二项式定理的常见题型及解法特全版

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95二项式定理5大题型(精讲)(原卷版)

9.5 二项式定理5大题型【题型解读】【知识储备】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n C0n a n C1n a n－1C k n n－k k C n n b n*(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n(3)(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．二项式系数的性质[常用结论]若二项展开式的通项为T r＋1＝g(r)·x h(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔T r＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔T r＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔T r＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔T r＋1是有理项．【题型精讲】【题型一求特定项的系数】方法技巧三项式()()n a b c n N ++∈的展开式：()[()]n n a b c a b c ++=++()n rrr n C a b c -=+++()rq n r q qrn n r C C ab c---=++++r q n r q q r n n r C C a b c ---=++若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式()r q p q r n n r C C a b c p q r N p q r n -∈++=，，，，其中!(r)!!!()!!()!!!!r q n n r n n n C C r n r q n r q p q r --==---叫三项式系数．例1 （2022·华师大二附中高三练习）若()()()2880128111x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则3a = ．例2 在73x⎛ ⎝的系数是．例3 （2022·江西模拟）在 5221y x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的展开式中，含 32x y 的项的系数是（）A ．10B ．12C ．15D ．20【题型精练】1. （2022·河南高三月考）在732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，5x 项的系数是（）A ．280B ．280-C ．560D ．560-2．（2022·全国高三课时练习）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数和为___________，展开式中常数项为___________.3．（2022·枣庄模拟）在()622x x y-+的展开式中，含52x y 项的系数为（）A ．480B ．480C ．240D ．2404. （2022·汕头模拟）100的展开式中系数为有理数项的共有_______项.【题型二已知项的系数求参】例4 （2022·四川模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则a =（） A ．2B ．2C ．2或2D ．4例5 （2022·武昌模拟）()()611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为10，则实数a = .【题型精练】1．（2022·石家庄模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （）A ．2B ．2C ．2或2D ．42. （2022·临沂二模）已知 ()5221ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中 x 的系数为（） A ．120 B ．40 C ．40 D ．120【题型三二项式定理的性质】例6 （2022·唐山二模）（多选）已知22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（） A ．n=9B ．11n =C ．常数项是672D ．展开式中所有项的系数和是1例7 设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【题型精练】1．（2022·高三课时练习）若()*1N nn x ⎛+∈ ⎝⎭的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则n =（） A ．11 B ．10 C ．9 D ．82.（2022·广东高三模拟）若n 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．3. （2022·浙江高三模拟）在1)2n x 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（） A ．454B ．358-C ．358D ．7【题型四二项式系数和及系数和问题】方法技巧系数和问题2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++，令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+①；令1x =-得奇数项系数和减去偶数项系数和：01230213...()(...)(...)n n a a a a a a b a a a a -+-=-=++-++②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．例8 （2022·福建泉州科技中学月考）在10(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和；（5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.【题型精练】1．（2022·常州市新桥高级中学高三模拟）若()5234501234513x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为．2.（2022·济北中学高三月考）设 ()()54234501234521x m x a a x a x a x a x a x ++-=+++++ .若01234532a a a a a a +++++= ，则实数 m = ， 3a = ．3. （2022·上虞模拟）已知()102100121031x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则3a = ，1012210333a a a ++⋅⋅⋅+= .【题型五二项式定理的应用】例9 （2022福建省部分名校高三联合测评）（多选）若202051a +能被13整除，则实数a 的值可以为（） A ．0 B ．11 C ．12 D ．25例10 71.95的计算结果精确到个位的近似值为 A ．106 B ．107 C ．108 D ．109【题型精练】1.（2022·全国高三课时练习）(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.342. 若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________.。

二项式定理中常考的几种题型

二项式定理中常考的几种题型一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。

1. 求常数项例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45iB. 45iC. －45D. 45解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。

2. 求有理项例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。

解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。

故展开式中所有的有理项为3. 求幂指数为整数的项例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。

4. 求系数最大的项例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。

解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。

例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。

解：对于二项式的展开式中要得到常数项需10－r=5，则r=5所以常数项为例6 （2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C. －74D. －121解：的展开式中，含的项为，故选D。

三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。

高中数学二项式定理知识点与常见题型解法

《二项式定理》知识点与常见题型解法一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数．式中的r rn r n b a C -叫二项展开式的通项，用1r +T 表示，即通项1r +T =r rn rn b aC -.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数0n C ，C 1n ，...，C n －1n ，nn C .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项2121+-=n nn nCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n （奇数项与偶数项的二项式系数和相等）.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项1r +T =r rn rn b aC -，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．常见题型【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9例2：(2014·大纲)8⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xyyx的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)【题型二】求展开特定项例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121 C．－74 D．－121【题型三】求展开特定项例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60 C．120 D．210例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.【题型四】求展开特定项例7：求5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x>0)的展开式经整理后的常数项.例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66 例9：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60【题型五】二项式展开逆向问题例10：若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2C n－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6【题型六】赋值法求系数（和）问题例11：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.例12：设nx 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________.例13：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.【题型七】平移后系数问题例14：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例15：nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．例16：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项A ．4B ．5C ．6D ．7例17：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例18：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．【题型十】整除问题例19：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12例20：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案解析例1：解析由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：解析 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8rrx y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8＝()42323881---r r r r y xC ，令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 例3：解析展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 例4：解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例5：解析在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例6：解析的系数为。

二项式定理题型及解题方法

二项式定理题型及解题方法摘要：1.二项式定理的概念及意义2.二项式定理的基本形式3.二项式定理的应用场景4.解题方法的步骤与技巧5.典型例题分析正文：一、二项式定理的概念及意义二项式定理是数学中一个重要的定理，它揭示了二项式展开式的规律。

二项式定理的基本形式如下：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ...+ C(n, n)b^n其中，a、b为实数或复数，n为自然数，C(n, k)表示组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。

二、二项式定理的基本形式我们已经了解了二项式定理的基本形式，接下来看看如何利用这个定理解决问题。

三、二项式定理的应用场景1.求解二项式展开式的特定项或特定项的系数。

2.求解极限问题，如当a、b趋于0时，(a + b)^n的极限值。

3.求解不等式问题，如求(a + b)^n > 1的解集。

4.求解恒成立问题，如证明(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + ...+ C(n, n)b^n。

