实变函数教材
实变函数课程简介
《实变函数》课程简介06110190实变函数 3The function theory of real variables 3-0预修课程：数学分析面向对象：数学系本科生《实变函数》的内容包含五大部分：第一部分为集与点集，包括朴素集合论与点集拓扑的基本知识；第二部分为勒贝格测度，包括勒贝格测度的引人，内测度，外测度，可测集的性质；第三部分为可测函数，包括可测函数的基本性质，可测函数的收敛性，可测函数的构造；第四部分为勒贝格积分，包括勒贝格积分的引人，积分性质，积分序列的极限，R积分L积分的比较等；第五部分为函数空间。
推荐教材或主要参考书：《实变函数与泛函分析概要》郑维行，王声望，高等教育出版社《实变函数》教学大纲06110190实变函数3The function theory of real variables 3-0预修课程：数学分析面向对象：数学系本科生一、教学目的和基本要求：实变函数是数学系的重要基础课，也是近代数学中最重要，最基本的一个分支，同时这门课程又是许多后续课程如泛函分析，概率论，微分几何等的基础。
本课程的教学目的是使学生掌握实变函数的基本概念，基本知识，诸如集合论，勒贝格测度论，可测函数，勒贝格可积函数，并了解为什么要引入勒贝格测度，勒贝格可积函数理论及整套理论的系统性。
通过本学科的学习，培养学生逻辑思维能力及论证能力，并用所学的知识解决某些数学分析中遗留下的问题，为日后更高阶段的学习，特别是泛函分析及研究生阶段的实分析学习打下坚实的基础。
二、主要内容及学时分配：每周3学时，共16周。
1．集与点集（10学时）集及其运算；映射，集的对等，可列集；一维开集，闭集及其性质；开集的造；集的势，序集；习题课。
2．勒贝格测度（10学时）有界点集的内、外测度，可测集；可测集的性质；关于测度的几点评注；环与环上定义的测度；习题课。
3．可测函数（10学时）可测函数的基本性质；可测函数的收敛性；可测函数的构造；习题课。
实变函数课件第四章可测函数 (2)
E Ei上,且f x在每个Ei上都可测,则f x在E上也可测.
i 1
定义3 设f x的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1，E2， ，Es ，E Ei ,使f x在每个Ei上等于常数ci，
i 1
则称f x为简单函数.
定理4 设f x ,g x 在E上可测,则下列函数( 假定它们在
作业：13
定理2 设f (x)是E R上a.e.有限的可测函数,则对任意的 0, 存在闭集F E及整个R上的连续函数g(x)(F及g(x)依赖于 )， 使得在F上g(x) f (x)，且m(E \ F) .此外还可要求
sup g(x) sup f (x) 及inf g(x) inf f (x).
注：一个函数在其定义域中的每一个孤立点都是 连续的.
定理2 可测集E Rn上的连续函数都是可测函数.
例1 区间[a,b]上的连续函数和单调函数都是可测函数.
定理3 (1)设f x是可测集E上的可测函数,而E1 E为E的 可测子集,则f x 看作定义在E1上的函数时,它是E1上的可
测函数;
(2)设f x定义在有限个可测集Ei(i 1, 2, , s)的并集
R
F
R
F
作业：P51,1，P52,2
第4节 依测度收敛
定义 设{ fn}是E Rq上的一列a.e.有限的可测函数，若 有E上的a.e.有限的可测函数f (x)满足下列关系：
对任意
0,有lim mE[| n
fn
f
| ] 0，
则称函数列{ fn}以测度收敛于f ，或度量收敛于f ，
记为fn (x) f .
(4) 对任意有限实数a,b(a b), E[a f b] 都可测(但充要性要假定f (x)是有限函数).
