初中数学竞赛专题分类解析第四讲：平行四边形和梯形讲义
平行四边形和梯形
平行四边形和梯形一、平行四边形平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特征。
在数学和几何学中，学习平行四边形的性质和应用是非常重要的。
1. 定义和特征平行四边形是一个四边形，其中相对的两边是平行的，并且相对的两条边相等。
平行四边形的定义可以表述如下：•两对相对边平行：即AB || CD，AB || CD，且AB ≠ CD。
•两对相对边相等：即AB = CD，AD = BC。
2. 性质和公式平行四边形具有以下性质和公式：•相对角相等：平行四边形的相对角相等，即∠A = ∠C，∠B =∠D。
•对角线分割成等长的线段：平行四边形的对角线交于O点，且AO = OC，BO = OD。
•对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即AO = OC = BO = OD。
•面积公式：平行四边形的面积可表示为S = 底边长 × 高，其中高指的是从底边到对顶边的垂直距离。
3. 应用平行四边形的性质和特征在实际生活中有许多应用。
以下是其中几个常见的应用场景：•建筑设计：平行四边形的结构稳定性使其在建筑设计中被广泛应用，例如桥梁、楼房等。
•工程测量：在工程测量中，平行四边形的性质可以用于测量地面的倾斜度以及其他距离和角度的测量。
•图像处理：在图像处理中，平行四边形的性质可以用于图像的纠偏、校正和变形处理。
二、梯形梯形是一种特殊的四边形，具有一些与平行四边形相似的性质。
了解梯形的定义和特征对于数学和几何学的学习是很重要的。
1. 定义和特征梯形是一个四边形，其中有两条平行边，称为底边和顶边，其他两条非平行边称为腰边。
梯形的定义可以表述如下：•有两条平行边：即AB || CD，且AB ≠ CD。
•有两条非平行边：即AD ≠ BC。
2. 性质和公式梯形具有以下性质和公式：•相邻角补角为180°：梯形的相邻内角的补角之和为180°，即∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠D = 180°。
平行四边形和梯形课件
特性
1
平行四边形的特性
对边平行，对角线互相平分，且对角线长度相等。
2
梯形的特性
一组对边平行，两组底角分别相等，两组顶角分别相等。
3
平行四边形和梯形的相同点和不同点
两者的相同点在于对边平行，不同点在于梯形有一组非平行边长度不等，而平行 四边形的四边长度相等。
计算公式
平行四边形的面积计算
面积 = 底边长 x 高度。如果只知道对角线长 度和夹角度数，则面积 = 1/2 x 对角线1长度 x 对角线2长度 x sin(夹角度数)。
要点
• 理解平行四边形和梯形的定义和特性 • 熟练掌握平行四边形和梯形的面积和
周长计算公式 • 学会在实际应用中灵活使用平行四边
形和梯形的知识
平行四边形和梯形课件
这里是平行四边形和梯形的精美课件，带你轻松理解这两个形状的定义、特 性、计算公式以及应用举例。准备好了吗？马上开始吧！
定义
平行四边形
四边形的对边两两平行，就是平行四边形。包括长方形、正方形、菱形和斜的四边形。
梯形
至少有一组对边平行，且非平行边长度不等，就是梯形。包括等腰梯形和非用梯形原理，设计高耸的天际线和流线型建筑外形。
2 科学研究
通过平行四边形的性质分析分子结构，进一步研究物质的性质。
3 地理测量
测量斜坡的高度和倾斜角度，就需要应用梯形的面积计算。
结论和要点
结论
平行四边形和梯形是学习基础几何知识的重 要形状。深入理解它们的定义、特性和计算 公式有助于巩固几何基础，同时有助于应用 到日常生活和学习中。
梯形的面积计算
面积 = (上底边长 + 下底边长) x 高度 ÷ 2。如 果只知道两个底角的度数和一条斜边的长度， 则面积 = 1/2 x 斜边长度 x 上下底边差的一半 x sin(底角度数之差的一半)。
平行四边形和梯形知识点归纳
平行四边形和梯形知识点归纳1.平行四边形的定义及性质平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。
以下是平行四边形的一些性质：-对角线相互平分-对角线相等-相邻角互补（和为180度）-同位角相等-任意一对相邻内角互补-对边相等2.平行四边形的判定方法判定一个四边形是否为平行四边形可以使用以下方法：-两组对边分别平行-对角线互相平分-一组对边相等且对角线互相分割成相等的部分3.梯形的定义及性质梯形是指至少有一对对边平行的四边形。
以下是梯形的一些性质：-底边平行-顶角互补（和为180度）-一对对边相等的梯形为等腰梯形-高线平行于底边且等于底边长度乘以高线对应的比例4.梯形的判定方法判定一个四边形是否为梯形可以使用以下方法：-一对对边平行-一对对边相等且没有其他平行边-底边长度与高线长度成比例5.平行四边形和梯形的应用5.1平行四边形的应用平行四边形的性质和判定方法在几何学的各个分支中常常被应用，例如：-在解决平面图形的计算问题中，我们经常会遇到平行四边形的形状，通过了解平行四边形的性质和判定方法，可以更快地解决问题。
-在建筑和土木工程中，平行四边形的形状常常出现，例如建筑物的立面图等。
了解平行四边形的性质可以帮助我们更好地设计和构建建筑物。
5.2梯形的应用梯形也在几何学的各个领域中被广泛应用，例如：-在计算梯形的面积时，我们可以通过将梯形分割成平行四边形和直角三角形，从而简化计算。
-在图形的投影中，梯形的形状常常出现，通过了解梯形的性质，可以更好地理解和分析图像的特点。
结论平行四边形和梯形是几何学中重要的概念，它们具有独特的性质和判定方法。
通过了解这些知识点，我们可以更好地理解和应用于实际问题中。
在解决几何学问题时，熟练掌握平行四边形和梯形的性质和判定方法是非常重要的。
希望通过本文库文档的详细介绍，您对平行四边形和梯形有了更深入的理解。
平行四边形和梯形的认识ppt课件
如图,在平行四边形中,已知AB=8, 周长等于24,求其余三条边的长。
D
C
A
B
8
25
一个等腰梯形的周长是68厘米， 上底长12厘米，腰长10厘米， 下底长多少厘米？
26
√ 2.长方形、正方形也是平行四边形。 （ ）
3.有一组对边平行的四边形是梯形。 （X ）
4.两组对边分别平行的图形，叫做平行四边形。
（ X）
15
5、用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
（ ∨）
6、两个高相等的平行四边形形状一定完全相同。
（ ×）
7、等腰梯形是轴对称图形。 （ ∨ ）
16
二
数一数下. 图中有多少个平行四边形．
17
从下面的图中你能找出几个平行四边形,几个梯形?
