第三章力学量用算符表达

合集下载

第3章 力学量用算符表达:习题解答

第3章 力学量用算符表达:习题解答

第3章 力学量用算符表达习题3.1 下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数,其本征值是什么?①2x , ② x e , ③x sin , ④x cos 3, ⑤x x cos sin +解:①2)(222=x dxd∴ 2x 不是22dxd 的本征函数。

② x xe e dxd =22∴ xe 是22dxd 的本征函数,其对应的本征值为1。

③x x dx dx dxd sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见,x sin 是22dx d 的本征函数,其对应的本征值为-1。

④x x dx dx dxd cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22dxd 的本征函数,其对应的本征值为-1。

⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x xx x x dxd x x dx d +-=--=-=+) ∴ x x cos sin +是22dxd 的本征函数,其对应的本征值为-1。

3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπαψ22022),(--=,求:(1)势能的平均值2221x V μω=; (2)动能的平均值μ22p T =.解:(1) ⎰∞∞--==dx e x x V x2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221 ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dxd e x x22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα ][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的,说明其理由。

第三章 力学量用算符表达

第三章 力学量用算符表达
ˆ ˆ ˆ BA ˆ BA ˆ B ˆA ˆ ˆ ˆC ˆ ˆC ˆC ABC
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ ] ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ]C ˆ[ A [A


任意
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ x , x ] i [ p
i x x i i x x x ( 任意) x ˆ x p x
(7)逆算符
ˆ 设 A ˆ 之逆 能够唯一地解出, 则可定义算符 A 1 为: ˆ A
c1 、c2为常数
~ ˆ 的转置算符 A ˆ 定义为: A ˆ * dr * A

思考:常 数算符的 转置?
ˆ ) ( *, A ˆ *) ( , A
与是任意两波函数。 可以证明,
ˆ ˆ ) BA ˆˆ ( AB
(课外作业)
上面的第四式称为Jacobi 恒等式。
思考:
ˆ, A ˆ] ? ˆ C [B ˆ] ? ˆ ˆ, A [ BC
本节例题
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A 例题1:证明 [ A
证明:
ˆ , BC ˆ ˆ ˆ BCA ˆ ˆ ] ABC ˆ ˆ ˆ [A
(1)线性算符
满足如下运算规律的算符Â 称为线性算符: Â(c1ψ1+c2ψ2)= c1 Â ψ1+c2 Â ψ2
其中c1, c2是任意复常数,ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如:
动量算符 单位算符
ˆ i p ˆ I
是线性算符。

曾谨言量子力学第3章

曾谨言量子力学第3章
ˆ O ˆ iO ˆ O 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 令 O (O O ), O (O O ) 2 2i

则O+和O-均是厄米算符。
定理: 在体系的任何状态下,厄米算符的平均值必为实数。 证明:
ˆ ( , A ˆ ) ( A ˆ , ) ( , A ˆ ) A ˆ A
ˆ A ˆ A
(41)
Note: 所有力学量的算符均是厄米算符 性质: (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符 (3)无论厄米算符A,B是否对易,算符
1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆ ˆ ˆˆ ( AB BA), ( AB BA) 均是厄米算符 2 2i
(4)任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合
球坐标系下的角动量算符 r x 2 y 2 z 2 x r sin θ cosφ 2 2 y r sin θ sin φ , θ arctan( x y / z ) z r cosθ φ arctan(y / x ) ˆ l x i sin φ θ cotθ cosφ φ ˆ l y i cosφ θ cotθ sin φ φ ˆ l z i φ 2 1 1 ˆ2 2 l sin θ θ sin θ θ sin 2 θ φ 2
如 算符A 则
ˆ ˆ p (i) i p
的厄米共轭算符A+定义为

ˆ φ ) ( A ˆ ψ ,φ ) (ψ , A

(41)
~ ˆ φ ) (A ˆ ψ , φ ) (φ , A ˆ ψ ) (φ , A ˆ ψ ) (ψ , A ˆ φ) (ψ , A

量子力学习题解答-第3章

量子力学习题解答-第3章
一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本征函数系,它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量 ,不可能同时得到确定值,它们的标准差满足不确定原理
2. 广义统计诠释
设力学量 具有分离谱的正交归一本征函数系 本征值为 ,即

