2019年云南师大附中高三文科数学第四次月考试卷(含答案)
【百强市校】云南省师范大学附属中学2019届高三第五次月考数学(文)答案
x1 x2 p x1 x2 2 p ，所以四边形 AABB 的面积与
2
图4
11．如图 5，设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 ) ，则四边 1 p | y1 y2 | ， S△AOB S△AOF S△BOF | y1 y2 | 2 2 2 p | y1 y2 | ，根据抛物线的定义及已知条件，得 3 p 4
云南师大附中 2019 届高考适应性月考卷（五） 文科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 答案 【解析】 1．由图 1 可知圆 ( x 1) 2 y 2 1 与 y ( x 1) 2 有两个交点，故选 B． 2．因 为 (a i)2 bi ， 所 以 a 2 1 (2a b)i 0 ， 所 以 a 2 1 0 且 1 B 2 B 3 D 4 A 5 A 6 C 7 A 8 D 9 D 10 C 11 C 12 A
图3
28 8 AB AC 4 ，故选 D． 9 9
10 ． 设 点 A 到 平 面 BCD 的 距 离 为 h ， 三 棱 锥 的 体 积 为 V ， 则 1 3 V S△BCD h h ，当 h 最大时，V 最大，此时平面 ABD 平 3 3
面 BCD ，如图 4 所示，取 BD 的中点 M ，则 CM BD ，所以
2 nπ
π (n Z) ，即 3n ；又 0 ，所以当 n 1 时， 取最小值 3，则 f ( x) 6
π π kπ π π (k Z) ，故选 D． 2sin 3x ．由 3x kπ (k Z) ，得 x 6 2 3 9 6 9．依题意， AM ，BN 是 △ABC 的两条中线，设它们相交于点 O ， 则 点 O 为 △ABC 的 重 心 ， 因 为 | AM | 2， | BN | 3 ， 所 以
云南省昆明市云南师大附中2023届高考适应性月考(四)数学试题 扫描版含答案
数学参考答案·第1页（共8页）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C B B D A B【解析】1．4(12i)(12i)41441z z -=+--=+-= ，故12i 4z z z z ==-- ，故选B ．2．杜牧认为没有东风，则赤壁之战东吴将输给曹操，则说明东风是打败曹操的必要条件．但有了东风，若没有其他的地利人和，也未必能打败曹操，故东风不是充要条件，故选C ． 3．223(1)(3)0x x x x --=+-≤∵，{10123}A =-，，，，∴，由x A -∈知道，x 可以取3-，2101--，，，，又101A A A -∈∈∈，，，故知{32}B =--，，故选C ．4．由题意知205μσ==，，故1()10.6827(15)()22P X P X P X μσμσμσ--<<+-=-==≤≤ 0.1587≈，故选B ． 5．πππππcos cos 66336f x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意知π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于π12x =轴对称，则ππππ()1236k k ωω+-=∈Z ，即412()k k ω=-∈Z ，又因为0ω>，故当0k =时，ω有最小值4，故选B ．6．一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应更小．若甲被抽取的两种牌中有点数为10的牌，则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意．故甲只能被抽取两张3，故其抽取的两张牌的点数之和为6，而乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则必然要至少有一张5．综上2112446422610C C C C 66244C C 154515P ++==⨯= ，故选D ． 7．设两个正四棱锥分别为P ABCD -和Q ABCD -，P ABCD -和Q ABCD -的高分别为1h 和2h ，外接球半径为r ，则由题意知道211232h h h h r =⎧⎨+=⎩，，故12322r r h h ==，．设PQ 与平面ABCD数学参考答案·第2页（共8页）交点为1O ，球心为O ，故12r OO =，故1AO ===，故12AB r ==．设AB 的中点为E ，则4PE ===，同理可得4QE r =，故1442142142PABQAB AB PE S PE S QE AB QE ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯△△，故选A ． 8．构造函数π()sin 02f x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，，，则()1cos 0f x x '=-≥，故函数()y f x =在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故1(0)011f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 1111>，又313111>，故a b <．构造函数()ln 1g x x x =+-，则1()1g x x'=-，易知函数()y g x =在1x =处取得最大值(1)0g =，故10011g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1010ln 101111+-<，即11011ln ln ln1.1111110<-==，由前面知11sin 1111<，故a c <．构造函数3()ln(1)3x h x x x =+-+，则22219(3)9(1)()1(3)(1)(3)x x h x x x x x +-+'=-==++++ 2(3)(1)(3)x x x x -++，故知函数()y h x =在(03)，上单调递减，故(0.1)(0)0h h <=，即0.33ln1.1 3.131<=，故c b <，综上，故选B ． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 12 答案BD AC ACD BCD【解析】 9．2(123)a b k +=+ ，，由(2)a b a +⊥ 知道(2)0a b a += ，即1(23)0k k ++=，解得12k =- 或1k =-，故选BD ．10．如图1，11C D AB ∥∵，而AB ⊂平面ABP ，故11C D ∥平面ABP ，故A 正确；显然1B C 与BP 不垂直，故1B C ⊥平面ABP 不可能成立，故B 错误；易知AB ⊥平面11BCC B ，故有平面11BCC B ⊥平面ABP ，故C 正确；直线1AA 与平面ABP 所成角即为直线1BB 与平面ABP 的数学参考答案·第3页（共8页）所成角，取BC 的中点Q ，易知1B Q BP ⊥，故由C 选项知1B Q ⊥平面ABP ，故1B BP ∠即为直线1BB 与平面ABP 的所成角，设正方体棱长为a，则1cos sin 52aB BP CBP ∠=∠==，故D 错误．综上，故选AC ． 11．由题意知道cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，故A 选项显然正确；对于B选项，4π2cos 134π2sin 3x y ⎧==-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故B 错误；对于C选项，20y --=化为极坐标方程为cos sin 20θρθ--=，化简得πcos 16ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，2sin ρθ=，则22sin ρρθ=，故直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1x y +-=．综上，故选ACD ．12．如图2所示，由题意知12122221212222AF AF a F F c AF AF F F -==⎧⎪==⎨⎪+=⎩，，解得1211AF AF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，，故知A 不正确，在12Rt AF F △中，由等面积法知121211||||||||22A AF AF F F y =，解得||A y =，代入双曲线方程得225123A A y x =+=，又因为点A 在双曲右支上，故A x =，故B 正确；由图知121213tan 2AF AF k AF F AF =∠===，1132AB AF k k +=-=-，由对称性可知，若点A 在第四象限，则32AB k +=，故C 正确；1ABF △的内切圆半径11122111()()22r AF AB BF AF AF BF BF =+-=++-1112)12=+-=-，故D 正确．综上，故选BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图1图2数学参考答案·第4页（共8页）【解析】13．63662661C ()C 2r rr r r r x x x --⎛⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝⎝，故当4r =时取得常数项，故常数项为1516．14．若12π3AO B ∠=，设圆心1O 到直线AB 的距离为d，则d ==．两圆方程相减得直线AB 的方程：22260x y r ++-=，故圆心1(11)O ，到直线AB 的距离为22d ===，解得r =或r =15．()sin 33sin sin(2)3sin sin 2cos cos 2sin 3sin f x x x x x x x x x x x =+=++=++=2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin 6sin x x x x x x x -+-+=-+，令sin t x =，则[11]t ∈-，，则只需求函数3()46g t t t =-+在[11]t ∈-，上的值域即可．22()1266(21)g t t t '=-+=--，故知函数()g t在12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，在22⎛ ⎝⎭，上单调递增，12⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减．故极小值为2g ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，极大值为2g ⎫=⎪⎪⎝⎭，又(1)2g -=-，(1)2g =．故()g t 在[11]t ∈-，上的值域为[-，即函数()f x的值域为[-． 16．考虑(1)f ，显然可以有四种结果，记其可以满足的结果数为1a ，则14a =，记{1}f n B → ：，，中满足{11}i n ∀∈- ，，，都有|(1)()|2f i f i +-≥的函数个数为(2)n a n ≥．考虑2a ，当(1)1f =和(1)4f =时，(2)f 的选取都各有两个；当(1)2f =和(1)3f =时，(2)f 只有唯一的选择(2)4f =和(2)1f =，故222216a =⨯+⨯=．以此类推，当()1f i =和()4f i =时，(1)f i +的选取都各有两个；当()2f i =和()3f i =时，(1)f i +只有唯一的选择(1)4f i +=和(1)1f i +=，设i a 个函数中满足()1f i =和()4f i =的函数个数有m 个，满足()2f i =和()3f i =的函数个数有n 个，则12i a m n +=+．对于这2m 个函数，其中有一半会使得(1)1f i +=和(1)4f i +=，另一半使得(1)2f i +=和(1)3f i +=；而那n 个函数，必然使得(1)1f i +=和(1)4f i +=，故知212()32i i i a m n m m n a a ++=++=+=+．由递推公式可得345671016264268a a a a a =====，，，，．故满足条件的函数f 的个数为68．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）1142n n n a a ++=-∵，112122n n n n a a ++=- ∴，1112122n n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴，数学参考答案·第5页（共8页）又1122a -=∵，故12nn a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列． 112222n n n n a --== ，则42n n n a =+．…………………………………………………（5分） （2）由题意可得：122n n n n a b =-=，{}n c 是以4为首项，3为公差的等差数列， 则43(1)31n c n n =+-=+．故214272(32)2(31)2n n n T n n -=+++-++ ①，23124272(32)2(31)2n n n T n n +=+++-++ ②，①−②得231183(2222)(31)2n n n n T n -+-=+++++-+231123(22222)(31)2n n n n -+=++++++-+112(12)23(31)2(23)2412n n n n n ++-=+-+=--- ， 1(32)24n n T n +=-+ ∴．………………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：连接AM ，DM ，32BM MC =∵，5BC =，3BM AB ==∴， 又AD BC ∥∵，ABMD ∴为菱形，AM BD ⊥∴，又PA ⊥∵平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥∴，又PA AM A = ∵，BD ⊥∴平面PAM ，BD PM ⊥∴．……………………………（5分）（2）解：在ABC △中，3AB =，4AC =，5BC =，故AB AC ⊥，又PA ⊥∵底面ABCD ，建系如图3．则(040)C ，，，(004)P ，，，(022)N ，，，(044)PC =- ，，，在底面ABCD 中，令AC MD E = ，由ADE CME △∽△得9612555DE EM AE ===， 则612912005555M D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， (300)MD =- ，，∴，92255ND ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，， 设平面MND 的一个法向量为()n x y z = ，，，图3数学参考答案·第6页（共8页） 则有30922055x x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，，得(051)n = ，，， 设PC 与平面MND 所成角为θ，则sin |cos |PC n θ=〈〉== ，，即为所求．……………………………（12分） 19．（本小题满分12分） 解：（1）在ABD △中，由余弦定理可得：2222cos 31211BD AB AD AB AD BAD =+-∠=+-= ， 1BD AD ==，π6ABD BAD ∠=∠=∴，故π3ADC ∠=， 在Rt ACD △中，12π1cos 32AD CD ===， 故3BC BD CD =+=．……………………………………………………………………（5分） （2）设AB x =，则2AC x =，1πsin 42241πsin 26ACD ABD AC AD S CD x BD S x AB AD ==== △△ ， 设BD y =，则45CD y BC y ==，，在Rt ACD △中，由勾股定理222AC AD CD +=，即224116x y +=，在ABC △中，由余弦定理得2222π2cos3BC AB AC AB AC =+- ， 即222225(2)27y x x x x x =++= ，联立解得22512x =，故212πsin 23224ABC S AB AC x === △ ．………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分） 解：（1）X 可能的取值为0，1，2，4（显然，若小狗取对了三件物品，则第四件物品也一定是取对的，故X 不可能为3．） 4411(4)A 24P X ===，2444C 1(2)A 4P X ===，1444C 21(1)A 3P X === ， 1113(0)124438P X ==---=．数学参考答案·第7页（共8页）故分布列为3111()0124183424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………（8分）（2）小狗连续两次得分都大于2分，即小狗每一次都得四分．若小狗取物品都是随机的，那么连续两次得4分的概率仅为2110.001724576⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭，这个概率非常小，所以小明认为小狗取物品应该不是随机的，是他对小狗的训练起了作用，这个认为是合理的．……………………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） 解：（1）由(4)P m -，是C 上一点知：162pm =，故8m p=． 由抛物线定义可知：8||522p pPF m p =+=+=， 化解得210160p p -+=，解得2p =或8p =， 又因为P 位于F 的上方，故82pp >，故2p =， 故抛物线方程为24x y =．