第二章 流体静力学
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第二章流体静力学
dy → 0, p y = pS 当四面体向A点收缩时，
同理 px = pz = pS
§2.2静力学基本方程（Euler静平衡方程）：
取一个矩形微元六面体，其六个面分别与 坐标轴平行，设微元中心处的压强为 p。 由于 这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各 自均匀分布，常用面上中心来做代表。
而面上中心处的压强又可以围绕六面体 中心做Taylor展开。展开式忽略二阶以上 的高阶量，有
1 ⎞ ⎛ p A = p⎜ x + dx ⎟ 2 ⎠ ⎝
p A = p + 0.5(∂p ∂x )dx
p B = p − 0.5(∂p ∂x )dx
这样，垂直于x轴的两个面上的表面力分 别为
[ p + 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz [ p − 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz
§2.3重力作用下静止流体内部的压强分布 [均匀液体的压强分布] 根据Euler静平衡方程 可以得到：
p = p0 + γh
第一部分是自由面上的压强，第二部分称 为剩余压强。
p = p0 + γh = γ ( p0 γ + h )
这种做法，称为虚水面方法。
[连通器] （ 1 ）同种液体，表面自由压强相等。则两液面 等高，任一等高度的面上均为等压面。 （ 2 ）同种液体，但表面自由压强不等。则自由 压强大者，液面低。 （3）不同液体（不相混）。密度大者液面低。
F = ∫ ρf dV
V
2、表面力——一个流体体积的表面上，受 到其他部分的流体或与之相接的固体的 作用力。这种力，只是作用在体积的表 面上而没有作用到体积内部的流体质点 上。 通常可以把表面力分解为法向的和 切向的分量，分别称为法向力和切向力。 单位面积上则称为法向应力和切应力。
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
流体力学第二章流体静力学
第二章 流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
第二章 流体静力学
工程实际：堤坝、闸门、桥墩 研究目标：合力的大小、方向、作用点 计算方法：解析法和图解法
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
第二章.流体静力学
p0
14
水静力学基本方程：
p p0 gh
结论：重力作用下的均质流体有 1）静水压强随深度按线性规律增加。
A
1 2
A h
h
2）静水压强等于表面压强加上流体的g与该点淹没深度的乘积。
3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的 同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。(例A—A) 4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的 压强值。
三、面积力
1、面积力（Surface Force）：又称表面力，是相邻流体或其它物体 在隔离体表面上的直接施加的接触力。它的大小与作用面面 积成正比。 表面力按作用方向可分为：
5
压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2、应力：单位面积上的表面力，单位： N/m2 或 Pa
压应力 切应力
p lim P A0 A
c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态。 真空值pv
P
1
pν pa pabs
真空高度
( pabs pa )
0'
p1
p2
pabs1
0' 相对压强基准
2
hv
pv g
pa pabs g
pa
0
pabs2
绝对压强基准 0
注意：计算时无特殊说明时均采用相对压强计算。
pn py F
A
B
px O pz
D
C
x
类似地有：
y
n为斜面ABC的法线方向
质量力：
px p y pz pn
故与作用面的方位无关。
由∑X=0
第二章-流体静力学
第⼆章-流体静⼒学⼀、学习导引1、流体静⽌的⼀般⽅程（1）流体静⽌微分⽅程x p f x ??=ρ1，y p f y ??=ρ1，zpf z ??=ρ1 （2）压强微分)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ（3）等压⾯微分⽅程0=++dz f dy f dx f z y x2、液体的压强分布重⼒场中，液体的位置⽔头与压强⽔头之和等于常数，即C pz =+γ如果液⾯的压强为0p ，则液⾯下深度为h 处的压强为h p p γ+=03、固体壁⾯受到的静⽌液体的总压⼒物体受到的⼤⽓压的合⼒为0。
计算静⽌液体对物⾯的总压⼒时，只需考虑⼤⽓压强的作⽤。
