三视图与展开图

【解析】如图，一条直角边(即木棍的高)长20尺， 另一条直角边长5×3＝15(尺)，因此葛藤长 152 + 202＝25(尺)．
8．(2014·凉山州)如图，圆柱形容器高为18cm， 底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有 一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上 沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到 达内壁B处的最短距离为 20 cm.
【解后感悟】将立体图形与平面图形对照来看， 将所给的数据标注到立体图形上，本题正确恢复 原几何体是解决问题的关键，体现空间想象能力．
(学P96)
7．(2014·潍坊)我国古代有这样一道数学问题： “枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根 缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题 意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈 是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有 葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 25 B处．则问题中葛藤的最短长度是 尺．
【思路分析】从主视图来看，各个位置的小正方体 个数用1，2表示；从左视图来看，各个位置的小正 方体个数用①②表示，在同一方格中取最小的数即 为该位置正方体的个数，为2＋1＋1＝4.
【解后感悟】由三视图确定小正方体的个数，往 往需要把三个视图组合起来综合考虑，求解时先根 据左视图和主视图，在俯视图中标出每个位置上小 立方块的个数，便可得到组成的小单元——正方体 的个数．
【方法与对策】由三视图求原几何体的体积，正 确恢复原几何体是解决问题的关键．这类题是中 考热点题型，平时学习中也要注意平面图形和空 间图形的转化．
分不清三视图中的实线与虚线． 【问题】一个空心的圆柱如图所示，那么它的主 视图是( )
【分析】错误答案是D.根据主视图的定义，从前面 看，得出图形是一个矩形(它里面含一个看不见的小矩 形)，再区分是实线还是虚线．即选项A的图形．故选 A. 【正解】A
【思路分析】根据三视图的对应情况可得出几何 体是圆锥，进而对应寻找圆锥、三视图、展开图 的对应关系即可．
【答案】(1)圆锥体．
(2)S圆锥侧＝πrl＝π×2×6＝12π， S底面＝πr2＝π×22＝4π， ∴这个几何体的表面积是16π平方厘米． r 2 (3)∵θ＝ l ×360°＝6 ×360°＝120°， 1 ∴∠BAC＝60°，∠ABD＝30°，∴AD＝ AB＝3， 2 BD＝ AB 2－AD 2 = 3 3 . 答：这个路线的最短路线是3 3厘米．
圆柱的侧面积S侧＝2πrl. 圆柱的全面积S全＝2πr2＋2πrl. 7．圆锥的侧面展开图： 圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角 边旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几 何体，斜边旋转所成的面就是圆锥的侧面．无论转 到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的 母线 ．圆 锥的侧面展开图是一个半径为母线长l，弧长为底 面圆周长2πr. r 扇形的圆心角θ＝l ·360°，
三个等量关系(如图) ①展开图扇形的弧长＝圆锥下底的周长； ②展开图扇形的面积＝圆锥的侧面积； ③展开图扇形的半径＝圆锥的母线．
转化思想：将立体图形转化为平面图形， 求几何体的侧面积、表面积、立体图形表面 上最短路程等．
(学P94) 1．(2014·德州)图甲是某零件的直观图，则它 的主视图为 A( )
【解析】(1)的主视图为长方形； (2)的主视图为长方形；(3)的主视图为长方形； (4)的主视图为三角形． 故主视图与其他三个不相同的是(4)． (2)侧面展开图是矩形，侧面积为6×4＝24； (3)左视图的面积4×4＝16.
【归纳】复习简单几何体的三视图、展开图．
类型一
判断(画)几Leabharlann Baidu体的三视图 )
【解析】如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的 对称点A′，连结A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝ A' D 2 + BD 2 = 122 + 162 ＝20(cm)．
(学P87)
【课本改变题】教材母题——浙教版九下第76页例题 【试题】(2013·杭州)如图是某几何体的三视图，则 该 几何体的体积是 ( ) A．18 3 B．54 3 C．108 3 D．216 3 【分析与解】由三视图可看出：该几何体是一个正六 棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，所以该 3 几何体的体积＝6× ×62×2＝108 3 .故选C. 4
圆锥的侧面积S侧＝πrl， 圆锥的全面积S全＝πr2＋ πrl.