实变函数第一章
limA (或lim supA )
n →∞ n n n
= {x : x属于无限多个集合An } = {x : 存在无限多个An，使x ∈ An }
= {x : ∀N , ∃n ≥ N , 使x ∈ An }
= ∩ ∪ An
N =1 n = N ∞ ∞
BN
下极限集
limA (或liminf A )
n n n →∞ n
则上极限集为02下极限集为1limlim上极限集上极限集如果集列如果集列的上极限集与下极限集相等即的上极限集与下极限集相等即limlim极限集极限集收敛称其共同的极限为集收敛称其共同的极限为集的极限集记为
第一章 集合
第一节 集合与运算
1. 集合的基本概念及运算
差：A − B或A \ B = {x : x ∈ A但x ∉ B}
∞
E[ f ≥ a ] = ∩ E[ f > a − 1 ]
n =1
∞
n
(= ∩ E[ f ≥ a − 1 ] )
n =1
n
∞
[ a,+∞ ) = ∩ ( a − 1 ,+∞ ) n
n =1
( ∩ [ a − 1 , +∞ )) n
n =1
∞
( a-1/n (
a-1/n-1
[ a [ ( [ [ a-1/n a-1/n+1 a
∞
n
=
∩A
N =1
N
例
1 1 设A2 n −1 = (−1 + ,1 + ), A2 n = (−n,+ n), n ∈ N , 则 n n
( -n
n→∞ n
( -1
n
( 0
实变函数论PPT课件
VS
牛顿-莱布尼兹公式
对于任何给定的连续函数，在区间上的定 积分都可以通过求和的方式计算，该求和 公式称为牛顿-莱布尼兹公式。
微分与积分的应用举例
微分的应用
积分的应用
在物理学中，微分被广泛应用于计算速度、 加速度、位移等物理量；在经济学中，微分 被用于计算边际成本、边际收益等经济指标。
在物理学中，积分被广泛应用于计算面积、 体积、能量等物理量；在经济学中，积分被 用于计算总成本、总收入等经济指标。
实数集合R在通常的度量下是连 续的，即任意两个不同的实数之 间都存在其他实数。
在实数集合R中，任意两个不同 的实数之间都存在无限多的其他 实数。
实数的运算性质
加法性质
实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数x、y和z， 有x+y=y+x、(x+y)+z=x+(y+z)。
01
乘法性质
实数的乘法满足结合律，即对任意实数 x、y和z，有(x*y)*z=x*(y*z)。
有限覆盖定理
如果E是一个闭区间，{[a(n),b(n)}是一个开区间族，且E被 {[a(n),b(n)}覆盖，那么存在一个有限的子集族 {[a(n_i),b(n_i)}使得E被它覆盖。
03
集合论基础
集合的定义与性质
总结词
集合的基本概念和性质
详细描述
集合是由某些确定的元素所组成的，具有明确的概念和性质。集合可以通过列举法或描述法进行定义，并具有确 定性、互异性和无序性等基本性质。
实变函数论ppt课件
目录
• 引言 • 实数理论 • 集合论基础 • 测度论基础 • 可测函数与积分理论 • 微分与积分定理 • 实变函数论的应用
《实变函数》教学大纲
《实变函数》教学大纲一、课程名称：《实变函数论》二、课程性质：数学与应用数学专业必修课，信息与计算科学专业选修课先修课程：数学分析、高等代数、复变函数论、常微分方程等课程三、课程的地位及教学目的《实变函数》是在数学分析的基础上发展起来的一门学科，是数学专业的一门重要的专业基础课。
其内容主要是以n维欧氏空间上的实值函数为对象，介绍勒贝格测度和勒贝格积分理论。
《实变函数》这一课程无论在思想方法上，还是在理论上都把数学分析往前推进了一步，在经典数学与现代数学之间起着承前启后的作用。
教学目的是通过对该课程的学习，使学生掌握《实变函数》的基本理论和基本方法，特别是勒贝格测度理论和勒贝格积分理论，进一步充实、拓宽和加深已经学过的数学基础知识和分析功底，提高对数学概念和数学方法的认识水平，同时也提高学生分析抽象问题和解决应用问题的能力，为今后从事《分析学》领域的研究工作打下坚实的基础。
四、教学原则与教学方法按照数学学科的特点和规律，《实变函数》这一课程应采取精讲、讨论与自学相结合的手段。
考虑到《实变函数》这一课程具有高度的抽象性，在教学过程中应主要采用精讲的方式，个别内容可以进行讨论或留给学生自学。
采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。
五、总学时68课时（含复习考试）六、课程教学内容要点及建议学时分配第一章集合（10学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）集合的运算，重点是无穷集合的运算及集合的极限运算；（2）掌握基数概念，理解并较熟练应用伯恩斯坦定理；（3）掌握可数集和不可数集的基本知识。
二、教学原则与教学方法综合运用线性代数，数学分析的相关知识，将集合的运算推广到无穷多个集合上；引入集合间的对等概念进而给出基数概念，进而讨论与此有关的一系列相关问题，如集合列的收敛性、可数集、不可数集的性质的讨论等。
教学方法以讲解和讨论为主。
1.1 集合的概念1.2* 集合的运算（2课时）1.3* 对等与基数（4课时）1.4* 可数集与不可数集（4课时）1.5 半序集与Zorn引理（简单介绍）作业要求：完成13~15道基础性练习题，1~2提高性练习题。
(完整版)《实变函数》第一章集合.doc
第一章集合（总授课时数8学时）由德国数学家 Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章仅介绍那些必不可少的集论知识．§1、集合及其运算教学目的引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点De Morgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论证,通过例子使学生掌握其基本方法. 集列的极限是一种新型的运算,学生应理解其概念.本节难点对集列极限的理解.授课时数2学时——————————————————————————————一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类．以后常用大写字母A, B,C , D , X , Y, Z L 表示集合，用小写字母a,b,c, x, yL 表示集合中的元素．如果 a 是集合 A的元素，则说 a 属于A，记作a A ，或说A含有a．如果 a 不是集A的元素，则说a 不属于A，记作a A ，或说A不含有a．有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素 a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{ a} ．