………………………………………………………………（4分） （2）由（1）知(44)P -，，(01)F ，，显然，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点22121244x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，故121244x x k x x +==-，， 若PF 平分角APB ∠，则12||||||||||||x PA AF PB BF x ==，故221222||||x PA PB x =， 即22211212222222(4)44(4)44x x x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，即421211142222228321683216x x x x x x x x -++=-++， 即2222222222221212112122221211218328321616x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=-++ ，数学参考答案·第8页（共8页）将124x x =-代入化简得22221131323132x x x x -=-，即21212131()()32()0x x x x x x +---=，因为12x x ≠，故2131()32x x +=，即31432k ⨯=，得831k =， 故直线l 的方程为8131y x =+．…………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分12分）（1）证明：当2a ≥时，22()ln 3ln 23f x x x ax x x x x x =-+-+≤， 欲证()1f x ≤，只需证2ln 231x x x x -+≤，0x >∵，只需证1ln 23x x x-+≤，即证：1ln 230x x x -+-≤，令1()ln 23g x x x x =-+-，则22221121(21)(1)()2x x x x g x x x x x -+++-'=-+==-， 故知函数()g x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， 故max ()(1)0g x g ==，故()0g x ≤，即1ln 23x x x -+≤，得证．………………………（5分）（2）解：ln 4()1ln 2322x f x x ax x a x +⎛⎫'=+-+=-⎪⎝⎭． 令ln 4()2x h x x +=，则22122(ln 4)62ln ()44x x x x h x x x -+--'==， 故知()h x 在3(0e )-，上单调递增，在3(e )-+∞，上单调递减，故33maxe ()(e )2h x h -==，①若3e 2a ≥，则()0f x '<恒成立，则()f x 在(0)+∞，上单调递减，无最大值；②若3e 02a <≤．0lim ()lim ()0x x h x h x →→+∞=-∞=，， 则()f x '在(0)+∞，上有两个零点，设为12x x ，，且12x x <．显然312e x x -<<， 故当1(0)x x ∈，时，1()()h x h x a <=，故()0f x '<，函数()f x 此时单调递减． 同理可知函数()f x 在12()x x ，上单调递增，在2()x +∞，上单调递减． 又0lim ()0x f x →=，故()f x 有最大值等价于2()0f x ≥， 故有2222222ln 402ln 30x a x x x ax x +⎧-=⎪⎨⎪-+⎩，≥，化简得222ln 02x x x +≥，解得22e x -≥， 又2()a h x =，且()h x 在2(e )-+∞，上单调递减， 故22(e )e a h -=≤，故20e a <≤；③若0a ≤，当e x ≥时，2()34f x x ax x x -+≥≥，()f x 显然无最大值，综上，20e a <≤．………………………………………………………………………（12分）。
2019届云师大附中高三高考适应性月考(三)数学(文)试题(解析版)
2019届云师大附中高三高考适应性月考（三）数学（文）试题一、单选题1．已知集合41M x x N x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，，则M 的非空子集的个数是（ ）A ．15B ．16C ．7D ．8【答案】C【解析】先把集合M 的所有元素求出，再求其非空子集. 【详解】{}1,2,3M =,所以M 的非空子集为{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3共7个，故选C. 【点睛】本题主要考查集合的子集求解.可以采用列举法，也可以采用公式，集合M 若有m 个元素，则M 的子集个数为2m 个，非空子集的个数为21m -个.2．若等差数列{}n a 的前n 项和为489,1,9n S a a a =+=, 则9S =（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】B【解析】由等差数列的基本量法计算． 【详解】设数列的公差为d ，首项为1a ，则41891312159a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得14379a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴91984799()3616239S a d ⨯=+=⨯-+⨯=． 故选：B. 【点睛】本题考查求等差数列的前n 项和，掌握等差数列的基本量法是解题关键．3．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．18B ．36C ．54D ．54185+【答案】C【解析】由三视图还原出原几何体，由体积公式计算． 【详解】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面为平行四边形，故体积33654V Sh ==⨯⨯=， 故选：C ． 【点睛】本题考查棱柱的体积，考查三视图，解题关键是由三视图还原出原几何体． 4．已知1sin cos 2αα+=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．34 B ．34-C ．38D ．38-【答案】A【解析】把已知平方求得sin 2α，再由诱导公式得出结论． 【详解】 由已知，()2133sin cos 1sin 2,sin 2,cos 2sin 24424παααααα⎛⎫+=+==-+=-= ⎪⎝⎭， 故选：A 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查二倍角公式和诱导公式，解题关键是确定已知角和未知角的联系，确定选用什么公式计算．5．如图所示的流程图，最后输出的x 的值为（ ）A ．54B ．55C ．108D ．110【答案】B【解析】模拟程序运行，确定程序功能，然后由等差数列前n 项和公式计算． 【详解】有题可知，2,2i x ==；3,24i x ==+； 4,246i x ==++； L ，55,24?··108i x ==+++，∴246+1085554x +++==L ，故选：B 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题关键是确定程序功能，由等差数列的求和公式计算．6．已知向量, m n u r r 的夹角为60︒，且13213m m n -==u r r u r ，则n =r （ ）A ．32- B ．32C ．32D ．2【答案】D【解析】把向量的模用向量的数量积表示出来，由数量积的定义求解． 【详解】222232(32)912cos 60413m n m n m m n n ︒-=-=-+=u r r u r r u r u r r r ，又1m =u r ， ∴22320n n --=r r，解得2n =r ，故选：D 【点睛】本题考查求向量模，掌握数量积的定义和性质是解题关键．7．“ATM ”自动取款机设定: 一张银行卡一天最多允许有三次输人错误，若第四次再错则自动将卡吞收一天晚上，李四在“ATM ”自动取款机上取款，一时想不起该卡的密码，但可以确定是五个常用密码中的一个，他第一次输入其中的一个密码是错误的，则他在确保不被吞卡的前提下取到款的概率是（ ） A ．15B ．14C ．12D ．34【答案】C【解析】还有4个密码，其中只有一个正确，只能试两次．第一次正确和第二次正确是互斥事件，每次正确的概率都是14．由此可得． 【详解】他只能再试两次，第一次试成功的概率是14， 第二次试成功的概率是311434=g ，两次是互斥事件111442P ∴=+=， 故选：C 【点睛】本题考查互斥事件概率，解题关键是剩下两次试验中第二次试验正确的概率为311434⨯=，不是13． 8．在封闭的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB=6，AA 1=4，则V 的最大值是（ ）A ．16πB ．32π3C ．12πD ．【答案】D【解析】先利用正三棱柱的特征，确定球半径的最大值，再利用球的体积公式求解. 【详解】正三角形ABC 的边长为6，其内切圆的半径为2r =<，所以在封闭的正三棱柱ABC－A 1B 1C 1343V r π==，故选D. 【点睛】本题主要考查组合体中球的体积的求解.球的体积和表面积的求解关键是求出球半径.9．定义在R 上的函数f （x ）满足()()()()2log 1,0,12,0,x x f x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨--->⎪⎩则f （2019）的值为（ ） A ．－2 B ．－1C ．2D ．0【答案】D【解析】先根据函数解析式求解出周期，利用周期求值. 【详解】0x >时，()(1)(2)f x f x f x =---①，(1)(2)(3)f x f x f x -=---②，两式相加可得()(3)f x f x =--，所以周期为6.2(2019)(3)(2)(1)(0)10f f f f f log ==-=-=-=,故选D. 【点睛】本题主要考查利用函数的周期求值.先利用周期把所求化到已知区间，再代入对应的解析式即可.10．已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足22OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ）A ．B ．2C D【解析】先利用对称求出点P 的坐标，结合∠OPF 2＝∠POF 2可知2PF c =，利用两点间距离公式可求得离心率. 【详解】设00(,)P x y 是1F 关于渐近线b y x a =-的对称点，则有000022y a x c by x cb a ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩；解得222(,)b a abP c c-；因为∠OPF 2＝∠POF 2，所以2PF c =，222222()()b a ab c c c c--+=；化简可得2e =，故选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求,,a b c 之间的关系式. 11．已知定义在R 上的函数()(),'f x f x 是其导函数，且满足()()()212f x f x f e '->=-，,则不等式()2x f x e +≥的解集为（ ）A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】B【解析】构造新函数()()2xf x F x e+=，由已知确定()F x '的正负，得()F x 的单调性，不等式变为()(1)F x F >，然后可求解． 【详解】 令()()2x f x F x e +=，则()()()()'2'0,xf x f x F x F x e --=>∴在R 上为增函数，又()12f e =-，()()()1211,22x f F f e e +∴==+>Q 可化为()21xf x e+>，即()()1F x F >，()1,x ∴∈+∞【点睛】本题考查利用导数解不等式，解题关键是构造新函数()()2xf x F x e+=．二、填空题12．已知实数x ，y 满足条件04010,x y x y x -≤⎧⎪+-<⎨⎪-≥⎩，，则22(2)x y +-的取值范围是________．【答案】[1,4)【解析】作出可行域，结合图形可得. 【详解】作出可行域，如图，()222x y +-可以看做可行域内的点到点(0,2)A 的距离的平方，可以看出在点,B C处取临界值，所以可得()222x y +-的范围为[1,4). 【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示的区域及最值求解.作出图形，结合表达式的几何意义，可以方便求解.13．曲线()31xy x e =-+在点()0, 1处的切线方程为__________．【答案】21y x =-+.【解析】求出导数，得切线斜率，从而得切线方程． 【详解】()()33132x x x y e x e x e '=-+-+=--，所以0'2x k y ===-,故切线方程为()120y x -=--.即21y x =-+.故答案为：21y x =-+． 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是求出导数得出切线斜率．14．在正项等比数列{}n a 中，1008101110091010210ma a a a +=⨯,则122018lg lg lg a a a +++=L ______. (用数字及m 表示)．【答案】1009m .【解析】由等比数列的性质结合对数运算法则计算． 【详解】在正项等比数列{}n a 中，12018220171008101110091010···10ma a a a a a a a ====()()100912201812201812018lg lg lg lg lg 1009lg101009m a a a a a a a a m∴+++=⋅⋅⋅=⋅==L L 故答案为：1009m ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，即数列{}n a 是等比数列，正整数,,,m n p l 满足m n p l +=+，则m n p l a a a a =．15．已知F 是抛物线24y x =的焦点，其准线与x 轴交于P 点，过P 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，设,FA FB 的斜率分别为,m n ,则mn=__________． 【答案】-1.【解析】求出,F P 坐标，设()()()1122,,,,:1A x y B x y l y k x =-，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，把这个结论代入mn可得． 【详解】()()1,0,1,0,F P -Q 设()()()1122,,,,:1A x y B x y l y k x =-，由()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩，得()2222212242240k k x k x k x x k-+-+=⇒+=，121x x =g ，()()11221212111111k x y x x m n x y x k x +--==--+g g()()()()()()1212121212121111111x x x x x x x x x x x x +----===--++--g g g ．故答案为：1-． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题时设交点坐标与直线方程，()()()1122,,,,:1A x y B x y l y k x =-，由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得1212,x x x x +，再代入其他条件计算求解．这是设而不求思想．三、解答题16．在ABC ∆中，中线AD 交边BC 于点54,16,sin ,cos 135D BD B ADC ==∠= （1）求AD 的长 （2）求ABC ∆的面积 【答案】（1）25；（2）240.【解析】（1）由两角差的正弦公式求得sin BAD ∠，再由正弦定理可得AD ； （2）再由正弦定理求出AB ，然后由面积公式计算面积． 【详解】()541sin ,cos 135B ADC =∠=Q 123cos ,sin 135B ADC ∴=∠= ()sin sin sin cos BAD ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠Q cos sin ADC B -∠312451651351365=⨯-⨯=， 由正弦定理，得655sin 1625sin 1613BD AD B BAD =⨯=⨯⨯=∠()()32sin sin sin 5BDA ADC ADC π∠=-∠=∠=Q 由正弦定理，得133sin 2539sin 55AD AB BDA B =⨯∠=⨯⨯=115sin 39322402213ABC S BA BC B ∆∴==⨯⨯⨯=g g 【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式，考查两角差的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理是解题关键．17．某学校为更好进行校纪、校风管理，争创文明学校，由志愿者组成“小红帽”监督岗，对全校的不文明行为进行监督管理，对有不文明行为者进行批评教育，并作详细的登记，以便跟踪调查下表是5个周内不文明行为人次统计数据:（1）请利用所给数据求不文明人次y 与周次x 之间的回归直线方程y bx a =+$$$,并预测该学校第9周的不文明人次;（2）从第1周到第5周的记录得知，高一年级有4位同学，高二年级有2位同学已经有3次不文明行为.学校德育处决定先从这6人中任选2人进行重点教育,求抽到的两人恰好来自同一年级的概率参考公式：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnxx x ====---==--∑∑∑∑$，$$a y bx=-$ 【答案】（1）$8.5125.5y x =-+，49；（2）715P =. 【解析】（1）由所给公式计算回归直线方程中的系数，得方程，代入9x =得估计值； （2）把6人编号，用列举法列出任选2人的所有基本事件，然后得出2人是同一年级的基本事件，计数后可求概率． 【详解】解：()1由表中数据知1234512010510090853,10055x y ++++++++====，5152215141515008.555455i ii i i x y x ybx x==--==-∴=--∑∑$$125.5ay bx =-=$ ∴所求回归直线方程为$8.5125.5y x =-+令9x =，则$8.59125.5=49y =-⨯+∴该学校第9周的不文明人次为49人次，()2设高一年级的4位同学的编号分别为1234,,,a a a a .高二年级的2位同学的编号分别为12,b b从这6人中任选2人包食以下基本事件:()()()()()1213141112,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b ()()()()()2324212231,,,,,,,,,,a a a a a b a b a b ()()()()32414212,,,,,,,,a b a b a b b b共15个基本事件，其中两人恰好来自同一年级包含7个基本事件，∴所求概率715P =【点睛】本题考查线性回归直线方程，考查古典概型，用列举法列出所有基本事件是古典概型常用方法．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面1,1,2ABCD AB AD CD BAD ===∠90,2,CDA PC PD E ︒=∠===为PB 的中点（1）求证:平面PAD ⊥平而PBC ; （2）求三棱锥E PAD -的体积 【答案】（1）证明见解析；（2）112.【解析】（1）由勾股定理得PC PD ⊥，再由面面垂直的性质定理得AD 与平面PCD 垂直，得线线垂直，从而有线面垂直，再得面面垂直；（2）由E 是PB 中点得P ADE B ADE V V --=，求出P ABD -的体积即可得． 【详解】()1证明:在PCD ∆中，2222,2.PC PD CD PC PD CD ===+=，PC PD ∴⊥.90,CDA AD CD ︒∠=∴⊥Q .又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD CD =，AD ∴⊥平面,PCD AD PC ∴⊥.又,PD AD D PC ⋂=∴⊥平面PAD .PC ⊂Q 平面PBC 。
