矩阵理论课件 (2)
合集下载
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
矩阵理论及其应用(重大版第二章课件)
矩阵理论及其应用CQU第二讲基变换与坐标变换、线性子空间李东重庆大学数学与统计学院◆基变换与坐标变换◆线性子空间◆子空间的运算CQU线性空间的基是不惟一的，同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。
不同的基之间、同一个向量在不同的基下的坐标之间有何关系呢？通过间单的计算知道它们之间相差一个可逆矩阵。
CQUCQU一、基变换设分别是线性空间上的两个不同的基。
由基的定义知道唯一存在可逆矩阵，使得(1)称A 称是由基到的过渡矩阵。
称(1)为基变换公式。
二、坐标变换设向量αϵV,α在这两组基下的坐标分别为：(2)则有下式成立。
CQUCQUCQU从而，有即：(4)称(4)为坐标变换公式。
思考：这里的基变换公式、坐标变化公式和教材有何差别？CQU例1 求R 4中的基，，，到基，，，的坐标变换公式。
解：见下页CQUCQU◆基变换与坐标变换◆线性子空间◆子空间的运算CQUCQU定义1.5 设V 是K 上的线性空间，W ⊂V 按V 的线性运算也构成线性空间，称W 是V 的线性子空间(子空间)。
即：W 是V 的线性子空间W 是V 的线性子空间两个平凡子空间：V 和{0}.一、线性子空间的定义判别方法？Important Theorem（TH1.5.1 P11）W 是子空间 W 对V 的线性运算封闭子空间本身就是线性空间。
子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法CQU子空间和非子空间的例子I.V={x=(x1，x2，0｝⊆R3，是子空间II.V={x=(x1，x2，1｝⊆R3，不是子空间例1齐次线性方程组AX=0的解集：是子空间，称为解空间。
S=｛X：AX=0｝⊆R n，例1’非齐次线性方程的解集：不是子空间M=｛X：AX=b｝CQU例2集合C=a ijn×n |a ij∈K,σi=1n aii=0⊂K n×n是线性子空间。
例3集合M=a ijn×n|a ij∈K，a ij=a ji⊂K n×n是线性子空间。
矩阵建模法全部课件
0
G2
x4 0
0
− G4 0 x1 1
0
−
G5
x2
+
0
u =Qx
+
Pu
0 G3
0
x3
0 x4
0 0
例6.6 数字滤波器系统函数
= x1 qx2 + 2u
x2
=
3 8
q
−
1 4
x3
+
1u 4
x1 1
x2
0
x3 0
*
x4 x5
+
0 0
*u
⇒
X
=
QX
+
PU
x6 0
x7
0
x8 0
⇒ (I - Q)X = PU ⇒ W = X/U = (I - Q) \ P
例6.3 两构件桁架的平衡问题
受
Nax + Ncx = 0
力
Nay + Ncy = 200
方 程
−Ncx sinθ1 + Ncy cosθ1
Nbx − Ncx = 0
= 86
Nby − Ncy = 100
组
Ncx sinθ2 + Ncy cosθ2 = -35
1 0 0 0 1
矩阵建模法是线代最大的应用
• 从上面给出的应用实例看，电路、力学、信号与系统、信号处理、 自动控制、…..那么多的主课，都可以藉助于矩阵建模法解决其遇到 的高阶系统的难题，并借助于它而进行机算，实现计算现代化。所 以它是线性代数最有价值的一个功能，凡是用了这个功能的，都会 毫无保留地承认线性代数是工科必修的基础课。矩阵建模法有几项 特别重大的贡献我们将在下面介绍。
矩阵理论及其应用(重大版第八章课件)
������→∞ ������→∞ ������→∞ ������→∞
{������������ }和{������������ }为数列，则 lim (������������ ������������ +������������ ������������ ) = ������������ + ������������。
(运用������(������) ������−1 (������)=E，然后两边求导)
������ (6) 几种特殊情况： ������������ ������ − ������sin ������������ , sin ������������ ������������
������ ������������
=
������������ ������������
=
������ ������������ ������
,
������ ������������
cos ������������
=
= ������cos ������������ 。
例1 设求二次型������ ������ ������������ 的导数（其中A对称）。
的每一个元素������������������ (������)是变量������
的可微函数，则称������(������)微，其导数定义为
������������ ������������
=
������′ (������)
=
������������������������ ������������ ������������
������→∞
CQU
4
向量和矩阵序列极限的性质
{������������ }和{������������ }为数列，则 lim (������������ ������������ +������������ ������������ ) = ������������ + ������������。
(运用������(������) ������−1 (������)=E，然后两边求导)
������ (6) 几种特殊情况： ������������ ������ − ������sin ������������ , sin ������������ ������������
