2016年江苏南京市、盐城市高三一模数学试卷

2016年江苏南京市、盐城市高三一模数学试卷

一、填空题（共14小题；共70分）

1. 已知集合，，那么 ______．

2. 已知复数，那么 ______．

3. 已知书架上有本数学书，本物理书，若从中随机取出本，则取出的本书都是数学书的概

率为______．

4. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果的值为______．

S 1

For I From 1 To 7 Step 2

S S+I

Eed For

Print S

5. 某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生抽取

人，其中从高一年级学生中抽取人，则从高三年级学生中抽取的人数为______．

6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上．若曲线经过点

，则其焦点到准线的距离为______．

7. 设，满足约束条件则目标函数的最大值为______．

8. 若某个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为

______．

9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值

为______．

10. 已知等比数列的前项和为，且．若，则的最小值为

______．

11. 如图，在中，若，，，则的值为______．

12. 在平面直角坐标系中，已知过点的直线与圆相交于，

两点．若恰好是线段的中点，则直线的方程为______．

13. 已知是定义在上的奇函数，且，函数，

若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______．

14. 若函数的图象上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角

三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是______．

二、解答题（共6小题；共78分）

15. 设函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求的取值范围．

16. 如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，

，是棱的中点．

（1）求证： 平面；

（2）求证：平面平面．

17. 如图，，是两个垃圾中转站，在的正东方向处，直线的南面为居民生活

区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发电厂．垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（，，可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，且比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民生活区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）．现估测得，两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为和，问：垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?

18. 如图，在平面直角坐标系中，设是椭圆上一点，从原点向圆

作两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，．

（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程．

（2）若．

①求证：；

②求的最大值．

19. 已知函数的图象在处的切线方程为．

（1）求实数的值；

（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；

（3）若函数的两个零点为，，试判断的正负，并给出证明．

20. 设数列共有项，记该数列前项，，，中的最大项为，该数

列后项，，，中的最小项为，．

（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；

（2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；

（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是逐项递增的，并给出证明．

答案

第一部分

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

第二部分

15. （1）由图象知，，

又，，所以，得．

所以，将点代入，得，

即，又，所以．

所以．

（2）当时，，

所以，即．

16. （1）在中，因为是的中点，是的中点，

所以．

又平面，平面，所以 平面．（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，又，即，而面，且，

所以面．

而面，所以，

又是正方形，所以，而面，且，所以面．

又面，所以面面．

17. 方法一：由条件①得，．

设，，

则，

所以点到直线的距离

所以当，即时，取得最大值．

即垃圾发电厂的选址应满足，．

方法二：如图，以所在直线为轴、线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，，．

由条件①得，．

设，则，

化简得，，

即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆且位于轴上方的半圆，

则当时，点到直线的距离最大，且最大值为．

故点的选址应满足在上述坐标系中，其坐标为即可．

18. （1）因为椭圆的右焦点坐标为，

所以圆心的坐标为，

所以圆的方程为．

（2）①因为圆与直线相切，

，

即．

同理，有，

所以，时方程的两个根，

所以．

②设点的坐标为，点的坐标为，

联立

解得，．

同理，，

所以

当且仅当时取等号，

所以的最大值为．

19. （1）由题意得，，

因为函数在处的切线方程为，

所以，得．

（2）由（1）知对任意的恒成立，所以，即对任意的恒成立，所以．

又不等式整理可得，

令，

所以．

令，得．

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减．

所以．

综上所述，实数的取值范围是．

（3）结论是 .

证明：

由题意知函数，

所以，

易得函数在上单调递增，在上单调递减，

所以只需证明即可．

因为，是函数的两个零点，

所以两式相减得．

不妨令，