相电路瞬时无功功率理论
旋转p-q-r坐标系下的瞬时功率理论
旋转p-q-r坐标系下的瞬时功率理论摘要该论文在三相四线制系统中定义了一个旋转的p-q-r坐标系，这里，p为瞬时有功功率，为瞬时无功功率。
这三个分量是线性独立的，所以可以通过单独控制两个电流分量的空间矢量来补偿这两个瞬时无功功率。
该论文按照这个理论，通过补偿瞬时无功功率来消除三相四线制系统的中线上的电流，而无需储存能量，仿真的结果很好地证明了这个理论。
1引言韩国和美国等其他国家，不低于70%的电能消费用于电机，主要是感性电机。
如果假设电机负载的功率因数是0.8，那么发电厂最少得发出17%的无功功率，这就需要更多的发电机，并且增加了传输/分布损耗。
换句话说，如果完全补偿用户侧的无功功率，那么发电设备和分布损耗将最少减少17%。
除此之外，当三相四线制系统接不平衡或非线性负载时，流过中线上的电流将很大。
在单相二极管整流的情况下,流过中线的电流为相电流的1.73倍。
由于传统的三相四线制系统的中线不能解决上述问题，并且存在大量的电力电子设备，会在用户侧产生大量问题。
三相系统中，瞬时无功电流产生不产生瞬时有功功率。
所以由补偿无功功率来控制无功电流不需要储备能量的设备，如三相系统中功率补偿器的直流侧电容。
这样能够降低成本，提高功率补偿的可靠性。
三相系统中，瞬时有功和无功功率分别定义为电压矢量和电流矢量的内积和矢量积。
瞬时有功功率是线性独立的，但是瞬时无功功率的三个分量却不是彼此独立的。
也就是说，可以单独的补偿瞬时有功功率，却不能单独各自补偿瞬时无功功率的三个分量。
因此，瞬时无功功率的补偿电流的自由度是1。
系统的零序电压和零序电流既影响瞬时有功功率，又影响瞬时无功功率。
当电源电压中有零序分量时，即使把瞬时无功功率补偿到零，中线电流也不会完全消除。
[8]中采用了特殊的无功功率补偿算法，来消除三相四线制系统中的中线电流，但这种算法仍然受电流只有一个可控量的限制。
该论文提出了一个所谓的p-q-r坐标系，它能随着三相四线制系统的电压空间矢量旋转。
基于瞬时无功功率理论的谐波检测方法的仿真研究
三相对称正弦基波电流输入
6
4
2
0
-2
-4
-6
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
时间t/s
图 8. 三相对称基波输入电流波形
通过谐波实时检测后得到的三次谐波电流
3
2
1
0
-1
-2
-3
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
时间t/s
图 11. 通过谐波实时检测模型后输出的谐波电流波形
然后对模型 A 相输入畸变电流和检测得到的 A 相 谐波电流进行傅里叶分析，见下图 12 和图 13。其中 图 12 的纵坐标代表各次谐波相对基波幅值的数值，图 13 的纵坐标代表各次谐波的幅值，两个图的横坐标均 为谐波次数。
图 4. C32 变换模块
图 5. C23 变换模块
（2）p-q 运算模块和 p-q 逆运算模块
图 7. Cpq 逆变换模块
（3）低通滤波器（LPF）运算模块 MATLAB 中 常 用 的 低 通 滤 波 器 有 巴 特 沃 斯 型 （ Butterworth ） 、 切 比 雪 夫 型 （ Chebyshev I 和 Chebyshev II）、贝塞尔型（Bessel）等几种型式。 当截止频率选择不太高时，Butterworth 低通滤波器 的频率特性在零点处最好[5]，其检测精度已能满足要 求。所以，综合考虑，在这儿选择 Butterworth 低通 滤波器。 从提高检测精度出发，希望 LPF 的截止频率低一 些，但如果过低，会导致动态响应变慢。采用数字滤 波器实现时，截止频率过低会使滤波器参数相差倍数 过大，从而使计算机运算时的截断误差增大，反而会 使精度降低。在这，我们选择截止频率为 30Hz。而且 由仿真波形可看出，能取得较好的效果。 理论上 LPF 的阶数越高，检测精度越好，但是计 算机的运算量会加大，进一步导致检测延时变长。检
基于瞬时无功功率理论的谐波和无功电流检测算法
根据这两个式子，就得到瞬时无功功率理论对有 功电流、无功电流以及有功功率、无功功率的定义。 • ① 在 αβ 坐标系中， 电流矢量 i 在电压矢量 e 上的投影为三相电路 瞬时有功电流 ip，电 流矢量 i 在电压矢量 e 法线上的投影为三相 瞬时无功电流 iq。即：
式中，
• ② 电压矢量 e 的模 e 和三相电路瞬时无功 电流iq的乘积为三相电路瞬时无功功率 q， e 和三相电路瞬时有功电流 ip的乘积为三相 电路瞬时有功功率 p。即：
其中，变换矩阵
将 iaf、ibf、icf与 ia、ib、ic相减，即可得出 ia、ib、ic的谐波分量 iah、ibh、 ich。 当有源电力滤波器同时用于补偿谐波和无功时，就需要同时检测出补偿对 象中的谐波和无功电流。在这种情况下，只需要计算出 p，然后由 p 即可计算出 基波有功电流 iapf、ibpf、icpf为：
三 αβ 坐标系下的瞬时无功功率理论
• αβ 变换原理：若在空间上相差为 120°的同步电机定子 abc 三相绕组中通过时间上相差 120°的三相正弦交流电，那么 在空间上会建立旋转磁场，且此旋转磁场的角速度为 ω； 若将时间上相差 90°的两相平衡交流电通过定子空间上相 差 90°的 αβ 两相绕组，此时建立的旋转磁场与 abc 三相绕 组是等效的，因此可用 αβ 两相绕组代替 abc 三相绕组。 将三相电压、电流分别通过 abc-αβ变换到 αβ 坐标系下。 得到 α、β 坐标系下的两相瞬时电压 eα、eβ和瞬时电流 iα、 iβ。
再通过与 pq 变换矩阵 Cpq相乘得到瞬时有功功率 p 和瞬时无功功率 q：
p、q 经低通滤波器得到 p、q 的直流分量 p 、q，电网电压无畸变时， p 为基波有功电流与电压作用产生，q为基波无功电流与电压作用产生。 将 p 、q同时进行 pq 反变换、αβ 反变换就得到三相基波电流 iaf、ibf、 icf：
三相电力系统中的广义瞬时无功功率理论
三相电力系统中的广义瞬时无功功率理论摘要该篇论文讲述了三相电力系统中广义上的瞬时无功功率理论。
该理论给出了瞬时无功功率的一般定义，适用于任何三相电力系统，不论正弦或非正弦，平衡或不平衡以及是否含有零序电流和电压。
并且详细论述了新定义的瞬时无功功率的特性和物理意义，然后又以含零序的三相滤波器为例来说明如何用该理论来计算和补偿无功功率。
1.引言对于正弦电压和正弦电流的单相电力系统来说，有功功率，无功功率，有功电流，无功电流、功率因数等参数都是基于平均值的概念。