������ ������������
=
������������ ������������
=
������ ������������ ������
,
������ ������������
cos ������������
=
= ������cos ������������ 。
例1 设求二次型������ ������ ������������ 的导数（其中A对称）。
的每一个元素������������������ (������)是变量������
的可微函数，则称������(������)微，其导数定义为
������������ ������������
=
������′ (������)
=
������������������������ ������������ ������������
������→∞
CQU
4
向量和矩阵序列极限的性质
矩阵低秩分解理论课件
多媒体技术与小学语文教学的有效融合【摘要】本文旨在探讨多媒体技术与小学语文教学的有效融合。
在介绍了这一主题的重要性。
在分别从多媒体技术在小学语文教学中的应用、提升教学效果、促进学生学习兴趣、缓解教学难点以及实践案例等方面进行了分析。
随后在总结了多媒体技术与小学语文教学融合的重要性，并探讨了未来多媒体技术在小学语文教学中的发展方向，倡导了深度融合的观点。
通过本文的研究，可以清晰地看到多媒体技术在小学语文教学中的价值和潜力，为提升教学质量和学生学习效果提供了新的思路和方法。
【关键词】多媒体技术、小学语文教学、融合、应用、提升效果、提高兴趣、缓解难点、实践案例、重要性、发展方向、深度融合1. 引言1.1 多媒体技术与小学语文教学的有效融合多媒体技术与小学语文教学的有效融合，是当前教育领域中备受关注的话题。
随着科技的发展和普及，多媒体技术在教育教学中的运用逐渐广泛，而在小学语文教学中，充分利用多媒体技术，将会对学生的语文学习起到积极的促进作用。
语文教学是小学教育的重要组成部分，而多媒体技术的引入使得传统的语文教学方式得到了革新和提升。
通过多媒体技术，教师可以呈现丰富多彩的教学内容，如图文并茂的课件、生动有趣的动画等，这不仅可以激发学生的学习兴趣，还能提升教学效果。
多媒体技术还能够帮助教师解决小学语文教学中的难点和问题，比如词语解释、生字认读等。
通过多媒体技术，这些看似抽象难懂的知识可以被生动形象地呈现出来，使学生更容易理解和掌握。
多媒体技术与小学语文教学的有效融合是一种创新、高效的教学方式，它不仅提升了教学效果，还帮助学生增加学习兴趣，促进了语文素养的提高。
在未来，随着多媒体技术的进一步发展，它将在小学语文教学中发挥出更大的作用，倡导多媒体技术与小学语文教学的深度融合将成为当前教育改革的重要方向。
2. 正文2.1 多媒体技术在小学语文教学中的应用多媒体技术在小学语文教学中的应用是指利用计算机、视频、音频、图像等多种媒体形式，结合教学内容和教学目标，为小学生提供多样化的学习方式和资源。
—逆矩阵
非奇异矩阵A 的逆矩阵一定存在。
反过来, 如果矩阵 A 的逆矩阵 A1 存在, 则 AA1 E 。
两边取成行列式, 得 | AA1 | | A || A1 | | E | 1,
故 | A| 0。
实际上 , 我们证明了一个定理。
逆矩阵存在的充要条件 矩阵 A 可逆的充要条件是其行列式 | A | 0。
r3 3 r1
0 1 0 2 1 0
3 2 1 0 0 1
0 2 1 3 0 1
r3 (2) r2
1
0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 7
0 1 2
0 0 , 故 1
1
A1 2 7
0 1 2
0
0 。 1
运用初等变换法的最大好处在于：
当不知道矩阵A 是否有逆矩阵时, 我们可以直接
运用初等变换法进行计算
或者说 : 矩阵 A 可逆的充要条件是A 为满秩的。
或者说: 矩阵 A 可逆的充要条件是A 为非奇异的。
利用伴随矩阵求逆矩阵 若矩阵 A 可逆 , 则 A1 A* 。 | A|
例
设
A
1 3
2 4
,
求 A－1。
解
| A|
1 3
2 4
2。
A11 4 , A12 3 , A21 2 , A22 1,
A11 A21
A*
A12
A22
A1n A2n
An1
An 2
Ann
称为 A的伴随矩阵。
转置！
由行列式的拉普拉斯按行 (列) 展开定理, 得
a11 a12
AA* a21
a22
an1 an2
a1n A11
第二章 信号矩阵理论PPT课件
R s 、R n分别表示信号和噪声的相关矩阵。
河南工业大学
9
2.3梯度运算
10
梯度定义 实标量函数(W)对向量W的梯度为：
d e W ( W f) 0 a j 0 b 1 a j 1 b. . .L aj L T b
(2-9)
式部中，w即la：, wwlbl=分w别la+是jw向lb;量即W为的第(Wl个). 元素wl的实部和虚
河南工业大学
3
一般一个自适应系统的输入x(t)表示为
x(t)=a(t)ej e+n(t）
(2-1)
其中， a(t)为输入信号的复包络（时节缓变的 随机信号），为信号的载频， n(t)为输入噪 声。
输入信号用向量的形式表示，隐去时间函数， 则信号向量X可以表示为：
X=[x0 x1…xL]T
(2-2)
式中“T”表示矩阵转置。
河南工业大学
4
自适应系统的基本单元（线性组合器）
x0
w0
x1
w1
…
xL 权向量 wL
+ +
+
y
输出信号
图2-1 此基本单元由L+1个输入x0(t) ,x 1 (t),… xL (t),其相应的 一 组可调权为 w0 , w1 ,… wL ,而输出信号为y(t),用于调整权 的方法即 “自适应算法”。
W
W
(2-10)
w k * r kw l (w k a jk w )b r k( la jkr ) lw b l( ajlw ) b(2-11)
