多元函数极值充分条件

定理10.2(函数取得极值的充分条件) 设函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域内存在二阶连续偏导数，且00(,)0x f x y ，

00(,)0y f x y ．记00(,)xx f x y A ，00(,)xy f x y B ，00(,)

yy f x y C ，

则有

(1) 当2

0AC

B 时，00(,)x y 是极值点．

且当0A 时，000(,)P x y 为极小值点；当0

A 时，000(,)P x y 是极大值点．

(2) 当2

0AC B 时，000(,)P x y 不是极值点．

(3) 当2

0AC

B 时，不能判定000(,)P x y 是否为极值点，需要另外讨论．

证 (1) 利用二元函数的一阶泰勒公式，因

00(,)(,)f x h y k f x y 2

000000

1

(,)(,)(,)2x y f x y h

f x y k

h k

f x h y k x

y

， 01

由已知条件，00(,)

0x f x y ,00(,)

0y f x y ，故

2

00

00001

(,)(,)(,)2f x h y k f x y h k f x h y k x y

2

200

1

(,)2(,)(,)2

xx xy yy f x h y k h f x h y k hk

f x h y k k

利用矩阵记号， 记h r

k

，(,)r h k ，0()

A B Hf P B C

，000

(,)P r

x h y k

000

()()()

()()

xx xy xy yy f P r f P r Hf P r f P r f P r ，

可改写上式为

0()()

f P r f P 0

000

()()1

(,)

()()2

xx xy xy yy f P r f P r h h k k

f P r f P r 01

()2

r Hf P r r 01 （1）

进一步，又有

0()()

f P r f P 0001

1

()[()()]2

2

r Hf P r r Hf P r Hf P r （2）

当2

0AC B 且0A 时，二次型0()r Hf P r 正定，因此对于任何00

h r

k

，0()0r Hf P r 。

特别地，在单位圆22

(,)1}Q x y x y 上，连续函数0()Q Hf P Q 取得的最小值0m

。

因此，对任何00

h r

k

，我们有

2

2

00()(

())r r r Hf P r

r

Hf P r

m r r

另一方面，由于(,)f x y 二阶偏导数在点000(,)P x y 连续，对任何:02

m

，总可取0，使

得0

r

时，有

00

()()

xx xx f P f P r ，00

()

()

xy xy f P f P r ，00

()()yy yy f P f P r

从而， 2

2

2

000[()()][()()]

4

2r Hf P r Hf P r

r

Hf P r Hf P r r

r

于是，

00()()

f P r f P 2

2

20001

1

112()[()()]2()022

2

2

2

m

r Hf P r r Hf P r Hf P r

r m

r r

故000()

(,)f P f x y 为函数(,)f x y 的极小值．

当2

0AC B 且0A 时，二次型0()r Hf P r 负定，类似的可证000()(,)f P f x y 为函数(,)f x y 的

极大值．

(2) 首先由二元函数的一阶泰勒公式的余项形式，有

0()()

f P r f P 201

()()2

r Hf P r o r

（3）

当2

0AC B 时，0()Hf P 是不定方阵，因此二次型0()r Hf P r 负定，故存在212,,X X R 使得

101()0,X Hf P X 202

()0,X Hf P X 在（2）式中分别取1r

X ，2r X ，就得到 010()()f P X f P 2

2

2

1011

1011

1

()()[()]22X Hf P X o X X Hf P X （4） 0

20()()

f P X f P 2

2

2

2022202

1

1()()[()]

2

2

X Hf P X o X X Hf P X （5）

其中，,

是0时的无穷小。

由（3），（4）知，取

0充分小，就有

1002()

()

()f P X f P f P X

故000(,)P x y 不是(,)f x y 的极值点． （3） 当2

0AC

B 时，二次型0()r Hf P r 半正定或半负定，由（2）式，0

0()()f P r f P 的符

号就由余项0

01

[()()]2

r Hf P r Hf P r 确定，

即须要研究00[()()]r Hf P r Hf P r ，

或者用定义判别。