2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(含答案)
2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(三)文数
文科数学参考答案·第1页（共7页）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（三）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBBCABDCDCBB【解析】1．41{123}M x x x ⎧⎫=>∈=⎨⎬⎩⎭N ，，，，则M 的非空子集的个数为3217-=，故选C ． 2．(i 1)(1i)(2i 1)(1i)13i z +-=--=+，1313i i 2222z z =+=-，，故选B ． 3．172635489229a a a a a a a a a +=+=+==+=，，∴916S =，故选B ．4．由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面为平行四边形，故体积33654V Sh ==⨯⨯=，故选C ．5．213π3(sin cos )1sin 2sin2cos 2sin 24424αααααα⎛⎫+=+==-+=-= ⎪⎝⎭，，，故选A ．6．由题意可知22i x ==，；324i x ==+，；4246i x ==++，；L ；5524108i x ==+++L ，， 最后输出的2461085554x ++++==L ，故选B ．7．2222|32|9||12||||cos604||132||3||20m n m m n n n n -=-︒+=--=u r r u r u r r r r r ，，解得||2n =r ，故选D ．8．他只能再试两次，第一次试成功的概率是14，第二次试成功的概率是311434=g ，两次是互斥事件，∴111442P =+=，故选C ． 9．由题意知，当球与正三棱柱的部分面相切时，体积最大，若球与三个侧面都相切时，选取3时球的半径为2，而23>球放不进去，所以半径为3，球的体积最大，文科数学参考答案·第2页（共7页）∴3max 44ππ3333V R ==⨯43π=，故选D ．10．由题可知(1)1(0)0f f -==，，∴(1)(0)(1)011(2)(1)(0)1f f f f f f =--=-=-=-=--，01=-，(3)(2)(1)110(4)(3)(2)011f f f f f f =-=-+==-=+=，，(5)(4)(3)f f f =-=101(6)(5)(4)110f f f -==-=-=，，L ，当123n =L ，，，时，()f n 的取值依次是11--，，011011--L ，，，，，，，故()f x 的取值是以6为周期，∴(2019)(3)0f f ==，故选C ．11．由题意可知12(0)(0)F c F c -，，，，一条渐近线方程为by x a=-，1F 到它的距离为d =22a b+b =，1PF 与渐近线交于M ，则1F M MP b ==，由22OPF POF ∠=∠，得OP =2OF c =，又O 为12F F 的中点，∴2//OM F P ，∴21F PF ∠为直角，∴22244c c b =+⇒22234()c c a =-，∴2242cc a e a=⇒==，故选B ． 12．令()2()e x f x F x +=，则()()2()0e xf x f x F x '--'=>，∴()F x 在R 上为增函数，又(1)e 2f =-，∴(1)2(1)1e f F +==，∵()2e x f x +>可化为()21e xf x +>，即()(1)F x F >，∴(1)x ∈+∞，，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16答案(14]，21y x =-+1009m 1-【解析】13．如图，画出不等式组的区域，(13)(11)(22)A B C ，，，，，，22(2)x y +-表示ABC △内部的点()M x y ，到(02)P ，的距离的平方，所以221(2)4x y <+-≤．14．3e (31)e (32)e x x x y x x '=-+-+=--，所以0|2x k y ='==-，故切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+．文科数学参考答案·第3页（共7页）15．在正项等比数列{}n a 中，12018220171008101110091010a a a a a a a a ====L 10m =，∴12lg lg a a ++L+2018122018lg lg()a a a a ==g gL g 100912018lg()1009lg101009m a a m ==g ．16．∵(10)(10)F P -，，，，设1122()()A x y B x y ，，，，l ：(1)y k x =+，由2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，，得22k x 22(24)0k x k +-+=212122421k x x x x k -⇒+==g ，，mn =121211y x x y --g 1212(1)11(1)k x x x k x +-=-+g 1212(1)(1)(1)(1)x x x x +-=-+g 12121212()11()1x x x x x x x x ---==-+--g g ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）∵54sin cos 135B ADC =∠=，， ∴123cos sin 135B ADC =∠=，， ∵3124516sin sin()sin cos cos sin 51351365BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠=⨯-⨯=，由正弦定理，得655sin 1625sin 1613BD AD B BAD =⨯=⨯⨯=∠．………………………………………………………………………………（6分）（2）∵3sin sin(π)sin 5BDA ADC ADC ∠=-∠=∠=， 由正弦定理，得133sin 2539sin 55AD AB BDA B =⨯∠=⨯⨯=， ∴115sin 39322402213ABC S BA BC B ==⨯⨯⨯=g g △． ……………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表中数据知3x =，100y =， …………………………………………（2分）∴5152215141515008.555455i ii ii x yx ybxx ==--===---∑∑$，………………………………………（3分）文科数学参考答案·第4页（共7页）$125.5ay bx =-=$， ∴所求回归直线方程为$8.5125.5y x =-+． ……………………………………（5分） 令9x =，则$8.59125.549y =-⨯+=， ∴该学校第9周的不文明人次为49人次． ……………………………………………（6分） （2）设高一年级的4位同学的编号分别为1a ，2a ，3a ，4a ，高二年级的2位同学的编号分別为1b ，2b ，从这6人中任选2人包含以下基本事件：1213141112()()()()()a a a a a a a b a b ，，，，，，，，，， 23242122343132414212()()()()()()()()()()a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，其中两人恰好来自同一年级包含7个基本事件， ∴所求概率715P =． ……………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（1）证明：在PCD △中，22PC PD CD ===，，222PC PD CD +=， ∴PC PD ⊥，∵90CDA ∠=︒，∴AD CD ⊥，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD CD =， ∴AD ⊥平面PCD ，∴AD PC ⊥， 又PD AD D =I ，∴PC ⊥平面PAD ， ∵PC ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． ……………………………………………………………（6分） （2）解：取CD 的中点O ，连接PO ， ∵2PC PD ==1PO CD PO ⊥=，，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD CD =， ∴PO ⊥平面ABCD ，因为E 为PB 的中点，所以点E 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离的一半，文科数学参考答案·第5页（共7页）∴11111111111222323212E PAD B PAD P ABD ABD V V V S PO ---===⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=△．……………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由已知得2145AF F ∠=︒，所以由1AB AF ⊥和椭圆的定义，得12AF AF a ==， 并且2222242a c a c =⇒=，又124F AF S =△， 得28a =，24c =，故2224b a c =-=，所以椭圆E ：22184x y +=．……………………………………………………（4分） （2）直线1l ：2y x =-+，代入2228x y +=，得2380x x -=， 从而得82(02)33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，此时8||23AB又设直线2l ：y x m =+，由条件知1023m -<<， 将y x m =+代入2228x y +=，得2234280x mx m ++-=， 设1122()()C x y D x y ，，，，则2121242833m x x m x x -+=-=，， ……………………………………………………（7分）所以22221212164(28)2||2()42896933m m CD x x x x m -=+-=-=-+ 又1023m -<<，∴210009m <≤，∴264896969m <-+≤， ………………………（10分）∴828293=<28||96333CD =当且仅当0m =时取等号， ∵1||||2ACBD S AB CD =g ， ∴188642223927ACBD S >=，12ACBD S ⨯≤8832236339=文科数学参考答案·第6页（共7页）综上，四边形ACBD 面积的取值范围是64326279⎛ ⎝，．…………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）当1a =-时，21()5ln 2f x x x =+-， ∴211()(0)x f x x x x x-'=-=>，由()0f x '>，解得1x >；由()0f x '<，解得01x <<，故()f x 在(01)，上为减函数，在(1)+∞，上为增函数． ………………………………（4分） （2）2(1)(1)()()(1)= (0)a x a x a x x a f x x a x x x x-++--'=-++=>，当1a ≤时，()f x 在[1e]，上为增函数，∴min 9()(1)2f x f a ==-； 当1e a <<时，()f x 在(1)a ，上为减函数，在(e)a ，上为增函数， ∴2min()()5ln 2a f x f a a a a ==--++；当e a ≥时，()f x 在[1e]，上为减函数，∴2min e ()(e)(1)e 52f x f a a ==-+++，综上所述，当1a ≤时，min 9()2f x a =-； 当1e a <<时，2min ()5ln 2a f x a a a =--++；当e a ≥时，2mine ()(1)e 52f x a a =-+++．………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）∵2ρ=，∴24ρ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=． …………………………………………（1分） 由点A 的极坐标为π26⎛⎫⎪⎝⎭，，知点A 的直角坐标为(31)，， 菱形ABCD 的顶点都在圆2C 上，所以菱形ABCD 是正方形，文科数学参考答案·第7页（共7页）故知各顶点的直角坐标为(31)(13)(31)(13)A B C D ----，，，，，，，． ………………………………………………………………………………（5分）（22222||||||||MA MC MB MD ++22222222(3)(1)(3)(1)(1)(3)(1)(3)x y x y x y x y -+-++++++-+-++g222222228228228x y x y x y ++++++g ，将22440x y --=22222||||||||10MA MC MB MD x ++=，∵||1x ≥，∴21x ≥2222||||||||10MA MC MB MD ++，当1x =±时，取得最小值10． ………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：当12a =时，1221111()12222122x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=++-=-⎨⎪⎪>⎪⎩，，，≤≤，，，结合图象知，不等式()2f x <的解集{|11}M x x =-<<， …………………………（2分） 同理可得，当14a =时，不等式()1f x <的解集1122P x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………………………………（4分）（2）证明：∵m M n P ∈∈，， ∴22111114122m n m n -<<-<<<<，，，， 22222222(2)(12)441(1)(14)0m n mn m n m n m n +-+=+--=--<，∴22(2)(12)m n mn +<+，即|2||12|m n mn +<+． ………………………………（10分）。
云南师大附中2019年高考适应性抽考卷(四)文数-解析