四、解题方法的步骤与技巧1.确定问题类型，判断是否适用于二项式定理。

2.根据问题，选取合适的二项式定理形式。

3.利用组合数公式计算特定项或特定项的系数。

4.化简式子，求解问题。

五、典型例题分析例题1：求(2x - 1)^5的展开式中，x^2的系数。

解：根据二项式定理，展开式为：(2x - 1)^5 = C(5, 0)(2x)^5 - C(5, 1)(2x)^4 + C(5, 2)(2x)^3 - C(5, 3)(2x)^2 + C(5, 4)(2x)^1 - C(5, 5)展开式中，x^2的系数为-C(5, 3) * 2^2 = -40。

例题2：求极限：当x趋于0时，(1 + x)^(1/x)的极限值。

解：根据二项式定理，(1 + x)^(1/x) = (1 + x)^(x/x) = (1 + x)^(1/x) * (1 - 1/x + 1/x^2 - 1/x^3 + ...)当x趋于0时，(1 + x)^(1/x)趋于e（自然对数的底），即极限值为e。

二项式定理经典题型及详细答案

二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求：（1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求（1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ；（2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。

二项式定理的常见题型解析

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划要求：新桥ＢＣ与河岸ＡＢ垂直；保护区的边界为圆心Ｍ在线段０Ａ上并与ＢＣ相切的圆．且古桥两端０和Ａ到该圆上任意一点的距离均不少于８０ｍ．经测量，点Ａ位于点Ｏ正北方向６０ｉｎ处，点ｃ位于点０正东方向１７０ｍ处（ＯＣ为河
一、求特定项特定项是指含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等，这类题常利用二项式展开式的通项公式来求解．
例１（１）若（√ 展开式中前三项系数成等差
数列，求展开式中所有的有理项．思路导析通过第一、二、三项系数成等差数列可求出
Ｃｌ￣ｏ
，
相加得
２Ｓ＝１０·２即
Ｓ＝５·２，所以
Ｅａｎｂ２＝
∑ｎＣｉ＇ｏ＋∑ｃ＝５·２＋２一１＝６１４３．
四、整除问题利用二项式展开式来解决整除问题很方便，关键是如何拆分成二项的和．
（下转１２１页）
酸学学习与研究２０１８．３
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解题技巧与方法
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孽●、或定理的常驰题解橱
◎杨丙华（江苏省如东县丰利中学，江苏南通２２６４０８）
二项式定理在高考中经常考查，其内容是初中所学多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式—— 二项式乘方的展开式，是培养观察、归纳能力的好题材．在高中数学中二项式定理主要有以下几种题型：求特定项、系数、求值等问题；证明整除问题；证明等式和不等式成立问题．下面就这几种题型加以阐述．

二项式定理的高考常见题型及解题对策

题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn nn n n n 3)1( (279313)21-++-+-；解：原式=nn n nn n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

题型二：求二项展开式的特定项1．求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例4．（03全国）92)21(x x -展开式中9x 的系数是；解：r rr r x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r x C 3189)21(--令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221- （2）求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是；解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C；② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

(完整版)二项式定理知识点和各种题型归纳带答案

二项式定理1．二项式定理：(a b)n C n0a n C1n a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n (n N )，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n) .③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。

用T r 1 C n r a n r b r表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1) 项。

②顺序：注意正确选择a, b ,其顺序不能更改。

(a b)n与(b a)n是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是数是a与b 的系数(包括二项式系数) 。

4．常用的结论：令a 1,b x, (1 x)n C n0C n1x C n2x2L C n r x r L C n n x n(n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离” 的两个二项式系数相等，即C n0 C n n，···C n k C n k 1②二项式系数和：令a b 1, 则二项式系数的和为C n0C n1C n2L C n r L C n n2n，变形式C1n C n2 L C n r L C n n2n 1 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b 1 ，则C n0 C n1 C n2C n3 L ( 1)n C n n (1 1)n 0 ，从而得到：C n0 C n2C n4C n2r C n1 C n3 L 2r 1Cn12n2n 1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：C n,C n,C n , ,C n, ,C n .项的系令a 1,b x, (1 x)n C n0 C1n x C n2x2 L C n r x r L ( 1)n C n n x n (n N )n 2 2解：由条件知 C n n 2 45 ，即 C n 2 45 ， 2n 2 n 90 0 ，解得 n9(舍去 )或n 10 ，由(a x)nC n 0a n0xC n 1a n 1xC n 2a n 22 x L n 0 n 1 C n a x a 0 a 1x 2na 2x La n x(x a)nC n 0a0nx 1C n axn1C n 2a 2 n2xLn n 0 nC n a x a n x L21 a 2x a 1x a令x 1, 则 a 0 a 1 a 2a 3Lan(a 1)n①令x 1,则a 0a1a2a3L a n (a 1)n②① ②得,a 0 a2a 4L an(a1)n (a 2 1)(奇数项的系数和 )①②得,a 1a3a 5La n(a 1)n (a21)(偶数项的系数和)n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 C n 2 取得最大值。

二项式定理常见题型(老师用)

二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。

二项式定理归类(解析版)

