人教版八年级数学上册《乘法公式PPT课件》

数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一 步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以 轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．
(a+b)2-(a2+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab． 于是得孩子 们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总 数多2ab块．
例3 运用完全平方公式计算:
试一试：
( a+b)(-b+a) (3a+2b)(3a-2b) (a5-b2)(a5+b2) (a+b)(a-b)(a2+b2)
a2-b2 9a2-4b2 a10-b4 a4-b4
算一算： （x+y )( x-y)+(2x+y )( 2x-y）
5x2-2y2
x(x-3)-(x+7)(x-7)
-3x+49
填一填:
aa
（_2 3_2 3+__）（__-__）= - 9
（a+2b+2c）（a+2b-2c）写成平方差公式
形式：___(_a_+_2__b_)_2_-(_2_c__)2
200004×199996 =（200000+4）（200000-4） = 2000002 - 42 = 40000000000 - 16 = 39999999984
先看图（1），可以看出大正方 形的边长是a+b．还可以看出大 正方形是由两个小正方形和两 个矩形组成， 所以大正方形的
面积等于这四个图形的面积之 和．阴影部分的正方形边长是a， 所以它的面积是a2；
另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另 外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面 积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是 (a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正 好符合完全平方公式．
(2x+1)(2x-1) =(2x) 2-2x+2x-1 =(2x) 2-1 =4x 2-1
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两 个数的差的积等于这两 个数的平方差。
从边长为a的大正方形底板上挖去一个边 长为b的小正方形（如图甲），然后将其 裁成两个矩形（如图乙），通过计算阴 影的面积可以验证公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
（4）51×49= (50+1)(50-1) =502－12 =2500-1 =2499 （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)= (9x2－16) - (6x2+5x -6)
=3x2－5x+10
活动5 科学探究
给出ห้องสมุดไป่ตู้列算式:
32－12=8 =8×1；
52－32=16=8×2；
72－52=24=8×3；
整式的乘除与因式分解
乘法公式
完全平方公式
回顾旧知———平方差公式 ( a + b )( a – b )=a2 - b2
那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否 也能用一个公式来表示呢？
(1) (4m+n)2; (2) (y- 1 )2.
2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
= 16m2+8mn +n2;
(2) (y - 1 2
)2 = y2 - 2•y• 1
2
1
+ ( 2 )2
1
= y2-y +
4
例4 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______； （2）(m+2)2=_______； （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=________； （4）(m-2)2=________； （5）(a+b)2=________； （6）(a-b)2=________．
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1 (2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m•2+2×2=m2+4m+4 （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p•(-1)+(-1)•p+(-1)×(-1)
剪下一个边长为b的小正方
形，如图1，拼成如图2的长
方形，你能根据图中的面积
说明平方差公式吗？
图1
(a+b)(a－b)=a2－b2.
图2
例1 运用平方差公式计算： 活动3
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) =(3x)2－22 =9x2－4；
(3) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
（2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2 =4a2－b2.
例2 计算
(1) 102×98 (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
活动4 练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当
你能用简单方法计算下列问题吗？
(1)、1002×998 =(1000+2)(1000-2) =10002+2×1000-2×1000-22 = 10002-22 =999996
(2)、 200004×199996
观察下列多项式，并进行计算，你 能发现什么规律？
(x+1)(x-1) =x2-x+x-1 =x2-1 (m+2)(m-2) =m2-2m+2m-22 =m2-22 =m2-4
(2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 .
(2) 992 = (100 -1)2
= 1002 -2Χ100Χ1+12
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
1、完全平方公式的内容是什么？
整式的乘除与因式分解
乘法公式 主讲人：
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式 相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x－1)； (3) (3－x)(3+x) ；
2 （3）(－a+b)(a－b)； （5）(－a－b)(a－b)；
（4）(x2－y)(x+y2)； （6）(c2－d2)(d2+c2).
1 利用平方差公式计算：
2
(1)(5+6x)(5－6x);
(2)(x－2y)(x+2y);
(3)(－m+n)(－m－n).
整式的乘除与因式分解
乘法公式
──平方差公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2 2、请同学们总结完全平方公式的结构特征。
公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是 三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平 方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
3、我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它 可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公 式的结构特征，就可以运用这一公式
=p2-2p+1 （4）(m-2)2=(m-2)(m-2)
=m2+m•(-2)+(-2)•m+(-2)×(-2)=m2-4m+4 （5）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
1.通过本节课的学习我有哪些收获？ 2.通过本节课的学习我有哪些疑惑？ 3.通过本节课的学习我有哪些感受？
作业：第156页 习题 15.2 第1题
练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当
怎样改正？
(1)(x+2)(x－2)=x2－2； (2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
2.根据公式(a+b)(a－b)= a 2－b 2计算.
(2) (a+2)(a－2)； (4) (2x+1)(2x－1).
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2 . 平方差公式: (a+b)(a－ b)= a2－ b2. 即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
(－ m+n) (－ m － n) = m2 － n2.
请从这个正方形纸板上，
(1)(x+y)(x－y)； (3)(xy+z) (xy－z)；
(5)(x－3) (－3－x).
(2)(a+5)(5－a)； (4)(c－a) (a+c)；
活动5 知识应用，加深对平方差公式的理解
1 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ):
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a) ；
92－72=32=8×4.
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？ 连续两个奇数的平方差是8的倍数.
（2）用含n的式子表示出来（2n+1)2－ (2n－1)2=8n （n为正整数）.
（3）计算 20052－20032= 8016
此时n = 1002 .
提示:根据2005=2n+1或2003=2n-1求n
如图（2）中，大正方形的边长 是a，它的面积是a2；矩形 DCGE与矩形BCHF是全等图形， 长都是a，宽都是b，所以它们 的面积都是a•b；正方形HCGM 的边长是b，其面积就是b2；
正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(ab)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形 ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再 加上正方形HCGM的面积． 也就是：(a-b)2=a22ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
(1)(x+2)(x-2)= x2-2 x2-4
(2)(-3a-2)(3a-2)= 9a2-4 4-9a2
快乐学习2：
计算
102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =9996
(y+2 )( y-2)-(y-1)(y+5) = y2-22-(y2+5y-y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1
(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积等于 这两个数的平方差。
平方差公式中字母 a、b可代表一个数、一 个单项式或多项式。
谢 谢!
人教版 ·数学 ·八年级(上)
乘法公式
—完全平方公式
请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每 当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他 们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个 孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这 些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起 去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这 些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果 总数哪个多？多多少？为什么？
(1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2)
在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何 进行这样的运算呢？
能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？
我们知道a2=a•a，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这样 就转化成多项式与多项式的乘积了．
像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运 算结果有什么规律． 计算下列各式，你能发现什么规律？
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加（或减）它们的积的2倍 用符号怎么表述呢？
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公 式吗？
怎样改正？
(1)(x+2)(x－2)=x2－2； (2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
2.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b)= (a)2－(3b)2 =a2－9b2 ； （2）(3+2a)(－3+2a)= (2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4 a2－9； （3）(－2x2－y)(－2x2+y)= (-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
a
a
a-b a-b
b
a
b
a-b b
快乐学习1：
运用平方差公式计算
( 3x+2 )( 3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4 (b+2a)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2
( -x+2y )(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2
下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？