第二章 流体静力学

0.968
0.981
10
735.6
14.22
10.13×104 1.033
1
1.013
10.33
760
14.69
10.00×104 1.02
0.987
1
10.2
750.2
14.50
0.686×104 0.07
0.068
0.0686
0.703
51.71
1
9
工程流体力学
第二节 流体静平衡微分方程
一、流体静平衡微分方程的建立
等压面性质： • 等压面就是等势面 • 等压面与质量力垂直 •两种互不掺混液体的分界面也是等压面
15
工程流体力学
第三节 水静力学基本方程式
一、基本方程式：
p0
p p0 gh
h1 h2
h
p1 p0 gh1
p2 p0 gh2
1、液体内压力由液面压力和液柱自身产生的重力两部分组成。 2、p与h成正比 3、液面压力p0的变化，会引起液体内部所有质点上的压力相应 变化（帕斯卡定律）
• 解题思路：找出共有等压面，然后使用水静力学 基本方程.
p02 p01 i ghi
这是连通器压力平衡方程式，是水静力学基 本方程式在连通器中的推广。解决问题的关键在 于找出两种液体的分界面（共有等压面）。
注意：从计算起点到计算终点中，箭头 向下取 “+” ，箭头向上取“-”。
24
工程流体力学
证明：静止流体中任意一点的各个方向的压强值都相等。
Px pxdydz / 2 Py pydxdz / 2 Pz pzdxdy / 2 Pn pnSDBC
Fx 0 Px Pn cos(n x) Fx 0
px py pz pn
px
1 2
dydz
• 用几何作图的办法表示压力分布规律的图 示称为静压力分布图。
19
工程流体力学
2 1. 大小：p= gh；大小与线段长度成比例。 2. 方向：垂直指向作用面；用箭头表示。
静 3. 压强分布图外包线：平面——直线；曲面——曲线。
压 力
h1 gh1
h
h2
gh1
分
用几何 作图的办法
h
布 图h 2
表示压力分 h1布示ghg规称1h1 律为的静图压
26
工程流体力学
（1）、测压管
测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细 现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃 管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上 端开口与大气相通，如图所示。
测压管只适用于测量较小的压强， 一般不超过19.6MPa，相当于 2mH2O。如果被测压强较高，则 需加长测压管的长度，使用就很不 方便。此外，测压管中的工作介质 就是被测容器中的流体，所以测压 管只能用于测量液体的压强。
dx

U y
dy

U z
dz


dU

dp
——将上式积分，可得流体静压强分布规律
U X x
U Y y
U Z z
——力与势函数的关系
13
工程流体力学
结论：
流体只有在有势的质量力作用 下才能保持平衡。
14
工程流体力学
2.等压面： p =常数或dp =0的面
Xdx Ydy Zdz 0 ——广义平衡下的等压面方程
• 如液体中某点处的绝对压力小于大气压力，这 时该点的绝对压力比大气压力小的那部分压力 值，称为真空度。所以：
绝对压力＝大气压力＋相对压力（表压力） 相对压力（表压力）＝绝对压力－大气压力 真空度＝大气压力－绝对压力
6
工程流体力学
计示压强
绝对压强
真空 绝对压强
图2-8 绝对压强、计示压强和真空之间的关系
表面力具有传递性
3
工程流体力学
二、静压力的两个重要特性
• 流体静止时，τ=0；只能承受压应力，即 压强，其方向与作用面垂直，并指向流体 内部。
• 特性1（方向性）：平衡流体中的应力 p⊥→受压面。
• 特性2（大小性）：平衡流体内任一点的压 强p与作用方位无关,即 p =f(x,y,z)。
4
工程流体力学
21
工程流体力学
例2-4
• 某地层压力为1.96*104kpa，深度1300m，计算 将井钻至该地层时，防止井喷的泥浆相对密度。
解：相对密度的概念
d泥