专题28二项式定理归类目录【题型一】二项式通项公式.............................................................................................................1【题型二】积型求某项.....................................................................................................................3【题型三】展开式二项式系数和...................................................................................................4【题型四】展开式各项系数和.........................................................................................................5【题型五】赋值法求部分项系数和.................................................................................................7【题型六】换元型赋值求系数与系数和.........................................................................................8【题型七】求系数最大项...............................................................................................................10【题型八】杨辉三角形应用...........................................................................................................11【题型九】三项展开式...................................................................................................................13培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................15培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................17培优第三阶——培优拔尖练.. (19)【题型一】二项式通项公式【典例分析】二项式5的展开式中常数项为（）A ．80B ．80-C ．40-D ．40【答案】B【分析】求出展开式的通项，再令x 的指数等于0，即可得出答案.【详解】解：二项式5的展开式的通项为()15556155C 2C kkkk kkk T x --+⎛=⋅-=- ⎝，令15506k-=，则3k =，所以常数项为()3352C 80-=-.故选：B.1.将二项式8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（）A ．37A B ．6366A A C ．6367A A D ．7377A A 【答案】C【分析】先利用二项式定理判断其展开式中有理式的项数，再利用插空法进行排列即可.【详解】根据题意，得816324418811C C C 22k k kk k kkk k k T x x x ----+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为08k ≤≤且*N k ∈，当0k =时，16344k-=，即1T 为有理式；当4k =时，16314k-=，即5T 为有理式；当8k =时，16324k-=-，即9T 为有理式；当{}1,2,3,5,6,7k ∈时，163Z 4k-∉，即k T 为无理式；所以8展开式一共有9个项，有3个有理式，6个无理式，先对6个无理式进行排列，共有66A 种方法；再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有37A 种方法；利用分步乘法计数原理可得，一共有6367A A 种方法.故选：C.2.在72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数是（）A ．35B ．35-C ．560D ．560-【答案】C【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中1x的系数.【详解】二项式72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()7727722rr rr r r C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令7214r r -=-⇒=，所以72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为()44721635560C -⋅=⨯=.故选：C3.．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第四项为（）A ．160B ．160-C ．3160x D ．3160x -【答案】D【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.【详解】在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第四项为()()333323334662C 2C 160T x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故选：D.【题型二】积型求某项【典例分析】已知()511a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数为10，则实数a 的值为（）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B【分析】因为()555111111a x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合二项展开的通项公式运算求解.【详解】511x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为515511C 1C rrr r r r T x x -+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5r =，∵()555111111a x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴3455C C 10510a a +=+=，解得12a =，故选：B.【变式训练】1.．()()8x y x y -+的展开式中36x y 的系数为（）A ．28B ．28-C ．56D ．56-【答案】B【分析】由二项式定理将8()x y +展开，然后得出8()()x y x y -+，即可求出36x y 的系数.【详解】由二项式定理：8()()x y x y -+080171808888()(C C C )x y x y x y x y =-+++080171808080171808888888(C C C )(C C C )x x y x y x y y x y x y x y =+++-+++090181818081172809888888(C C C )(C C C )x y x y x y x y x y x y =+++-+++观察可知36x y 的系数为6523888887876C C C C 2821321⨯⨯⨯-=-==-⨯⨯⨯.故选：B.2.在()()2311x x +-展开式中，含4x 项的系数是（）A ．5-B ．5C ．1-D ．1【答案】D【分析】由题意可得()()()()233211121x x x x x +-=++-，再对()31x -借助于二项展开式分析运算.【详解】∵()()()()233211121x x x x x +-=++-，且()31x -的展开式的通项为()()3133C 11C ,0,1,2,3rrr r r rr T x x r -+=⨯⨯-=-=，则含4x 项的系数是()()32323321C 11C 1⨯-+⨯-=.故选：D.3.()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．2B ．6C ．8D ．12【答案】D【分析】先将()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开，再求，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项，即可求出答案.【详解】()4442=11+12x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：4421441C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当420r -=即2r =时，242C =12⋅，所以()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为12.故选：D.【题型三】展开式二项式系数和【典例分析】．()101x -的展开式中所有奇数项的二项式系数和为（）．A ．128B ．256C ．512D ．1024【答案】C【分析】根据奇数项的二项式系数和为22n计算可得；【详解】解：()101x -的展开式中所有奇数项的二项式系数和为1025122=，故选：C ．【变式训练】1.已知2(n x的展开式中，各二项式系数和为64，则x 7的系数为（）A ．15B ．20C ．60D ．80【答案】C【分析】由二项式系数和求得n ，再利用通项可得x 7的系数.【详解】由二项式系数和为264n =，解得6n =，通项为()512622166C C 2rr rr r r r T x x --+==，令51272-=r ，得2r =，则x 7的系数为226260C =.故选：C.2.已知()2*2nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中3x 的系数为（）A ．240-B ．240C ．160-D ．160【答案】C【分析】由二项式系数的性质求出n ，写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为3，即可得出答案.【详解】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得264n =，得6n =．∵622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()621231662C 1C ·2·1rrrr r r rr r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1233r -=，则3r =，所以其展开式中3x 的系数为()3336C 21160⨯⨯-=-．故选：C.3.已知二项式212mx x ⎛⎫+ ⎝⎭的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x 3项的系数是（）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】D【分析】由二项式系数的和的公式解得m 的值，运用二项展开式的通项公式解出r 的值，进而可得3x 项的系数.【详解】由题意知，264m =，解得：6m =，所以621()2x x +的二项展开式的通项公式为663166211C C 22rr r r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，令6－3r ＝3，得r ＝1，故含3x 项的系数为161132C =.故选：D.【题型四】展开式各项系数和【典例分析】在3nx⎛⎝的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（）A ．15B ．45C ．135D ．405【答案】C【分析】令1x =可得展开式各项系数和，再由二项式系数和为2n ，即可得到方程，求出n ，再写出二项式展开式的通项，令x 的指数为0，即可求出r ，再代入计算可得；【详解】解：对于3nx ⎛ ⎝，令1x =，可得各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以6426422nn n ===，解得6n =，所以63x ⎛+ ⎝展开式的通项为()36662166C 3C 3rr r r r r r T x x ---+=⋅=⋅，令3602r -=，解得4r =，所以42056C 3135T x =⋅=；故选：C1.．0x ∀≠，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为（）.A ．240B ．241C ．242D ．243【答案】D【分析】利用换元法，将101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为()52t +，从而利用赋值法即可求得该多项式各项系数之和.