴x 1+x 2=0，故210(1)4(1)0b b c ⎧-=⎪⎨⎪=--->⎩V∴c＜1；（3分）（2）∵，如图，过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，它们交于G点，∵直线y=x+1与x轴的夹角为45°，∴△ABG为等腰直角三角形，而，=2，即|x1-x2|=2，∴（x1+x2）2-4x1x2=4，由（1）可知x1+x2=-（b-1），x1x2=c-1．代入上式得：（b-1）2-4（c-1）=4，∴c=14(b-1)2≥0∴c的最小值为0；此时，b=1，c=0，抛物线为y=x2+x；（3）①∵由(2)知c=14(b-1)2成立．又∵抛物线与直线的交点在y轴时，交点的横坐标为0，把x=0代入①，得c-1=0，∴c=1．∴这一交点为（0，1）；∴14(b-1)2=1∴b=-1或3；当b=-1时，y=x2-x+1，过P作PQ∥y轴交直线AB于Q，则有：P（t，t2-t+1），Q（t，t+1）；∴PQ=t+1-（t2-t+1）=-t2+2t；∴S （t ）=122+2t=-（t-1）2+1； 当t=1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （1，1）；当b=3时，y=x 2+3x+1，同上可求得：S （t ）=122-2t=-（t+1）2+1； 当t=-1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （-1，-1）；故当P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）时，S （t ）最大，且最大值为1；②同（2）可得：（b-1）2-4（c-1）=m 2，由题意知：c=1，则有：（b-1）2=m 2，即b=1±m ；当b=1+m 时，y=x 2+（1+m ）x+1，∴P （t ，t 2+（1+m ）t+1），Q （t ，t+1）；∴PQ=t+1-[t 2+（1+m ）t+1]=-t 2-mt ；∴S （t ）=1212（-t 2-mt ）（t+2m ）2m 3；∴当t=-2m 时，S （t ）最大3， 此时P （-12m ，-24m -2m +1）； 当b=1-m 时，y=x 2+（1-m ）x+1，同上可求得：S （t ）m （t-2m ）23；∴当t=12m 时，S （t ）最大3， 此时P （12m ，34m 2+12m+1）；故当P （-12m ，-24m -2m +1）或（12m ，34m 2+12m+1）时，S （t 3．作业6 如图，抛物线y=ax 2﹣2ax+c 过坐标系原点及点B （4，4），交x 轴的另一个点为A ．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线上找出点C ，使得S △ABO =S △CBO ，求出点C 的坐标；（3）连结BO 交对称轴于点D ，以半径为12作⊙D ，抛物线上一动点P ，过P 作圆的切线交圆于点Q ，使得PQ 最小的点P 有几个？并求出PQ 的最小值．【答案】 （1）故抛物线的解析式为： 21y=x x 2-，对称轴x=﹣1122-⨯=1 （2）点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）点P 有2个，PQ【解析】 （1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax +c 过坐标系原点及点B （4，4），∴c=016a 8a+c=4⎧⎨-⎩， 解得：1a=2c=0⎧⎪⎨⎪⎩， 故抛物线的解析式为：21y=x x 2-， 对称轴x=﹣1122-⨯=1； （2）当y=0，0=12x 2﹣x ， 解得：x 1=0，x 2=2，故A （2，0），∵B （4，4），∴直线BO 的解析式为：y=x ，作BO 的平行线y=x ﹣2， 则2y=x 21y=x x 2-⎧⎪⎨-⎪⎩ ， 解得：x 1=x 2=2，则y=0，故C 1（2，0）往上平移还可以得到另一直线：y=x +2，组成方程组： 2y=x 21y=x x 2+⎧⎪⎨-⎪⎩， 解得：11x =2y =4⎧-⎪⎨-⎪⎩22x =2y =4⎧+⎪⎨+⎪⎩可得C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+综上所述：点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）∵y=12x 2﹣x=12（x ﹣1）2+1， ∴可得D （1，1），设P （x ，y ），由相切得：DQ ⊥PQ ，则PQ 2=PD 2﹣DQ 2， 故2221(x 1y 14PQ =-+--）（）=2217x x 244-+（）， 故x=0，2时PQ 最小，故点P 有2个，PQ的最小值为2．作业7 如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣2与x 轴交于点A （﹣3，0）．B （1，0），与y 轴交于点C（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E ，若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC 的长；（3）将抛物线向上平移32个单位长度（如图2）若动点P （x ，y ）在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．【答案】 （1）抛物线的函数解析式为y=23x 2+43x ﹣2． （2）． （3）△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324【解析】 （1）由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中x=0求出点C 的坐标，根据点A 、B 的坐标即可求出其中点M 的坐标，由此即可得出CM 的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM ∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得出OC CM DC CE=，代入数据即可求出DC 的长度； （3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x 轴的交点坐标，由此即可得出点P 横坐标的范围，再过点P 作PP′⊥y 轴于点P′，过点D 作DD′⊥y 轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S △PDE 关于x 的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE 面积的最大值．解：（1）将点A （﹣3，0）、B （1，0）代入y=ax 2+bx ﹣2中，得：093202a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得：2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为y=23x2+43x﹣2．（2）令y=23x2+43x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），∴∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴OC CM DC CE=，∴．