1 2
3
4
平行四边形有 （ 4 ）个 梯形有（ 2 ）个。
18
从下面的图中你能找出几个平行四边形? 几个梯形？
平行四边形有 （ 5 ）个。 梯形有（ 9 ）个。
19
四．
（１）在平行四边形上剪一刀，使剪下的两
个图形都是梯形。
你们认识吗？怎么分类？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
1
第一类： 第二类：
第三类：
2
3
由四条线段围成的封闭图形 ， 叫做四边形。
4
四边形有什么特点？
不规则四边形
5
6
两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形。
7
同学们太棒了！
长方形和正方形的 两组对边也分别平 行,所以它们是特殊 的平行四边形。
（２）在梯形纸上剪一刀，使剪下的两 个图形有一个是平行四边形。
初中数学竞赛讲座第四讲：平行四边形和梯形讲义
初中数学竞赛公益讲座：平行四边形和梯形一、基础知识：1）平行四边形：平移、中点、中心对称（旋转 180 度）2）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形3） 梯形：梯形问题 转化、分割、拼接 三角形或者平行四边形问题二、例题分析例 1、如下左图,在等腰△ABC 中,延长边 AB 到点 D ,延长边 CA 到点 E ,连 接 DE ,恰有 AD=BC=CE=DE ,求∠BAC 的度数。
例 2、如上右图,在 RT △ABC 中,∠ACB 是直角,CD⊥AB 于 D,AE 平分∠ ABC,交 CD 于 K,F 在 BE 上且 BF=CE,求证：FK ⫽AB 。
例 3、如下左图,△ABC 内部一点 P ,满足∠PBA=∠PCA ,作平行四边形 PBQC , 求证：∠QA B=∠PAC 。
例4、如上右图,已知A、B 是两个定点,C 是位于直线AB 某一侧的一个动点, 分别以AC、BC 为边,在△ABCDE 外部作正方形CADI、CBEF,求证无论C 点在什么位置上,DE 的中点M 的位置不变。
例5、如下左图,梯形ABCD 中,AB⫽CD,BC⊥CD,AB=2,CD=4,点E 是BC 上的一个动点,连接并延长EA 到点F,使得EF:AE=2:1,连接并延长ED 到点G,使得EG:ED=3:2,以EF 和EG 为临边作平行四边形EFHG,连接EH 交AD 于点P,1）求EH 的最小长度；2）求证：P 是定点。
例6、如上右图,四边形ABCD 中,点E、F 分别在边AB、CD 上,连接BF、CE 交于点P,连接AF、DE 交于点Q,若四边形EQFP 是平行四边形,求证：四边形ABCD 是梯形。
例 7、如下图,等腰梯形ABCD,对角线AC 与BD 交于点O,M 、N 分别为腰AB 和CD 上的点,且AM=CN,连接MN 分别交BD、AC 于点P、Q,求证：MP=QN。
三、练习题1、如下左图,在锐角△ABC 中,作高BD 和EC,过B、C 分别作ED 的垂线BF和CG,求证：EF=DG2、如上右图,在直角梯形ABCD 中,∠A和∠B是直角,AB=2,点P 为AB 的中点,连接PC、PD,若∠PDC 也是直角,就△PCD 面积的最小值。
初三数学复习教案平行四边形与梯形的性质与判定
初三数学复习教案平行四边形与梯形的性质与判定一、平行四边形的性质与判定1. 平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边是平行的四边形。
具体而言，如果一个四边形的对边两两平行，则它可以被称为平行四边形。
2. 平行四边形的性质（1）对边相等：平行四边形的对边长度相等。
（2）对角线相交：平行四边形的对角线相交于一点，并且这个交点将对角线分为两条相等的线段。
（3）同位角相等：平行四边形的内角与外角以及同位角之间互相相等。
（4）对角矩形：如果一个平行四边形的所有内角都是直角，则它可以被称为对角矩形。
3. 平行四边形的判定（1）对边相等判定：如果一个四边形的对边长度相等，则它是一个平行四边形。
（2）对角线比例判定：如果一个四边形的两条对角线被一条直线分成比例相等的线段，则它是一个平行四边形。
二、梯形的性质与判定1. 梯形的定义梯形是指有两个平行边的四边形，这两个平行边被称为梯形的底边，而两个非平行边被称为梯形的腰。
2. 梯形的性质（1）底角相等：梯形的两个底角相等。
（2）腰角相等：梯形的两个腰角相等。
（3）对腰异侧角互补：梯形的对腰异侧角互为补角。
（4）对角矩形：如果一个梯形的两个连续内角互为补角，则它可以被称为对角矩形。
3. 梯形的判定（1）底边平行判定：如果一个四边形的两个非平行边被一条直线分成比例相等的线段，则它是一个梯形。
（2）腰长比例判定：如果一个四边形的两个非平行边长度成比例，则它是一个梯形。
总结：平行四边形和梯形是初三数学中重要的几何概念。
通过了解平行四边形和梯形的性质与判定方法，我们可以更好地理解和应用这些概念，解决与其相关的数学问题。
在做题和复习时，我们应该熟练掌握平行四边形和梯形的定义、性质和判定方法，灵活运用于解题过程中。
这样可以提高我们的数学解题能力，更好地应对考试和学习中的数学难题。
了解平行四边形和梯形的性质
了解平行四边形和梯形的性质平行四边形和梯形是初中数学中的基本几何概念。
它们具有一些独特的性质和规律，对于我们深入理解几何形状的特点和应用具有重要意义。
本文将介绍平行四边形和梯形的定义、性质及相关的数学定理。
1. 平行四边形的性质平行四边形是由四条边和四个角组成的几何形状，具有以下性质：1.1 对边平行性质平行四边形的对边两两平行，即任意一对相对的边都是平行的。
1.2 对角线性质平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点将对角线分成两等分。
1.3 同底角性质平行四边形的对边平行，所以同一边上的两个相邻内角和是180度。
1.4 同位角性质平行四边形的对边平行，所以对应的内角是相等的。
2. 梯形的性质梯形也是由四条边和四个角组成的几何形状，具有以下性质：2.1 底边平行性质梯形的底边是两边中较长的边，梯形的两个底边是平行的。
2.2 上底角性质梯形的两个上底角是相等的。
2.3 下底角性质梯形的两个下底角是相等的。
2.4 对角线性质梯形的对角线互相平分，即对角线的交点将对角线分成两等分。
3. 相关定理在研究平行四边形和梯形的性质时，还有一些重要的定理需要了解：3.1 平行四边形的性质定理如果一个四边形的对边是平行的并且相等，则这个四边形是平行四边形。
3.2 梯形的性质定理如果一个四边形有两个边是平行的，那么这个四边形是梯形。
3.3 梯形的中线定理在梯形中，两个中线的长度相等，且平行于底边。
3.4 万能定理如果一个四边形的一对对边是平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
总结：通过了解平行四边形和梯形的定义、性质，我们可以更深入地理解这两种几何形状的特点。
平行四边形的对边平行，对角线互相平分，同位角相等；梯形的底边平行，对角线互相平分，上底角相等，下底角相等。
同时，还有一些相关的数学定理可以应用于求解问题。
掌握这些知识，有助于我们在解题过程中灵活运用几何概念，提高数学能力。
认识平行四边形与梯形
认识平行四边形与梯形平行四边形和梯形是几何学中常见的两种特殊四边形。
它们具有独特的性质和特点，在数学中起到重要的应用和作用。