【详解】因为222112x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，令221t x x =+，则()5105221122x x t x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令1t =，则()5523243t +==，所以该多项式各项系数之和为243.故选：D.2.已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．81【答案】A【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则11(5)(52)5522155(1)3C (1)3C r r r r rr rr rr r Tx xx------+=-=-，由题意5312r-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为4153C 405-=-．故选：A ．3.已知5312a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为4，则该展开式中的常数项为（）A ．200B ．280C ．200-D ．280-【答案】D【分析】根据题意将1x =代入，由各项系数的和为4可求得a 的值，再根据二次项展开式求出512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项()5521512C rr r rr T x --+=-，分别与x 和33x相乘得到常数项，可求出r 的值，再合并即可得到结果.【详解】由题意，令1x =，得到展开式的各项系数和为1a +，所以14a +=，解得3a =.所以55553331311312222a x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=-+- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()5521512C r r r rr T x --+=-，令521r -=-，解得3r =；令523-=r ，解得1r =，所以展开式中的常数项为()()35335115512C 312C 280---⨯+⨯-⨯=-.选项D 正确，故选D.【题型五】赋值法求部分项系数和【典例分析】若()6652460126x y a y a xy a x y a x +=+++⋅⋅⋅+，则()()220246135a a a a a a a +++-++的值为（）A ．0B ．32C ．64D ．128【答案】A【分析】先利用赋值法求得0123456a a a a a a a -+-+-+和0123456a a a a a a a ++++++的值，进而求得()()220246135a a a a a a a +++-++的值.【详解】1x =，1y =-时，01234560a a a a a a a =-+-+-+1x =，1y =时，012345664a a a a a a a =++++++()()220246135a a a a a a a +++-++()()012345601234560640a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+++++++=⨯=，故选：A.【变式训练】1.已知()727012752x a a x a x a x -=++++，则0127a a a a ++++=（）A ．128B ．2187C ．78125D ．823543【答案】D【分析】由展开式通项公式可得系数0246a a a a 、、、小于0，系数1357a a a a 、、、大于0，由赋值法令=1x -，所求值即为()7-5-1-2⨯⎡⎤⎣⎦.【详解】()752x -的展开式中第1k +项为()()()77771777C 52C 52=kkkk k kk k k k T x x a x ----+-=-=-，故系数()777C 52kk kk a --=-，即当k 为奇数时，系数0246a a a a 、、、小于0，当k 为偶数时，系数1357a a a a 、、、大于0.()7012701234567-823543----5-1-2a a a a a a a a a a a a ++++=++++=⨯=⎡⎤⎣⎦.故选：D2.()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，则01234a a a a a -+-+=（）A ．1B ．3C ．0D ．3-【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取=1x -即得.【详解】因为()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，可得()401234110a a a a a -+-+=-=.故选：C.3.已知()()4529012912x x a a x a x a x -+=++++，则2468a a a a +++=（）A ．40B ．8C ．16-D ．24-【答案】D【分析】设45()(1)(2)f x x x =-+，根据二项式展开式可得0(0)a f =、02468(1)(1)2f f a a a a a -+++++=，即可求解.【详解】设45()(1)(2)f x x x =-+，则50(0)232a f ===，0129(1)0a a a a f ++++==4012349(1)216a a a a a a f -+-+--=-==，所以02468(1)(1)82f f a a a a a -+++++==，所以246883224a a a a +++=-=-.故选：D.【题型六】换元型赋值求系数与系数和【典例分析】已知()()()()20232202301220232111x a a x a x a x -=+++++++，则0122023a a a a ++++=（）A ．40462B ．1C ．20232D ．0【答案】A【分析】首先利用换元，转化为()20232202301220233t a a t a t a t -=++++，再去绝对值后，赋值求和.【详解】令1t x =+，可得1x t =-，则()()20232023220230122023213t t a a t a t a t --=-=++++⎡⎤⎣⎦，二项式()20233t -的展开式通项为()202312023C 3rr rr T t -+=⋅⋅-，则()20232023C 31(02023rr rr a r -=⋅⋅-≤≤且N)r ∈．当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，因此，()2023404601220210122023312a a a a a a a a ++++=-+--=+=．故选：A ．1.已知10111012C C n n =，设()()()()201223111n nn x a a x a x a x -=+-+-++-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a ++++=，④展开式中所有项的二项式系数和为1.其中正确的个数有（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据组合数的性质求得n ，根据二项式展开式的通项公式、赋值法、二项式系数和的知识求得正确答案.【详解】101110122023n =+=，①对.()20232202301220232023(23)(1)(1)(1211)x a a x a x a x x -=+-+-+=--⎡⎤⎦+-⎣，所以02023202320232023C 22n a a =⋅==，②错.令2x =得0121n a a a a ++++=，③对.展开式中所有项的二项式系数和为20232，④错.所以正确的说法有2个.故选：C2.已知36C C n n =，设()()()()201223111n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则12n a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】利用组合数的性质可求得n 的值，再利用赋值法可求得0a 和012n a a a a +++⋅⋅⋅+的值，作差可得出所求代数式的值.【详解】因为36C C n n =，所以由组合数的性质得369n =+=，所以()()()()929012923111x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，令2x =，得()90129223a a a a ⨯-=+++⋅⋅⋅+，即01291a a a a +++⋅⋅⋅+=.令1x =，得()902131a ⨯-==-，所以()()12901290112a a a a a a a a +++=+⋅⋅⋅⋅++⋅=⋅+---=，故选：D.3.．已知(1)n x -的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若()2012(1)1(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+++++⋯++，则1a 等于（）A ．192B ．448C ．192-D ．448-【答案】B【分析】根据奇数项二项式系数和公式求出n ，再利用展开式求1a .【详解】(1)n x -的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，1264n -∴=，即7n =；则77(1)[(1)2]x x -=+-的通项公式为717C (1)(2)k k kk T x -+=+-，令71k -=，则6k =，所以6617C (2)448a =⨯-=.故选：B【题型七】求系数最大项【典例分析】已知22nx ⎫+⎪⎭的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，则展开式中二项式系数最大的项为第（）项.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】先求出二项式展开的通项公式，分别求出第3项的系数与倒数第3项的系数，由题意得到关于n 的方程，即可确定其展开式二项式系数最大项.【详解】22nx ⎫⎪⎭的展开式通项公式为52122C C 2rn r n r r r rr n n T x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，则第3项的系数为22C 2n ⋅，倒数第3项的系数为22C 2n n n --⋅，因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，所以22422C 212C 216n n n n ---⋅==⋅，所以2226C 2C 2n n n n --⋅=⋅，解得8n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，故选：C 【变式训练】1.已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（）A ．448-B ．1024-C ．1792-D ．5376-【答案】C【分析】先根据二项式系数的性质可得=8n ，再结合二项展开式的通项求各项系数()82C r rr a =-，分析列式求系数最小项时r 的值，代入求系数的最小值.【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则=8n∴展开式的通项为()83821882C 2C ,0,1,...,8rr rr rr r T x r x --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭则该展开式中各项系数()82C ,0,1,...,8r rr a r =-=若求系数的最小值，则r 为奇数且+2200r r r r a a a a --≤-≤⎧⎨⎩，即()()()()+2+28822882C 2C 02C 2C 0r r r r r r r r -----≤---≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得=5r ∴系数的最小值为()55582C 1792a =-=-故选：C.2.已知m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，且137a b =，则m 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】根据二项式系数的性质确定,a b ，由关系137a b =列方程求m 的值.【详解】由题意可知221C ,C m mm m a b +==,137a b =,22113C 7C m mm m +∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+,211371m m +∴=⨯+，解得6m =．故选：C ．3.已知()*(1),n mx n m +∈∈N R 的展开式只有第5项的二项式系数最大，设2012(1)n n n mx a a x a x a x +=++++，若18a =，则23n a a a +++=（）A ．63B ．64C ．247D ．255【答案】C【分析】根据二项式系数的性质求出n ，根据18a =求出m ，再由赋值法求解即可.