麦克斯韦方程组的平面波解

【麦克斯韦方程组的平面波解】

令0ρ=，0J =

，可得自由空间（真空）中的Maxwell 方程组

0,E ∇⋅=

(1)

0,B ∇⋅=

(2)

,B E t ∂∇⨯=-∂

(3)

00,E B t

με∂∇⨯=∂

(4)

其中真空介电常数（Permittivity constant ）1208.8510F m ε-=⨯，真空磁导率（Permeability constant ）60 1.2610H m μ-=⨯由实验测定。按照现行计量方案，确保光在真空中的传播速度

299 792 458 m/s.c =

=

利用矢量分析公式

()()

2

,A A A ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇

可以推导出电磁场的波动方程

2222

2222

01100.E B E B c t c t

∂∂∇-=∇-=∂∂ ， (5)

这是6个独立的线性齐次微分方程；即电场强度矢量E 或磁感应强度矢量B

的任意分量都

满足微分方程

22222222210.A A A A

x y z c t

∂∂∂∂++-=∂∂∂∂ 若以平面电磁波传播方向为x 轴，波阵面平行于yz 平面，则场分量(,)A A x t =与位置坐标y 和z 无关，并满足如下简单微分方程

2222210,A A

x c t

∂∂-=∂∂ (6)

作为练习，读者可以证明任何形如

(,)(),A x t A t kx ω=-

的函数都是波动方程(6)的解，只要其中的参数ω和k 满足

.c k

ω

=±

显然，简谐平面波

()0(,),i t kx A x t A e ω-=

(7)

是波动方程(6)的特殊解，其中2ωπ=和2k π

λ=分别是简谐平面波的园频率和波矢量。

值得指出的是，电场强度矢量E 或磁感应强度矢量B

的6个分量必须同时满足Maxwell 方程组（1.15-18）四个微分方程。这就要求简谐平面波

()()

00(,),(,)i t k r i t k r E r t E e B r t B e ωω-⋅-⋅==

，

还必须满足一些附加条件，即

000000000,0,,,k E k B k E B k B E ωμεω⋅=⋅=⨯=⨯=-

(8)

从而自由空间中沿x 轴正方向传播的简谐平面电磁波可以写作

()()00(,),(,)i t kx i t kx y z E x t E e B x t B e ωω--==e e

，

(9)

并且

0.E B c

=

(10)

类似地，沿x 轴负方向传播的简谐平面电磁波可以写作

()()00(,),(,)i t kx i t kx y z E x t E e B x t B e ωω++==-e e .

简谐平面电磁波具有显著的横波特性，即

()

0.k E B ⋅⨯=