很多学者都试图重新定义上述参数来处理不平衡以及电压、电流发生畸变的三相系统。
其中，引入了一个有用的瞬时无功功率的概念，它提供了一个有效的方法可以不用储存能量就能补偿三相电力系统的瞬时无功功率分量。
但是这个瞬时无功功率理论仍然在概念上仍然受[2]中所列出的限制，即该理论只是对于不含零序电流和零序电压的三相系统是完整的。
为了解决这个限制和其他问题，提出了一个新方法来定义瞬时有功电流和瞬时无功电流。
但是，他的方法是把电流分解成正交的分量，而不是分解功率。
这篇论文提出了三相电力系统的瞬时无功功率的一般理论，该理论给出了瞬时无功功率的一般定义，适用于任何三相电力系统，不论正弦或非正弦，平衡或不平衡，以及是否含有零序电流和电压。
下面介绍这个理论的一些性能。
2.三相系统的瞬时无功功率的定义图1 三相电路的结构对于图1所示的三相电力系统，瞬时电压和瞬时电流表示成瞬时空间矢量v和i ，也就是图2 三相的相量图图2给出了互相垂直的三相坐标图，依次记为a相，b相，c相。
这个三相电路的瞬时有功功率p可以写成这里表示点乘或者矢量的内积。
公式（2）也可以写成传统的定义式这里，我们定义一个新的瞬时空间矢量为q ,这里表示矢量的叉乘。
矢量q代表这个三相电路的瞬时无功功率矢量，q 的幅值或长度定义为瞬时无功功率，即这里表示一个矢量的幅值或长度。
公式（3）和（4）可以各自改写成反过来，我们再定义瞬时有功电流矢量，瞬时无功电流矢量，瞬时视在功率S,以及瞬时功率因数为这里和分别为三相系统的电压和电流的幅值。
瞬时功率理论-
赤木泰文介绍：赤木泰文（HirofumiAkagi），日本东京技术学院 （TokyoInstituteofTechnology）电气工程学教授，讲授电力电子 学。1996年当选为IEEE会士（1EEEFellow）.1998～1999年被 选为IEEE工业应用学会和电力电子学会的杰出演讲者，2001年 获得国际电力电子学领域的最高奖——IEEEWilliamE.Neweli 奖.2004年获得IEEE工业应用学会杰出成就奖。
可使线路损耗最小。
无功分量 iq 为： iq (t) i(t) ip (t)
由于 iq 与 e(t)正交，故 e(t)T iq (t) 0
瞬时有功功率和瞬时无功功率分别为：
p(t) e(t)T i(t) e(t)T ip (t)
q(t) e(t) iq (t)
该理论的特点：
i
（1）将电流分解为平行于电压的有功分量和垂直于电压的无功 分量，可用于零序分量存在的系统；
定义瞬时无功功率为： q(t) e i e i
α、β平面上的瞬时有功电流 ip 和瞬时无功电流 iq 分
别为瞬时空间矢量i在瞬时空间矢量电压e及其法线上
的投影
ip i cos, iq i sin
P Q e
ip iq
e e
e
e
i i
C
pq
i
i
瞬时无功功率理论认为：三相瞬时有功功率为各项 瞬时有功功率之和，也是各项瞬时功率之和，反映了 三相电路电源向负载传递的功率；瞬时无功功率仅在 电路之间传递，各项瞬时无功功率之和为零。
现代电力电子技术
——2.3 瞬时功率理论
基于瞬时无功功率理论的电力谐波仿真研究
综合 式 （． ） 式 （． ） 可 得 ２２和 ２３ ，
Ｖ —／ ２ １ ］ ２
ｆ 西＼ ２一
ｓ （ｃ 丌３ ｉ ａ －２ ／ ） ｎｒ
一
算 。计算出的 ｉ ｆ ｉ ｆ ｉｆ只含有有功分量 ， ａ 、ｂ 、ｃ 与被检测的三相电流相减后 得到 ｉ ｈ ｉ ｈ ｉｈ 即为包含谐波 电流和基波无功 电流。 ａ、ｂ、ｃ， 五、 仿真 结果及结论 模 型 接 入 容 性 负 载 中 ， 网频 率 选 择 ５ Ｈ ， 个 周 期 采 样 ２ ６个 点 ， 电 ０ｚ每 ５ 得 到 的 仿 真结 果 如下 图 ５ ｉ 图 ５２ 图 ５ ３所 示 。 ．、 ． 、 ．
、
了传统的以平均值 为基础 的功率 定义，系统 的定义 了瞬时有功功率 Ｐ 瞬 、 时无功功率 ｑ等瞬时功率量 ， 后人发展 了这 套理论 ， 出了瞬 时有 功 电流 提 ｉ、 时无功电流 ｉ 瞬时量； 瞬 ｐ ｑ等 以瞬 时 无 功 功 率 理 论 为 基 础 ， 以 得 出 用 可 于有源 电力滤波器 （Ｐ ） Ａ Ｆ 的谐波和无功电流实时检测 方法。通过瞬时无功 功 率 Ｐ Ｑ理 论 （Ｒ ） 电流 物 理 分 量 理 论 （Ｐ ） 电 网 电 压 、 流 为 正 弦 的 － ＩＰ 及 ＣＣ在 电 三相 三 线 制 不对 称 电路 中的 应 用 的对 比 ， 明 瞬 时无 功 功率 理 论 的分 析 结 表 果与电路 中的某些功 率现 象不一致 ： 即无功功 率 Ｑ为零时 ， 时无功 电流 瞬 可能不为零； 有功功率 Ｐ为零 时， 瞬时有功 电流不 为零 ； 电源电压为正弦， 负荷 为 非 谐 波 源 时 ，瞬 时有 功 电 流 和 瞬 时 无 功 电流 中 都 包 含 三 次 谐 波 分 量 。瞬 时 有功 功 率 ｐ 瞬 时无 功 功 率 ｑ与 有 功 功 率 Ｐ 无 功 功 率 Ｑ及 不 平 衡 、 、 功 率 Ｄ之 间 的关 系 说 明 ｐ ｑ分 别 与 多个 功 率 现 象 相 关 ， 用 Ｐ Ｑ的 瞬 时值 、 仅 、 不 能 无延 时 的辨 识 三 相 负荷 不 对 称 系 统 的 功 率特 性 。 一 结论 对 有 源 电力 这 滤 波 器 的控 制 算 法 具 有 重要 意 义 ， 电力 工 程应 用 中受 到 了极 大 关注 在 二、 算法分析 根据 Ｈ Ａ ａ ｉ的瞬 时功率理论。假设三相电网 电压对称无畸变， ．ｋｇ 三相 电路各相 电压 的瞬时值分别为 ｅ、 ｅ， 。ｅ、。幅值 为 Ｅ 各相 电流的瞬 时值分 别 ， 为 ｉ、 ｉ 通过三相至两相的坐标变 换，把它们变换 到 ｎ— Ｂ两相 正交 ｉ、 的坐 标 系 中 ：
瞬时功率理论 ppt
赤木泰文介绍：赤木泰文（HirofumiAkagi），日本东京技术学院 （TokyoInstituteofTechnology）电气工程学教授，讲授电力电子 学。1996年当选为IEEE会士（1EEEFellow）.1998～1999年被 选为IEEE工业应用学会和电力电子学会的杰出演讲者，2001年 获得国际电力电子学领域的最高奖——IEEEWilliamE.Neweli 奖.2004年获得IEEE工业应用学会杰出成就奖。
pt et i t e(t )T i (t ) cos
T
定义有功分量 i p 为电流向量 i (t ) 在电压向量 e(t )上的正 交投影，则 i p i cos .
