向量与空间解析几何讲解学习
向量与空间解析几何讲解学习
向量与空间解析几何第九章空间解析几何一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.（二）内容提要1. 空间直角坐标系在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O ，这三条数轴分别称为x 轴、y 轴和z 轴，一般是把轴轴和y x 放置在水平面上，z 轴垂直于水平面.z 轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz .在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。
向量与空间解析几何
向量与空间解析几何向量与空间解析几何是高等数学中的重要分支，它们是研究空间中点、直线、平面等几何对象的数学工具。
向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
空间解析几何则是利用向量的概念，通过坐标系和代数方法来研究空间中的几何问题。
本文将从向量的定义、运算、坐标表示以及空间解析几何的基本概念和应用等方面进行详细介绍。
一、向量的定义和运算向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
向量的定义如下：定义1：向量是具有大小和方向的量，用一个有向线段来表示。
向量的大小称为向量的模，用符号 a 表示，方向则由有向线段的方向确定。
向量的起点和终点分别称为向量的始点和终点，用符号a和b表示。
向量的表示方法有多种，如箭头表示法、坐标表示法、分量表示法等。
向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法定义如下：定义2：向量的加法：设向量a和b的始点相同，则向量a+b的终点为向量a的终点和向量b的终点的连线的终点。
定义3：向量的减法：设向量a和b的始点相同，则向量a-b的终点为向量a 的终点和向量-b的终点的连线的终点。
向量的数乘定义如下：定义4：向量的数乘：设k为实数，则向量ka的模为k · a ，方向与向量a 的方向相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
向量的点乘定义如下：定义5：向量的点乘：设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则向量a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
向量的点乘有很多重要的性质，如交换律、分配律、结合律等，这些性质在空间解析几何中有着重要的应用。
二、向量的坐标表示向量的坐标表示是空间解析几何中的重要概念，它将向量与坐标系联系起来，使得向量的运算可以通过代数方法来进行。
在三维空间中，我们通常采用右手坐标系来表示向量，其中x轴、y轴和z轴分别垂直于彼此，并且满足右手定则。
空间向量与空间解析几何的联系知识点总结
空间向量与空间解析几何的联系知识点总结空间向量和空间解析几何是高中数学中的重要内容，两者之间存在紧密的联系。
本文将对空间向量和空间解析几何的联系进行总结和阐述。
一、空间向量的概念和性质空间向量是空间中带有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
空间向量具有以下性质：1. 平分定理：设空间向量$\overrightarrow{AB}$平分角$\angle AOC$，则有$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$。
2. 共线定理：若空间向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$共线，则存在实数$k$，使得$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$。
3. 相反向量：对于任意空间向量$\overrightarrow{a}$，存在唯一一个向量$-\overrightarrow{a}$，使得$\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$。
二、空间解析几何的基本概念空间解析几何是利用坐标系统和代数方法研究空间中点、直线、平面等几何对象的学科。
其基本概念有：1. 空间直角坐标系：由三个相互垂直的坐标轴形成的坐标系。
通常用$(x, y, z)$表示空间中的点。
2. 空间直线的方程：空间直线可以用参数方程、对称方程或一般方程表示，如参数方程为：$$\begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases}$$其中$(x_0, y_0, z_0)$为直线上一点，$(m, n, p)$为方向向量。
3. 空间平面的方程：空间平面可以用点法式方程、一般方程或截距式方程表示，如点法式方程为：$$\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n}=d$$其中$\overrightarrow{r}=(x, y, z)$为平面上一点，$\overrightarrow{n}=(A, B, C)$为法向量，$d$为常数。
空间向量与解析几何
空间向量与解析几何空间向量和解析几何是高等数学中的两个重要概念。
本文将介绍空间向量和解析几何的基本概念和相关性质，并探讨它们在几何问题中的应用。
一、空间向量的定义和性质空间向量是指具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示。
空间中的向量通常用字母加箭头标记，如A B⃗，其中A和B表示向量的起点和终点。
1.1 向量的表示空间向量可以用坐标表示，也可以用点和方向向量表示。