其中，rkl为相关矩阵R的第k行第l列的元
素，因为 rklrklajrklb
河南工业大学
12
提问与解答环节
河南工业大学
9
2.3梯度运算
10
梯度定义 实标量函数(W)对向量W的梯度为：
d e W ( W f) 0 a j 0 b 1 a j 1 b. . .L aj L T b
(2-9)
式部中，w即la：, wwlbl=分w别la+是jw向lb;量即W为的第(Wl个). 元素wl的实部和虚
河南工业大学
3
一般一个自适应系统的输入x(t)表示为
x(t)=a(t)ej e+n(t）
(2-1)
其中， a(t)为输入信号的复包络（时节缓变的 随机信号），为信号的载频， n(t)为输入噪 声。
输入信号用向量的形式表示，隐去时间函数， 则信号向量X可以表示为：
X=[x0 x1…xL]T
(2-2)
式中“T”表示矩阵转置。
河南工业大学
4
自适应系统的基本单元（线性组合器）
x0
w0
x1
w1
…
xL 权向量 wL
+ +
+
y
输出信号
图2-1 此基本单元由L+1个输入x0(t) ,x 1 (t),… xL (t),其相应的 一 组可调权为 w0 , w1 ,… wL ,而输出信号为y(t),用于调整权 的方法即 “自适应算法”。
W
W
(2-10)
w k * r kw l (w k a jk w )b r k( la jkr ) lw b l( ajlw ) b(2-11)
其中，rkl为相关矩阵R的第k行第l列的元
素，因为 rklrklajrklb
河南工业大学
12
提问与解答环节
矩阵理论矩阵的标准型ppt课件
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
矩阵理论矩阵的标准型
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
其中 aij ( ) (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 为 的多项式．
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
故不是 Smith 标准形. 方法一 用初等变换
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵变换器 PPT课件
Sapn
p idc
p
Sap
idc
Sapp Sanp Sann
n
Sapp Sanp Sann
n
Sa
San n
整流级开关减少步骤
Sap
Sbp
Scp
vsb Lf isb
vsa isa
Sa
Sb
Sc
vsc isc
功率开关个数可以进一 步减少到15个。性能与 18开关电路相同 ，但传 导损耗显然要大于18开 关电路
p
Sap
Sbp
Scp
a
SAP
SBP SCP
A
双级矩阵变换器是在单
b
级矩阵变换器间接空间
c
矢量调制思想基础上发
展起来的一种新型矩阵
变换器拓扑结构。
需要12个双向开关即24个单向开关
B C
San
Sbn
整流级
Scn n
SAn
SBn SCn
逆变级
双级矩阵变换器拓扑结构图
七、双级矩阵变换器拓扑结构
在中间直流电 压始终控制为 上正下负的条 件下，逆变级 只需采用单向 开关，是传统 的电压型逆变 器结构，双级 矩阵变换器功 率开关个数减 少到18个。
电力电子技术
矩阵变换器
主要内容
矩阵变换器的研究背景 基本电路拓扑 调制基本原理与调制策略 安全换流技术 双级矩阵变换器的简介 保护电路 研究热点及应用前景
一、研究背景
目前工业生产和日常生活中广泛使用的变频器存 在很多缺点，如寿命短、可靠性差、体积大、成本 高。其中最突出的缺陷是对电网造成的谐波污染。
ic
0
定义:
1 Sij 0
Va
Vb
【矩阵理论课件】第1讲：线性空间及分解
6) k(l ) (kl) 7) (k l) k l 8) k( ) k l
返回
2 判断下列集合是否构成线性空间.
1) 空间中不平行于一已知向量的全体向量所构
成的集合， 2) 数域P上次数等于定数n(n 1)的多项式全体所
构成的集合，是否构成复数域上的线性空间?
返回
3. 线性空间的基和维数
存在向量 V1 如果 V2，则结论成立
如果: V2 , V2是非平凡子空间
返回
存在向量 V2 如果 V1，则结论成立 如果 V1，就有
V1, V1; V2, V2
V1, V2
返回
§1.2 空间分解与维数定理
定义1 设V1,V2是线性空间V 的子空间,则V1与V2的和为
且是唯一的，这个和 V1 V2 就称为直和,记为V1 V2
返回
定理2：设 V1 , V2是线性空间V的子空间,则下列命题等价 （1） V1 V2 是直和； （2） 零向量表示法唯一；
（3） V1 I V2 {0}.
例 1：设, 线性无关,则L() L( )是直和,
而L( ， ) L()不是直和.
0 0 1
1 1 0
0 1 1
100
0 1 0
0 1 1
1 1 0
0 1 1
100
0 1 1
0 1 0
返回
1 1 0
0 1 1
100
1 0 0
1 1 0
1 1 0
0 1 1
100
1 0 1
1 1 1
1 1 0
0 1 1
100
1 1 0
1 0 1
定义: 在V中有n个线性无关的向量1,L ,n , 而 V中任意n 1个向量都线性相关,则称1,L ,n是V
电子科技大学 矩阵理论!ppt课件
n
( , ) H aibi i 1
则上式定义了一个内积,C n是酉空间.
返回
定义: 设1,L , n是酉空间V一组基,令aij ( i , j ),
则称矩阵A=(aij )为基1,L
,
的度量矩阵
n
,或Gram矩阵
.
定理:
设矩阵A=(aij
)为酉空间V的一组基1,L
,
的
n
度量矩阵,则
(1) AH A;
xi H Bx j ij .