本文将介绍平行四边形和梯形的定义、性质以及它们的区别。
一、平行四边形平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。
下面给出平行四边形的定义和性质。
1. 定义平行四边形的定义是：具有两组对边分别平行的四边形。
2. 性质（1）相对边相等：平行四边形的对边长度相等。
（2）相对角相等：平行四边形的对角线所夹的角相等。
（3）同位角相等：同位角是指相邻并位于同一边的两个内角，平行四边形的同位角相等。
（4）对角线的交点连线是平分线：对于平行四边形ABCD，其对角线AC和BD的交点O，连接OA、OB、OC、OD，这四条线段互相平分。
（5）对边平行：平行四边形的对边互相平行。
二、梯形梯形是指具有一对平行边的四边形。
下面给出梯形的定义和性质。
1. 定义梯形的定义是：具有一对平行边的四边形。
2. 性质（1）底角相等：梯形的两个底角相等。
（2）顶角相等：梯形的两个顶角相等。
（3）对边平行：梯形的对边互相平行。
（4）对角线的交点连线是中位线：对于梯形ABCD，其对角线AC 和BD的交点O，连接OA、OB、OC、OD，这四条线段相互平分。
三、平行四边形与梯形的区别尽管平行四边形和梯形都是具有平行边的四边形，但它们的不同之处在于：平行四边形的对边长度相等，而梯形的两个底角和两个顶角相等。
以ABCD为例，若AB∥CD，BC∥AD，且AB=CD，BC ≠ AD，则ABCD是平行四边形，反之若两个底角相等，两个顶角相等，但底边和顶边不平行，则ABCD是梯形。
四、总结平行四边形和梯形是几何学中的两个重要概念。
平行四边形具有对边平行、相对边相等、同位角相等和对角线互相平分等性质；而梯形具有对边平行、底角相等、顶角相等和对角线互相平分等性质。
通过对它们的认识和理解，我们能更好地应用它们解决实际问题。
通过本文的学习，我们对平行四边形和梯形有了更深入的了解。
平行四边形和梯形的知识点总结PPT
矩形
定义
两组对边分别平行且相等的四边形是 矩形。
性质
判定
有三个角是直角的四边形是矩形；对 角线相等的平行四边形是矩形；有一 个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形的四个角都是直角，对角线相等 且互相平分。
菱形
定义
四边都相等的四边形是菱形，或有一组邻边 相等的平行四边形是菱形。
性质
菱形的四条边都相等，对角线互相垂直且平 分每一组对角。
梯形中常见辅助线作法及解题思路
过梯形上底的一个顶点作下底的垂线，将梯 形划分为一个矩形和两个三角形，从而利用 矩形和三角形的性质求解问题。
过梯形对角线的交点作上下底的垂线，将梯 形划分为四个三角形，然后利用相似三角形 的性质求解问题。
延长梯形的两腰使之相交于一点，构造出一 个大的等腰三角形，然后利用等腰三角形的 性质求解问题。
05
典型例题解析与练习
例题一：平行四边形相关证明题
知识点
平行四边形的性质与判定
解析
通过已知条件，利用平行四边形的性质和判定定 理进行证明。
练习
给定一个四边形，证明它是平行四边形。
例题二：矩形、菱形、正方形综合题
01
02
03
知识点
矩形、菱形、正方形的性 质与判定
解析
结合已知条件，运用矩形 、菱形、正方形的性质和 判定定理进行综合分析和 解答。
梯形的表示方法
在平面直角坐标系中，可以通过三个顶点坐标确定一个梯形。一般形式为：梯形ABCD， 其中A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)。需要注意的是，梯形的对角线不平行。
应用场景
利用平面直角坐标系表示平行四边形和梯形，可以方便地进行图形变换、求解面积等问题 。
(完整版)平行四边形专题讲义
平行四边形专题讲义一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。
三、本章知识结构图1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。
2．梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。
3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。
4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。
四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定1.平行四边形的性质：（1）从边看：对边 ，对边 ； （2）从角看：对角 ，邻角 ； （3）从对角线看：对角线互相 ； （4）从对称性看：平行四边形是 图形。
2、平行四边形的判定：（1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。
（定义）（2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。
（3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。
（4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。
（5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。
【基础练习】1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____．2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __.3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（ ）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜44.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A.AB=CD,AD=BC B.ABCD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是 （ ） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24【典型例题】例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F DA OA B CDOA DDC AB E F M NBE F C AD例2、 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G 。
初三数学平行四边形与等腰梯形[北师版]PPT课件
![初三数学平行四边形与等腰梯形[北师版]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/114ff4ff453610661fd9f43a.png)
❖ 在□ABCD中,对角线相交于O,已知△ABO与△BCO 的周长之差为4cm,□ABCD的周长为24cm,那么
AB= ,BC= .
Байду номын сангаас
❖ 若直线a∥b,夹在它们之间的一条线段AB长为
6cm,AB与a的夹角为150°, 则a与b之间的距离
为
.
