特征函数与极限定理
随机变量的数字特征大数定律和中心极限定理
02
大数定律
切比雪夫大数定律
定义
设${X_n}$是独立同分布的随机变量序列，若存在常 数$M$，使得$P( |X_n| > M ) leq frac{1}{n^2}$， 则对任意的$varepsilon > 0$，有$P( left| frac{X_1 + X_2 + cdots + X_n}{n} - E(X_1) right| < varepsilon ) to 1$，当$n to infty$。
相应的概率。
性质
03
数学期望具有可加性和线性性质，即E(aX+b)=a*E(X)+b。
方差
定义
方差是随机变量与其数学期望的差的平方的平均值，表示随机变 量取值与其数学期望的偏离程度。
计算方法
D(X) = Σ[(x-E(X))^2*p(x)]。
性质
方差具有可加性和线性性质，即D(aX+b)=a^2*D(X)。
矩与偏态
定义
矩是描述随机变量取值分布形状的数字特征，包括原点矩和中心矩。偏态是描述随机变量取值分布偏斜程度的数字特 征。
计算方法
原点矩包括原点均方、原点方差等；中心矩包括中心均方、中心方差等。偏态的计算公式为S=Σ[(x-μ)^n*p(x)]/n!，其中 μ为数学期望，n为正整数。
性质
偏态具有可加性和线性性质，即S(aX+b)=a^n*S(X)。
李雅普诺夫定理指出，对于任何正整数 n，如果一个随机变量的所有n阶矩都存 在，则其分布函数可以由其n阶原点矩 确定。
该定理是关于随机变量的数字特征的重要定 理，它表明随机变量的数字特征可以完全描 述其分布。
它对于研究随机变量的性质和分布 具有重要意义。
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
第七章特征函数
第七章 特征函数7.1 特征函数的定义及基本性质定义1：设X 为维实随机向量，称为n Xit TEe t =)(ϕX 的特征函数(characteristicfunction )。
一些常见分布的特征函数。
例1：，则其c.f.为),(~p n B X .1,)()(p q pe q t n it −=+=ϕ例2：X 服从参数为λ的Poisson 分布，则其c.f.为 ).1(exp )(−=it e t λϕ例3：，则其c.f.为),(~2σµN X .)(2221t t i e t σµϕ−=特征函数基本性质：1) 1)0(=ϕ；2) （有界）n R t t ∈∀≤,1)(ϕ 3) （共轭对称）；_______)()(t t −=ϕϕ4) （非负定）对任意给定正整数，任意t 和任意复数m n m R t t ∈L 21,m αααL 21,，0≥)(11−∑∑==m l mk k l k l t t ααϕ；5) )(t ϕ为n R 上的连续函数。
证明：4) 0)(2111)(11≥==−∑∑∑===−==ml Xit l ml mk k l X t t i ml mk k l k l TlTk l Ee E Ee t t αααααϕ∑∑。
定理1：（Bocher ）n R 上的函数)(t ϕ是某个随机变量的特征函数当且仅当)(t ϕ连续非负定且1)0(=ϕ。
定理2：（增量不等式）设)(t ϕ是X 的特征函数，则对任意t 有n R h ∈,[])(Re 12)()(2h t h t ϕϕϕ−≤−+由此)(t ϕ在n R 上一致连续。
证明：[][]∫∫−=−=−++dP ee dP ee t h t Xih Xit Xit Xh t i T T T T 1)()()(ϕϕ，由Schwarz 不等式[])(Re 121)()(222h dP edP et h t Xih Xit T T ϕϕϕ−=−≤−+∫∫。
第五章 极限定理 (3)
二项分布B(n, p ) : 设Y ~ B(n, p ), Y X i , 且
i 1Βιβλιοθήκη nX i ~ B(1, p )相互独立, 则 X i (t ) pe q
it
所以Y ~ B(n, p)的其特征函数为
Y (t ) [ pe q]
it
n
29 June 2016
中国石油大学（华东）
(t )
eitx f ( x )dx
这是 f(x) 的傅里叶变换
29 June 2016
中国石油大学（华东）
第五章 特征函数与极限定理
第7页
计算公式(2)： (t ) E (cos(tX )) iE (sin(tX )) cos(txk ) pk i sin(txk ) pk ; k k cos(tx ) f ( x )dx i sin(tx ) f ( x )dx t .
第五章 特征函数与极限定理
第1页
第五章 特征函数与极限定理 (The law of large number and the central limit theorem)
§5.1 特征函数 §5.2 * 多维正态分布及其性质 §5.3 随机变量序列的收敛性 §5.4 大数定律 §5.5 中心极限定理
e
itx
dF ( x )
e
itx
dF ( x ) (t ).