返回
定理 6 设n n矩阵 A AH , B BH，且B正定，与B共扼 向量系x1 , x2 ,L , xn具有以下性质， （1） xi 0 ( i 1, 2,L ,n ) ; （2） x1 , x2 ,L , xn 线性无关 ; （3）i与xi满足方程Axi i Bxi ; （4）若令X ( x1 , x2 ,L , xn ) , X H BX E , X H AX diag( 1 , 2 ,L ,n )
定义 4 ( x, y) 0
向量 x和y正交,记为 x y
勾股定理： x y
|| x y ||2 || x ||2 || y ||2
垂线最短定理：欧氏空间Vn ( R) 中的一个固定向量 和一个子空间中各向量的距离“垂线最短”.
返回
定义5
n维欧氏空间V中向量1 ,2 ,L ,k的Gram行列式 :
b
(f (x), g(x)) a f ( x )g( x )dx
证明: C[a,b]是欧氏空间.
b
f ( x ), g( x ), a f ( x )g( x )dx 是唯一确定实数
返回
1
f
,
g
b
a
( , ) H aibi i 1
则上式定义了一个内积,C n是酉空间.
返回
定义: 设1,L , n是酉空间V一组基,令aij ( i , j ),
则称矩阵A=(aij )为基1,L
,
的度量矩阵
n
,或Gram矩阵
.
定理:
设矩阵A=(aij
)为酉空间V的一组基1,L
,
的
n
度量矩阵,则
(1) AH A;
xi H Bx j ij .
返回
定理 6 设n n矩阵 A AH , B BH，且B正定，与B共扼 向量系x1 , x2 ,L , xn具有以下性质， （1） xi 0 ( i 1, 2,L ,n ) ; （2） x1 , x2 ,L , xn 线性无关 ; （3）i与xi满足方程Axi i Bxi ; （4）若令X ( x1 , x2 ,L , xn ) , X H BX E , X H AX diag( 1 , 2 ,L ,n )
定义 4 ( x, y) 0
向量 x和y正交,记为 x y
勾股定理： x y
|| x y ||2 || x ||2 || y ||2
垂线最短定理：欧氏空间Vn ( R) 中的一个固定向量 和一个子空间中各向量的距离“垂线最短”.
返回
定义5
n维欧氏空间V中向量1 ,2 ,L ,k的Gram行列式 :
b
(f (x), g(x)) a f ( x )g( x )dx
证明: C[a,b]是欧氏空间.
b
f ( x ), g( x ), a f ( x )g( x )dx 是唯一确定实数
返回
1
f
,
g
b
a
系统与控制中的矩阵理论(2)(1)
1. LMIs in Control, C. Scherer 2. 鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法，俞立
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
8
§1 向量范数
内积空间和酉空间：通过内积定义了向量的长度。 线性空间有“长度”？---->“范数”
若V 是实内积空间，x, y V为任意向量，a 为实数域 R 中任一 元素，则V 中向量的长度具有下列三个基本性质：
证明：(1)当 x 时，则 1,2, ,n 不全为零，从而
n
x 1
i 0;
i 1
(2) 对于任何 a C ，则Biblioteka nnax 1
ai
a
i
a
x; 1
i 1
i 1
(3) 若 y 1,2, ,n Cn 为任意向量，则
n
n
x y 1
i i
( i
i )
x 1
y
1
i 1
i 1
即三角不等式成立。
常见的向量范数
对于酉空间向量 x 1,2, ,n Cn
1-范数 2-范数 ∞-范数
n
x 1
i
i 1
n
x 2
i 2
i 1
p-范数
x
max
1in
i
1
x
p
n i1
i
p p
(1 p )
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
11
常见的向量范数
n
1-范数
x 1
i
i 1
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
12
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
8
§1 向量范数
内积空间和酉空间：通过内积定义了向量的长度。 线性空间有“长度”？---->“范数”
若V 是实内积空间，x, y V为任意向量，a 为实数域 R 中任一 元素，则V 中向量的长度具有下列三个基本性质：
证明：(1)当 x 时，则 1,2, ,n 不全为零，从而
n
x 1
i 0;
i 1
(2) 对于任何 a C ，则Biblioteka nnax 1
ai
a
i
a
x; 1
i 1
i 1
(3) 若 y 1,2, ,n Cn 为任意向量，则
n
n
x y 1
i i
( i
i )
x 1
y
1
i 1
i 1
即三角不等式成立。
常见的向量范数
对于酉空间向量 x 1,2, ,n Cn
1-范数 2-范数 ∞-范数
n
x 1
i
i 1
n
x 2
i 2
i 1
p-范数
x
max
1in
i
1
x
p
n i1
i
p p
(1 p )
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
11
常见的向量范数
n
1-范数
x 1
i
i 1
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
12
矩阵理论课件 第一章 线性空间与线性变换
a1n
a2n
ann
前述关系可以表示为 AT 或 T T A
则称矩阵 A 为基 到基 的过渡矩阵（唯一且可逆）
定义2 （坐标变换）
设x V L(P) ，向量 x 在 基 和基 下的
坐标之间的关系，称之为坐标变换。
坐标变换与过渡矩阵的关系：