（1）平⾯壁总压⼒：A h P c γ= 压⼒中⼼Ay J y y c cc D += 式中，坐标y 从液⾯起算；下标D 表⽰合⼒作⽤点；C 表⽰形⼼。
（2）曲⾯壁总压⼒：222z y x F F F F ++=分⼒：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=4、难点分析（1）连通器内不同液体的压强传递流体静⼒学基本⽅程式的两种表达形式为C pz =+γ和h p p γ+=0。
需要注意的是这两个公式只适⽤于同⼀液体，如果连通器⾥⾯由若⼲种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。
（2）平⾯壁的压⼒中⼼压⼒中⼼的坐标可按式Ay J y y c cc D +=计算，⾯积惯性矩c J 可查表，计算⼀般较为复杂。
求压⼒中⼼的⽬的是求合⼒矩，如果⽤积分法，计算往往还简便些。
（3）复杂曲⾯的压⼒体压⼒体是这样⼀部分空间体积：即以受压曲⾯为底，过受压曲⾯的周界，向相对压强为零的⾯或其延伸⾯引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的⾯或其延伸⾯上的投影⾯为顶所围成的空间体积。
压⼒体内不⼀定有液体。
正确绘制压⼒体，可以很⽅便地算出铅垂⽅向的总压⼒。
（4）旋转容器内液体的相对静⽌液体随容器作等⾓速度旋转时，压强分布及⾃由⾯的⽅程式为c z gr p +-=)2(22ωγc gr z +=2220ω恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。
第二章流体静力学
当四面体的体积趋于零时，可证得px= py=pz=pn
即
p=p(x,y,z)
§2-2 流体的平衡微分方程及积分
一、流体的平衡微分方程
在平衡流体中取如图所示微小正交六面体。分析六面
体在x、y、z方向所受外力，列平衡方程，整理化简得
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
1 p
fz z 0
上式也可用矢量方程表示：
虚压力体：压力体和液体在受压曲面的异侧， Pz向上。
A
A
B
B
例4：试绘制图中abc曲面上的压力体。如已知曲面abc为半圆 柱面，宽度为1m，d=3m，试求abc柱面所受静水压力的水平分 力Px和竖直分力Pz 。
a
d d/2
b 水
水 c
[解] 因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。
考虑左侧水的作用
故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）
dp ( f xdx f ydy f z dz)
四.等压面
1.定义： p=C或dp=0的平面或曲面。
2.等压面微分方程
f xdx f y dy f z dz 0
或
f•
ds
0
3.等压面的性质
(1)等压面与等势面重合;
(2)等压面恒与质量力正交。
其作用点为通过体积重心所引出的水平线与受压面的交点D。 当相对压强分布图为三角形时，D点位于自由液面下(2h)/3处。
对于相对压强分布图为梯形情况，可将其分解成三角形和矩 形两部分进行计算后，最后利用合力矩定理求总压力作用点。
例3.铅垂放置的矩形平板闸门，面板后布置三根横梁,各横梁受 力相等,已知闸门上游水头H=4m，试求： （1）每根横梁所受静水总压力的大小； （2）各横梁至水面的距离。
流体力学--第二章流体静力学
1 Px p x dydz 2
1 Py p y dxdz 2
1 P p dA Pz pz dydx 2 Y 设 X 、 、Z 分别为沿三个坐标轴方向上的单位
质量力，则沿三个方向上的质量力分别为：
1 1 1 Fx X dxdydz Fy Y dxdydz Fz Z dxdydz 6 6 6
Fx 0, p x
其中
1 dA cos(n, x) dydz 2 1 dA cos(n, y ) dzdx 2 1 dA cos(n, z ) dydx 2
px p y pz p
结论
由于斜平面ABC的方位是任意的，上式即证明 了在同一点处各个方向上的静压强值是相等 的。
pn
静压强
p
α
pt
图2－2
切向压强
假 设： 在静止流体中，流体静压强方向不与作用面 相垂直，与作用面的切线方向成α角 则存在
切向压强pt
法向压强pn
流体流动
与假设静止流体相矛盾
A
B
C
D
E
F
（2）静压强的各向等值性：静止流体内任意一点处 沿各个方向上的静压强大小相等，即
px p y pz p
dA
dAz
dAx
b
z
dA
微小面积上的微压力
dP ghdA
水平总压力
分解
dPx dp cos ghdA cos
dPz dp sin ghdA sin
Px dPx ghdA cos g hdAx ghC Ax
2 2
y
o
A g
x
1 Py p y dxdz 2
1 P p dA Pz pz dydx 2 Y 设 X 、 、Z 分别为沿三个坐标轴方向上的单位
质量力，则沿三个方向上的质量力分别为：
1 1 1 Fx X dxdydz Fy Y dxdydz Fz Z dxdydz 6 6 6