29 June 2016
中国石油大学（华东）
第五章 特征函数与极限定理
第20页
性质5.1.4
若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y ( t)
Pr oof : E (e
特征函数证明中心极限定理
特征函数证明中心极限定理中心极限定理是概率论中的重要定理之一，它给出了在大样本条件下，随机变量的和服从正态分布的性质。
在证明中心极限定理时，我们使用到了特征函数这一重要工具。
本文将详细介绍特征函数的定义，性质及其在证明中心极限定理中的应用。
一、特征函数的定义及性质1. 定义特征函数指的是一个随机变量的复数函数，定义为：φ(t) =E(e^(itX))，其中X为随机变量，i为虚数单位。
特征函数是一个对随机变量的完全描述，可以唯一地确定随机变量的分布函数。
2. 性质特征函数具有以下性质：（1）φ(0) = 1，即特征函数在t=0时等于1；（2）φ(t)是连续的，且具有线性性，即对任意实数a、b，有φ(at+b) = e^(ibt)φ(t)；（3）若随机变量X和Y相互独立，则它们的特征函数之积等于它们的和的特征函数之积，即φX+Y(t) = φX(t)φY(t)。
二、特征函数在证明中心极限定理中的应用中心极限定理指出，对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，它们的和Sn = X1 + X2 + ... + Xn在n很大时，服从正态分布。
证明中心极限定理时，我们使用到了特征函数。
设X1，X2，...，Xn为独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ^2，则它们的和Sn的特征函数为：φS(t) =φX1(t)φX2(t)...φXn(t) = [φ(t)]^n，其中φ(t)为每个随机变量的特征函数。
将特征函数经过复数域上的变换可以得到一个新的特征函数：φ((t-nμ)/σ√n)，即将Sn与其期望nμ和标准差σ√n标准化。
这个函数在n很大时趋近于e^(-t^2/2)，也就是标准正态分布的特征函数。
因此，Sn在n很大时近似于正态分布，其期望为μn，方差为σ^2n。
三、总结特征函数是描述随机变量的重要工具，它唯一地确定了随机变量的分布函数。
在证明中心极限定理中，我们将随机变量的特征函数相乘后通过变换得到新的特征函数，并以此证明了Sn在n很大时服从正态分布的性质。
概率分布的特征函数
概率分布的特征函数概率分布的特征函数（characteristic function）是一个重要的数学工具，它在概率论和统计学中被广泛应用。
概率分布的特征函数是指一个复数变量的函数，其定义为概率分布的随机变量的期望值的指数函数的复合函数。
在这篇文章中，我们将深入探讨概率分布的特征函数的各种特性和应用。
一、定义和性质概率分布的特征函数是指一个复数变量的函数，其定义为：$$\varphi_X(t) = E(e^{itX}),\quad t\in \mathbb{R},$$其中$X$是一个随机变量，$i$是虚数单位，$t$也是一个实数。
注意到上式中的$e^{itX}$是一个复数，其模长为1，因此特征函数是一个复合函数，其在实数轴（$t\in \mathbb{R}$）上的定义域是唯一的。
接下来，我们将探讨概率分布的特征函数的若干重要性质：1.特征函数的连续性。
如果随机变量$X$有一个概率密度函数$f_X(x)$，那么$\varphi_X(t)$对于所有的$t\in \mathbb{R}$都是连续的函数。
2.特征函数的对称性。
对于任意的$t\in \mathbb{R}$，都有$\varphi_X(-t) =\overline{\varphi_X(t)}$，其中$\overline{z}$表示$z$的共轭复数。
3.特征函数的独特性。
一个概率分布的特征函数唯一地决定了这个概率分布，换句话说，没有两个不同的概率分布可以具有相同的特征函数。
4.特征函数的归一性。
对于任意的$t = 0$，都有$\varphi_X(0) = E(e^{i0X}) = E(1) = 1$。
5.特征函数的反演公式。
如果特征函数$\varphi_X(t)$存在一个连续导函数$\varphi_X'(t)$，并且对于所有的$t\in \mathbb{R}$，都有$$ \lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u {\varphi_X(t+iy) - \varphi_X(t-iy) \over 2iy} e^{-ity} dy = f_X(t), $$那么随机变量$X$的概率密度函数$f_X(x)$可以表示为：其中$-\infty < x < \infty$。
(完整版)特征函数在极限理论中的应用
1. 集合列的特征函数1.1集合E 的特征函数定义：对于X 中的子集E ，作E X =⎩⎨⎧∉∈E x E x ,0,1称E X ：{}1,0→X 是定义在X 上的集合E 的特征函数。
由定义知，特征函数E X 在一定意义上作为集合E 的代表。
借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。
1.2定理：对任意的集合列{}n A ，有①n A n X ∞→lim =nn A X →∞lim， ②n A n X ∞→lim=n n A X→∞lim ，③集列{}n A 收敛的充要条件是它的特征函数列{}n A X 收敛，且n A n X ∞→lim =nn A X →∞lim定理说明了集列{}n A 取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。
集列{}n A 收敛性与数列{}n A X 收敛性等价。
证明：由特征函数的定义，n A n X ∞→lim =1或0，x ∀，设n A n X ∞→lim =1⇔有无限个k n ，使得knA X =1，⇔有无限个k n ，使得k n A x ∈， ⇔ n n A x ∞→∈lim ，⇔n A n X∞→lim =1 （*1）x ∀，设n A n X ∞→lim =0⇔有无限个k n ，使得k n A X =0⇔有无限个k n ，使得k n A x ∉， ⇔n n A x ∞→∉lim ，⇔nn A X →∞lim =0 （*2）由（1）（2）式，得证。
