北京市海淀区2018年高三一模数学(理科)试卷及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2018. 4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{0,},{12}A a B x x ==-<< | ，且A B ⊆，则a 可以是 (A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 2（2）已知向量(1,2),(1,0)==-a b ，则+2=a b (A) (1,2)- (B) (1,4)- (C) (1,2) (D) (1,4)（3）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A) 2 (B) 6 (C) 8 (D) 10（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为,M 且(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为(A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 2-（5）已知a ，b 为正实数，则“1a >，1b >”是“lg lg 0a b +>”的( )(A)充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C)充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（6）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则S 的值不可能是(A) 1(B)65(C)43(D)32（7）下列函数()f x 中，其图象上任意一点(,)P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是(A) 3()f x x = (B) ()f x =(C) ()e 1x f x =- (D) ()ln(1)f x x =+（8）已知点M 在圆221:(1)(1)1C x y -+-=上，点N 在圆222:(1)(1)1C x y +++=上，则下列说法错误的是（A ）OM ON ⋅的取值范围为[3--（B ）||OM ON +的取值范围为（C ）||OM ON -的取值范围为2]（D ）若OM ON λ=，则实数λ的取值范围为[33---+第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数2i1i=+ ______. （10）已知点(2,0)是双曲线:C 2221x y a-=的一个顶点，则C 的离心率为_______.（11）直线2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的公共点个数为_______.（12）在ABC ∆中，若2,6c a A π==∠=，则sin _______,cos 2_______.C C == （13）一次数学会议中，有五位教师来自,,A B C 三所学校，其中A 学校有2位，B 学校有2位，C 学校有1位。

现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有_______种不同的站队方法. （14）已知()3,,3,.x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩… ① 若()f x 有两个零点，则a 的取值范围是__________ ；② 当2a -…时，则满足()()13f x f x +->-的x 的取值范围是__________．三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知2()cos 2cos 1f x x x x =+- （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.（16）（本小题13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播. 科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度。

（Ⅰ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ，求X 的分布列； （Ⅲ）若108a b +=，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ，求M 的最大值和最小值.（只需写出结论）（17）（本小题14分）已知三棱锥P -ABC （如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．在三棱锥P -ABC 中： （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A -PC -B 的余弦值； （Ⅲ）若点M 在棱PC 上，满足CM CP =λ，1233,⎡⎤λ∈⎢⎥⎣⎦，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BNBP的取值范围. (图1)CAC（18）（本小题13分）已知函数ln ()xf x x a=+ （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当0a >时，若函数()f x 的最大值为21e，求a 的值. （19）（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>()2,1T 在椭圆上.设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，直线,TP TQ 分别与x 轴正半轴交于,M N两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）判断OM ON +的值是否为定值，并证明你的结论. （20）（本小题13分）设1,11,21,2,12,22,,,1,2,()n n i j n nn n n n a a a a a a A a aa a ⨯⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L是由1，2，3，…，2n 组成一个n 行n 列的数表（每个数恰好出现一次），2n ≥且*n ∈N .若存在1i n ≤≤，1j n ≤≤，使得,i j a 既是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值，则称数表A 为一个“N -数表”，,i j a 为数表A 的一个“N -值”.对任意给定的n ，所有“N -数表”构成的集合记作n Ω.（Ⅰ）判断下列数表是否是“N -数表”.若是，写出它的一个“N -值”123456789A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，147825693B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）求证：若数表A 是“N -数表”，则A 的“N -值”是唯一的；（Ⅲ）在19Ω中随机选取一个数表A ，记A 的“N -值”为X ，求X 的数学期望()E X .海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准 2018.4一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答题应写出解答步骤。

