有限元分析理论基础
材料力学有限元分析知识点总结
材料力学有限元分析知识点总结材料力学是研究物质力学性质和行为的学科，而有限元分析是一种利用计算机数值模拟方法对工程问题进行分析和计算的技术。
本文将从理论基础、有限元建模、求解方法和误差分析等方面总结材料力学有限元分析的关键知识点。
一、理论基础1. 材料力学基本原理：包括应力、应变、变形和弹性模量等基本概念，以及胡克定律和应力应变关系等基本理论。
2. 有限元法基本原理：包括将实际结构离散为有限个单元，建立节点和单元之间的关系，以及应用物理原理和数值方法求解得到数值解的基本思想。
3. 有限元离散方法：包括将连续问题离散化为有限个子问题，建立单元刚度矩阵和全局刚度矩阵，以及应用有限元法进行力学问题分析的基本步骤。
二、有限元建模1. 几何建模：将实际工程结构进行几何建模，通常使用CAD软件进行建模，包括建立节点和单元等。
2. 材料建模：根据实际材料的物理性质和力学行为，选择适当的材料模型，如线性弹性模型或非线性材料模型。
3. 网格划分：将结构离散为有限个单元，通常使用三角形单元或四边形单元进行网格划分，确保离散后的单元足够小且保证几何形状的准确性。
三、求解方法1. 单元应力应变计算：通过数值方法计算每个单元的应力和应变，可采用解析解、数值积分或有限元法求解。
2. 节点位移计算：根据应力应变关系和单元的几何形状，计算每个节点的位移，从而得到结构的变形情况。
3. 刚度矩阵的建立：根据单元的几何形状、材料性质和节点位移等信息，建立单元刚度矩阵和全局刚度矩阵，用于力学方程的求解。
4. 边界条件的施加：根据实际工程问题，施加适当的边界条件，如固支约束和荷载条件等，从而得到合理的求解结果。
四、误差分析1. 收敛性分析：通过逐步增加单元数目或减小网格大小，观察求解结果是否趋近于稳定值，从而判断数值解的收敛性。
2. 精度分析：通过与解析解或实验结果进行比较，评估数值解的精度，包括位移误差、应力误差和能量误差等指标。
3. 稳定性分析：判断数值解的稳定性和可靠性，防止数值发散或出现明显的计算错误。
有限元分析理论基础
有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
釆用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
(Weighted residual method WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为：在V域内厶(")-八0 (5.1.1)在S 边界上〃(“)-& = 0 (5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；u——为问题待求的未知函数当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H 一般兵升如下形式:仁土CN=NC(5.1.3)T M式中：c{----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；N：--- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°由于〃一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:| R] = L(flb— f在V域内\R B =B(^~g在S 边界上("14)城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。
若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数W B 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀W B1R B dS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5)• V • S不同的权函数幵；和jr R反映了不同的消除余•眩的准则。
第二章 有限元分析基本理论
第二章 有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。
这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。
根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。
如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。
如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。
如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。
将结构离散为三个节点，两个单元。
