二维随机变量及条件分布
第三章 第二节 二维随机变量的独立性
§3.2 二维随机变量的独立性与条件分布1`二维随机变量的独立性定义3.2.1 设(,),(),()X Y F x y F x F y 依次为(,),,X Y X Y 的分布函数,若对任意实数,x y 都有(,)()()X Y F x y F x F y =则称两个随机变量X 与Y 相互独立.(1) 离散型随机变量的独立性定义3.2.2如果（X,Y ）是二维离散型随机变量，如果对于它们的任意一对取值i x 及j y ，对（X ，Y ）的任意一对取值(),i j x y ，都有{,} {} { } i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== i ，j =1，2，… (3.2.2) 则称离散型随机变量X 和Y 是独立的。
例3.2.1例3.1.1中两个随机变量X 与Y 是相互独立吗? 解 由例3.1可得2222210,,,915p p p ⋅⋅===显见22 2..2,p p p ≠⋅因此X 与Y 不独立.(2) 连续型随机变量的独立性定义3.2.3 如果（X,Y ）是二维连续型随机变量，其联合概率密度为p (x,y ),则X 与Y 也都是连续型随机变量，它们的概率密度分别为(),()X Y p x p y , 若对任意实数,x y 都有(,) (),()X Y p x y p x p y = 则称连续型随机变量X 和Y 是独立的。
例3.2.2本章第一节例3.2中随机变量X,Y 的边缘概率密度分别为p X (x )=⎰+∞∞-p (x,y )dy=2()2042, 0,0, x y x edy e x +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.p Y (y )＝⎰+∞∞-p (x,y )dx=2()2y 04x 2, y 0,0, x y ed e +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.显然有 p (x,y )＝p X (x )·p Y (y )， 所以X,Y 相互独立。
第05章 二维随机变量
第五章 二维随机变量第一节 二维随机变量及其分布一、二维随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 、Y 均为S 上的一维随机变量，称二维向量X ),(Y X =为S 上的二维随机变量.2、X 的分布：}{B P ∈X , 2B ∈B . 其中可证：=∈}{B X F ∈∈∈},))(),((|{S e B e Y e X e .若取},|),{(2121y y y x x x y x B ≤<≤<=，那么},{}{2121y Y y x X x P B P ≤<≤<=∈X},{22y Y x X P ≤≤=},{21y Y x X P ≤≤- },{},{1112y Y x X P y Y x X P ≤≤+≤≤-.3、分布函数(1)定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量,R ∈∀y x ,,规定：},{),(y Y x X P y x F ≤≤=. 称),(y x F 为),(Y X 的分布函数.显然: },{2121y Y y x X x P ≤<≤<),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=.(2)性质① R ∈∀y x ,,1),(0≤≤y x F .② ),(y x F 关于y x ,均为单调不减函数.③ 0),(=-∞y F ,0),(=-∞x F ,0),(=-∞-∞F ,1),(=+∞+∞F . ④ ),(y x F 关于y x ,均为为右连续函数.⑤ R ∈<<∀2121,y y x x ,0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F .注：①~⑤为分布函数的特征性质.反之亦然.例1掷硬币三次，X 表示出现正面的次数，|)3(|X X Y --=，求),(Y X 的分布函数),(y x F .解:(1) X 的所有可能取值为3,2,1,0,依次记为4321,,,x x x x ,Y 的所有可能取值为3,1,依次记为21,y y .列表如下X样 本 点Y0 (反反反)3 1 (正反反) (反正反) (反反正) 1 2(正正反) (正反正) (反正正)13 (正正正)3(2) 概率情况列表 81},{21===y Y x X P ，83},{12===y Y x X P ， 83},{13===y Y x X P ,81},{24===y Y x X P ，其他0},{===j i y Y x X P .(3)求分布. 记}2,1 ,3,2,1|),{(===j i y x A j i ,YX1 3 0 0 8/1 1 8/3 02 8/3 0 38/1A B BA B +=, 显然φ=∈}),{(A B Y X ，那么}),{(}),{(}),{(A B Y X P BA Y X P B Y X P ∈+∈=∈∑∈===∈=By x j i j i y Y x XP BA Y X P )(,},{}),{((4)求分布函数. ∑≤≤===≤≤=yy x x j i j i y Y x XP y Y x X P y x F ,},{},{),(.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥<≤<≤≥≥<≤<≤<≤≥<≤<<<<=.3 ,3 1, ,3 ,32 ,8/7 ;31 ,3 ,8/6 ;3 ,21 ,8/4 ;31 ,21 ,8/3 ;3 ,10 ,8/1;3 ,1 1 0 0,),(y x y x y x y x y x y x y x y x y x F 或或二、边缘分布1、),(Y X 关于X 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F x X P x F y X +∞→=≤=.证明：取}{},{},{x X Y x X n Y x X A n ≤=+∞<≤→≤≤=不减,由①②知),(lim y x F y +∞→存在,故)(}{)lim ()(lim ),(lim ),(lim x F x X P A P A P n x F y x F X n n n n n y =≤====∞→∞→∞→+∞→.2、),(Y X 关于Y 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F y Y P y F x Y +∞→=≤=. (略)三、随机变量相互独立、定义：设),(y x F 为),(Y X 的分布函数，X 、Y 的分布函数分别为 )(x F X 、)(y F Y ，若R ∈∀y x ,，恒有=),(y x F )(x F X )(y F Y ， 则称X 与Y 相互独立.2、X 与Y 相互独立⇔R ∈<<∀2121,y y x x ，恒有}{}{},{21212121y Y y P x X x P y Y y x X x P ≤<≤<=≤<≤<.