广义相对论第六次作业
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2 +
证明： M = 2ΩJ +
κ A + VQ 4π r+ − r− Q 2 r+ 2aJ ⇔ = + + M (r+2 + a 2 ) 2 r+2 + a 2
) 2 Ma 2 + M 2 − Q 2 − a 2 (r+2 + a 2 ) + Q 2 r+ ⇔ M (r+2 + a 2= ⇔ r− (r+2 + a 2 ) = 2 Ma 2 + Q 2 r+ ⇔ r− (2 Mr+ − Q 2 )= 2Ma 2 + Q 2 r+ ⇔ 2 Mr+ r− − 2 Ma 2 = Q 2 (r+ + r− ) 2 MQ 2 ⇔ 2 MQ 2 =
证明： M 2 = (mir +
2 ⇔ M 2 = mir +
Q4 Q2 J2 + + 2 2 16mir 2 4mir
2 ⇔M =
r+2 + a 2 Q4 Q2 M 2a2 + + + 4 4(r+2 + a 2 ) 2 r+2 + a 2
⇔ 4 M 2 (r+2 + a 2 ) = (r+2 + a 2 ) 2 + Q 4 + 2Q 2 (r+2 + a 2 ) + 4M 2 a 2
(M
− r+ ) δ r+ + r+δ M a 2δ r+ M δ r+ − + −δ M 2 2r+ 2r+ 2r+
= −
1 δM, 2
故 δM =
κ δ A + Ωδ J ，证毕。 8π
四、从 Bekenstein 公式的积分形式
M = 2ΩJ +
κ A， 4π
推出黑洞热力学第一定律
δM =
解： 由 M = 2ΩJ +
κ δ A + Ωδ J 。 8π
κ A ，有 4π
Baidu Nhomakorabea
δ M = 2Ωδ J + 2 J δΩ +
κ A δ A + δκ 4π 4π κ κ A δ A + δκ , =Ω δ J + δ A + Ωδ J + 2 J δΩ + 8π 8π 4π
2 2 aδ r+ + a 2 δa = Ma 2 − 2 2 2 2 r a + + r+ + a 2 2 2 2 r+ + a δ ( r+ − r− ) ( r+ − r− ) δ r+ + a + − 2 2 2 2 4 r+ + a r+ + a 2 aδ a a 2δ r+ a 2δ M 1 = − − + δ r+ 2 2r+ 2 Mr+ 2 2r+
(
2
)
r+ − r− δ 2 2 2 r+ + a
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
−
r δM 1 M δ r+ 1 2 δ M − δ r+ − + + δM + 2M 2 2r+ 2 4
aδ a a 2δ r+ a 2δ M r δM M δ r+ = − − − + + 2 Mr M 2r+ 2 2 2r+ 2r+ + =
《广义相对论基础》第六次作业答案
一、简述事件视界的概念。 事件视界为时空中保有时空对称性的、法矢类光的超曲面，是单向膜区的起点。 二、对 Kerr-Newman 黑洞，其外视界的位置为
r+ = M + M 2 − Q 2 − a 2 ，
其视界面的面积为 = A 4π (r+2 + a 2 ) 。 根据面积不减定理，定义黑洞的不可约质量为 A 1/ 2 mir = ( ) ， 16π 证明 M2 = (mir + 并分析史瓦西黑洞是黑洞的基态。 Q2 2 J 2 ) + 2 4mir 4mir Q2 2 J 2 ， ) + 2 4mir 4mir
4 ⇔ 4 M 2 r+2 − Q= (2 Mr+ − Q 2 )(2 Mr+ + Q 2 )
⇔ 4 M 2 r+2 = 4 M 2 r+2
根据黑洞热力学第二定律，即黑洞视界面积不减定理，黑洞的不可约质量 应为在任何物理过程中的不减量。对于一般的 Kerr-Newman 黑洞，如果可 逆黑洞过程使它的电荷 Q 或角动量 J 减少，那么黑洞的质量也将减少。也 就是说，原则上可以采用动力学方法从荷电的或转动的黑洞提取能量，相 应地黑洞将减少电量或减慢转动。当黑洞的电荷和角动量都减至零，即成 为史瓦西黑洞，此时再从黑洞提取能量已成为不可能。因此，我们说史瓦 西黑洞是黑洞的基态或死亡了的黑洞。
1 κ A δ M = Ωδ J + δ A + J δΩ + δκ 。 2 8π 8π
因此
现在证明： JδΩ +
A 1 δκ = − δM 。 8π 2
4π r+ + a A a δκ Maδ 2 J δΩ + = + 2 8π 8π r+ + a
三、针对 Kerr-Newman 黑洞，从 M 2 = (mir +
M = 2ΩJ +
Q2 2 J 2 出发，证明： ) + 2 4mir 4mir
κ A + VQ ， 4π
其中 V =
Qr+ a a r −r ，Ω ， κ = +2 − 2 ， J = Ma 。 = = 2 2 2 2 r +a 2 Mr+ − Q r+ + a 2(r+ + a )