Fx 0, p x
其中
1 dA cos(n, x) dydz 2 1 dA cos(n, y ) dzdx 2 1 dA cos(n, z ) dydx 2
px p y pz p
结论
由于斜平面ABC的方位是任意的，上式即证明 了在同一点处各个方向上的静压强值是相等 的。
pn
静压强
p
α
pt
图2－2
切向压强
假 设： 在静止流体中，流体静压强方向不与作用面 相垂直，与作用面的切线方向成α角 则存在
切向压强pt
法向压强pn
流体流动
与假设静止流体相矛盾
A
B
C
D
E
F
（2）静压强的各向等值性：静止流体内任意一点处 沿各个方向上的静压强大小相等，即
px p y pz p
dA
dAz
dAx
b
z
dA
微小面积上的微压力
dP ghdA
水平总压力
分解
dPx dp cos ghdA cos
dPz dp sin ghdA sin
Px dPx ghdA cos g hdAx ghC Ax
2 2
y
o
A g
x
第二章 流体静力学
A
P P A
P dp P lim A0 A dA
流体静压力和流体静压强都是压力的一种度量，它们的区 别仅在于前者是作用在某一面积上的总压力，而后者是作 用在某一面积上的平均压力或某一点的压强。
§2.1 流体静压强及其特性
2.1.2 流体静压强的特性 特性一：流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向。
1
第二章 流体静力学
§2.1 流体静压强及其特性
§2.2 重力场中流体的平衡 §2.3 压强的计算基准和度量单位
§2.4 液柱式测压计
§2.5 静止液体作用在固体壁面上的总压力 §2.6 流体平衡微分方程
§2.7 液体的相对平衡
§2.1 流体静压强及其特性
2.1.1 流体静压强 当流体静止或者相对静止时，流体的压强称为流体的静压强。
2.2.3 液体静压强分布图
p p0 gh
1.ρgh部分的绘制
P0
D
A
= gh 设 P＇
’ 对于A点： P A = ghA 0
’ 对于B点： PB = ghB
P
E
C
2. P0部分的绘制
P 0
ghB
B
PB P 0 ghB
h
根据静压强等值传递规律，P0部分等值的传递到 受压面任意点上去。
如果A、B两处为同种液体：
A B
pA pB g (h2 h1 ) g gh3
1-2为 等压面
如果A、B两处为同种气体：
pA pB g gh3
§2.4 液柱式压差计
2.4.3 倾斜式微压计
h l sin
p ＇g (h h)
A1 h A2l
流体力学第二章流体静力学
2.2.2 流体平衡微分方程的积分
各式分别乘以dx、dy、dz然后相加
dp ( Xdx Ydy Zdz ) 流体平衡微分方程的综合式
静压强的分布规律完全由单位质量力决定
p gz c
由边界条件确定积分常数c，可得：
p c z g g p z C g
一封闭水箱，自由表上 面气体绝对压强
2 p 0为78kN/m ， 求 液 面 下 淹 没 深 度 h为 1.5m
处 点 C的 绝 对 静 水 压 强 ， 相对 静 水 压 强 和 真 空 度 。
解：p
abs
p 0 γ w h 78 9.8 1.5
92.7kN/m
2
pr pa b s pa t
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
2.3.3 流体静力学基本方程的意义
•
在静水压强分布公式 z p C 中，各项都为长度量纲。
位置水头（水头） ： Z 位置势能（位能）： Z
法向应力沿内法线方向，即受压的方向
（流体不能受拉），即：流体静压强的方 向总是垂直指向受压面。
•
静压强的大小与作用面的方向无关
在静止流体中取出以M 为顶点的四面体流体微元，它受到的
质量力和表面力必是平衡的，以 y 方向为例，写出平衡方程。
p y d Ay pn d An cos(n, y) Y d V 0
时，注意到质量力比起表面 力为高阶无穷小，即得 pn=py，同理有 pn=px，pn=pz
o
z
py
dz
px pn
第二章 流体静力学
2、作用于六面体的质量力 x轴向
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式 （欧拉平衡方程）
第二节 流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可 压缩气体仍然适用。 由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气 柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、 锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。 流体静压强总是沿着作用面 的内法线方向。 （2）静压强的各向等值性。 在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与 作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个 方向的流体静压强大小相等。