（3）将抛物线向上平移32个单位长度后的解析式为y=23x2+43x﹣2+32=23x2+43x﹣12，令y=23x2+43x﹣12中y=0，即23x2+43x﹣12=0，解得：x1，x2．∵点P在第三象限，x＜0．过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．（方法一）：在Rt△CDE中，，CE=4，∴，sin ∠DCE=DE CE =在Rt △CDD′中，，∠CD′D=90°，∴DD′=CD•sin ∠DCE=85，165， ∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．（方法二）：在Rt △CDE 中，，CE=4，∴， ∵∠CDE=∠CD′D=90°，∠DCE=∠D′CD ， ∴△CDE ∽△CD′D ，∴DD CD CD DE CD CE''==， ∴DD′=85，CD′=165， ∴∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．。
中考数学专题复习《线段最值(将军饮马模型)》课件
MD
A
NB
例4 如图A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到 草地MN某一处去牧马，再到河边ON饮马，然后回到帐篷。请你帮 助确定这一天的最短距离。
分别在OM和ON上求点P、Q，使AP+PQ+BQ的周长最小 O
A
B
M
N
分别在OM和ON上求点P、Q，使AP+PQ+BQ的周长最小
模型： 两定两动
模型： 一定两动（三线段一线）
A’
P
O
Q
M
A N
A‘’
解： (1)做点A关于直线OM、ON的对称 点A'、A''
(2)连接A'、A''，交直线OM于点P， 交直线ON于点Q
∴先到P点吃草，再到Q点喝水，再 回驻地A路程最短
技巧：一定点，两动点，都对称，再相连
变式：将军从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河 边ON喝水，问将军怎么走路程最短？
A
F'
F'
D
F F
B
E
C
F'' F''
C‘ A
M
模型： 一定两动（动定共线）
D
解： 作点C关于BD的对称点C'
过点C'作C'N⊥BC于点N，交BD于点M。
则此时的MN+MC最小。
┓ N B
C
技巧：三个点，一条线，垂线段，是最短
5.如图，在锐角△ABC中，AB= 4 2 ，∠BAC=45°，
∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上 的动点，则线段BM+MN的最小值为________．
中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
线段最值问题（一）一．两点之间线段最短两点之间，线段最短经常结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和圆来求解线段或者线段和的最大最小值问题。
解题的关键是找到定点和定长的线段，然后利用上述知识找到临界位置，求出最值.1.两点之间，线段最短：A 和B 两点之间，线段AB 最短.2. AB a =，BC b =（a b >），则当点C 在D 点时，min AC AB AC a b =-=-，当点C 在点E 时，max AC AB BC a b =+=+二．垂线段最短垂线段最短是直线外一点与直线上各点的连线中垂线段最短的简称，如图，线段AB 外一点C 与线段上各点的连线中，垂线段CD 最短.一．考点：两点之间线段最短，垂线段最短二．重难点：两点之间线段最短，垂线段最短三．易错点：1．利用两点之间线段最短求解最值时要找到定点和定线段，然后再找到临界位置求解；2．利用垂线段最短求解最值时关键是找准定点和动点所在的线段或直线．题模一：两点之间线段最短例1.1.1 在RtABC 中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6．（I ）如图①，将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，所得到与AB 交于点M ，则CM 的长=__；（II ）如图②，点D 是边AC 上一点D 且，将线段AD 绕点A 旋转，得线段AD′，点F 始终为BD′的中点，则将线段AD 绕点A 逆时针旋转__度时，线段CF 的长最大，最大值为__．【答案】 （1）6（2）150；6+【解析】 （Ⅰ）如下图①所示：∵将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，∴△AMC 为等腰三角形，AM=MC∵∠BAC=30°，∴△MBC 为等边三角形，∴AM=MB=CM又∵BC=6，∴AB=2BC=12，∴CM=6故答案为：6（2）∵在RtABC 中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6，∴AB=12取AB 的中点E ，连接EF 、EC ，EF 是中位线，所以12EF AD =∴CF 的最大值为6EC EF +=，即：当将线段AD 绕点A 逆时针旋转 150度时，线段CF 的长最大，最大值为6例1.1.2 如图，在直角坐标系xOy 中，已知正三角形ABC 的边长为2，点A 从点O 开始沿着x 轴的正方向移动，点B 在∠xOy 的平分线上移动．则点C 到原点的最大距离是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】 如图，当OC 垂直平分线段AB 时，线段OC 最长．设OC 与AB 的交点为F ，在OF 上取一点E ，使得OE=EA ，∵△ABC 为等边三角形，边长为2，OC⊥AB∴CF=AF=BF=1，∵∠BOC=∠AOC=22.5°，∴∠EOA=∠EAO=22.5°，∴∠FEA=∠FAE=45°，∴AF=EF=1，例1.1.3 如图，△ABC，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ）A ． 2B ．C ．D ． 1【答案】D【解析】 AC 的中点O ，连接AD 、DG 、BO 、OM ，如图．∵△ABC，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG ，DC=DF ， ∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC，DA DC =DGDF ，∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG=∠DCF．∴A、D 、C 、M 四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM ，当M 在线段BO 与该圆的交点处时，线段BM 最小，此时，OM=12AC=1，则BM=BO ﹣1．例1.1.4 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，连结AM 、CM ．（1） 当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；（2）当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 1时，求正方形的边长．