泥 水
p 泥 gh d泥 水 gh
p
h
1300
d泥 水 g
计算时注意单位换算，d不要13出010.错961。001007 9.8 1.54
4、液体间任意两点间压力差等于两点间的液柱高度产生的压力。
16
工程流体力学
二、水静力学基本方程式的物理意义
z p C
比势能
g
比位能
z (mgz) /(mg)
h p /(g)
比压能
总结：静止状态下 单位重量液体所具 有的势能守恒
17
工程流体力学
三、水静力学基本方程的几何意义
单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度 来表示，并称为水头。
解：作等压面
pA ga ' gh
pA 'h ag
思考：求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为 ρ’的水）
33
工程流体力学
连通管的实际应用：U形管压差计
用于测量两个容器或同一容器（如管道）流体中不同位 置两点的压强差。
在等势面上p2＝p1
p1 pA A g(h1 h)

pnDBC
cos(n
x)

X
1 6
dxdydz

0
1
dydz
px

pn

X
1 3
dx

2
0
px pn
与方位无关 p f ( x, y, z) 与位置有关
5
工程流体力学
三、压力表示方法和单位
• 压力有两种表示方法：
– 以绝对零压力作为基准所表示的压力，称为绝对压 力。
– 以当地大气压力为基准所表示的压力，称为相对 压力。相对压力也称表压力。
7
工程流体力学
绝对压力、相对压力和真空度
压力值
大气压力
表压力（相对压力）
绝对压力
真空度
绝对压力
要求掌握：
绝对真空
1、绝对压力、相对压力与真空度间的相互关系
2、几种单位的相互换算（大气压、MPa、水头、毫米汞柱）
8
工程流体力学
流体静压强的计量单位有许多种，为了便于换算，
现将常遇到的几种压强单位及其换算系数列下表
p2 pB B gh2 gh
pA pB B gh2 gh A g(h1 h)
34
工程流体力学
组合管水银测压计
例 用双Ｕ形管测压计测量两点的压强差，
例2-6、油罐深度测定，如图所示。已知h1=60cm， △h1=25cm， △h2=30cm，油的相对密度d油=0.9。求h2。
解析：这是由三个以上的容器组成的连通器
1、找出共有等压面。n-n , m-m
2、以A点为计算起点，B点为计算终点，
计算路线如图箭头所示。
3、列连通器平衡方程
n
0 Hg gh1 油g(h2 h1) Hg gh2 0
27
工程流体力学
Pa
U
ρ1 M
形 水
p
h2
h1
等压面
银
1
2
测
压
ρ
计
P>Pa
28
工程流体力学
29
工程流体力学
组合水银测压计
p表
pa gh3 1gh2 gh2 1gh1 1gh1 gh
30
工程流体力学
（2）比压计（压差计）
它和水银计原理相同，只是将测压管接在 不同的两个测点上，用来比较两点的压力 差。 ➢当所测压力较小时 ， 常将两根简单的测压管 分别接到测压点上。
z 表示该点到基准面的高度称为位置水头。 p 测压管液面到该点的高度，压力水头。
g
z p 测压管液面到基准面的高度，测压管水头。
g
z p C
g
在各点的测压管水头必然相等。 当p0=0时，测压管液面和容器液面在 同一水平面。
18
工程流体力学
2、静压力分布图
• 用一定比例的线段长度（表示静压力大 小），用箭头表示静压力方向。
流体平衡微分方程的物理意义： 在静止的流体中，当微元六面体以a点
为极限时，作用在该点单位质量流体上的 质量力与静压强的合力相平衡。
适用范围：不可压缩流体和可压缩流体的静止和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相对静止状态都适用。
欧拉方程的应用： 1、力的势函数 2、等势面
12
工程流体力学
1.力的势函数
将欧拉平衡方程分别乘以dx、dy、dz，并相加
p0 h1
A
△h1
以下略，计算过程详见课本
h2
B
解题关键在于划分共有等压
△h2
面，再确定计算起点、终点、 m
计算路线，最后列方程求解。
25
工程流体力学
2、连通管平衡原理在工程实际中的应用
1）液位计(a)
2）密度计(b)
2 (h1 h2 )1
3）液压计
根据连通器原理，利用液柱高度来测量 液体压强的。特点为结构简单、使用方便，准 确度较高。
22
工程流体力学
五、连通器内液体的平衡
• 连通器是指两个或两个以上相互连通的容器 • 注意区别：等压面并不等同于水平面。
➢单个容器等压面的条件是：静止液体 的同一水平面；
➢多个容器底部连通，共有等压面的条 件为：同一连续静止液体的同一水平 面。
23
工程流体力学
• 已知一个容器的压力及深度，计算与其相通的另 一个容器某一深度处的压力p
h1
力分布图。 gh 2
(b)
gh (a) gh1
h2
gh 2 (c)
gh 2 (b)
h1 gh1
h2
gh1
(d)
20
工程流体力学
四、水静力学基本方程式解题方法
注意： 1、方程式的使用条件为同一种连续静止液体。
如果不是，则应根据水静力学基本公式分 别计算每一种液体所产生的压力。
2、方程式中各物理量单位统一。p和p0基准 要统一。
x
P左
p 1 p dx dydz 2 x
10
工程流体力学
2、作用于六面体的质量力
F 0 质量力： Fx Xdxdydz
X为作用在单位质量流体上的质量力，在x方向上的分量