证明：“⇐” R ∈∀y x ,，由于},{},{y Y x X y Y n x X n ≤≤→≤<-≤<-, }{}{x X x X n ≤→≤<-, }{}{y Y y Y n ≤→≤<-均不减,则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=},{lim y Y n x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{}{[lim y Y n P x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{lim }{lim y Y n P x X n P n n ≤<-≤<-=∞→∞→)()(}{}{y F x F y Y P x X P Y X =≤≤=.“⇒”R ∈<<∀2121,y y x x ,有 },{2121y y x x P ≤<≤<ηξ ),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=)()()()()()()()(11122122y F x F y F x F y F x F y F x F Y X Y X Y X Y X +--= )]()()][()([1212y F y F x F x F Y Y X X --= }{}{2121y y P x x P ≤<≤<=ξξ.3、X 与Y 相互独立⇔R ⊂∀21,B B ，恒有}{}{},{2121B Y P B X P B Y B X P ∈∈=∈∈.第二节 二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量 1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量，若),(Y X 的取值为有限个或可数个(至多可数)，称),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量. 显然：),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量⇔X 与Y 均为S 上的一维离散型随机变量.2、概率分布：设),(Y X 所有可能取的值为),(j i y x ，令 },{j i ij y Y x X P p ===,称其为二维随机变量),(Y X 的概率分布(分布率)。
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式二维随机变量的概率分布函数（probability distribution function，简称PDF）是用来描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。
在概率论与数理统计中，我们经常需要对二维随机变量的分布进行建模和分析，因此掌握二维随机变量分布的公式是非常重要的。
一、离散型二维随机变量分布公式对于离散型二维随机变量，其取值只能是有限个或者可列个。
假设随机变量(X,Y)的可能取值为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，其对应的概率为{P(X=x1,Y=y1),P(X=x2,Y=y2),...,P(X=xn,Y=yn)}。
离散型二维随机变量的分布可以用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述，其计算公式为：P(X=x,Y=y) = P(X=xk,Y=yk) for (x,y) = (xk,yk)其中，xk和yk分别为二维随机变量(X,Y)的取值。
二、连续型二维随机变量分布公式对于连续型二维随机变量，其取值可以是任意实数。
假设随机变量(X,Y)的概率密度函数（probability density function，简称PDF）为f(x,y)，则对于任意给定的区域A，有：P((X,Y)∈A) = ∬Af(x,y)dxdy其中，(X,Y)∈A表示(X,Y)在区域A内取值，∬表示对区域A进行二重积分。
从而，我们可以通过计算二重积分来求得连续型二维随机变量的概率。
三、二维随机变量的边缘分布边缘分布是指在二维随机变量(X,Y)的分布中，将其中一个随机变量的取值固定下来，对另一个随机变量的分布进行描述。
对于离散型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过将概率加和。
对于连续型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过对概率密度函数进行积分。
1. X的边缘分布：P(X=x) = ∑P(X=x,Y=y) for all y（离散型）, f_x(x) = ∫f(x,y)dy（连续型）2. Y的边缘分布：P(Y=y) = ∑P(X=x,Y=y) for all x（离散型）, f_y(y) = ∫f(x,y)dx（连续型）四、二维随机变量的条件分布条件分布是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，对该随机变量的分布进行描述。
2.4 概率论——二维随机变量的独立性
y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的 边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的 边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目 标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表 首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定
概率论与数理统计§3.1 二维随机变量及其函数;§3.2 二维随机变量的分布
2. 性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x, y ) d x d y F (, ) 1.