第一节 流体静压强及其特性
第七节 液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于 流体上的质量力与压强递增率之间 的关系。它表示单位体积质量力在 某一轴的分力，与压强沿该轴的递 增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相 接的管子。 两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有 各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节 流体静压强的分布规律
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式 （欧拉平衡方程）
第二节 流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可 压缩气体仍然适用。 由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气 柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、 锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。 流体静压强总是沿着作用面 的内法线方向。 （2）静压强的各向等值性。 在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与 作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个 方向的流体静压强大小相等。
第一节 流体静压强及其特性
第七节 液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于 流体上的质量力与压强递增率之间 的关系。它表示单位体积质量力在 某一轴的分力，与压强沿该轴的递 增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相 接的管子。 两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有 各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节 流体静压强的分布规律
第二章 流体静力学
分别沿 x、y、z 三个方向建立力的平衡关系：
px
B dy o dz pn
n pz
x方向合外力＝质量×质量力（x方向）
C
· P
dx A
x
1 1 p x dydz pn ds cos( n, x) dxdydz f x 2 6
z
py
3
第二章 流体静力学
方程左端等于：
1 1 p x dydz pn dydz 2 2
24
第二章 流体静力学
§2-5 压强测量
一、压强的计量： • 以真空为压强参考值计量的压强称为绝对压强，以 p 来 表示 • 以大气压 pa 为参考压强，高出大气压部分的压强称为相 对压强 pe= p-pa
• 以大气压 pa 为参考压强，不足大气压部分的压强称为真 空压强(真空度) pv= pa-p
解：容器内水面上任一 点和玻璃管底部压力差 为ρgh，有
p0 gh pa
pa用1个工程大气压强计。所 以p0 为
p0 pa gh 981000 1000 9.811.5 83385 N / m2
13
第二章 流体静力学
等压面方程还可写为：
1 f ds dp 0
其中：
f f xi f y j f z k
为质量力向量。
ds dxi dyj dzk 为等压面上的任一线矢
上式表明：等压面处处与质量力相正交。
14
第二章 流体静力学
g z2 z2 p2 p1 exp RT0
如果温度随高度呈线性变化，令
T T0 z
α为常数，式2-3积分为
T0 z p p0 T 0
第二章 流体静力学
A 与 Az 之间的 柱体体积。
Pz A hdAz V
结论：
静止液体作用在曲面上的总压力的垂向分量的大
小等于压力体中装满此种液体的重量。
zy
x
Az
Vp
h
Pz
Px
Ax
A
n
总压力垂向 分量的方向根 据情况判断。
三、压力体
压力体 是一个纯数学的概念，是一个由积分式所确定 的纯几何体，与这个体积内是否充满液体无关。
二 表面力
与表面面积有关而且分布作用在流体表面上的力称为表面力。 表面力是由与分离体相接触的其它物体的作用产生的针对流体的 作用力。
表面力按其作用方向可分为两种：沿表面内法线方向的压力 和沿表面切向的摩擦力。对于处于平衡状态的流体，切向摩擦力 为零，只有沿受压面内法线方向的流体静压力。
三 流体静压强及其特性
静力奇象
• 只要平面的面积和形心处的淹深
相同，则平板所受到的静水压力也
相同。
h
例 某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门（见图），倾角为600，门宽b为4m， 门长L为6m，门顶在水面下淹没深度h1为10m，若不计闸门自重时，问沿斜面拖动闸 门所需的拉力T为多少（已知闸门与门槽之间摩擦系数f为0.25）？门上静水总压力的作 用点在哪里？
