专题9 四点共圆巧解中考题
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BD 另一点 F,那么CF的值等于______.
第 5 题图
课后精练 6.如图,AB为圆的直径,AD,BC为圆的两条弦, 且BD与AC相交于点E.求证:AC·AE+BD·BE=AB2.
第6题图
课后精练
证明:过点E作EF⊥AB于点F. ∵∠EFB=90°,∠C=90°, ∴∠EFB+∠C=180°. ∴B,C,E,F四点共圆. ∴AE·AC=AF·AB.① ∵∠EFA=90°,∠D=90°, ∴∠EFA+∠D=180°. ∴A,D,E,F四点共圆. ∴BE·BD=BF·AB.② ①+②,得 AE·AC+BE·BD=AF·AB+BF·AB. ∵AF+BF=AB,∴AE·AC+BE·BD=AB2.
又∵∠DAN=∠BAM,∠BCM=∠DCN, ∴∠BAM=∠MBC,∠ABM=∠BCM. ∴△BAM∽△CBM.
∴BCMM=ABMM,即 BM2=AM·CM.①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB, ∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM, ∴△DAM∽△CDM.
课堂精讲
【解】方法一:∵CF⊥BE, ∴∠BCF=∠EBC=90°. ∵∠EBC+∠BEC=90°, ∴∠BEC=∠BCF.
9 ∴BBFD=56
120=130
5,BBOE=23 120=130
5.
∴BBFD=BBOE.
∵∠BCE=∠BFC=90°, BC BF
∴△BCF∽△BEC.∴BE=BC. ∵BC=6,CE=2, ∴BE= BC2+CE2=2 10.
【答案】C
答案图
课堂精讲
【方法归纳】若已知圆上四点,常常使用四点 共圆的性质,找角之间的转化关系.本题考查了圆 周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆 周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推 论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆 周角所对的弦是直径,用“四点共圆”的思想进行 角的数量代换,有助于我们更好地解题.
∴BBOE=ODFE=130 5.
答案图
∵DE=4,∴OF=56 5.
【方法归纳】求线段长常用的方法就是两种:利用相似中的
比例线段求线段长或者利用直角三角形中的勾股定理求线段长.
课后精练
1.(2019·镇江)如图,四边形 ABCD 是半圆的内接 四边形,AB 是直径,D︵C=C︵B.若∠C=110°,则∠ABC
第 8 题图
课后精练
解:(1)PD与⊙O相切. 理由:如图,连接DO并延长交圆于点E, 连接AE,∵DE是直径, ∴∠DAE=90°. ∴∠AED+∠ADE=90°. ∵∠PDA=∠ABD=∠AED, ∴∠PDA+∠ADE=90°,即PD⊥DO. ∴PD与⊙O相切于点D.
答案图
课后精练
3 (2)∵tan∠ADB=4, ∴可设 AH=3k,则 DH=4k.
∵∠DBE=∠DBE,∴△BOF∽△BED. ∴BBOE=ODFE=130 5. ∵DE=4,∴OF=56 5.
∴BF=59 10.
课堂精讲
方法二:如图,∵∠BOC=∠BFC=90°,
∴B,C,F,O 四点共圆.
∴∠1=∠2=45°.
∵∠2=∠3=45°,∴∠1=∠3=45°.
∵∠DBE=∠FBO,∴△BOF∽△BED.
课后精练
(3)由(2)知,BH=25 3-4k,
4 ∴HC=3(25 3-4k). 又∵PD2=PA·PC, ∴(8k)2=(4 3-3)k×[4 3k+43(25 3-4k)].
解得 k=4 3-3, ∴AC=3k+43(25 3-4k)=24 3+7.
1
1
175 3
∴S 四边形 ABCD=2BD·AC=2×25 3×(24 3+7)=900+ 2 .
则DCMM=ADMM,即 DM2=AM·CM.②
由式①②,得 BM=DM, 即 M 为 BD 的中点.
课后精练
(2)如图,延长 AM 交圆于点 P,连接 CP. ∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC. ∴PC∥BD,∴ACNN=APMM.③ 又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD,∠DBC=∠PCB, ∴∠ABC=∠MCP. 又∠ABC=∠APC, 则∠APC=∠MCP. 有 MP=CM.④ 由式③④,得ACNN=ACMM.