e(t )T i (t ) e(t ) p (t ) ip e(t ) 2 e(t ) e(t ) e(t )
Akagi瞬时无功功率的不足之处： （1） 只适用于无零序电流和电压分量的三相系统； （2）只能用于三相系统，不能推导单相、多相的 情况
2.3.3 基于电流分解的瞬时无功功率
不直接对功率进行分解，而是将电流分解为平行 于电压的有功分量和垂直于电压的无功分量。
将瞬时功率定义为电压向量和电流向量的内积：
其中
1 1 1 2 2 2 C32 3 3 3 0 2 2
定义瞬时有功功率为： p(t ) e i e i eaia ebib ecic 定义瞬时无功功率为： q(t ) e i e i
α、β平面上的瞬时有功电流 i p 和瞬时无功电流 iq 分 别为瞬时空间矢量i在瞬时空间矢量电压e及其法线上 的投影 i i cos, i i sin
现代电力电子技术
——2.3 瞬时功率理论
瞬时无功功率理论在配电网电能质量控制中的应用
・ ６ ｌ・
瞬时无功功率理论在配电网电能质量控制中的应用
周 敬 尧
（ 国网浙江杭 州市余杭 区供 电公 司， 浙江 杭 州 ３ １ １ １ ０ ０ ） 摘 要： 随着社会 经济的发展 ， 电力生产方式逐 渐打破 了原有 的计划 经济体制 ， 朝 着市场经济体 系转变。 在 电力 市场条件下 ， 供 电作为 种商业性服务 ， 而电能则是一种 商品 ， 它 同其他 的商品一样都存在 着质量属性。在社会飞速发展的今天 ， 人 们对电能质量要求不断的提 升使得 电力企业工作人 员越来越重视 配电网电能质 量的控 制。与此 同时逐渐剔除 了顺势无功功 率的应 用理论 ， 经过 多年 的应 用， 这一技 术 也 取 得 了一 定 的 工 作 成 果 。 关键词： 电能； 供 电企业 ； 配电网； 瞬时无功功 率理论 在过去多年的社会发展中， 电力电子设备的使用增长非常迅速， 这就 都是极为关键的， 都是与整个公式宙 怠相关的内容。 ２ ２卒 回路和． 监测电流分析 使得电力工业中无功功率需求量不断的增加 ，同时也引起了许多的负面 影响， 如电磁波干扰、 谐波污染等。随着 ＾ 们生活水平和生活资料要求的 在目 前的工作中， 通常在工作中都是以系统的给出三相非线性负载， 不断提高 ， 配电网电能质量也越来越受到人们的重视。为了改善电能的质 是一个由三相脉冲宽度调制的逆变器构成的有源滤波器与负载进行并 从而利用公式 研究 ， 从而屎证工作的Ｉ 讯Ｊ 进行。在当前的三相电 量， 需要我们及时的对电力系统的测量和校正进行优化， 从根本 Ｅ 解决电 联 ， 能质量问题 ， 以保证供电企业的可持续发展。 流系统工作中， 其中主要 的含零 序分量可以分为 ： ｉ ａ 、 ｉ ｂ 、 ｉ ｃ 。 ２ ３ 电能 员 佥测标准 １电能质量 慨述 电力行 业伴随着社会经济体制的完善和市场经济的发展而呈现出商 由于公用电网中的谐波 电压和谐波 电流对用电设备和电网本身者 哙 品化态势 ， 在这种时代背景下， 电能已成为一种商品， 也具备着同其他普 造 艮 大的危害 ， 世界许多国家都发布了限制电网谐波 的国家标准 ， 或由 通商品—样 的质量属性。 在人』 门 生活水平不断提高的今天， 电能质量越来 规定。制定这些标准和规定的基本原则是限制 把电网谐波电压控制在允许范围内， 使接在 越受到人们的重视 ，如何科学的保证电能质量已成为供电企业管理 人员 谐波源注入电网的谐波电流 ， 研究的核 内容。 电网中的电气设名免受谐波干扰而能正常工作。由于电子技术， 特别是数 １ ． １电能质量概念 字电子技术的进步 ， 己有许多仪器能剐 趔 ｝ 彳 ＝ ＝ 的测量 ， 提供必需的 为谐 斤 工作提供了有利的条件 。 所谓的电能质量主要指的是电网中各点电压、电流以及电阻的增幅 信息 ， 与变形睛况， 它是否在应有控制力度的基础上进行完善， 它的优劣直接取 ２ ． ４控制策略 决于 电网结构与负荷： 两方面要求。 随着电力电子技术的发展， 电力系统因 并联型有源滤波器（ Ａ Ｐ Ｆ １ 产 的补偿电流应实时跟踪其指令电流的变 要求补偿电流发生器具有很好的实时 陛， 因此本文的电流控制采用跟 为非线『 生负 荷的影响而出现了许许多多的问题 ，这些非线陛负荷问题的 化 ， 存在严重的影响着供电质量， 甚至引发三相不平衡问题。 这些问题不仅造 踪型 Ｐ ＷＭ控制方式。 目 前应用于有源电力滤波器的电流跟踪控制电路一 成电能质量受到影响， 甚至是影响到人们的生活和工作。 为此在 目 前的社 般采用两种策： 三角波脉宽调制电流控制和滞环比较电流控制法。 前者的 会发展中， 电能贡量问题的研究越 Ｅ 越受到人们的重视。 