四川省眉山市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年四川省眉山市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年四川省眉山市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列各不等式中恒成立的是（）A．ac＞bc B．|b|＞|c|C．a2＞b2D．a+c＞b+c2．已知向量＝（4，﹣2），向量＝（x，5），且∥，那么x的值等于（）A．10B．5C．D．﹣103．在等比数列{a n}中，已知a2a4a6＝8，则a3a5＝（）A．3B．5C．4D．24．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则c等于（）A．1B．2C．3D．45．等差数列{a n}中，a1＞0，公差d＜0，S n为其前n项和，对任意自然数n，若点（n，S n）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，D是BC上一点，且，则＝（）A．B．C．D．7．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A．B．C．D．8．某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为（）A．20（1+）m B．20（1+）m C．10（）m D．20（）m 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则在方向上的投影为（）A．1B．2C．3D．410．设0＜m＜，若+≥k2﹣2k恒成立，则k的取值范围为（）A．[﹣2，0）∪（0，4]B．[﹣4，0）∪（0，2]C．[﹣4，2]D．[﹣2，4]11．关于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+1＜0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是（）A．（2，3]B．（3，4]C．[﹣3，﹣2）∪（2，3]D．[﹣3，﹣2）∪（3，4]12．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3+x）＝f（x），f（﹣2）＝﹣3，数列{a n}满足a1＝1，且当n≥2时，有2a n＝a n S n﹣S n2（其中S n为{a n}的前n项和，且S n≠0）．则f（）+f（）＝（）A．3B．﹣2C．﹣3D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中相应位置. 13．已知向量＝（1，x），＝（2，﹣1），若⊥，则x＝14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则cos（a2+a4）＝15．已知实数a＞0，b＞0，是8a与2b的等比中项，则的最小值是．16．对下列命题：（1）y＝sin x+（0＜x＜π）的最小值为4；（2）若{a n}是各项均为正数的等比数列，则{lna n}是等差数列；（3）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且最大边长为c，若a2+b2＞c2，则△ABC一定是锐角三角形；（4）若向量＝（4，2），＝（λ，1），且＜，＞是锐角，则实数λ的取值范围为（﹣，+∞）．其中所有正确命题的序号为（填出所有正确命题的序号）．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量＝（1，﹣1），||＝，且（2+）•＝4．（1）求向量与的夹角；（2）求|+|的值．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的长，cos B＝，且•＝﹣21．（1）求△ABC的面积；（2）若c＝5，求角C．19．已知不等式ax2﹣3x+2＞0解集为{x|x＜1或x＞b}．（1）求a，b的值并求不等式bx2﹣ax﹣3＜0的解集；（2）解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．20．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为5，a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．21．如图，某市拟在长为8km的道路OA的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSC，该曲线段为函数y＝2sin x，x∈[0，4]的图象；赛道的后一部分为折线段CBA，若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且a sin＝b sin A．（1）求角B和C，A两点间的距离b的值；（2）求折线段赛道CBA的长a+c的最大值．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2a n﹣a n﹣1+1＝0（n≥2，n∈N*）且a1＝1，数列{c n}满足c n＝（n∈N*），其前n项和为T n．