结构中的节点编号为1、2、32.1.1单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。
单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。
从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。
将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、ej θ，顺时针转动为正。
独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。
记：{}e j i eu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θθ为单元e 的节点位移向量；{}ej i em m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=为单元e 的杆端力向量。
根据结构力学位移法可得如下平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫+=+=e j e e i e e j ej e e i e e i k k m k k m θθθθ22211211 (2-1)式中：ee e e ee i k k i k k 2412212211====，lEIi e =，EI 、l 分别为单元e 的抗弯刚度和长度。
有限元理论基础及应用
有限元理论基础及应用有限元理论是应用于工程计算领域的一种数值分析方法，它是通过将连续的结构或物体分割成有限数量的离散单元，然后在每个单元上进行近似计算，最终得到整个结构或物体的近似解。
有限元理论广泛应用于结构分析、流体力学、电磁场分析等领域，是工程计算的重要工具。
有限元理论的基础是有限元方法，它将连续的结构或物体以网格的形式划分成一系列有限的单元，通过在每个单元内进行节点位移或其他物理量的近似表示，建立起离散的数学模型。
在有限元方法中，常用的单元形状包括线元、三角形单元、四边形单元等。
每个单元的节点之间通过连接的方式形成整个结构的网格。
有限元理论的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的代数问题，通过求解代数方程组得到数值结果。
其基本步骤包括：1.离散化：将连续的结构或物体划分为离散的单元，并在每个单元上建立近似解。
2.建立单元方程：根据结构或物体的本构关系、边界条件等，建立每个单元的方程。
3.组装：根据单元之间的连接方式，将每个单元的方程组装成整个结构或物体的方程。
4.边界条件处理：考虑边界条件对结构或物体的约束作用，修改方程。
5.求解代数方程组：将边界条件处理后的方程组进行求解，得到数值解。
有限元理论的应用非常广泛，主要包括：1.结构分析：有限元方法在结构力学领域的应用非常广泛，可以用于预测结构的应力、变形、疲劳寿命等。
例如，在建筑工程中，可以使用有限元方法对建筑结构进行静力分析，以确保结构的稳定性和安全性。
2.流体力学：有限元方法在流体力学领域的应用包括流体流动、传热、空气动力学等方面。
通过将流体分割成离散的单元，并建立流体的动量方程、能量方程等，可以模拟和预测流体的各种特性。
3.电磁场分析：有限元方法可以用于模拟和分析电磁场的分布、辐射、散射等现象。
在电子器件设计中，有限元方法可以用于预测电磁场的影响和优化设计。
此外，有限元方法还应用于声学、热力学、生物力学等领域。
它的优势包括模拟结果的准确性、适用于复杂几何形状和边界条件、计算速度较快等。
02-01有限元分析基础-理论基础
Kq=f——————（1） 其中：K是整体刚度矩阵；
q是节点位移矩阵； f是载荷矩点位移 解有限元方程Kq=f可得到位移。在根据方
程组的特点来选择合适的计算方法。
通过上述分析了解到，有限元分析的基本 思路是“先离散在组装”，离散为了进行单 元分析，组装为了对整体结构进行分析。
σ=Eε—————（2-4） 将式（2-2）、式（2-3）代入到式（2-4） 后简化得到：
F=(AE/l)Δl—————（2-5) 式（2-5）与弹簧方程F=kx很相似。因此， 受轴向力作用的等截面杆看做一个弹簧，则：
keq=AE/l——————（2-6）
一、有限元分析理论基础
根据上述分析，杆件的截面面积都是在 一个方向上变化的。可以将杆件近似地看做 是由4个弹簧串联起来的模型。
(2)假定一个近似描述单元特性解 为研究典型单元的力学特性，不妨先考虑
横截面积为A、长度为l的杆件在外力F作用下 构件的变形。
杆件的平均应力由下式给出： σ=F/A————（2-2） 杆件的平均正应变ε为
ε=Δl/l————（2-3)
一、有限元分析理论基础
在弹性区域内，应力和应变服从胡克定 律，即：
1.2 定义单元特性 (2)定义单元的力学关系
根据单元的材料、形状、尺寸、节点数目、 位置等参数，找出单元节点力和节点位移的 关系式。 (3)计算等效节点力
