第6讲曲线曲面基础1PPT课件
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经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B 样条曲面（Rational B-Spline Surface）为基础的参数化 特征设计和隐式代数曲面（Implicit Algebraic Surface） 表示这两类方法为主体，以插值（Interpolation）、逼近 （Approximation）这两种手段为骨架的几何理论体系。
(tik1 u)Ni1,k1(u) tik1 ti1
0/ 0 0
n
C(u) PiNi,k(u)
i0
Ni ， Ni+1 ， Ni+2 ，
3
（u）
3
（u）
3
（u）
Ni+3 ，
3
（u）
t
t
t
tt
t
t
t
i
i
i
i
i
i
i
i
0
k 0
＋
11 0
＋
12 0
＋
13 0
＋
14 0
＋
15 0
＋
16
0
＋
17
u
• 1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill） 提出了有理B样条方法。
Q’0
Q0
t= 0
Q’1 Q1
t= 1
图 Ferguson曲线
Q 01
v
Q 11
Q
u
00
Q 10
图 Ferguson曲面
• 1964年，美国麻省理工学院的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边 界定义一张曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条 曲线、曲面的形式。
• 1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了 一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。
6. 曲线曲面基础-1
6.1 认识曲线与曲面 6.2 曲面造型的发展历程 6.3 曲线曲面的参数表达 6.4 Bezier曲线 6.5 B样条曲线 6.6 NURBS曲线
6.2 曲线曲面发展历程
• 1963年美国波音飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三 次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由 四角点的位置矢量、两个方向的切矢来定义的佛格森双三次曲面片。
• 80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均 匀有理B样条（NURBS）方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最 广为流行的技术。
Ni,0
(u)
1 0
若ti u ti1 其它
Ni,k
(u)
(u
ti )Ni,k1(u) tik ti
(tik1 u)Ni1,k1(u) tik1 ti1
6. 曲线曲面基础-1
6.1 认识曲线与曲面 6.2 曲面造型的发展历程 6.3 曲线曲面的参数表达 6.4 Bezier曲线 6.5 B样条曲线 6.6 NURBS曲线
工业产品外形分类
一类是仅由初等解析曲面（例如平面、圆柱面、圆锥 面、球面、圆环面等）组成，大多数机械零件属于这一 类，可以用画法几何与机械制图的方法完全清楚表达和 传递所包含的全部形状信息。
P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0,1]; P(t)=(1-t)P1+tP2 t∈[0,1];
参数表示优点
曲线曲面参数表示的几何不 变性是指它们不依赖于坐标 系的选择或者说在旋转和平 移变换时形状保持不变。
1. 易于满足几何不变性的要求，可以对参数方程直接进行几 何变换，节省计算量。
2. 易于规定曲线、曲面的范围。
3. 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 例如：一条二维三次曲线的显式表示为：
ya3 xb2xcx d
只有四个系数控制曲线的形状。 而采用二维三次曲线的参数表达式为：
P ( t ) a 1 t 3 a 2 t 2 a 3 t a 4 b 1 t 3 b 2 t 2 b 3 t b 4 t [ 0 , 1 ]
第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自 由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞 机、汽车、船舶的外形零件。这一类形状单纯用画法几 何与机械制图是不能表达清楚的。
自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法 表达清楚，成为工程师们首要解决的问题。人们一直在 寻求用数学方法唯一定义自由曲线和曲面的形状。
隐式表示
如曲面f(x,y,z)=0，这种表示 不便于由已知的参量x、y计算z值。
-1=0
曲线参数表示
空间曲线上一点p的每个坐标被表示成参数u的函数： x=x(u), y=y(u), z=z(u)
合起来，曲线被表示为参数u的矢函数： p(u)=[x y z]=[x(u) y(u) z(u)]
最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段 参数方程可表示为：
0/0 0
mn
i,jdi,j Ni,k(u)Nj,l (v)
p(u,v)
i0 j0 mn
i,j Ni,k(u)Nj,l (v)
i0 j0
k 0
• 非均匀有理B样条（NURBS）成为当前大多数商用CAD软件系统的 内部表达技术。
Solid Edge
Inventor
CATIA
UG NX
Pro/E
6. 曲线曲面基础-1
• 1 9 7 4 年 ， 美 国 通 用 汽 车 公 司 的 戈 登 （ Gorden） 和 里 森 费 尔 德 （Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。
Baidu Nhomakorabea
Ni,0(u)
1 0
若ti u ti1 其它
Ni,k
( u)
(u
ti )Ni,k1(u) tik ti
6.1 认识曲线与曲面 6.2 曲面造型的发展历程 6.3 曲线曲面的参数表达 6.4 Bezier曲线 6.5 B样条曲线 6.6 NURBS曲线
曲线曲面的参数表示
非参数表示有显式和隐式之分。 显式表示
如曲面方程z=f(x,y)，式中每个z值对应唯一的x、y值，该表示计算 非常方便，但无法描述多值或封闭面，如球。
曲面造型（Surface Modeling）是计算机辅助几何设计 （Computer Aided Geometric Design，CAGD）和计算机 图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图形系统的 环境下对曲线曲面的表示、设计、显示和分析。