【答案】 （1）见解析（2）见解析（3【解析】 该题考查的是四边形综合．（1）当M 点落在BD 的中点时，AM CM +的值最小．……………………………1分（2）如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时AM BM CM ++的值最小．……………………………2分理由如下：∵M 是正方形ABCD 对角线上一点又AB BC =，BM BM =∴△ABM≌△CBM∴BAM BCM ∠=∠……………………………3分又BE BA BC ==∴BEC BAM ∠=∠在EC 上取一点N 使得EN AM =，连结BN又∵EB AB =∴△BNE≌△ABM……………………3分又∵60EBN NBA ∠+∠=︒即60NBM ∠=︒∴△BMN 是等边三角形．∴BM MN ＝……………………………4分根据“两点之间线段最短”，得EN MN CM EC ++=最短∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，即等于EC 的长．……………………………5分（3）过E 点作EF BC ⊥交CB 的延长线于F设正方形的边长为x ，则BF ， 2x EF =……………………………6分在Rt△EFC 中，解得x．……………………………7分例1.1.5 正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在射线DC ，DA 上运动，且DE=DF ．连接BF ，作EH⊥BF 所在直线于点H ，连接CH ．（1）如图1，若点E 是DC 的中点，CH 与AB 之间的数量关系是______；（2）如图2，当点E 在DC 边上且不是DC 的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E ，F 分别在射线DC ，DA 上运动时，连接DH ，过点D 作直线DH 的垂线，交直线BF 于点K ，连接CK ，请直接写出线段CK 长的最大值．【答案】 （1）CH=AB ；（2）成立，见解析（3）3+【解析】 （1）如图1，连接BE ，在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵点E 是DC 的中点，DE=DF ，∴点F是AD的中点，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．如图2，连接BE，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵AD=CD，DE=DF，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（3）如图3，∵CK≤AC+AK，∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，∴∠KDF=∠HDE，∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH，在△DFK和△DEH中，∴△DFK≌△DEH，∴DK=DH，在△DAK和△DCH中，∴△DAK≌△DCH，∴AK=CH又∵CH=AB，∴AK=CH=AB，∵AB=3，∴AK=3，，+，∴CK=AC+AK=AC+AB=3+即线段CK长的最大值是3例1.1.6 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN= ，NM与AB的位置关系是；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（2）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．【答案】 （1（2）见解析【解析】 （1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，∴CD=2，，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴△ADE 是等腰直角三角形，∵N 为ED 的中点，∴AN=12∵M 为AB 的中点，∴AM=12∵∠CAB=∠DAN=45°，∴∠CAD=∠MAN，∴△ACD∽△AMN，∴∠AMN=∠C=90°，∴MN⊥AB，（2）①补全图形如图2所示，②（1）中NM 与AB 的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠CAN+∠NAM=45°，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵N 为ED 的中点，∴1452DAN DAE ∠=∠=，AN⊥DE，∴∠CAN+∠DAC=45°，∴∠NAM=∠DAC，在Rt△AND 中，cos AN AD =∠DAN=cos45°=，同理=， ∴AC AM AB AN =，∵∠DAC=45°﹣∠CAN=∠MAN，∴△ANM∽△ADC，∴∠AMN=∠ACD，∵D 在BC 的延长线上，∴∠ACD=180°﹣∠ACB=90°，∴∠AMN=90°，∴MN⊥AB；（2）连接ME ，EB ，过M 作MG⊥EB 于G ，过A 作AK⊥AB 交BD 的延长线于K ，则△AKB 等腰直角三角形，在△ADK 与△ABE 中，AK AB KAD BAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADK≌△ABE，∴∠ABE=∠K=45°，∴△BMG 是等腰直角三角形，，，∴MG=2，∵∠G=90°，∴ME≥MG，∴当ME=MG 时，ME 的值最小，∴ME=BE=2，∴DK=BE=2，∵CK=BC=4，∴CD=2，∴BD=6，∴BD 的长为6时，ME 的长最小，最小值是2．例1.1.7 如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【答案】（1）b=﹣2，c=3（2）M（﹣125，5125）（3）①见解析②PA+PC+PG的最小值为P的坐标（﹣919，）【解析】分析：（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题．（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．（3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM=AM NQAC QC=求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，∴3930cb c=⎧⎨--+=⎩解得23bc=-⎧⎨=⎩，∴b=﹣2，c=3．