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X a, Y c P (a X , c Y )
1 F (, c ) F (a, ) F (a, c )
(+,c)
x
例2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
例如，在例4中
1 1 F (1, 2) P{ X 1, Y 2} p11 p12 0 . 3 3
3.2.3 二维连续型随机变量 1.定义
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B C 1 2 2 y F (, y ) A B C arctan 0 2 2 x F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 1 B ,C , A 2 . 2 2 1 x y (2) F ( x, y ) 2 ( arctan )( arctan ) 2 2 2 2
第三章 二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξΛ2、重要公式和结论例3．1 二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D求X 的边缘密度f X (x)例3．3：设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立。
例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3, f Y (y)=4y-4y 3，不独立。
例3．5：f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤其他,010,20,2y x Axy例3．6：设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且X ～U （0，1），Y ～e （1），求Z=X+Y 的分布密度函数f z (z)。
例3．7：设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为,6.04.021~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡X 而Y 的概率密度为e(1)，求随机变量U=1+Y X的概率密度g(u)。
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
0
=A/6
所以, A=6
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第22页
例3.3.2
若
(X,
Y)
～
p( x,
y)
6e(2x3y) , 0,
x 0, y 0 其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第23页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x, y)dxdy
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
x1 x2 … xi …
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y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
二维随机变量的条件分布
定义 设X和Y的联合概率密度为 f (x,y), 边缘概率密度为 f X ( x), fY ( y)，则对一切使
f X ( x) 0 的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件
密度函数为 f ( x, y ) f ( x, y) fY | X ( y | x) f X ( x) f ( x, y )dy 同样，对一切使 fY ( y) 0的 y, 定义
离散型r.v的条件分布
定义 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对 定义 于固定的 j，若P(Y=yj)>0，则称 联合分布 P ( X xi ,Y y j ) pi j P(X=xi|Y=yj)= ，i=1,2, … P (Y y j ) p j 边缘分布 为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.
连续型 卷积公式
或f Z ( z )
f X
②若X与Y独立，求Z=aX+bY的概率
密度(a,b为非负常数)
例3.3.5：若X与Y是两个独立的随机变量，都 服从N(0,1)分布。证：Z=X+Y服从N(0,2)分布。
一般
2 , 2 ) 1 , 2 2 2 2 则aX+bY~N( a1 b2 , a 1 b 2 )
f ( x, y ) f ( x, y ) f X |Y ( x | y) fY ( y) f ( x, y )dx
为已知 Y=y下，X的条件密度函数 .
条件密度函数的直观意义
f X |Y ( x | y)dx
P( x X x dx | y Y y dy )
称 FY(y)为( X ,Y )关于Y的边缘分布函数
(2).边缘分布密度
二维随机变量及条件分布
F (x,y)A [Bar(c x)t]C g [ar(c y)t]g
2
3
1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3}
解: F( , )A [B]C []1
F F ( (x , , y )) A A [[B B a 2]r C 2 [ ( x c )aC ] tr 2 g [( 3 y c ] ) t]0 0 gBC2 A12
称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. 边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低 维分量的分布。
27
例1. 已知(X,Y)的分布函数为
1ex xey
F(x,y)1ey yey
0
求 FX(x) 与 FY(y)。
1 ex x 0
解：FX(x)=F(x,)=
0
x0
0xy 0yx
其它
解 (1)X所有可能取的不同值为0,1,2; Y所有可能取的不同值为0,1,2. (X,Y)的分布律为
P{Xi,Yj}2i 2j7223i
j
, 0
i 0,1,2, j 0,1,2, i j 2.
13
分布律也可写成以下表格的形式.