云南师大附中2019年高考适应性抽考卷（四）文数-解析文科数学参考答案【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕【解析】1．{|13}A x x =-R ≤≤ð，故[14]A B =-R U ，ð，应选A 、2．因为1i 1i 1i 1i ||z z =+--++=+∴=，，应选C 、32222221sin sin sin C A B c a b =∴=+∴=+，，，故三角形为直角三因为D 为BC 边的中点，2233OB OC OD OA AO OD ∴+==-∴=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，，应选B 、5．由(2)(2)f x f x +=-知()f x 的周期为4，又()f x 是定义在R 上的奇函数，故11(4)(0)0(1)(1)(1)(4)22f f f f f f ===--=∴+=，，，应选B 、6．1n =时2162a b ==，，不满足a b ≤；2n =时63124a b ==，，不满足a b ≤；3n =时189248a b ==，，满足a b ≤，输出3n =，应选D 、7．函数3()3log x f x x =+在(0)+∞，是增函数，故零点是唯一的，又00m x <<，那么0()()0f m f x <=，应选B 、8．由三视图知，该几何体下面是三棱柱，上面是三棱锥，故其表面积为：11112221211222282222S =⨯⨯+⨯+⨯++⨯⨯+⨯+⨯=+D 、9. π())cos(2)2sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，所以将()f x 的图象向左平移π4个单位后，得到πππ()2sin 22cos 2466g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，其对称中心为点 π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，πππ2cos 200π263ϕϕϕ⎛⎫∴⨯++=<<∴= ⎪⎝⎭Q ，又，，应选C 、 10．因为双曲线22221(00)x yC a b a b-=>>：，，那么双曲线C 为等轴双曲线，即a b =，其渐近线为y x =±，与抛物线22(0)x py p =>交于A B ，两点，可得(22)(22)A p p B p p -，，，，所以14282OAB S p p p ==∴g g △，为2x =，应选C 、11．设外接球O 的半径为R ，ABC △外接圆1O 的半径为r ，那么22164ππ169S R R ==∴=，，2sin 60a r r =∴=∴︒，，棱锥的高h ==，1O O ∴=22⎫∴+⎪⎪⎝⎭⎝⎭2=⎝⎭，1213a ∴=，12．由题意，325420172016462018a a a a a a +=+=-+=-L ，，，，以上各式相加得：201711008S a -=-，又20171110071(0)S b a b a b =--∴+=>，，11111323232()55ab a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭≥当且仅当1132a b a b=时等号成立，应选D 、【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕【解析】13．由题意所求圆的圆心坐标为(01)-，，所以所求圆的标准方程为22(1)5x y ++=．14．由不等式组所表示的平面区域知：当2z x y =+过点(12)，时，max 4z =；当2z x y =+过点(21)-，时，min 3z =-，所以2z x y =+的取值范围是[34]-，．15．设扇形OAB 的半径为r ，那么扇形OAB 的面积为221505ππ36012r r ︒=︒，以OA为直径的半圆的面积为2211ππ228r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故所求概率为221π781510π12rr -=． 16．条件等价于在平面直角坐标系中有点(22)A ， ，存在点P 到y 轴的距离为该点到A 点距离的2倍，求该点到x . 设()P x y ，，由题意得：x =2y =为2+．【三】解答题〔共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕设等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >， 由1304n a a a >=，得22a =，……………………………………………………………〔2分〕又3a 是22a -与4a 的等差中项，故232422222222a a a q q q =-+∴=-+∴=g ，，或=0q 〔舍〕．……………………〔4分〕所以2122n n n a a q --==，122.n b n n n a b n +∴==∴=，……………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，121211111122(21)(21)22121n n n n n n c a b b n n n n +-+⎛⎫=+=+=+- ⎪-+-+⎝⎭g ， ………………………………………………………………………………………〔8分〕所以数列{}n c 的前n 项和12(12)11122.1222121n n n n n +-⎛⎫=+-=-+ ⎪-++⎝⎭ ………………………………………〔12分〕18．〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：正方形ABCD 中，AD AB ⊥，又AD AF ⊥，且AB AF A =I ，所以AD ABEF ⊥平面，又AD BC BC ABEF BC EF ∴⊥∴⊥Q ∥，平面，， 因为ABE △和AFE △都是等腰直角三角形， 所以4590AEF AEB BEF ∠=∠=︒∴∠=︒，， 即EF BE ⊥，且BC BE B =I ，所以EF BCE ⊥平面．……………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知，BC ABEF BC AE AE AB AB BC B ⊥∴⊥⊥=I 平面，，又，，设点A 到平面BMP 的距离为h ，那么 即点A 到平面BMP的距离为2112分〕19．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕因为x y z ，，成等差数列，所以25a b ，，也成等差数列， 即225b a =+，且125a b +=， 所以7550a b ==，．………………………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕第4，5，6组的总人数为150，那么第4组抽取的人数为7563150⨯=，第5组抽取的人数为5062150⨯=，第6组抽取的人数为2561150⨯=．…………………………………〔7分〕 〔Ⅲ〕记第4组的3人分别为123a a a ，，，第5组的2人分别为12b b ，，第6组的1人为c ，那么从抽取的6人中选3人的所有情况为12312112212()()()()a a a a a b a a b a a c ，，，，，，，，，，，，共20种，其中至少有1人在第5组的情况有16种， 所以，所求概率164205P ==．…………………………………………………………〔12分〕20．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为(0)+∞，，当0a =时，1()1(0)f x bx b=++>，那么22211()bx f x b x x-'=-+=，()0()00f x x f x x''>⇒><⇒<所以()f x在0⎛ ⎝单调递减，在+∞⎪⎪单调递增，x ∴=()f x 的极小值为131f b ==∴=，．…………………〔6分〕〔Ⅱ〕由题意，当2a -≥时，()F x 在区间(02]，上的最大值max ()2F x ≥．…………〔7分〕由〔Ⅰ〕知，121()ln 1ln 1F x a x x a x x x x x=+++-=-++，那么221()(02)x ax F x x x ++'=<≤. ①当22a -≤≤时，222124()0a a x F x x⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭'=>，故()F x 在(02]，上单调递增，max ()(2)F x F =；②当2a >时，设2210(40)x ax a ++=∆=->的两根分别为12x x ，，那么1212120100x x a x x x x +=-<=∴<<g ，，，，所以在(02]，上221()0x ax F x x ++'=>，故()F x 在(02]，上单调递增，max ()(2)F x F =．综上，当2a -≥时，()F x 在区间(02]，上的最大值max 1()(2)ln 22122F x F a ==-++≥， 解得12ln 2a -≥，所以实数a 的取值范围是12ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，．………………………〔12分〕 21．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕由题意知，当点E 是椭圆的上、下顶点时，12EF F △的面积最大，此时12EF F △的面积123S c b c ===g g ，①又椭圆的离心率2ce a ==，②由①②得：222633a c b ===，，，所以，椭圆C 的标准方程为22163x y +=．………………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕设直线l 的方程为11223()()x my P x y Q x y =+，，，，，那么直线AP 的方程为1111(2)2y y x x --=--，那么111201y x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，即11(2)301m y M y ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，， 同理可得22(2)301m y N y ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，．…………………………………………………………〔7分〕由22326x my x y =+⎧⎨+=⎩，，得22(2)630m y my +++=， 由223612(2)0m m ∆=-+>得21m >且1212226322m y y y y m m+=-=++，，…………〔9分〕所以1212(2)3(2)355||||2121m y m y DM DN y y ----=----g g 故||||DM DN g 为定值14．……………………………………………………………〔12分〕22．〔本小题总分值10分〕【选修4−解：〔Ⅰ〕由直线l 的参数方程：2xy ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得直线l 的普通方程为20x y+-， 由ρθ=得220x y +-=，配方得22(3x y +-=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3xy +=．………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得222322⎛⎫⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 即210t -+=，因为0∆>，所以可设12t t ，是点A B ，所对应的参数，那么12121t t t t+==g ．又直线过点(2P ，所以1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=〔10分〕23．〔本小题总分值10分〕【选修4−5：不等式选讲】解：〔Ⅰ〕由()2f x ≥得|3|2x t +≥，解得23t x -≥或23t x --≤， 由题意2132133t t -⎧=⎪⎪⎨--⎪=-⎪⎩，，所以1t =-．………………………………………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，()|31|f x x =-，所以(1)(1)|32||34||(32)(34)|6f x f x x x x x +--=+--+--=≤， 当且仅当43x ≥时等号成立，所以6m >，故实数m 的取值范围为(6)+∞，．……………………………………………………〔10分〕。
2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(文科)(含答案)
2019-2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（六）一、选择题1．（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{0，1}【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【解答】解：{|02}A x x =<<，{0B =，1}，{|02}AB x x ∴=<．故选：B ．【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，绝对值不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= ) A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：32(1)(1)(1)(1)12i i i i i --=-+=-=． 故选：C ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a ab -=-，则||(b = )A B ．2 C ．3 D ．4【分析】根据条件进行数量积的运算即可得出31()1||22a ab b -=-=-，解出||b 即可． 【解答】解：a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a ab -=-，∴231()1||22a ab a a b b -=-=-=-， ∴||3b =．故选：A ．【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则y x 的最大值为( )A ．2B ．32C ．1D ．23【分析】由约束条件作出可行域，再由yz x=的几何意义，即可行域内的动点与定点(0,0)O 连线的斜率求解．【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，作出可行域如图，联立122y x y =⎧⎨-=⎩，解得3(2A ，1)，yz x=的几何意义为可行域内的动点与定点(0,0)O 连线的斜率． 32y z x ==， y z x ∴=的最大值为32． 故选：B ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．5．（5分）某校为了解高一高二各班体育节的表现情况，统计了高一高二各班的得分情况并绘成如图所示的茎叶图，则下列说法正确的是( )A．高一年级得分中位数小于高二年级得分中位数B．高一年级得分方差大于高二年级得分方差C．高一年级得分平均数等于高二年级得分平均数D．高一年级班级得分最低为34【分析】由茎叶图求出高一、高二得分的中位数，判断A错误；根据高一、高二得分分布情况，判断方差大小，得出B错误；计算高一、高二的平均数，判断C正确；写出高一年级得分的最低分，判断D错误．【解答】解：由茎叶图知，高一得分的中位数是1(5556)55.52⨯+=，高二得分的中位数是1(5253)52.32⨯+=，所以高一得分的中位数大，A错误；高一得分数据分布在43~70内，高二得分分布在36~77之间，所以高二得分更分散些，高二得分方差更大些，B错误；计算高一的平均数为1(43454651555657636470)55 10⨯+++++++++=，高二的平均数为1(36454750525361646577)55 10⨯+++++++++=，所以高一得分的平均分与高二得分平均数相等，C正确；高一年级得分的最低分为43，D错误．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图求中位数、平均数和极值的应用问题，也考查了判断方差的应用问题，是基础题．6．（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k，则事件“直线y kx=与双曲线22:1C x y-=有两个不同的交点“发生的概率为()A．13B．12C．23D．1【分析】故联立方程组成方程组，利用判别式大于0求解，同时应注意二次项系数不为0，求出k 的范围，以及对应区间长度即可求解．【解答】解：将直线y kx =代入双曲线221x y -=，化简得22(1)10k x --=直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点∴△0>且210k -≠1k ∴≠±且11k -<<；即11k -<<； 故所求概率为：101303-=-． 故选：A ．【点评】本题的考点是几何概型以及直线与圆锥曲线的关系，主要考查直线与双曲线有两个不同的交点，关键是联立方程组成方程组，根据判别式求解．7．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( ) A ．3π B ．2π C ．23π D ．34π 【分析】由已知利用正弦定理可得sin B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos B 的值，进而根据两角和的余弦函数公式可求cos C 的值，结合范围(0,)C π∈，可得C 的值．【解答】解：sin A =，a =，c a >，∴由正弦定理可得sin A B ，可得sinB ===c a b >>，cos A ∴=，cos B =cos cos()sin sin cos cos C A B A B A B ∴=-+=-==， (0,)C π∴∈，可得34C π=． 故选：D ．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】在A 和B 中，平面EFG 平行于棱柱中AB 所在平面，直线AB 与平面EFG 平行；在C 中，直线AB 与平面EFG 相交；在D 中，//AB FG ，直线AB 与平面EFG 平行．【解答】解：A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，在A 中，平面EFG 平行于棱柱中AB 所在平面，∴直线AB 与平面EFG 平行，故A 错误； 在B 中，平面EFG 平行于棱柱中AB 所在平面，∴直线AB 与平面EFG 平行，故B 错误； 在C 中，直线AB 与平面EFG 相交，∴直线AB 与平面EFG 不平行，故C 正确； 在D 中，//AB FG ，AB ⊂/平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，∴直线AB 与平面EFG 平行，故D 错误． 故选：C ．【点评】本题考查直线与平面平行的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A ．12a a >B ．17a a >C ．63T =D ．76T T <【分析】运用对数的换底公式和运算性质，结合基本不等式，作差比较1a ，2a 与1a ，7a 的大小，可判断A ，B ；再由对数的换底公式和运行性质可判断C ，D ． 