2迭代数列收敛性与特征函数2.1.定义：设)(x F =()x f x -在区间I 上有定义，数列{}n x 满足迭代关系：1+n x =()n x f （n=1,2，……） （*3）若存在自然数N ，使得当n>N 时恒有∈n x I 成立，则称F （x ）和f （x ）分别为迭代数列（*3）在区间I 上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（*3）称为F(x)在区间I 上的生成迭代数列。
随机变量特征函数
随机变量特征函数一、随机变量的概念及特征函数的引入随机变量是概率论中的重要概念，在概率论与数理统计领域得到广泛的应用。
一般地，我们可以把随机变量看作是一个函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数上。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
而随机变量的特征函数是描述随机变量性质的一种重要工具。
特征函数是随机变量的概率分布的一种表达方式，通过特征函数可以完整地描述随机变量的分布情况。
特征函数的定义如下：对于随机变量X，其特征函数定义为：ϕ(t)=E[e itX]其中，t是一个实数，i是虚数单位。
二、特征函数的性质特征函数具有一些重要的性质，这些性质使得特征函数成为研究随机变量分布的有力工具。
下面是特征函数的一些性质：1. 特征函数的存在性对于任意的随机变量X，其特征函数总是存在的。
2. 特征函数的连续性对于任意的t，特征函数ϕ(t)在整个实数轴上都是连续的。
3. 特征函数的唯一性对于一个随机变量X，它的特征函数是唯一确定的，即不同的随机变量具有不同的特征函数。
4. 特征函数的对称性对于任意的随机变量X，有ϕ(−t)=ϕ(t)，其中ϕ(t)表示特征函数的复共轭。
5. 泛函关系对于任意的实数a和b，有ϕ(at+b)=e itbϕ(at)。
6. 分布函数与特征函数的关系如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们的分布函数也是相同的。
三、特征函数的应用特征函数在概率论与数理统计中有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景。
1. 随机变量的矩生成函数对于一个随机变量X，它的k阶矩定义为E[X k]。
特征函数在研究随机变量的矩时起到了重要的作用，特别是在计算高阶矩时，通过对特征函数进行求导可以得到各阶矩的值。
2. 中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出当随机变量的样本数足够多时，它们的和或平均值会趋向于一个服从正态分布的随机变量。
特征函数在中心极限定理的证明中扮演了重要的角色。
3. 随机过程的特征函数随机过程是一组随机变量的集合，它可以用于描述一系列随机事件按照一定规律的变化情况。
特征函数定义
特征函数：让你更好地了解概率与统计学
特征函数是一个经典的数学工具，广泛应用于概率论和统计学中。
它是描述一个随机变量的方法之一，通过特征函数我们可以了解到随
机变量的重要特征，包括期望值、方差、偏度和峰度等。
在实际应用中，特征函数可以帮助我们解决很多有趣的问题。
首先，让我们来看看特征函数的定义。
特征函数是指对于一个随
机变量X，其特征函数φ(t)定义为E(e^(itX))，其中E表示取期望，
i是虚数单位。
简单来说，特征函数是随机变量概率密度函数的傅里叶变换。
接下来，我们可以根据特征函数来计算随机变量的期望值、方差、偏度和峰度等。
例如，随机变量的期望值可以表示为φ'(0)，方差可
以表示为φ''(0)-[φ'(0)]^2，其中φ'(t)和φ''(t)分别表示特征
函数的一阶导数和二阶导数。
除此之外，特征函数还可以用于推导随机变量之间的关系，比如
多维随机变量的独立性、联合分布等。
此外，特征函数还可以用于证
明中心极限定理，即当独立同分布随机变量的总和趋近于正态分布时，特征函数的极限值趋近于e^(-σ^2*t^2/2)，其中σ^2是方差。
最后，需要注意的是，特征函数并不是描述随机变量的唯一方法，还有很多其他的方法，比如概率密度函数、分布函数等。
但特征函数
具有很强的应用价值，可广泛用于概率与统计学中，因此值得我们深
入了解和掌握。
特征函数和特征值
特征函数和特征值中的特定函数1. 特征函数1.1 定义在数学中，特征函数是一个从一个随机变量到复数域的映射。
对于一个随机变量X，其特征函数定义为：ϕX(t)=E(e itX)其中，E表示期望运算符，i是虚数单位。
1.2 用途特征函数在概率论和统计学中具有广泛的应用。
它可以唯一地确定一个随机变量的分布，并且可以用于推导和证明概率论中的一些重要定理。
具体来说，特征函数可以用于以下几个方面：•唯一性：对于连续型随机变量来说，它们的特征函数唯一地确定了它们的分布。
这意味着如果两个随机变量有相同的特征函数，则它们具有相同的分布。
•独立性：对于独立随机变量来说，它们的特征函数之积等于它们各自特征函数之积。
•中心极限定理：中心极限定理表明当独立同分布的随机变量求和时，其标准化后的和的分布趋近于正态分布。
特征函数可以用于证明中心极限定理。
•估计参数：特征函数可以用于估计随机变量的参数。
通过观察样本的特征函数，可以推断出随机变量的分布参数。
1.3 工作方式特征函数是通过对随机变量X的概率密度函数或概率质量函数进行傅里叶变换得到的。
傅里叶变换是一种将一个函数表示为一组正弦和余弦函数（即频谱）之和的方法。
具体地，给定一个连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，则其特征函数ϕX(t)可以通过如下公式计算：∞ϕX(t)=∫e itxf(x)dx−∞对于离散型随机变量X，其概率质量函数为p(x)，则其特征函数ϕX(t)可以通过如下公式计算：ϕX(t)=∑e itxp(x)x2. 特征值中的特定函数2.1 定义在线性代数中，特征值是一个方阵在线性变换下不改变方向的非零向量所对应的标量。
给定一个n×n的方阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得满足以下方程：Av=λv则称λ为矩阵A的特征值，v为相应于特征值λ的特征向量。
2.2 用途特征值和特征向量在线性代数和各个领域中都有广泛的应用。
它们可以用于求解线性方程组、矩阵对角化、判断矩阵的性质等。
§4.1特征函数§4.2大数定律§4.3随机变量序列的两种收敛性
第10页
特征函数的定理
定理4.1.1 一致连续性.