设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是空间中两点，则向量AB的坐标表示为A B⃗=(x2 - x1) i⃗ +(y2 - y1) j⃗ +(z2 - z1) k⃗，其中i⃗、j⃗和k⃗分别是x、y、z轴的单位向量。
1.2 向量的运算空间向量可以进行加法、减法和数乘运算。
1.2.1 向量加法若有向量A B⃗和向量C D⃗，则它们的和为A B⃗ + C D⃗ = A C⃗。
1.2.2 向量减法向量减法与向量加法类似，即A B⃗ - C D⃗ = A B⃗ + (- C D⃗)。
1.2.3 数乘运算若有向量A B⃗，实数k，则kA B⃗ = A B⃗ + A B⃗ + ... + A B⃗ (k个A B⃗)。
1.3 向量的数量积和向量积空间向量的数量积和向量积是两个重要的向量运算。
1.3.1 向量的数量积设有两个向量A B⃗和C D⃗，它们的数量积定义为A B⃗・ C D⃗ = |A B⃗| |C D⃗ | cosθ，其中θ为A B⃗和C D⃗的夹角，|A B⃗|和|C D⃗|分别为向量的模。
1.3.2 向量的向量积设有两个向量A B⃗和C D⃗，它们的向量积定义为A B⃗ × C D⃗ = |A B⃗| |C D⃗ | sinθ n⃗，其中θ为A B⃗和C D⃗的夹角，n⃗为与A B⃗和C D⃗都垂直且符合右手定则的单位向量。
二、解析几何的基本概念和性质解析几何是将几何问题转化为代数问题进行研究的数学分支，它主要运用代数方法研究空间中的几何问题。
高等数学第五章向量代数与空间解析几何
第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1 向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。
1．两点间距离设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()21221221221z z y y x x M M d -+-+-==2．中点公式设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。
方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。
常用有向线段表示向量。
A 点叫起点，B 点叫终点，向量。
模为1的向量称为单位向量。
2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为()z y x ,,。
记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量OM 可以表示为 zk yj xi ++= 称之为向量OM 的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x OM ,,=称zk yj xi ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。
称z y x ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。
记OM 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则222cos zy x x ++=α222c o s zy x y ++=β 222c o s zy x z ++=γ方向余弦间满足关系1cos cos 222=++γβαcoxγβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。
向量代数与空间解析几何(11)
21,
cos
1 2
,
cos
22;
2
3
,
3
,
3
4
27
例2. 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3). 求方向和AB 一致的单位向量.
解: AB = {3, 1, 2} |AB| 32 12 (2)2 14
a AB { 3 , 1 , 2 } | AB | 14 14 14
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay j
az
k)
(bx
i
by
j
bzk
)
i jk, i j j k k i 0,
| i || j || k | 1,
i i j j k k 1. a b axbx a yby azbz
37
数量积的坐标表达式
a
b
|
a
||
b
|
cos
a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
ab
axbx a yby azbz 0
38
例 a
1 b
；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，b
（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算 方法。
（3）掌握二向量平行、垂直的件。
1
1、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以 M 1为起点，M 2
向量的模： 向量的大小.
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
向量与空间解析几何知识点总结
向量与空间解析几何知识点总结一、向量。
1. 向量的概念。
- 既有大小又有方向的量称为向量。
在空间直角坐标系中，向量可以用坐标表示，如→a=(a_x,a_y,a_z)，其中a_x、a_y、a_z分别是向量在x、y、z轴上的投影。
- 向量的模（长度）：对于向量→a=(a_x,a_y,a_z)，其模|→a|=√(a_x^2)+a_y^{2+a_z^2}。
2. 向量的运算。
- 加法。
- 几何方法：平行四边形法则或三角形法则。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a+→b=(a_x + b_x,a_y + b_y,a_z + b_z)。