【解答】解：由1log (2)n n a n +=+，2222212243()343249820233223423lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg a a lg lg lg lg lg lg lg lg +----=-=>=>，可得12a a >，故A正确； 12392790288lg lg lg lg a a lg lg lg --=-=>，可得12a a >，故B 正确； 又1232341log 3log 4log 5log (2)n n n T a a a a n +=⋯=⋯+ 345(2)(2)234(1)2lg lg lg lg n lg n lg lg lg lg n lg ++=⋯=+， 则6832lg T lg ==，故C 正确； 由7932lg T lg =>，可得76T T >，故D 错误． 故选：D ．【点评】本题考查数列的各项的大小和前n 项之积，考查对数的运算性质和基本不等式的运用，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．10．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A 1B ．2C D 【分析】由题意求出抛物线及椭圆的解得可得p 与c 的关系，再由两个曲线的交点与焦点共线可得可得交点A 的坐标横坐标与F 的相同，代入抛物线可得A 的纵坐标，将A 代入椭圆由a ，b ，c 的关系及离心率的取值范围可得离心率的值 【解答】解：由抛物线2:2(0)E y px p =>可得解得坐标为：(2p，0)， 再由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>可得焦点坐标为：(,0)c ±，由于两个曲线的焦点坐标相同，所以可得2pc =，即2p c =，由于椭圆及抛物线的对称性可得：A ，B ，F 三点共线，可得A x c =，2A y c =，即(,2)A c c ，而A 在椭圆上，所以222241c c a b+=，整理可得22222(4)c b a ab +=，即2222222(4)()c a c a a a c -+=-整理可得：42610e e -+=， (0,1)e ∈，解得1e =，故选：A ．【点评】本题考查椭圆及抛物线的性质对称性可得A ，F ，B 三点共线的性质，属于中档题．11．（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形．已知点B ，C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且AE AB =，点F 为EC 的中点．设2AC r =，DAC α∠=，那么下列结论：①2cos DC r α=，②2cos2AB r α=， ③(1cos2)FC r α=-， ④2(2)DC r r AB =- 其中正确的是( )A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④【分析】根据题意，依次分析四个结论是否正确，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析4个结论： 对于①，在ADC ∆中，2AC r =，DAC α∠=，2ADC π∠=，则sin 2sin DC AC r αα==，①错误；对于②，在ABC ∆中，2AC r =，22BAC DAC α∠=∠=，2ADC π∠=，则cos 2cos2AB AC BAC r α=∠=，②正确；对于③，1111()()(22cos2)(1cos2)2222FC EC AC AE AC AB r r r αα==-=-=-=-，③正确； 对于④，在ADC ∆中，sin 2sin DC AC r αα==，则222224sin 2(1cos2)(22cos2)(2)DC r r r r r DC r r AB ααα==-=-==-，④正确； 综合：②③④正确； 故选：D ．【点评】本题考查弧度制、三角函数的计算，涉及正余弦定律的应用，属于基础题． 12．（5分）已知定义在R 上的偶函数||()sin()(0x f x e x ωϕω=+>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示，设0x 为()f x 的极大值点，则0cos (x ω= )A B C ．35D ．45【分析】根据题设条件，可得||()cos2x f x e x =，考虑0x 的情况，利用导数可得当22,2x k k Z πβπ+=+∈时，()f x 有极大值，由此即可得解．【解答】解：依题意，函数sin()y x ωϕ=+为偶函数， 又0ϕπ<<，故2πϕ=，由图象可知，3()()044f f ππ==，可得2ω=， ||()cos2x f x e x ∴=，由函数()f x 为偶函数，故只需考虑0x 的情况， 当0x 时，()cos 2x f x e x=，()(cos22sin )cos(2),sin x x f x e x x x βββ'=-=+=， 当22,2x k k Z πβπ+=+∈时，()f x 有极大值，故0cos2cos()sin 2x πββ=-==．故选：B ．【点评】本题涉及了三角函数的恒等变换，三角函数的图象及性质，利用导数研究函数的极值，函数的奇偶性等知识点，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）命题“(0,)x ∀∈+∞，220x x m -- “为真命题，则实数m 的最大值为 1- ． 【分析】问题等价于“(0,)x ∀∈+∞，22m x x -”恒成立，求出2()2f x x x =-在(0,)x ∈+∞上的最小值即可．【解答】解：命题“(0,)x ∀∈+∞，220x x m --”为真命题， 等价于“(0,)x ∀∈+∞，22m x x -”恒成立， 设2()2f x x x =-，(0,)x ∈+∞， 所以()f x f （1）1=-， 所以1m -，即实数m 的最大值为1-． 故答案为：1-．【点评】本题考查了全称量词命题的应用问题，是基础题．14．（5分）设a R ∈，已知直线:20l ax y a +-=与圆22:(2)4C x y -+=交于A ，B 两点，则弦AB 的长为 4 ．【分析】由直线系方程可得直线过已知圆的圆心，则答案可求． 【解答】解：由20ax y a +-=，得(2)0a x y -+=，可得直线:20l ax y a +-=过定点(2,0)，即过圆22:(2)4C x y -+=的圆心．∴弦AB 的长为圆的直径等于4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线系方程，是基础题．15．（5分）已知函数1,(0,2]()(2),(2,)x f x x f x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈+∞⎩，则()f x 在3x =处的切线方程为40x y +-= ．【分析】依题意，可求得()f x 在3x =处的切线方程的斜率及切点的坐标，从而利用直线的点斜式即可得到答案． 【解答】解：1,(0,2]()(2),(2,)x f x xf x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈+∞⎩， f ∴（3）(32)f f =-=（1）1=，又当(0x ∈，2]时，1()f x x=， 21()f x x ∴'=-，f '（1）1=-，()f x ∴在3x =处的切线方程为：1(3)y x -=--，即40x y +-=， 故答案为：40x y +-=．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求得()f x 在3x =处的切线的斜率是关键，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知平面内一正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为点O ，将该正六边形沿对角线AD 折成二面角E AD C --，则当二面角E AD C --的平面角余弦值为13时，三棱锥O CEF -的外接球表面积为 2π ．【分析】首先对正六边形进行折叠，求出该直观图形，进一步利用余弦定理的应用求出三角形CEF 为等腰直角三角形，最后利用勾股定理的应用，求出外接球的半径，最后求出球的表面积．【解答】解：平面内一正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为点O ， 如图所示：将该正六边形沿对角线AD 折成二面角E AD C --， 如图所示：则当二面角E AD C --的平面角余弦值为13时，即在线段OD 上取中点G ，所以EG GC = 在EGC ∆中，利用余弦定理2222cos EC EG GC EG GC EGC =+-⨯⨯⨯∠，解得23312443EC =+-， 解得1EC =．由于//EF AD ，EG AD ⊥，GC AD ⊥， 所以AD ⊥平面EGC ， 所以AD EC ⊥，故EFC ∆为等腰直角三角形． 由于1OE OF OC ===，所以三棱锥O CEF -的外接球的球心在过EFC ∆斜边CF 的中点，且垂直于CF 的直线上，整理得1OF OE OC ===，CF解得FK CK OK ===． 如图所示：设外接球的球心为H ， 故：设外接球的半径为r ，所以222)r r +-=，解得r =． 即球心H 和K 重合． 故：24()22S ππ=⨯=． 故答案为：2π【点评】本题考查的知识要点：折叠问题的应用，线面垂直的应用，余弦定理的应用，三棱锥体和外接球的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利．已知某市某快递点的收费标准为：首重（重量小于等于1)kg 收费10元，续重5元/kg （不足1kg 按1kg 算）．（如：一个包裹重量为2.5kg ，则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用）（1）若你有三件礼物A ，B ，C 重量分别为0.4kg ，1.2kg ，1.9kg ，要将三个礼物分成两个包裹寄出（如:A ，B 合为一个包裹，C 一个包裹），那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？（2）对该快递点近5天的每日揽包裹数（单位：件）进行统计，得到的日揽包裹数分别为56件，89件，130件，202件，288件，那么从这5天中随机抽出2天，求这2天的日揽包裹数均超过100件的概率．【分析】本题第（1）题根据题意将三个礼物分成两个包裹共有3中分法，然后具体计算每一种所花费的快递费，综合可得花费的快递费最少的情况；第（2）题应用组合及概率的知识可解决．【解答】解：（1）由题意，可知①当A ，B 合为一个包裹，C 一个包裹时，AB 包裹的重量为0.4 1.2 1.6()kg +=，C 包裹的重量为1.9kg ，AB 包裹的快递费为10515+=（元)，C 包裹的快递费为10515+=（元)，此时快递费一共为151530+=（元)． ②当A ，C 合为一个包裹，B 一个包裹时，AC 包裹的重量为0.4 1.9 2.3()kg +=，B 包裹的重量为1.2kg ，AC 包裹的快递费为105220+⨯=（元)，B 包裹的快递费为10515+=（元)，此时快递费一共为201535+=（元)． ③当B ，C 合为一个包裹，A 一个包裹时，BC 包裹的重量为1.2 1.9 3.1()kg +=，A 包裹的重量为0.4kg ，BC 包裹的快递费为105325+⨯=（元)，A 包裹的快递费为10（元)，此时快递费一共为251035+=（元)．经过比较，可发现当A ，B 合为一个包裹，C 一个包裹时，花费的快递费最少．（2）由题意，可知这5天中日揽包裹数均超过100件的天数为3天， 故从这5天中随机抽出2天，求这2天的日揽包裹数均超过100件的概率为 2325310C p C ==．【点评】本题主要考查应用数学知识解决实际问题的能力．考查了分类讨论思想，转化思想，及数学运算能力．本题属中档题．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当*n N ∈时，122n n S n +=--． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当*n N ∈时，证明： 111()22n n na i a +-+ 3124123()22n na a a a ii n a a a a ++++⋯+<+ 【分析】（1）由122n n S n +=--，得111a S ==；当2n 时，再由1n n n a S S -=-求数列{}n a 的通项公式；（2）（ⅰ）11212(21)112212121n n n n n n n a a ++--+===+---，下面利用数学归纳法证明1212n n --，则由111122212n n n n a a +-=++-； （ⅱ）由（ⅰ）知，11122n n na a +-+，代入后利用等比数列的前n 项和证明结论． 【解答】解：（1）由122n n S n +=--，得111a S ==； 当2n 时，11222(1)221n n n n n n a S S n n +-=-=---+-+=-． 11a =适合上式，∴21n n a =-；证明：（2）（ⅰ）11212(21)112212121n n n n n n n a a ++--+===+---． 下面利用数学归纳法证明1212n n --．当1n =时，左边1=，右边1=，左边=右边，不等式成立； 当2n =时，左边3=，右边2=，左边>右边，不等式成立；假设当n k =时不等式成立，即1212k k --，则当1n k =+时，左边11(1)1212212(21)1212k k k k k +-+-=-=-+-=+． 即1n k =+时，不等式成立． 综上，明1212n n --．∴111122212n n n n a a +-=++-； （ⅱ）由（ⅰ）知，11122n n na a +-+． 则312401*********(2)(2)(2)(2)2222n n n a a a a a a a a +-+++⋯+++++++⋯++ 2111(1)11112(1)222(1)2221222212n n n n n n n -⨯-=+++⋯++=+=-+<+-． 【点评】本题考查由数列递推式求数列的通项公式，考查等比数列的前n 项和，训练了利用放缩法与数学归纳法证明数列不等式，是中档题．19．（12分）如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形1221A A B B ，1212//A A B B ，12122A A B B =，112A B =，圆台12O O 的侧面积为6π．若点C ，D 分别为圆1O ，2O 上的动点且点C ，D 在平面1221A A B B 的同侧． （1）求证：12AC A C ⊥； （2）若1260B B C ∠=︒，则当三棱锥12C A DA -的体积取最大值时，求多面体1221CDA A B B 的体积．【分析】（1）设圆1O ，2O 的半径分别为r ，2r ，依题意可得1r =，分析可知1212111224,2,A A B B A B O O ====22CO =，21212CO A A =，由此即可得证；（2）利用基本不等式及已知条件可得点D 为弧12A A 的中点时，V 此时能求出四棱锥1221111(24)322C A A B B V -=⨯⨯⨯+，由此求得多面体1221CDA A B B 的体积．【解答】解：（1）证明：设圆1O ，2O 的半径分别为r ，2r ， 圆台的侧面积为6π，∴162(24)2r r πππ=⨯+，解得1r =，∴在等腰梯形1221A A B B 中，1212111224,2,A A B B A B O O ====连接12O O ，1O C ，2O C ，在圆台12O O 中，12O O ⊥平面12B CB ，1O C 在平面12B CB 内， 121O O O C ∴⊥，又11O C =，故在△12O CO 中，22CO =， 在△12CA A 中，21212CO A A =，故1290ACA ∠=︒，即12ACA C ⊥；（2）由题意可知，三棱锥12C A DA -的体积为1212121||||||3A DA V O O SA D A D =，又在Rt △12A DA 中，222121212162||||A D A D A A A D A D +==，当且仅当12||||A D A D ==取等号，即点D 为弧12A A 的中点时，V 过点C 作12CM O B ⊥交12O B 于点M ， 12O O ⊥平面12B CB ，CM 在平面12B CB 内，12O O CM ∴⊥，12O O 在平面1221A A B B 内，12O B 在平面1221A A B B 内，12121O O O B O =，CM ∴⊥平面1221A A B B ，又2130B O C ∠=︒，则点C 到平面1221A A B B 的距离12CM =，∴四棱锥1221111(24)322C A A B B V -=⨯⨯⨯+， 综上，当三棱锥12C A DA -的体积取最大值时，多面体1221CDA A B B 的体积121221C A DA C A A B B V V V --=+．【点评】本题考查线线垂直的判定以及多面体体积的求法，还涉及了基本不等式的运用，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题． 20．（12分）已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且||||(2)AF BF λλ=． （1）求直线l 斜率的取值范围；（2）过点A ，B 分别作抛物线C 的切线交于点P ，求FP AB ．【分析】（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，可得22(1)11(2)44k λλλλ-==+-，结合2λ即可得解；（2）利用导数可得直线21111:24AP y x x x =-，直线22211:24BP y x x x =-，进而得到点(2,1)P k -，由此求得FP AB ．