这个本征函数系是完备的,即 (恒等算符,封闭型),任意一个波函数可以用这个本征函数系展开
*习题证明如果对于所有(希尔伯特空间中)的函数 都有 ,那么,对于所有的 和 就有 (即,两种对于厄密算符的定义—等式和—是等价的)。提示:首先设 ,然后令 。
证明:
若对于Hilbert空间中任意函数 ,都有


,其中 是一任意常数(复数)
我们有
上式对任意常数 都成立, 分别取 ,有
两式相加得到所要结果
证明:假设 和 (即: 是 和 的共同本征方程),并且函数集 是完备的,因此任意(Hilbert空间中的)函数 都能表示成 线性叠加 ,那么有
因为上式对任意的 都成立,所以得到 ,这显然与所给条件矛盾,所以两个非对易算符不能具有共同的完备本征函数系。
习题求式所给方程
的解。注意 和 都是实常数。
解:
习题在下面的具体例子中应用公式 :(a) =1;(b) ;(c) ;(d) 。在每种情况下,解释结果,特别是参考公式,,和能量守恒(式后的评注)。
(c)在这个基中,求出算符 里的9个矩阵元,并写出矩阵 。它是厄密矩阵么
解:(a) ;
(b)
(c)
显然它不是厄密矩阵。
习题一个两-能级体系的哈密顿为:

这里 , 是正交归一基, 是量纲为能量的一个实数。求出它的本征值和归一化的本征矢(用 和 的线性迭加)。相应于这个基表示 的矩阵 是什么

量子力学 第三章3.6算符与力学量的关系

量子力学 第三章3.6算符与力学量的关系

定 已归一)
ˆ F C d Fdx
2
ˆ 证明: F dx

C d


ˆ [( C ' ' d' )F ( C d )]dx
' ˆ = C ' C [ ' F dx ] dd
n
C 其中: n n dx ; C dx ;
C
n
2
2
2 n
C d 1 ;
2
C n 为在 ( x ) 态中测 F 得 n 的几率;
C d 为在 ( x ) 态中测 F 得 d 在范围内的
几率;
平均值公式: F
代表的力学量的 F 关系如何?这需引进新的假设,适 合于一般情况,且不能与假定2相抵触,应包含它。
ˆ (1)F的 n 平方可积 ˆ 若 F 是满足一定条件 (2)F的 级数收敛 的厄米算符, ˆ n 且它的正交归一的本征函数系 1 (x)、 2 ( x) … n ( x ) …
即:C ( x ) ( x )dx
(同理可得二、三维的结果)
可见: 力学量在一般的状态中没有确定值, 而有许多可能值, 这些可能值就是表示这个力学量算符的本征值的集合, 且每 个可能值都以确定的几率出现。
三、平均值公式 在 ( x ) 所描写的状态中,F 在 ( x )态的统计平均 值(由几率求平均值)为
ˆ F n C n ( x )F ( x )dx
2 n
dx 1 ) (假定
ˆ ( x )dx 代入完全性 证明: ( x )F

量子力学第三章算符

量子力学第三章算符

第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ,用算符表示为:ˆFuv = (3.1-1) ˆF 称为算符。

u 与v 中的变量可能相同,也可能不同。

例如,11du v dx=,22xu v =3v =,(,)x t ϕ∞-∞,(,)x i p x hx edx C p t -=,则ddx,x dx ∞-∞⎰,x ip x he-⋅都是算符。

1.算符的一般运算(1)算符的相等:对于任意函数u ,若ˆˆFuGu =,则ˆˆG F =。

(2)算符的相加:对于任意函数u ,若ˆˆˆFuGu Mu +=,则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

(3)算符的相乘:对于任意函数u ,若ˆˆˆFFu Mu =,则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =,则称ˆF 与ˆG 对易。

2.几种特殊算符 (1)单位算符对于任意涵数u ,若ˆIu=u ,则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与1是等价的。

(2)线性算符对于任意函数u 与v ,若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称ˆF 为反线性算符。

(3)逆算符对于任意函数u ,若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆG F -=,111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程:ˆ()()Fux af x =,其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符,a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和,即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =,所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来,在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分,但如果当a=0时,υ=0,则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==,从而由ˆFvaf =得:1ˆF af υ-=。