【详解】因为展开式只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以8n =，718C 8a m =⋅=，∴1m =，∴8280128(1)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得8012382256a a a a a +++++==，令0x =，得01a =，∴2325681247n a a a +++=--=．故选：C ．【题型八】杨辉三角形应用【典例分析】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A ．222234510C C C C 165+++⋅⋅⋅+=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【答案】C【分析】A 选项由11C C C m m m n n n -++=及22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++-即可判断；B 选项由二项式系数的增减性即可判断；C 选项由11C C C m m m n n n -++=及6767C C =即可判断；D 选项直接计算比值即可判断.【详解】由11C C C m m m n n n -++=可得22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++-32223445101111109C C C C 1C 11164321⨯⨯=++++-=-=-=⨯⨯，故A 错误；第2022行中第1011个数为1010101120222022C C <，故B 错误；666766767678778889C C C C C C C C C ++=++=+=，故C 正确；第34行中第15个数与第16个数之比为14153434343321343320C :C :15:203:4141311514131⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故D 错误.故选：C.【变式训练】1.将三项式展开，得到下列等式：20(1)1a a ++=212(1)1a a a a ++=++22432(1)2321a a a a a a ++=++++2365432(1)367631a a a a a a a a ++=++++++⋯观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数(不足3个数时，缺少的数以0计)之和，第k 行共有21k +个数．则关于x 的多项式()2253(1)a ax x x +-++的展开式中，8x 项的系数（）A ．()2151a a +-B ．()2151a a ++C ．()21523a a ++D ．()21523a a +-【答案】D【分析】直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果．【详解】根据广义杨辉三角的定义：()5210987654321151530455145301551a a a a a a a a a a a a ++=++++++++++；故()5210987654321151530455145301551x x x x x x x x x x x x ++=++++++++++；关于x 的多项式()()52231a ax x x +-++的展开式中8x 项的系数为()()22315301523aa a a -⨯+⨯=+-.故选：D ．2.当N n ∈时，将三项式()21nx x ++展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 的系数为75，则实数a 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据广义杨辉三角形可得出()521x x ++的展开式，可得出()()5211ax x x +++的展开式中8x 的系数，即可求得a 的值.【详解】由广义杨辉三角形可得()521098765432151530455145301551xx x x x x x x x x x x ++=++++++++++，故()()5211ax x x +++的展开式中，8x 的系数为153075a +=，解得2a =.故选：C.3.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第n 行中从左至右第14与第15个数的比为2:3，则n 的值为___________.【答案】34【分析】根据杨辉三角形中数据的规律可以写出第n 行中从左至右第14与第15个数的表达式，根据比例结果可计算得n 的值.【详解】由题意可知，根据数字规律可以看出第n 行中从左至右第m 个数为1C m n -所以，第n 行中从左至右第14与第15个数分别是13C n 和14C n ；即1314C 2C 3nn =，由组合数计算公式!C !()!m nn m n m =-可得142133n =-，计算的34n =；故答案为：34.【题型九】三项展开式【典例分析】下列各式中，不是()422a a b +-的展开式中的项是（）A ．78aB ．426a bC ．332a b -D ．3224a b -【答案】D【分析】根据题意多项式展开式中，有一个因式选2a ，有2个因式选b -，其余的2个因式选2a ，有1个因式选b -，剩下的3个因式选2a ，分别计算所得项，即可得到结果.【详解】()422a a b +-表示4个因式22a a b +-的乘积，在这4个因式中，有一个因式选2a ，其余的3个因式选2a ，所得的项为()3132743C 2C 8a aa ⨯⨯=，所以78a 是()422a a b +-的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选b -，其余的2个因式选2a ，所得的项为()()222224242C C 6b a a b ⨯-⨯⨯=，所以426a b 是()422a a b +-的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选b -，剩下的3个因式选2a ，所得的项为()()313343C C 232b a a b ⨯-⨯=-，所以332a b -是()422a a b +-的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选b -，其余的2个因式中有一个选2a ，剩下的一个因式选2a ，所得的项为()()2212132421C C C 224b a a a b ⨯-⨯⨯⨯⨯=，所以3224a b -不是()422a a b +-的展开式中的项.故选:D.三项展开式的通项公式：1.411()x y x y+--的展开式的常数项为A ．36B ．36-C ．48D ．48-【答案】A【分析】先对多项式进行变行转化成441()1x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出22x y 项，第2个括号出221x y 项.【详解】∵4444111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴411x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为22244222(C (C 361))x y x y ⨯=.故选：A.2.在()621x x +-的展开式中，含3x 项的系数为（）A ．30-B ．10-C ．30D ．50【答案】B【分析】把()621x x +-看成6个()21x x +-相乘，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，即可得到结果.【详解】()621x x +-是6个()21x x +-相乘，需要依次从每个()21x x +-的三项（1，x ，2x -）中选出一项后相乘，就可得到展开式中的一项.得到3x 项的方法有两类：第一类是，6个()21x x +-的1个()21x x +-里选出x ，1个()21x x +-里选出2x -，其余()21x x +-里选出1，相乘得3x -，这类方法，共可得到114654CC C 30⨯⨯=个3x -，合并同类项后即得到330x -；第二类是，6个()21x x +-的3个()21x x +-里选出x ，其余()21x x +-里选出1，相乘得3x ，这类方法，共可得到3363C C 20⨯=个3x ，合并同类项后即得到320x .再将上述两项合并，得333302010x x x -+=-，因此3x 项的系数为10-.故选：B.3.()823x y z ++的展开式中，共有多少项？（）A ．45B ．36C ．28D ．21【答案】A【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.【详解】解：当()823x y z ++展开式的项只含有1个字母时，有3项，当()823x y z ++展开式的项只含有2个字母时，有2137C C 21=项,当()823x y z ++展开式的项含有3个字母时，有27C 21=项,所以()823x y z ++的展开式共有45项；故选：A.培优第一阶——基础过关练1．()()412x x --的展开式中，3x 项的系数为（）A ．2B ．14C ．48D ．2-【答案】B 【分析】3x 项由()41x -的2x 项与x 的积和()41x -的3x 项和2-的积组成，再结合二项式定理得出系数.【详解】()41x -展开式的通项为()441C rr rx--，在()()412x x --中，3x 项由()41x -的2x 项与x 的积和()41x -的3x 项和2-的积组成，故可得3x 的系数为()()()2121441C 11C 214-⨯+-⨯-=．故选：B ．2．6⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（）A ．160-B ．64-C ．64D ．160【答案】C【分析】在二项展开式的通项公式中令x 的幂指数为3，求出r 的值，即可求得3x 的系数.【详解】6的展开式的通项公式为663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==⋅-⋅，令33r -=，则0r =，故展开式中3x 的系数为0606C 2(1)64⋅-=.故选：C.3．已知1021001210(1)-=++++x a a x a x a x ,则()01210+++=a a a a （）A ．10-B ．10C ．1D ．1-【答案】D【分析】赋值法分别求0a 和1210a a a +++即可.【详解】令0x =可得01a =,令1x =可得012100a a a a ++++=即121001a a a a +++=-=-,所以()012101a a a a +++=-.故选:D.4．在4(1)(12)()a x y a ++∈N 的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，若()()0,11,06f f +=，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用二项式定理展开公式求解.【详解】()01140,1C C 2,a f =⋅()1041,0C C ,a f =⋅所以()()0,11,0246f f a +=+=解得1a =，故选：B.5．()61x a y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含14x y -项的系数为15-，则=a （）A ．1B ．1-C ．1±D ．2±【答案】C【分析】先求出()6a y +的通项公式，然后整理出14x y -项的系数，根据系数相等可得答案.【详解】()6a y +的展开式的通项公式为66C rrr ay -，令4r =，可得6246C 15r r ra y a y -=；所以含14x y -项的系数为215a -，即21515a -=-，解得1a =±.故选：C.6．511(12)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A ．9-B ．10-C ．9D ．10【答案】A【分析】由二项式定理的通项公式计算可得结果.【详解】∵555111(12)(12)(12)x x x x x ⎛⎫+--=+- ⎪⎝⎭，5(12)x -第1r +项为：155C (2)C (2)r r r r r r T x x +=-=-，(0,1,,5)r =，51(12)x x -的第1k +项为：11551C (2)C (2)k k kk k k T x x x-+=-=-，(0,1,,5)k =∴展开式中的常数项()()001155C 2C 21109T =-+-=-=-.故选：A.7．已知()na b +的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n =（）A ．11B ．10C ．12D ．13【答案】C【分析】当n 为偶数时，展开式中第12n+项二项式系数最大，当n 为奇数时，展开式中第12n +和32n +项二项式系数最大.【详解】∵只有第7项的二项式系数最大，∴172n+=，∴12n =．故选：C8．若()()()()()42201223222nn x x x a a x a x a x -+=+-+-++-，则564a a a +=（）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】D【分析】将23x x +中含有x 的项都写成2x -的形式，即可得解.【详解】()()()()()442223222107x x x x x x ⎡⎤+⎣⎦-+=---+()()()654272102x x x =-+-+-，所以6541,7,10a a a ===，所以56445a a a +=.