这就是不可压缩流体的静压强分布规律。
流体静压强基本方程式表明：
（1）重力作用下的静止液体中，任一点的静压强可以由自由表面上的 压强通过静力学基本方程式得到，用它可以求静止液体中任一点的静压 强值。 （2）静止液体自由表面上的表面压力均匀传递到液体内各点（这就 是著名的帕斯卡定律，如水压机、油压千斤顶等机械就是应用这个 定律制成的）。
•x 方向水平力的大小
Pz A hdAz V
结论：
静止液体作用在曲面上的总压力的垂向分量的大
小等于压力体中装满此种液体的重量。
zy
x
Az
Vp
h
Pz
Px
Ax
A
n
总压力垂向 分量的方向根 据情况判断。
三、压力体
压力体 是一个纯数学的概念，是一个由积分式所确定 的纯几何体，与这个体积内是否充满液体无关。
二 表面力
与表面面积有关而且分布作用在流体表面上的力称为表面力。 表面力是由与分离体相接触的其它物体的作用产生的针对流体的 作用力。
表面力按其作用方向可分为两种：沿表面内法线方向的压力 和沿表面切向的摩擦力。对于处于平衡状态的流体，切向摩擦力 为零，只有沿受压面内法线方向的流体静压力。
三 流体静压强及其特性
静力奇象
• 只要平面的面积和形心处的淹深
相同，则平板所受到的静水压力也
相同。
h
例 某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门（见图），倾角为600，门宽b为4m， 门长L为6m，门顶在水面下淹没深度h1为10m，若不计闸门自重时，问沿斜面拖动闸 门所需的拉力T为多少（已知闸门与门槽之间摩擦系数f为0.25）？门上静水总压力的作 用点在哪里？
这就是不可压缩流体的静压强分布规律。
流体静压强基本方程式表明：
（1）重力作用下的静止液体中，任一点的静压强可以由自由表面上的 压强通过静力学基本方程式得到，用它可以求静止液体中任一点的静压 强值。 （2）静止液体自由表面上的表面压力均匀传递到液体内各点（这就 是著名的帕斯卡定律，如水压机、油压千斤顶等机械就是应用这个 定律制成的）。
•x 方向水平力的大小
第二章—流体静力学
单位换算关系
应力单位法 液柱高度法 液柱高度法
大气压倍数法 大气压倍数法
帕
pa
1pa=1N/m2
米水柱
1mH2O=9.8103pa
mH2O
毫米汞柱
1mmHg=13.6mmH2O
mmHg =133.3pa
标准大气压
1atm=10.3323mH2O=
atm 760mmHg=101325pa 工程大气压 at 1at=10mH2O=735.6
作业
附加例： 静止大气的压强分布 国际标准大气 Z
dp ( fxdx f ydy fzdz)
dp gdz
O
对流层的压强分布
T T0 z
T0 288K 0.0065K / m
p RT
p dp
g z dz
p p0
R 0 T0 z
p
(1
g
z) R
(1
z
)5.2565
p0
T0
exp
g R T1
(z
z1 )
exp(
z
11000) 6336
六. 静止液体作用在平面壁和曲面 壁上的总压力
o
hD hc P h a
c
D
力三要素？
b
a
c
y
大小， 方向，
y
b
D dA
yc
x
作用点（压
y’
yD
力中心）
x’
P dP pdA ghdA (gysin)dA = pcA
A
A
A
PA-PB= 2 g(z2-z1+z4-z3) - 1 g(z2-z3)= P1-P4
A、B中为液体时： P1 = PA +A g(zA-z1)
第二章 流体静力学
1 1 p x dydz pn dSn cos(n, x) f x dxdydz 0 2 6 1 化简得
p x pn
p x pn
6
f x dx 0
同理，在y和z方向得到
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
说明： （1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各 向静压强大小相等。 （2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则 由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。 （3）运动流体是理想流体时，由于不会产生切应力，所以 理想流体动压强呈静压强分布特性，即
1标准大气压(atm)=101337 Pa=10.33mH2O=760mmHg
1工程大气压(at)=98100 Pa=10mH2O=735mmHg
各种压力单位的换算关系
标准大压 帕(Pa) 米水柱 毫米水银 柱 mmHg
760 750.06 735.58
atm
1 0.9869 0.9679
N/m2
p p0 (ax gz)
等压面方程： 自由液面方程：
ax gz c
ax gz 0
二、等角速度旋转容器中液体的平衡
流体对平面的作用力
dF pdA ( p0 gh)dA p0 dA gy sin dA
F dF ( p0 gy sin )dA
1 p 0 x
fx