由n个元素 a1 , a2 L a n所组成的集合，可表示为{ a1 , a2 L a n }由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,L , n,L } ．当集 A是具有某性质P的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：A { x | x具有性质 p}例如，方程x2 1 0 的解x的全体组成的数集是{ x | x210} ，实际上就是 { 1, 1} .有时我们也把集 { x | x E, x 具有性质 p} 改写成 E[ x 具有性质 p] ．例如，设 f ( x) 是定义在集合 E 上的一实函数，a是一个实数，我们把集{ x | x E, f (x) a} 写成E[ f (x) a] 或 E[ f a] ．不含任何元素的集合称为空集，记作．设 A ， B 是两个集，若 A 和 B 的元素完全相同，就称 A 和 B 相等，记作 A = B (或B = A ).若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，就称为 A 是 B 的子集，记作 A B (或 B A )，读作 A 包含于 B (或B包含A)．若 A B 且 A B ,就称A是 B 的真子集，规定空集是任何集的子集．由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：定理 1 对任何集合 A ， B ，C，均有（1）A A ；（2）若A B, B C ，则A C；（3）A BA B 且 B A ．二集合的运算设 A ， B 是两个集合，集合 A 与 B 的并集或并 A U B { x : x A或 x B}集合 A 与 B 的交集或交 A I B { x : x A且 x B}特别地，若 A B，称A与B不相交；反之，则称 A 与 B 相交．集合 A 减 B 的差集或差:A B或 A B { x : x A但 x B}当 B A时，称差集A B 为 B 关于A的余集记作(C A B)．当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集 A 的子集时，就称 A为基本集或全集，并把 A 的子集B关于 A 的余集C A B简称为B的余集，记为B C或 CB .并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个，指定了一个集合 A ,此时我们称 { A |} 是以为指标集的集族，集族{ A |} 的并与交分别定义为 :U A { x :, 使x A } IA { x :, 有xA }例 设 A n{ x : 11x 11}, n N , 则nnnA n [ 1,0],A n( 2,1)1n 1关于集合的并和交显然有下面的性质： ( 见课本 P9-P10)更一般地有 : De Morgan 公式(UA ) cIA c , ( I A )cUA c证明（略）注：通过取余集，使A 与 A C ，与 互相转换 .三、集列极限设 A 1 , A 2 ,L , A n ,L 是一个集合序列， ，其上限集和下限集分别定义为上极限集：lim A n (或 limsup A n ) { x : x 属于无限多个集合 A n } { x : 存在无限多个 A n ，使 x A n }nn{ x : N , n N , 使 x A n }I UAnN 1 n N下极限集：lim A n ( 或 liminf A n ) { x : 除去有限个集外， 有 x A n } { x : 当 n 充分大时，有 x A n }nn{ x : N , n N ,有 x A n }UIAnN 1 n N注：I A nlim A nlim A nU A nnnn 1 n 1例：设 A 2n [0,1], A 2 n 1 [1,2] ，则上极限集为 [0,2] ,下极限集为 {1} .极限集如果集列 { A n } 的上极限集与下极限集相等，即lim A n lim A n Ann则称集列 { A n}收敛，称其共同的极限为集列{ A n } 的极限集，记为： lim A n An单调增集列极限若集列 { A n } 满足 A nA n 1 ( n N ), 则称{ A n }为单调增加 ;若集列 { A n} 满足 A n A n 1 ( n N ),则称 { A n }为单调减少 ; 定理 2 ：单调集列是收敛的1) 如果集列 { A n } 单调增加，则lim A n U A nn n 12) 如果集列 { A n } 单调减少，则lim A n I A nn n 1例1：设A2n 1 ( 1 1 1( n, n), n N, 则,1 ), A2 nn nlim A n ( , ) ， lim A n ( 1,1] n n例 2：设A2n 1 [ 1,41], A2 n [1,11], n N, 则n n n nlim A n [0,4) ， lim A n (0,1]n n小结本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础 .证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要 , 以后会经常用到 . 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念 .——————————————————————————————作业： P30 5, 7, 8练习题1. 设{ A n}为一集列：n 1（1）作B1A1 , B n A n U A k (n1) ，证明{ B n}为一列互不相交的集列，且k 1n nU A k U B k ( n 1,2,L )k 1k 1（2）若{ A n}是单调减少的集列，证明A1( A1 A2 ) ( A2 A3 ) L( A n A n 1 ) L( I A k ),k 1并且其中各项互不相交.2. 证明 :(1) nUIA n,n IUA n lim A n lim A nN 1 n N N 1 n N(2) lim A n lim A nn n(3) { A n } 单调递增时，有 lim A n lim A n lim A n U A nn n n n 1(4) { A n } 单调递减时，有 lim A n lim A n lim A n I1 A nn n n n3. 已知A2n E, A2n 1 F ,( n 1,2,L ) ，求 lim A n和 lim A n ，并问 lim A n是否存在？n n n§2对等与基数教学目的介绍映射,基数,等概念和它们的属性.本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心. 基数的概念，讨论都要用一一对应的方法 . 