量子力学--力学量用算符表示与表象变换 ppt课件

量子力学--力学量用算符表示与表象变换  ppt课件

ppt课件

4
2、算符的运算性质 (1)算符相等:
若 Aˆ Bˆ
★算符的运算离不开 对波函数的作用
对于任意的波函数都成立
则 Aˆ Bˆ
(特例:若I ,则I 称为单位算符)
(2)算符相加: (Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
这是算符最基本的运算。
ppt课件
5
交Байду номын сангаас律和结合律:
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ Aˆ (Bˆ Cˆ) (Aˆ Bˆ) Cˆ
用在任意波函数上,看它们是否相等。
若相等,则对易;否则,不对易。
比如将要讨论的位置算符 x 和动量算符 pˆ x 的对易关系。
ppt课件
7
因为对任意波函数ψ :
xpˆ x
ix
d
dx

pˆ x x
i d dx
(x )
i( x d ) i ix d
dx
dx
那么
xpˆ x pˆ x x i
Hˆ pˆ 2 V (r) 2m
2 2 V (r) 2m
其中动量算符 pˆ i,

pˆ x
i x
又如前面引进的能量算符
Hˆ i 等 t
ppt课件
2
§3.1 算符的运算规则
1、算符的定义
表示运算的符号叫算符,又叫作用量

d, dx

, ( )*等
线性算符:
如果算符 Â 满足下列条件
Aˆ(c11 c2 2 ) c1Aˆ 1 c2 Aˆ 2
第三章 力学量用算符表示 与表象变换
前面我们学习了两个量子力学的基本原理
1)微观粒子体系的状态可以用波函数来表示;
2)描述微观粒子运动状态的方程是薛定谔方程;

算符与力学量的关系_第三章

算符与力学量的关系_第三章


2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
e

i pr cos
r drd cos
2 i pr
p(2a0 )
3
re
0

r a0
[e

i pr
e
]dr
8
3.6 算符与力学量的关系(续8)

a p
2 0 2
( 2a 0 ) 2
3
2 2
2
3.6 算符与力学量的关系(续2)
| Cn |2 具有概率的意义,它表示在 态中测量力学量 F 得到结果是 n 本征值的几率,故 Cn 常称为概率幅
基 本 假 设
量子力学中表示力学量的算符都是厄米算 符,它们的本征函数 组成完全系。当体系 处于波函数 所描写的状态时,测量力 ˆ 学量 F 所得的数值,必定是算符 F 的本征值 之一,测得值为其本征值 n 的概率是 | Cn |2

C p 与动量值 P 的大小有关,与 p的方向无关, 由此得到动量 的概率分布 p
W ( p) C p
2
a p
2 2 0 2
8a
3 5 0
2 4

9
3.6 算符与力学量的关系(小结)
厄米算符本征函数组成正交、归一的完全函数系
任意函数可以用这些本征函数做线性展开(态叠加 原理)
① 此假设的正确性,由该理论与实验结 注 果符合而得到验证 意 ② 一般状态中,力学量一般没有确定的数 值,而是具有一系列的可能值,这些可能值 就是该力学量算符的本征值,测得该可能值 的概率是确定的
3
3.6 算符与力学量的关系(续3)

量子力学讲义第3章

量子力学讲义第3章

第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。

它是量子力学的重点之一,对初学者而言,开始显得比较抽象,因此,应注意习题训练。

3.1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量: ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题:能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值?二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p(注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率)。

以x 分量为例:⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入,有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。

曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-力学量用算符表达】

曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-力学量用算符表达】

第3章力学量用算符表达3.1 设A与B为厄米算符,则和也是厄米算符,由此证明:任何一个算符F均可分解为,F+与F-均为厄米算符.证明:因为即和均为厄米算符而F+与F-显然均为厄米算符.3.2 已知粒子的坐标r和动量p为厄米算符,判断下列算符是否为厄米算符:如果不是,试构造相应的厄米算符.解:对于l=r×P,有同理所以是厄米算符,对于r·P,有所以r·P不是厄米算符,而相应的厄米算符为类似有,本身非厄米算符,但可以构造相应的厄米算符如下:(参见3.8题),本身也非厄米算符,但可以构造相应的厄米算符如下:3.3 设F(x,p)是x和p的整函数,证明整函数是指F(x,p)可以展开成.证明:利用类似可证明.3.4 定义反对易式,证明证明:所以类似所以3.5 设A、B、C为矢量算符,A和B的标积和矢积定义为α、β、γ分别取为为Levi-Civita符号,试验证【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上],4.1题】4.1 设A、B、C为矢量算符,其直角坐标系分量为A=(A x,A y,A z)=(A1,A2,A3)等等,A、B的标积和矢积定义为等等,试验证下列各式:A·(B×C)=(A×B)·C (3)[A×(B×C)]α=A·(BαF)-(A·B)Cα(4)[(A×B)×C]α=A·(BαC)-Aα(B·C)(5)证明:式(3)左端写成分量形式,为其中εαβγ为Levi—CiVita符号,即ε123=ε231=ε312=1ε132=ε213=ε321=-1 (6)εαβγ=α、β、γ中有两个或三个相同式(3)右端也可化成故得验证式(4),以第一分量为例,左端为[A×(B×C)]1 =A2(B×C)3 A3(B×C)2=A2(B1C2-B2C1)-A3(B3C1-B1C3)=A2B1C2+A3B1C3-(A2B2+A383)C1 (8)而式(4)右端第一分量为A(B1C)-(A·B)C1=A1B1C1+A2B1C2+A3b1C3-(A1B1+A2B2+A3B3)C1=A2B1C2+A3B1C3-(A2B2+A3B3)C1和式(8)相等,故式(4)成立.同样可以验证式(5).式(4)和(5)有时写成下列矢量形式:A与C间联线表示A和C取标积.(但是B的位置在A、C之间)如果A、B、C互相对易,上二式就可写成A×(B×C)=(A·C)B-(A·B)C(A×B)×C=(A·C)B-A(B·C)这正是经典物理中的三重矢积公式.3.6 设A与B为矢量算符,F为标量算符,证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上],4.2题】4.2 设A、B为矢量算符,F为标量算符,证明[F,A·B]=[F,A]·B+A·[F,B] (1)[F,A×B]=[F,A]×B+A×[F,B] (2)证明:式(1)右端等于(FA-AF)·B+A·(FB-BF)=FA·B-A·BF=[F,A·B] 这正是式(1)左端,故式(1)成立.同样可以证明式(2).3.7 设F是由r与p的整函数算符,证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上],4.3题】4.3 以,r、表示位置和动量算符,为轨道角动量算符,为由r、构成的标量算符.证明证明:利用对易式以及题4.2式(2),即得此即式(1)。

曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量用算符表达(圣才出品)

曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量用算符表达(圣才出品)
则可定义算符 Â 的函数 F(Â)为
3 / 33
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

(2)算符的标积
定义一个量子体系的任意两个波函数(态)ψ 与 的“标积”
以下为常用算符标积运算公式:
式中 c1 与 c2 为任意常数.
7.转置算符 算符 Â 的转置算符 A 定义为
特例 对于
利用
(h 是一个普适常数,不为 0),则有
2.(l2,lz)的共同本征态 称为球谐(spherical harmonic)函数,它们满足
l2 和 lz 的本征值者都是量子化的.l 称为轨道角动量量子数.m 称为磁量子数.
6 / 33
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台


式中
称为 Levi—Civita 符号,是一个三阶反对称张量,定义如下:
②角动量算符与动量算符之间的对易关系 ③角动量算符之间的对易关系 分开写出,即
5.逆算符 设
能够唯一地解出 ψ,则可以定义算符 Â 之逆 Â-1 为
6.算符的函数与标积 (1)算符函数 给定一函数 F(x),其各阶导数均存在,幂级数展开收敛,
3.对易力学量完全集(CSCO)与对易守恒量完全集(CSCCO)
(1)对易力学量完全集
设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符
,它们的共同本征态记为
也,表示一组完备的量子.设给定一组量子数 a 之后,就能够确定体系的唯一一个可能状
态,则我们称(Aˆ1,Aˆ2, )构成体系的一组对易可观测量完全集(complete set of
式中 ψ 与 φ 是任意两个波函数.
8.复共轭算符与厄米共轭算符 算符 Â 的复共轭算符 Â*.定义为