（1）设b n＝a n+1，求证：数列{b n}为等比数列；（2）求S n和T n；（3）不等式T n＞log a（1﹣a）对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列各不等式中恒成立的是（）A．ac＞bc B．|b|＞|c|C．a2＞b2D．a+c＞b+c【分析】运用不等式的性质和列举法，即可得到结论．解：a＞b＞c，若c＝0，可得ac＝bc，则A错误；取b＝﹣2，c＝﹣3，可得|b|＜|c|，故B错误；取a＝1，b＝﹣2，可得a2＜b2，故C错误；由不等式的可加性，可得a+c＞b+c，则D正确．故选：D．2．已知向量＝（4，﹣2），向量＝（x，5），且∥，那么x的值等于（）A．10B．5C．D．﹣10【分析】由题中向量的坐标结合向量平行的坐标表示公式，列出关于x的方程并解之，即可得到实数x的值．解：∵＝（4，﹣2），＝（x，5），且∥，∴4×5＝﹣2x，解之得x＝﹣10故选：D．3．在等比数列{a n}中，已知a2a4a6＝8，则a3a5＝（）A．3B．5C．4D．2【分析】利用等比数列通项公式得a2a4a6＝＝8，求出a4＝2，再由a3a5＝，能求出结果．解：∵在等比数列{a n}中，a2a4a6＝8，∴a2a4a6＝＝8，解得a4＝2，∴a3a5＝＝4．故选：C．4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则c等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用三角形面积计算公式即可得出．解：S△ABC＝bc sin A＝＝，解得c＝4．故选：D．5．等差数列{a n}中，a1＞0，公差d＜0，S n为其前n项和，对任意自然数n，若点（n，S n）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A．B．C．D．【分析】等差数列的前n项和，等价于二次函数，根据二次函数的图象和性质即可到答案．解：∵等差数列{a n}中，a1＞0，公差d＜0，S n为其前n项和，∴S n＝na1+×d＝n2+（a1﹣）n，∴点（n，S n）在曲线y＝x2+（a1﹣）x，∵d＜0，∴二次函数开口向下，∵对称轴x＝﹣＞0，∴对称轴在y轴的右侧，故选：C．6．在△ABC中，D是BC上一点，且，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用平面向量的三角形法则，直接计算．解：∵D是BC上一点，且，则＝＝+＝＝．故选：C．7．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A．B．C．D．【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（d＞0）；则由五个人的面包和为100，得a的值；由较大的三份之和的是较小的两份之和，得d的值；从而得最小的1分a﹣2d的值．解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）；则，（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）＝5a＝100，∴a＝20；由（a+a+d+a+2d）＝a﹣2d+a﹣d，得3a+3d＝7（2a﹣3d）；∴24d＝11a，∴d＝55/6；所以，最小的1分为a﹣2d＝20﹣＝．故选：A．8．某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为（）A．20（1+）m B．20（1+）m C．10（）m D．20（）m 【分析】由题意作出图形，解三角形即可得出所求．解：依题意作图如下：AB＝20m，仰角∠DAE＝60°，俯角∠EAC＝45°，在等腰直角△ACE中，AE＝EC＝20m，在直角△DAE中，∠DAE＝60°，∴DE＝AE tan60°＝20m，∴小高层的高度为CD＝（20+20）＝20（1+）m．故选：B．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则在方向上的投影为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据正弦定理将条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式进行求解可求cos C，根据在方向上的投影为：||•cos C即可计算得解．解：由，根据正弦定理得：sin A cos B+sin B cos A＝sin C cos C，即sin（A+B）＝sin C cos C，即sin C＝sin C cos C，则cos C＝，∴则在方向上的投影为：||•cos C＝cos45°＝1．故选：A．10．设0＜m＜，若+≥k2﹣2k恒成立，则k的取值范围为（）A．[﹣2，0）∪（0，4]B．[﹣4，0）∪（0，2]C．[﹣4，2]D．[﹣2，4]【分析】利用基本不等式，求出左边的最小值，再解一元二次不等式即可得到答案．解：由于0＜m＜，则得到≤＝（当且仅当2m＝1﹣2m，即m＝时，取等号）∴+＝≥8∵+≥k2﹣2k恒成立，∴k2﹣2k﹣8≤0，∴﹣2≤k≤4．故选：D．11．关于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+1＜0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是（）A．（2，3]B．（3，4]C．[﹣3，﹣2）∪（2，3]D．