【解答】解：（1）抛物线21:4C y x =的焦点(0,1)F ，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，代入抛物线方程21:4C y x =，可得2440x kx --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x k +=，124x x =-，||||AF BF λ=， 12x x λ∴=-，又222(1)4,4x k x λλ-=-=-，可得22(1)11(2)44k λλλλ-==+-，当2λ时，218k ，∴24k -或24k ；（2）对214y x =求导得12y x '=，则直线1111:()2AP y y x x x -=-， 又21114y x =，所以直线21111:24AP y x x x =-， 同理可得直线22211:24BP y x x x =-， ∴点1212(,)24x x x x P +，即(2,1)P k -， ∴2121(2,2),(,)FP k AB x x y y =-=--，∴222121212112()2()2()()02FP AB k x x y y k x x x x =---=---=， ∴0FP AB =．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也涉及了导数的运用，考查运算求解能力，属于中档题．21．（12分）已知函数2()2f x lnx x x =+-． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）判断并说明函数()()cos g x f x x =-的零点个数．若函数()g x 所有零点均在区间[m ，](,)n m Z n Z ∈∈内，求n m -的最小值【分析】（1）求导，判断导函数与0的关系，即可求得单调性情况；（2）分(0,1)x ∈，[1,)2x π∈，[,3)2x π∈以及[3x ∈，)+∞四种情况，利用导数结合零点存在性定理即可得出结论．【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，21221()22x x f x x x x-++'=+-=，令()0f x '=，得12x x ==（舍)， 当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，当1(x x ∈，)+∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在1(0,)x 单调递增，在1(x ，)+∞单调递减．（2）2()2cos g x lnx x x x =+--， ①当(0,1)x ∈时，1()22sin g x x x x'=+-+， 又1()22f x x x'=+-单调递减，故()12201g x '>+-+=， ()g x ∴在(0,1)单调递增，又11111(1)1cos10,()cos 0442164g g ln =->=+--<，∴存在唯一1(0,1)x ∈，使得1()0g x =；②当[1,)2x π∈时，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x''=--+<，()g x ∴'单减，又2()2102g πππ'=+-+>，故()0g x '>，()g x ∴在[1,)2π上单增，又g （1）1cos10=->，故()0g x >，此时不存在零点；③当[,3)2x π∈时，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x''=--+<，()g x ∴'单减，又1()0,(2)24sin 2022g g π'>'=+-+<，∴存在0[,2)2x π∈，使得0()0g x '=，且当0[,)2x x π∈时，()0g x '>，()g x 单增，当0(x x ∈，3)时，()0g x '<，()g x 单减，又2()0,(2)2cos20,(3)369cos30224g ln g ln g ln ππππ=+->=->=+--<，∴存在唯一2(2,3)x ∈，使得2()0g x =；④当[3x ∈，)+∞时，22()12130g x x x x x x <-+-+=-+，故不存在零点． 综上，()g x 存在两个零点1(0,1)x ∈，2(2,3)x ∈， n m ∴-的最小值为3．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于较难题目．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为1cos sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩，(α为参数，且(0,))απ∈，若点M 为曲线C 上的动点，直线OM 交直线2x =于点P ．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C 的极坐标方程及点P 轨迹的极坐标方程； （2）当||3PM =时，求点P 的极坐标．【分析】（1）由曲线C 的参数方程化为普通方程，再由普通方程与极坐标cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得极坐标的方程，由三角形相似可得对应比成比例，可得P 的极坐标方程； （2）由P ，M 的极坐标可得极角，进而可得极径，求出P 的极坐标．【解答】解：（1）曲线C 的方程为1cos sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩，(α为参数，且(0,))απ∈，可得：1cos sin x y αα-=⎧⎨=⎩可得22(1)1x y -+=，(0)y >整理可得：2220x y x +-=所以极坐标方程为：22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=， 设(M ρ'，)(P θρ，)θ，由三角形相似可得：22ρρ='，所以4422cos cos ρρθθ===' 所以P 的轨迹的极坐标方程为：2cos ρθ=； （2）由||3PM =可得：22cos 3cos θθ-=，整理可得22cos 3cos 20θθ+-=，可得1cos 2θ=，所以3πθ=，所以2412ρ==， 所以P 的极坐标(4,)3π【点评】本题考查简单曲线的极坐标，参数方程与普通方程之间的互化，即在极坐标形式中由两点间的距离求极坐标，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数()|1||1|f x x x =+--的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）设正数a ，b ，c 满足a b c M ++，求证：43ab ac bc ++． 【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：||||||||a b a b --，可得()f x 的最大值M ；（2）运用三个数的完全平方公式和重要不等式222a b ab +，以及累加法，结合不等式的传递性，即可得证．【解答】解：（1）由||1||1|||1(1)|2x x x x +--+--=，则2|1||1|2x x -+--，当1x 时，取得最大值2， 可得()f x 的最大值2M =；（2）证明：正数a ，b ，c 满足2a b c ++， 可得2()4a b c ++，即为2222224a b c ab bc ca +++++， 又222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，可得222a b c ab bc ca ++++，（当且仅当a b c ==取得等号）， 则2223332224ab bc ca a b c ab bc ca +++++++， 可得43ab bc ca++（当且仅当a b c ==取得等号）． 【点评】本题考查绝对值不等式的性质和运用：求最值，考查不等式的证明，注意运用重要不等式和不等式的性质，考查运算能力、推理能力，属于基础题．。
2019师大附中高三月考(四)文数答案
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云南省云南师大附中2024届高三上学期适应性月考(四)文综试题
文科综合试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂具他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分300分，考试用时150分钟。
一、选择题(本大题共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)河北省宣化市的葡萄种植采用适于庭院的“漏斗架式” (图1)，将葡萄集中种植在一个5~10平方米的圆坑内，在四周搭起架子，架子呈施射状向上倾斜30°~35°，葡萄藤从中间向四周攀爬。
当地所产的牛奶葡萄质脆多汁，酸糖比适中。
近年来，宣化市的漏斗架葡萄园面积有所减小。
据此完成1~2题。
图11.相比传统的排架，宣化市采用漏斗架种植葡萄的优势是A. 高效利用水肥B.节约土地面积C.利于枝叶通风D.增大昼夜温差2.近年来宣化市漏斗架葡萄种植园面积减小的主要原因是①城市发展快②架子难搭建③市场需求小④产业的升级A.②③B. ①②C. ③④D. ①④文科综合·第1页(共16页)日本自2008年开始进入人口负增长时代，人口老龄化现象严重，城市内部逐渐出现大量空置房屋及土地，影响城市原有空间结构。
为了优化土地利用、消除空置，日本政府引导医疗、养老、教育等公益性设施向轨道交通车站地区集聚，提出了“选址优化规划”模式。
图2示意日本“选址优化规划”模式实施前后的城市空间结构对比。
据此完成3~5题。
3.日本城市内部空房、空地增多可能带来的影响是A.治安管理难度降低B.基础设施利用率提高C.城市景观环境优化D. 城市防灾功能下降4.“选址优化规划”模式以公共交通为核心，主要考虑的是A.减少碳排放B.避免交通拥堵C.应对老龄化D.有效集聚人口5.日本城市实施“选址优化规划”模式后，可能出现的变化有①规划区内城市多核心发展②城市用地规模扩张③核心区域服务能力提高④城市形态沿铁路干线延伸A.①②B.②③C. ①③D. ②④灌丛沙堆是风沙流运移过程中受到植被作用形成的地貌景观，主要分布在干旱—半干旱荒漠地区、半湿润的沙质海岸及河湖周边地区。
2019届云南师范大学附属中学高三月考四理科数学试卷【含答案及解析】(1)
2019届云南师范大学附属中学高三月考四理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，则（）A． ___________ B． ___________ C． ______________ D．2. 设 i 是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a= （）A．-2 ______________ B．2 ______________ C． ______________ D．3. 某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并按编号顺序平均分成10组（1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（）A．23 ______________ B．33 ___________ C．43 ______________D．534. 已知中，，，D为边BC的中点，则（）A．3 ___________ B．4 ___________ C．5 ______________ D．65. 若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（）A． ____________________ B． ____________________ C．____________________ D．26. 已知变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值是（）A．4 _________ B．3 _________ C．2 ______________ D．17. 执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）A．2______________ B．3 ______________ C．4 ______________ D．58. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20 ____________________________ B．24C．16 ____________________________ D．9. 数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n等于（）A．17 ______________ B．16 ______________ C．15 ___________ D．1410. 已知圆C：，直线，圆C上任意一点P到直线的距离小于2的概率为（）A． ______________ B． ______________ C．____________________ D．11. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，则满足的直线有（）条A．4 ______________ B．3 ______________ C．2 ______________ D．112. 已知函数，方程恰有3个不同实根，则实数a的取值范围是（）A． ___________ B． ___________ C．______________ D．二、填空题13. 设函数是定义在R上的周期为3的偶函数，当时，，则___________ .14. 正方体的棱长为3，点P是CD上一点，且，过点三点的平面角底面ABCD于PQ，点Q在直线BC上，则PQ=____________________ .15. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则______________ .16. 点P为双曲线右支上的一点，其右焦点为，若直线的斜率为，M为线段的中点，且，则该双曲线的离心率为____________________ .三、解答题17. 已知向量，，，设函数的部分图象如图所示，A为图象的最低点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形，其高为 .（1）求的值及函数的值域；（2）若，且，求的值.18. 某学生参加3个项目的体能测试，若该生第一个项目测试过关的概率为，第二个项目、第三个项目测试过关的概率分别为x，y（），且不同项目是否能够测试过关相互独立，记为该生测试过关的项目数，其分布列如下表所示：（1）求该生至少有2个项目测试过关的概率；（2）求的数学期望 .19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，侧面底面ABCD，并且，F为SD的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值.20. 如图，过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M，N两点，当平行于x轴和垂直于x轴时，被椭圆所截得的线段长均为 .（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点A不同的定点B，使得对任意过点的动直线都满足？若存在，求出定点B的坐标，若不存在，请说明理由.21.设函数，，若是函数的极值点. （1）求实数a的值；（2）当且时，恒成立，求整数n的最大值.22. 【选修4-1：几何证明选讲】如图，的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，的平分线与BC相交于点D，求证：（1）；（2） .23. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为 .（1）求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求面积的最小值.24. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数 .（1）解不等式：；（2）已知，求证：恒成立.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2019年云南省师大附中上学期高三数学(文科)高考适应性月考考试试卷(三)参考答案