的度数等于( A )
A.55°
第 1 题图 B.60° C.65°
D.70°
课后精练 2.(2018·邵阳)如图,四边形ABCD为⊙O的内接 四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是( B )
第2题图 A.80° B.120° C.100° D.90°
课后精练
3.(2019·天水)如图,四边形ABCD是菱形,⊙O经过点A, C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=80°,则∠EAC的 度数为( C )
课后精练
7.如图,已知圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于 点 N,点 M 在对角线 BD 上,且满足∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DCN.
求证:(1) M 为 BD 的中点; (2) ACNN=ACMM.
第 7 题图
课后精练
证明:(1)根据同弧所对的圆周角相等,得∠DAN=∠DBC, ∠DCN=∠DBA.
课堂精讲
方法二:我们观察这个图形可以发现点 B,C,F,O 这四点是共圆的,故∠1=∠2=45°(圆中同弧所对圆周 角相等),所以∠1=∠3=45°,加上公共角∠DBE,就能 得到△BOF∽△BED,这样的方法是利用几何图形中的变换 得到所要的结论,少了许多计算.这道题的方法还有很多, 还可以过点 O 向 BE 作垂线,垂足为 M,然后利用勾股定理 求解.
第3题图 A.20° B.25° C.30° D.35°
课后精练
4.如图,以 Rt△ABC 的斜边 BC 为一边在△ABC 的同 侧作正方形 BCEF,设正方形的中心为点 O,连接 AO,如果
AB=4,AO=6 2,那么 AC 的长等于___1_6___.
第 4 题图
课后精练
5.已知△ABC 为等腰直角三角形,∠C 为直 角,延长 CA 至点 D,以 AD 为直径作圆,连接 BD 与⊙O 交于点 E,连接 CE,CE 的延长线交⊙O 于
课堂精讲
例 1 (2019·潍坊)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB
为直径,AD=CD,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,连接 AC 交 DE 于
点 F.若 sin∠CAB=35,DF=5,则 BC 的长为(
)
A.8
B.10 C.12 D.16
课堂精讲
【分析】连接BD,如图,先利用圆周角定理证明 ∠ADE=∠DAC得到FD=FA=5,再根据正弦的定义计算 出EF=3,则AE=4,DE=8,接着证明△ADE∽△DBE, 利用相似比得到BE=16,所以AB=20,然后在Rt△ABC 中利用正弦定义计算出BC的长.
方法提炼
3.四点共圆的判定 (1)用“角”判定: ①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上; ②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上; ③如果两个三角形有一条公共边,且位于公共边同侧的两个角 相等,则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上. (2)“等线段”判定: 四顶点到同一点的距离相等,若OA=OB=OC=OD,则A,B,C, D四点共圆. (3)用“比例线段”判定: 若线段AB,CD(或其延长线)交于点P,且PA·PC=PB·PD,则A, B,C,D四点共圆.
课堂精讲
例2 如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对 角线AC,BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点 C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,求OF的长.
课堂精讲
【分析】方法一:∵正方形 ABCD 的边长为 6,点 O 是 对角线 AC,BD 的交点.∴△AOB,△AOD,△BOC,△COD 为 等腰直角三角形,且 AO=BO=CO=DO=3 2.∵DE=2CE, ∴CE=2,DE=4.∴BE=2 10(在 Rt△BCE 中用勾股定理求 得).然后利用△BCF∽△BEC,求得 BF.利用BBFD=BBEO,易证 △BOF∽△BED,根据比例求解 OF 即可.
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考点解读
四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据 了重要地位,都是在大题中结合题目的几何背景进行 综合考查,重在考查学生对知识的应用能力.考查的 基本类型有:利用四点共圆证相似,利用四点共圆求 最值,这些问题大都利用转化思想,将几何问题转化 为四点共圆问题,使题目能简单求解.
方法提炼
1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四 个点共圆,一般简称为“四点共圆”. 2.四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的 顶角相等. (2)圆内接四边形的对角互补. (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
4 3-3 ∵PA= 3 AH,
∴PA=(4 3-3)k.∴PH=4 3k.
DH 3 ∴在 Rt△PDH 中,tan∠P=PH= 3 . ∴∠P=30°,∠PDH=60°. ∵PD⊥DO, ∴∠BDE=90°-∠PDH=30°. 连接 BE,则∠DBE=90°,DE=2r=50, ∴BD=DE·cos 30°=25 3.
答案图
课后精练
8.如图,⊙O 的半径 r=25,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC ⊥BD 于点 H,P 为 CA 延Leabharlann Baidu线上的一点,且∠PDA=∠ABD.
(1)试判断 PD 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若 tan∠ADB=34,PA=4 33-3AH,求 BD 的长; (3)在(2)的条件下,求四边形 ABCD 的面积.