证明两个集对等或具有相同的基数 , 有时需要一定的技巧 , 因而具有一定难度 , 通过较多的例题和习题 , 使学生逐步掌握其中的技巧 .本节难点证明两个集对等或具有相同的基数.授课时数2学时——————————————————————————————1映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是R n的子集,值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念.定义：设 X ,Y 是两个非空集合，若依照对应法则 f ，对X中的每个 x ，均存在Y中唯一的 y 与之对应，则称这个对应法则 f 是从X到Y的一个映射，记作 f : X Y 或：设 X , Y 是两个非空集合， f 是X Y 的子集，且对任意 x X ，存在唯一的y Y 使 (x, y) f ，则 f 是从X到Y的一个映射.注：集合，元素，映射是一相对概念.略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外 , 我们还经常会遇到许多其它的映射 . 例如 , 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.2集合运算关于映射的性质（像集）定理 1 ：设f : X Y, A, B, A () 是X的子集，称 { f ( x) : x A} 为A的像集，记作 f ( A) ，则有：1) A B f ( A) f (B);U A ) U f ( A );2) f ( A U B) f ( A) U f ( B), 一般地有 f (3) f ( A I B) f ( A) I f ( B), 一般地有 f ( I A )I f ( A );证明的过程略注： f (A I B) f ( A) I f ( B)一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当 f 为单射.集合运算关于映射的性质（原像集）定理 2：设f : X Y, A X ,C , D ,C () 是Y的子集，称{ x : f (x)C} 为C的原像集，记作 f 1(C )( f不一定有逆映射），则有：1)C D f 1 (C ) f 1 ( D );1 1 1一般地有：1 12) f (C U D ) f (C ) U f ( D ), f ( U C ) U f (C );3) f 1 (C I D ) f 1 (C ) I f 1 (D ), 一般地有： f 1 ( I C ) I f 1 (C );4) f 1 (C D) f 1 (C) f 1( D );5) f 1 (C c ) [ f 1 (C)] c ;6) A f 1 [ f ( A)];7) f [ f 1 (C)] C;证明略 .注： 6）， 7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当 f 为单射，7）等号成立当且仅当 f 为满射.3对等与势1）定义设 A ， B 是两非空集合，若存在着 A 到 B 的一一映射（既单又满），则称 A 与 B 对等,记作 A ~ B .约定 ~ .注：（ 1）称与A对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作A .（2）势是对有限集元素个数概念的推广.2）性质a) 自反性：b)对称性：c) 传递性：A ~ A;A ~B B ~ A;A ~ B,B ~C A ~ C;例： 1)N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z2)( 1,1) ~ ( , )证明：令 f : x tg ( x) ，则 f 是 ( 1,1) 到 ( , ) 的一一映射.故2( 1,1) ~ ( , )注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能.3)基数的大小比较a) 若 A ~ B, 则称 A B；b) 1B, 则称A B； A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射 .若 A ~ B 相当于：c) 若A B,且 A B，则称 A B .注：不能用 A 与 B 的一个真子集对等描述. 如：( 1,1) ~ ( 1,1) ( , )4 Bernstein 定理引理：设 { A : }{ B : }是两个集族，是一个指标集，又，, A ~ B , 而且 { A : } 中的集合两两不交， { B : } 中的集合两两不交，那么：U A ~ U B证明略定理 3:（ Bernstein 定理）若有A的子集A* ，使 B ~ A* , 及B的子集B* ，使 A ~ B* , 则A ~ B. 即：若 A B,B A, 则A B.证明：根据题设，存在 A 到 B*上的一一映射 f ，以及B到A*上的一一映射g .令A1 A A*， B1 f ( A1 ) ， A2 g ( B1 ) ， B2 f ( A2 ) ， A3 g( B2 ) ， B3 f ( A3 ) ，L L 由 g(B) A*知 A2 g( B1 ) A* , 而 A1 A A*，故 A1与 A2不交.从而 A1, A2在 f 的像B1 , B2不交， B1 , B2在g下的像 A2 , A3不交.由 A3A* , 知 A1与 A3不交，故 A1 , A2 , A3两两不交.从而 A1, A2 , A3在 f 的像 B1 , B2 , B3也两两不交， L Lf从而 A1 , A2 , A3 ,L两两不交，B1 , B2 , B3 ,L 也两两不交且A n ~B n (n 1,2,L ),fU A n~ U B nn 1n 1g另外由 B k ~ A k 1 (k 1,2,L ), 可知gU B k~ U A k 1k 1k 1g又 B ~ A* , 所以g U A k 1， A* U A k 1 ( A A1 )U A k 1 A U A kB U B k ~ A*k 1 k 1 k 1 k 1 k 1B U Bk ~ A U Akk 1k 1A ( A U A k ) U (U A k ) ~ (B U B k ) U (U B k )Bk 1k 1k 1k 1 证毕．注：要证 A B，需要在A与B间找一个既单又满的映射；而要证A B，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.例： ( 1,1) ~ [ 1,1]证明：由 ( 1,1) [ 1,1] (,) ~ ( 1,1)可知， ( 1,1) ~ [1,1]——————————————————————————————作业： P30 9, 10练习题1.R1上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？