高考数学精品复习资料2019.5云南师大附中高三适应性月考卷(三)数学(文) 参考答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)【解析】1．当0k =时，1x =；当1k =时，4x =；当2k =时，7x =，{147}A =，，．故选B ． 2．1i 22z =-11, 22⎛⎫- ⎪⎝⎭对应的点是，故选A ． 3．因为(2a b b -⊥)，所以(20a b b -⋅=)，即250m -+=，即25m =，所以||43a m =+=，故选B ．4．由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为PAC △，是边长为2的正三角形，PD ABC ⊥平面，且PD =ABC △为等腰直角三角形，A B B C==，所以体积为1132V =C ． 5．1211134242322k S k S ==+⨯===+⨯=当时，；当时，；332233103k S ==+⨯=当时，；4,28k x k ===当时输出．故选A ．6．根据奇偶性定义知，A 、B 为偶函数，C 为奇函数，D 定义域为{|1}x x >-不关于原点对称，故选D ．7．选项A ，否命题为“若211x x ≠≠，则”；选项B ，命题:p x ⌝∀∈“R ，2210x x --≤”；选项D ，“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故选C ．8．不等式组所表示的区域如图2所示，则max min 6, 3.z z ==故选C ．9．区域1Ω为圆心在原点，半径为4的圆，区域2Ω为等腰直角三角形，两腰长为4，所以218116π2πS P S ΩΩ===，故选A ． 10．375526,3a a a a +==-∴=-，2,92(2)213n d a n n ∴==-+-=-，671,1,a a ∴=-=6S ∴最小．故选D ．11．sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x <⎧=⎨⎩≥由图象知，函数值域为1⎡-⎢⎣⎦，A 错；当且仅当π2π()4x k k =+∈Z，C 错；最小正周期为2π，D 错．故选B ．12．构造函数()(),x f x g x e=则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e '''--'==，因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<，故函数()()x f x g x e=在R上单调递减，所以(2013)(0)(2013)(0)g g g g -><，，即20132013(2013)(2013)(0)(0)f f f f e e --><，，也就是21(2013)e f f f e-><，，故选D ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(0.160.38)15027+⨯⨯=．14．sin cosc A C⋅=⋅，sin sin cos.C A A C⋅=⋅由正弦定理得：sin0,sinA C C≠∴=，tan C∴=，又ABC△是锐角三角形π3A B C∴===，1222ABCS∴=⨯⨯△15．如图3，设三棱锥A BCD-的外接球球心为O，半径为r，BC＝CD＝BDAB＝AC＝AD＝2，AM BCD⊥平面，M为正BCD△的中心，则DM＝1，AMOA＝OD＝r，所以22)1r r-+=，解得r=2164ππ3S r==．16．由图知，2222()()a cbc c+=++，整理得220c ac a--=，即210e e--=，解得e=，故e=．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)22n nS a=-，1122(2)n nS a n--∴=-≥，112,2(2)nn nnaa a na--∴==≥．又12a =，{}22na∴是以为首项,为公比的等比数列，1222n nna-∴=⋅=．……(5分)(Ⅱ)2nnb n=⋅，1231222322nnT n=⋅+⋅+⋅++⋅，23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅．两式相减得：1212222n n n T n +-=+++-⋅，12(12)212n n n T n +-∴-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-，12(1)2n n T n +∴=+-⋅．……(12分)18．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由公式2255(2020105)11.9787.87930252530K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关．……(6分)(Ⅱ)设所抽样本中有m 个男生，则643020mm ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作123412,,,,,.B B B B G G 从中任选2人的基本事件有1213(,)(,)B B B B 、、1411122324212234(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)B B B G B G B B B B B G B G B B 、、、、、、、、 3132414212(,)(,)(,)(,)(,)B G B G B G B G G G 、、、、，共15个，其中恰有1名男生和1名女生的事件有111221(,)(,)(,)B G B G B G 、、、223132(,)(,)(,)B G B G B G 、、、41(,)B G 、 42(,)B G ，共8个，所以恰有1名男生和1名女生的概率为815P =．……(12分) 19．(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：如图4，∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB ．又∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴MD //AP ，∴AP ⊥PB ．又已知AP ⊥PC ，∴AP ⊥平面PBC ，∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ，AC AP A =，∴BC ⊥平面APC ，……(6分)(Ⅱ)解：记点B 到平面MDC 的距离为h ，则有M BCD B MDC V V --=．∵AB ＝10，∴MB ＝PB ＝5，又BC ＝3，BC PC ⊥，4PC ∴=， ∴11324BDC PBC S S PC BC ==⋅=△△．又MD =，13M BCD BDC V MD S -∴=⋅△在PBC △中，1522CD PB ==，又MD DC ⊥，12MDC S MD DC ∴=⋅=△1112335B MDC MDC V h S h h -∴=⋅=⋅∴=△，即点B 到平面MDC 的距离为125．……(12分)20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()ln 1f x x '=+，令1()0f x x e'==，得．当10,,()0,()x f x f x e ⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭单调递减；当1,,()0,()x f x f x e ⎛⎫'∈+∞> ⎪⎝⎭单调递增．10,22t t e>+>>因为，(1)当min 1110()t f x f e e e ⎛⎫<<==- ⎪⎝⎭时，；(2)当min 1()()ln .t f x f t t t e==≥时，所以min11,0,()1ln ,.t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥……(6分)(Ⅱ)由22ln 3x x x mx -+-≥得32ln m x x x++≤． 设3()2ln (0)h x x x x x=++>， 则2(3)(1)()x x h x x+-'=．令()0h x '=，得1x =或3x =-(舍)，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，h (x )单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，h (x )单调递增， 所以min ()(1) 4.h x h ==所以min () 4.m h x =≤……(12分)21．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)2212e c a c ==∴=，, 1b =则,2=12x y ∴+椭圆的方程为,221122=1340(),()21x y y x x A x y B x y y x ⎧+⎪-=⎨⎪=-+⎩，联立消去得：，设，，，，则41,,(0,1),33A B AB ⎛⎫-∴=⎪⎝⎭6分) (Ⅱ)设1122()()A x y B x y ，，，．1212=00OA OB OA OB x x y y ⊥∴+=，，即，22222222221()2(1)01y x y a b x a x a b a b y x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-+⎩，由消去得，， 222222=(2)4()(1)0a a a b b ∆--+->由，整理得221a b +>，22212122222(1)2a b a x x x x a b a b -+==++又，， 12121212(1)(1)(+)+1y y x x x x x x ∴=-+-+=-，1212121202()10x x y y x x x x +=-++=由得，22222222(1)210a b a a b a b -∴-+=++，222220a b a b +-=整理得：，222222b a c a a e =-=-，代入上式得2222111211211a a e e ⎛⎫=+∴=+⎪--⎝⎭，，2111242e e ∴≤≤≤， 221341122431e e ∴-∴-≤≤，≤≤， 2711331e∴+-≤≤， 22273162a a b ∴+>≤≤，适合条件，2a a．……(12分)22．(本小题满分10分)【选修4—1：几何证明选讲】(Ⅰ)证明：23AE AB =，∴1.3BE AB =在正ABC △中，13AD AC =，∴.AD BE = 又AB BC =，BAD CBE ∠=∠，∴BAD △≌CBE △， ∴ADB BEC ∠=∠，即πADF AEF ∠+∠=，所以A ，E ，F ，D 四点共圆．……(5分) (Ⅱ)解：如图5，取AE 的中点G ，连结GD ，则1.2AG GE AE ==23AE AB =， ∴1233AG GE AB ===． 1233AD AC ==，60DAE ∠=︒， ∴AGD △为正三角形，∴2,3GD AG AD ===即2,3GA GE GD ===所以点G 是AED △外接圆的圆心，且圆G 的半径为23． 由于A ，E ，F ，D 四点共圆，即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为23．……(10分) 23．(本小题满分10分)【选修4—4：坐标系与参数方程】解：(Ⅰ)由点M的极坐标为π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得点M 的直角坐标为(4，4)，所以直线OM 的直角坐标方程为x y =．……(4分)(Ⅱ)由曲线C的参数方程1,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，化成普通方程为：2)1(22=+-y x ， 圆心为A (1，0)，半径为2=r ．由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离最小值为25||-=-r MA ．……(10分)24．(本小题满分10分)【选修4—5：不等式选讲】解：(Ⅰ)原不等式等价于313,,222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-+--⎩⎩≤≤或≤≤或1,2(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--⎩≤，解之得3131212222x x x <--<-≤或≤≤或≤， 即不等式的解集为{|12}x x -≤≤．……(5分) (Ⅱ)()2123(21)(23)4f x x x x x =++-+--=≥， 14a ∴->，解此不等式得35a a <->或．……(10分)。
云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考数学文科(解析版)
云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考数学文科一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由，得．，由，得或．∞，∞．则，．故选：D．分别求解一元二次不等式及分式不等式化简A，B，再由交，并，补集的混合运算求解．本题考查一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，考查交，并，补集的混合运算，是基础题．2.设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解：由，得，，则，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限角．故选：C．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.根据如图给出的2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是A. 自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势B. 自2005年以来，我国人口增长率维持在上下波动C. 从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大D. 可以肯定，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变大【答案】D【解析】解：由2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，知：在A中，自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势，故A正确；在B中，自2005年以来，我国人口增长率维持在上下波动，故B正确；在C中，从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大，故C正确；在D中，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变小，故D错误．故选：D．利用人口总量及增长率的统计图直接求解．本题考查命题真假的判断，考查人口总量及增长率的统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.圆周率 是数学中极为有名的常数，引起了古今中外无数学者们的兴趣有趣的是，用概率的方法也能求得 的近似值其做法是：往一个画有内切圆的正方形区域内随机撒豆子，利用落人圆内豆子的频率来计算 的近似值某人某次试验共往正方形区域内随机撒下了N颗豆子，统计落入圆内的豆子共有M粒，则此次试验可计算出 的近似值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由几何概型中的面积型，结合随机模拟试验可得：圆，正所以，即 ，故选：D．，所以，即 ，得解．由几何概型中的面积型得：圆正本题考查了几何概型中的面积型，结合随机模拟试验解决面积的比例问题，属中档题．5.以椭圆的焦点为焦点，以直线：为浙近线的双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：椭圆中，焦点为，；以、为焦点，以直线：为浙近线的双曲线的方程中，，，，，解得，，所以所求双曲线的方程为．故选：B．根据椭圆方程求出焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标与浙近线方程求出和，即可写出双曲线的方程．本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．6.函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中错误的是A. 的一个周期为B. 的图象关于对称C. 是的一个零点D. 在上单调递减【答案】D【解析】解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，，的一个周期为 ，故A正确；的对称轴满足：，，当时，的图象关于对称，故B正确；由，得，是的一个零点，故C正确；当时，，在上单调递增，故D错误．故选：D．推导出，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．7.给出下列两个命题：命题：函数是定义在上的奇函数，当时，则的值为；命题：函数是偶函数，则下列命题是真命题的是，A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢【答案】B【解析】解：，命题是真命题，由得，则，即，则是奇函数，故题是假命题，则￢是真命题，其余为假命题，故选：B．根据函数性质分别判断命题，的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，判断命题的真假是解决本题的关键．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图：转换为几何体为：底面为扇形的直棱柱，底面的扇形面积为，故：，故选：B．首项把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，又，，．，，．．故选：C．由，又，化简再利用倍角公式即可得出．本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知在菱形ABCD中， ，曲线是以A，C为焦点，通过B，D两点且与直线相切的椭圆，则曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图，由题意可得，，则设椭圆方程为．联立，得．由，解得．曲线的方程为．故选：B．由题意画出图形，结合已知可得，设椭圆方程为，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0求得b，则椭圆方程可求．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆标准方程的求法，是中档题．11.已知是定义在∞上的单调函数，且对任意的∞，都有，则方程的解所在的区间是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意，可知是定值，不妨令，则又，整理得，解得所以有所以，令可得，，即零点在区间内所以的解所在的区间是故选：D．由题意，可知是定值令，得出，再由求出t的值即可得出的表达式，求出函数的导数，即可求出的解所在的区间选出正确选项本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度12.已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：以A为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设则由得化简得：，又，，， ，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C．建系后，写出四个顶点的坐标，设出动点P的坐标，将已知几何条件坐标化，得圆的方程再根据向量知识得 ， ，最后利用的几何意义做题即可．本题考查了平面向量的基本运算属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件则的最小值为______．