❖ 已知任意四边形ABCD中,AC+BD=12,连接四边
形各边中点所得的四边形是
；
会认为它是宝石而为之雀跃。知识告诉我们这是玻璃，因此知识剥夺了我们的快乐。 ? 我常常在幼儿园的栅栏外伫立，因此引起阿姨们的怀疑，以为我是人贩子或暗恋哪位小阿姨。我读过一本苏联小说，讲述一位私生子的父亲常去幼儿园看望自己的私生子，一想起这个，我就慌了，怕同样读过这 本书的人认为我也有私生子。 ? 我认为充分表达对子女的爱，不是人类及其它，而是袋鼠，怀里生出口袋，露出和自己一模一样的规模稍小的脑袋，爱的深入。有人把孩子架上肩膀行走，仿佛那孩子是他头顶盛开的一朵鲜花，让人感动。 种子 ? 没有什么比种植更吸引人。聂鲁达的诗说：“…… 农夫，口袋里装着一颗颗种子，急急忙忙地耕地。”聂鲁达所说的农夫是处在饥饿中的人，所以急急忙忙。当人们想到种子到明年才能变成果腹的粮食时，真感到岁月无情。 ? 我在童年有“种子癖”。古联云：“曾有清狂左传癖，未登神妙右军堂”。此癖为清狂，而不是轻狂，可见癖得洁净。读 左传生癖不如收集种子好玩，此书杀伐气很重。我把收集的种子放到一个铁皮盒里，盒有新疆人拍打的铃鼓那么大。我常举起来晃一晃，其音如磐。因里面有桃核、杏核。而苹果的籽儿和小麦只在里面“沙沙”地奉和，很谦逊。 ? 我抱着种子盒在向日葵下松软的泥土上观摩。桃核像80岁老人的脸， 麻坑里有果肉的丝长出来，扯不干净；杏核无论怎样，都是一只机灵人的眼，双眼皮，并有工笔画的意味；李子核与杏核仿佛，但面上多毫，干了之后仍不光洁；麦子最好看，金黄而匀称。我想上帝派麦子过来，不止为了白面烙饼，还可以作砝码。从掌心捏麦子，一粒一粒摆开，仿佛什么事情就要 发生了。我还收集过荞麦的种子，因为弄不到，就把枕头偷偷弄了个洞，搞一些出来。当然这只是荞麦皮了，像拿破仑时代的军帽。因此我让荞麦在盒里当警察。我收集的种子还有红色的西瓜籽、花豆、像地雷似的脂粉花的籽以及芝麻。 ? 在种植之前，不妨召集它们开会，为它们选王。举盒子 “哗啦啦”晃一阵，表示肃静，再打开看。桃核虽有霸王之气，但愚昧，很快就被推翻了。杏核无意于高位，而黑豆与绿豆太圆滑，玉米简直像个傻子。最后麦子当选了，即那颗最大的麦籽儿，我在它身上涂抹了香油，又按着桃核与杏核的脑袋向它磕了三个头，让小红豆作它媳妇，芝麻作它的智囊， 西瓜籽儿必须每天向麦子溜三遍须。 ? 我不明白鲜艳多汁的杏肉为什么会围着褐色的核儿长成一个球。它们是从核里长出来的呢，还是生长中暗暗藏着核。而麦粒会向上长成一根箭，而不是麦瓜。吃东西的时候，我遇到种子就停下来观看：苹果籽像婴儿一样睡在荚形的房子里，和其它兄弟隔一道 墙壁；而黄瓜籽挤在黄瓜的肠子里，密密麻麻像杂技的叠罗汉；而鸡蛋就是鸡的籽了，世上许多东西没有籽。我在赤峰电台的时候，曾有一位患强迫症的编辑，半夜时把办公室的红灯牌收音机偷偷埋入地里。别人发现后，他说：明年就长出一个半导体。 ? 他为万物寻找母体与种子的关系，相近的 东西不妨看作是生育的关系。 ? 种植的时刻让人激动。当你把随便什么核或籽扔进地里，看它孤零零地躺着，替它难过，又替它高兴。它要生长了，也许被埋葬了———如果它不生长的话。我再也见不到它了，除非它明年长成树。你长成树我也见不到你了，因为你变成了树。浇完水之后，立刻进 入了盼望的焦虑里。你坐在土地上，静静等待种子破土而出，是天下最寂寞的事情。 ? 我所播种的，除了几株草花之外，多半没有发芽，几乎个个欺骗了我。我扒开土观察，于是又见到了它们。还是老样子，但暗淡了，一如沉睡。我只好放弃努力，去关照那些并非由于我的原因而自由生长的植物， 如辣椒，如杨树，如在屋檐下挤成一排的青草。青草甚至从甬道的砖缝里长出来，炫耀毛茸茸的草尾巴。我从书上看到，青草的种子除了在风中播撒之外，还有一些由鸟儿夹带到各处。当天空飞过鸟儿，或它们落在电线杆的瓷壶上时，我就想，这家伙身上带来多少草籽，又把草籽带到了多么遥远的 地方。 杏花露出了后背 ? “笃、笃、笃……”沉睡的众树木间响起了梆子。梆子的音色有点空，缺光泽。是什么木的？胡琴桐木，月琴杉木，梆子约为枣木吧。 ? 梆子一响，就该开始了。“开始”了什么，我也说不清。本想说一切都开始了，有些虚妄。姑且说春天开始了。 ? 梆子是啄木鸟搞的， 在西甲楼边的枯杨树上，它和枯树干平行。“笃……”声传得很远，急骤，推想它脖颈肌肉多么发达。人说，啄木鸟啄木，力量有15公斤；蜡嘴雀敲开榛子，力量20公斤。好在啄木鸟没对人脑袋发力。 ? 有了梆子，就有唱。鸟儿放喉，不靠谱的民族唱法是麻雀，何止唱，如互相胳肢，它们乐得打 滚儿；绣眼每三分钟唱一乐句，长笛音色，像教麻雀什么叫美声；喜鹊边飞边唱，拍着大翅掠过树梢，像散布消息。什么消息？ ? ———桦树林里出现一条青草，周围的还黄着。这条青草一米宽，蜿蜒(蜿蜒？对，蜿蜒)绿过去，像河水，流向柏油路边上。这是怎么回事儿？地下有什么？它们和旁 边的青草不是一家吗？ ? ———湖冰化水变绿，青苔那种脏绿。风贴水面，波纹细密，如女人眼角初起的微纹。在冰下过冬的红鲤鱼挤到岸边接喋，密集到纠缠的程度。 ? ———柳枝一天比一天软，无事摇摆。在柳枝里面，冬天的干褐与春天的姜黄对决，黄有南风撑腰，褐色渐然逃离。柳枝条把 袖子甩来甩去，直至甩出叶苞。 ? 在英不落的树林里走，树叶厚到踩上去趔趄，发出翻书页的声音。蹲下，手拨枯叶能见到青草。像婴儿一样的青草躺在湿暗的枯叶里做梦，还没开始长呢？ ? 英不落没有鹰，高大的白杨树纠结鸟巢，即老鸹窝。远看，黑黑的鸟巢密布同一棵树上，多的几十个，这 些老鸹估计是兄弟姐妹。一周后，我看到鸟巢开始泛绿，而后一天比一天绿，今天绿得有光亮。这岂不是……笑话吗？杨树还没放叶，老鸹窝先绿了。 ? 请教有识之士。答我：那是冬青。 ? 冬青，长在杨树权上，圆而蓬张？ ? 再问有识之士。说，鸟拉屎把冬青籽放置杨树之上。噢。 ? 在大自然 面前，人无知的事情很多，而人也没能力把吃过的带籽的东西转移到树梢上发芽与接受光照。人还是谦虚点吧，“易”之谦卦，六爻皆吉。其它的卦，每每吉凶相参，只有谦卦形势大好，鬼神不侵。 ? 啄氏的枯木梆子从早上七时敲响，我称之开始。对春天，谁说“开始”谁不懂事儿。春天像太极 拳的拳法一样，没有停顿、章节，它是一个圆，流转无尽，首尾相连。 ? 林里，枯枝比冬天更多。拾柴人盯着地面东奔西走。