设 x k1x1 k2 x2 kn xn 和 x t1 y1 t2 y2 tn yn
和 W W1 W2 为直和，记为 W W1 W2 。
例6 设 R4的3个子空间：
① V1 (a, b, 0, 0)T a, b R ② V2 (0,0,c, 0)T c R ③ V3 (0,d,e, 0)T d,e R
容易验证V1 是V2直和， V1 V3不,V是2 直 V和3。
事实上 不妨设简单基为 (III )e1, e2 , , en ( x1, x2 , , xn ) (e1, e2 , , en )C1 ( y1, y2 , , yn ) (e1, e2 , , en )C2
( x1, x2 , , xn )C11C2
C C11C2
例4 设线性空间P3[t] 的两个基为： (I ) f1(t) 1, f2(t) 1 t, f3(t) 1 t t 2,
表示，不妨记
y1 a11x1 a21x2
y2
a12 x1
a22 x2
yn a1n x1 a2n x2
称上述关系为两组基的基变换。
an1xn an2 xn
ann xn
x1
y1
a11 a12
若记
x2
,
y2
A
a21
a22
xn
yn
an1 an2
第一章矩阵理论(管理数学基础)课件
其中凡是幂次kij
0的一次因式幂（
-
）kij
j
均称为A的初等因子
（i=1, ,n;j=1, ,s; kij n）
ij
28
计算方法
法一:求的不变因子dk ()，再分解为( i )ki ,见14页1.12及1.13
Tn a1n1 amnm，
即：
a11
[T
1
T
n
]
[1
m
]
am1
a1n ，
amn
a11
a1n
记
A
，
am1
amn
则上式简记为T A，
称A为线性变换T 关于基、的一个矩阵表示（简称矩阵）。
10
思考：若映射为T : X X，X的维数为n， [1n ]
是X中的一组基，则T的矩阵表示应为：
（1）
16
在上式两边同乘以s得
k1s x1 kss xs 0，
（2）
因为Axi i xi (i 1，，s)，用A左乘(1)式得
k11x1 k x s1 s1 s1 kss xs 0， （3）
将(3)、(2)二式两边分别相减得
k1(1 s )x1 ks1(s1 s )xs1 0 由于x1，，xS1线性无关，且i s
变换（算子）：非空集合X 到Y的映射，记T：X Y
（若T：X X，则称T为X 上的变换。）
线性变换：满足线性性的变换：T ( x y) Tx Ty
（注：这里X 与Y为线性空间）
例3：考虑变换T：R2 R2，对任x R2，x (x1 x2 )T ，
Tx (x1，0)T ，则有：
T
(
(i 1，s 1)，故必有k1 ks1 0， 从而ks 0。即x1，
矩阵理论课件-第一章 线性代数引论
推论2 V中任意一个元素y, 均可由V的一个基底 x1, … , xn唯一表出.
坐标：
n
设 dim V=n, x1, , xn为一组基，y V , 令y= ai xi ,称 i 1
有序数组(a1, , an )T 为y在基x1, , xn下的坐标，它由 y与基x1, , xn唯一确定.
n
例如Pn(x)={ ai xi | ai R}为n+1维空间，1，x, ,xn可作为 i0
2 0 -2 1
注：实际上即
1
0
1 2
1 1
3 1
是标准基(1
,
2
,
3
,
4
)到
1
2
2
2
(1,2,3,4 )的过渡矩阵. 第二问也可用前面讲的公式.
四、子空间和维数定理
子空间：设V是数域F上的线性空间，W V，W非空， 若W中向量关于V的加法和数乘运算也构成F上的线性 空间，则称W为V的子空间.
例1 恒等变换 T：V V，Tx=x,x V. 零变换 T：V V，Tx=0,x V.
例2 伸缩变换：取定k 0,令 T： R3 R3， Tx=kx,x R3. T将R3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2）,x (x1, x2 )
令
cos
W1 W2不一定为子空间，例如两个坐标轴之并.
定理 3 设W1，W2为V的两个子空间，则
dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 dim(W1 W2 ).
直和：如果和空间W1 W2中的任一向量均可唯一的表成W1中 的一个向量和W2中的一个向量之和，则称W1 W2是W1与W2的 直和，记为W1 W（2 或W1 W2）.
坐标：
n
设 dim V=n, x1, , xn为一组基，y V , 令y= ai xi ,称 i 1
有序数组(a1, , an )T 为y在基x1, , xn下的坐标，它由 y与基x1, , xn唯一确定.
n
例如Pn(x)={ ai xi | ai R}为n+1维空间，1，x, ,xn可作为 i0
2 0 -2 1
注：实际上即
1
0
1 2
1 1
3 1
是标准基(1
,
2
,
3
,
4
)到
1
2
2
2
(1,2,3,4 )的过渡矩阵. 第二问也可用前面讲的公式.
四、子空间和维数定理
子空间：设V是数域F上的线性空间，W V，W非空， 若W中向量关于V的加法和数乘运算也构成F上的线性 空间，则称W为V的子空间.
例1 恒等变换 T：V V，Tx=x,x V. 零变换 T：V V，Tx=0,x V.
例2 伸缩变换：取定k 0,令 T： R3 R3， Tx=kx,x R3. T将R3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2）,x (x1, x2 )
令
cos
W1 W2不一定为子空间，例如两个坐标轴之并.
定理 3 设W1，W2为V的两个子空间，则
dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 dim(W1 W2 ).
直和：如果和空间W1 W2中的任一向量均可唯一的表成W1中 的一个向量和W2中的一个向量之和，则称W1 W2是W1与W2的 直和，记为W1 W（2 或W1 W2）.