【答案】3【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数过点A时，z取得最小值，由，解得，所以z的最小值为．故答案为：3．画出约束条件表示的平面区域，结合图象找出最优解，计算目标函数的最小值．本题考查了简单的线性回归方程应用问题，是基础题．14.在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为______．【答案】【解析】解：根据等比数列的性质可得，这个数列中所有项的乘积为，故答案为：．根据等比数列的性质可得，即可求出这个数列中所有项的乘积．本题考查了等比数列的性质，属于基础题．15.设函数在∞∞内有定义，对于给定的正数K，若定义函数，取函数，当时，函数的单调递增区间为______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，，若，即，解可得，则此时，其单调递增区间为∞；故答案为：∞．根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析，即的解集，据此可得，进而分析可得答案．本题考查分段函数的应用，注意分析的含义，属于基础题．16.如图，在正方体中，点P为AD的中点，点Q为上的动点，给出下列说法：可能与平面平行；与BC所成的最大角为；与PQ一定垂直；与所成的最大角的正切值为；．其中正确的有______写出所有正确命题的序号【答案】【解析】解：由在棱长为1的正方体中点P为AD的中点，点Q为上的动点，知：在 中，当Q为的中点时，，由线面平行的判定定理可得PQ与平面平行，故 正确；在 中，当Q为的中点时，，，，可得，故 错误；在 中，由，可得平面，即有，故 正确；在 中，PQ与所成的角即为PQ与所成的角或与所成角，当Q与，或重合时，PQ与所成的角最大，其正切值为，故 正确；在 中，当Q为的中点时，PQ的长取得最小值，且为，故 正确．故答案为： ．由当Q为的中点，由线面平行的判定定理可判断 ；由Q为的中点，结合线线垂直的判断可判断 ；由线面垂直的判定和性质可判断 ；运用异面直线所成角的定义，结合解直角三角形可判断 ；由Q为的中点时，结合图形可判断 ．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知为数列的前n项和，且满足．求数列的通项；令，证明：．【答案】解：，可得，解得，时，，即有，则；证明：，，，，则．【解析】由数列的递推式：，时，，计算结合等比数列的通项公式可得所求；求得，，由数列的裂项相消求和，即可得证．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机ℎ技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、注：图中2，单位：小时代表分组为i的情况求饼图中a的值；假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？只需写出结论从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由【答案】解：由饼图得：．假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于小时的概率大约为，若抽到高一、高三的同学则不能估计．【解析】由饼图性质能求出a．估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况．本题考查概率的求法，考查古典概型、饼图性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，在四棱锥中，，，，，，垂足为E．求证平面PCD；求点E到平面PCD的距离．【答案】证明：于点E，为PA的中点，如图，取PD中点F，连结EF，CF，，，，，，四边形BCEF是平行四边形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．解：，，，，，，又平面PCD，平面PCD，，平面PCD，点E为PA的中点，点E到平面PC的距离为．【解析】推导出E为PA的中点，取PD中点F，连结EF，CF，推导出四边形BCEF 是平行四边形，从而，由此能证明平面PCD．由，，得，推导出，由此能求出平面PCD，从而能求出点E到平面PCD的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.过抛物线外一点M作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为，点P，Q在直线l：上，过P，Q两点对应的切点弦分别为AB，CD当点P在l上移动时，直线AB是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由当时，点P，Q在什么位置时，取得最小值？【答案】解：设，，，则，，抛物线的方程可变形为，则，直线PA的斜率为，直线PA的方程，化简，同理可得直线PB的方程为，由可得，直线AB的方程为，则是方程的解，直线AB经过定点．设，，由可知，，，，即，，异号，不妨设，则，且，，当且仅当，时取等号，即当，时，取得最小值4【解析】设，，，根据导数的几何意义，分别求出直线PA，PB的方程可得，可得直线AB的方程为，即可求出，设，，根据可得，妨设，则，且，，根据基本不等式即可求出．本题考查了直线和抛物线的位置关系，导数的几何意义，基本不等式的应用，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.已知函数．讨论的极值点；当时，证明：．【答案】解：的定义域为∞，，当时，，在∞上单调递减，无极值点．当时，，而，则在上单调递减，则∞上单调递增，则当时，取得极小值，此时无极大值．当时，，在∞上单调递减，无极值点．当时，，则在上单调递增，则∞上单调递减，则当时，取得极大值，此时无极小值．综上，当时，有极大值点，无极小值，当时，无极值，当时，有极小值点，无极大值，证明：由得当时，，故只需要证，，只需要证．令，则．令，则，故在∞上单调递增，，则．．【解析】求函数的导数，结合函数的极值和导数之间的关系进行讨论即可．当时，求出的最小值，结合导数和不等式的关系减转化证明即可．本题主要考查函数极值的求解，以及利用导数证明不等式，求出函数的导数，结合函数极值的定义是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，考查学生的运算和分析能力．22.已知曲线E的参数方程为为参数，以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系求曲线E的直角坐标方程和极坐标方程；设点A是曲线E上任意一点，点A和另外三点构成矩形ABCD，其中AB，AD 分别与x轴，y轴平行，点C的坐标为，求矩形ABCD周长的取值范围【答案】解：曲线E的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为：．设点A的坐标为，，，所以；，，，所以矩形的周长的取值范围为【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.解不等式；设a，b，且不全相等，若，证明：．【答案】解：原不等式等价于或或，解得：或或，故原不等式的解集是∞∞；证明：，，，，同理，，又a，b，且不全相等，故上述三式至少有1个不取“”，故．【解析】通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；根据不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
【百强市校】云南省师范大学附属中学2019届高三第六次月考数学(文)答案
15 ． 由 l ： (m 1) x (m 2) y m 3 0 ， 得 ( x y 1)m x 2 y 3 0 ， 当 x y 1 0 ，
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17． （本小题满分 12 分）
解： （1）由 2cos A(b cos C c cos B) 3a 2cos A(sin B cos C sin C cos B) 3 sin A
2 cos A sin A 3 sin A ，
(a，c，2)，(b，c，2)，(a，， 1 2)，(b，， 1 2)，(c，， 1 2) ，
……………………………………………………………………………………（9 分） 满足男柜员不少于女柜员的有 7 种，所以男柜员不少于女柜员的概率 P
7 ． 10
……………………………………………………………………………………… （12 分）
x 2 y 3 0 时，所以动直线 l ：(m 1) x (m 2) y m 3 0 过定点 M (1，2) ，又圆 C1
的圆心为 C1 (2， 1) ，半径 r1 6 ，∵ | MC1 | 9 9 3 2 6 ，∴点 M 在圆 C1 内，则当
1 1 (a 2b) 2 a 2b (a 2b) ≤ (a 2b) ，∴ a 2b ≥ 4 或 a 2b ≤ 2 2 4
-12 （舍） ，当且仅当 a 2b 2 时取等号，故选 B．
文科数学参考答案·第 1 页（共 8 页）
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高考数学精品复习资料
2019.5
云南师大附中高考适应性月考卷（四）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1.教材中定义函数：“设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称f ：A B →为集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈”；对于函数：||,{1,1}y x x =∈-，有A B 为（ ）
A ．{1}
B ．{-1}
C ．{-1,1}
D ．{1}或{-1,1} 2.设0x >，若2
()x i -是纯虚数（其中i 为虚数单位）则2
()x i -的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2i C ．2 D ．-2 3.由圆2
2
2x y +=与平面区域0
y x y x -≥⎧⎨+≤⎩所围成的图形（包括边界）的面积
为（ ） A ．
2π B ．3π C ．4
π
D ．π 4.图1是计算函数2,1
0,12,2x x y x x x ⎧-≤-⎪
=-<≤⎨⎪>⎩
的值的程序框图，则在○
1、○
2、○3处应分别填入的是（ ）
A ．2
,,0y x y x y =-== B ．2
,0,y x y y x =-== C ．2
0,,y y x y x ===- D ．2
0,,y y x y x ==-=
5.若某几何体的三视图如图2所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）
6.已知向量a b 、
的模都是2，其夹角是60︒，又=32,3OP a b OQ a b +=+，则P 、Q 两点间的距离为（
A ．
B
C ． D
7.已知ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，且sin cos B B =
，则ABC ∆是（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形或等腰直角三角形
8.点D 是ABC ∆的BC 边上不与B 、C 重合的某一点，数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若
22013(3)AD a AB a AC =-+，则2014S =（ ）
A ．1007
B ．2013
C ．2014
D ．4028
9.对于01a <<，给出下列四个不等式：○11log (1)log (1)a a a a +<+；○21log (1)log (1)a a
a a
+>+； ○
31
11a
a
a a ++<；○
4111a
a
a a
++>。
其中成立的是（ ）
A ．○
1与○3 B ．○1与○4 C ．○2与○4 D ．○2与○3 10.设函数()2cos()23
f x x π
π
=-，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x ≤≤，则12||x x -的
最小值为（ ） A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．4 11.在空间直角坐标系O xyz -中，棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1在空间移动，A 、B 分别在x 、y 轴上，则OC 1的长的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．4
12.定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图3.
若两正数a b 、满足(2)1f a b +<，则2
2
b a ++的取值范围是（ ） A ．11(,)32 B ．1
(,3)2
C ．1
(,)(3,)2
-∞-+∞ D ．(,3)-∞
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22—24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.11
<2+<3+<；…，则第n 个不等式为 。
14.正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是棱BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为 。
15.设函数()sin cos f x a x b x =-的图象的一条对称轴为4
x π=
，则直线0ax by c -+=的倾斜角为
16.已知函数3
()ln f x x x x =+的图象与函数()y g x =有一个公共点P(1，1)，若
232
()l n 2g x x x x '=-，则
()()f e g e '+= 。
三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的n N *
∈满足关系式233n n S a =-。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的通项公式是331
1
log log n n n b a a +=，前n 项和为n T 。
求证：对于任意的正
整数n ，总有1n T <。
18.（本小题满分12分）
如图4，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=︒，AC ∩BD=O 。
将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B —ACD ，点M 是棱BC 的中点，
DM=
（Ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面MOD ； （Ⅱ）求三棱锥M —ABD 的体积。
19.（本小题满分12分）
已知复数(,)z x yi x y R =+∈在复平面上对应的点为M 。
（Ⅰ）设集合{4,3,2,0},{0,1,2}P Q =---=，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；
（Ⅱ）设[0,3],[0,4]x y ∈∈，求点M 落在不等式组23000x y y x +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域内的概率。
20.（本小题满分12分）
已知P 是圆O ：22
4x y +=上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PM MQ =。
设动点M 的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点（m ，0）（||1m
>）作圆22
1x y +=的切线，设切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求弦||AB 的最大值。
21.（本小题满分12分）
已知函数2
()(2)ln ,()ln ()g x a x h x x ax a R =-=+∈。
令()()()f x g x h x '=+。
（Ⅰ）当0a <时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当32a -<<-时，若存在12,[1,3]λλ∈，使得12|()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-成立，求m 的取值范围。
请考生在第22—24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
如图5，ABC ∆为直角三角形，90ABC ∠=︒。
以AB 为直径的圆O 交AC 于点E 。
点D 是BC 边的中点。
（Ⅰ）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； （Ⅱ）设AB=4，AC=6，求DE 的长。
23.（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，已知点P
（，曲线C
的参数方程为(x y ϕ
ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）。
以原点O 为极点。
x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，直线l
的极坐标方程为2cos()
6
ρπ
θ=
-。
（Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系，说明理由；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A 、B ，求||||PA PB 的值。
24.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知函数()|2||5|f x x x =---
（Ⅰ）证明：3()3f x -≤≤；（Ⅱ）求不等式2
()815f x x x ≥-+的解集。