2．证明:若A B C , A : C , 则A : B : C.3. 证明：若A B ， A : A C ，则有 B : B C .4.设F是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M 是[0,1]的全体子集所成的集合，则F : M .§3、可数集合教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.本节要点可数集是具有最小基数的无限集. 可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来 , 可数集证明技巧较强通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握 .本节难点证明集合可数 .授课时数2学时——————————————————————————————１可数集的定义与自然数集N 对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为 a 或01,2,3,4,5,6 L La1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L注： A 可数当且仅当 A 可以写成无穷序列的形式{ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L } 例： 1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3 L }2）[0,1] 中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, L }２可数集的性质（子集）定理 1 任何无限集合均含有可数子集 .证明：设M是一个无限集，取出其中的一个元素从M中任取一元素，记为则e1.M { e1} ,在M{ e1}中取一元素e2 ,显然e2e1 .设从M中已取出n个互异元素1, 2 n,由于M 是无限集，故 M { e1, e2 ,L e n } ,于是又可以从1, 2n 中e e ,L e M { e e ,L e }取出一元素 e n 1,它自然不同于 e1, e2 ,L e n.所以，由归纳法，我们就找到 M 的一个无限子集{ e1,e2,L , e n L } 它显然是一个可数集．证毕．这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数．可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集A a1 , a2 , a3 ,L，B b1 , b2 ,L , b n，C c1 , c2 , c3 ,L假设 A, B, C 两两不交，则A B b1 ,b2 ,L , b n , a1 ,a2 ,L（当集合有公共元素时，不重复排）第9页（共 14 页）A C a1 ,c1 , a2 ,c2 , a3 , c3 ,L关于可数个可数集的并仍可数集的明a11 , a12 , a13 , a14，La21 , a22 , a23 , a24，La31 , a32 , a33 , a34，La41 , a42 , a43 , a44，LL , L , L , L ，L当A i互不相交，按箭所示，我得到一个无序列;当A i有公共元，在排列的程中除去公共元素；因此U A n是可数集。
实变函数课件有界变差函数5
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习题选讲（p178）
b
而对于[x1,b]的分划0：x1 b,有 | f (b) f (x1) | V ( f ) M
x1
| f (x1) || f (b) | M
n
| f (xi ) f (xi1) | | f (b) | M | f (a) | M i 1 b
n
V(,g ) |g(xi ) g(xi 1) |
i 1 n
lim
k
|
i 1
g k(xi )
g k(xi 1) |
lim
k
Vab(g
k
)
M
所以Vab(g ) supVab(g k ) ，证毕。 k
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三. 有界变差函数的类型
f
类型1：有界闭区间上的有限单调函数都是有界 变差函数。
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二. 有界变差函数的性质
性质6 设 f 是[a,b]上的有界变差函数，c 是(a,b )内任一数，则(p150Th2(1))
Vab(f ) Vdc(f ) Vcb(f ) 。
证明：由全变差定义，对任意 0，可以 找到分划 1 : a x0 x1 xn c 及分划 2 : c y 0 y1 y m b ，
f (x) g(x) h(x)。 由Lebesgue定理( p143)知增函数g(x)和h(x)存在导数
g ' (x)和h' (x) a.e. 于[a,b]
所以f ' (x) [g ' (x) h' (x)] 存在 a.e. 于[a,b]。
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实变函数教学大纲
实变函数教学大纲一、引言实变函数是高等数学中的重要概念之一，它与实数的性质密切相关。
本教学大纲旨在介绍实变函数的基本知识和概念，帮助学生建立对实变函数的正确理解和应用能力。
二、教学目标1. 理解实变函数的定义，并能正确应用；2. 掌握实变函数的基本性质，包括有界性、连续性、可导性等；3. 能够分析实变函数的图像和性态，包括单调性、极值点、拐点等；4. 能够解决与实变函数相关的典型问题，包括求导、求极限等；5. 培养学生的创新思维和问题解决能力。
三、教学内容1. 实数与实变函数1.1 实数的定义与性质1.2 实变函数的定义与表示方式1.3 实变函数的定义域与值域2. 实变函数的基本性质2.1 实变函数的有界性2.2 实变函数的连续性2.3 实变函数的可导性2.4 实变函数的单调性与极值点2.5 实变函数的拐点与凹凸性3. 实变函数的图像与性态3.1 绘制实变函数的图像3.2 分析实变函数的性态，包括单调性、极值点、拐点等4. 实变函数的应用4.1 求实变函数的导数4.2 求实变函数的极限4.3 实变函数在数学建模中的应用案例四、教学方法1. 理论讲授：通过讲解理论知识，梳理实变函数的定义和基本性质；2. 示例分析：选择典型的实例，通过分析解决问题的步骤和方法，增加学生的实际应用能力；3. 互动探讨：通过问题导向的方式引导学生思考和讨论，激发学生的主动性和创造性思维；4. 实践训练：提供丰富的练习题和实际应用题，让学生进行实践演练，巩固知识和技能。