它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺， 由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论 基础。
则有8个系数可用来控制此曲线的形状。
参数表示优点（续）
4. 易于处理多值问题和斜率无穷大的情形。 5. 易于计算曲线、曲面上的点，而隐式方程需求解非线
(tik1 u)Ni1,k1(u) tik1 ti1
0/ 0 0
n
C(u) PiNi,k(u)
i0
Ni ， Ni+1 ， Ni+2 ，
3
（u）
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u
• 1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill） 提出了有理B样条方法。
Q’0
Q0
t= 0
Q’1 Q1
t= 1
图 Ferguson曲线
Q 01
v
Q 11
Q
u
00
Q 10
图 Ferguson曲面
• 1964年，美国麻省理工学院的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边 界定义一张曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条 曲线、曲面的形式。
• 1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了 一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。
6. 曲线曲面基础-1
6.1 认识曲线与曲面 6.2 曲面造型的发展历程 6.3 曲线曲面的参数表达 6.4 Bezier曲线 6.5 B样条曲线 6.6 NURBS曲线
6.2 曲线曲面发展历程
• 1963年美国波音飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三 次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由 四角点的位置矢量、两个方向的切矢来定义的佛格森双三次曲面片。
• 80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均 匀有理B样条（NURBS）方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最 广为流行的技术。
Ni,0
(u)
1 0
若ti u ti1 其它
Ni,k
(u)
(u
ti )Ni,k1(u) tik ti
(tik1 u)Ni1,k1(u) tik1 ti1
6. 曲线曲面基础-1
6.1 认识曲线与曲面 6.2 曲面造型的发展历程 6.3 曲线曲面的参数表达 6.4 Bezier曲线 6.5 B样条曲线 6.6 NURBS曲线
工业产品外形分类
一类是仅由初等解析曲面（例如平面、圆柱面、圆锥 面、球面、圆环面等）组成，大多数机械零件属于这一 类，可以用画法几何与机械制图的方法完全清楚表达和 传递所包含的全部形状信息。
P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0,1]; P(t)=(1-t)P1+tP2 t∈[0,1];
参数表示优点
曲线曲面参数表示的几何不 变性是指它们不依赖于坐标 系的选择或者说在旋转和平 移变换时形状保持不变。
1. 易于满足几何不变性的要求，可以对参数方程直接进行几 何变换，节省计算量。
2. 易于规定曲线、曲面的范围。
3. 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 例如：一条二维三次曲线的显式表示为：
ya3 xb2xcx d
只有四个系数控制曲线的形状。 而采用二维三次曲线的参数表达式为：
P ( t ) a 1 t 3 a 2 t 2 a 3 t a 4 b 1 t 3 b 2 t 2 b 3 t b 4 t [ 0 , 1 ]
第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自 由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞 机、汽车、船舶的外形零件。这一类形状单纯用画法几 何与机械制图是不能表达清楚的。
自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法 表达清楚，成为工程师们首要解决的问题。人们一直在 寻求用数学方法唯一定义自由曲线和曲面的形状。
隐式表示
如曲面f(x,y,z)=0，这种表示 不便于由已知的参量x、y计算z值。
-1=0
曲线参数表示
空间曲线上一点p的每个坐标被表示成参数u的函数： x=x(u), y=y(u), z=z(u)
合起来，曲线被表示为参数u的矢函数： p(u)=[x y z]=[x(u) y(u) z(u)]
最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段 参数方程可表示为：
0/0 0
mn
i,jdi,j Ni,k(u)Nj,l (v)
p(u,v)
i0 j0 mn
i,j Ni,k(u)Nj,l (v)
i0 j0
k 0
• 非均匀有理B样条（NURBS）成为当前大多数商用CAD软件系统的 内部表达技术。
Solid Edge
Inventor
CATIA
UG NX
Pro/E
6. 曲线曲面基础-1
• 1 9 7 4 年 ， 美 国 通 用 汽 车 公 司 的 戈 登 （ Gorden） 和 里 森 费 尔 德 （Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。
Baidu Nhomakorabea
Ni,0(u)
1 0
若ti u ti1 其它
Ni,k
( u)
(u
ti )Ni,k1(u) tik ti
6.1 认识曲线与曲面 6.2 曲面造型的发展历程 6.3 曲线曲面的参数表达 6.4 Bezier曲线 6.5 B样条曲线 6.6 NURBS曲线
曲线曲面的参数表示
非参数表示有显式和隐式之分。 显式表示
如曲面方程z=f(x,y)，式中每个z值对应唯一的x、y值，该表示计算 非常方便，但无法描述多值或封闭面，如球。
曲面造型（Surface Modeling）是计算机辅助几何设计 （Computer Aided Geometric Design，CAGD）和计算机 图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图形系统的 环境下对曲线曲面的表示、设计、显示和分析。
它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺， 由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论 基础。
则有8个系数可用来控制此曲线的形状。
参数表示优点（续）
4. 易于处理多值问题和斜率无穷大的情形。 5. 易于计算曲线、曲面上的点，而隐式方程需求解非线