物理模型离散化后，假定力是通过节点在 单元间进行传递的，但对于实际连续体，力 是通过单元的公共界面在单元间进行传递。
一、有限元分析理论基础
1.3 组装单元 利用结构中力的平衡条件和边界条件将各
利用以上模型，假定力施加在各节点上。 可根据有图中节点1~节点5的受力情况, 得到各节点上力的静平衡： 节点1：R1-k1（u2-u1）=0 节点2：k1（u2-u1）-k2（u3-u2）=0 节点3：k2（u3-u2）-k3（u4-u3）=0 节点2：k3（u4-u3）-k4（u5-u4）=0 节点2：k4（u5-u4）-P=0
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理有限元分析法是一种通用的数值分析技术，它利用有限数目的计算元素来对结构的应力、变形以及失效的可能性进行分析，它简化了复杂的工程结构在实际受力情况下的模拟计算，可以预测出构件的性能、变形和可能失效等。
有限元分析是用数学模型来模拟生活用来模拟工程中结构抗压、抗弯、抗剪、抗疲劳等性能。
有限元分析有三个基本原理：结构变形、力学方程和材料本构方程。
首先，有限元分析的基础原理是结构变形。
结构变形是指在施加外力作用下，受力的结构的空间变形和大小的变化，它是有限元分析的基础，该原理说明了满足力学方程的解决方法如何以有限元的形式出现。
通常情况下，我们会把构件的耦合变形分成很多小的计算元(这些计算元之间有连接约束)，减少变形的不确定性，从而提高分析的准确性。
其次，有限元分析的基础原理是力学方程。
满足力学方程条件的解决方案就是有限元分析，也就是把问题分解成很多小的子问题来求解。
力学方程最常见的形式是基于有限元技术的动态和静态结构分析。
动态结构分析是指结构在某个加载下的振动反应，涉及到施加外力、弹性和惯性效应。
静态结构分析则指结构在不同类型外力作用下的变形。
最后，有限元分析的基础原理是材料本构方程。
材料本构方程是指材料受拉力作用而形成变形和应力的关系，它可以用来描述材料在承受外力时的作用。
本构方程有很多不同的形式，最常用的形式是弹性体的本构方程，它说明了当受到外力作用时，材料的拉伸和压缩的反应，从而将其应用于有限元分析技术。
以上就是有限元分析的基本原理，它是构成有限元分析的基础，而且这些基本原理也被广泛应用于工程中对结构性能进行模拟和分析。
有限元分析可以帮助工程师准确地估算出结构在特定加载条件下的变形和应力，也可以帮助他们判断结构在疲劳荷载作用下是否会发生破坏。
有限元分析也可以帮助设计者更好地分析结构在复杂（多变）条件下的性能，以确定结构的最优设计。
所以，有限元分析的基本原理是工程分析的基础，合理的运用可以节约大量的时间和精力，从而达到性能最优的结构设计。
第二章有限元分析基础
第二章有限元分析基础有限元分析是一种常用的工程计算方法，在工程学科中被广泛应用。
本章将介绍有限元分析的基本概念和基础知识。
有限元分析是一种数值分析方法，用于求解复杂的物理问题。
它的基本思想是将一个连续的物体或结构离散化为有限数量的基本单元，通过在每个单元上进行计算，最终得到整个物体或结构的行为。
这些基本单元通过节点连接在一起，形成了一个有限元网格。
通过在每个节点上求解方程，可以得到整个物体或结构的应力、变形等相关信息。
在有限元分析中，有三个重要的步骤：建模、离散和求解。
建模是指将实际物体或结构转化为数学模型的过程。
在建模过程中，需要确定物体或结构的几何形状、边界条件和力学性质等。
离散是指将物体或结构划分为有限数量的基本单元。
常用的基本单元有三角形、四边形和六面体等。
离散过程中需要确定每个基本单元的几何属性和材料性质等。
求解是指在离散的基础上，通过求解节点上的方程，得到物体或结构的应力、变形等结果。
求解过程中，需要确定节点的位移和应变等参数。
有限元分析的基本假设是在每个基本单元内，应力和应变满足线性关系。
这意味着在小变形和小位移的情况下，有限元分析是有效的。
此外，为了提高计算精度，通常会增加更多的基本单元。
但是，增加基本单元数量会增加计算复杂度和计算时间。
因此，在实际应用中，需要根据问题的复杂程度和计算资源的限制进行权衡。
有限元分析广泛应用于各个领域，例如结构力学、热传导、电磁场、流体力学等。
在结构力学中，有限元分析可以用于求解静力学和动力学问题。
在热传导中，有限元分析可以用于求解温度分布和热流问题。
在电磁场中，有限元分析可以用于求解电荷和电场分布等。
在流体力学中，有限元分析可以用于求解流速和压力分布等。
总之，有限元分析是一种重要的工程计算方法，可以用于求解各种物理问题。
通过建模、离散和求解等步骤，可以得到物体或结构的应力、变形等结果。
有限元分析在工程学科中有着广泛的应用前景，对于工程设计和优化起着重要作用。
学习有限元分析需要哪些有限元分析基础知识
学习有限元分析需要哪些有限元分析基础知识?有限元分析具有确保产品设计的安全合理性，同时采用优化设计，找出产品设计最佳方案，降低材料的消耗或成本; 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题; 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费等作用，越来越被应用，越来越的人不断开始学习有限元分析。