定理4.1.2 非负定性.
定理4.1.3 逆转公式.
定理4.1.4 定理4.1.5
分布函数的唯一性.
连续场合，求p(密x)度函21数. eitx(t)dt
第11页
定理4.1.5 设X为连续型随机变量，密度函数
为p(x),若 | (t) | dt ,则 p(x) 1 eitx(t)dt 2
二、给定 n 和概率，求 y
例4 P237 15 设一家有500间客房的大旅馆的每间 客房装有一台2kw的空调机.若开房率为80%， 问需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证 有足够的电力使用空调机？
第53页
三、给定 y 和概率，求 n
例5 用调查对象中的收看比例 作为某电
视节目的收视率 p 的估计 pˆ . 要有 90％ 的把握，使调查所得收视率 pˆ与实际收
第44页
练习 P238 6 某汽车销售点每天出售的汽车数服 从参数为λ＝2的泊松分布，若一年365天都经 营汽车销售，且每天出售的汽车数相互独立， 求一年中售出700辆以上汽车的概率.
第45页
例2 P238 4 掷一颗骰子100次，记第i次掷出的点
数为Xi , i=1,2,…,100,试求概率
å P{3 ＃ 1
性质4.1.1 |(t)| (0)=1
性质4.1.2 (t) (t)
性质4.1.3 aX b(t) eibtX (at)
第7页
性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y (t)
性质4.1.5 若 E(X l )存在，则对0≤k≤l有
(k)(0) ik E(X k )
概率论--特征函数与极限定理
引进特征函数的目的在于有些问题用分布函 数不好解决，比如计算随机变量的矩以及对立随 机变量和的分布.使用特征函数就会特别方便， 在极限理论的研究中也发挥了很大作用。
如以前我们讲过随机变量X＋Y的分布函数求 法过程比较复杂，实际上经常碰到求 X1+X2+X3+…+Xn 的密度函数，重复使用卷极公式， 非常繁杂。
即
定理三（伯努利大数定律） 设事件 在每次试验中出现的概率为 p, 且
在n次重复独立试验中出现的频率为
即
理论上给出了在大量重复实验下,事件A的 频率依概率收敛于它的概率p.
定理四 (马尔可夫大数定律)
设{
X
k
}是随机变量序列，若
lim
n
1 n2
n
D(
k 1
Xk
)
0
则{X k }服从大数定律。
2. 特征函数的性质
设
是X的特征函数，则
2)特征函数
在R上一致连续
3)特征函数
是非负定的，即对任意实数
及复数
证明
4） 设
是常数，
则
5)随机变量
相互独立，则
此性质可推广至多个
随机变量
相互独立，则
6）设随机变量 则它的特征函数可微分n次，且
特征函数提供了一条求各阶矩的捷径。
7）唯一性定理：分布函数由其特征函数唯一确定。
2、 中心极限定理
定理1（独立同分布的中心极限定理）
设
为一列相互独立相同分布
的随机变量，且具有数学期望和方差，则对于
任意实数 有
其中
为标准正态分布的分布函数。
定理2 （德莫佛—拉普拉斯）
随机变量的特征函数计算技巧
随机变量的特征函数计算技巧随机变量是概率论中的重要概念，用来描述随机现象的数学模型。
在研究随机变量的性质时，特征函数是一种常用的工具。
特征函数是描述随机变量的函数，它可以帮助我们求解各种概率问题。
本文将介绍一些计算特征函数的技巧，以帮助读者更好地理解和应用概率论中的随机变量。
一、特征函数的定义和性质特征函数是随机变量的一个重要的数学特征，它定义为随机变量的期望值的复数形式。
对于一个随机变量X，其特征函数定义为：ϕ(t) = E(e^(itX))其中，i是虚数单位，t是一个实数。
特征函数具有以下几个重要的性质：1. 对于任意的实数a和b，特征函数的值满足ϕ(aX + b) = e^(itb)ϕ(aX)。