证明： M = 2ΩJ +
κ A + VQ 4π r+ − r− Q 2 r+ 2aJ ⇔ = + + M (r+2 + a 2 ) 2 r+2 + a 2
) 2 Ma 2 + M 2 − Q 2 − a 2 (r+2 + a 2 ) + Q 2 r+ ⇔ M (r+2 + a 2= ⇔ r− (r+2 + a 2 ) = 2 Ma 2 + Q 2 r+ ⇔ r− (2 Mr+ − Q 2 )= 2Ma 2 + Q 2 r+ ⇔ 2 Mr+ r− − 2 Ma 2 = Q 2 (r+ + r− ) 2 MQ 2 ⇔ 2 MQ 2 =
证明： M 2 = (mir +
2 ⇔ M 2 = mir +
Q4 Q2 J2 + + 2 2 16mir 2 4mir
2 ⇔M =
r+2 + a 2 Q4 Q2 M 2a2 + + + 4 4(r+2 + a 2 ) 2 r+2 + a 2
⇔ 4 M 2 (r+2 + a 2 ) = (r+2 + a 2 ) 2 + Q 4 + 2Q 2 (r+2 + a 2 ) + 4M 2 a 2
(M
− r+ ) δ r+ + r+δ M a 2δ r+ M δ r+ − + −δ M 2 2r+ 2r+ 2r+
= −
1 δM, 2
故 δM =
κ δ A + Ωδ J ，证毕。 8π
四、从 Bekenstein 公式的积分形式
M = 2ΩJ +
κ A， 4π
推出黑洞热力学第一定律
δM =
解： 由 M = 2ΩJ +
κ δ A + Ωδ J 。 8π
κ A ，有 4π
Baidu Nhomakorabea
δ M = 2Ωδ J + 2 J δΩ +
κ A δ A + δκ 4π 4π κ κ A δ A + δκ , =Ω δ J + δ A + Ωδ J + 2 J δΩ + 8π 8π 4π
2 2 aδ r+ + a 2 δa = Ma 2 − 2 2 2 2 r a + + r+ + a 2 2 2 2 r+ + a δ ( r+ − r− ) ( r+ − r− ) δ r+ + a + − 2 2 2 2 4 r+ + a r+ + a 2 aδ a a 2δ r+ a 2δ M 1 = − − + δ r+ 2 2r+ 2 Mr+ 2 2r+
(
2
)
r+ − r− δ 2 2 2 r+ + a
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
−
r δM 1 M δ r+ 1 2 δ M − δ r+ − + + δM + 2M 2 2r+ 2 4
aδ a a 2δ r+ a 2δ M r δM M δ r+ = − − − + + 2 Mr M 2r+ 2 2 2r+ 2r+ + =
《广义相对论基础》第六次作业答案
一、简述事件视界的概念。 事件视界为时空中保有时空对称性的、法矢类光的超曲面，是单向膜区的起点。 二、对 Kerr-Newman 黑洞，其外视界的位置为
r+ = M + M 2 − Q 2 − a 2 ，
其视界面的面积为 = A 4π (r+2 + a 2 ) 。 根据面积不减定理，定义黑洞的不可约质量为 A 1/ 2 mir = ( ) ， 16π 证明 M2 = (mir + 并分析史瓦西黑洞是黑洞的基态。 Q2 2 J 2 ) + 2 4mir 4mir Q2 2 J 2 ， ) + 2 4mir 4mir
4 ⇔ 4 M 2 r+2 − Q= (2 Mr+ − Q 2 )(2 Mr+ + Q 2 )
⇔ 4 M 2 r+2 = 4 M 2 r+2
根据黑洞热力学第二定律，即黑洞视界面积不减定理，黑洞的不可约质量 应为在任何物理过程中的不减量。对于一般的 Kerr-Newman 黑洞，如果可 逆黑洞过程使它的电荷 Q 或角动量 J 减少，那么黑洞的质量也将减少。也 就是说，原则上可以采用动力学方法从荷电的或转动的黑洞提取能量，相 应地黑洞将减少电量或减慢转动。当黑洞的电荷和角动量都减至零，即成 为史瓦西黑洞，此时再从黑洞提取能量已成为不可能。因此，我们说史瓦 西黑洞是黑洞的基态或死亡了的黑洞。
1 κ A δ M = Ωδ J + δ A + J δΩ + δκ 。 2 8π 8π
因此
现在证明： JδΩ +
A 1 δκ = − δM 。 8π 2
4π r+ + a A a δκ Maδ 2 J δΩ + = + 2 8π 8π r+ + a
三、针对 Kerr-Newman 黑洞，从 M 2 = (mir +
M = 2ΩJ +
Q2 2 J 2 出发，证明： ) + 2 4mir 4mir
κ A + VQ ， 4π
其中 V =
Qr+ a a r −r ，Ω ， κ = +2 − 2 ， J = Ma 。 = = 2 2 2 2 r +a 2 Mr+ − Q r+ + a 2(r+ + a )