优 点是开关频率固定 、 控制简单、 动态响应好 ， 钝 是开关损耗大、 存在高 ｌ ２ 电能质量 问题 淅 频畸变分量和高频失真 、 精度低 、 在大功率应用中受到限制 ； 而后者的优 在当今衬 泼展 中， 电能质量的不同所引发的供电成本也不断 Ｅ 升， 点是实现较简单 、 动态响应 决、 对负载适应能力强 ， 缺点是开关频率不固 只有供电价格与供 电质量科学 的联系起来 ， 才能够建立—个科学 、 完善 、 定、 易产生过大的脉动电流和开关噪声 、 开关频率 、 响应速度和电流跟踪 合理 的市场， 从而为供电事业的发展做出应有的贡献。 供电质量作为电力 精度受滞环宽度影响。由于本文的研究对象是配电网， 有源滤波器的容量 企业和供电管理部门工作人员研究的焦 眍，是对 人 民生活提供基础 不是很大， 所以采用改进的三角波脉冲宽度调制电流控制策略。 经仿真证 具有彳 艮 女 子 的跟踪补偿效果。 资源的主要方式， 同时保证供电质量对于促进社会发展、 保证社会安定 、 明， 实现小康社会有着重要的意义。在当前的工作中， 电能质量问题主要指的 在公式的选择 匕 ，在这里是通过对同时补偿谐波电流和无功电流为 是 电流 、 电压因为增幅、 增值 、 频率预汁波形变化而产生的供电变动， 它通 主进行控制 ， 它在选择的过程中都是采用综合性工作进行， 同时在输入电 常都是以电压偏差、 频率偏差、 谐波含量以及电压平衡等指标来进行衡量 流的线路上都是以综合陆管理为主控制的。但是在主电路电力开关高频 的。 通断的过程中， 会产生其工作频率附近也经常会出现谐波很大的变动， 这 ２瞬 时无功功率 理论分析 动问题的存在陡 ． 口二 ｆ ｛ 迅 口 困难。 结束语 三相电路瞬时无功功率理论由日 本学者赤木泰文最先提出，理沦打 破了传统的以平均值为基础的功率定义，系统的定义了瞬时有功功率 Ｐ 、 本文将广义的瞬时无功功率理论用在配电网的电能质： 量控制上。文 瞬时无功功率 ｑ 等瞬时功率量 ， 后 人发展了这套理论， 提出了瞬时有功电 中介绍了瞬时电流和瞬时功率的定义 ，提出了适用于三相四线制配电网 流ｉ ｐ 、 瞬时无功电流 ｉ ｑ 等瞬时量 ； 以瞬时无功功率理论为基础， 可以得 出 的电流检坝 ４ 方法 ，并且采用三角波脉冲宽度调制的电流控制策略来控制 用于有源电力滤波器（ Ａ Ｐ Ｆ ） 的谐波和无功电流实时检测方法， 此方法在工 有沥麟 的输出。仿 靴 明了所 的正瞻陛。 参考 文献 程应用 中受到了极大 注 。 Ｚ １瞬时功率分析 ［ １ ） 魏磊， 张伏生耿 中行等． 基于瞬时无功功率理论的电能质量扰动检测、 定 丁 ｌ 电网技术 ＇ ２ ０ ｏ ４ ｛ ｏ 在 目前的 ｝ 土 会经济发展中， 瞬时无功功率理在分析的过程中， 通常都 位与分类方 法Ｉ 是采用电压向量、 电压电流向量 、 负载电流向量来进行控制的 ， 其在工作 圈蒋平， 王宝安， 赵剑锋 配电网串并联复合有源电力滤波器的仿真研究 电 的过程中具体计算定 义 如下 ： 力 系统 自 动化 ２ ｏ ｏ ２ （ １ 翻武小梅 栗颂东， 文福拴 瞬时无功功率理论在 配电网电能质量控制中的 应用 电力 系统保护与控制２ ０ ０ ９ ５ ． ＝
瞬时无功功率实时谐波检测
p = 3EI 1 cos ϕ1 q = −3EI 1 sin ϕ1
∞ ~ p = 3E ∑ I n cos[(1 m n)ωt m ϕ n ] n =2 ∞ ~ q = ±3E ∑ I n sin[(1 − n)ωt − ϕ n ] n =2
重要结论：直流部分是由基波电流产生的， 重要结论：直流部分是由基波电流产生的，交流部分 是由谐波电流产生的。 是由谐波电流产生的。 如果将直流瞬时有功和直流瞬时无功功率经过计算， 如果将直流瞬时有功和直流瞬时无功功率经过计算， 可以得到α－ 坐标下基波电流， 坐标下基波电流 可以得到 －β坐标下基波电流，进而得到三相坐标 下的基波电流。 下的基波电流。
i a v iα i = = C 32 ib iβ i c
C 32 =
2 1 0 3
−1 2 −1 2 3 2 − 3 2
（式1）
• 在α－β坐标平面上，可以用旋转电压矢量e和电流矢量i分别表 示：
e = eα + eβ = e∠ϕ e i = iα + iβ = i∠ϕ e
瞬时无功功率理论及谐波检测
0、引言
• 三相电路瞬时无功功率理论1983年由赤木 泰文提出，自提出以来，在许多方面得到 了成功的应用。该理论突破了传统的以平 均值为基础的功率定义，系统地定义了瞬 时无功功率、瞬时有功功率等瞬时功率量。 • 以该理论为基础，可以得出用于APF的谐波 和无功电流实时检测方法，并在实际中得 到了成功的应用。
eα 2 2 iα eα + eβ i = e β β 2 2 eα + eβ
2 2 eα + eβ p eα q − 2 2 eα + eβ eβ
瞬时无功功率理论.