（2），对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，∴点C坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D坐标（﹣1，0），∵BE=2ED，∴点E坐标（﹣23，1），设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到213k bk b⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得3535kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线CE 为y=﹣35x+35， 由2335523y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--+⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或1255125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点M 坐标（﹣125，5125）．（3）①∵△AGQ，△APR 是等边三角形， ∴AP=AR，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°， ∴∠QAR=∠GAP，在△QAR 和△GAP 中，∴△QAR≌△GAP，∴QR=PG．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC， ∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小， 作QN⊥OA 于N ，AM⊥QC 于M ，PK⊥OA 于K ． ∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q 坐标（﹣6，在RT△QCN 中，CN=7，∠QNC=90°，∵sin∠ACM=AM NQ AC QC =，∴AM=，∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=AMAP ，∴AP=，PM=RM=，∴PC=CM﹣PM=，∴CK=2819，PK=，∴OK=CK﹣CO=919，∴点P 坐标（﹣919，）．∴PA+PC+PG 的最小值为P 的坐标（﹣919，）．题模二：垂线段最短例1.2.1 如图，边长为10的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是 ．【答案】 2.5【解析】 取AC 的中点G ，连接EG ，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF=60°，又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∴∠DCF=∠GCE，∵AD 是等边△ABC 的对称轴， ∴CD=12BC ，∴CD=CG，又∵CE 旋转到CF ，∴CE=CF，在△DC F和△GCE中，∴DF=EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD=12×60°=30°，AG=12AC=12×10=5，∴EG=12AG=12×5=2.5，∴DF=2.5．例1.2.2 如图，⊙O P是直线y=﹣x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A． 3 B． 4 C． 6D． 1【答案】B【解析】∵P在直线y=﹣x+6上，∴设P坐标为（m，6﹣m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2=PQ2+OQ2，∴PQ2=m2+（6﹣m）2﹣2=2m2﹣12m+34=2（m﹣3）2+16，则当m=3时，切线长PQ的最小值为4．例1.2.3 在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O的半径为①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．【答案】（1）①变换点在⊙O上；变换点在⊙O外；P横坐标的取值范围为﹣2＜x＜0；②﹣2＜x＜0（2）﹣1【解析】（1）①M（2，0）的变换点M′的坐标为（2，2），则，所以点M（2，0）的变换点在⊙O上；N（﹣2，﹣1）的变换点N′的坐标为（﹣3，﹣1），则，所以点N （﹣2，﹣1）的变换点在⊙O外；②设P点坐标为（x，x+2），则P点的变换点为P′的坐标为（2x+2，﹣2），则OP′=∵点P′在⊙O的内，∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x＜0，即点P横坐标的取值范围为﹣2＜x＜0；（2）设点P′的坐标为（x，﹣2x+6），P（m，n），根据题意得m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，∴3m+n=6，即n=﹣3m+6，∴P点坐标为（m，﹣3m+6），∴点P在直线y=﹣3x+6上，设直线y=﹣3x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图2，则A（2，0），B（0，6），∵12OH•AB=12OA•OB，，∴CH=﹣1，即点P与⊙O上任意一点距离的最小值为﹣1．例1.2.4 已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC 的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题4：如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）对角线PQ与DC不可能相等；（2）PQ的长最小为4；（3）PQ的长最小为5；（4）PQ的长最小为（n+4）．【解析】问题1：过点D作DE⊥BC于点E，∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC∴四边形ABED是矩形，∴DE=AB=2，BE=AD=1，∴CE=BC-BE=2，，∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，设PB=x，则AP=2-x，在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2-x）2+1=8，化简得x2-2x+3=0，∵△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，∴方程无解，∴对角线PQ与DC不可能相等．问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ，∴∠ADP=∠QCH，又∵PD=CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，∴AD=HC，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．问题3：如图2′，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，PD=DE，∴G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，同理可证∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，即ADCH=PDCQ=12，∴CH=2，∴BH=BC+CH=3+2=5，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，∵PE∥BQ，AE=nPA，∴G是AB上一定点，作QH∥CD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，∴∠QBH=∠PAD，∴△ADP∽△BHQ，∵AD=1，∴BH=n+1，∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，过点D 作DM⊥BC 于M ，则四边形ABMD 是矩形，∴BM=AD=1，DM=AB=2∴CM=BC -BM=3-1=2=DM ，∴∠DCM=45°，∴∠KCH=45°，∴CK=CH•cos45°=2（n+4），∴当PQ⊥CD 时，PQ 的长最小，最小值为2（n+4）．