故选：D.培优第二阶——能力提升练1．8x ⎛⎝的展开式中，以下为有理项的是（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】AC【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中x 的幂指数为整数的所对项数即可.【详解】8x ⎛⎝的展开式的二项式通项为138822188C C ,0,1,2,3,4,5,6,7,8r r r rr r T xx x r ---+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令823r -为整数，求得0r =，2，4，6，8，所以对应第1,3,5,7,9项为有理项，故选：AC2．在62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的是（）A ．常数项为160B ．第3项二项式系数最大C ．所有项的二项式系数和为62D ．所有项的系数和为63【答案】ACD【分析】先求62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式可得选项A 的正误，利用n 的值可得选项B 、C 的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解【详解】62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为66261662C 2C rr r r r r r T x xx ---+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，由260r -=，得3r =，所以常数项为3362C 160=，A 正确；二项式展开式中共有7项，所以第4项二项式系数最大，B 错误；由6n =及二项式系数和的性质知，所有项的二项式系数和为62，C 正确；令1x =，得()660126213a a a a +++⋯+=+=，所有项的系数和为63，D 正确；故选：ACD.3．若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++，则（）A ．01a =B ．12022a =C ．1220221a a a +++=-D ．012320221a a a a a -+-++=【答案】AC【分析】对ACD ，由赋值法可判断；对B ，由二项式展开项通项公式可求.【详解】对A ，令0x =得01a =，A 对；对B ，由二项式展开项通项公式可得第2项为()1120212202211C 120222022T x x a x a =-=-=⇒=-，B 错对C ，令1x =得0122022122022001a a a a a a a a +++=++=-+⇒=-+，C 对；对D ，令=1x -得0123220222022a a a a a -+-++=，D 错.故选：AC.4．下列说法中正确的有（）A ．2799C C =B ．233445C C C +=C ．123C C C C 2n n n n n n ++++=D ．()41x +展开式中二项式系数最大的项为第三项【答案】ABD【分析】根据组合数的性质即可判断AB ；根据二项式之和即可判断C ；对于D ，先求出展开式的通项，不妨设第1k +项的系数最大，则有144144C C C C kk k k -+⎧≥⎨≥⎩，从而可得出答案.【详解】对于A ，由组合数的性质可得2799C C =，故A 正确；对于B ，由组合数的性质可得233445C C C +=，故B 正确；对于C ，因为0123C C C C C 2n n n n n n n +++++=，所以1231C C C C 2n n n n n n ++++=-，故C 错误；对于D ，()41x +展开式的通项为14C kkk T x +=，不妨设第1k +项的二项式系数最大，则144144C C C C kk k k -+⎧≥⎨≥⎩，解得2k =，所以()41x +展开式中二项式系数最大的项为第三项，故D 正确.故选：ABD.5．()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【答案】30【分析】求出()521⎡⎤++⎣⎦x y 的通项令2r =时得()3245C 1+x y ，再求出()31x +展开式中2x 的系数可得答案.【详解】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故答案为：30.6．已知()01311(1)22nn n x a a x a x ⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭，写出满足条件①②的一个n 的值__________.①*3,n n ≥∈N ；②3,0,1,2,,i a a i n ≥=.【答案】8,9,10或11.（答案不唯一）【分析】令1x t +=，得到1C ,0,1,2,,2ii i na i n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，再由3,0,1,2,,i a a i n ≥=求解.【详解】解：令1x t +=，得01112nn n t a a t a t ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭，1C ,0,1,2,,2ii i n a i n ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，由条件②知32323234343411C C ,,22811,11C C ,22n n n n a a n a a ⎧⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪⎪ ⎪ ⎪≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒⇒≤≤⎨⎨≥⎛⎫⎛⎫⎪⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.又*,n n ∈∴N 的值可以为8,9,10或11.（答案不唯一）故答案为：8,9,10或11.（答案不唯一）7．若()()542345321x a bx cx dx ex fx x -=+++++++，其中a ，b ，c ，d ，e ，f 为常数，那么b c d f +++=______.【答案】109【分析】利用赋值法求a b c d e f +++++和a ，利用二项式展开式通项公式求e ，由此可得结果.【详解】因为()()542345321x a bx cx dx ex fx x -=+++++++，令1x =，得316a b c d e f -=++++++，整理得：19a b c d e f +++++=-，令0x =，得961a -=+，97a =-，因为()52x -的展开式的通项公式为()515C 2rr rr T x -+=⋅-，所以()532x -的展开式中含4x 项的系数为()153C 2⋅-，又()41x +的展开式中含4x 项的系数为44C ，所以()153C 21e ⋅-=+，31e =-，将a 、e 代入即可求得109b c d f +++=.故答案为：109.8．0x ∀≠，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为_________.【答案】243【分析】利用换元法，将101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为()52t +，从而利用赋值法即可求得该多项式各项系数之和.【详解】因为222112x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，令221t x x =+，则()5105221122x x t x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令1t =，则()5523243t +==，所以该多项式各项系数之和为243.故答案为：243培优第三阶——培优拔尖练1．已知集合{}2019,12,6,10,5,1,0,1,8,15H =---，记集合H 的非空子集为1M 、2M 、L 、1023M ，且记每个子集中各元素的乘积依次为1m 、2m 、L 、1023m ，则121023m m m +++的值为___________.【答案】1-【分析】构造函数()()()()()()()()()()201912610511815f x x x x x x x x x x x =+++---+++，设该函数展开式中所有项系数之和为T ，则1210231m m m T +++=-，利用赋值法可求得结果.【详解】设集合H 的十个元素分别为1a 、2a 、L 、10a .1210121391012389101210121023m a a a a a a a a a a a a a a a a m m a a =+++++++++++++++.设函数()()()()()()()()()()201912610511815f x x x x x x x x x x x =+++---+++展开式中所有项系数之和为T ，则1210231m m m T +++=-，因为()10T f ==，所以11T -=-．故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题．本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数()()()()()()()()()()201912610511815f x x x x x x x x x x x =+++---+++，这种转化思想是本题的难点．2．设0i a i =（，1，2，…，2022）是常数，对于∀x ∈R ，都有()()()()()20220122022112122022x a a x a x x a x x x =+-+--++---（），则012345202120222!3!4!2020!2021!a a a a a a a a -+-+-+-+-=________.【答案】2021【分析】先令1x =，求得0a 的值，再将给定的恒等式两边求关于x 的导数，然后令1x =，从而可得所求的值.【详解】因为()()()()()()20220122022112122022xa a x a x x a x x x =+-+--++---，则令1x =可得01a =.又对()()()()()()20220122022112122022xa a x a x x a x x x =+-+--++---两边求导可得：()()()()()2021122022202212122022x a a x x a x x x ''=+--++---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()()()()12n f x x x x n =--⨯⨯-，则()()()()()()12+2n f x x x x n x x n ''=--⨯⨯--⨯⨯-⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()1112111!n n f n n -'=-⨯⨯-=--，所以()()()12202120211232022202211112!12021!a a a a ⨯=+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-故123202220222!2021!a a a a =-+--，所以012345202120222!3!4!2020!2021!202212021a a a a a a a a -+-+-+-+-=-=.故答案为：2021.【点睛】本题考查函数的导数以及恒等式的系数和的求法，注意根据恒等式的特征选择合适的赋值，本题属于较难题.3．()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为______.【答案】-6480【分析】()()662323a b c a b c +-=+-⎡⎤⎣⎦，利用二项式定理得到()3345402T c a b =-⋅+，再展开()32a b +，计算得到答案.【详解】()()662323a b c a b c +-=+-⎡⎤⎣⎦，展开式的通项为：()()61623rrr r T C a b c -+=+-，取3r =，则()()()63333346235402T C a b c c a b -=+-=-⋅+，()32a b +的展开式的通项为：()3132mm m m T C a b -+=，取2m =，得到()22233212T C a b ab ==，故23ab c 的系数为540126480-⨯=-.故答案为：6480-.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．对任意正整数i ，设函数()414034log 2i f x i =-⋅的零点为i a ，数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，则使得n S 能被2n +整除的正整数n 的个数是________．【答案】0【分析】要求零点，应先把函数()i f x 解析式中的对数化为相同底数，再求函数的零点可得2017i x a i ==，进而写出数列{}n a 的前n 项和201720172017123n S n =++++，用二项式定理和整除思想说明2017n 不能被2n +整除即可。