五、教材及参考书目1. 主教材：实变函数教程，作者：XXX，出版社：XXX2. 参考书目：实变函数导论，作者：XXX，出版社：XXX实变函数与泛函分析，作者：XXX，出版社：XXX六、教学评估与考核1. 平时成绩：包括出勤率、课堂表现和参与度等；2. 作业成绩：包括课后习题和实践应用题等；3. 期中考试：考察对基础知识和理论的掌握程度；4. 期末考试：考察对实变函数知识的综合应用和理解能力。
实变函数论课件24讲
04
实变函数的微分
实变函数的微分定义
实变函数的微分概念 微分的基本性质 微分与导数的关系 微分的应用
实变函数的微分性质
实变函数的微分定义 微分性质：可加性、可数性、可交换性 微分与导数的关系 微分在函数逼近中的应用
物理学：实变函数论在物理学中也有着重要的应用，例如在量子力学、热力学等领域 中，实变函数论可以用来描述一些物理现象。
工程学：实变函数论在工程学中也有着广泛的应用，例如在电气工程、机械工程等领 域中，实变函数论可以用来解决一些实际问题。
经济学：实变函数论在经济学中也有着重要的应用，例如在金融工程、计量经济 学等领域中，实变函数论可以用来描述一些经济现象和解决一些实际问题。
投资组合优化：实变函数论可以用于优化投资组合，提高投资收益并降低风险。
信用评级：实变函数论可以用于评估借款人的信用等级，帮助金融机构做出更明智的贷款 决策。
金融衍生品定价：实变函数论可以用于定价金融衍生品，如期权、期货等，为金融机构提 供更准确的定价模型。
在其他领域的应用
数学分析：实变函数论是数学分析的重要分支，在数学分析中有着广泛的应用。
实变函数在复分析中的应用
添加标题
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实变函数在概率论中的应用
添加标题
添加标题
实变函数在微分方程中的应用
在工程中的应用
实变函数在工程力学中的应用
实变函数在流体力学中的应用
实变函数在电气工程中的应用
实变函数在计算机科学中的应 用
在金融中的应用
风险度量和管理：实变函数论提供了一种量化风险的方法，帮助金融机构更好地管理风险。
国外实变函数入门教材
国外实变函数入门教材
国外的实变函数入门教材有很多，以下是一些常见的推荐：
1. "Principles of Mathematical Analysis" by Walter
Rudin 这本书是实变函数理论的经典教材，被广泛认为是深入学习
数学分析的良好起点。
它涵盖了实数的基本性质、连续函数、导数、积分等内容，并且以严谨的证明和清晰的讲解著称。
2. "Real Mathematical Analysis" by Charles Chapman Pugh 这本教材以其直观的解释和丰富的例题而闻名，非常适合初学者。
它涵盖了实数的基本性质、收敛性、连续性、微分和积分等内容，
同时注重直观的几何解释和直观的图形。
3. "Understanding Analysis" by Stephen Abbott 这本书以
其友好的风格和清晰的解释而受到学生和教师的欢迎。
它涵盖了实
数的基本性质、极限、连续性、微分和积分等内容，并且注重直观
的解释和例题的解析。
4. "Elementary Classical Analysis" by Jerrold E. Marsden and Michael J. Hoffman 这本教材对实变函数理论进行了
全面而严谨的介绍，适合那些希望深入理解数学分析基本概念的学生。
以上推荐的教材都是经典之作，它们在实变函数理论的教学和学习中都有着重要的地位。
选择适合自己学习风格和水平的教材进行学习是非常重要的，希望你能根据自己的需求找到最适合的教材进行学习。
祝你学习顺利！。
实变函数论教学大纲
218.114.1实变函数论教学大纲(Functions of Real Variable)学分数 3 周学时 3+1一、说明1、课程名称：实变函数论（一学期课程）学时：（3+1）×182、教学目的和要求（1）课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修。
（2）基本内容：本课程主要是以n维Euclid空间及其上实值函数为背景，运用点集分析的方法建立测度与积分的理论，具体内容包括：集合、映射，R n中点集的拓朴，可测集和可测函数，积分理论，微分和不定积分。
（3）基本要求：通过本课程的学习，学生应熟练掌握关于可测集、可测函数的概念和性质，深刻理解并掌握Lebesgue积分的理论，并在学习过程中形成抽象思维能力和逻辑推理能力的一个飞跃。
3、教学方式：课堂讲授+习题课训练4、考试方式：闭卷笔试5、教材：《实变函数论与泛函分析》（上册），夏道行等编，高等教育出版社，1984《实变函数与泛函分析》，自编讲义参考书：《实变函数论》，那汤松，高等教育出版社，1958《Real and Abstract Analysis》, Hewitt E., Stromberg K., Springer-Verlag,1975.二、讲授纲要（其中学时数不包括习题课时间）第一章集合和R n中的点集（10学时）§1 集和集的运算（2学时）§2 映射和势（4学时）§3 R n中的点集（4学时）本章教学要求熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉R n的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。
第二章测度（12学时）§1 外测度与可测集（4学时）§2 测度及其性质（4学时）§3 可测集类（4学时）本章教学要求：掌握外测度的概念，正确理解Caratheudory条件，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。
实变函数教材
实变函数教材⽬录1．数论的内容......... (3)2．实变函数论的特点 (4)3．学习实变函数论的⽅法 (5)4．本教材的特⾊处理之处 (5)第⼀章集合论§１.１集合概念与运算 (6)§１.２集合的势、可数集与不可数集 (13)习题 (25)第⼆章点集§２.１R n空间...... (26)§２.２⼏类特殊点和集 (30)§２.３有限覆盖定理与隔离性定理 (35)§２.４开集的构造及其体积 (38)习题 (45)第三章测度论§３.１Lebesgue外测度定义及其性质 (46)§３.２可测集的定义及其性质...... (48)§３.３可测集的构造 (55)习题 (59)第四章可测函数§４.１可测函数定义及其性质... (59)§４.２可测函数的结构 (63)§４.３可测函数列的依测度收敛 (70)习题第五章Lebesgues积分理论§５.１Lebesgue积分的定义及其基本性质 (77)§５.２Lebesgue积分的极限定理 (84)§５.３(L)积分的计算 (88)§５.４Fubini定理 (93)习题 (98)第六章积分与微分§６.１单调函数与有界变差函数 (101)§６.２绝对连续函数 (106)§６.３微分与积分 (108)习题 (112)附录1．不可测集 (113)2.⼀般集合的抽象测度和抽象积分 (115)3.单调函数的可微性绪论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，⼤学的数学分析，常微分⽅程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做⼀件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