第三章力学量用算符表达

第三章力学量用算符表达
性质 II: 两个厄密算符之积一般不是 厄密 算符, 除非二算符对易。
但是坐标算符与其非共轭动量 对易,各动量之间相互对易。
ˆ ˆ x p p x i ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
ˆ ˆ ˆ ˆ xp y p y x 0 yp x p x y 0 ˆ ˆ ˆ z pz x 0 ypz pz y 0 ˆ xp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p x p y p y p x 0 p y pz pz p y 0
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数, ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如:
动量算符 单位算符
ˆ p i ˆ I
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意:描写可观测量的力学量算符都是线性算符,这是态叠加原理的反映。
(2)算符相等
例如:体系Hamilton 算符
显然,算符求和满足交换率和结合率。
注意,算符运算没有相减,因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + (-Û)。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
(4)算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律,即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
ˆ iLz
同理 ˆ ˆ ˆ [ L , L ] iL
y z
x
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iLy
合记之: ˆ ˆ [ L , L ] i

第三章-力学量的算符表示

第三章-力学量的算符表示
px能够取-~+中连续变化旳一切实数,为了拟定C,考虑积分
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并:一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度:相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中,体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并: 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,,有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说,ψnk不正交, 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix

3-4 力学量算符

3-4 力学量算符

3-4 力学量算符
~ 3 ~
果正则坐标采用直角坐标 x, y, z ,相应的正则动量就是机械动量 px , p y , pz 。
2. 基本对易关系
根据坐标算符和动量算符在坐标表象的表达式,不难验证如下对易关系成立
ˆ, p ˆx ˆ, p ˆy ˆz i ˆ, p x y z ˆi , p ˆj x 0, i j
ˆ x, xx
ˆ y, yy
ˆz zz
(4)
ˆ x i px p
, x
ˆ y i py p
, y
ˆ z i pz p
z
(5)
在经典力学中,xi ei r r ei 和 pi ei p p ei , 其中 i 1, 2,3 。 在量子力学中, 同样有
第三个等号利用了 ei 是个常矢量,也就是不随位置而变化,因此 对于在经典力学中坐标的函数 f r 和动量的函数 f 接使用量子化规则(1)和(2)
(9)
ei 0。 x j
p ,过渡到量子力学时,可以直
(10) (11)
ˆ f r f r f r ˆ f i f p f p
对于经典力学中的函数 f r , p , 如果通过化简可以使表达式中不出现 r 与 p 的分量相 乘的情况,可以直接使用量子化规则(1)和(2),得到相应的算符
1
ˆ, p ˆ f r , i f r, p f r
(12)
当经典哈密顿量为 H T V 的形式时,就是这样的情况。 如果表达式中无法通过化简消除 r 与 p 的分量相乘的情况, 则不同方案通常给出不同的 算符。基于物理上的考虑可能会排除一些方案,比如力学量算符必须是厄米算符。如果由此 得到的方案仍然不唯一,此时有两种可能:第一,不同算符代表不同的物理意义;第二,只 有一个算符有意义,究竟是哪一个由实验来裁决。 (2) 在量子力学中,会碰到一些没有经典对应的力学量,比如自旋,其算符的形式需要 具体讨论。 (3) 在量子化规则中,坐标和动量是指正则坐标和正则动量。在没有磁场的情况下,如

第三章 力学量的算符.

第三章 力学量的算符.

若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有: ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如:体系Hamilton 算符 算符求和满足交换率和结合率。 注意,算符运算没有相减,因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + (-Û)。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
f
f
j , j 1,2,, f
ˆ F ˆ F A ji ni nj
f
ˆ A ji F ni
i 1
f
i 1
Fn A ji ni
i 1
f
Fn nj
算符 F 本征值 Fn简并 的本质是当 Fn 确定后 还不能唯一的确定状态, 要想唯一的确定状态还 得寻找另外一个或几个 力学量算符,F 算符与 这些算符对易,其本征 值与 Fn 共同确定状态。
在势场中 V ( r ) 的粒子 H T V
2 ˆ T ˆ V (r ) 2 V (r ) H 2m
问题:算符、动量算符、 Hamilton算符
§3-2
算符的本征值和本征函数
ˆ F F n n n
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态, 上式即是算符 F 的本征方程。求解时,ψ 作为力学量 的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求 即波函数的标准条件。
定理I:体系任何状态ψ下,其厄密算符的平
均值必为实数。
证:
F
ˆ d * F
ˆ ) * d ( F
ˆ ]* [ d * F
F*
逆定理:在任何状态下,平均值均为 实数的算符必为厄密算符。
定理II:厄密算符的本征值必为实。