二项式定理题型

二项式定理题型一、求二项展开式中的特定项1. 题目- 求二项式(2x - (1)/(x))^6展开式中的常数项。

2. 解析- 根据二项式定理(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，对于(2x-(1)/(x))^6，a = 2x，b=-(1)/(x)，n = 6。

- 展开式的通项公式为T_r+1=C_6^r(2x)^6 - r(-(1)/(x))^r。

- 化简T_r + 1=C_6^r(2x)^6 - r(-(1)/(x))^r=C_6^r2^6 - rx^6 - r(-1)^rx^-r=C_6^r2^6 - r(-1)^rx^6 - 2r。

- 要求常数项，则令x的指数6-2r = 0，解得r = 3。

- 把r = 3代入通项公式中，可得常数项为C_6^32^6 - 3(-1)^3。

- 计算C_6^3=(6!)/(3!(6 - 3)!)=(6×5×4)/(3×2×1)=20。

- 所以常数项为20×2^3×(-1)=-160。

二、求二项展开式的系数和1. 题目- 已知二项式(1 + 2x)^n，设(1 + 2x)^n=a_0+a_1x + a_2x^2+·s+a_nx^n，求a_0+a_1+a_2+·s+a_n的值。

2. 解析- 令x = 1，则(1+2×1)^n=(1 + 2)^n=3^n。

- 此时(1 + 2x)^n变为a_0+a_1×1+a_2×1^2+·s+a_n×1^n，即a_0+a_1+a_2+·s+a_n=3^n。

三、二项式系数的性质相关题目1. 题目- 在二项式(x + y)^n的展开式中，二项式系数最大的项是第5项和第6项，求n的值。

2. 解析- 当n为偶数时，二项式系数最大的是中间一项，即第(n)/(2)+1项；当n为奇数时，二项式系数最大的是中间两项，即第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项。

完整版)二项式定理知识点及典型题型总结

完整版)二项式定理知识点及典型题型总结二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b +。

+ C(n,n)b^n (n∈N*)2、几个基本概念1）二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式2）项数：二项展开式中共有n+1项3）二项式系数：C(n,r) = n!/r!(n-r)!4）通项：展开式的第r+1项，即T(r+1) = C(n,r) * a^(n-r) * b^r3、展开式的特点1）系数都是组合数,依次为C(n,1)。