对于很多想开始学有限元分析的人都会有这么一个疑问，学习有限元分析需要哪些有限元分析基础知识呢？对于这个问题，看板网根据超过十年的企业和个人有限元分析培训经验，给各位想学习有限元分析的朋友们提点建议。
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元分析基础知识主要有，结构强度分析、振动频率分析、谐响应分析、扭曲分析、机构尺寸优化分析、疲劳分析、热力分析、跌落测试、响应谱分析等。
以下是一些建议：1，图书馆或书店都可以买到有限元教材，有的教材讲得深，有的教材讲得浅。
要是想在理论层面往深层次学习，还要学习一些数学基础，比如泛函分析、变分原理，但是，如果不专门研究一般用不了理解那么深刻。
2，要根据你从事的行业而定。
如果做力学有限元分析，起码要懂力学，就要学习力学理论知识，比如弹性力学等；做电磁有限元分析，起码要懂麦克斯韦方程组。
市场上卖的有限元教材一般都是结合力学讲的。
然后你可以学习有限元软件（比如ANSYS、ABAQUS等）解决具体的工程实际问题了。
如果对结构有限元分析感兴趣，应该从材料力学、弹性力学开始。
对应力、应变、平衡方程、本构关系、位移－应变关系等知识有了了解以后，可以学习变分法的知识，。
CAE课有限元分析理论基础
类型。
精度要求
03
根据问题对精度的要求，选择足够高阶的有限元以保证求解精
度。
常用有限元的介绍
四面体有限元
适用于解决三维问题，具有较高的计算效率 和适应性。
壳体有限元
适用于解决薄壁结构问题，能够模拟结构的 弯曲和变形。
六面体有限元
适用于解决二维和三维问题，精度较高但计 算效率较低。
梁有限元
适用于解决细长结构问题，能够模拟结构的 轴向拉伸和弯曲。
CAE课有限元分析理论基础
目 录
• 引言 • 有限元分析的基本原理 • 有限元的分类和选择 • 有限元分析的实现过程 • 有限元分析的应用实例 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
目的
有限元分析（FEA）是一种数值分析方法，用于解决复杂的工程问题，如结构 分析、热传导、流体动力学等。本课程旨在使学生掌握有限元分析的基本原理 和应用。
弯曲有限元
适用于解决大变形问题，如结 构动力学、流体动力学等。
非线性有限元
适用于解决非线性问题，如塑 性力学、断裂力学等。
耦合有限元
适用于解决多物理场耦合问题 ，如流体-结构耦合、电磁-热
耦合等。
有限元的选择
问题特性
01
根据问题的物理特性、边界条件和求解精度要求选择合适的有
限元类型。
计算资源
02
考虑计算资源的限制，选择计算效率高、内存占用小的有限元
04 有限元分析的实现过程
建立模型
确定分析对象和边界条件
首先需要明确分析的对象和所受的边界条件， 这是建立有限元模型的基础。
几何建模
根据分析对象的特点，利用CAD软件建立几何 模型。
模型简化
第二章有限元分析基本理论
第二章有限元分析基本理论有限元分析是一种数值计算方法，广泛应用于结构分析、流体力学、热传导等工程领域。
它通过将连续的物理问题离散化为有限个简单的子问题，再通过数值方法求解这些子问题，最终得到原始问题的近似解。
有限元分析的基本理论包括三个方面：离散化、加权残差和求解方法。
首先是离散化。
离散化是指将原始的连续问题转化为离散的子问题。
有限元分析中常用的离散化方法是将求解区域分割成有限的子域，称为单元。
每个单元内部的场量（如位移、温度等）可以用其中一种函数近似表示。
离散化的关键是选择适当的单元形状和适量的节点，使得子问题的离散解能够较好地近似原问题的解。
接下来是加权残差方法。
加权残差方法是有限元分析的核心思想，用于构造子问题的弱型方程。
弱型方程是原始问题的一种积分形式，由应力平衡和边界条件推导而来。
在加权残差方法中，我们引入加权函数，将弱型方程乘以权函数，再对整个求解区域进行积分，从而将连续问题转化为离散问题。
通过选择合适的权函数，可以使得该离散问题具有良好的数学特性，比如对称、正定等。
最后是求解方法。
有限元分析的求解方法主要包括直接法和迭代法。
直接法适用于小型问题，通过对离散问题的系数矩阵进行直接求解，得到场量的离散解。
而迭代法适用于大型问题，通过迭代求解线性代数方程组，得到场量的近似解。
迭代法的常用算法有雅可比法、高斯-赛德尔法、共轭梯度法等。
在求解中还需要注意计算误差的控制和收敛性的判定。
除了这三个基本理论，有限元分析还有一些相关的概念和技术。
例如，网格生成用于生成离散化的单元网格；后处理用于对离散解进行可视化和数据分析；材料模型用于描述材料的本构关系。
这些概念和技术在具体的有限元分析应用中，有着重要的作用。
综上所述，有限元分析的基本理论包括离散化、加权残差和求解方法。
离散化将连续问题转化为离散子问题，加权残差方法用于构造子问题的弱型方程，求解方法用于求解离散问题。