随练 1.1 如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP 长的最小值为（ ）A ． 32 B ． 2 C ． D ．【答案】B【解析】 ∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P 在以AB 为直径的⊙O 上，连接OC 交⊙O 于点P ，此时PC 最小，在RT△BCO 中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，，∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．∴PC 最小值为2．随练1.2 如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P 为射线BD ，CE 的交点．（1）求证：BD=CE ；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE 绕点A 旋转，①当∠EAC=90°时，求PB 的长；②直接写出旋转过程中线段PB 长的最小值与最大值．【答案】 （1）见解析（2）①PB=或②PB 1【解析】 （1）欲证明BD=CE ，只要证明△ABD≌△ACE 即可．（2）①分两种情形a 、如图2中，当点E 在AB 上时，BE=AB ﹣AE=1．由△PEB∽△AEC，得PB BE AC CE =，由此即可解决问题．b 、如图3中，当点E 在BA 延长线上时，BE=3．解法类似．②a、如图4中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PB 的值最小．b 、如图5中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 上方与⊙A 相切时，PB 的值最大．分别求出PB 即可．（1）证明：如图1中，∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE ，∠DAB=∠CAE，在△ADB 和△AEC 中，∴△ADB≌△AEC，∴BD=CE．（2）①解：a 、如图2中，当点E 在AB 上时，BE=AB ﹣AE=1．∵∠EAC=90°，=同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴PB=b 、如图3中，当点E 在BA 延长线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，=同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴PB=，综上，PB=或．②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）∵AE⊥EC，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD=AE=1，∴PB=BD﹣1．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD=AE=1，．综上所述，PB1．随练1.3 如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值= cm．【答案】（1）①（﹣91）（2）12【解析】（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则BC=6，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，∴BD=3，所以点C的坐标为（﹣9）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：x，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'O B'中，由勾股定理得，（x）2+（6+x）2=122，解得：x=61），∴滑动的距离为61）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE=﹣x，OD=y，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE∽△BCD，∴CE AC =CD BC ，即CE CD，OC2=x2+y2=x2+）2=4x2，∴取AB 中点D ，连接CD ，OD ，则CD 与OD 之和大于或等于CO ，当且仅当C ，D ，O 三点共线时取等号，此时CO=CD+OD=6+6=12，第二问方法二：因角C 与角O 和为180度，所以角CAO 与角CBO 和为180度，故A ，O ，B ，C 四点共圆，且AB 为圆的直径，故弦CO 的最大值为12．随练1.4 如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是''',,B C D ，则'''BB CC DD ++的最大值为______，最小值为______。
中考数学线段最值问题常见的解题方法及步骤
中考数学线段最值问题常见的解题方法及步骤
当前，我们在解决线段最值问题时，困难主要有两个方面：一是对解决这类问题常用的几种数学模型认识不充分，掌握不到位；二是这类问题一般是以动态形式呈现的，使我们难以掌握运动中的数量关系而导致无法入手．下面我们主要探究如何利用数学模型求线段最值的问题．
其中，最常用的三种数学模型：从“形”的角度构造“两点之间线段最短”和“垂线段最短”这两种几何模型；从“数”的角度建立函数模型来进行分析．
类型一、运用“两点之间线段最短”模型
类型二、运用“垂线段最短”模型
类型三、建立函数模型探究
运动问题中的一些量是有关联的，运动中总隐含有常量和变量，可以通过函数来捕捉运动中的各个量，建立函数模型来准确刻画量与量之间的关系．
“模型思想”新课程标准新增的核心概念，“模型思想”作为核心概念之一，第一次以“基本数学思想”的身份出现．这意味着“建立数学模型”这一意识和要求被明显强化，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容、考查紧密关联。
所以，我们要深刻体会模型思想，了解数学模型的“形成—建立—求解”全过程，在过程中体会和掌握数学中常用的、重要的基本模型．。
+2024年九年级数学中考2轮专题复习专题1+线段最值问题