C(n,2)。

…。

C(n,n)2)指数的特点①a的指数由n到0(降幂)。

②b的指数由0到n（升幂）。

XXX和b的指数和为n。

3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。

4、二项式系数的性质：1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.2）增减性与最值: 二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项取得最大值C(n,n/2)当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C(n,(n-1)/2)C(n-1.m) = C(n。

m) + C(n。

m-1)C(n,0) + C(n,1) +。

+ C(n,n) = 2^n3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 C(n,0) - C(n,2) + C(n,4) -。

= 2^(n-1)二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“(a+b)^n”型的展开式例1．求(3x+2y)^42．“(a-b)^n”型的展开式例2．求(3x-2y)^43．二项式展开式的“逆用”例3．计算1-3C(n,1) + 9C(n,2) - 27C(n,3) +。

+(-1)^n*3nC(n,n)二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知((-ax)/(9x^2+1))^9的展开式中x^3的系数为9，常数a的值为1/32．确定二项展开式的常数项例5．(x-3/x)^10展开式中的常数项是2433．求单一二项式指定幂的系数例6．(x^2-3y)^6中x^3y^3的系数为-540三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．(x-1)^-1(x-1)^2(x-1)^3(x-1)^4(x-1)^5的展开式中，x^2的系数等于-101.展开式中，求(x-2)(x^2+1)^7展开式中x^3的系数。

二项式定理九种常见的考查题型归纳

二项式定理常见的题型归纳吴友明整理题型一：指定项有关的问题例1.在12)13(xx -展开式中,3-x 的系数为 . 解析:由二项式定理的通项公式得1121212211212(3)(3(1)r r rr r r r rr T C x C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 312122123(1)rrrr C x--=⋅-⋅⋅.令31232r -=-可得10r =,即121010103311123(1)594T C x x ---=⋅-⋅⋅=.故3-x 项的系数为594.点评:解决此类问题的一般策略是：先求二项式展开式的通项，再利用化简后的通项与指定项之间的联系求解。

特别题型解题之前先确认题目是求二项式的展开式的系数或二项式的系数，另外二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.练习.若n xx x )1(3+的展开式的常数项为84,则n = .解析:由二项式定理的通项公式得333321()r r n rrr n rr nnT C x C xx---+=⋅⋅=⋅⋅932n rr nC x-=⋅.令9302n r -=可设3,2n k r k ==,其中k N +∈. 故有23384r k kn k k C C C ===,解得3k =.故39n k ==.题型二：有理项有关的问题例2. 二项式24展开式中，有理项的项数共有（）项A. 3B. 4C. 5D. 7 解析:由二项式定理的通项公式得241136424r !2424T ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭rrr r r C x x C x，其中0,1,2,,24r =L ，由题意得364r Z -∈，则0,4,8,12,16,20,24r =，所以共有7个有理项点评: 有理项是指变量的指数是整数（可以是正整数，也可以是负整数和零）的项，所以此类问题的一般解题思路是：先求二项式的展开式的通项，化简后令x 的指数为整数解决问题。

二项式定理题型及解题方法(可打印修改)

项
C
r n
a
nr
b
r
的二项式系数是组合数
C
r n
，展开式的系数是单项式
C
r n
a
nr
b
r
的
系数，二者不一定相等.
如(a－b)n 的二项展开式的通项是 Tr1 (1)r Cnr anrbr ，在这里对应项的二项式系数都是 Cnr ，但项的
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系数是 (1)r Cnr ，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况.
设 f (x) (ax b)n a0 a1x a2 x2 L an xn
(1) 令 x=0，则 a0 f (0) bn
(2)令 x=1，则 a0 a1 a2 L an f (1) (a b)n
(1)项数：共有 n+1 项，比二项式的次数大 1；
(2)二项式系数：第
r+1
项的二项式系数为
C
r n
，最大二项式系数项居中；
(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 n．字母 a 降幂排列，次数由 n 到 0；字母 b 升幂排列，
次数从 0 到 n，每一项中，a，b 次数和均为 n；
3.两个常用的二项展开式：
C51(4x3 )4 (3)
C52 (4x3 )3 (3)2
C53 (4x3 )2 (3)3
C54 (4x3 )(3)4
C55 (3)5 ]
1 (1024x15 3840x12 5760x9 4320x6 1620x3 243) 32 x10
32x5 120x2 180 135 405 243 . x x4 8x7 32x10

二项式定理的常考题型

二项式定理的常考题型
二项式定理是高中数学中的重要内容，常常作为数学考试的考点之一。

在二项式定理中，最常考察的题型有以下几种：
1. 展开二项式：考生需要根据二项式定理的公式，将给定的二项式展开成多项式形式。

这种题型考查考生对二项式定理的理解和应用能力。

2. 求二项式系数：考生需要根据二项式定理的公式，计算给定二项式中的某一项的系数。

这种题型考查考生对组合数学的理解和计算能力。

3. 求二项式的特定项：考生需要根据二项式定理的公式，计算给定二项式中的某一项，并给出具体的数值。

这种题型考查考生对二项式展开式的理解和运用能力。

4. 判断二项式的展开式：考生需要根据二项式的特定性质，判断给定的展开式是否是某个二项式的展开式。

这种题型考查考生对二项式定理的理解和推理能力。

除了以上常见的题型外，还有一些拓展题型，如求二项式的和、证明二项式定理等，这些题型更加考查考生对二项式定理的深刻理解和灵
活运用能力。

总之，二项式定理的常考题型主要包括展开二项式、求二项式系数、求二项式的特定项和判断二项式的展开式等。

掌握这些题型的解题方法和技巧，能够帮助考生在数学考试中取得更好的成绩。

二项式定理题型种种及解析

二项式定理题型种种及解析
二项式定理主要应用在排列组合概念上，可以求解给定n个物体，选择m个物体排列组合成一组并且可以重复计算出选择不同个数的物体组合的数量。

二项式定理考题主要有以下几种：
一、从n个元素中取m个元素的所有可能性
这种考题的关键就在于搞清楚n个元素中取m个元素的所有可能性有多少种。

二项式定理可以游刃有余的解决这种题目，前提条件是没有重复的元素选择。

具体的求解方法是运用二项式定理：Cnm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)／m!
二、从n个元素中取m个元素的组合数
二项式定理也可以求解从n个元素中取m个元素的组合数，它可以求出在选取不需要重复元素的情况下，挑选m个组合的数量。

公式是：组合数＝C（n，m）/m!
三、n的阶乘的计算
二项式定理也可以求解n的阶乘，其计算公式是：n!=n(n－1)(n－2) (1)
／2!，也就是二项式定理中NSm=0时的值。