- 减法。
- 几何方法：三角形法则。
- 坐标运算：→a-→b=(a_x - b_x,a_y - b_y,a_z - b_z)。
- 数乘向量。
- 设λ为实数，→a=(a_x,a_y,a_z)，则λ→a=(λ a_x,λ a_y,λ a_z)。
- 数乘向量的模|λ→a|=|λ||→a|，方向当λ>0时与→a相同，当λ < 0时与→a 相反。
- 向量的数量积（点积）- 定义：→a·→b=|→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a·→b=a_xb_x + a_yb_y+a_zb_z。
- 向量垂直的充要条件：→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0。
- 向量的向量积（叉积）- 定义：→a×→b是一个向量，其模|→a×→b|=|→a||→b|sinθ，方向遵循右手螺旋法则。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a×→b=<=ftbegin{array}{ccc}→i→j→k a_xa_ya_z b_xb_yb_zend{array}right=(a_yb_z - a_zb_y)→i+(a_zb_x - a_xb_z)→j+(a_xb_y - a_yb_x)→k。
高数(空间解析几何与向量代数)
第一节 空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标 （一）空间直角坐标系在空间取定一点O ，和以O 为原点的两辆垂直的三个数轴，依次记作x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系（图1-1-1）。
通常符合右手规则，即右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2π角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
并设i、j 、k 为x轴、y 轴、z 轴上的单位向量，又称为O xyz 坐标系，或[i,j,k]坐标系。
（二）两点间的距离在空间直角坐标系中，M 1(x 1,y 1,z 1)与M 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为()()()221221221z z y y x x d -+-+-=（1-1-1）（三）空间有向直线方向的确定设有一条有向直线L ，它在三个坐标系正向的夹角分别为α、β、γ（πγβα≤≤,,0），称为直线L 的方向角；{γβαcos ,cos ,cos }称为直线L 的方向余弦，三个方向余弦有以下关系1cos cos cos 222=++γβα （1-1-2）二、向量代数 （一）向量的概念空间具有一定长度和方向的线段称为向量。
以A 为起点，B 为终点的向量，记作AB ,或简记作a 。
向量a 的长记作a ，又称为向量a 的模,两向量a和b 若满足：①b a =，②b a //，③b a ,指向同一侧，则称b a=。
与a方向一致的=单位向量记作0a ，则0a =aa。
若0a={γβαcos ,cos ,cos }，也即为a的方向余弦。
（二）向量的运算 1.两向量的和以b a,为边的平行四边形的对角线（图1-1-2）所表示的向量c ，称为向量a和b 的和，记作b a c+= （1-1-3）一般说，n 个向量1a ，2a，…，n a 的和可定义如下：先作向量1a ，再以1a 的终点为起点作向量2a，…，最后以向量1-n a 的终点为起点作向量n a，则以向量1a的起点为起点、以向量n a 的终点为终点的向量b 称为1a ，2a，…，n a 的和，即 n a a a b+++=21（1-1-4） 2.两向量的差设a 为一向量，与a 的模相同，而方向相反的向量叫做a 的负向量，记作a -，规定两个向量a和b 的差为()ba b a-+=- （1-1-5）3.向量与数的乘法设λ是一个数，向量a 和λ的乘积a λ规定为：当λ>0时，a λ表示一个向量，它的方向与a 的方向相同，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=；当λ=0时，aλ是零向量，即0=aλ； 当λ<0时，a λ表示一个向量，它的方向与a的方向相反，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=。
向量与空间解析几何.ppt
存在唯一的实数 , 使b a .
证明: 充分性显然,
3
b 必要性: 设 b // a , 取 , a 当 b 与 a 同向时 取正值, 当 b 与 a 反向时 取负值, 即有 b a . b 此时 b 与 a 同向. 且 a a a b , a 再证 的唯一性: 设 b a， b a , 两式相减, 得: ( )a 0， 即 a 0， a 0, 故 0, 即 . 定理1 . 两个非零向量a与b 平行的充要条件是 : 存在不全为零的实数和 , 使得： a b 0.
B
B. 内积的运算法则
A
c a
b
C
证明 : 记 AB c , AC b , BC a , 2 | a | (b c ) (b c ) b b 2b c c c 2 2 | b | | c | 2 | b || c | cos A.
a
10
(1) a b b a . ( 2) a ( b c ) a b a c . ( 3) (a b ) (a ) b a (b ).
例2.用向量方法证明三角形余弦定理
定理3 空间三个向量a , b , c 共面的充要条件是它们
的混合积等于零.
推论 空间四点A, B, C , D 共面的充要条件是 :
[ AB, AC , AD] 0.
16
定理4. 空间三个向量 a , b , c 共面的充要条件是存在 不 全为零的实数 k1 , k2 , k3 , 使得 : k1a k2b k3c 0.