量子力学讲义第三章讲义

量子力学讲义第三章讲义

量子力学讲义第三章讲义第三章力学量用算符表达§3.1算符的运算规则一、算符的定义:算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

vAu表示把函数u变成v,就是这种变换的算符。

为强调算符的特点,常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方,也常把“^”略去。

二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符,称为线性算符(cc)cAA112211c2A2其中c1,c2是任意复常数,1,2是任意两个波函数。

i,例如:动量算符p单位算符I是线性算符。

2、算符相等对体系的任何波函数的运算结果都相同,即A相等记为B,则算符和算符B若两个算符、BBA3、算符之和B称为算符之对体系的任何波函数有:(ACBB,则A)AC若两个算符、B和。

B,ABA(B)(ABC)CA4、算符之积,定义为之积,记为AB算符与B)A(B)C(ABBA是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律,即AB5、对易关系BA,则称与B不对易。

若ABB,则称与BBA对易。

若ABA和B,则称A反对易。

若算符满足AB某i例如:算符某,p不对易某1某某(i证明:(1)某p)i某某某某某(i(2)p)某ii某某某显然二者结果不相等,所以:某p某某某p某p某某)i(某p因为是体系的任意波函数,所以某p某某i对易关系某p同理可证其它坐标算符与共轭动量满足zpzziypyyi,zpyp但是坐标算符与其非共轭动量对易,各动量之间相互对易。

ypy某0yp某p某z0某p某y0某pzp,,zppz0yppy0yz某pzpz某0zyzp某p某pz0ypzpzpy0,p某pypyp某0,ppy某0,pzp某p某pz0ypzpzpy0,p某y写成通式(概括起来):p某i(1)某p某某某0某ppp0其中,某,y,z或1,2,3p量子力学中最基本的对易关系。

对易,B与对易,不能推知与对易与否。

注意:当与B6、对易括号(对易式)为了表述简洁,运算便利和研究量子力学与经典力学的关系,人们定义了对易括号:,BBA]AB[A这样一来,坐标和动量的对易关系可改写成如下形式:]i[某,p不难证明对易括号满足下列代数恒等式:,B]][B,A1)[A,B][A,B,C]C][A2)[A,kB,B,BC,C][A,B,[AB,C]A[B][A,C]B]k[A]]B[A]C,C,[A3)[A,[B]][B,A]][C,[A,B,C,[C]]0——称为Jacobi恒等式。

第3章 力学量用算符表达

第3章 力学量用算符表达

证明如下:

Aˆn Ann,
Aˆ m Amm,
并设 m,n 存在, 对 Aˆm Amm, 取复共轭, 得到
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与
的标积
, d *
d 是指对体系的全部空间坐标进行积分,
d 是坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
,* ,
,c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
c11 c22, c1* 1, c2* 2,
式中 c1 与 c2 为任意常数.
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d ,V (r) , ,2
dx
讨论 量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符,
Aˆ c11 c22 c1Aˆ1 c2 Aˆ2
其中 1 和 2是任意两个波函数,c1 与 c2 是
F x eax, 可定义
F
d dx
a
e
d dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
a
算符
a
e
d dx
的物理意义,
是与体系沿 x方向平移a
有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义.

F n,m
x,
y
n xn
m y m
F
x,
y,

F ˆ, Bˆ Fn,m 0, 0 ˆ nBˆ m. n,m0 n!m!
r
将(3)式两 边分别对 x y z 求偏导数得:

量子力学第三章算符

量子力学第三章算符

第三章 算符和力学量算符算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ,用算符表示为:ˆFuv = () ˆF 称为算符。

u 与v 中的变量可能相同,也可能不同。

例如,11du v dx =,22xu v =3v =,(,)x t ϕ∞-∞,(,)x i p x hx edx C p t -=,则ddx ,x dx ∞-∞,x ip x he-⋅都是算符。

1.算符的一般运算(1)算符的相等:对于任意函数u ,若ˆˆFuGu =,则ˆˆG F =。

(2)算符的相加:对于任意函数u ,若ˆˆˆFuGu Mu +=,则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

(3)算符的相乘:对于任意函数u ,若ˆˆˆFFu Mu =,则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =,则称ˆF 与ˆG 对易。

2.几种特殊算符 (1)单位算符对于任意涵数u ,若ˆIu=u ,则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与1是等价的。

