初中数学竞赛专题分类解析第四讲：平行四边形和梯形讲义

初中数学竞赛公益讲座：平行四边形和梯形

2018/4/7

一、基础知识：

1）平行四边形：平移、中点、中心对称（旋转180度）2）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形

3）梯形：梯形问题转化、分割、拼接

三角形或者平行四边形问题

二、例题分析

例1、如下左图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连

接DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数。

例2、如上右图，在RT△ABC中，∠ACB是直角，CD⊥AB于D，AE平分∠ABC，交CD于K，F在BE上且BF=CE，求证：FK?AB。

例3、如下左图，△ABC内部一点P，满足∠PBA=∠PCA，作平行四边形PBQC，求证：∠QAB=∠PAC。

例4、如上右图，已知A、B是两个定点，C是位于直线AB某一侧的一个动点，分别以AC、BC为边，在△ABCDE外部作正方形CADI、CBEF，求证无论C点

在什么位置上，DE的中点M的位置不变。

例5、如下左图，梯形ABCD中，AB?CD，BC⊥CD，AB=2，CD=4，点E是BC上的一个动点，连接并延长EA到点F，使得EF:AE=2:1，连接并延长ED到点G，使得EG:ED=3:2，以EF和EG为临边作平行四边形EFHG，连接EH交AD于点P，1）求EH的最小长度；2）求证：P是定点。

例6、如上右图，四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，连接BF、CE交于点P，连接AF、DE交于点Q，若四边形EQFP是平行四边形，求证：

四边形ABCD是梯形。

例7、如下图，等腰梯形ABCD，对角线AC与BD交于点O，M 、N分别为腰AB和CD上的点，且AM=CN，连接MN分别交BD、AC于点P、Q，求证：

MP=QN。

三、练习题

1、如下左图，在锐角△ABC中，作高BD和EC，过B、C分别作ED的垂线BF

和CG，求证：EF=DG

2、如上右图，在直角梯形ABCD中，∠A和∠B是直角，AB=2，点P为AB的

中点，连接PC、PD，若∠PDC也是直角，就△PCD面积的最小值。

3、如下左图，在直角梯形ABCD中，∠A和∠B是直角，AD=1，AB=2，BC=3，若P为AB边上任意一点，延长PD至点E，使得DE=2PD，再以PE、PC为边

作平行四边形PCQE，求对角线PQ长的最小值。

4、如上右图，在梯形ABCD中，AB?CD，BD=BC，CA=CD，∠ADB=30度，

求证：∠DBC是直角。

5、如下左图，在梯形ABCD中，AD?BC，ABFG和DCHM都是正方形，NE垂

直平分AD，求证：GN=MN。

6、如上右图，梯形ABCD中，AD?BC，且BC=2AD，作CE⊥AB，EC上有一点P，满足BP=CP，连接AP、ED，∠ABP=∠ADE，求证：AP⊥AD。

7、如下图，梯形ABCD中，AD?BC，且AB=CD，将△ABC绕着点C旋转一定的角度，得到△　，求证：、、的中点共线。