p

1
p
dx dydz


p

1
p
dx dydz

Xdxdydz

z
p1 gh1 1gh gh2 p2
31
工程流体力学
➢当所测压差较大时，将U型管内装以水银， U型管的两端与测点相连。
p2 p1 gh1 Hg gh gh2
32
工程流体力学
连通管的实际应用：U形管测压计
一端与测点相连，一端与大气相连
例 求pA（A处是水，密度为ρ，测 压计内是密度为ρ’的水银）
（Xdx Ydy Zdz） p dx p dy p dz dp
x y z
对欧拉平衡方程坐标交错求偏导，整理得
X Y Y Z Z X ——力作功与路径无关的充分必要条件
y x z y x z
必存在势函数U，力是有势力

U x
工程流体力学
第二章 流体静力学
流体静力学是研究流体在静止状态下的 力学规律，包括压强的分布规律和固体壁面 所受到的液体总压力。
1
工程流体力学
第一节 流体静压力及其特性
一、流体静压力：
1、总压力P ：静止流体与容器壁之间、内部相邻 两部分流体之间的作用力。单位“牛”
2、静压力：单位面积上的总压力。即压强。
在静止状态流体中取出以A为中心的微小平行六面体。
1、作用于六面体各表面的表面力
中心点A的压力为p，则边界面
z
中心点的压力p1、p2用泰勒级数
展开。
p
p p dx x 2
x 为压力沿x方向的变化率，称为
压力梯度
o
dz
A N dx
dy
p p dx x 2
M
y
表面力： P右
p 1 p dx dydz 2 x
0
2 x
2 x
用dx、dy、dz除以上式，并化简得
X 1 p 0
x
同理
Y 1 p 0
y Z 1 p 0
z
p p dx x 2
o x
dz
NA dy dx
p p dx x 2
M
y
——欧拉平衡微分方程（1755）
11
工程流体力学
Ps：以后我们说的压力，就是说的压强。而以前 意义上的压力，称为“作用力”
2
工程流体力学
应力

lim F
A0 A
内法线方向：
法向应力——压强
p lim Fn A0 A
切线方向：
切向应力——剪切力


lim F A0 A
ΔFn ΔF
ΔA ΔFτ
静止流体没有切 应力，只有法向力。
压强的单位及其换算表
帕
工程大气压 标准大气压
巴
米水柱
毫米水柱 磅/英寸 2
(Pa)
(kgf/cm2)
(atm)
(bar)
(mH2O)
(mmHg) (lbf/in2)
1
0.102×10-4 0.0987×10-4 0.100×10-4 1.02×10-4 75.03×10-4 1.45×10-4
9.8×104 1