X Y
0
1
2
0 1/7 2/7 1/21
1 2/7 4/21 0
概率论与数理统计
第五讲 二维随机变量
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布
2
3.1 二维随机变量
设 E是一个随机,试 它验 的样本空S间{是 e},
设XX(e)和YY(e)是定义S在上的随机变 , 量
二维随机变量的条件分布
同理，对一切使
的 xi，称
为给定X=xi条件下Y的条件分布律． 概率论与数理统计
❖ 2.条件分布律 1.概念
➢ 例3.5.2 设随机变量(X, Y) 的联合分布律以及边缘分布律为
➢ 求(1)求在X=1的条件下, Y的条件分布律; (2)求在Y=0的条件下, X的条件分布律.
概率论与数理统计
9
❖ 2.条件分布律 1.概念
并称F( x A) 为事件A发生的条件下X的条件分布函数.
概率论与数理统计
3
❖ 1.条件分布函数
1.概念
➢
例3.5.1 设X 服从区间(0, 1)上的均匀分布，求在
发生的条件下
X
的条件分布函数 F
x
X
1 2
.
x
1
2
➢ 解 X的概率密度函数以及分布函数分别为
1, 0 x 1， f ( x) 0, 其他，
➢ 例3.5.2求(1)求在X=1的条件下, Y的条件分布律; (2)求在Y=0的 条件下, X的条件分布律.
➢ 解 (1) 求在X=1的条件下, Y的条件分布律
P(Y 0 | X 1) P( X 1,Y 0) 0.030 6 P( X 1) 0.045 9
P(Y 1 | X 1) P( X 1,Y 1) 0.010 2 P( X 1) 0.045 9
下Y 的条件概率密度为
fY|X ( y | x)
f (x, y) .
fX (x)
➢ 注:在 fX|Y ( x | y) 中y固定, x变动, 是x的函数; 而在 fY|X ( y | x) 中x
固定y变动，是y的函数. 比如，当X和Y分别表示人的身高(单
位：厘米)与体重(单位：kg)时 fX|Y ( x | 60) 刻画了体重为60kg的
第一节 二维随机变量及其分布
xi x y j y
F （4）二维离散随机变量的分布函数为： x , y px i , y j
对单变量 x 或 y 来说都右连续的。 二维连续随机变量的分布函数 F(x , y)是连续函数。
4
几何意义 F(x, y)表示随机点(X, Y)落在以(x, y)为顶 点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。
解 （1 ） f ( x, y ) dxdy 1
0
0
ce
( x y )
dxdy c 0 (e
y
( x y )
)
0
dy
c e dy c(e ) 0
y 0
c1
c 1
（ 2）P ( X Y 1)
x y 1
f ( x, y ) dxdy
17
P ( X Y 1)
1 0
1 y
0
e
( x y ) 1
dxdy
y
x y1
e dy
1 y 0
1 y
0
e
x
dx e y (1 e y 1 )dy
0 y x
x
1 (e y e 1 )dy 1 2e
XY
1
0
1 3
2
1 3 1 3
1
2
7
例3.2 设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能 地取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整 数值，试求（X，Y）的分布律. 解 由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知3，4，j取不大于 i的正整数，且
11 P X i, Y j P Y j | X i P X i , i 4 i 1, 2,3, 4, j i.
二维随机变量的 条件分布
y y
y - y
x
F(x, y) F(x, y y) y
lim
y0
FY ( y) FY ( y y) y
F (x, y)
x
y
dFY ( y)
f (u, y)du
fY ( y)
dy
f (x, y)连续
fX (x)
dx
y
f (x,v) dv fX (x)
为X = x 的条件下Y 的条件分布函数，记作
f (x, y) FY X ( y x),称 f X (x) 为X = x 的条件下Y 的 条件概率密度函数，记作 fY X ( y x)
注意： FX Y (x y), f X Y (x y) 是 x 的函数, y 是常数, 对于每一 f Y (y) > 0 的 y 处，只要符合定义 的条件，都能定义相应的函数.