掌握这些基本理论，对于理解和应用有限元分析方法具有重要意义。
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理有限元分析是一种工程结构分析方法，它通过将结构分割成有限数量的小单元，然后利用数学方法对每个小单元进行分析，最终得出整个结构的性能和行为。
有限元分析的基本原理包括以下几个方面：1. 离散化处理。
有限元分析的第一步是将连续的结构离散化成有限数量的小单元，这些小单元可以是一维的杆件、二维的板或壳、也可以是三维的实体单元。
离散化处理的目的是将复杂的结构问题简化成一些简单的小单元问题，从而方便进行数学分析。
2. 建立单元模型。
每个小单元都需要建立相应的数学模型，这个模型通常是基于物理原理和数学方程建立的。
例如，对于弹性结构，可以采用弹性力学理论建立单元模型；对于热传导问题，可以采用热传导方程建立单元模型。
建立单元模型的目的是描述小单元的性能和行为，以便进行数学分析。
3. 建立整体模型。
将所有小单元组合起来，就得到了整个结构的有限元模型。
整体模型需要考虑小单元之间的连接关系和边界条件，以确保模型的完整性和准确性。
整体模型是对结构进行数学描述的基础，也是进行数值计算的对象。
4. 求解方程。
建立好整体模型后，需要对模型进行数学求解，得出结构的性能和行为。
这通常涉及到大量的数学运算和计算机程序，因此需要借助计算机进行求解。
求解方程的目的是得出结构的应力、应变、位移等物理量，以评估结构的性能和稳定性。
5. 结果分析。
最后，需要对求解得到的结果进行分析和评估。
这包括对结构的强度、刚度、稳定性等方面进行评估，以确定结构是否满足设计要求。
结果分析是有限元分析的最终目的，也是工程实践中最为关键的一步。
总之，有限元分析是一种基于数学和物理原理的工程结构分析方法，它通过离散化处理、建立单元模型、建立整体模型、求解方程和结果分析等步骤，对结构的性能和行为进行评估和预测。
有限元分析的基本原理对于工程设计和分析具有重要的意义，也是工程结构分析领域的重要方法之一。
有限元分析理论基础
16
第17页/共39页
三、物理方程（本构关系）
1、有限元本构关系的矩阵形式为：
s De
对于三维情况有：
1 0
0
0
1
0
0
0
1 0
0
0
De
E
0
(1 )(1 2 )
0
0 1 2 0 2 1 2
0
0 0 0 0
0
2
0
0
0
0
0
1 2 2
2024/7/27
17
第18页/共39页
15
第16页/共39页
二维问题的应变-位移关系可简化为：
u
xx yy xy
x v
y
u x
v y
x
0
y
0
y
uv
u
x
一维问题的应变-位移关系可进一步简化为：
xx
u x
x
u
u
则应变-位移关系可以简记为统一的矩阵形式：
u
2024/7/27
由于有限元采用的多项式位移插值函数全部满 足相容条件，只要求了解这一概念，具体形式不作 要求。
2024/7/27
19
第20页/共39页
虚功原理及虚功方程
PA
C
A
Rc
a
b
A'
A
C
A
图 1-8
PB (a)
B
图1-8a示一平衡的杠杆，对C点
写力矩平衡方程：
PA b
PB
a
图1-8b表示杠杆绕支点C转动时
还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向
有限元分析理论基础
有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
它包括大位移大应变及大位移小应变问题。
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种工程分析方法，它通过将复杂的结构分割成有限数量的简单单元，然后利用数学方法对每个单元进行分析，最终得出整个结构的行为。
有限元分析方法在工程领域得到了广泛的应用，可以用于求解结构的应力、挠度、热传导、流体流动等问题，是一种非常有效的分析工具。
有限元分析的基本原理可以归纳为以下几点：1. 离散化，有限元分析将连续的结构离散化为有限数量的单元，这些单元可以是三角形、四边形、四面体、六面体等形状。
每个单元都有自己的节点和自由度，通过对单元的组合，可以得到整个结构的离散模型。
2. 建立方程，对于每个单元，可以建立其位移与受力之间的关系，这通常可以通过弹性力学理论得到。
然后将所有单元的位移-受力关系组合成整个结构的方程，这个方程描述了整个结构的行为。
3. 求解方程，得到整个结构的方程之后，可以通过数值方法对其进行求解，得到结构在给定载荷下的响应，包括位移、应力、应变等信息。
4. 后处理，最后，对求解得到的结果进行后处理，可以得到结构的各种性能指标，比如最大应力、挠度、疲劳寿命等。
这些指标可以帮助工程师评估结构的安全性和可靠性。
有限元分析的基本原理非常简单，但在实际应用中却有着复杂的数学和计算机实现。
通过有限元分析，工程师可以更好地理解结构的行为，设计更安全、更经济的产品。
有限元分析方法的发展也为工程领域的发展提供了强大的支持，可以预测结构在各种复杂载荷下的响应，为工程设计提供了重要的参考依据。