8．注意点： 圆锥的侧面是一个扇形，因而其面积是一个扇 形的面积，其扇形的半径是圆锥的母线，弧长是 底面的周长．在求圆锥侧面积或全面积的时候， 常需要借助于它的展开图进行分析，因此理清圆 锥与它的展开图中各量的关系非常重要，下面图 示可以帮助我们进一步理解它们之间的关系．
【答案】B
【解后感悟】常见几何体的展开与折叠：①棱柱 的平面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形 组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组 合方式的平面展开图，特别关注正方体的表面展开 图；②圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一 个长方形连成的；③圆锥的平面展开图是由一个圆 形和一个扇形组成的．
1．如图的几何体是由一个圆柱和一个长方体组 成的，则它的俯视图是( D )
第1题图
2．如图，一个几何体上半部分为正四棱锥，下 半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中， 是该几何体的表面展开图的是( B )
第2题图
3．如图是某几何体的表面展开图， 则这个几何体是 圆柱 ．
第3题图
4．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，根据 图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为 cm2(结果可保留根号)． 75 3 360
2．如图是某物体的三视图，则这个物体的形状 是( B ) A．四面体 B．直三棱柱 C．直四棱柱 D．直五棱柱
3．(2014·无锡)已知圆锥的底面半径为4cm，母 线 A 长为5cm，则这个圆锥的侧面积是( ) A．20πcm2 B．20cm2 C．40πcm2 D．40cm2
4．(2013·山西) 如图是一个长方体包装盒，则它 A 的平面展开图是( )
第4题图
第二篇 图形与几何
第五章 基本图形(二) 第25讲 三视图与展开图
(学P93) 1．三视图： (1)主视图：从 (2)左视图：从 (3)俯视图：从 正面 左面 上面 看到的图； 看到的图； 看到的图．
2．画“三视图”的原则：
(1)如图，长对正，高平齐，宽相等； (2)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓通常 画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．
4．(2013·钦州)下列四个图形中，是三棱柱的 平面展开图的是B ( )
5．(2014·河北)如图1是边长为1的六个小正方 形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1 中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是 B 3 ( ) 2 A．0 B．1 C. D.
类型四
圆柱(锥)侧面积和全面积的计算
例3 如图给定的是纸盒的外表面，下面能由 它折叠而成的是( )
【思路分析】将A、B、C、D分别展开，能和原图相
对应的即为正确答案．A项展开得到 不能和原图相对应，故本选项错误；B项展开得到 能和原图相对，故本选项正确；C项展开
得到
不能和原图相对应，故本选项错
误；D项展开得到
不能和原图相对应，
故本选项错误．故选B.
3．判断简单物体的三视图，能根据三视图描述 基本几何体或实物原型． 4．正方体的平面展开图： (1)一四一型
(2)二三一型
(3)三三型
(4)二二二型
5．直棱柱： 直棱柱侧面展开图是矩形，能根据展开图判断 和制作立体模型． 6．圆柱：
圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边旋转一周时， 其余各边所成的面围成的一个几何体．和转轴平行 的一条边旋转所成的面就是圆柱的 侧面 ．这条边 不论转动到哪一个位置，都叫圆柱的 母线 ．圆柱 的侧面展开图是一个矩形，它的一组邻边长分别等 于母线长和底面圆的周长．
例1 下列几何体中，俯视图相同的是(
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
【思路分析】①的三视图中俯视图是圆，但无圆心； ②③的俯视图都是圆，有圆心，故②③的俯视图是相 同的；④的俯视图是圆环． 【答案】②③的俯视图都是圆，有圆心，故选C.
【解后感悟】掌握从不同方向看物体的方法和 画几何体三视图的要求，通过仔细观察、比较、 分析，可选出正确答案．
例4 (2013·湖州)在学校组织的实践活动中， 小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面 半径为1，高为2 ，则这个圆锥的侧面积为( ) A．4π B．3π C．2 2π D ．2 π 【思路分析】首先根据勾股定理计算出母线的长， 1 再根据圆锥的侧面积为S侧＝ ·2πr·l＝πrl， 2 代入数进行计算即可． 2 2 1 ( 2 2 ) 【答案】圆锥的母线长为 ＝3， 则圆锥的侧面积＝π×1×3＝3π，故选B. 【解后感悟】此题是圆锥的计算，关键是掌握圆 锥的侧面积公式：S侧＝ ·2πr·l＝πrl.
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 2， 若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的 几何体的表面积为( D )
A．4π
B．4 2π
C．8π
D．8 2π
类型五 几何体的综合运用 例5 如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据所示数据计算这个几何体的表面积； (3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发， 沿表面爬到AC的中点D，请求出这个路线的最短路 程．
3．(2014·呼和浩特)如图是某几何体的三视图， 根据图中数据，求得该几何体的体积为( B )
A．60π B．70π C．90π D．160π
【解析】观察三视图发现该几何体为空心圆柱， 其内径为3，外径为4，高为10，所以其体积为 10×(42π－32π)＝70π.
类型三 立体图形的展开与折叠
1．(2013·绍兴)由5个相同的立方体搭成的几何 C ) 体如图所示，则它的主视图是(
【解析】从正面可看到从左往右三列小正方形的个 数为：1，1，2.
类型二
由三视图判断原几何体的形状
例2 (2013·南宁)如图，是由几个相同的小正 方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何 体的小正方体的个数是B ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
(学P95)
2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体 的侧面积是( A ) A．18cm2 B．20cm2 C．(18＋2 3 )cm2 D．(18＋4 3)cm2
【解析】根据三视图判断，该几 何体是正三棱柱，底边边长为2cm， 侧棱长是3cm，所以侧面积是： (3×2)×3＝6×3＝18(cm2)．
5．(2012·衢州)长方体的主视图、俯视图如图 所示，则其左视图面积为 ( ) A
A．3 B．4 C．12 D．16
【问题】如图，下列四个几何体是水平放置．
(1)这四个几何体中，主视图与其他三个不相同的 是________； (2)图(1)的直三棱柱，底面是边长为2的正三角形， 高为4，则此直三棱柱的侧面展开图的面积______； (3)图(2)的圆柱，底面半径为2，高为4，则此圆柱 左视图的面积________．