p2 (1 p)n2 p(1 p)m1
p(1 p)nm1
n m 1,m 2,
二维连续型随机变量的条件分布函数和 条件密度函数
设二维连续型随机变量(X,Y )的 联合分布函数为F (x,y), 联合密度函数为 f (x,y)
X 的边缘分布函数为FX (x), 边缘密度函数为 f X (x)
Y 的边缘分布函数为FY (y), 边缘密度函数为 f Y (y)
m 1,2,,n 1; n 2,3, 或 (m 1,2,; n m 1,m 2,)
边缘分布律为
P( X m) p2 (1 p)n2 nm1
p2 (1 p)m1 p(1 p)m1 1 (1 p)
m 1,2,
n1
P(Y n) p2 (1 p)n2
二维随机变量及其分布
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ③ F(x,y)关于x、关于y 右连续
F(x0
0,
y)
lim
xx00
F(x,
y)
F(x0
,
y)
F(x,
y0
0) lim yy00
F(x,
y)
F(x,
y0
)
整理课件
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ④ F(, ) lim F(x,y)0
2
1
x 1, y 1
整理课件
§5.3 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量及联合密度函数
1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函 数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有
yx
F(x,y) f(x,y)dydx
则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二 维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数. 2．概率密度f(x,y)的性质
第五章 二维随机变量及其分布
➢ 二维随机变量及分布函数 ➢ 二维离散型随机变量 ➢ 二维连续型随机变量 ➢ 边缘分布 ➢ 随机变量的独立性 ➢ 条件分布
整理课件
§1.1 二维随机变量及分布函数
一、 二维随机变量 一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二 维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而 确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维 随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为 二维分布
1
2
9P(X=2,Y=1)=2/9 1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/ 2 2/9
4/9
9
整理课件
§5.2 二维离散型随机变量
二维随机变量
1
例3:将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，已 在例1中求了(X,Y)的联合分布律，现求二维随机 变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.
X0
1
2
3 p. j
Y
1
0 3/8 3/8 0 6/8
求（X1 ,X2）的联合分布律及边缘分布律。 假设： （1）采取有放回取球方式 （2）采取不放回取球方式 （3）通过此题你得出何结论?
FX ( x) P( X x,Y ) F( x,)
x
x
dx f ( x, y)dy ( f ( x, y)dy)dx
固定x
同理:
固定y
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
即 F（x，y）= F（x+0，y） F（x，y）= F（x，y+0）
2. 二维离散型随机变量的联合分布
定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值 是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维 离散型随机变量。
中心问题：(X,Y)可能取哪些值？ 它取这些值的概率分别为多少？
二维（X，Y）的联合分布律:
6e2x3 y , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
求( X ,Y )关于X与Y的边缘概率密度。
解：当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
=0
当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
6e 2x3 y dy 6e 2 x e 3 y dy 2e 2 x
(2) pij 1
ij
例1： 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”， 试求(X,Y)的联合分布律。
第五章 二维随机变量及其分布
∫
y
p(u, v )dudv .
则称（ 则称（X,Y）为二维连续型随机变量,p(x,y)称为 为二维连续型随机变量, （X,Y）的联合密度（函数）。 的联合密度（函数）。 偏导存在的点处有： 注：在F(x,y)偏导存在的点处有： ∂2 p( x, y) = F( x, y). ∂x∂y
1 1 2 + P ( X = 2,Y = 2) = 0 + + = . 3 3 3
2011-11-8 皖西学院 数理系 13
一口袋装有3个球 分别标有数字1，2，2， 个球， 例2 一口袋装有 个球，分别标有数字 从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球。 从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球。
变量分成离散型、连续型及混合型， 变量分成离散型、连续型及混合型，主要研究离 散型和连续型的随机变量。 散型和连续型的随机变量。
2011-11-8 皖西学院 数理系 3
二、二维随机变量的分布函数 定义：设有二维随机变量( X ,Y ), 对∀x, y ∈ R, 称概率 P( X ≤ x,Y ≤ y)为随机变量( X ,Y )的联合分布函数。记 概 率 作：F ( x, y), 即 F ( x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y).
概 率 论 与 数 理 统 计
x1 < x2 ⇒ F ( x1 , y) ≤ F( x2 , y);
y1 < y2 ⇒ F ( x, y1 ) ≤ F ( x, y2 ) .
有界性: 有界性:
0 ≤ F ( x, y) ≤ 1; F (−∞, y) = 0, F ( x, −∞) = 0, F (+∞, +∞) = 1.
xi
M
二维离散型随机变量的条件分布列
x (1 y ) dy, x 0, e x , x 0, 0 xe f ( x, y)dy x 0, x 0, 0, 0,
fY ( y)
x (1 y ) dx, 0 xe f ( x, y)dx 0,
pij pi
,
j 1,2,...