杏树枝头的叶苞挣裂了，露出一隙棉花般的白，这是杏花白嫩的后背，现在只露出一点点。 百叶窗和木匠的工具 ? 有人领我来这里，这是滇越铁路的一个车站，1905年留 下来的建筑之一，据说是一个英国石油公司处的旧址。领我来的人非常博学，说到当年这里有多少职员，如何在上午九点钟喝一杯越南咖啡。甚至说出了这个公司的英文名称。虽然面对实物，我还是想象不出什么，我只是看见一所房子，窗子关闭，窗前放着木匠用来刨木的马凳。一块木板钉在上面， 刨子斜放着，那木板已经露出来花纹，有一股松脂味，马凳下面浮着一堆黄灿灿的刨花。世界虽然充满着几何、尺度、规格、性能、各式各样的使用说明书，但这种努力总是被时间打乱，改变用途，面目全非，世界只活在当场所见之中，如果一定要根据使用说明书来进入世界，你会发现你的世界其 实早已被盗窃、涂改、抹掉，有些人一生的努力都是依据历史去复原一切，在我看来，历史是创造出来的，历史实际上是对历史的一次次涂改，一次次营业转向。就像你不能要求这所房子永远是英国加波公司的办事处，你不能拒绝木匠把它视为一个现成的车间。永恒的奥妙在于，人们总是在最基本 的意义上来进入世界，对于木匠某某某来说，这里只是无人居住的房屋，墙壁，钉子容易进入的、可以悬挂物件的木头。与昔日高贵的英国绅士的办公室毫无关系，这里看起来就像一个马厩，除非你坚决地视而不见。 猴们和娃们 ? 树林西边有个大铁丝笼子，标牌书大字：禁扔杂物。小字：猴笼。 更小的字：广西猴。 ? 我看了半天，想看出猴的广西性，脑里结合漓江山水和南宁国际歌会，没看出来。猴，像在一个半圆的毛坯上刻出一张脸，只刻半个面颊和一线额头就停止了，上帝累了，而眼睛炯炯有神。猴走起来东张西望，每步俱张望。它为给自己的多动找一些缘由，做各种动作。用哲 学家思考的问题发问，它们动作的意义在哪里？猴的作为没有人类所说的意义，游戏自己，动而已。基因不让它们停下来。小广西猴把一个胶皮圈套进脖子，摘不下来而上蹿下跳。小猴劈腿跨过大广西猴头顶，再倒着跨回来，使它尝受韩信之辱。大猴没感觉，在读一片食品包装袋上的字，生产日期、 配料什么的。 ? 猴不像鹰那样远望，不像狼那样踱步。许多动物在笼里并不观察人。狼和熊什么时候盯着人看过？吓死你，它们不 人。“天低吴楚，眼空无物”。猴偶尔瞥一下人类，流露无助。小广西猴伸展比外科医生和锁匠还灵巧的手指在铁丝笼上攀爬，大广西猴剥东西。猴喜剥，喜观察可剥 之物的核心与真相。 ? 两个孔雀一起开屏。它们可能记错日子了，今天没什么庆典。孔雀的屏上有几十只宝蓝色的眼睛窥视你，刷刷抖动，荡漾流苏。这时候怕风来捣乱，兜腚吹来的风让孔雀艰难转向，屁股示人。不过孔雀的屁股也没什么好看。雌孔雀也开屏，开合利落，如相声演员手里的扇 子。 ? 马鹿低头吃玉米秸枯干的叶子，一片喧哗。它们行步迟疑，后腿不得已才移前，像舞蹈。 ? 鸵鸟笼的牌上写着“孔雀”。鸵鸟像一帮驼背的强盗，用异样的眼神看人。据说它一脚能蹬死一个人，有300公斤的力量。一鸵鸟俯首，两翅垂张及地，如谓：请，请吧！ ? 动物园边上是花房，三角 梅开得极尽热烈，从盆里开出盆外一米多，有花无叶。人说，花叶不相见，是狠心的植物，不知狠在哪里。 ? 比动物和花好玩的是餐厅的孩子们，他们也被称作服务员。这些乡村的孩子(陕西话叫娃)经过培训，女孩红短裙粉格衬衣，男孩黑马甲白衬衣。他们为客人点菜端菜，表情愉快，仿佛说： 这算工作吗？玩儿而已，而且好玩儿。支使他们拿葱、蒜、酱，十次八次也不烦，好像愈玩儿愈深入了，如出牌一样。余暇，他们打闹、唱歌、起哄，比小广西猴更雅致，而快乐不减。在一起，他们有口无心地谈论爱、梦中情人。他们认真地倾听胖
初三数学 平行四边形;梯形;矩形知识精讲 北师大版
初三数学平行四边形；梯形；矩形知识精讲北师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 平行四边形2. 梯形3. 矩形二. 教学目标：1. 熟练的掌握与平行四边形、梯形、矩形相关的性质及判定定理，并灵活应用到具体问题当中。
2. 进一步掌握几何题的证明方法，发展同学们的推理论证能力。
三、重点及难点：重点：平行四边形、梯形、矩形性质与判定的应用，并在解决问题中，发展推理意识。
难点：证明过程与推理过程的严密性。
四. 课堂教学［知识要点］1. 主要概念：三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2. 主要定理：（1）平行四边形的性质定理①平行四边形的对边相等。
②平行四边形的对角相等。
③平行四边形的对角线互相平分。
（2）平行四边形的判定方法①平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（3）等腰梯形的性质定理①等腰梯形在同一底上的两个角相等。
②等腰梯形的两条对角线相等。
（4）等腰梯形的判定定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
（5）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（6）其他定理：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（7）矩形的性质定理与判定定理矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
（8）直角三角形的性质定理与判定定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
【典型例题】例1. 如图在平行四边形ABCD 中，EF 过点O ，说明①AE 与CF 什么关系？②四边形AECF 是什么四边形？解：①AE=CF证明：∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AO=CO ，AD//BC ∴∠DAC=∠ACB 在△AOE 和△COF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COF AOE COAO ACB DAC CFAE COFAOE =∴∆≅∆∴②四边形AECF 是平行四边形 证明：连接AF 、ECOFOE COFAOE =∴∆≅∆又∵OA=OC∴四边形AECF 是平行四边形。