总的来说，有限元分析是一种非常重要的工程分析方法，它的基本原理是将复杂的结构离散化，建立数学模型，通过数值方法求解得到结构的响应。
有限元分析方法的发展为工程领域的发展做出了重要贡献，相信在未来的发展中，它将发挥更加重要的作用。
3温度场有限元分析理论基础
第3章温度场有限元法分析理论基础在制造加工领域中，通过计算机模拟各种加工过程是非常方便有效的方法之一。
磨削过程也可以通过建立数值分析模型模拟整个磨削的过程，不仅可以预测实验可能发生的情况也可以减少实验的次数。
于是，越来越多的学者使用有限元技术对磨削过程进行分析、研究。
通过有限元法分析磨削区温度场既有利于对磨削机理的理解，也是一种优化机械加工工艺的有力工具，而且在考虑多种因素、非线性、动态过程分析等复杂情况时其优势尤为显著。
3.1有限元法简介3.1.1 有限元法的基本思想有限单元法是目前在工程领域内常用的数值模拟方法之一。
目前在工程领域内常用都是数值模拟方法包括有限单元法、边界元法、离散单元法和有限差分法等。
有限元单元法的基本思想就是将连续的结构离散成有限多个单元，并在每一个单元中设定有限数量的节点，讲连续体看做是节点处连续的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在第一单元中假设一个插值函数来表示单元中场函数的分布规律，进而利用弹性力学、固体力学、结构力学等力学中的变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中有限自由度问题。
求解法就可以利用解得的节点值和设定的插值函数来确定单元上以至整个集合上的场函数。
有限元分析的基本概念就是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一个单元假定一个较简单的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的近似解。
由于大多数实际问题难以得到准确解，有限元法不仅仅计算精度高而且能够适应各种复杂形状，因此称为行之有效的工程分析手段。
3.1.2有限元热分析简介热分析是指用热力学参数或者物理参数随着温度变化的关系进行的分析方法。
国际热分析协会在1977年将热分析定义为：“热分析是测量在程序控制温度下，物质的物理性质与温度依赖关系的一类技术。
”程序控制温度指的是按某种规律加热或冷却，通常是线性升温或降温。
第一章 有限元法的理论基础
法得到了广泛的应用。本课程主要介绍位移法。
9/23/2014 北京航空航天大学 17
第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
(1)结构离散化
假定：梁的长度比宽度大得多，为简单均匀的梁单元。
9/23/2014
北京航空航天大学
18
第1章 有限元法的理论基础__简例
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
9/23/2014 北京航空航天大学 2
第1章 有限元法的理论基础__概述 ¾刚度矩阵： 对n个点，可写出n个表示式
写成矩阵形式为
⎡ F1 ⎤ ⎡ k11 ⎢ F ⎥ ⎢k ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 ⎢" ⎥ ⎢ # ⎢ ⎥= ⎢ ⎢ Fi ⎥ ⎢ ki1 ⎢" ⎥ ⎢ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ Fn ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ kn1
[ p]
式中
9/23/2014
= [ k ] [δ ]
e
e
⎡ k1 e k = [ ] ⎢ ⎣ − k1
− k1 ⎤ ⎡ k11 =⎢ ⎥ k1 ⎦ ⎣ k21
k12 ⎤ k22 ⎥ ⎦
为单元刚度矩阵
8
北京航空航天大学
第1章 有限元法的理论基础__简例
通俗易懂的有限元基础原理
通俗易懂的有限元基础原理
有限元分析是一种数值计算方法，用于解决结构力学和其他工程领域的问题。
以下是通俗易懂的有限元基础原理解释：
1. 分割结构：有限元分析中的第一步是将要分析的结构分割成许多小的、简单的部分，称为有限元。
类似于拼图，每个有限元代表结构中的一小部分。
2. 建立本构关系：针对每个有限元，需要建立材料的本构关系，即材料的应力-应变关系。
这是通过材料力学性质的实验测试或理论公式来确定的。
3. 建立单元方程：对于每个有限元，根据其几何形状和材料本构关系建立方程。
这些方程描述了有限元内部的应力和变形之间的关系。
4. 组装全局方程：将所有有限元的方程组装在一起，形成整个结构的全局方程。
这些方程联结了各个有限元之间的边界条件和相互作用。
5. 求解方程：通过数值解法，例如迭代方法或直接求解方法，求解全局方程。
这个过程会得到结构的应力、应变分布以及其他感兴趣的结果。