为X＝ xi 的条件下随机变量Y 的条件分布列
性质： （1） P{X xi | Y y j } 0 ，
1 （2） P{ X xi | Y y j } p j i 1 i 1 p j
例 3-16 已知 ( X , Y ) 的分布列为
为在X=x 条件下Y 的条件概率密度
例3-17 已知(X, Y )的概率密度为
xe x (1 y ) , x 0, y 0 f ( x, y ) 其它 0, 求： f X |Y ( x | y)，fY | X ( y | x)及P{Y 1| X 3}
解 由于
f X ( x)
§3.3
3.3.1
条件分布
离散型随机变量的条件分布列
定义1 设随机变量 X 与 Y 的联合分布列为
(X, Y )～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，
X 和Y 的边缘分布列分别为
P{X xi } pi pij
j 1
i 1,2,...
j 1,2,...
f X ( x)
x x x 0 e dy, x 0 xe , x 0 f ( x, y)dy 其他 其他 0, 0,
当 x 0 时， Y 的条件概率密度为
二维随机变量的条件分布
作业： 75页 1, 4
率——条件概率
1. d.r.v.的条件分布列
设 的分布律为 考虑在 已发生的条件下 发生的条件概率
由条件概率公式，有
同理在 已发生的条件下 发生的条件概率
1. d.r.v.的条件分布列
定义： 对于固定的 若
则称
为在 的条件下 的 对于固定的 若
条件分布列. 则称
为在 的条件下 的 条件分布列.
例1 设 从 四个数中等可能取值,又设 从 中等可能取值.问当第二次取到数字 时第一次取四 个数字的可能性各是多少？
条件分布是指二维r.v.中一个分量取某个定值的
条件下，另一个变量的概率分布.
回顾 条件概率公式
P(A |
B)
P( AB) P(B)
(P(B) 0)
设 ( X ,为Y )二维 r.v , y R1 考虑条件概率
P{X x | Y y} (x R1)
能否由这可条视件为在概{Y率=y}定发生义的计条件算下{X≤x}的概
求条件概率密度 fX |Y (x | y) 解： (X ,Y ) 的密度及 Y 的边缘密度分别为
f
(x,
y)
1/,
0,
x2 y2
其它
1
y 1 y
fY
( y)
f
(x,
y)dx
1
O
x 1
故当 1 y时有1
1 y 2
1 y 2
1
dx,
|
y |1
G
1
f X |Y
(x
|
y)
f (x, y)0,
f2Y2(源自y1)y1 0, 1 y2
《概率学》3.4二维随机变量的条件分布
第4节 多维随机变量的条件分布
第三章 多维随机变量及其分布
例2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求
fY X ( y x).
当 – r < x < r 时，
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
2
1 ,
r2 x2
0,
r2 x2 y 其他
r2 x2
f
(x,
y)
1 / 0,
x,
0 x 1,0 y x;
其他.
1 5
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第4节 多维随机变量的条件分布
第三章 多维随机变量及其分布
练习对于随机向量(X,Y)已知
fY
X (y
x)
2y
1
x
2
,
0,
x y 1
4x(1 x2 ),
fX (x)
其他
0,
求Y在X=0和X在Y=1条件下的条件概率分布.
X
Y
1
2
3 P(X=xi)
0
0.1
0.2
0.3 0.6
1
0.1
0.2
0.1 0.4
解 再计算 (X, Y)关于Y的边缘概率分布
由公式
P{Y xi
X
yj}
pi j p j
i 1, 2,
得在Y=1条件下X的条件概率分布为：
X|Y=1 0
1
pi| j
1
2
求P{X+Y≥1}，
P{Y<0.5},
P Y
2 3
X
1 2
0 x 1 其他
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29
p11 p21 p12 p22
p1 j
p2 j
pi1
pi 2
pij
P{ X xi } pij , i 1,2, ;
j1
P{Y y j } pij , j 1,2, .
i 1
30
例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。
13
分布律也可写成以下表格的形式.
X Y
0
1
2
0 1/7 2/7 1/21
1 2/7 4/21 0
2 1/21 0
0
14
(2)
15
四.二维连续型随机变量及其密度函数 1、定义
对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负 函数f (x, y)，使对(x, y)R2， 其分布函数
则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为 (X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密 度函数，可记为
9
例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3}
解:
10
三.联合分布律
若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列对值(xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 称 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij , (i, j＝1, 2, … )，为二维离 散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的 联合分布律. 可记为
36
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布
37
3.3 条件分布
问题
38
一.离散型随机变量的条件分布律 设随机变量X与Y的联合分布律为
(X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )， X和Y的边缘分布律分别为
8
(3)右连续 对任意xR, yR,
(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)0.