其中，
I m2
3 Im 2
。
上式说明，从静止三相A-B-C变换到静止二相d-q，在D、Q绕组中通以互 差90度的与三相同频率的两相平衡正弦交流电流，即可获得与三相静止 绕组等效的磁动势。
坐标变换与变换矩阵
又可知，将上式部分（d轴）展开后有，
idp I m 2 cos sin 1t idq I m 2 sin cos 1t
。代入上
反变换关系与变换矩阵为:
3 i 2 1 i 2 2 i 3 i 1 6
A B
0 i i 2
A B
0 i 1 i 2
因此，d轴分量又可分别定义为瞬时有功电流和瞬时无功电流之和，
i d i dp idq
坐标变换与变换矩阵
5．3/2变换结果代入2/2变换后有
id sin cos sin(1t ) I i m 2 cos sin cos(1t ) q
矢量变换原理与坐标变换
电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产生的磁动势(大小、旋转）完全一致。 关于旋转磁动势的认识： 1) 产生旋转磁动势并不一定非要三相绕组不可。结论是， 除了单相电机之外，两相,三相或四相等任意对称（空间）的多相绕组，若 通以平衡的多相电流，都可产生旋转磁动势。 根据这一道理，利用其在空间上互差90度的静止绕组，并通以时间上互差90 度的平衡交流电流，同样可产生旋转磁场（或磁动势F），因而可等效代替三相 (3-2)变换的思路。 绕组的作用。这就是ABC 2)。进而认识到，若直流电机电枢绕组以整体同步速度旋转，使其相互正交或垂 直的绕组M,T分别通以直流电流，产生的合成磁动势F相对于绕组是固定不变的， 但从外部看，它的合成磁动势也是旋转的。因此还可产生 d q(2-2)变换.
PQ变换与DQ变换的理解与推导要点
独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc到120的变换应以磁
动势不变为准则，应选取等幅值变换。
虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值
变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。因此，相对于等幅值变换，还
有等功率变换。
所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。
定义定子电流的空间矢量 iori ，它等于 i1 的2倍3，即
iori
=
2 3
(1ia
aib
a2ic )
（1-2）
式中的1、 a 和 a2 分别表示a相、b相和c相轴线位置处的单位空间矢量。若零序电
流为0， iori 在a、b、c相轴线上的投影即为 ia、 ib、 ic ，如图1-1所示。 从式（1-
1
1 2 1 2
1
0
1 2
C 0 2 30
3 2 3 2
C 1 0
2 31 2
32
1 2
12
12
12
，
1 2 3 2
1
2
不难推导出，120分量与αβ0分量之间具有下列关系
6
i1 i2
1 6
ic
i0 i0
ic
1 其中 C 01 1 2
1 2
0 32 32
1
1
1 1
， C 0
2 3
0
1 2
1 2 32 12
1 2 3 2
1 2
不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把 C 0 进行单位正
正弦交流电路的瞬时功率、平均功率与功率因数、功率三角形、视在功率、无功功率
正弦交流电路的瞬时功率、平均功率与功率因数、功率三角
形、视在功率、无功功率
一、瞬时功率
电路在任一瞬间吸收的功率称为瞬时功率。
设正弦交流电路输入端口的电压与电流取关联参考方
向，它们分别为，，则
式中为电压与电流的相位差。
二、平均功率与功率因数
瞬时功率的平均值称为平均功率，也称有功功率，用 P 表示，单位
为瓦（ W ）。
根据定义可知：
可见： 1) P 是一个常量，不仅与电压、电流有效值有关，还与它们相位差的余弦有关。
2) 式中称为功率因数，通常用表示，即。
因为
，
所以。
3) 对于纯电阻来说，电压与电流同相，，；
对于纯电感来说，电压超前电流，，所以；
而对于纯电容来说，电压滞后电流，，所以。
4 ）平均功率守恒，即
三、无功功率
正弦稳态一端口电路内部与外部能量交换的最大速率定义为无功功率，用字母 Q 表示，单位
为乏。
可见： 1) Q 也是一个常量，由 U 、 I 及三者乘积确定。
2)
3 ）无功功率也守恒，即
四、视在功率
在电工技术中，把电路端口电压有效值与电流有效值的乘积称为电路的视在功率，用字母 S 表示，
单位为伏安（ VA ），即
它反映电源设备的额定容量。
* 视在功率无物理意义，不满足守恒定律。
五、功率三角形
P 、 Q 和 S 三者之间可用三角形联系起来，此三角形称为功率三
角形，如图所示。
例：已知某二端口的总电压V ，总电流
A ，
求该二端口的 P 、 Q 、 S 、及。
解：W
var
VA。
三相电路瞬时无功功率理论
三相电路瞬时无功功率理论首先1983年由赤木泰文提出，此后该理论经不断研究逐渐完善。
赤木 最初提出的理论亦称pq 理论，是以瞬时实功率P 和瞬时虚功率q 的定义为基础，其主要的一点不 足是未对有关的电流量进行定义。
下面将要介绍的是以瞬时有功电流，；和瞬时无功电流 ,为基础的 理论体系，以及它与传统功率定义之间的关系。
两相瞬时电流i a 、图6-1a-P 坐标系中的电压、电流矢量e — e + e 廿=e /①（6-3）i - i + i p = i /①.（6-4）【定义6-11三相电路瞬时有功电流i 和瞬时无功电流i 分别为矢量i 在矢量e 及其法线上的投影。
即i -i cos ①（6-5） pi - i sin ①（6-6）式中，①=Q —2。
a -P 平面中的i p 、z ；如图6-1所示。
【定义6-21三相电路瞬时无功功率q （瞬时有功功率p ）为电压矢量e 的模和三相电路瞬时无功 设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为e a、e b 、e 和 i 、i b 、 i c 。
为分析问题方便，把它们变 换到a -p 两相正交的坐标系上研究。
由下面的变换可以得到a 、两相瞬时电压 'a 、e p 和 a 、Pea e=C 32 e a e b e （6-1） ia i =C32 i a i b i式中C =.岑 （6-2）-12 v3/2Ri.。
在图6-1所示的a -p 平面上矢量e a 、 e 口和i a 、i p 分别可以合成（旋转）电压矢量e 和电流矢量式中，e 、 i 为矢量e 、i 的模; 、分别为矢量e 、i 的幅角。
电流i （三相电路瞬时有功电流i ）的乘积。
即 q pp = ei （6-7） pq = ei （6-8） q=C ,a (6-9)pq iL p 」e e式中。
=a P 。
pq e — eL p p 」 p = e i +e i + e i (6-10) a a b b c cq = -e ） + （e -e ） + （e -e ）］ （6-11）J3 b c a c a b a b c从式（6-10）可以看出，三相电路瞬时有功功率就是三相电路的瞬时功率。
瞬时无功功率理论
p = ea ia + ebib + ec ic
eα sin ωt e = Em 2 cos ωt ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ β