向量与空间解析几何
向量与空间解析几何（实用版）目录一、向量的基本概念二、向量的运算三、空间解析几何的基本概念四、空间解析几何中的向量运算五、空间解析几何的应用正文一、向量的基本概念向量，又称为矢量，是一种用来表示空间中点或线的数学概念。
向量具有大小和方向两个属性，通常用有序的实数元组来表示。
向量的基本运算包括加法、减法、数乘和点积等。
二、向量的运算1.向量加法：两个向量相加，是将一个向量平移到另一个向量的尾部，然后连接尾部的点形成的新向量。
2.向量减法：两个向量相减，是将一个向量平移到另一个向量的尾部，然后连接尾部的点形成的新向量，此时新向量的方向与被减向量相反。
3.数乘：数乘是指将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新向量，新向量的大小是原向量大小的实数倍，方向与原向量相同。
4.点积：点积是两个向量之间的一种运算，结果是一个实数，表示两个向量之间的相似度。
三、空间解析几何的基本概念空间解析几何是研究空间中点、线、面的几何性质及其关系的数学分支。
空间解析几何的基本概念包括点、线、面、向量、位置向量、法向量等。
四、空间解析几何中的向量运算在空间解析几何中，向量运算被广泛应用。
通过向量运算，我们可以求解空间中的距离、角度、面积和体积等问题。
1.求两点间的距离：可以使用两点间的向量减法，然后求其长度。
2.求线段的中点：可以使用线段的两个端点的向量加法，然后除以 2。
3.求平面的法向量：可以通过平面上的两个向量进行叉乘得到。
4.求空间中的角度：可以使用向量的点积和长度来求解。
五、空间解析几何的应用空间解析几何在实际生活中有广泛的应用，例如在计算机图形学、物理学、工程学等领域都有重要的应用价值。
《高等数学》向量代数和空间解析几何
a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
o
y
3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程
第六章空间向量与空间解析几何简介
Q2
y
图 6-14
2． 向量的坐标表示
❖ 定理2 向量 AB在轴 u上的投影，等于向量的模乘以
轴与向量夹角 的余弦，即
❖
Pr ju AB A1B1 | AB | cos
(6-4)
❖ 证 如图6-16所示，过 A 引轴 u与轴 u平行且有相同
的正方向，那么，AB 与u 轴的夹角也等于 ，且
有Pr ju AB Pr ju AB，
个相同的单位长度，这样的三条坐标轴就构成了一个空间直
角坐标系，记为O-xyz．
❖ 空间两点M1M2之间的距离公式
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
OM x2 y2 z2
z R M
z
R2
R1
R M1
P
M2
Q
N
O
P
x
图 6-13
Qy
O P1 P2
x
Q1
平面，且 a，b，ab 符合右手规则
食指
（图 6-19），从几何上看|ab|等于 b
以 a、b 为邻边的平行四边形的面
a
拇指
图 6-19
积．
向量积满足以下规律和性质：
（1）b a=-a b； （2）结合律：( a)b=a( b)= (ab)； （3）分配律：(a+b) c=a c+b c；
注 向量的减法不适合交换律和结合律．
3． 向量与数的乘法(数乘)
❖ 设 是一个数,a为一向量．向量a与 的乘积a 仍为一向量，我们规定:
❖ 当 0时， a与 a同方向，模|a |= |a |； ❖ 当 0时， a与 a方向相反；|a |=| ||a|； ❖ 当 0时， a是零向量． ❖ 由定义即可得向量的数乘满足以下运算规律： ❖ （1）结合律：(ka) k(a) (k)a
第7章 空间解析几何与向量代数
在空间引入一直角坐标系，为一个向量，为了讨论方便， a
OM OA AP PM OA OB OC
称向量OA, OB, OC为OM 在x轴、y轴、z轴上的分向量。 （又称基本单位向量）
记i, j , k分别为与x轴、y轴、z轴正向相同的单位向量。
设 Pr jx OM X , Pr j y OM Y , Pr jz OM Z 那么 OA X i , OB Y j , OC Z k 于是OM X i Y j Z k
cos X | OM | X X Y Z
2 2 2
而 Y Pr j y a | OM | cos , cos Y X 2 Y 2 Z2
同理 cos
Z X 2 Y 2 Z2
由于0 , , cos , cos , cos 唯一, 故称 cos , cos , cos为向量a 的方向余弦. 显然a
设向量 a, b 称 a b cos(a, b) 为向量 a, b 的数量积, 记作 a b 即a b a b cos(a, b)
由于 Pr ja b b cos(a, b) 所以 a b a Pr ja b b Pr jb a
点积的运算性质
(1) a a a
2
(2) cos(a, b)
a b ab
(3) a b a b 0
点积满足
交换律 a b b a
分配律 (a b) c a c b c ; ( a) b (a b)
5)向量与向量的向量积(又称为叉积)