这个性质说明特征函数具有线性性质，对于随机变量的线性组合也可以通过特征函数来计算。
2. 对于两个独立的随机变量X和Y，它们的特征函数的乘积等于它们各自特征函数的乘积，即ϕ(X + Y) = ϕ(X)ϕ(Y)。
这个性质在研究多个随机变量的和时非常有用。
3. 对于一个随机变量X的特征函数，其值在t=0处等于1，即ϕ(0) = 1。
这个性质是特征函数的重要特点之一。
二、计算特征函数的技巧计算特征函数的方法有很多，下面介绍几种常用的技巧。
1. 二项分布的特征函数计算二项分布是概率论中常见的离散分布，它描述了n次独立重复实验中成功次数的概率分布。
对于二项分布B(n,p)，其特征函数的计算可以通过二项定理来实现。
根据二项定理，我们有：(1 + pe^(it))^(n) = Σ[ k=0 to n ] C(n,k) (pe^(it))^k (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)是组合数。
通过对上式进行展开，我们可以得到二项分布的特征函数。
2. 正态分布的特征函数计算正态分布是概率论中最重要的连续分布之一，它在各个领域都有广泛的应用。
对于正态分布N(μ,σ^2)，其特征函数的计算可以通过计算指数函数的期望值来实现。
特征函数的意义
特征函数的意义特征函数是概率学中一个十分重要的概念，它是描述随机变量的一个有效的工具。
特征函数的意义在于，通过它可以确定一组概率分布。
本文将围绕着“特征函数的意义”这一主题，分步骤来阐述这个概念及其应用。
1.特征函数的定义首先，我们来看一下特征函数的定义。
特征函数指的是一个随机变量X 的复合函数φ(t)，其中t是一个实数，φ(t)的形式如下：φ(t) = E(e^{itX})其中，E表示期望值，i是虚数单位。
上式中的e表示自然对数的底数，e^{itX} 是指将itX 代入e 中的值（也就是复数），即e^{itX} = cos(tX) + isin(tX)。
2.特征函数的意义特征函数的意义在于，通过它可以唯一地确定一组概率分布。
具体来说，如果两个随机变量的特征函数完全相同，那么这两个随机变量满足相同的分布。
这就是说，特征函数是确定一个随机变量的概率分布的一个有效工具。
3.特征函数的应用特征函数在许多方面都有着广泛的应用。
3.1.求统计量通过特征函数，我们可以得到随机变量的许多统计量，如均值、方差、偏度等。
这些统计量对于概率分布的研究具有十分重要的意义。
3.2.求和我们可以用特征函数来求两个随机变量的和的特征函数。
具体来说，如果X和Y是两个随机变量，那么它们的和Z=X+Y 的特征函数是φ_Z(t) = φ_X(t)φ_Y(t)。
3.3.中心极限定理中心极限定理是概率统计学中的一个重要定理，它指出，当许多独立随机变量的和趋向于正态分布时，这些独立随机变量的分布本身并不需要满足正态分布。
中心极限定理的证明中就用到了特征函数的性质。
4.总结本文围绕着“特征函数的意义”这一主题，分步骤阐述了特征函数的定义，意义以及应用。
特征函数在概率统计领域中有着重要的作用，它可以唯一地确定一组概率分布，可以用于求统计量、求和以及证明中心极限定理等。
对于学习概率统计学的人来说，理解特征函数的意义十分重要。
第五章随机变量的数字特征与极限定理
2024/7/17
40
❖ 例12 设X~B(n,p)，求EX.
❖ 解 在前面的例2中，我们已经直接用数学期望的定 义求得了EX=np.现在利用数学期望的的性质(ⅲ)
来作.
❖ 设在n重伯努利试验中，成功的次数为Y，而在每次 试验成功的概率为p，则Y与X有相同的分布，从而
2024/7/17
4
❖ 常用的离散型随机变量的数学期望 ❖ 例1 (0—1分布)设随机变量X的分布列为
X
0
1
P 1−p p
❖ 求EX. ❖ 解 EX=0×(1−p)+1×p=p.