sin (ωt ) iα i = I m 2 β cos (ωt )
E m2 = 3 2E m
Im2 = 3 2I m
瞬时无功功率理论
3 P = E m I m cos 2
i p = sin(ωt + θ )iα cos(ωt + θ )iβ = 3 ∑ {I1n cos[(n 1)ωt + 1n θ ] I 2 n cos[(n + 1)ωt + 2 n + θ ]}
n =1 ∞
iq = cos(ωt + θ )iα sin(ωt + θ )iβ = 3 ∑ { I1n sin[(n 1)ωt + 1n θ ] I 2 n sin[(n + 1)ωt + 2 n + θ ]}
i = iα + iβ = i∠i
i
iβ
i p = i cos
iq = i sin
p = ei p
e
i
eα iα
α
iq
q = eiq
p eα q = e β
eβ iα iα i = C pq i eα β β
瞬时无功功率理论
( eb ec ) ia + ( ec ea ) ib + ( ea eb ) ic ia = I m sin (ωt ) ea = Em sin ωt ib = I m sin (ωt 2π 3) eb = Em sin (ωt 2π 3) ic = I m sin (ωt + 2π 3) ec = Em sin (ωt + 2π 3) q=
瞬时无功功率计算公式
瞬时无功功率计算公式
瞬时无功功率是指在交流电路中，电源和负载之间的无功功率的瞬时值。
由于无功功率是交流电路中的重要参数，研究和计算其数值对于电力系统的分析和设计具有重要意义。
在电力系统中，电源和负载之间的无功功率是通过电容器和电感器来调节和平衡的。
而瞬时无功功率的计算公式可以用来计算电路中的无功功率。
瞬时无功功率的计算公式如下：
Q(t) = |V(t)| * |I(t)| * sin(θv - θi)
其中，Q(t) 表示瞬时无功功率，V(t) 表示电压的瞬时值，I(t) 表示电流的瞬时值，θv 表示电压的相位角，θi 表示电流的相位角。
通过这个公式，我们可以计算出在特定时间点上电路中的无功功率。
公式中的绝对值表示相量的模，sin(θv - θi)表示电压和电流之间的相位差。
瞬时无功功率的计算公式可以用于电力系统中各种场景的计算，例如在电容器和电感器等元件的设计和选择中，可以通过计算无功功率来确定所需的元件参数。
此外，在电力系统的运行和管理过程中，也可以通过计算无功功率来评估系统的运行状态和效率。
瞬时无功功率的计算公式是基于交流电路的特性和电压、电流之间的相互关系推导出来的。
它是电力系统分析和设计中的重要工具，可以帮助工程师和研究人员更好地理解和优化电力系统的运行。
瞬时无功功率的计算公式是电力系统中重要的计算工具，通过该公式可以计算出电路中的无功功率。
在电力系统的设计、分析和管理过程中，瞬时无功功率的计算公式发挥着重要的作用，可以帮助人们更好地理解和优化电力系统的运行。
通过合理的应用和理解，我们可以更好地设计和管理电力系统，提高系统的效率和稳定性。
瞬时功率理论
i q iq siu n u u iq u u u q u u 2q u 2 u u 2q
i q i q cu o u u s i q u u u q u u 2 q u 2 u u 2 q
p u a ia u b ib u c ic
q 1 3 [u b ( u c ) ia ( u c u a ) ib ( u a u b ) ic
可见,三相电路的瞬时有功功率就是三相 电路的瞬时功率。
i p ip co u u u s ip u u u p u u 2p u 2 u u 2p
p u2 uh
p u2
uh
uuqq22u uff
p (u2
I1cUo1s1)uf
p (
u2
I1cUo1s1)uf
q (u2
q (
u2
II1 1ssU U iin n1 1 ((1 1))))}
ua
ia iibc
PLL
sin
cos
i C32
i
ip LPF ip
C
ua ub uc
ia iibc
u
C32
u
i C32
i
C pq q
iq
C 1 pq
C23
iq
iaq பைடு நூலகம்bq
icq
ip iq
sint cost
costi
sint
i
In
c
os[1(
n)t
n
)]
3
n1
n1
In
sin[(1
n)t
n
)]
故弄玄虚的瞬时无功功率理论
故弄玄虚的瞬时无功功率理论沈阳万思电力技术研究所标签：无功补偿三相电路瞬时无功功率理论是由日本学者赤木泰文于1983年首先提出来的。
赤木泰文的理论中定义了瞬时实功率p和瞬时虚功率q，因此又称为pq理论。
该理论受到很多人的追捧，并且不断有人为其添砖加瓦。
在pq理论中使用了一系列的矩阵变换，来定义没有物理意义的实电压和虚电压以及实电流和虚电流，并导出瞬时实功率p和瞬时虚功率q。
从而得出可以通过对瞬时值的检测来确定系统无功参数的结论。
其实，赤木泰文的pq理论最终导出的瞬时实功率p和瞬时虚功率q就是在三相完全平衡状态下可以导出的值，也就是说：只有在三相完全平衡的状态下，赤木泰文的pq理论才有正确的结果。
在三相不平衡的状态下，使用赤木泰文的pq理论不会得出正确的结果。
在pq理论中使用一系列的矩阵变换以及定义没有物理意义的实电压和虚电压不过是为了搅浑水，使人们无法一下子看清其中的破绽罢了。
有人比赤木泰文走的更远，不仅发明出新的方法使瞬时无功功率理论应用于不平衡系统，而且应用于三相四线系统，直至单相系统。
更有人发明出新的方法不仅使瞬时无功功率理论应用于纯正弦波系统，而且应用于含谐波系统，直至应用于暂态过渡系统。
所有的这些“新发展”，都得力于矩阵变换这种可以搅浑水的有效工具。
下面我们详细探讨瞬时无功功率理论的问题所在。
一，关于瞬时无功功率的定义由于SVG装置可以实现很高的响应速度，于是人们就开始研究对无功功率的快速检测问题。
在电力系统中基本的物理量定义大都是以平均值为基础的，例如电压有效值U、电流有效值I、有功功率P、无功功率Q、视在功率S等等。
以平均值为基础的定义显然不能满足快速检测的需要，而为了进行快速无功补偿，就需要对无功功率进行快速检测，因此就产生了怎样定义瞬时无功功率的问题，在这里有必要对瞬时与平均进行深入探讨。
在正弦稳态的情况下，设U和I是有效值，则正弦电压和电流可以表示如下：瞬时功率可以表达如下：电流可以分解为有功电流和无功电流，由于有功电流与无功电流有90度的相位差，因此有功电流与无功电流属于正交向量，于是瞬时电流就可以表达为有功电流瞬时值与无功电流瞬时值的代数和。
故弄玄虚的瞬时无功功率理论
故弄玄虚的瞬时无功功率理论沈阳万思电力技术研究所标签：无功补偿三相电路瞬时无功功率理论是由日本学者赤木泰文于1983年首先提出来的。
赤木泰文的理论中定义了瞬时实功率p和瞬时虚功率q，因此又称为pq理论。
该理论受到很多人的追捧，并且不断有人为其添砖加瓦。
在pq理论中使用了一系列的矩阵变换，来定义没有物理意义的实电压和虚电压以及实电流和虚电流，并导出瞬时实功率p和瞬时虚功率q。
从而得出可以通过对瞬时值的检测来确定系统无功参数的结论。
其实，赤木泰文的pq理论最终导出的瞬时实功率p和瞬时虚功率q就是在三相完全平衡状态下可以导出的值，也就是说：只有在三相完全平衡的状态下，赤木泰文的pq理论才有正确的结果。
在三相不平衡的状态下，使用赤木泰文的pq理论不会得出正确的结果。
在pq理论中使用一系列的矩阵变换以及定义没有物理意义的实电压和虚电压不过是为了搅浑水，使人们无法一下子看清其中的破绽罢了。
有人比赤木泰文走的更远，不仅发明出新的方法使瞬时无功功率理论应用于不平衡系统，而且应用于三相四线系统，直至单相系统。