反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都 可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
x\y 1 0
1 1/10 3/10
解：
0 3/10 3/10
x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5
0 3/10 3/10 3/5
p.j 2/5 3/5
故关于X和Y的分布律分别为：
X1 0
Y1 0
P 2/5 3/5
P 2/5 3/5
31
三、边缘密度函数 设(X, Y)～f (x, y), (x, y)R2, 则称
概率论与数理统计
第五讲 二维随机变量
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布
2
3.1 二维随机变量
图示
3
一、多维随机变量
1.定义 将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维 向量 (X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。
27
例1. 已知(X,Y)的分布函数为
求 FX(x) 与 FY(y)。 解：FX(x)=F(x,)=
FY(y)=F(,y)=
28
二、边缘分布律 若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 则称
为(X, Y)关于X的边缘分布律；
39
若对固定的j, p.j>0, 则称
为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律; 同理，对固定的i, pi. >0, 称
为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律;
40
例1
41
解 由上述分布律的表格可得
42
43
例2 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0<p<1), 射 击到击中目标两次为止.设以X 表示首次击中目标所进 行的射击次数, 以Y 表示总共进行的的射击次数. 试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.
3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布
26
3.2 边缘分布
一、边缘分布函数
称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；
称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. 边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低 维分量的分布。
为(X, Y)关于X的边缘密度函数； 同理，称
为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。
32
边缘分布函数
33
例3.设(X,Y)的概率密度为
(1)求常数c; (2)求关于X的边缘概率密度fX(x)
和边缘分布函数FX(x) 解: (1)由归一性
34
35
例4. 设(X,Y)的概率密度为 (1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.
(x1, y2)
(x2, y2)
(x1, y1)
(x2, y1)
7
分布函数F(x, y)具有如下性质： (1)归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, 且
(2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1<y2时， F(x, y1) F(x , y2).
(X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，
11
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
Y X
y1 y2 … yj …
x1 p11 p12 ... p1j ... x2 p21 p22 ... p2j ...
... ...
... ... ... ... ... ...
xi
pi1 pi2 ... pij ...
联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j＝1, 2, … ；
(2)
12
例2 袋中有2只黑球、2只白球、3只红球，在其中任取2只球. 以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数.
(1)求(X,Y)的分布律. (2)求概率 解 (1)X所有可能取的不同值为0,1,2; Y所有可能取的不同值为0,1,2. (X,Y)的分布律为
则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。 易见，若 (X, Y) 在区域D上(内) 服从均匀分布, 对 D内任意区域G, 有
21
例4.设(X,Y)服从如图区域D 上的均匀分布，
(1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ； (3)求F(0.5,0.5)
解:
SD 1
22
H
23
(2)二维正态分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
(X, Y)～ f (x, y)， (x, y)R2
16
2、联合密度f(x, y)的性质 (1)非负性： f (x, y)0, (x, y)R2; (2)归一性：
反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y)，必 是某个二维连续型随机变量的密度函数。
17
此外，f (x, y)还有下述性质 (3)若f (x, y)在(x, y)R2处连续，则有 (4)对于任意平面区域G R2,
又知边缘概率密度为
51
例4 解
52
53
多维随机变量
离散型
连续型
边缘分布 条件分布
边缘分布 条件分布
54
作业
p.84 2，9，11
55
实例2 考查某一地 区学前儿童的 发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).
说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X、Y 有
关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
5
二. 联合分布函数
设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=P{Xx, Yy}
18
例3. 设 求：(1)常数A；(2) F(1,1)； (3)(X,Y)落在三角形区域 D:x0,y0,2x+3y6 内的概率。
解 (1) 由归一性
19
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。 解
20
3. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布* 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
解
44
现在求条件分布律． 由于
45
46
二 连续型随机变量的条件概率密度
定义. 给定y，设对任意固定的正数>0，极限
存在，则称此极限为在条件下X的条件分布函数. 记作
可证当
时
47
若记 fX|Y(x|y) 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则
当
时
类似定义，当
时
48
请同学们思考 答
49
例3
解
50
为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。
几何意义：分布函数F( x0,y0) 表示随机点(X,Y)落在区域
中的概率。如图阴影部分：
6
对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ),则 P{x1<X x2， y1<Yy2 }
＝F(x2, y2)－F(x2, y1)－ F (x1, y2)＋F (x1, y1).