2024/7/17
5
❖ 例2 (二项分布)设随机变量X的分布列为
P(X
k)
C
k n
pkqnk , k
0,1,2,, n
x2 y2 f X (x) fY ( y)dxdy
x2
y2
1
2
x2 y2
2 e 2 2 dxdy
31
E
X2
Y2
1
2
2
x2
y2
e
x2
2
y
2
2
dxdy
令x
cos ,
y
s in
1
2
2
2
d
e
2 2 2
d
0
0
1
e
2 2 2
d
2 0
2024/7/17
32
E X 2 Y 2 1
1 12
2024/7/17
39
❖ 5.1.4 随机变量的数学期望的性质
❖ (ⅰ) EC=C，C为常数； ❖ (ⅱ) E(CX)=CEX，C为常数； ❖ (ⅲ) E(X1+X2…+Xn)=EX1+EX2+…+EXn ； ❖ (ⅳ)若X1,X2,…,Xn相互独立，则
大数定律与中心极限定理
X与Y独 立 eitX 与eitY 独立
X Y (t ) E(eitX )E(eitY )
X Y (t) X (t)Y (t)
性质5 : 若E( X l )存在,则对X的特征函数有
(k)(0) i k E( X k ), 1 k l
证明 设随机变量X的密度函数为p( x)
(t ) eitx exdx 0 eitx cos(tx) i sin(tx)
cos(tx)exdx i sin(tx)exdx
0
0
2
t2
i
2
t
t2
1
it
1
§1.3 特征函数的性质
t2
X (t) e 2
所以Y ~ N (, 2 )的特征函数为
Y (t ) X (t ) eit X (t )
it 2t 2
e 2
exp{ it 2t 2 }
2
(9) 伽 玛 分 布Ga(n, ) : 设Y ~ Ga(n, ),
2a
eihx 1 eihx / 2 (eihx / 2 eihx / 2 )
2 sin hx 2 hx ha
2
2
2
(t h) (t) , t (,)
定理(非负 定性) : 随机 变量X的特 征函数
(t)是非负定的,即对任意的自然数n, 及n
1
T
0
sint(
x t
x1
)
sint(
x t
标准正态分布的特征函数
标准正态分布的特征函数标准正态分布是统计学中非常重要的一种连续概率分布，它在自然科学、社会科学以及工程技术领域都有着广泛的应用。
而要深入理解标准正态分布，就需要了解其特征函数。
本文将对标准正态分布的特征函数进行详细的介绍，帮助读者更好地理解这一概念。
首先，我们来了解一下标准正态分布。
标准正态分布又称为正态分布或高斯分布，是以数学家高斯命名的一种连续概率分布。
其概率密度函数为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(e\) 是自然对数的底，\(\pi\) 是圆周率。
标准正态分布的均值为0，标准差为1，其密度函数呈钟形曲线，左右对称，中心峰较高，两侧逐渐减小，且永远不会 beri为负值。
接下来，我们来讨论标准正态分布的特征函数。
特征函数是概率论中一个非常重要的概念，它可以完全描述一个随机变量的分布特性。
对于随机变量\(X\)，其特征函数定义为：\[\phi(t) = E(e^{itX})\]其中，\(i\) 是虚数单位，\(t\) 是任意实数。
特征函数的存在性是由狄利克雷收敛定理保证的，即对于任意\(t\)，特征函数都是存在的。
对于标准正态分布，其特征函数可以表示为：\[\phi(t) = e^{-\frac{t^2}{2}}\]特征函数的性质有很多，下面我们来介绍几条与标准正态分布相关的性质。
首先，特征函数的实部是一个偶函数，虚部是一个奇函数。
其次，特征函数的绝对值总是不超过1的。
最后，特征函数在原点处的值为1。
特征函数在统计学中有着广泛的应用。
通过特征函数，我们可以方便地求得随机变量的各阶矩。
特征函数还可以用于证明中心极限定理，这是概率论中一个非常重要的定理，指出在适当的条件下，大量独立随机变量的均值的分布会趋近于正态分布。
除此之外，特征函数还可以用于刻画随机变量之间的独立性。
对于独立随机变量，其特征函数的乘积等于它们各自特征函数的乘积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 十二 次课 2学时本次课教学重点： 特征函数的定义与性质 本次课教学难点：常见分布的特征函数的计算 本次课教学内容： 第四章 特征函数通过前面的讨论,我们已经知道如何去计算随机变量的数字特征，数字特征一般由各阶矩决定，随着阶数的增高，矩的计算总是较麻烦的，另一方面，由于随机现象错综复杂，一个随机现象往往需要多个随机变量来描述，甚至需要讨论一列随机变量依某种意义的收敛，从前面的讨论我们就看到，只利用分布函数和密度函数，求独立随机变量的和的分布都是较麻烦的（要计算密度函数的卷积），要解决复杂的多的问题，没有更优越的数学工具是不行的，在学习数学分析时我们就知道富里埃变换能把卷积运算变成乘法运算，它在数学中是非常重要而有效的工具，把富里埃变换引入到概率之中来，就产生了“特征函数”，可以毫不夸张地说，概率统计自从引进了特征函数以后，就把理论的研究推进到一个新的台阶。
第一节特征函数定义与性质 一、定义本章中1-=i定义4.1.1设ξ是定义在概率空间),,(P F Ω一个随机变量，分布函数为)(x F ，称()ξϕit Ee t =，∞<<∞-t （4.1）为ξ的特征函数。
有时也称为分布函数)(x F 的特征函数。
由定义()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎰∑∞∞-∞=dxx f e p e t itx k k ita k1ϕ（4.2） 由1=itxe，故（4.2）的级数或积分是绝对收敛，即ξ,,v r 的特征函数总存在。