更有人发明出新的方法不仅使瞬时无功功率理论应用于纯正弦波系统，而且应用于含谐波系统，直至应用于暂态过渡系统。
所有的这些“新发展”，都得力于矩阵变换这种可以搅浑水的有效工具。
下面我们详细探讨瞬时无功功率理论的问题所在。
一，关于瞬时无功功率的定义由于SVG装置可以实现很高的响应速度，于是人们就开始研究对无功功率的快速检测问题。
在电力系统中基本的物理量定义大都是以平均值为基础的，例如电压有效值U、电流有效值I、有功功率P、无功功率Q、视在功率S等等。
以平均值为基础的定义显然不能满足快速检测的需要，而为了进行快速无功补偿，就需要对无功功率进行快速检测，因此就产生了怎样定义瞬时无功功率的问题，在这里有必要对瞬时与平均进行深入探讨。
在正弦稳态的情况下，设U和I是有效值，则正弦电压和电流可以表示如下：瞬时功率可以表达如下：电流可以分解为有功电流和无功电流，由于有功电流与无功电流有90度的相位差，因此有功电流与无功电流属于正交向量，于是瞬时电流就可以表达为有功电流瞬时值与无功电流瞬时值的代数和。
瞬时无功功率理论坐标变换的推导及谐波电流检测原理分析
2008年3月Power System Technology Mar. 2008 文章编号：1000-3673（2008）05-0066-04 中图分类号：TM711 文献标识码：A 学科代码：470·4054瞬时无功功率理论坐标变换的推导及谐波电流检测原理分析唐 蕾，陈维荣（西南交通大学电气工程学院，四川省成都市 610031）Deduction of Coordinate Transform for Instantaneous Reactive Power Theory and Analysis on the Principle of Harmonic Current Detection MethodTANG Lei，CHEN Wei-rong（College of Electrical Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，Sichuan Province，China）ABSTRACT: By means of building up a three-dimension coordinate system in vector space, the coordinate transform used in instantaneous reactive power theory (IRPT) proposed by H. Akagi is deduced and through spatial coordinate transform two equivalent three-dimension coordinate systems are obtained. After rigorous mathematical deduction the transformation factor for above-mentioned three-dimension coordinate systems is achieved, thus the coefficient deduction for IRPT is solved and the zero-sequence quantity expressing three-phase asymmetrical system is directly obtained. By use of the theory of rotating phasor, the basic principle of instantaneous spatial vector detection method based on IRPT is explained. The authors’ analysis is available for understanding and improvement of this harmonic current detection method.KEY WORDS:instantaneous reactive power theory (IRPT)；coordinate transform；rotating phasor；harmonic current detection摘要：在矢量空间中建立了三维坐标系，对赤木泰文提出的瞬时无功功率理论所用的坐标变换进行了推导，通过空间坐标变换得出了2个等价的三维坐标系，并经过严格的数学推导得出了上述三维坐标系的变换因子，解决了瞬时无功功率理论的系数推导问题，直接得出了表示三相不对称系统的零序量。
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三相电路瞬时无功功率理论首先1983年由赤木泰文提出，此后该理论经不断研究逐渐完善。
赤木最初提出的理论亦称pq 理论，是以瞬时实功率p 和瞬时虚功率q 的定义为基础，其主要的一点不足是未对有关的电流量进行定义。
下面将要介绍的是以瞬时有功电流p i 和瞬时无功电流q i 为基础的理论体系，以及它与传统功率定义之间的关系。
设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为a e 、b e 、c e 和a i 、b i 、c i 。
为分析问题方便，把它们变换到βα-两相正交的坐标系上研究。
由下面的变换可以得到α、β两相瞬时电压αe 、βe 和α、β两相瞬时电流αi 、βi⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a e e e C e e 32βα （6-1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a i i i C i i 32βα （6-2） 式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=23230212113232C 。
ββe i ββi q i β图6-1 βα-坐标系中的电压、电流矢量在图6-1所示的βα-平面上，矢量αe 、βe 和αi 、βi 分别可以合成（旋转）电压矢量e 和电流矢量ie e e e e ϕβα∠=+= （6-3）i i i i i ϕβα∠=+= （6-4）式中，e 、i 为矢量、的模；e ϕ、i ϕ分别为矢量e 、i 的幅角。
【定义6-1】三相电路瞬时有功电流p i 和瞬时无功电流q i 分别为矢量在矢量及其法线上的投影。
即ϕcos i i p = （6-5）ϕsin i i q = （6-6）式中，i e ϕϕϕ-=。
βα-平面中的p i 、q i 如图6-1所示。
【定义6-2】三相电路瞬时无功功率q （瞬时有功功率p ）为电压矢量的模和三相电路瞬时无功电流q i （三相电路瞬时有功电流p i ）的乘积。
即p ei p = （6-7）q ei q = （6-8）把式（6-5）、式（6-6）及i e ϕϕϕ-=代入式（6-7）、式（6-8）中，并写成矩阵形式得出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡βαβααββαi i C i i e e e e q p pq （6-9） 式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=βββαe e e e C pq 。