同理， f 1 p 0 y
y
fz
1 p 0 z
1 p fx 0 x 1 p fy 0 dp ( f x dx f y dy f z dz) y 1 p fz 0 z
p x pn
p x pn
6
f x dx 0
同理，在y和z方向得到
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
说明： （1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各 向静压强大小相等。 （2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则 由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。 （3）运动流体是理想流体时，由于不会产生切应力，所以 理想流体动压强呈静压强分布特性，即
1标准大气压(atm)=101337 Pa=10.33mH2O=760mmHg
1工程大气压(at)=98100 Pa=10mH2O=735mmHg
各种压力单位的换算关系
标准大压 帕(Pa) 米水柱 毫米水银 柱 mmHg
760 750.06 735.58
atm
1 0.9869 0.9679
N/m2
p p0 (ax gz)
等压面方程： 自由液面方程：
ax gz c
ax gz 0
二、等角速度旋转容器中液体的平衡
流体对平面的作用力
dF pdA ( p0 gh)dA p0 dA gy sin dA
F dF ( p0 gy sin )dA
1 p 0 x
fx
同理， f 1 p 0 y
y
fz
1 p 0 z
1 p fx 0 x 1 p fy 0 dp ( f x dx f y dy f z dz) y 1 p fz 0 z
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表面力具有传递性
3
工程流体力学
二、静压力的两个重要特性
• 流体静止时，τ=0；只能承受压应力，即 压强，其方向与作用面垂直，并指向流体 内部。
• 特性1（方向性）：平衡流体中的应力 p⊥→受压面。
• 特性2（大小性）：平衡流体内任一点的压 强p与作用方位无关,即 p =f(x,y,z)。
4
工程流体力学
工程流体力学
第二章 流体静力学
流体静力学是研究流体在静止状态下的 力学规律，包括压强的分布规律和固体壁面 所受到的液体总压力。
1
工程流体力学
第一节 流体静压力及其特性
一、流体静压力：
1、总压力P ：静止流体与容器壁之间、内部相邻 两部分流体之间的作用力。单位“牛”
2、静压力：单位面积上的总压力。即压强。
26
工程流体力学
（1）、测压管
测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细 现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃 管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上 端开口与大气相通，如图所示。
测压管只适用于测量较小的压强， 一般不超过19.6MPa，相当于 2mH2O。如果被测压强较高，则 需加长测压管的长度，使用就很不 方便。此外，测压管中的工作介质 就是被测容器中的流体，所以测压 管只能用于测量液体的压强。
例2-6、油罐深度测定，如图所示。已知h1=60cm， △h1=25cm， △h2=30cm，油的相对密度d油=0.9。求h2。
解析：这是由三个以上的容器组成的连通器
1、找出共有等压面。n-n , m-m
2、以A点为计算起点，B点为计算终点，
计算路线如图箭头所示。
3、列连通器平衡方程
n
0 Hg gh1 油g(h2 h1) Hg gh2 0
证明：静止流体中任意一点的各个方向的压强值都相等。
Px pxdydz / 2 Py pydxdz / 2 Pz pzdxdy / 2 Pn pnSDBC
Fx 0 Px Pn cos(n x) Fx 0
px py pz pn
px
1 2
dydz
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工程流体力学
Pa
U
ρ1 M
形 水
p
h2
h1
等压面
银
1
2
测
压
ρ
计
P>Pa
28
工程流体力学
29
工程流体力学
组合水银测压计
p表
pa gh3 1gh2 gh2 1gh1 1gh1 gh
30
工程流体力学
（2）比压计（压差计）
它和水银计原理相同，只是将测压管接在 不同的两个测点上，用来比较两点的压力 差。 ➢当所测压力较小时 ， 常将两根简单的测压管 分别接到测压点上。
21
工程流体力学
例2-4
• 某地层压力为1.96*104kpa，深度1300m，计算 将井钻至该地层时，防止井喷的泥浆相对密度。
解：相对密度的概念
d泥
泥 水
p 泥 gh d泥 水 gh
p
h
1300
d泥 水 g
计算时注意单位换算，d不要13出010.错961。001007 9.8 1.54
0.968
0.981
10
735.6
14.22