6. 分析结果：最后，分析人员可以根据求解结果，评估结构的性能，例如应力、变形、位移、振动或热分布等。
这些结果可以帮助工程师优化结构设计、评估结构安全性、指导修复或改进结构性能。
总体来说，有限元分析将大型、复杂的结构问题简化为许多小的、简单的部分，通过数值方法求解其力学行为。
这种方法广泛应用于工程领域，以实现更准确、高效的结构设计和分析。
有限元分析理论基础
有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
它包括大位移大应变及大位移小应变问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
它包括大位移大应变及大位移小应变问题。
如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。
3）非线性边界问题在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。
平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。
实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
（Weighted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0L u f -=(5.1.1)()0B u g -=(5.1.2)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。
对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。
已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。
若计算问题具有对称性，应充分利用它。
显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。
按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
其中伽辽金法的精度最高。
2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。
他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。
虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。
虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式；虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式。
虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。
反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方程。
所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件。
一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。
虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零。
反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则它们一定是满足协调的。
所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。
虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。
但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。
3、最小总势能法应变能：作用在物体上的外载荷会引起物体变形，变形期间外力所做的功以弹性能的形式储存在物体中，即为应变能。
由n 个单元和m 个节点组成的物体的总势能为总应变能和外力所做功的差：()11=n m e i i e i Fu ==∏Λ-∑∑ 最小势能原理：对于一个稳定的系统，相对于平衡位置发生的位移总会使系统的总势能最小，即：()110n m e i i e i i i i Fu u u u ==∂∏∂∂=Λ-=∂∂∂∑∑，i=1,2,3,……,n有限元法的收敛性有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。
有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。
有限元的收敛条件包括如下四个方面：1）单元内，位移函数必须连续。
多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。
