第三章力学量用算符表达

ˆ z , zp ˆ x ] [ zp ˆ y , xp ˆz] [ yp
ˆ z , zp ˆ x ] [ y, zp ˆ x ]p ˆ z z[ p ˆ y , xp ˆ z ] [ z , xp ˆ z ]p ˆy y[ p
ˆ z , zp ˆ x ] [ z , xp ˆ z ]p ˆy y[ p ˆz, p ˆ x ] y[ p ˆ z , z] p ˆ x x[ z , p ˆ z ]p ˆ y [ z, x] p ˆz p ˆy yz[ p ˆ x x(i ) p ˆy y( i ) p ˆ y yp ˆx] i[ xp
d d [( ) x][sin x x cos x] [ x ][ x cos x] dx dx
sin x 2 x cos x
（1）线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如：
②
2
不是线性算符
2 2 2 2 [c1 u1 c 2 u2 ]2 c1 u1 2c1 c 2 u1 u2 c 2 u2
c1 [u1 ]2 c 2 [u2 ]2
③
n

1 1
n
是线性算符
c 2 u2
K 1
c u
K 1
c u c u
K 1 1 1 K 1 2
N
N
2
c1 u1 c 2 u2
K 1 K 1
N
N
（3）算符之和
表明 ˆ 等于 Hamilton 算符H ˆ和 体系动能算符T ˆ之和。 势能算符V ˆ T ˆ V ˆ H
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô + (Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
厄密共轭 算符亦可 写成：
~ ˆ O ˆ* O

(12) 厄密算符
1. 定义: 满足下列关系 的算符称为 厄密算符.
ˆ d (O ˆ ) * d * O
2. 性质
（5）对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。
例如：算符 x ˆ p i x x 不对易。
证：
ˆ x x( i x ) ix x (1) xp ˆ x x (i x ) x i ix x (2) p
ˆx p ˆxx xp 而 ˆx p ˆ x x） i （xp 因为 所以
显然二者结果不相等，所以:

是任意波函数， ˆx p ˆ x x i xp 对易
关系
同理可证其它坐标算符 与共轭动量满足 写成通式: ˆy p ˆ y y i yp ˆz p ˆ z z i zp
动量算符 单位算符 是线性算符。
ˆ i p ˆ I
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。
例题 2
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
ˆ p ˆ x i x p ˆ p ˆ p ˆ p ˆ 0 p
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
ˆy p ˆ y x 0 yp ˆx p ˆxy 0 xp ˆz p ˆz y 0 ˆ ˆ xpz pz x 0 yp ˆxp ˆy p ˆyp ˆx 0 p ˆyp ˆz p ˆz p ˆy 0 p
~ ˆx p ˆx p
(11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô+ 定义:
由此可得：:
ˆ d (O ˆ ) * d * O
ˆ d (O ˆ ) * d * O
转置算符 的定义
ˆ )] * [ d * (O ˆ * * dO ~ ˆ * d * O
（7）逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
1. 定义: 设Ôψ = φ , 能够唯一的解出 ψ , 则可定义 算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0 证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ 是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立.
§3.1 算符的运算规则 算符定义
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存 在是没有意义的，仅当它作用于波函数上， 对波函数做相应的运算才有意义，例如：
Ôu=v 表示 Ô 把函数 u 变成 v， Ô 就是这种变 换的算符。
1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
2 d 2 ； ② ① 4x 2 dx
2
；
③

n
K 1
解：①
d2 4x dx 2
2
是线性算符
2 2 2 d d d 4 x 2 2 (c1 u1 c 2 u2 ) 4 x 2 2 (c1 u1 ) 4 x 2 2 (c 2 u2 ) dx dx dx 2 2 d d c1 4 x 2 2 u1 c 2 4 x 2 2 u2 dx dx
Βιβλιοθήκη Baidu
2）x u = v， x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
例题 1
d d 2 2 设波函数 ( x ) sinx ，求 [( ) x] [ x ] ? dx dx
解：
d d d d 原 式 [( ) x ][( ) x ] [ x ][ x ] dx dx dx dx
（ 2）
[ p , ( x)]
2 x
px [ px , ( x)] [ px , ( x)] px px (i ) (i ) px x x 2 2 i px 2 x x
角动量算符的对易关系
证：
ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L x y z
ˆ iL z
同理 ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L
y z
x
ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L z x y
合记之： ˆ ,L ˆ ] i [L


ˆ L
称为 Levi Civita 符号，
其意义如下：
123 1 其中，， 1， 2， 3 或 x, y, z
ˆ ,L ˆ ] [ yp ˆ z zp ˆ y , zp ˆ x xp ˆz] [L x y ˆ z , zp ˆ x xp ˆ z ] [ zp ˆ y , zp ˆ x xp ˆz] [ yp
ˆ z , zp ˆ x ] [ yp ˆ z , xp ˆ z ] [ zp ˆ y , zp ˆ x ] [ zp ˆ y , xp ˆz] [ yp
性质 I:
即 若 则
两个厄密算符之和仍是厄密算符。
Ô + = Ô , Û+ = Û (Ô +Û)+ = (Ô +Û)
ˆ d (O ˆ ) * d * O 或 ˆ O ˆ O
性质 II: 两个厄密算符之积一般不是 厄密 算符, 除非二算符对易。
因为 (Ô Û)+ = Û+ Ô + = Û Ô ≠ Ô Û 仅当 [Ô , Û] = 0 成立时, + (Ô Û) = Ô Û 才成立。
例题 4
d ， dx

ˆ d (O ˆ ) * d * O
指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
d i ， dx d2 4 2 dx
d d 解 ： * dx * - * dx dx dx 当 x ， 0， 0 d d d * dx * dx ( ) * dx dx dx dx d ( ) * dx dx d 不是厄米算符 dx
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。

F ( n ) (0) n!
ˆn U
e
i ˆ H t

n 0

1 n!
n ˆ [ Ht ] i
（9）复共轭算符
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
例如: 坐标表象中
ˆ * ( i ) * p ˆ i p
（10）转置算符
（6）对易括号
这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：
为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ] i [ x , p
不难证明对易括号满足如下对易关系：
1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
~ ˆ 的转置算符U ˆ 定义为： 算符U ~ ˆ dU ˆ * d * U 式中

和 是两个任意函数。
例1 ：
证：



~ x
x
~ x x

dx *
利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。
dx * * |
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
（8）算符函数
F ( x)
n 0 F ( n ) (0) n!
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
xn
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
例如:
ˆ) F (U
n 0
ˆx p ˆ xz 0 zp ˆ ˆ zp y p y z 0 ˆz p ˆx p ˆx p ˆz 0 p
若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û 反对易。
注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如：
ˆ x 与p ˆ y 对易，p ˆ y 与x对易，但是p ˆ x 与x不对易； (I ) p ˆ x 与p ˆ y 对易，p ˆ y 与z对易，而p ˆ x 与z对易。 ( II ) p


dx *
x

dx * x



由于ψ 、φ 是 任意波函数, 所以

dx * ( x ) 0
~ x
( )0
x
~ x
~ x
x
可以证明： ~~ ˆB ˆ ˆ) B ˆA (A
同理可证:
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
例题 3
（ 1）
[ px , ( x)] ( x) ( px ( x) ( x) px ) ( x) i ( x) ( x) i ( x) x x i ( x) i ( x) i ( x) x x x i ( x) x [ px , ( x)] i x