设两个向量 a, b 称向量 a b sin(a, b) 为向量 a与b 的向量积, 记作 a b , 即 a b a b sin(a, b) 其中 是单位向量, 的方 向为按右手法则四指从a 的正向以不超过的角转动到b 的 正向时大拇指所指的方 . 向
空间解析几何与向量代数知识点总结
空间解析几何与向量代数知识点总结
以下是空间解析几何与向量代数的一些重要知识点总结：
1.三维坐标系：空间解析几何中，我们使用三维坐标系来描述点的位置。
常见的三维坐标系有直角坐标系和球坐标系。
2.点、向量和直线：点是空间中的一个位置，向量是由起点和终点确定的有方向的线段。
直线是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
3.向量的表示和运算：向量可以用坐标表示，常见的表示方法有行向量和列向量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
4.向量的长度和方向：向量的长度可以用模长表示，方向可以用单位向量表示。
单位向量是长度为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
5.平面和曲面：平面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合，可以用法向量和一个过点的向量表示。
曲面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
6.点到直线和点到平面的距离：点到直线的距离可以通过求取点到直线的垂直距离得到，点到平面的距离可以通过求取点到平面的垂直距离得到。
7.向量的线性相关性和线性独立性：向量的线性相关性表示向量之间存在线性关系，线性独立性表示向量之间不存在线性关系。
8.平面的交线和平面的夹角：两个平面的交线是同时在两个平面上的点的集合，平面的夹角是两个平面的法向量之间的夹角。
9.点积和叉积的应用：点积可以用来计算向量的夹角和投影，叉积可以用来计算向量的长度、面积和法向量。
10.直线和平面的方程：直线可以用参数方程和对称方程表示，平面可以用点法式方程和一般式方程表示。
向量代数与空间解析几何课件
空间曲线
空间中的曲线可以由三个 参数方程表示，例如球面 和抛物面。
曲面
曲面可以由两个或三个参 数方程表示，例如球面和 圆柱面。
空间解析几何中的常见问题与解决方法
求解点到直线的距离
使用点到直线距离公式，将点坐标和直线方程代入公式计 算。
求解两直线交点
将两直线的方程联立求解，得到交点的坐标。
判断两线是否平行或垂直
向量的数量积
01
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作a·b
。
02
向量数量积的性质
数量积满足交换律、结合律、数乘律和分配律。
03
向量数量积的应用
在物理学中，向量数量积常用于描述力的做功、动量等物理量；在解析
几何中，向量数量积可用于计算向量的长度和向量的投影等。
向量的向量积
02
空间几何基础
空间直角坐标系
空间直角坐标系的定义
坐标轴上的单位向量
空间直角坐标系是三维空间中的一个 固定坐标系，由三个互相垂直的坐标 轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
与x轴、y轴和z轴正方向同向的单位向 量分别记为i、j、k，它们的模都为1， 且满足i×j=k，j×k=i，k×i=j。
空间点的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意一点P的 位置可以用三个实数x、y、z来表示， 这三个实数称为点P的坐标。
向量的线性组合
向量线性组合的定义
如果向量a和b满足a=λb（λ为实数），则称向量a是向量b的线性 组合。
向量线性组合的性质
线性组合满足交换律、结合律和数乘律。
向量线性组合的应用
在物理学、工程学等领域中，向量线性组合常用于描述力的合成与 分解、速度和加速度的合成等。
高等数学空间向量与空间解析几何学习
点坐标
空间中的任意一点P 与唯一一组有序数组x、y、 z之间建立起一一对应的关系.
这组数就叫做点P 的坐标，并依次称x、y、z为 点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P (x,y,z).
z C
z xO
P (x,y,z)
y
By
x
A
两点间距离
任取空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),
平行向量又可称作共线向量. a
图示
b
7.1.3 向量的线性运算
向量的线性运算
向
向
向
量
量
量
的
的
的
加
减
数
法
法
乘
运
运
运
算
算
算
加法运算
三角形法则
图示
A
运
算
法 则
平等四边行法则
C B
AB BC AC
图示 D
A
C AB AD AC
B
减法运算
三角形法则
C
图示
运
A
算
法 则 平等四边行法则
图示 D
A
AB AC CB B
a
b
ay by
az bz
， ax bx
az bz
， ax bx
ay
by
例题
已知ABC的顶点分别是A(1，2，3)，B(3，4，5)，
C(2，4，7)，求ABC的面积.
