量子3(几率流密度,薛定谔方程求解)_922008472

几率流密度的推导（单粒子） 几率流密度的推导（单粒子）
• 几率密度的时间演化： 几率密度的时间演化：
r r 2 r ∗ r w( r , t ) = Ψ ( r , t ) = Ψ ( r , t )Ψ ( r , t ),
∂w ∂Ψ ∗ ∂Ψ = Ψ + ∂t ∂t ∂t
∗
Ψ.
薛定谔方程
ih 2 ∗ 1 ∂Ψ ∗ =− ∇ Ψ − U Ψ∗ 2µ ih ∂t ih ∂ w ih ∗ ∗ 2 ∗ 2 ∗ ∇ ⋅ ( Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ ). ( Ψ ∇ Ψ − Ψ∇ Ψ ) = = 2µ ∂ t 2µ r ih r ( Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗∇Ψ ) J= ∂w +∇⋅J = 0 2µ
2µ ψ + 2 [ E − U ( x )]ψ 1＝0 − − − (1) h 2µ " ψ 2 + 2 [ E − U ( x )]ψ 2＝0 − − − ( 2) h
• 共轭定理：若 ψ ( x ) 是定态行薛定谔程 共轭定理： 的解， 也是该方程的解(且能 的解，则ψ * ( x ) 也是该方程的解 且能 量相同)。 量相同 。 U ( x ) = U (− x ) • 反射定理：对 反射定理： (原点对称 ，那么若 ψ ( x ) 是该方程的解， 原点对称)， 是该方程的解， 原点对称 则 ψ ( −x ) 也是该方程的解(且能量 也是该方程的解 且能量相同)。 且能量
2. 一维定态的分类：束缚态与非 一维定态的分类： 束缚态
• 若
E < U (+∞ )和 U ( −∞ ), +∞
则
x → ±∞
ψ ( x) → 0
束缚态
相反的情况是非束缚态（ 相反的情况是非束缚态（或称为散射 态）
束缚态与非束缚态的例子
束缚态：原子中的“束缚” 束缚态：原子中的“束缚”电子 人工量子微结构 • nn 非束缚态： 非束缚态：自由电子 量子系统具有非局域性， 量子系统具有非局域性，更加自由 束缚态是电子被“限制” 束缚态是电子被“限制”在某个空间区域 不能到达无穷远， （不能到达无穷远，但是仍然不是局限在某个点 或轨道， 或轨道，而是有一定的空间几率分布）
• 所以定态薛定谔方程也就是能量本征方程。 所以定态薛定谔方程也就是能量本征方程。
r r h 2 − ∇ ψ + U ( r )ψ = Eψ ( r ) 2µ r r 或写成 Hψ ( r ) = Eψ ( r )
2
思考题
• 两个不同的定态叠加生成的态是否 是定态？ 是定态？ i
提 示：
− E1t r r h Ψ1 ( r , t ) = e ψ 1 ( r ), i − E2 t h
∂Ψ ih 1 2 = ∇ Ψ + UΨ ih 2µ ∂t
∂t
定义流密度
• 记
r ih ∗ ∗ J= ( Ψ∇Ψ − Ψ ∇Ψ ), 2µ
则
r ∂w + ∇ ⋅ J = 0, ∂t
这是薛定谔方程造成的结果 这表示一种守恒定律。由于w是几率密 这表示一种守恒定律。由于w 所以J可以理解为几率流密度。 度，所以J可以理解为几率流密度。
h ∂Ψ 2 ih =− ∇ Ψ. 2µ ∂t
2
再推广到含有势能U的情况 再推广到含有势能 的情况
r r2 E = p / 2µ +U（r）
两边作用于波函数
∂ E → ih ∂ t
r p → − ih ∇
r ∂Ψ h2 2 ih = − ∇ Ψ + U (r )Ψ . 2µ ∂t
注意：这里是单粒子情况。 注意：这里是单粒子情况。
r r Ψ ( r , t ) = f ( t )ψ ( r ),
Hale Waihona Puke （一系列基 本函数）， 本函数）， 再叠加生成 通解
r ∂Ψ h2 2 代入薛定谔方程 ih = H Ψ; H = − ∇ + U ( r ). ∂t 2µ
r df ( t ) r ih ψ ( r ) = [ Hψ ( r )] f ( t ) dt
本次课内容
• 薛定谔方程的“建立” 薛定谔方程的“建立” • 几率流密度 • 薛定谔方程的求解——分离变量法 薛定谔方程的求解 分离变量法
薛定谔方程的“建立” 薛定谔方程的“建立”
下面寻找de Broglie波满足 下面寻找de Broglie波满足 的方程， 的方程，并加以推广
寻找de Broglie波满足的方程 寻找de Broglie波满足的方程
i h df = E f ( t ) dt ( 时间部分 ) r 1 h2 2 ∇ ψ + U ( r )ψ = E r − ψ (r ) 2µ 空间部分） （空间部分）
时间部分
df ih df = E ⇒ ih dt = Ef (t ) ⇒ f ( t ) dt
f (t ) = e
作业
• 作业：p.52, #2.2，注意：在球坐标中, 作业： #2.2，注意：在球坐标中,