博弈论简单支付矩阵课件
理性原则下，他们会写多少价格呢？
（4）、长街上的超市 （海滩占位模型）
0
1/4
A’ 1/2 B’
3/4
1
其它相似情形：旅行社的热门路线；黄金时间的电视节目
（5）狩猎
两个猎人围住一头鹿，各卡住两个关口中的一个，齐心协 力即可成功获得并平分猎物。此时有一群兔子跑过，任何一人去 抓兔子必可成功，但鹿会跑掉。
贡献主要在于通过实验室实验来测试根据经济学理 论而做出预测的未知或不确定性。是对以博弈论为 基础构建的理论模型进行实证证伪工作的一大创举 。
2005：奥曼（Aumann）、谢林（Schelling）
他们通过博弈理论分析增加了世人对合作与冲突的 理解。其理论模型应用在解释社会中不同性质的冲 突、贸易纠纷、价格之争以及寻求长期合作的模式 等经济学和其他社会科学领域。
博弈是一种竞合游戏。
SUCCESS
THANK YOU
2019/9/16
纳什的基本贡献是证明了非合作博弈均 衡解及其存在性，建立了作为博弈论基 础的“纳什均衡”概念；海萨尼则把不 完全信息纳入到博弈论方法体系中；泽 尔腾的贡献在于将博弈论由静态向动态 的扩展，建立了“子博弈精练纳什均衡” 的概念。
1996:莫里斯（James A.Mirrlees）和维克瑞（William Vickrey）
博弈四要素
• 1．博弈要有2个或2个以上的参与者 • 2．博弈要有参与各方争夺的资源或收益 • 3．参与者有自己能够选择的策略 • 4．参与者拥有一定量的信息
2、博弈论的诺贝尔经济学家
约翰·冯·诺依曼 博弈论之父，《博弈论和经济行为》
1994：纳什（Nash）、海萨尼（J.Harsanyi）、泽尔腾（R.Selten）
（4）、长街上的超市 （海滩占位模型）
0
1/4
A’ 1/2 B’
3/4
1
其它相似情形：旅行社的热门路线；黄金时间的电视节目
（5）狩猎
两个猎人围住一头鹿，各卡住两个关口中的一个，齐心协 力即可成功获得并平分猎物。此时有一群兔子跑过，任何一人去 抓兔子必可成功，但鹿会跑掉。
贡献主要在于通过实验室实验来测试根据经济学理 论而做出预测的未知或不确定性。是对以博弈论为 基础构建的理论模型进行实证证伪工作的一大创举 。
2005：奥曼（Aumann）、谢林（Schelling）
他们通过博弈理论分析增加了世人对合作与冲突的 理解。其理论模型应用在解释社会中不同性质的冲 突、贸易纠纷、价格之争以及寻求长期合作的模式 等经济学和其他社会科学领域。
博弈是一种竞合游戏。
SUCCESS
THANK YOU
2019/9/16
纳什的基本贡献是证明了非合作博弈均 衡解及其存在性，建立了作为博弈论基 础的“纳什均衡”概念；海萨尼则把不 完全信息纳入到博弈论方法体系中；泽 尔腾的贡献在于将博弈论由静态向动态 的扩展，建立了“子博弈精练纳什均衡” 的概念。
1996:莫里斯（James A.Mirrlees）和维克瑞（William Vickrey）
博弈四要素
• 1．博弈要有2个或2个以上的参与者 • 2．博弈要有参与各方争夺的资源或收益 • 3．参与者有自己能够选择的策略 • 4．参与者拥有一定量的信息
2、博弈论的诺贝尔经济学家
约翰·冯·诺依曼 博弈论之父，《博弈论和经济行为》
1994：纳什（Nash）、海萨尼（J.Harsanyi）、泽尔腾（R.Selten）
矩阵理论课件-第三章 矩阵的广义逆
注2：由定理2知
A In
I
m
初等变换
PAQ Q
P
Ir 0 Q
0 0
P
1 0 -1 1
例：设A=
0
2
2
2 ，求A{1}.
-1 4 5 3
解：由
A I4
I3 0
初等变换
I2 0 Q
0 0
P ，这里
0
1 0 1 1
1 0
P=
0
1/ 2
1 2
0 0 1
,
这里只是给出了A{1}的一个构造性描述,在使用上并不直接， 因为还要求出一个A(1).
推论2：方程组(1)相容的充要条件是AA(1)b b,且其通解为 x=A(1)b+(I-A(1)A) y, y Cn任意.
证明：定理1中，取D=b Cm,B=1即得.
注1:因为A+ A{1},故Ax=b相容时，通解为 x=A+b+(I-A+A) y, y Cn.
证明：由A的奇异值分解(r(A)=r),有A=V
Sr 0
0 0
U
H，其中
Sr diag{1, , r},i 0,U和V是酉阵.
令G=U
Sr1 0
AGA=V
Sr 0
0 0
VH
,
可以验证G满足方程1）-4）.如第1)3)方程
0 0
U
H
U
Sr1 0
0 0
VH
V
Sr 0
X=A(1) DB(1) +Y-A(1)AYBB(1).(2) 其中Y Cnq为任意.