解：
根 据 向 量 积 的 定 义 ， 可知A B C的 面 积 为
SA B C
1 2
AB
AC sin A
1 2
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向量与空间解析几何第九章空间解析几何一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.（二）内容提要1. 空间直角坐标系在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O ，这三条数轴分别称为x 轴、y 轴和z 轴，一般是把轴轴和y x 放置在水平面上，z 轴垂直于水平面.z 轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz .在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。
这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M 与一组有序数),,(z y x 之间的一一对应关系。
有序数组),,(z y x 称为点M 的坐标；z y x ,,分别称为x 坐标，y 坐标，z 坐标.2. 向量的基本概念⑴向量的定义 既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量．⑵向量的模 向量的大小称为向量的模，用a 或AB 表示向量的模．⑶单位向量 模为1的向量称为单位向量．⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.⑹自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量. ⑺向径 终点为P 的向量OP 称为点P 的向径,记为OP .3. 向量的线性运算⑴ 向量的加法① 三角形法则 若将向量a 的终点与向量b 的起点放在一起，则以a 的起点为起点，以b 的终点为终点的向量称为向量a 与b 的和向量，记为b a +.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.② 平行四边形法则 将两个向量a 和b 的起点放在一起，并以a 和b 为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为b a +.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.向量的加法满足下列运算律.交换律：b a +=a b +；结合律：（b a +）+c =a +（b +c ）.⑵ 向量与数的乘法运算实数λ与向量a 的乘积是一个向量，称为向量a 与数λ的乘积，记作a λ，并且规定： ①a a λλ=；②当0>λ时，a λ与a 的方向相同；当0<λ时，a λ与a 的方向相反； ③当0=λ时，a λ是零向量.设μλ,都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：结合律：=)(a μλ)()(a a λμλμ=；分配律：a a a μλμλ+=+)( , λ(a +b )=a λ+b λ.向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算.⑶ 求与a 同向的单位向量的方法 设向量a 是一个非零向量，则与a 同向的单位向量 aa a =e . ⑷ 负向量 当1-=λ时，记(-1)a =-a ，则-a 与a 的方向相反，模相等，-a 称为向量a 的负向量.⑸ 向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为 a -b =a +(-1)b .向量的减法也可按三角形法则进行，只要把a 与b 的起点放在一起，a -b 即是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量.4. 向量的坐标表示⑴ 基本单位向量 i ,j ,k 分别为与x 轴,y 轴,z 轴同向的单位向量.⑵ 向径的坐标表示 点),,(321a a a P 的向径的坐标表达式为=k j i 321a a a ++或简记为 =},,{321a a a . ⑶21M 的坐标表示 设以),,(1111z y x M 为起点,以),,(2222z y x M 为终点的向 21M 的坐标表达式为 21M M =k j i )()()(121212z z y y x x -+-+-.⑷ 向量k j i a 321a a a ++=的模 a =232221a a a ++.5. 坐标表示下的向量的线性运算设k j i a 321a a a ++=，k j i b 321b b b ++=，则有（1）k j i )()()(332211b a b a b a b a +++++=+；（2）k j i )()()(332211b a b a b a b a -+-+-=-；（3）k j i k j i 321321)(a a a a a a a λλλλλ++=++=.6. 向量的数量积⑴定义 设向量b a ,之间的夹角为)π0(≤≤θθ，则称a b θcos 为向量b a 与的数量积，记作a ·b ，即 a ·b =a b θcos .向量的数量积又称“点积”或“内积”.向量的数量积还满足下列运算律:交换律：a ·b = b ·a ；分配律：(a +b )·c = a ·c +b ·c ；结合律：λ(a ·b )=(λa )·b )(为常数其中λ.