把式（6-1）、式（6-2）代入上式，可得出p 、q 对于三相电压、电流的表达式 c c b b a a i e i e i e p ++= （6-10）()()()[]c b a b a c a c b i e e i e e i e e q -+-+-=31 （6-11） 从式（6-10）可以看出，三相电路瞬时有功功率就是三相电路的瞬时功率。
【定义6-3】α、β相的瞬时无功电流aq i 、q i β（瞬时有功电流ap i 、p i β）分别为三相电路瞬时无功电流q i （瞬时有功电流p i ）在α、β轴上的投影，即p e e e i e e i i p e p p 22cos βααααϕ+=== （6-12a ）p e e e i ee i i p e p p 22sin βαβββϕ+=== （6-12b ） q e e e i e e i i q e q q 22sin βαββαϕ+=== （6-12c ）q e e e i e e i i q e q q 22cos βαααβϕ+-=-=-= （6-12d ） 图6-1中给出了aq i 、q i β、ap i 、p i β。
从定义3很容易得到以后性质：（1） 222p p p i i i =+βα （6-13a ）222q q q i i i =+βα （6-13b ）αααi i i q p =+ （6-14a ）βββi i i q p =+ （6-14b ）上述性质（1）是由α轴和β轴正交而产生的。
某一相的瞬时有功电流和瞬时无功电流也可分别称为该相瞬时电流的有功分量和无功分量。
【定义6-4】α、β相的瞬时无功功率αq 、βq （瞬时有功功率αp 、βp ）分别为该相瞬时电压和瞬时无功电流（瞬时有功电流）的乘积，即 p e e e i e p p 222βααααα+== （6-15a ） p e e e i e p p 222βαββββ+== （6-15b ） q e e e e i e q q 22βαβαααα+== （6-15c ） q e e e e i e q q 22βαβαβββ+-== （6-15d ）从定义6-4可得到如下性质： （1） p p p =+βα （6-16）（2） 0=+βαq q （6-17）【定义6-5】三相电路各相的瞬时无功电流aq i 、bq i 、cq i （瞬时有功电流ap i 、bp i 、cp i ）是α、β两相瞬时无功电流q i α、q i β（瞬时有功电流p i α、p i β）通过两相到三相变换所得到的结果。
即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡p p cp bp ap i i C i i i βα23 （6-18）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡q q cq bq aq i i C i i i βα23 （6-19） 式中T C C 3223=。
把式（6-12）代入式（6-18）、式（6-19）中得Ap e i aap 3= （6-20a ） Ap e i b bp 3= （6-20b ） Ap e i c cp 3= （6-20c ） ()Aq e e i c b aq -= （6-21a ） ()Aq e e i a c bq -= （6-21b ） ()A q e e i b a cq -= （6-21c ） 式中()()()()a c cb b ac b a a c c b b a e e e e e e e e e e e e e e e A ---++=-+-+-=2222222 从以上各式可得到如下性质：（1）0=++cp bp ap i i i （6-22a ）0=++cq bq aq i i i （6-22b ）（2）a aq ap i i i =+ （6-23a ）b bq bp i i i =+ （6-23b ）c cq cp i i i =+ （6-23c ）上述两个性质分别和定义6-3的性质（1）、（2）相对应。
定义6-3的性质（1）反映了α相和β相的正交性，而这里的性质（1）则反映了a 、b 、c 三相的对称性。
【定义6-6】各相的瞬时无功功率a q 、b q 、c q （瞬时有功功率a p 、b p 、c p ）分别为该相瞬时电压和瞬时无功电流（瞬时有功电流）的乘积，即Ap e i e p aap a a 23== （6-24a ） Ap e i e p b bp b b 23== （6-24b ） Ap e i e p c cp c c 23== （6-24c ） ()Aq e e e i e q c b a aq a a -== （6-25a ） ()Aq e e e i e q a c b bq b b -== （6-25b ） ()A q e e e i e q b a c cq c c -== （6-25c ） 定义6-6也有和定义6-4类似的性质：（1） p p p p c b a =++ （6-26）（2） 0=++c b a q q q （6-27）传统理论中的有功功率、无功功率都是在平均值基础或相量的意义上定义的，它们只适用于电压、电流均为正弦波时的情况。
而瞬时无功功率理论中的概念，都是在瞬时值的基础上定义的，它不仅适用于正弦波，也适用于非正弦波和任何过渡过程的情况。
从以上各定义可以看出，瞬时无功功率理论中的概念，在形式上和传统理论非常相似，可以看成传统理论的推广和延伸。
下面分析三相电压和电流均为正弦波时的情况。
设三相电压、电流分别为t E e m a ωsin = （6-28a ）()32sin πω-=t E e m b （6-28b ）()32sin πω+=t E e m c （6-28c ）()ϕω-=t I i m a sin （6-29a ）()2sin πϕω--=t I i m a （6-29b ）()32sin πϕω+-=t I i m a （6-29c ）利用（6-1）、式（6-2）对以上两式进行变换，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t E e e m ωωβαcos sin 2 （6-30） ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ϕωϕωβαt t I i i m cos sin 2 （6-31） 式中m m E E 232=、m m I I 232=。
把式（6-30）和式（6-31）代入（6-9）中可得ϕcos 23m m I E p =（6-32a ） ϕsin 23m m I E q = （6-32b ） 令2m E E =、2m I I =分别为相电压和相电流的有效值，得ϕcos 3EI p = （6-33a ）ϕsin 3EI q = （6-33b ）从上面的式子中可以看出，三相电压和电流均为正弦波时，p 、q 均为常数，且其值和按传统理论算出的有功功率p 和无功功率q 完全相同。
把式（6-30）、式（6-31）代入式（6-12）中可得α相瞬时有功电流和瞬时无功电流 t I i m p ωϕαsin cos 2= （6-24a ）()2sin sin 2πωϕα-=t I i m q （6-24b ）比较上式和式（6-31）可以看出，α相的瞬时有功电流和瞬时无功电流的表达式与传统功率理论中a 相电流的有功分量和无功分量的瞬时值表达式完全相同。
对于β相及三相中的a 、b 、c 各相也能得出同样的结论。
由上面的分析不难看出，瞬时无功功率理论包容了传统的无功功率理论，比传统理论有更大的适用范围。