专题9 四点共圆巧解中考题

∵∠DBE＝∠DBE，∴△BOF∽△BED. ∴BBOE＝ODFE＝130 5. ∵DE＝4，∴OF＝56 5.
∴BF＝59 10.
课堂精讲
方法二：如图，∵∠BOC＝∠BFC＝90°，
∴B，C，F，O 四点共圆．
∴∠1＝∠2＝45°.
∵∠2＝∠3＝45°，∴∠1＝∠3＝45°.
∵∠DBE＝∠FBO，∴△BOF∽△BED.
课堂精讲
方法二：我们观察这个图形可以发现点 B，C，F，O 这四点是共圆的，故∠1＝∠2＝45°(圆中同弧所对圆周 角相等)，所以∠1＝∠3＝45°，加上公共角∠DBE，就能 得到△BOF∽△BED，这样的方法是利用几何图形中的变换 得到所要的结论，少了许多计算．这道题的方法还有很多， 还可以过点 O 向 BE 作垂线，垂足为 M，然后利用勾股定理 求解．
课堂精讲
例2 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对 角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，过点 C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，求OF的长．
课堂精讲
【分析】方法一：∵正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是 对角线 AC，BD 的交点．∴△AOB，△AOD，△BOC，△COD 为 等腰直角三角形，且 AO＝BO＝CO＝DO＝3 2.∵DE＝2CE， ∴CE＝2，DE＝4.∴BE＝2 10(在 Rt△BCE 中用勾股定理求 得)．然后利用△BCF∽△BEC，求得 BF.利用BBFD＝BBEO，易证 △BOF∽△BED，根据比例求解 OF 即可．
答案图
课后精练
8．如图，⊙O 的半径 r＝25，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC ⊥BD 于点 H，P 为 CA 延长线上的一点，且∠PDA＝∠ABD.
(1)试判断 PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若 tan∠ADB＝34，PA＝4 33－3AH，求 BD 的长； (3)在(2)的条件下，求四边形 ABCD 的面积．
第3题图 A．20° B．25° C．30° D．35°
课后精练
4．如图，以 Rt△ABC 的斜边 BC 为一边在△ABC 的同 侧作正方形 BCEF，设正方形的中心为点 O，连接 AO，如果
AB＝4，AO＝6 2，那么 AC 的长等于___1_6___.
第 4 题图
课后精练
5．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C 为直 角，延长 CA 至点 D，以 AD 为直径作圆，连接 BD 与⊙O 交于点 E，连接 CE，CE 的延长线交⊙O 于
方法提炼
3．四点共圆的判定 (1)用“角”判定： ①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上； ②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上； ③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角 相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上． (2)“等线段”判定： 四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C， D四点共圆． (3)用“比例线段”判定： 若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A， B，C，D四点共圆.
考点解读
四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据 了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行 综合考查，重在考查学生对知识的应用能力．考查的 基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求 最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化 为四点共圆问题，使题目能简单求解.
方法提炼
1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四 个点共圆，一般简称为“四点共圆”． 2．四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的 顶角相等． (2)圆内接四边形的对角互补． (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
又∵∠DAN＝∠BAM，∠BCM＝∠DCN， ∴∠BAM＝∠MBC，∠ABM＝∠BCM. ∴△BAM∽△CBM.
∴BCMM＝ABMM，即 BM2＝AM·CM.①
又∠DCM＝∠DCN＋∠NCM＝∠BCM＋∠NCM＝∠ACB＝∠ADB， ∠DAM＝∠MAC＋∠DAN＝∠MAC＋∠BAM＝∠BAC＝∠CDM， ∴△DAM∽△CDM.
的度数等于( A )
A．55°
第 1 题图 B．60° C．65°
D．70°
课后精练 2．(2018·邵阳)如图，四边形ABCD为⊙O的内接 四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是( B )
第2题图 A．80° B．120° C．100° D．90°
课后精练
3．(2019·天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A， C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的 度数为( C )
4 3－3 ∵PA＝ 3 AH，
∴PA＝(4 3－3)k.∴PH＝4 3k.
DH 3 ∴在 Rt△PDH 中，tan∠P＝PH＝ 3 . ∴∠P＝30°，∠PDH＝60°. ∵PD⊥DO， ∴∠BDE＝90°－∠PDH＝30°. 连接 BE，则∠DBE＝90°，DE＝2r＝50， ∴BD＝DE·cos 30°＝25 3.