平行四边形和梯形
平行四边形和梯形一、平行四边形。
1. 定义，平行四边形是一个具有两对对边平行的四边形。
也就是说，它的对边是平行的，且对边长度相等。
2. 性质，平行四边形的对角线相互平分，对角线的长度相等。
平行四边形的相邻角互补，即相邻两个角的和为180°。
平行四边形的对边相等，对角线互相垂直。
3. 应用，平行四边形在日常生活中有着广泛的应用，比如建筑设计、地图绘制、家具制作等。
在数学中，平行四边形也是一种常见的几何形状，我们可以通过平行四边形的性质来解决一些几何问题。
二、梯形。
1. 定义，梯形是一个具有两条平行边的四边形。
梯形的两条平行边被称为上底和下底，两条非平行边被称为斜边。
2. 性质，梯形的对角线不相等，且对角线的交点将梯形分成两个三角形。
梯形的上底和下底的中线平行且等长。
梯形的上底和下底的和等于梯形的周长。
3. 应用，梯形在日常生活中也有着广泛的应用，比如梯形的形状可以用来设计楼梯、房顶等。
在数学中，梯形也是一个常见的几何形状，我们可以通过梯形的性质来解决一些几何问题。
比较分析。
1. 相同点，平行四边形和梯形都是四边形，都有着两条平行边。
2. 不同点，平行四边形的对边相等，对角线相互平分，对角线相等；梯形的上底和下底的中线平行且等长，对角线不相等。
3. 应用，平行四边形和梯形在日常生活和数学中都有着广泛的应用，但具体的应用场景和解决问题的方法有所不同。
结论。
通过对平行四边形和梯形的介绍和比较分析，我们可以看出它们都是重要的几何形状，有着各自独特的特点和性质。
在日常生活和数学中，我们可以通过对它们的认识和理解来解决一些实际问题。
因此，对平行四边形和梯形的学习和掌握对于我们的生活和工作都是非常重要的。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解和运用平行四边形和梯形，为我们的生活和学习带来更多的帮助。
《平行四边形和梯形》演示课件
平行四边形与梯形的区别
边的性质
平行四边形的对边相等，而梯形的对边不相等。
角的性质
平行四边形的对角相等，而梯形的对角不一定相 等。
对角线性质
平行四边形的对角线互相平分，而梯形的对角线 不一定互相平分。
两者之间的转换关系
梯形变平行四边形
当梯形的一组对边逐渐变为相等时， 梯形就转化为了平行四边形。
平行四边形变梯形
在计算机图形学中，平行四边形和梯形是基 本的图形元素，用于构建复杂的二维和三维 图形、动画和游戏场景等。
THANKS
感谢观看
推导
梯形有一组平行的上下底边，长度分别为 $a$ 和 $b$，另外两 边长度相等，设为 $c$，则周长 $P$ 为上下底边之和加上两腰 之和。
周长计算在生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，经常需要计算房间的周长以确定所需的材料数量， 如墙纸、地板等。
园艺设计
在园艺设计中，计算花坛需的植物数量。
平行四边形在生活中的应用
工程设计
物理学中的应用
在建筑设计、机械设计和电气工程中， 平行四边形常被用作结构元素或设计元 素，如斜梁、平行四边形机构等。
在物理学中，平行四边形法则被用于 描述力的合成和分解，以及速度和加 速度的矢量运算。
几何证明
在几何学中，平行四边形是一个重要 的基础图形，其性质和定理可用于证 明其他几何图形的性质和定理。
工程测量中应用实例
土地测量与规划
在土地测量和规划中，平行四边形和梯 形可用于计算地块面积、划分地块边界 等。
VS
道路与桥梁设计
在道路和桥梁设计中，利用平行四边形和 梯形的几何特性，可以精确计算道路的宽 度、桥梁的跨度等关键参数。
平行四边形梯形讲义
中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象授课教师授课时间授课题目平行四边形——梯形课型复习课使用教具讲义、纸笔教学目标会应用学会和认识梯形的基本性质和定理基本定理和性质解决一般问题教学重点和难点梯形相关问题的综合应用以及辅助线的做法参考教材（人教版）八年级数学下册教学流程及授课详案知识点小结㈠、有关概念1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、梯形的底、梯形的高、梯形的腰；3、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
4、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
5、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。
㈡、等腰梯形的性质；1、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。
2、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。
3、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半㈢、等腰梯形的判定；1、等腰梯形的判定定理l。
：在同一个底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。
2、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。
研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点。
典型例题[例1]( 1 )下列语句中错误的是 ( )A．只有一组对边平行的四边形是梯形B．有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形C．有一组对边平行的四边形是梯形D．一组对边平行且不相等的四边形是梯形( 2 )下面结论：①等腰梯形中不可能有直角；②直角梯形中不可能有等腰；③等腰梯形是对称图形，其中结论正确的是 (只填序号)。
一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。