专题一：线段最值问题(1)班级：姓名：使用日期：评价：【模型一】利用“点到直线的所有线段中，垂线段最短”求最值.类型一一动一定求最值模型解读：如图，直线l外一定点A和直线l上一动点B，求点A，B之间距离的最小值.通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短.典例1 如图，P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE△AC于点E，PF△BC于点F，BC＝15，AC＝20，则线段EF长的最小值为.类型二两定一动求最值模型解读：如图，A，P为直线l上的两点，A为定点，P为动点，B为直线l外的一定点，求kPA＋BP（0＜k＜1）的最小值.方法：如图，构造∠PAN，使得sin∠PAN＝k，过点P作PE⊥AN于点E，从而利用kPA ＝sin∠PAN·PA＝PE，使得kPA＋BP＝PE＋BP，过点B作BF⊥AN于点F，交直线l于点P'，利用“垂线段最短”转化为求BF的长.典例2 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，P为线段BD上的一个动点，求MP＋1/2PB的最小值.类型三两动一定求最值模型解读：如图△，P是△AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋MN的值最小.要使PN＋MN的值最小，设法将PN，MN转化在同一条直线上，如图△，作点P关于OB的对称点P'，作P'M△OA于点M，交OB于点N，利用“垂线段最短”求解即可.典例3 如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△B＝30°，BC＝8，AD是△BAC的平分线.若P，Q分别是AD，AC上的动点，求PC＋PQ的最小值.典例4 如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AB＋BC＝8，tanA＝3/4，O，D分别是边AB，AC上的动点，求OC＋OD的最小值.学以致用1. 如图，P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA于点D，且PD＝5，M是射线OC上一动点，则PM长的最小值为（）A. 3B. 5C. 7D. 102.如图，菱形ABCD的周长为24，△ABD＝30°，P是对角线BD上一动点，Q是BC的中点，则PC＋PQ的最小值是（)A. 6B. 3√3C. 3√5D. 6√33.如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为对角线BD上一动点，ME△BC于点E，MF△CD 于点F，连接EF，则EF长的最小值为3.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝6√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M，N分别是BD，BC上的动点，连.接MN，CM，则CM＋MN的最小值是专题一：线段最值问题(2)班级：姓名：使用日期：评价：【模型二】利用“两点之间线段最短求最值”求最值.1.“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．模型解读：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．模型解读：将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．模型解读：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．模型解读：将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．例题△△△【问题提出】（1）如图△，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离BD为900米，且点C、D间距离为900米，请计算该牧马人的最短路径长；【问题探究】（2）如图△，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F，△ABC的面积为24，若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，请求出△CDM周长的最小值；【问题解决】（3）如图△所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD，△C＝△D＝90°，AD ＝70m，CD＝60m，BC＝110m，在AB的中点处有一个出货口M，在BC上有一个质检口N，点D为货物包装口．为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率，现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口到包装口D的距离ND之和最短（即MN+ND最短）．请根据要求计算出MN+ND的最小值为多少？2.“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是△AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 周长最小．模型解读：要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．例题△△△（1）如图△，在等边△ABC中，BC＝4，点P是BC上一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为点M，N，连接MN．△当点P与点B重合时，线段MN的长是，当AP的长最小时，线段MN的长是；△如图△，PM，PN分别交AB，AC于点D，E．当PB＝1时，求线段MN的长；（2）如图△，在等腰△ABC中，△BAC＝30°，AB＝AC，点P，Q，R分别为边BC，AB，AC上（均不与端点重合）的动点，当△PQR的周长最小时，求△PQR+△PRQ的度数．3.“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是△AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．模型解读：要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．例题△△△如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在AB上，且AE＝1，点F，G 分别为BC，DC上的动点，连接EC，FE，FG，点M为△EBC的外心．（1）求点M到AB的距离；（2）若EF△FG，且FC＝2BF，求DG的长；（3）连接AG，求四边形AEFG周长的最小值．学以致用1.如图，已知菱形ABCD的边长为4，△ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．2.如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC的最小值为．3.如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN 周长的最小值为．4.如图，正方形ABCD内接于△O，线段MN在对角线BD上运动，若△O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．。
数学人教版八年级上册中考几何复习专题——线段最值问题
N M E B C
（4）在BD上找一点M，使AM+BM+CM最小， 求出最小值.