10.13×104 1.033
1
1.013
10.33
760
14.69
10.00×104 1.02
0.987
1
10.2
750.2
14.50
0.686×104 0.07
0.068
0.0686
0.703
51.71
1
9
工程流体力学
第二节 流体静平衡微分方程
一、流体静平衡微分方程的建立
在静止状态流体中取出以A为中心的微小平行六面体。
1、作用于六面体各表面的表面力
中心点A的压力为p，则边界面
z
中心点的压力p1、p2用泰勒级数
展开。
p
p p dx x 2
x 为压力沿x方向的变化率，称为
压力梯度
o
dz
A N dx
dy
p p dx x 2
M
y
表面力： P右
p 1 p dx dydz 2 x
p2 pB B gh2 gh
pA pB B gh2 gh A g(h1 h)
34
工程流体力学
组合管水银测压计
例 用双Ｕ形管测压计测量两点的压强差，
z 表示该点到基准面的高度称为位置水头。 p 测压管液面到该点的高度，压力水头。
g
z p 测压管液面到基准面的高度，测压管水头。
g
z p C
g
在各点的测压管水头必然相等。 当p0=0时，测压管液面和容器液面在 同一水平面。
18
工程流体力学
2、静压力分布图
• 用一定比例的线段长度（表示静压力大 小），用箭头表示静压力方向。
22
工程流体力学
五、连通器内液体的平衡
• 连通器是指两个或两个以上相互连通的容器 • 注意区别：等压面并不等同于水平面。
➢单个容器等压面的条件是：静止液体 的同一水平面；
➢多个容器底部连通，共有等压面的条 件为：同一连续静止液体的同一水平 面。
23
工程流体力学
• 已知一个容器的压力及深度，计算与其相通的另 一个容器某一深度处的压力p
p0 h1
A
△h1
以下略，计算过程详见课本
h2
B
解题关键在于划分共有等压
△h2
面，再确定计算起点、终点、 m
计算路线，最后列方程求解。
25
工程流体力学
2、连通管平衡原理在工程实际中的应用
1）液位计(a)
2）密度计(b)
2 (h1 h2 )1
3）液压计
根据连通器原理，利用液柱高度来测量 液体压强的。特点为结构简单、使用方便，准 确度较高。
4、液体间任意两点间压力差等于两点间的液柱高度产生的压力。
16
工程流体力学
二、水静力学基本方程式的物理意义
z p C
比势能
g
比位能
z (mgz) /(mg)
h p /(g)
比压能
总结：静止状态下 单位重量液体所具 有的势能守恒
17
工程流体力学
三、水静力学基本方程的几何意义
单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度 来表示，并称为水头。
流体平衡微分方程的物理意义： 在静止的流体中，当微元六面体以a点
为极限时，作用在该点单位质量流体上的 质量力与静压强的合力相平衡。
适用范围：不可压缩流体和可压缩流体的静止和 相对静止状态都适用。
欧拉方程的应用： 1、力的势函数 2、等势面
12
工程流体力学
1.力的势函数
将欧拉平衡方程分别乘以dx、dy、dz，并相加
0
2 x
2 x
用dx、dy、dz除以上式，并化简得
X 1 p 0
x
同理
Y 1 p 0
y Z 1 p 0
z
p p dx x 2
o x
dz
NA dy dx
p p dx x 2
M
y
——欧拉平衡微分方程（1755）
11
工程流体力学
Ps：以后我们说的压力，就是说的压强。而以前 意义上的压力，称为“作用力”
2
工程流体力学
应力
lim F
A0 A
内法线方向：
法向应力——压强
p lim Fn A0 A
切线方向：
切向应力——剪切力
lim F A0 A
ΔFn ΔF
ΔA ΔFτ
静止流体没有切 应力，只有法向力。
压强的单位及其换算表
帕
工程大气压 标准大气压
巴
米水柱
毫米水柱 磅/英寸 2
(Pa)
(kgf/cm2)
(atm)
(bar)
(mH2O)
(mmHg) (lbf/in2)
1
0.102×10-4 0.0987×10-4 0.100×10-4 1.02×10-4 75.03×10-4 1.45×10-4
9.8×104 1
dx
U y
dy
U z
dz
dU
dp
——将上式积分，可得流体静压强分布规律
U X x
ห้องสมุดไป่ตู้ Y y
U Z z
——力与势函数的关系
13
工程流体力学
结论：
流体只有在有势的质量力作用 下才能保持平衡。
14
工程流体力学
2.等压面： p =常数或dp =0的面
Xdx Ydy Zdz 0 ——广义平衡下的等压面方程
解：作等压面
pA ga ' gh
pA 'h ag
思考：求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为 ρ’的水）
33
工程流体力学
连通管的实际应用：U形管压差计
用于测量两个容器或同一容器（如管道）流体中不同位 置两点的压强差。
在等势面上p2＝p1
p1 pA A g(h1 h)
p1 gh1 1gh gh2 p2
31
工程流体力学
➢当所测压差较大时，将U型管内装以水银， U型管的两端与测点相连。
p2 p1 gh1 Hg gh gh2