实变函数第一章,第二节
* P42:16. 设A是一个无限集，则存在 A A, 使得
A ~ A, 而A A 是可数集。
* *
假设这是集合A
A\M
从中可以取出可数子集M
M={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …} M1 ={a1, a3, a5, …} 很容易将M一分为二M ,M ，
1 2
使得两个都是可数集
第一章 集合
第二节 集合的势、可数集与不可数集
１ 映射的定义
定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则 f， 对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称 这个对应法则 f 是从 X 到 Y 的一个映射， 记作 f: X→Y
[ ]
注：集合，元素，映射是一相对概念 略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射， 一一映射（双射）
例
1、 定积分运算 a 为从[a,b]上的可积函数集 到实数集的映射 (函数,泛函,算子)
2、 集合的特征函数 : X {0,1} A （集合A与特征函数互相决定） 称 A ( x)
b
1 xA 0 xA
为集A的特征函数，
对等与势
1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的 一一映射（既单又满），则称A与B对等, 记作 A ~ B 约定 ~
3){去掉一个点的圆周 } ~ (,)
有限集与无限集的本质区别： 无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等） 且一定能做到，而有限集则不可能。
基数的大小比较
1)若A ~ B, 则称A B；
2)若A ~ B0 B, 则称 A B；
若存在单射f : A B, 则A B 特别地: 若A B, 则A B
证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而
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目录1．数论的内容......... ... (3)2．实变函数论的特点......... (4)3．学习实变函数论的方法......... (5)4．本教材的特色处理之处......... (5)第一章集合论§１.１集合概念与运算......... (6)§１.２集合的势、可数集与不可数集 (13)习题...... (25)第二章点集§２.１R n空间...... ... (26)§２.２几类特殊点和集......... (30)§２.３有限覆盖定理与隔离性定理 (35)§２.４开集的构造及其体积... (38)习题......... (45)第三章测度论§３.１Lebesgue外测度定义及其性质 (46)§３.２可测集的定义及其性质...... ... (48)§３.３可测集的构造......... (55)习题......... (59)第四章可测函数§４.１可测函数定义及其性质... ...... (59)§４.２可测函数的结构......... (63)§４.３可测函数列的依测度收敛 (70)习题第五章Lebesgues积分理论§５.１Lebesgue积分的定义及其基本性质... (77)§５.２Lebesgue积分的极限定理 (84)§５.３(L)积分的计算... (88)§５.４Fubini定理......... (93)习题......... (98)第六章积分与微分§６.１单调函数与有界变差函数... (101)§６.２绝对连续函数......... (106)§６.３微分与积分......... (108)习题......... (112)附录1．不可测集......... (113)2.一般集合的抽象测度和抽象积分...... (115)3.单调函数的可微性绪 论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
何以说明现有的积分范围小了呢？因为D(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧为有理数时为无理数时x x 1 0这样形式极为简单的函数都不可积， 所以我们认为积分范围狭窄。
如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢？让我们先剖析一下造成这一缺陷的根本原因在何处，只有先找准病根，然后才能对症下药。
由数学分析知：对任意分划T ：a ＝x 0＜x 1＜x 2＜......＜x n =b ， 由于任意一个正长度区间内既有有理数又有无理数，所以恒有：S(T,D)－s(T,D)≡1－0=1如果分划不是这样呆板，这样苛刻地要求一定要分成区间的话，还是有可能满足大小和之差任意小的。
比如，只要允许将有理数分在一起，将无理数分在一起，那么大小和之差就等于零了。
这就是问题的着眼点，首先让分化概念更加广泛，更加灵活，从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。
即D:E ＝ni 1=E[y 1-i ≤f<y i ]，其中m ≤f<M ，m ＝y 0<y 1<...<y n =M 时，要Ｓ(D,f)-s(D,f)=∑=ni 1[y i-y1-i ]mE[y1-i ≤f<y i ]≤n i ≤≤1max [y i -y 1-i ]mE ＜ε，只须n i ≤≤1max[y i -y 1-i ]＜ε，这里mE[y 1-i ≤f<y i ]相当于集合E[y 1-i ≤f<y i ]的长度。
思路非常简单，但实现起来并非易事，因为E[y 1-i ≤f<y i ]可能很不规则，如何求mE[y 1-i ≤f<y i ]呢？这就是一般集合的测度问题(即第三章内容)， 而测度理论所度量的对象是集合，尤其是多元函数定义域所在空间R n的子集。
因此，必须先介绍集合与点集知识(即第一章、第二章内容)。