证明：：若AA(1)DB(1)B D,令X=A(1)DB(1)则满足AXB=D. :若AXB=D有解,则D=AXB=AA(1) AXBB(1) B=AA(1) DB(1) B.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必要性：R( A) R( AH )uAuAuuuuuPuuRu(uAu)u,uAuuuAuuuuPuRu(uAuHuur) AA A A
返回
定理 4 设 A C mn，则有 (1) ( AH A) A ( AH ) ,( AAH ) ( AH ) A; (2) ( AH A) A ( AAH ) A AH ( AAH ) ( AH ); (3) AA ( AAH )( AAH ) ( AAH ) ( AAH );
返回
证:(1) r 0 A 0 A 0 (2) r 0 存在最大秩分解A BD,(B Crmr , D Crrn ) BH B Crrr , DDH Crrr G D1H4(2DD4H3)11(B4H2B)413BH
D的公式法构造的右逆 B的公式法构造的左逆
AGA A GAG G ( AG)H G H AH [DH (DDH )1(BH B)1 BH ]H (BD)H
A[( AAH ) ]H A A ( AAH ) A (3) AA A [ AH ( AAH ) ] ( AAH )( AAH ) (I )
返回
( AAH ) ( AAH ) (BDDH BH ) (BDDH BH ) BDDH (DDH BH BDDH )1(BH B)1 BH BDDH BH BDDH (DDH )1(BH B)1(DDH )1(BH B)1BH BDDH BH BDDH (DDH )1(BH B)1(DDH )1 DDH BH BD[DH (DDH )1(BH B)1 BH ]
A ABBH AH ABB
,
为Hermite矩阵
返回
B[(BH B)1]H [(DDH )1]H DDH BH
返回
( AG)H B[(BH B)1]H [(DDH )1]H DDH BH B[(BH B)H ]1[(DDH )H ]1 DDH BH B(BH B)1(DDH )1 DDH BH
B(BH B)1 BH BDDH (DDH )1(BH B)1 BH AG (GA)H AHG H DH BH B[(BH B)1]H [(DDH )1]H D DH BH B(BH B)1(DDH )1 D DH (DDH )1 D DH (DDH )1(BH B)1 BH BD GA G是A的M P广义逆矩阵A
A A ( AH A)( AH A) ( AH A) ( AH A).
证: (1) A BD是最大秩分解
A DH (DDH )1(BH B)1 BH
( AH A) (DH BH BD) { DH 1B44H2B4D43为AH A最大秩分解 uuB1uuuuuDu1uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru
( AH A) (BH BD)H (BH BDDH BH B)1(DDH )1 D 返回
DH BH B(BH B)1(DDH )1(BH B)1(DDH )1 D DH (DDH )1(BH B)1 BH B(BH B)1(DDH )1 D [DH (DDH )1(BH B)1 BH ][B(BH B)1(DDH )1 D] A ( AH ) (2) ( AH A) A ( AH ) A ( A )H A[ AH ( AAH ) ]H
返回
证:(2) A BD为最大秩分解 BH B, DDH可逆 ( A )T [DH (DDH )1(BH B)1 BH ]T
(BH )T [BT (BH )T ]1[(DH )T DT ]1(DH )T (BT )H [BT (BT )H ]1[(DT )H DT ]1(DT )H ( AT )
AA (II )
(I ),(II )
AA ( AAH ) ( AAH )
( AAH )( AAH )
返回
定理 5 设A C ml，B B) R(B),
R(
BB
H
AH
)
R( AH
).
A ABBH AH
B
BAH
AB
BBH AH AH AB.
,
5 M - P广义逆矩阵A+
定义 1 设 A C mn，如果有G C nm，使得 AGA A, GAG G, (GA)H GA,( AG)H AG,
则称G是A的M P广义逆矩阵，记为G A .
定理 1 设A Crmn, A BD是A的最大秩分解,则
G DH (DDH )1(BH B)1 BH 就是A的M P广义逆矩阵A .
最大秩分解
返回
uAuHuuAuuuuBu1uDuu1u;uuBuu1uuuDuuHuu,uDu1uuuuBuHuuBuuDuru
( AH A) AH [D1H (D1D1H )1(B1H B1)1B1H ](BD)H (BH BD)H [(BH BD)(BH BD)H ]1(DDH )1 D(BD)H DH BH B(BH BDDH BH B)1(DDH )1 DDH BH DH BH B(BH B)1(DDH )1(BH B)1(DDH )1 DDH BH
uRu(uAuuAuuu) uuuRu(uAuu)u, uRu(uAuuuAuu)uuuRu(uuAuu)u,uRuu(uAuuu) uuuRu(uAuuHuur)u AA =PR( A), A A PR( AH ) (6)充分性：AA =A A，A是A的自反广义逆矩阵
R( A) R( AA ) =R( A A) R( A ) R( AH )
(3) A BD为最大秩分解 AH A (BD)H BD
DH BH BD DH (BH BD) uBu1uuuDuuHuu,uDuu1uuuBuuHuBuuDur
AH A B1D1 rank( A) rank( AH A) r r rank(D) rank(B1)
rank(BH BD) rank(D1) AH A B1D1是AH A的
DH (DDH )1(BH B)1 BH A (4) A是A的自反广义逆 rank( A ) rank( A) rank( AH )uRu(uAuuu)uuuuRu(uAuuHuur) R( A ) R( AH )
返回
(5) A是A的自反广义逆 AA和A A是幂等矩阵 AA =PR( AA ) , A A PR( A A)
返回
定理 2 设 A C mn，则A是唯一的.
定理 3 设 A C mn，则有 (1) ( A ) A; (2) ( AT ) ( A )T ,( AH ) ( A )H ; (3) A ( AH A) AH AH ( AAH ); (4) R( A ) R( AH ); (5) AA PR( A), A A PR( AH ); (6) R( A) R( AH ) AA A A.