课后精练
(3)由(2)知，BH＝25 3－4k，
4 ∴HC＝3(25 3－4k)． 又∵PD2＝PA·PC， ∴(8k)2＝(4 3－3)k×[4 3k＋43(25 3－4k)]．
解得 k＝4 3－3， ∴AC＝3k＋43(25 3－4k)＝24 3＋7.
1
1
175 3
∴S 四边形 ABCD＝2BD·AC＝2×25 3×(24 3＋7)＝900＋ 2 .
∴BBOE＝ODFE＝130 5.
答案图
∵DE＝4，∴OF＝56 5.
【方法归纳】求线段长常用的方法就是两种：利用相似中的
比例线段求线段长或者利用直角三角形中的勾股定理求线段长．
课后精练
1．(2019·镇江)如图，四边形 ABCD 是半圆的内接 四边形，AB 是直径，D︵C＝C︵B.若∠C＝110°，则∠ABC
单击此处编辑母版标题样式
加分网
第 8 题图
课后精练
解：(1)PD与⊙O相切． 理由：如图，连接DO并延长交圆于点E， 连接AE，∵DE是直径， ∴∠DAE＝90°. ∴∠AED＋∠ADE＝90°. ∵∠PDA＝∠ABD＝∠AED， ∴∠PDA＋∠ADE＝90°，即PD⊥DO. ∴PD与⊙O相切于点D.
答案图
课后精练
3 (2)∵tan∠ADB＝4， ∴可设 AH＝3k，则 DH＝4k.
【答案】C
答案图
课堂精讲
【方法归纳】若已知圆上四点ห้องสมุดไป่ตู้常常使用四点 共圆的性质，找角之间的转化关系．本题考查了圆 周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推 论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆 周角所对的弦是直径，用“四点共圆”的思想进行 角的数量代换，有助于我们更好地解题．
课后精练
7．如图，已知圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于 点 N，点 M 在对角线 BD 上，且满足∠BAM＝∠DAN，∠BCM＝∠DCN.
求证：(1) M 为 BD 的中点； (2) ACNN＝ACMM.
第 7 题图
课后精练
证明：(1)根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN＝∠DBC， ∠DCN＝∠DBA.
BD 另一点 F，那么CF的值等于______．
第 5 题图
课后精练 6．如图，AB为圆的直径，AD，BC为圆的两条弦， 且BD与AC相交于点E.求证：AC·AE＋BD·BE＝AB2.
第6题图
课后精练
证明：过点E作EF⊥AB于点F. ∵∠EFB＝90°，∠C＝90°， ∴∠EFB＋∠C＝180°. ∴B，C，E，F四点共圆． ∴AE·AC＝AF·AB.① ∵∠EFA＝90°，∠D＝90°， ∴∠EFA＋∠D＝180°. ∴A，D，E，F四点共圆． ∴BE·BD＝BF·AB.② ①＋②，得 AE·AC＋BE·BD＝AF·AB＋BF·AB. ∵AF＋BF＝AB，∴AE·AC＋BE·BD＝AB2.
课堂精讲
【解】方法一：∵CF⊥BE， ∴∠BCF＝∠EBC＝90°. ∵∠EBC＋∠BEC＝90°， ∴∠BEC＝∠BCF.
9 ∴BBFD＝56
120＝130
5，BBOE＝23 120＝130
5.
∴BBFD＝BBOE.
∵∠BCE＝∠BFC＝90°， BC BF
∴△BCF∽△BEC.∴BE＝BC. ∵BC＝6，CE＝2， ∴BE＝ BC2＋CE2＝2 10.
则DCMM＝ADMM，即 DM2＝AM·CM.②
由式①②，得 BM＝DM， 即 M 为 BD 的中点．
课后精练
(2)如图，延长 AM 交圆于点 P，连接 CP. ∴∠BCP＝∠PAB＝∠DAC＝∠DBC. ∴PC∥BD，∴ACNN＝APMM.③ 又∵∠MCB＝∠DCA＝∠ABD，∠DBC＝∠PCB， ∴∠ABC＝∠MCP. 又∠ABC＝∠APC， 则∠APC＝∠MCP. 有 MP＝CM.④ 由式③④，得ACNN＝ACMM.
课堂精讲
例 1 (2019·潍坊)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB
为直径，AD＝CD，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，连接 AC 交 DE 于
点 F.若 sin∠CAB＝35，DF＝5，则 BC 的长为(
)
A．8
B．10 C．12 D．16
课堂精讲
【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明 ∠ADE＝∠DAC得到FD＝FA＝5，再根据正弦的定义计算 出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE， 利用相似比得到BE＝16，所以AB＝20，然后在Rt△ABC 中利用正弦定义计算出BC的长．