第 5 题图
课后精练 6.如图,AB为圆的直径,AD,BC为圆的两条弦, 且BD与AC相交于点E.求证:AC·AE+BD·BE=AB2.
第6题图
课后精练
证明:过点E作EF⊥AB于点F. ∵∠EFB=90°,∠C=90°, ∴∠EFB+∠C=180°. ∴B,C,E,F四点共圆. ∴AE·AC=AF·AB.① ∵∠EFA=90°,∠D=90°, ∴∠EFA+∠D=180°. ∴A,D,E,F四点共圆. ∴BE·BD=BF·AB.② ①+②,得 AE·AC+BE·BD=AF·AB+BF·AB. ∵AF+BF=AB,∴AE·AC+BE·BD=AB2.
又∵∠DAN=∠BAM,∠BCM=∠DCN, ∴∠BAM=∠MBC,∠ABM=∠BCM. ∴△BAM∽△CBM.
∴BCMM=ABMM,即 BM2=AM·CM.①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB, ∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM, ∴△DAM∽△CDM.
课堂精讲
【解】方法一:∵CF⊥BE, ∴∠BCF=∠EBC=90°. ∵∠EBC+∠BEC=90°, ∴∠BEC=∠BCF.
9 ∴BBFD=56
120=130
5,BBOE=23 120=130
5.
∴BBFD=BBOE.
∵∠BCE=∠BFC=90°, BC BF
∴△BCF∽△BEC.∴BE=BC. ∵BC=6,CE=2, ∴BE= BC2+CE2=2 10.
【答案】C
答案图
课堂精讲
【方法归纳】若已知圆上四点,常常使用四点 共圆的性质,找角之间的转化关系.本题考查了圆 周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆 周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推 论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆 周角所对的弦是直径,用“四点共圆”的思想进行 角的数量代换,有助于我们更好地解题.
∴BBOE=ODFE=130 5.
答案图
∵DE=4,∴OF=56 5.
【方法归纳】求线段长常用的方法就是两种:利用相似中的
比例线段求线段长或者利用直角三角形中的勾股定理求线段长.
课后精练
1.(2019·镇江)如图,四边形 ABCD 是半圆的内接 四边形,AB 是直径,D︵C=C︵B.若∠C=110°,则∠ABC
第 8 题图
课后精练
解:(1)PD与⊙O相切. 理由:如图,连接DO并延长交圆于点E, 连接AE,∵DE是直径, ∴∠DAE=90°. ∴∠AED+∠ADE=90°. ∵∠PDA=∠ABD=∠AED, ∴∠PDA+∠ADE=90°,即PD⊥DO. ∴PD与⊙O相切于点D.
答案图
课后精练
3 (2)∵tan∠ADB=4, ∴可设 AH=3k,则 DH=4k.
∵∠DBE=∠DBE,∴△BOF∽△BED. ∴BBOE=ODFE=130 5. ∵DE=4,∴OF=56 5.
∴BF=59 10.
课堂精讲
方法二:如图,∵∠BOC=∠BFC=90°,
∴B,C,F,O 四点共圆.
∴∠1=∠2=45°.
∵∠2=∠3=45°,∴∠1=∠3=45°.
∵∠DBE=∠FBO,∴△BOF∽△BED.
课后精练
(3)由(2)知,BH=25 3-4k,
4 ∴HC=3(25 3-4k). 又∵PD2=PA·PC, ∴(8k)2=(4 3-3)k×[4 3k+43(25 3-4k)].
解得 k=4 3-3, ∴AC=3k+43(25 3-4k)=24 3+7.
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175 3
∴S 四边形 ABCD=2BD·AC=2×25 3×(24 3+7)=900+ 2 .
则DCMM=ADMM,即 DM2=AM·CM.②
由式①②,得 BM=DM, 即 M 为 BD 的中点.
课后精练
(2)如图,延长 AM 交圆于点 P,连接 CP. ∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC. ∴PC∥BD,∴ACNN=APMM.③ 又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD,∠DBC=∠PCB, ∴∠ABC=∠MCP. 又∠ABC=∠APC, 则∠APC=∠MCP. 有 MP=CM.④ 由式③④,得ACNN=ACMM.
的度数等于( A )
A.55°
第 1 题图 B.60° C.65°
D.70°
课后精练 2.(2018·邵阳)如图,四边形ABCD为⊙O的内接 四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是( B )
第2题图 A.80° B.120° C.100° D.90°
课后精练
3.(2019·天水)如图,四边形ABCD是菱形,⊙O经过点A, C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=80°,则∠EAC的 度数为( C )
课后精练
7.如图,已知圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于 点 N,点 M 在对角线 BD 上,且满足∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DCN.