返回
定理 4 设 A C mn，则有 (1) ( AH A) A ( AH ) ,( AAH ) ( AH ) A; (2) ( AH A) A ( AAH ) A AH ( AAH ) ( AH ); (3) AA ( AAH )( AAH ) ( AAH ) ( AAH );
返回
证:(1) r 0 A 0 A 0 (2) r 0 存在最大秩分解A BD,(B Crmr , D Crrn ) BH B Crrr , DDH Crrr G D1H4(2DD4H3)11(B4H2B)413BH
D的公式法构造的右逆 B的公式法构造的左逆
AGA A GAG G ( AG)H G H AH [DH (DDH )1(BH B)1 BH ]H (BD)H
A[( AAH ) ]H A A ( AAH ) A (3) AA A [ AH ( AAH ) ] ( AAH )( AAH ) (I )
返回
( AAH ) ( AAH ) (BDDH BH ) (BDDH BH ) BDDH (DDH BH BDDH )1(BH B)1 BH BDDH BH BDDH (DDH )1(BH B)1(DDH )1(BH B)1BH BDDH BH BDDH (DDH )1(BH B)1(DDH )1 DDH BH BD[DH (DDH )1(BH B)1 BH ]
A ABBH AH ABB
,
为Hermite矩阵
返回
B[(BH B)1]H [(DDH )1]H DDH BH
返回
( AG)H B[(BH B)1]H [(DDH )1]H DDH BH B[(BH B)H ]1[(DDH )H ]1 DDH BH B(BH B)1(DDH )1 DDH BH
B(BH B)1 BH BDDH (DDH )1(BH B)1 BH AG (GA)H AHG H DH BH B[(BH B)1]H [(DDH )1]H D DH BH B(BH B)1(DDH )1 D DH (DDH )1 D DH (DDH )1(BH B)1 BH BD GA G是A的M P广义逆矩阵A
A A ( AH A)( AH A) ( AH A) ( AH A).
证: (1) A BD是最大秩分解
A DH (DDH )1(BH B)1 BH
( AH A) (DH BH BD) { DH 1B44H2B4D43为AH A最大秩分解 uuB1uuuuuDu1uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru
( AH A) (BH BD)H (BH BDDH BH B)1(DDH )1 D 返回
DH BH B(BH B)1(DDH )1(BH B)1(DDH )1 D DH (DDH )1(BH B)1 BH B(BH B)1(DDH )1 D [DH (DDH )1(BH B)1 BH ][B(BH B)1(DDH )1 D] A ( AH ) (2) ( AH A) A ( AH ) A ( A )H A[ AH ( AAH ) ]H
返回
证:(2) A BD为最大秩分解 BH B, DDH可逆 ( A )T [DH (DDH )1(BH B)1 BH ]T
(BH )T [BT (BH )T ]1[(DH )T DT ]1(DH )T (BT )H [BT (BT )H ]1[(DT )H DT ]1(DT )H ( AT )
AA (II )
(I ),(II )
AA ( AAH ) ( AAH )
( AAH )( AAH )
返回
定理 5 设A C ml，B B) R(B),
R(
BB
H
AH
)
R( AH
).
A ABBH AH
B
BAH
AB
BBH AH AH AB.
,
5 M - P广义逆矩阵A+
定义 1 设 A C mn，如果有G C nm，使得 AGA A, GAG G, (GA)H GA,( AG)H AG,
则称G是A的M P广义逆矩阵，记为G A .
定理 1 设A Crmn, A BD是A的最大秩分解,则
G DH (DDH )1(BH B)1 BH 就是A的M P广义逆矩阵A .
最大秩分解
返回
uAuHuuAuuuuBu1uDuu1u;uuBuu1uuuDuuHuu,uDu1uuuuBuHuuBuuDuru
( AH A) AH [D1H (D1D1H )1(B1H B1)1B1H ](BD)H (BH BD)H [(BH BD)(BH BD)H ]1(DDH )1 D(BD)H DH BH B(BH BDDH BH B)1(DDH )1 DDH BH DH BH B(BH B)1(DDH )1(BH B)1(DDH )1 DDH BH
uRu(uAuuAuuu) uuuRu(uAuu)u, uRu(uAuuuAuu)uuuRu(uuAuu)u,uRuu(uAuuu) uuuRu(uAuuHuur)u AA =PR( A), A A PR( AH ) (6)充分性：AA =A A，A是A的自反广义逆矩阵
R( A) R( AA ) =R( A A) R( A ) R( AH )
(3) A BD为最大秩分解 AH A (BD)H BD
DH BH BD DH (BH BD) uBu1uuuDuuHuu,uDuu1uuuBuuHuBuuDur
AH A B1D1 rank( A) rank( AH A) r r rank(D) rank(B1)
rank(BH BD) rank(D1) AH A B1D1是AH A的
DH (DDH )1(BH B)1 BH A (4) A是A的自反广义逆 rank( A ) rank( A) rank( AH )uRu(uAuuu)uuuuRu(uAuuHuur) R( A ) R( AH )
返回
(5) A是A的自反广义逆 AA和A A是幂等矩阵 AA =PR( AA ) , A A PR( A A)
返回
定理 2 设 A C mn，则A是唯一的.
定理 3 设 A C mn，则有 (1) ( A ) A; (2) ( AT ) ( A )T ,( AH ) ( A )H ; (3) A ( AH A) AH AH ( AAH ); (4) R( A ) R( AH ); (5) AA PR( A), A A PR( AH ); (6) R( A) R( AH ) AA A A.