测度理论本来是为了推广长度、面积、体积概念到一般g 的集合，然而在实施过程中却使我们非常遗憾，我们无法对直线上所有集合规定恰当测度使得满足以下两点最基本要求：一、落实到具体区间的测度就是长度(即测度确为长度概念的推广)；二、总体测度等于部分测度之和( 即可列可加性成立)。
只能对部分集合规定满足这两点基本要求的测度， 这一部分集合便是可测集合(即第四章内容)。
那么哪些函数才能保证形如E[y 1-i ≤f<y i ]的集合可测呢？这就是可测函数理论问题(即第四章内容)，由于E[y 1-i ≤f<y i ]＝E[f ≥y 1-i ]－E[f ≥y i ]，所以我们采用对∀a,有E[f ≥a]可测，作为函数可测的定义。
有了以上准备之后，才根据前述思路对可测集上定义的可测函数先定义大（小）和Ｓ(D,f)＝∑=ni 1y imE[y1-i ≤f<y i ] （s(D,f)=∑=ni 1y 1-i mE[y 1-i ≤f<y i ]） 然后规定DsupＳ(D,f)（＝Dinfs(D,f)）为积分值，定义并讨论新积分的性质(即第五、六章内容)。
以上所述，既是Lebesgue 创立新积分的原始思路，也是传统教材介绍Lebesgue 积分定义的普遍方法。
鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方图形均为可测集。
结合Riemann 积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我们作大、小和更加灵活多样，以达推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推广,使得大量的象Dinichni 函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积（体积）了，从而拓宽了可积范围。
于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值（如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。
既有效地避免了分划、大（小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。
2.实变函数论的特点由以上叙述可以看出《实变函数论》内容单纯，学习起来应该简单，然而实际情况却大相径庭，各届同学都叫困难。
原因在何处呢？原因在于高度抽象，理论性强。
抽象到什么程度呢？仅据两例说明之： 一是“似是而非”。
例１：若许多同学站成一列，且男女生交叉排列，任意两个男生中间有女生，任意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能：或男女生一样多或男生多一个或女生多一个，也就是说在任一片段中男女生个数至多相差一个。
直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数中间有无理数，任意两个无理数中间有有理数，在其中任取一节线段，有理数、无理数的个数似乎无非只有三种可能：或有理数、无理数一样多或有理数多一个或无理数多一个，也就是说在任一片段中有理数、无理数个数至多相差一个。
但严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数比无理数少得多。
少到什么程度？有理数相对无理数而言是那样的微不足道，有他不多，无他不少。
即无理数居然与实数一样多。
二是“似非而是”例２：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说自然数与有理数一样多的话，没人敢承认，而《实变函数论》通过严密论证该结论无可非议。
理论性强是由于实变函数论的内容结构所决定的，因它只做一件事：恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理论上的准备，很少有应用、例题的原因。
3.学习实变函数论的方法针对实变函数论的特点，学习它应有本门课程独特的方法。
由于实变函数论高度抽象，对于每一个尚未证明的结论都应持谨慎态度，不能简单类比后就盲目承认和否定，必须严格论证或举出反例，否则就有可能出现例１、例２类似的错误；对于每一个已经证明的结论不仅仅是记住，更重要的是理解其证明，想象其合理的直观意义。
只有理解其证明才能借鉴其方法，同时也只有想象其合理的直观意义，才能有开阔的思路，即严密与直观二者不可偏废。
４．本教材几点特色处理①在过去“区间体积”概念和“开集构造”理论基础上，引入了开集体积概念，为简化测度定义奠定了基础。
②用m*E=inf {|G|｜Ｇ开且G⊃E}取代m*E=inf {∑+∞=1|I|ii｜+∞=1Iii⊃E}不仅使测度概念形式上得到简化、直观化，更重要的是使得诸如m*Ｉ=｜Ｉ｜等一系列命题的证明过程得到大大简化。
③将大部分教材留到讲Ｆubini定理时才讲的乘积空间的测度，提前到紧接着测度的概念和性质讲，以保证在讲可测函数时能证明可测函数的下方图形可测，从而最终保证直接用非负可测函数下方图形的测度规定其积分值。
④直接用正、负部函数下方图形的测度之差规定积分值，不仅使得积分概念简单、直观、明了，让学生易于接受。
同时也使得诸如并集积分等于各集积分求和、Levi定理等一系列命题的证明过程得到大大简化。
⑤在本教材中不依赖Ｒiemann积分定义，直接从Lebesgue积分定义出发证明计算积分的重要工具牛顿——莱布尼兹公式，为将来实现Lebesgue积分取代Ｒiemann积分的大趋势作必要的准备。
同时也面对现在学生确实学了Ｒiemann积分的事实，研究了Ｒiemann积分和广义Ｒiemann 积分与Lebesgue积分关系。
⑥将“不含端点的区间为开区间，包含所有端点的区间为闭区间”一般化为“不含边界点的集合为开集，包含所有边界点的集合为闭集”，从而使概念直观化，学生易于理解其实质，开集与闭集的对偶性等定理证明被简化、思路直观化。
⑦既注重知识的传授，又注重数学创新思维方法的挖掘和点拨。
在此举仅部分例子说明之。
如在引入依测度收敛时，先讲“改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。
对(R)积分而言，积分与极限交换顺序需要一个苛刻的条件：‘f n(x)在E上一致收敛于f(x)’。
从集合论的角度讲：‘f n(x)在E上一致收敛于f(x)’是指∀σ＞0，ョN0＞0，当n＞N0时，E[|f n (x)－f(x)|≥σ]＝φ，之所以我们认为‘一致收敛’条件苛刻，就在于它要求E[|f n (x)－f(x)|≥σ]从某项以后永远为空集。
能否改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足mE[|f n (x)－f(x)|≥σ]→0(n→＋∞)呢？ 这就导致了依测度收敛这个新概念的产生”。
展示了数学创新过程中一些重要的新概念引入之思维方法。