复数级数及收敛的概念
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复数级数及收敛的概念
设{α n } = {an + ibn }(n = 1,2,L)为一复数列，表达式
∑α
n =1
∞
n
= α1 + α 2 + L + α n + L
称为无穷级数
sn = α1 + α 2 + L + α n 称为级数的部分和。
{sn }收敛，则级数∑ α n收敛.
n =1
∞
lim sn = s称为级数的和。
n →∞
∞
来自百度文库
n
=0
n →∞
{sn }不收敛，则级数∑ α n发散.
n =1
∞
定理2、 α n 收敛的充要条件： a n , ∑ bn收敛. ∑ ∑
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
证：
sn = ∑ α i = ∑ ai + i ∑ bi
i =1 i =1 i =1
n i =1 n i =1
n
n
n
由定理1，sn收敛的充要条件： ai， bi收敛。 ∑ ∑
由定义，知：
∑ α 收敛的充要条件： a , ∑ b 收敛. ∑
n =1 n n =1 n n =1 n
∞
∞
∞
由定理2，及实级数收敛的必要条件，知：
lim a n = 0和 lim bn = 0, 即 lim α n = 0。
n →∞ n →∞ n →∞
∑ α 收敛的必要条件： lim α
n =1 n
设{α n } = {an + ibn }(n = 1,2,L)为一复数列，表达式
∑α
n =1
∞
n
= α1 + α 2 + L + α n + L
称为无穷级数
sn = α1 + α 2 + L + α n 称为级数的部分和。
{sn }收敛，则级数∑ α n收敛.
n =1
∞
lim sn = s称为级数的和。
n →∞
∞
来自百度文库
n
=0
n →∞
{sn }不收敛，则级数∑ α n发散.
n =1
∞
定理2、 α n 收敛的充要条件： a n , ∑ bn收敛. ∑ ∑
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
证：
sn = ∑ α i = ∑ ai + i ∑ bi
i =1 i =1 i =1
n i =1 n i =1
n
n
n
由定理1，sn收敛的充要条件： ai， bi收敛。 ∑ ∑
由定义，知：
∑ α 收敛的充要条件： a , ∑ b 收敛. ∑
n =1 n n =1 n n =1 n
∞
∞
∞
由定理2，及实级数收敛的必要条件，知：
lim a n = 0和 lim bn = 0, 即 lim α n = 0。
n →∞ n →∞ n →∞
∑ α 收敛的必要条件： lim α
n =1 n