2）在单元内，位移函数必须包括常应变项。
每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。
当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。
为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。
3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。
一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。
形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。
空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。
由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。
4）位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。
对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有相同的位移，而且沿单元边界也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。
要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。
对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。
但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。
总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。
前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则称为非协调单元。
完备性要求是收敛的必要条件，四条全部满足，构成收敛的充分必要条件。
在实际应用中，要使选择的位移函数全部满足完备性和协调性要求是比较困难的，在某些情况下可以放松对协调性的要求。
需要指出的是，有时非协调单元比与它对应的协调单元还要好，其原因在于近似解的性质。
假定位移函数就相当于给单元施加了约束条件，使单元变形服从所加约束，这样的替代结构比真实结构更刚一些。
但是，这种近似结构由于允许单元分离、重叠，使单元的刚度变软了，或者形成了（例如板单元在单元之间的绕度连续，而转角不连续时，刚节点变为铰接点）对于非协调单元，上述两种影响有误差相消的可能，因此利用非协调单元有时也会得到很好的结果。
在工程实践中，非协调元必须通过“小片试验后”才能使用。
应力的单元平均或节点平均处理方法最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕节点各单元应力的平均值。
• 1.取相邻单元应力的平均值这种方法最常用于3节点三角形单元中。
这种最简单而又相当实用的单元得到的应力解在单元内是常数。
可以将其看作是单元内应力的平均值，或是单元形心处的应力。
由于应力近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力的平均值作为此两个单元合成的较大四边形单元形心处的应力。
如2单元的情况下，取平均应力可以采用算术平均，即平均应力=（单元1的应力+单元2的应力）/2。
也可以采用精确一些的面积加权平均，即平均应力=[单元1应力× 单元1的面积+单元2应力× 单元2面积]/（单元1面积+单元2面积）当相邻两单元面积相差不大时，两者的结果基本相同。
在单元划分时应避免相邻两单元的面积相差太多，从而使求解的误差相近。
一般而言，3节点三角形单元的最佳应力点是单元的中心点，此点的应力具有1阶的精度。
• 2.取围绕节点各单元应力的平均值首先计算围绕该节点（i ）周围的相关单元在该节点出的应力值 ，然后以他们的平均值作为该节点的最后应力值 ，即其中，1~m 是围绕在i 节点周围的全部单元。
取平均值时也可进行面积加权。
有限元法求解问题的基本步骤i σ1.结构离散化对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；2.求出各单元的刚度矩阵[K](e)[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵，其关系式为:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e)3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为{F}= [K] {Φ}，此即为总体平衡方程。