由（4.2）看出，ξ..v r 的f c .是其概率函数或密度函数的富里埃变换，计算特征函数则需要进行复数求和或作实变量复值函数的积分。
作积分时有时会用到复变函数中的残数理当ξ～f （x ） 当论，但有时也可由欧拉公式ξξξt i t e it sin cos +=得()()()ξξϕξξt iE t E Ee t it sin cos +==即把求()t ϕ变成求两个实随机变量函数的期望。
注：因为对任意的，总是有界连续函数，故皆为有限数。
因此任意随机变量的特征函数总是存在的。
例1 求下列随机变量的特征函数（1）()1~==a P ξξ；（2）()kn k q P k n k P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξξ~，n k ≤≤0（3）()()λλξλξ-==e k k P P k!,~，k =0，1，…解：（1）()iat e t =ϕ （2）()()nit Pe q t +=ϕ（3）()()1-=ite e t λϕ例2 求下列随机变量的特征函数。
（1）[]1,0~U ξ；（2）()λξE ~；（3）()1,0~N ξ解：（1）()ite dx e t it itx110-==⎰ϕ（2）()()()⎰⎰⎰∞--∞+--∞===0dx e dx e dx e e t x it x it x itx λλλλλϕ为了易求出上面的积分，我们用如下结论： 对复数ib a z +=，只要0>a ，就有()rx r rzxr z r d e t zt dx ex Γ==⎰⎰∞--∞--t 1zx 0t 101，（0>r ） 故()()111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-Γ=λλλϕit it t（3）()()⎰⎰∞∞---∞∞--==dxeeee t it x t x itx 22212222121ππϕ积分()⎰∞∞---dx e it x 22是复变函数22z e-，在复平面上，沿平行于实轴的直线t y -=（或it z -=）的积分，由闭路积分理论知，此积分等于同一函数沿实轴的积分⎰∞∞--=π222dx e x故()∞<<-∞=-t et t ,22ϕ同样可得，服从()2,~σξa N 时，则其特征函数为()∞<<-∞=-t et t iat ,222σϕ二、特征函数的性质性质1 ()t ϕ在()∞∞-∈,t 上一致连续，且()()10=≤ϕϕt ，()()t t ϕϕ=-，()t ϕ表示()t ϕ 的共轭。
性质2特征函数()t ϕ具有非负定性。
到此我们已看到特征函数较分布函数具有更加优良的分析性质：一致连续，非负定性及有界性。
可以证明：若实变元复值函数()t ϕ非负定，且()10=ϕ，则()t ϕ是某随机变量的特征函数。
性质3 设)(t ϕ是ξ的特征函数，则b a +=ξη的特征函数为()()at e t ibtξηϕϕ=证明略。
例3. ()2,~σμηN ，求()t ηϕ。
记22t e -=-=σμηξ，故()()22222t t i t ti eee t σμσμηϕ--==性质4设21,ξξ的f c .分别为()()t t 21,ϕϕ，又21,ξξ相互独立，则21ξξη+=的f c .为()()()t t t 21ϕϕϕη=证：()()()()()()t t Ee Ee e Ee Ee Eet t i t i t i t i t i ti 21212121ϕϕϕξξξξξξηη=====+用归纳法可证，若n ϕϕ,,1 分别为相互独立的n v r ξξ,,,.1 的f c .为()t k ϕ，则n ξξζ++= 1的f c .为()()∏==nk k t t 1ϕϕζ该性质之逆不真。
三、特征函数与矩的关系性质5设ξ..v r 的n 阶矩存在，则ξ的特征函数()t ϕ的k 阶导数)()(t k ϕ存在，且对任意n k ≤，有()()k k k E i ξϕ=0即()()kk kiE 0ϕξ=证：k xi k k itx k k x e x i e dt d ==+，而()⎰∞∞-∞<dx x P x k ，对n k ≤∴ ()()()dx x P e dtd itx kkk ⎰∞∞-=0ϕ0=t=⎰∞∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛itx kk e dt d ()dx x P t 0=()kk k k i dx x P x i ξE ==⎰∞∞- 性质5说明，可利用v r .的f c .的各阶微分来计算，v r .的各阶矩，这显然比用分布密度的积分来求矩阵方便得多。
例4 ()2,~σμξN ，求ξξD E ,解：已知()222t t i et σμξϕ-= ∴()()22212t t i et i t σμσμϕ--='()()[]2221222t t i et i t σμσσμϕ---=''得()μϕi ='0，()()220μσϕ+-=''∴()μϕξiE 0'=，()22220μσϕξ+=''=i E ，2σξ=D作业布置： P290 T1，2，3第 十三 次课 2学时本次课教学重点：反演公式及唯一定理内容的理解 本次课教学难点：反演公式及唯一定理的证明 本次课教学内容：第一节 一维特征函数的定义及其性质 四、反演公式及唯一定理由特征函数的定义看出，随机变量的特征函数由其分布函数完全确定，反之也能证明分布函数可由其特征函数完全确定。
即f d .与f c .是一一对应的，由f c .求f d .的式子叫“逆转公式”。