求证:(1) M 为 BD 的中点; (2) ACNN=ACMM.
第 7 题图
课后精练
证明:(1)根据同弧所对的圆周角相等,得∠DAN=∠DBC, ∠DCN=∠DBA.
课堂精讲
方法二:我们观察这个图形可以发现点 B,C,F,O 这四点是共圆的,故∠1=∠2=45°(圆中同弧所对圆周 角相等),所以∠1=∠3=45°,加上公共角∠DBE,就能 得到△BOF∽△BED,这样的方法是利用几何图形中的变换 得到所要的结论,少了许多计算.这道题的方法还有很多, 还可以过点 O 向 BE 作垂线,垂足为 M,然后利用勾股定理 求解.
第3题图 A.20° B.25° C.30° D.35°
课后精练
4.如图,以 Rt△ABC 的斜边 BC 为一边在△ABC 的同 侧作正方形 BCEF,设正方形的中心为点 O,连接 AO,如果
AB=4,AO=6 2,那么 AC 的长等于___1_6___.
第 4 题图
课后精练
5.已知△ABC 为等腰直角三角形,∠C 为直 角,延长 CA 至点 D,以 AD 为直径作圆,连接 BD 与⊙O 交于点 E,连接 CE,CE 的延长线交⊙O 于
课堂精讲
例 1 (2019·潍坊)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB
为直径,AD=CD,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,连接 AC 交 DE 于
点 F.若 sin∠CAB=35,DF=5,则 BC 的长为(
)
A.8
B.10 C.12 D.16
课堂精讲
【分析】连接BD,如图,先利用圆周角定理证明 ∠ADE=∠DAC得到FD=FA=5,再根据正弦的定义计算 出EF=3,则AE=4,DE=8,接着证明△ADE∽△DBE, 利用相似比得到BE=16,所以AB=20,然后在Rt△ABC 中利用正弦定义计算出BC的长.
方法提炼
3.四点共圆的判定 (1)用“角”判定: ①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上; ②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上; ③如果两个三角形有一条公共边,且位于公共边同侧的两个角 相等,则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上. (2)“等线段”判定: 四顶点到同一点的距离相等,若OA=OB=OC=OD,则A,B,C, D四点共圆. (3)用“比例线段”判定: 若线段AB,CD(或其延长线)交于点P,且PA·PC=PB·PD,则A, B,C,D四点共圆.
课堂精讲
例2 如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对 角线AC,BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点 C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,求OF的长.
课堂精讲
【分析】方法一:∵正方形 ABCD 的边长为 6,点 O 是 对角线 AC,BD 的交点.∴△AOB,△AOD,△BOC,△COD 为 等腰直角三角形,且 AO=BO=CO=DO=3 2.∵DE=2CE, ∴CE=2,DE=4.∴BE=2 10(在 Rt△BCE 中用勾股定理求 得).然后利用△BCF∽△BEC,求得 BF.利用BBFD=BBEO,易证 △BOF∽△BED,根据比例求解 OF 即可.
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考点解读
四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据 了重要地位,都是在大题中结合题目的几何背景进行 综合考查,重在考查学生对知识的应用能力.考查的 基本类型有:利用四点共圆证相似,利用四点共圆求 最值,这些问题大都利用转化思想,将几何问题转化 为四点共圆问题,使题目能简单求解.
方法提炼
1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四 个点共圆,一般简称为“四点共圆”. 2.四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的 顶角相等. (2)圆内接四边形的对角互补. (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
4 3-3 ∵PA= 3 AH,
∴PA=(4 3-3)k.∴PH=4 3k.
DH 3 ∴在 Rt△PDH 中,tan∠P=PH= 3 . ∴∠P=30°,∠PDH=60°. ∵PD⊥DO, ∴∠BDE=90°-∠PDH=30°. 连接 BE,则∠DBE=90°,DE=2r=50, ∴BD=DE·cos 30°=25 3.
答案图
课后精练
8.如图,⊙O 的半径 r=25,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC ⊥BD 于点 H,P 为 CA 延Leabharlann Baidu线上的一点,且∠PDA=∠ABD.
(1)试判断 PD 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若 tan∠ADB=34,PA=4 33-3AH,求 BD 的长; (3)在(2)的条件下,求四边形 ABCD 的面积.