图1析解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，则梯形ABCD 转化为△BCM 和平行四边形ABMD 。
《平行四边形和梯形的认识》课件
作为基础图形，研究它们的性质和特点对于理解更复杂的几何图形至关重要。
平行四边形和梯形的性质在数学证明中的应用
利用它们的性质可以证明许多几何定理，如勾股定理、射影定理等。
平行四边形和梯形在物理中的应用
平行四边形和梯形在力学 中的应用
在建筑学中，利用平行四边形和梯形的稳定 性来设计结构，以确保建筑物的安全。
平行四边形的周长公式
P = 2(a + b)，其中a和b分别为平行四边形的两条相邻边的 长度。
梯形的周长公式
P = a + b + c + d，其中a、b、c和d分别为梯形的上底、下 底和两条腰的长度。
周长计算方法
直接测量法
转化法
通过使用测量工具直接测量出平行四 边形或梯形的各边的长度，然后代入 周长公式进行计算。
。
在相同面积的条件下，平行四边 形的周长不一定比梯形小，因为 平行四边形的对角线可能较长。
2023
PART 05
平行四边形和梯形的实际 应用
REPORTING
生活中的平行四边形和梯形
平行四边形在生活中的实例
铁轨、折叠门、桌面、晾衣架等。
梯形在生活中的实例
汽车挡风玻璃、楼梯、斜拉桥等。
平行四边形和梯形在数学中的应用
比较相同底和高的情况下，平行四边 形和梯形的面积大小：在底和高相等 的情况下，平行四边形的面积大于梯 形的面积。
比较相同上底和下底的情况下，梯形 和三角形的面积大小：在上下底相等 的情况下，梯形的面积大于三角形的 面积。
2023
PART 04
平行四边形和梯形的周长 计算
REPORTING
周长公式
02
《梯形》平行四边形和梯形
THANKS
平行四边形和梯形的相似图形
平行四边形和梯形都属于四边形，但它 们不属于同一类型。
平行四边形和梯形都有对边相等、对角 相等、对角线互相平分等性质。
平行四边形是两组对边分别平行的四边 形，而梯形只有一组对边平行。
平行四边形和梯形都有正方形、长方形 等特殊形式，它们在形状和性质上存在 差异。
05
总结与展望
展望未来平行四边形和梯形的研究方向
深入探究平行四边形和梯形的性质
尽管平行四边形和梯形已经得到了广泛的研究和应用，但是它们的性质仍然有 很多未被完全揭示和理解的地方。未来的研究可以继续深入探究它们的性质， 发现更多的应用场景。
平行四边形和梯形的组合与变形
除了单独研究平行四边形和梯形的性质之外，还可以考虑将它们组合起来或者 进行变形，从而创造出更加复杂的几何形状。未来的研究可以探索这些新的几 何形状的性质和应用。
汽车轮胎
汽车轮胎的外形也是梯形的，这种 形状可以提供更好的摩擦力和抓地 力，确保车辆行驶稳定。
平行四边形和梯形在数学问题中的应用
面积计算
平行四边形和梯形的面积计算是 数学中常见的题目，通过这些题 目可以加深对这两种形状面积计
算方法的理解。
周长和边长计算
平行四边形和梯形的周长和边长 计算也是数学中常见的题目，可 以锻炼学生的计算能力和空间思
角线平分法
如果一个四边形的对角线互相平分，那 么这个四边形是平行四边形。
组对边相等法
如果一个四边形两组对边分别相等，那 么这个四边形是平行四边形。
组对角相等法
如果一个四边形两组对角分别相等，那 么这个四边形是平行四边形。
02
梯形的定义和性质
梯形的定义
01
平行四边形和梯形探索规律课件
05
平行四边形和梯形在实际生活 中的应用
平行四边形在建筑中的应用
01
平行四边形在建筑中常被用作支 撑结构，如桥梁、房屋的屋顶等 ，因为它的对角线互相平分且互 相支撑，能够提供稳定性。
02
平行四边形的对角线性质使得它 适合用于设计斜拉桥，因为它的 对角线可以提供平衡的拉力，使 桥梁更加稳定。
梯形在机械设计中的应用
02
平行四边形和梯形的面积计算
平行四边形的面积计算
总结词
基于底和高计算
详细描述
平行四边形的面积可以通过底和高来计算，公式为面积 = 底 × 高。这个公式是 平行四边形面积计算的基础。
梯形的面积计算
总结词
基于上底、下底和高计算
详细描述
梯形的面积可以通过上底、下底和高来计算，公式为面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。这个公式是梯形面积计算的基础。
梯形的中位线性质
中位线长度为上下底之和的一半
梯形的中位线长度等于上底与下底之和的一半，即中位线长度公式为$frac{a+b}{2}$， 其中$a$和$b$分别为梯形的上底和下底。
中位线与上下底平行且等于其中任一直角三角形的斜边
梯形的中位线与上底和下底平行，并且等于其中一个直角三角形的斜边，这是梯形中位 线的一个重要性质。
性质
对边相等、对角相等、对角线互相平分。
特殊平行四边形
矩形、菱形、正方形。
梯形的定义与性质
定义
有一组对边平行。
性质
上底与下底平行、两腰不等、对角线不等。
特殊梯形
等腰梯形、直角梯形。
平行四边形与梯形的联系与区别
联系
都是四边形，都有两组对边平行 。
学习指南如何理解初中数学中的平行四边形与梯形
学习指南如何理解初中数学中的平行四边形与梯形数学在初中阶段是一门重要且基础的学科，其中平行四边形和梯形是初中数学中的基本图形。
本文将详细介绍这两个图形的概念、性质以及解题方法，帮助学生更好地理解和应用。
一、平行四边形1. 概念介绍平行四边形是指具有以下性质的四边形：两组对边分别平行且长度相等。
简而言之，就是有两对边是平行且长度相等的四边形。
2. 性质探究平行四边形有一些重要的性质，我们来逐一探究：（1）对边性质：平行四边形的对边是平行的。
（2）相邻角性质：平行四边形的相邻两个内角是补角，即它们的和为180°。
（3）对角线性质：平行四边形的对角线相互等分，并且交点的连线是对角线的中点。
3. 解题方法在解平行四边形的问题时，我们需要运用以上性质并合理利用图形知识进行推理。
（1）已知条件推断：当我们已知一些条件时，可以根据平行四边形的性质推断出其他信息。
（2）辅助线引入：在解题过程中，可以通过引入辅助线来简化问题，使得平行四边形的性质更加明显。
（3）利用相似性质：当平行四边形与其他几何图形构成相似关系时，可以利用相似性质求解问题。