AHale Waihona Puke DBC• 如图，在正方形ABCD中，AB=4 （1）P为平面内一点，BP=2，求AP的最大 值和最小值。
A D
B
C
（2）P为正方形内一点， ∠ BAP= ∠ CBP， 求DP的最小值。
A D
P B C
（3）M为AB中点，N为BC上一动点，将△ BMN 沿MN翻折，P为点B的对应点，求DP的最小值。
中考几何复习专题 ——线段最值问题
陈颖
“线段和”最小值基本模型
B
A
(1)A、B为直线同侧 两定点，在直线上 找一点P，使PA+PB 最小。
B
A P
三角形两边之和大于 第三边
B'
“线段差”最大值基本模型
B
A
(2)A、B为直线同 侧两定点，在直线 上找一点P，使 │PA—PB │最大。
B
A
三角形两边之差 小于第三边
A D
M
P
B
N
C
造桥选址问题
• A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路程 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥 要与河垂直）
A
B
“费马点”练习
•
小
结
线段之和（差）的问题往往是 借助图形变换将各条线段串联 起来，在特殊的情况——共线 时取得最值。
P
• 如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E为AB 上一点，BE=1 （1）在BD上找一点M，使EM+AM最小，求 出最小值.
A D
E B C
备战中考(线段最值)
线段和差最值问题常用定理：1、两点之间，线段最短2、垂线段最短3、三角形三边关系定理及推论4、建水泵站（即：作对称后，两点之间线段最短）（如图1）5、将军饮马（即：作对称后，两点之间线段最短）（如图2）6.建桥（即：平移后，两点之间线段最短）（如图3）7.圆（内）外一点P与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点，离P最近的点即为P到圆的最近距离，离P最远的点即为P到圆的最远距离（如图4）经典例题：1、在平面直角坐标系中，已知A（1,1），B(3,2),在x轴上确定一点P,使PA+PB的值最小。
（原理：建水泵站）-的值最大。
2.在平面直角坐标系中，已知A（1,1），B(3,2),在x轴上确定一点P,使PA PB（原理：三角形两边之差小于第三边）-的值最大。
3.在平面直角坐标系中，已知A（1,-1），B(3,2),在x轴上确定一点P,使PA PB（利用对称转化为x轴同侧，原理：三角形两边之差小于第三边，同上题）4. 如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 .（展成平面图形，原理：两点之间，线段最短。
）拓展：如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少________cm．6. 如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm。
在圆柱的下底面A处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是________cm（展成平面图形，原理：两点之间，线段最短。
）拓展：在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为________cm．7. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm ， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（展成平面图形，原理：两点之间，线段最短。
课件重庆中考复习数学优质课 “线段最值问题”漫谈[56张]
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“连接心动取新点”
AC=5，则AE的最小值是 . 复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形”的知识解决
。
当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
作图步骤（四部曲）
F1
F´
【例10】（2020•内江）
小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该
同侧化异侧、折线化直线
【例22】已知B（-1，0），P（1，- 4），在x轴上找点M，在y轴上找点H, 使
最小，并求最小值.
“连接心动取新点” “A型相似得定值”
M1
【例3】如图,直角△ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动点,以BD为边,在BD上方作等腰直角△BDE,使得∠BDE=90∘，连接AE.
若BC=4，AC=5，则AE的最小值是
.
解题顺口溜
P
结论 （如下图）点A 是出发地，B 是目的地；
这个古老的传说，引起了人们的思索： “线段最值”问题是重庆中考的热点问题（每年必考），题型多样，变化灵活，综合性强，考查的知识点众多，涉及多种数学思想、方法和技能技巧，对学生的各种能力要求较高，一
般都是各题型的压轴题，拉分题。
【模型1】 共端点，等线段模型
O
C
B A
图1
C O
B A
图2
【模型2】 定弦定角模型
N
M
O
C
A
BO
图3
A
B
【例6】如图,菱形ABCD边长为4,∠A=60〫 ,M是AD边的中点,N是
AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A´MN,连
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BO
M PA
第二类几何模型（第一种情况）：
在 OPM中 ， PM PO OM
Q OM OB
PM PO OB 即 PM OB PO
BO
PM BP
由于M点的任意性，
可 知 连 接 点 P和 圆 上 任 意 一 点 的 线 段 中 ，
PA最 短 ， PB最 长 .
M PA
第二类几何模型（第二种情况）：
A
N
B
分析：
CM的长为定值.
D
C
M
A‘'
A
N
B
分析：
可构造Rt△CMF，利用勾股定理求出CM的长；
'
分析：
'
分析：
FD
C
M
A‘'
A
N
B
解答过程：
解：过点M作MF DC于点F,
Q MA'是定值,
FD
C
当A'在MC上时，A'C的长度取最小值.