⑵ 数量积的坐标表示设k j i a 321a a a ++=，k j i b 321b b b ++=,则a ·b =332211b a b a b a ++. ⑶ 向量a 与b 的夹角余弦设k j i a 321a a a ++=，k j i b 321b b b ++=,则 b a b a ⋅=θcos =232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++ )π0(≤≤θ. ⑷ 向量的方向余弦设 向 量 k j i a 321a a a ++=与 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 的 正 向 夹 角 分 别 为 )π,,0(,,≤≤γβαγβα,称其为向量a 的三个方向角，并称αcos ,βcos ,γcos 为a 的方向余弦，向量a 的方向余弦的坐标表示为232221323222122322211cos ,cos ,cos a a a a a a a a a a a a ++=++=++=γβα，且1cos cos cos 222=++γβα.7．向量的向量积⑴定义 两个向量a 与b 的向量积是一个向量，记作a ×b ，它的模和方向分别规定如下：①a ×b =a b θsin 的夹角与是向量其中b a θ；②a ×b 的方向为既垂直于a 又垂直于b ，并且按顺序a ,b ,a ×b 符合右手法则.向量的向量积满足如下运算律.反交换律：a ×b =-b ×a ；分配律：(a +b )×c =a ×c +b ×c ；结合律：λ(a ×b )=(λa )×b =a ×(λb ))(为常数其中λ. ⑵向量积的坐标表示设k j i a 321a a a ++=，k j i b 321b b b ++=，则a ×b =k j i )()()(122113312332b a b a b a b a b a b a -+---. 可将a ×b 表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可.即a ×b =321321b b b a a ak j i .8.三个重要结论⑴b a =332211,,b a b a b a ===⇔;⑵a ⊥b ⇔=⋅b a 0⇔0332211=++b a b a b a ;⑶a ∥b ⇔a =λb ⇔332211b a b a b a ==⇔0=⨯b a .其中，“⇔”表示“充分必要条件”．９.平面方程⑴平面的点法式方程如果一非零向量n 垂直于平面π，则称此向量为该平面的法向量. 过点),,(0000z y x M ，以n ={}C B A ,,为法向量的点法式平面方程为C B A z z C y y B x x A ,,( 0)()()(000=-+-+-至少有一个不为零）. ⑵平面的一般式方程以n ={}C B A ,,为法向量的一般式平面方程为0=+++D Cz By Ax C B A ,,(至少有一个不为零）. ⑶两个平面的位置关系设两个平面21ππ与的方程分别为,0:,0:2222211111=+++=+++D z C y B x A D z C y B x A ππ 其法向量分别为1n =},,{111C B A ，2n =},,{222C B A ，有如下结论：①21ππ⊥⇔1n ⊥2n ;0212121=++⇔C C B B A A②1π∥2π⇔1n ∥2n ⇔21212121D D C C B B A A ≠==； ③2121212121D D C C B B A A ===⇔重合与ππ. （4）平面21ππ与的夹角θ，即为两个平面法向量夹角，其公式为 2121 cos n n n n ⋅=θ=)2π0( 222222212121212121≤≤++++++θC B A C B A C C B B A A . （5）点),,(1111z y x P 到平面0 =+++D Cz By Ax π的距离公式为 222111C B A D Cz By Ax d +++++=.10. 直线方程⑴如果一个非零向量s 平行于直线L ,则称s 为直线L 的方向向量. ⑵直线的标准式方程 设直线L 过点 ),,(0000z y x M 且以s },,{c b a =为方向向量,则直线L 的标准式方程(也称为点向式方程)为 cz z b y y a x x 000-=-=-. ⑶ 直线的参数方程 设直线L 过点 ),,(0000z y x M 且以},,{c b a =s 为方向向量,则直线L 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,,,000ct z z bt y y at x x其中t 为参数.⑷ 直线的一般式方程 若直线L 作为平面01111=+++D z C y B x A 和平面 02222=+++D z C y B x A 的交线，则该直线L 的一般式方程为⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111D Z C y B x A D z C y B x A 其中{111,,C B A }与{222,,C B A }不成比例.⑸ 两条直线的位置关系设直线21L L 与的标准方程分别为 ,:,:22222221111111c z z b y y a x x L c z z b y y a x x L -=-=--=-=-其方向向量分别为1s },,,{111c b a =2s },,,{111c b a =则有①21//L L ⇔1s ∥2s ⇔212121c c b b a a ==； ②1L ⊥2L ⇔1s ⊥2s ⇔0212121=++c c b b a a .11．直线与平面的位置关系 直线与它在平面上的投影线间的夹角⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤2π0ϕϕ，称为直线与平面的夹角.设直线πL 和平面的方程分别为 ,0:,:000=+++-=-=-D CZ By Ax cz z b y y a x x L π 则直线L 的方向向量为},,{c b a =s ，平面π的法向量为},,{C B A =n ，向量s 与向量n 间的夹角为θ，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2π 2πθϕθϕ或,所以 θϕcos sin = =n s ns ⋅=222222 C B A c b a cCbB aA ++++++ .