(2)线性算符对于任意函数u 与v ,若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称ˆF 为反线性算符。

(3)逆算符对于任意函数u ,若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆG F -=,111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程:ˆ()()Fux af x =,其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符,a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和,即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =,所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来,在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分,但如果当a=0时,υ=0,则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==,从而由ˆFvaf =得:1ˆF af υ-=。

量子力学 第三章

量子力学 第三章

ˆ ˆ ˆ ˆ (∆A) (∆B) ≥ (∆Aψ , ∆Bψ ) = (ψ , ∆A∆Bψ )
2
ˆ, ˆ ˆ, ˆ [∆A ∆B]+ [A B] ψ ) + i(ψ , ψ) = (ψ , 2 2i
2
2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆψ = (ψ ,[∆A, ∆B]+ψ ) + (ψ ,[A, B] ) 4 4
1 2 1 2 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ c =1, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = (Aψ2 ,ψ1) − (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ c = i, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = −(Aψ2 ,ψ1) + (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ + : (ψ , Aψ ) = (Aψ ,ψ ), − : (Aψ ,ψ ) = (ψ , Aψ )
± lm
ˆ 因为 lz 的本征值 (m ±1)h非简并,所以 ˆ λ l±Y (θ,ϕ) = λ±Y,m±1(θ,ϕ), ± 是常数 lm l
物理上认为: 描述同一方位, ϕ 物理上认为:ϕ与 + 2π 描述同一方位,
ψ (ϕ +2π ) =ψ (ϕ),
lz = mh, m = 0, ±1, ± 2,L
周期性边界条件 或自然边界条件
满足 (ψm,ψn ) = δmn
1 imϕ ψm (ϕ) = e 2π
ˆ 也是保证 lz 厄米的要求
例2 平面自由转子的本征能量和定态
ˆ ˆ (A− A)ψ = 0 或Aψn= Anψn
即算符的本征态时, 学量有确定测值。 学量有确定测值。
3.2.2 力学量假定
Postulate 3
v v 1. 经典力学中的任一力学量F(r , p) ,对应量 v v ˆ (r , p) = F(r ,−ih∇) ; ˆ v ˆ 子力学中的线性厄密算符 F ˆ的本征值为力学量F的测量值(称可测值); 2. F
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

(5)对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ,则称Ô 与 Û 不对易。
例如:算符 x ˆ p i x x 不对易。
证:
ˆ x x( i x ) ix x (1) xp ˆ x x (i x ) x i ix x (2) p

F ( n ) (0) n!
ˆn U
e
i ˆ H t

n 0

1 n!
n ˆ [ Ht ] i
(9)复共轭算符
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
例如: 坐标表象中
ˆ * ( i ) * p ˆ i p
(10)转置算符
(7)逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
1. 定义: 设Ôψ = φ , 能够唯一的解出 ψ , 则可定义 算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0 证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ 是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立.
例如:体系Hamilton 算符
显然,算符求和满足交换率和结合率。
注意,算符运算没有相减,因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + (-Û)。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
(4)算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律,即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
(8)算符函数
F ( x)
n 0 F ( n ) (0) n!
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
xn
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
例如:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ˆ) F (U
n 0
N
N
2
c1 u1 c 2 u2
K 1 K 1
N
N
(3)算符之和
表明 ˆ 等于 Hamilton 算符H ˆ和 体系动能算符T ˆ之和。 势能算符V ˆ T ˆ V ˆ H
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有: ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
~ ˆ 的转置算符U ˆ 定义为: 算符U ~ ˆ dU ˆ * d * U 式中

和 是两个任意函数。
例1 :
证:



~ x
x
~ x x

dx *
利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。
dx * * |
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô + (Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
厄密共轭 算符亦可 写成:
~ ˆ O ˆ* O