在菱形ABCD中，A 60，M为AD中点，M
A‘'
例说线段的最值问题
初三年级 数学
一、线段最值问题的知识概要 二、线段最值问题的两类几何模型 三、线段最值问题的主要解答方法与典型例题
一、线段最值问题的知识概要
知识概要
线
段 几何方面
的
最
值
问 题
代数方面
两点之间线段最短
直线外一点与直线上各点连接的所 有线段中，垂线段最短 函数的增减性与最值
二、线段最值问题的两类几何模型
CD为 ABO的 中 位 线 .
CD / / x轴 ， 且 CD 1 AO 3. 2
解答过程：Q 点 D '和 点 D 关 于 x 轴 对 称 ，
O 为 D D '的 中 点 .
Q O P / /C D ,
OP OD' 1. CD DD' 2
O
O P = 1 CD = 3， 点 P坐 标 (- 3 ,0).
M
P O
第二类几何模型（第一种情况）：
已知：如图，P为⊙O内异于圆心的定点.
求作：在圆上找一点M，使得PM最长或最短.
作法：作⊙O的直径AB经过点P，则连接点P和圆上任意一
点的线段中，PA最短，PB最长.
M
BO
PA
第二类几何模型（第一种情况）：
证 明 ： 显 然 ， PB PA. 在圆上任取异于A，B 的一点M， 连 接 O M ,PM . 在 OPM 中 ， PM PO OM Q OM OA PM PO OA 即 PM +PO PO PA PM PA
'
2
2
2
在 R t C D D '中 ，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的 最 小 值 为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算 出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合 的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
已知：如图，P为⊙O外一定点. 求作：在圆上找一点M，使得PM最长或最短.
M
O
P
第二类几何模型（第二种情况）：
已知：如图，P为⊙O外一定点. 求作：在圆上找一点M，使得PM最长或最短. 作法：连接PO并延长，交⊙O于点A，B. 则连接点P和圆 上任意一线段最值问题的主要解答方法与典型例题
连 接 C D '交 x轴 于 点 P， 此 时 PC PD的 值 最 小.
令 y 2 x 4中 的 x 0,则 y 4, 点 B的 坐 标 (0,4). 3
O
令 y 2 x 4中 的 y 0, 解 得 x 6, 点 A的 坐 标 (-6,0).
'
3
Q 点 C , D分 别 为 线 段 AB , O B的 中 点 ，
A
l P
B
第一类几何模型（第一种情况）：
A P' l
P B
第一类几何模型（第二种情况）：
已知：如图，定点A，B分布在定直线l同侧. 求作：在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.
B A
l
第一类几何模型（第二种情况）：
第一类几何模型（第二种情况）：
第二类几何模型（第一种情况）：
已知：如图，P为⊙O内异于圆心的定点. 求作：在圆上找一点M，使得PM最长或最短.
典型例题1：
如图，直线 y
2 3
x
4
与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C
，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当
PC+PD最小时，点P的坐标为多少？此时PC+PD的最小值
为多少？
y
B
C
D
A
PO
x
分析：
如图，直线
y
2 3
x
4
与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C
，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当
MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或 可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时 ，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
BO
M PA
第二类几何模型（第一种情况）：
在OPM中，OM PO PM
Q OM OB OB PO PM 即PB PM
BO
由于M点的任意性，
可 知 连 接 点 P和 圆 上 任 意 一 点 的 线 段 中 ，
PA最 短 ， PB最 长.
M PA
第二类几何模型（第一种情况）：
证 明 ： 显 然 ， PB PA. 在圆上任取异于A，B 的一点M， 连 接 OM ,PM . 在 OPM 中 ， OM PO PM Q OM OA OA PO PM 即 PA PM
PC+PD最小时，点P的坐标为多少？此时PC+PD的最小值
为多少？
y
符合第一类几何模型（第二种情况）B
的特征.
C
D
A
PO
x
分析：
根据“两点之间线段最短”可得此
O
时PC+PD的值最小.
'
分析：
CD为△ABO的中位线，可得CD=
1 2
OA；
1 2
O
'
解答过程：
解 ： 连 接 CD， 作 点 D关 于 x轴 的 对 称 点 D ',
第一类几何模型（第一种情况）：
已知：如图，定点A，B分布在定直线l两侧. 求作：在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.
A
l B
第一类几何模型（第一种情况）：
已知：如图，定点A，B分布在定直线l两侧. 求作：在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小. 作法：连接AB交直线l于点P，点P即为所求，PA+PB的最 小值即为线段AB的长度.