二、梯形1. 概念介绍梯形是指具有以下性质的四边形：两边平行，但两腰长不相等。
简而言之，就是两条平行边不等长的四边形。
2. 性质探究梯形也有一些重要的性质，我们来逐一探究：（1）底角性质：梯形的底角是对边所对的内角，是补角。
（2）等腰梯形性质：如果梯形的两腰长相等，则称为等腰梯形。
等腰梯形的底角相等，顶角也相等。
（3）中位线性质：梯形的两条非平行边中点的连线是梯形两对边中点的连线，并且中位线与底边平行且长度为底边两侧边长之和的一半。
3. 解题方法在解梯形相关问题时，我们可以运用以下方法：（1）积分法：计算梯形的面积时，我们可以将其分解为两个三角形和一个矩形，然后利用面积计算公式进行计算。
（2）利用相似性质：当梯形与其他几何图形构成相似关系时，可以利用相似性质求解问题。
《平行四边形和梯形》
平行四边形和梯形简介在几何学中，平行四边形和梯形是两种常见的多边形。
它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。
本文将介绍平行四边形和梯形的定义、性质以及计算公式，帮助读者更好地理解和运用这两种多边形。
平行四边形定义平行四边形是一个具有两对平行边的四边形。
也就是说，它的对边是平行的。
平行四边形的特点是具有两对等长的边和两对对等的角。
性质平行四边形有以下几个重要的性质：1.对角线互相等分：平行四边形的两条对角线互相等分对方。
2.颜色相同：平行四边形的对边颜色相同，也就是说，两对平行边是相似的。
3.对边平行：平行四边形的两对边是平行的。
4.对角线交于一点：平行四边形的对角线交于一点，这个点叫做对角线的交点。
计算公式在计算平行四边形的面积和周长时，我们可以使用以下公式：1.面积：平行四边形的面积可以通过底边长和高的乘积来计算，即 $A = S\\times H$，其中A是面积，S是底边长，H是高。
2.周长：平行四边形的周长可以通过四条边长相加来计算，即C=a+b+c+d，其中C是周长，a、b、c、d是四条边的长度。
梯形定义梯形是一个具有两条平行边的四边形，其中两条平行边被称为底边和顶边，两个非平行的边被称为腰。
性质梯形有以下几个重要的性质：1.对角和相等：梯形的对角和相等，即两个对角角度之和等于180度。
2.颜色相同：梯形的上下底边颜色相同，也就是说，两条平行边是相似的。
3.腰的长度相等：梯形的两个腰的长度相等。
计算公式在计算梯形的面积和周长时，我们可以使用以下公式：1.面积：梯形的面积可以通过上底和下底的和与高的乘积的一半来计算，即$A = \\frac{(a + b) \\times h}{2}$，其中A是面积，a是上底，b是下底，ℎ是高。
2.周长：梯形的周长可以通过将上底、下底和两个腰的长度相加来计算，即C=a+b+s1+s2，其中C是周长，a是上底，b是下底，s1、s2是腰的长度。
总结平行四边形和梯形是常见的多边形，它们具有各自独特的定义和性质。
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初中数学竞赛公益讲座：平行四边形和梯形
2018/4/7
一、基础知识：
1）平行四边形：平移、中点、中心对称（旋转180度）2）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形
3）梯形：梯形问题转化、分割、拼接
三角形或者平行四边形问题
二、例题分析
例1、如下左图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连
接DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数。
例2、如上右图，在RT△ABC中，∠ACB是直角，CD⊥AB于D，AE平分∠ABC，交CD于K，F在BE上且BF=CE，求证：FK?AB。
例3、如下左图，△ABC内部一点P，满足∠PBA=∠PCA，作平行四边形PBQC，求证：∠QAB=∠PAC。
例4、如上右图，已知A、B是两个定点，C是位于直线AB某一侧的一个动点，分别以AC、BC为边，在△ABCDE外部作正方形CADI、CBEF，求证无论C点
在什么位置上，DE的中点M的位置不变。
例5、如下左图，梯形ABCD中，AB?CD，BC⊥CD，AB=2，CD=4，点E是BC上的一个动点，连接并延长EA到点F，使得EF:AE=2:1，连接并延长ED到点G，使得EG:ED=3:2，以EF和EG为临边作平行四边形EFHG，连接EH交AD于点P，1）求EH的最小长度；2）求证：P是定点。
例6、如上右图，四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，连接BF、CE交于点P，连接AF、DE交于点Q，若四边形EQFP是平行四边形，求证：
四边形ABCD是梯形。
例7、如下图，等腰梯形ABCD，对角线AC与BD交于点O，M 、N分别为腰AB和CD上的点，且AM=CN，连接MN分别交BD、AC于点P、Q，求证：
MP=QN。
三、练习题
1、如下左图，在锐角△ABC中，作高BD和EC，过B、C分别作ED的垂线BF
和CG，求证：EF=DG
2、如上右图，在直角梯形ABCD中，∠A和∠B是直角，AB=2，点P为AB的
中点，连接PC、PD，若∠PDC也是直角，就△PCD面积的最小值。
3、如下左图，在直角梯形ABCD中，∠A和∠B是直角，AD=1，AB=2，BC=3，若P为AB边上任意一点，延长PD至点E，使得DE=2PD，再以PE、PC为边
作平行四边形PCQE，求对角线PQ长的最小值。
4、如上右图，在梯形ABCD中，AB?CD，BD=BC，CA=CD，∠ADB=30度，
求证：∠DBC是直角。
5、如下左图，在梯形ABCD中，AD?BC，ABFG和DCHM都是正方形，NE垂
直平分AD，求证：GN=MN。
6、如上右图，梯形ABCD中，AD?BC，且BC=2AD，作CE⊥AB，EC上有一点P，满足BP=CP，连接AP、ED，∠ABP=∠ADE，求证：AP⊥AD。
7、如下图，梯形ABCD中，AD?BC，且AB=CD，将△ABC绕着点C旋转一定的角度，得到△ ，求证：、、的中点共线。