(12) 厄密算符
1. 定义: 满足下列关系 的算符称为 厄密算符.
ˆ d (O ˆ ) * d * O
2. 性质
( 2)
[ p , ( x)]
2 x
px [ px , ( x)] [ px , ( x)] px px (i ) (i ) px x x 2 2 i px 2 x x
角动量算符的对易关系
证:
ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L x y z
ˆ ,L ˆ ] [ yp ˆ z zp ˆ y , zp ˆ x xp ˆz] [L x y ˆ z , zp ˆ x xp ˆ z ] [ zp ˆ y , zp ˆ x xp ˆz] [ yp
ˆ z , zp ˆ x ] [ yp ˆ z , xp ˆ z ] [ zp ˆ y , zp ˆ x ] [ zp ˆ y , xp ˆz] [ yp
2)x u = v, x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
例题 1
d d 2 2 设波函数 ( x ) sinx ,求 [( ) x] [ x ] ? dx dx
解:
d d d d 原 式 [( ) x ][( ) x ] [ x ][ x ] dx dx dx dx
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
例题 3
( 1)
[ px , ( x)] ( x) ( px ( x) ( x) px ) ( x) i ( x) ( x) i ( x) x x i ( x) i ( x) i ( x) x x x i ( x) x [ px , ( x)] i x
~ ˆx p ˆx p
(11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô+ 定义:
由此可得::
ˆ d (O ˆ ) * d * O
ˆ d (O ˆ ) * d * O
转置算符 的定义
ˆ )] * [ d * (O ˆ * * dO ~ ˆ * d * O
ˆx p ˆ xz 0 zp ˆ ˆ zp y p y z 0 ˆz p ˆx p ˆx p ˆz 0 p
若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ, 则称 Ô 和 Û 反对易。
注意: 当Ô 与 Û 对易,Û 与 Ê 对易,不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如:
ˆ x 与p ˆ y 对易,p ˆ y 与x对易,但是p ˆ x 与x不对易; (I ) p ˆ x 与p ˆ y 对易,p ˆ y 与z对易,而p ˆ x 与z对易。 ( II ) p
ˆ z , zp ˆ x ] [ zp ˆ y , xp ˆz] [ yp
ˆ z , zp ˆ x ] [ y, zp ˆ x ]p ˆ z z[ p ˆ y , xp ˆ z ] [ z , xp ˆ z ]p ˆy y[ p
ˆ z , zp ˆ x ] [ z , xp ˆ z ]p ˆy y[ p ˆz, p ˆ x ] y[ p ˆ z , z] p ˆ x x[ z , p ˆ z ]p ˆ y [ z, x] p ˆz p ˆy yz[ p ˆ x x(i ) p ˆy y( i ) p ˆ y yp ˆx] i[ xp
(6)对易括号
这样一来, 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式:
为了表述简洁,运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系,人们定义了 对易括号: [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ] i [ x , p
不难证明对易括号满足如下对易关系:
1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
性质 I:
即 若 则
两个厄密算符之和仍是厄密算符。
Ô + = Ô , Û+ = Û (Ô +Û)+ = (Ô +Û)
ˆ d (O ˆ ) * d * O 或 ˆ O ˆ O
性质 II: 两个厄密算符之积一般不是 厄密 算符, 除非二算符对易。
因为 (Ô Û)+ = Û+ Ô + = Û Ô ≠ Ô Û 仅当 [Ô , Û] = 0 成立时, + (Ô Û) = Ô Û 才成立。
d d [( ) x][sin x x cos x] [ x ][ x cos x] dx dx
sin x 2 x cos x
(1)线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数, ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如:

2
不是线性算符
2 2 2 2 [c1 u1 c 2 u2 ]2 c1 u1 2c1 c 2 u1 u2 c 2 u2
c1 [u1 ]2 c 2 [u2 ]2

n

1 1
n
是线性算符
c 2 u2
K 1
c u
K 1
c u c u
K 1 1 1 K 1 2
ˆx p ˆxx xp 而 ˆx p ˆ x x) i (xp 因为 所以
显然二者结果不相等,所以:

是任意波函数, ˆx p ˆ x x i xp 对易
关系
同理可证其它坐标算符 与共轭动量满足 写成通式: ˆy p ˆ y y i yp ˆz p ˆ z z i zp
但是坐标算符与其非共轭动量 对易,各动量之间相互对易。
ˆ p ˆ x i x p ˆ p ˆ p ˆ p ˆ 0 p
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
ˆy p ˆ y x 0 yp ˆx p ˆxy 0 xp ˆz p ˆz y 0 ˆ ˆ xpz pz x 0 yp ˆxp ˆy p ˆyp ˆx 0 p ˆyp ˆz p ˆz p ˆy 0 p
动量算符 单位算符 是线性算符。
ˆ i p ˆ I
相关文档
最新文档