r ∂ ∇ = er r + eϕ
r 1 ∂ + eθ r ∂θ ∂r 1 ∂ . r sin θ ∂ϕ
§2.3
一维运动问题的一般分析
1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质 一维定态薛定谔方程是
d ψ 2µ + 2 ( E − U ( x ))ψ = 0. 2 dx h
r Ψ( r , t ) = e
i − Et h
r ψ ( r ),
定态波函数 对应的状态称为定态
E的物理意义是能量
• 对比de Broglie波，我们发现常数E 的物 对比de Broglie波 理意义正是粒子的能量。 理意义正是粒子的能量。 • 所以定态是体系的能量有确定值的状态。 所以定态是体系的能量有确定值的状态。 在定态中， 在定态中，体系的各种力学性质不随时间 而改变。 而改变。
t=0
t=T
x
多粒子（N个粒子）情况
Ψ ( r1 , r2 ,....rj ...., t )
非定域性： 非定域性：
一般情况下 ∂Ψ 波函数给出 ih = HΨ 的是整个体 ∂t 的是整个体 r2 u u r r u r 系的状态， 系的状态， pi H =∑ + U ( r1 , r2 , ....rj ....) 其空间几率 i 2µ i r 分布用3N个 分布用3N个 pi → − ih∇ i 空间坐标和 空间坐标和 2 u u r r u r h 2 ∑ − 2µ ∇ i + U ( r1 , r2 , ....rj ....) 一个时间坐 i i 标描述。 标描述。
i − Et h
.
空间部分（定态薛定谔方程） 空间部分（定态薛定谔方程）
s 1 h 2 ∇ ψ + U ( r )ψ = E ⇒ r − ψ ( r ) 2µ
2
r r h 2 − ∇ ψ + U ( r )ψ = Eψ ( r ). 2µ
定态薛定谔方程
2
定态波函数
• 定态薛定谔方程的解乘以时间因子得
理解（推导积分形式） 理解（推导积分形式）
• 对任何体积V，对上式积分 对任何体积V V
∫
V
r ∂w dτ = − ∫ ∇ ⋅ Jdτ , V ∂t
r r d WV = − ∫ J ⋅ dS , S dt
S
等式右方用Gauss定 等式右方用Gauss定 Gauss 理，得
V内部几率变化 内部几率变化
3. 一维束缚态的一般性质
• 引入一个概念－简并与非简并 引入一个概念－ – 如果对一个给定的能量，只有一个线性独 如果对一个给定的能量， 立的波函数存在（即只有一个状态）， ），则 立的波函数存在（即只有一个状态），则 称该能级是非简并的，否则称它是简并的， 称该能级是非简并的，否则称它是简并的， 其线性独立的波函数的个数称为它的简并 度。 线性独立的定义：对常数c 线性独立的定义：对常数 1，c2
与玻尔原子模型中的定态概念类似， 与玻尔原子模型中的定态概念类似， 但是没有“轨道运动”假设 但是没有“轨道运动”
能量本征方程
• 算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数的方程称 为该算符的本征方程，常数称为本征值， 为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的 解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数。 解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数。
r Ψ2 ( r , t ) = e
r ψ 2 (r )
4. 波函数应满足的条件
• 从波函数的几率解释以及波函数满足二阶 微分方程这一要求，一般地说， 微分方程这一要求，一般地说，波函数应 该满足以下三个条件： 该满足以下三个条件： • (1)单值性 单值性； (1)单值性； • (2)有限性； (2)有限性； 有限性 • (3)连续性 连续性。 (3)连续性。 • 连续性通常意味着 Ψ 和 ∇ Ψ 都连续， 都连续， 但在势能有无穷大跳跃的地方， 但在势能有无穷大跳跃的地方，∇ Ψ 允许不连续。 允许不连续。
• 由de Broglie波 波
rr r − i ( Et − p⋅r ) / h Ψ( r , t ) = e
∂Ψ 有 ih = EΨ Ψ ∂ t r r2 2 2 − ih∇Ψ = pΨ ⇒ − h ∇ Ψ = p Ψ
又因 所以
r2 E = p / 2µ
∂Ψ h2 ih = − ∇ 2Ψ . 2µ ∂ t
2
二阶常微分方程，容易求解 二阶常微分方程， 它的解有如下的规律
Wronskian定理 Wronskian定理
• 若 ψ 1 ( x )与 ψ 2 ( x ) 能量相同) (能量相同)，则 都是方程的解
ψ1′ψ 2 − ψ 2′ψ1 = c
无关的常数) ( c 是与 x 无关的常数)， 称为Wronskian定理。 Wronskian定理 称为Wronskian定理。