15. （本题满分13分）（Ⅰ）2()cos2cos 16666f ππππ=+-21212=⨯-⎝⎭2= ···················································································· 3分（Ⅱ）()2cos2f x x x +2sin(2)6x π=+因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），令222262k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得 36k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），故()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+（k ∈Z ） ···························· 13分16. （本题满分13分）（Ⅰ）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用i A 表示事件抽取的月份为第i 月，则1234567891011{,,,,,,,,,,,}A A A A A A A A A A A A Ω=共12个基本事件， 2689101{,,,,,}A A A A A A A =共6个基本事件， 所以，61()122P A ==. ···································································· 4分 （Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2.242662(0)155C P X C ====，1124268(1)15C C P X C ===，22261(2)15C P X C === 随机变量X 的分布列为（Ⅲ）M 的最大值为58%，最小值为54%. ················································· 13分17.（本题满分14分） （Ⅰ）方法1：OPCA设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC===1PO =，1AO BO CO ===因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以 PO AC ⊥，因为 在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以 PO OB ⊥因为 AC OB O = ，,AC OB ⊂平面ABC 所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································· 4分所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法2：OPCA设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以 PO AC ⊥，因为 PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以 POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以 90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以 PO OB ⊥因为 AC OB O = ，,AC OB ⊂平面ABC 所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法3：OPCA Q设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =， 所以 PO AC ⊥设AB 的中点Q ， 连接PQ ，OQ 及OB . 因为 在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以 OQ AB ⊥.因为 在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以 PQ AB ⊥.因为 P Q O Q Q = ，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以 AB ⊥平面OPQ因为 OP ⊂平面OPQ 所以 O P A B⊥ 因为 AB AC A = ，,AB AC ⊂平面ABC 所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)B ，(1,0,0)A -，(0,0,1)P由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为(0,1,0)OB =由(1,1,0)BC =- ，(1,0,1)PC =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则由00BC PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ n n 得：0x y x z -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，得1y =，1z =，即(1,1,1)n =cos ,||||n OB n OB n OB ⋅<>===⋅由二面角A PC B --是锐二面角， 所以二面角A PC B --的余弦值为3··········································· 9分 （Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-令0BM AN ⋅=得(1)1(1)(1)0λμλμ-⋅+-⋅-+⋅=即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12[,]33λ∈时，12[,]45μ∈， 所以12[,]45BN BP ∈ ········································································ 14分18. （本题满分13分）（Ⅰ）当0a =时，ln ()xf x x=故221ln 1ln '()x xx x f x x x ⋅--==令'()0f x >，得0x <<e故()f x 的单调递增区间为(0,)e ························································ 4分（Ⅱ）方法1：22ln 1ln '()()()x a ax xx x f x x a x a +-+-==++ 令()1ln ag x x x=+- 则221'()0a x a g x x x x +=--=-< 由()0a g =>e e ，1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e+++=+-+=⋅-<e 故存在10(,)a x +∈e e ，0()0g x =故当0(0,)x x ∈时，()0g x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <故02()f x =e 故000201ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e ，解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e ··················································· 13分故a 的值为2e . （Ⅱ）方法2：()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞，2ln 1x x a ≤+e 且存在0(0,)x ∈+∞，使得020ln 1x x a =+e，等价于对任意的(0,)x ∈+∞，2ln a x x ≥-e 且存在 0(0,)x ∈+∞，使得200ln a x x ≥-e ，等价于2()ln g x x x =-e 的最大值为a .2'()1g x x=-e ，令'()0g x =，得2x =e .故的最大值为，即a =e . ··························· 13分（19）（本小题14分）（Ⅰ）由题意22222411a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得：a =b =c = 故椭圆C 的标准方程为22182x y += ···················································· 5分（Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为11(2)2y x +=-，即122y x =-.联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2440x x -+=，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意.故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 直线111:1(2)2y TP y x x --=--， 直线221:1(2)2y TQ y x x --=-- 故112||21x OM y -=--，222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠） 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-||||OM ON +1212224()11x x y y --=-+-- 1212224()111122x x x t x t --=-++-+- 121221212(2)()4(1)411(1)()(1)42x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++- 22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+- 4= ········································································ 14分 方法2：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠） 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-12k k +12121122y y x x --=+-- 121211112222x t x t x x +-+-=+--121212(2)()4(1)(2)(2)x x t x x t x x +-+--=--21224(2)(2)4(1)(2)(2)t t t t x x -+----=--0=故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零 故TMN TNM ∠=∠ 故TM TN =故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2故||||4OM ON += ······································································ 14分20. （本题满分13分）（Ⅰ）A 是“N -数表 ”，其“N -值”为3，B 不是“N -数表”. ························ 3分 （Ⅱ）假设,i j a 和','i j a 均是数表A 的“N -值”， ① 若'i i =，则,,1,2,',1',2',','max{,,...,}max{,,...,}i j i i i n i i i n i j a a a a a a a a ===；② 若'j j =，则,1,2,,1,'2,','','min{,,...,}min{,,...,}i j j j n j j j n j i j a a a a a a a a === ； ③ 若'i i ≠，'j j ≠，则一方面,,1,2,,'1,'2,','','max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=，另一方面','',1',2',',1,2,,,max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=；矛盾. 即若数表A 是“N -数表”，则其“N -值”是唯一的. ······················· 8分 （Ⅲ）方法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯=.定义数表,1919()j i B b ⨯=如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即,,j i i j b a =（其中119i ≤≤，119j ≤≤）显然有：① 数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素 ③ 数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素④ 若数表A 中，,i j a 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表B 中，,j i b 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值. 定义数表,1919()j i C c ⨯=如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362，即,,362j i j i c b =-（其中119i ≤≤，119j ≤≤）显然有① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表B 中，,j i b 是第i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表C 中，,j i c 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值 特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯= ① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表A 中，,i j a 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表C 中，,j i c 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值即对任意的19A ∈Ω，其“N -值”为,i j a （其中119i ≤≤，119j ≤≤），则19C ∈Ω，且其“N -值”为,,,362362j i j i i j c b a =-=-.记()C T A =，则()T C A =，即数表A 与数表()C T A =的“N -值”之和为362， 故可按照上述方式对19Ω中的数表两两配对，使得每对数表的 “N -值”之和为362， 故X 的数学期望()181E X =. ··························································· 13分 方法2：X 所有可能的取值为19,20,21,...,341,342,343.记19Ω中使得X k =的数表A 的个数记作k n ，19,20,21,...,341,342,343k =，则218182136119[(18)!]k k k n C C --=⨯⨯⨯.则218182362361119[(18)!]k k k k n C C n ---=⨯⨯⨯=，则 343343343362191919343343343191919(362)()kkkk k k kkkk k k nk nk nk E X nnn-======⋅⋅⋅-===∑∑∑∑∑∑，故34334319193433431919(362)2()362k kk kk kk kn k n kE Xn n====⋅⋅-=+=∑∑∑∑，()181E X=. ··············· 13分。