由此可知：1π∥2π⇔1L ⊥2L ⇔1s ⊥2s .①内在 πL ⇔ s ⊥n )0 (=++cC bB aA 或 , ),,( 0000上既在且L z y x M 又 内在π;② L ∥π⇔ s ⊥n 而不上在）且或 , ),,( 0(0000L z y x M cC bB aA =++ 内在π;③π⊥L ⇔s ∥n Cc B b A a ==⇔. 12. 曲面方程 如果曲面∑上每一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面∑上的每一点坐标都不满足方程0),,(=z y x F ，则称方程0),,(=z y x F 为曲面方程，称曲面∑为0),,(=z y x F 的图形.13. 柱面直线L 沿定曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线C 称为柱面的准线，动直线L 称为柱面的母线.如果柱面的准线C 在xOy 坐标面上的方程为0),(=y x f ,那么以C 为准线，母线平行于z 轴的柱面方程就是0),(=y x f ；同样地，方程0),(=z y g 表示母线平行于x 轴的柱面方程；方程0),(=z x h 表示母线平行于y 轴的柱面方程.一般地，在空间直角坐标系中，含有两个变量的方程就是柱面方程，且在其方程中缺哪个变量，此柱面的母线就平行于哪一个坐标轴. 例如，方程02 , 1 , 1222222222=-=-=+py x by a x b y a x 分别表示母线平行于z 轴的椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面.14. 旋转曲面⑴定义 一平面曲线C 绕与其在同一平面上的直线L 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，曲线C 称为旋转曲面的母线，直线L 称为旋转曲面的轴.⑵母线在坐标面上，绕某个坐标轴旋转所形成的旋转曲面设在yOz 坐标面上有一条已知曲线C ，它在yOz 坐标面上的方程是0),(=z y f ，母线C 绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为0),(22=+±z y x f .由此可见，只要在yOz 坐标面上曲线C 的方程0),(=z y f 中把y 换成22y x +±，就可得到曲线C 绕z 轴旋转的旋转曲面方程.同理，曲线C 绕y 轴旋转的旋转曲面方程为()0,22=+±z x y f .对于其他坐标面上的曲线，用上述方法可得到绕此坐标平面上任何一条坐标轴旋转所生成的旋转曲面.15. 二次曲面在空间直角坐标系中,如果0),,(=z y x F 是二次方程,则它的图形称为二次曲面.下面给出几种常见的曲面方程：⑴ 球面方程以),,(0000z y x P 为球心，R 为球半径的球面方程为2202020)()()(R z z y y x x =-+-+-.⑵ 圆柱面方程设一个圆柱面的母线平行于z 轴，准线C 是在xOy 坐标面上的以原点为圆心，R 为半径的圆，即准线C 在xOy 坐标面上的方程为222R y x =+，其圆柱面方程为222R y x =+.⑶ 锥面方程顶点在原点，对称轴为z 轴的圆锥面方程为)0( )(2222为常数≠+=k y x k z .⑷ 椭圆抛物面方程椭圆抛物面方程为 )0 , 0 , 0( 22222>>>=+p b a pz by a x , 当b a =时，原方程化为) , 0(2222p a q q qz y x =>=+其中，它由抛物线绕z 轴旋转而成，称为旋转抛物面.⑸ 椭球面方程椭球面方程为 )0 , 0 , 0( 1222222>>>=++c b a c z b y a x ,其中c b a ,,称为椭球面的半轴.16.空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C 的方程为⎩⎨⎧==,0),,(,0),,(z y x G z y x F 过曲线C 上的每一点作xOy 坐标面的垂线,这些垂线形成了一个母线平行于z 轴的柱面,称为曲线C 关于xOy 坐标面的投影柱面.这个柱面与xOy 坐标面的交线称为曲线C 在xOy 坐标面的投影曲线，简称为投影.在方程组(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩中消去变量z ，得 0),(=y xH ，方程0),(=y x H 就是曲线C 关于xOy 坐标面的投影柱面方程.它与xOy 坐标面的交线⎩⎨⎧==,0,0),(z y x H 就是曲线C 在xOy 坐标面的投影曲线方程.二、主要解题方法1．向量的运算例1 设向量=4i -4j +7k 的终点B 的坐标为(2,-1,7).求 (1)始点A 的坐标；(2)向量的模；(3)向量的方向余弦；(4)与向量方向一致的单位向量.解 （1）设始点A 的坐标为 ),,(z y x ，则有 42=-x ，14y --=- ,77=-z ，得 x =-2 , y =3 , z =0 ;2227)4(4+-+=9;(3) cos α94 , cos 94-=β , cos 97=γ ; (4) AB o91(4i -4j +7k ).例2 已知向量a 与向量b =k j i 863++及x 轴垂直，且2=a ，求出向量a . 解 因为b a ⊥，i a ⊥（垂直于x 轴），故a 与向量i b ⨯平行.由两向量平行的充要条件，a 可写成)(i b a ⨯=λ，即a =λ001863kj i =)68(k j -λ. 由题设2=a ，得22)6()8(λλ-+=2 ， 4)68(222=+λ，51±=λ,从而得 a =k j 5658-，或 a =k j 5658+-. 2．建立平面方程与直线方程的方法例3 求平行于y 轴，且过点)1,5,1(-A 与)3,2,3(-B 的平面方程.解一 利用向量运算的方法。