定理4.2.1(反演公式)设随机变量ξ的分布函数和特征函数分别为)(x F 和()t ϕ，对于)(x F 得任意连续点1x 和2x （∞<<<∞-21x x ），有 dt t ite e x F x F TTitx itx T )(21lim)()(2121ϕπ⎰---∞→-=- （4.2.1） 令02,22121>-=+=x x h x x a ，则（4.2.1）可改为 dt t e tth h a F h a F TT itaT )(sin 1lim)()(ϕπ⎰--∞→=--+推论1（唯一性定理）任意一个随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。
由上可知()x F ξ ()x ξϕ，因而f c .也可用来描述随机变量的统计规律。
推理2 若随机变量ξ的特征函数()t ϕ于R 上绝对可积，则ξ为具有密度函数)(x f 的连续型随机变量，且⎰∞∞--=dt t e x f itx )(21)(ϕπ对取值整数的随机变量，有类似结论定理4.2.2 设ξ为取整数值及0的随机变量，其概率函数为{} ,3,2,1,0,1,2,3,---===k k P p k ξ，其特征函数为itkk kep t -∞-∞=∑=)(ϕ，则⎰--=ππϕπdt t ep itkk )(21证明略第 十四 次课 3学时本次课教学重点：相互独立的随机变量和的特征函数 本次课教学难点：多维随机变量特征函数及其性质 本次课教学内容：第二节 多维随机变量的特征函数 一、定义及例定义4.4.1设是()21,ξξ二维随机变量，其分布函数为),(21x x F ，21,t t 为任意实数，记⎰⎰∞∞-∞∞-++==),(][),(21)()(2122112211x x dF eeE t t x t x t i t t i ξξϕ),(21t t ϕ称为()21,ξξ的特征函数。
当()21,ξξ为离散型变量时：∑∑+=rst t i s r p et t ),(),()(212211ξξϕ，其中{},),(2211s r x x P s r p ===ξξ 当()21,ξξ为连续型变量时2121)(21),(),(2211dx dx x x f et t x t x t i ⎰⎰∞∞-∞∞-+=ϕ例1 设二维随机变量()21,ξξ的分布列为{}{}{}{}611,1,611,1,311,1,311,121212121=-=-===-==-=====ξξξξξξξξP P P P 计算()21,ξξ的特征函数 解：)sin cos 3(cos 3161613131),(112)()()()(2121212121t i t t e e e e t t t t i t t i t t i t t i +=+++=--+--+ϕ 例2二维随机变量()21,ξξ服从二维正态分布，它的密度函数为则它的特征函数为)2(21)(212222212121212211),(t t t t t t i eet t σρσσσμμϕ++-+=。
特别当1,02121====σσμμ时)2(2121222121),(t t t t et t ++-=ρϕ二、二维随机变量特征函数的性质2112221)[()1(21exp{121),(σμρρσπσ----=x y x f ]})())((22222211σμσμσμρ-+---y y x性质1随机变量()21,ξξ的特征函数为),(21t t ϕ，则()()()()()()()()2211212121212121,00,4,)3;,,)2;1)0,0(,,,1)0,0()1t t t t t t t t t t t t R t t ξξϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ===--=≤∈=；）于实平面上一致连续；且对于任意例3：如例2中，得222222221211112121)t ,0()(,)0,()(t it t it et e t t σμξσμξϕϕϕϕ--====由唯一性定理得，)(),(21t t ξξϕϕ分别为正态分布),(211σμN 及),(222σμN 的特征函数，又一次证明了二维正态分布的边缘分布也是正态分布的结论性质2：设2121,,,b b a a 皆为常数，二维随机变量()21,ξξ的特征函数为),(21t t ϕ，则随机变量),(222111b a b a ++ξξ的特征函数为),(2211)(2211t a t a eb t b t i ϕ+性质 3 两个二元分布函数),(),,(211211x x F x x F 恒等的充分必要条件是他们对应的特征函数),(211t t ϕ和),(212t t ϕ恒等性质4 随机变量1ξ与2ξ相互独立的充分必要条件为()21,ξξ的特征函数)()(),(212121t t t t ξξϕϕϕ⋅=性质5 设随机变量()21,ξξ的特征函数为),(21t t ϕ，b a a ,,21为任意常数，则b a a ++=2211ξξη的特征函数为()),(21t a t a e t itb ϕϕη=特别（1）1ξ与2ξ相互独立时，有())()(2121t a t a et itbξξηϕϕϕ⋅=（2）对于0,121===b a a ，则21ξξη+=的特征函数()),(t t t ϕϕη= 定理4.2.2 设()21,ξξ为二维随机变量，()2121,k kE ξξ存在，则其特征函数),(21t t ϕ的偏导数21212121)(),(k k k k t t t t ∂∂∂+ϕ存在且()2121,k k E ξξ=02121)()(21212121),(==++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂t t k k k k k k t t t t iϕ第三节 相互独立的随机变量和的特征函数定理4.3.1设n ξξξ ,,21为n 个独立随机变量，令∑==ni i1ξη，则∏==ni t t i1)()(ξηϕϕ例1 设n ξξξ ,,21为n 个独立且同为服从两点分布的随机变量，求∑==ni i1ξη的特征函数。