[﹣3，﹣2）∪（3，4]【分析】由已知结合二次不等式的求法先求出二次不等式的解集，然后结合端点的大小即可求解．解：由x2﹣（a+2）x+a+1＜0可得（x﹣1）[x﹣（a+1）]＜0，当a+1＞1即a＞0时，不等式的解集为（1，a+1），若满足解集中恰有2个整数，则3＜a+1≤4，此时2＜a≤3，当a+1＜1即a＜0时，不等式的解集为（a+1，1），若满足解集中恰有2个整数，则﹣2≤a+1＜﹣1此时﹣3≤a＜﹣2．综上可得，a的范围[﹣3，﹣2）∪（2，3]故选：C．12．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3+x）＝f（x），f（﹣2）＝﹣3，数列{a n}满足a1＝1，且当n≥2时，有2a n＝a n S n﹣S n2（其中S n为{a n}的前n项和，且S n≠0）．则f（）+f（）＝（）A．3B．﹣2C．﹣3D．2【分析】推导出﹣＝，从而数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，进而＝1+（n﹣1）＝，由此求出f（）+f（）＝f（3）+f（5）＝f（0）+f（2），从而能求出结果．解：由S1＝a1＝1，S n2﹣a n S n+2a n＝0知，（1+a2）2﹣a2（1+a2）+2a2＝0，解得，a2＝﹣，S2＝，∵S n2﹣a n S n+2a n＝0，∴S n2﹣（S n﹣S n﹣1）S n+2（S n﹣S n﹣1）＝0，∴S n﹣1S n+2S n﹣2S n﹣1＝0，∴﹣＝，则数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，则＝1+（n﹣1）＝，∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3+x）＝f（x），f（﹣2）＝﹣3，∴f（）+f（）＝f（3）+f（5）＝f（0）+f（2）＝0﹣f（﹣2）＝3．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中相应位置. 13．已知向量＝（1，x），＝（2，﹣1），若⊥，则x＝2【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x的值．解：∵向量，若，∴•＝2﹣x＝0，则x＝2，故答案为：2．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则cos（a2+a4）＝【分析】利用等差数列的性质转化求解a2+a4，然后求解三角函数值即可．解：等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则a2+a4＝＝．则cos（a2+a4）＝cos＝．故答案为：﹣．15．已知实数a＞0，b＞0，是8a与2b的等比中项，则的最小值是32．【分析】先由等比数列的中项公式可知8a•2b＝，即3a+b＝1，再利用基本不等式中“1”的代换，＝（）•（3a+b），展开后，再结合基本不等式的性质即可得解．解：因为是8a与2b的等比中项，所以8a•2b＝，即23a+b＝2，所以3a+b ＝1，所以＝（）•（3a+b）＝20+≥20+2＝32，当且仅当，即a2＝b2，a＝b时，等号成立．所以的最小值是32．故答案为：32．16．对下列命题：（1）y＝sin x+（0＜x＜π）的最小值为4；（2）若{a n}是各项均为正数的等比数列，则{lna n}是等差数列；（3）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且最大边长为c，若a2+b2＞c2，则△ABC一定是锐角三角形；（4）若向量＝（4，2），＝（λ，1），且＜，＞是锐角，则实数λ的取值范围为（﹣，+∞）．其中所有正确命题的序号为（2）（3）（填出所有正确命题的序号）．【分析】根据各命题对应知识逐个判断即可得出．解：对于（1），因为0＜x＜π，所以0＜sin x≤1，y＝sin x+≥4，取等条件是sin x＝2，条件不成立，（1）错误；对于（2），因为{a n}是各项均为正数的等比数列，所以设a n＝，a1＞0，q＞0，即lna n＝lna1+（n﹣1）lnq，所以{lna n}是等差数列，（2）正确；对于（3），根据大边对大角可知角C最大，而cos C＝，所以角C为锐角，故△ABC一定是锐角三角形，（3）正确；对于（4），因为＜，＞是锐角，所以＞0，且不共线，即4λ+2＞0且4×1﹣2λ≠0，解得λ＞﹣且λ≠2，（4）错误．故答案为：（2）（3）．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量＝（1，﹣1），||＝，且（2+）•＝4．（1）求向量与的夹角；（2）求|+|的值．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积的运算法则化简已知条件，转化求向量与的夹角；（Ⅱ）通过向量的模的运算法则转化求解的值．解：（Ⅰ）由得，因，∵，∴，向量与的夹角为60°．（Ⅱ）．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的长，cos B＝，且•＝﹣21．（1）求△ABC的面积；（2）若c＝5，求角C．【分析】（1）根据•＝﹣21结合cos B＝可求得ac，sin B，利用三角形面积公式可得其面积；（2）利用余弦定理得到b，再利用余弦定理求得cos C，即可求得C．解：（1）•＝ca cos（π﹣B）＝﹣ac cos B＝﹣21，∵cos B＝，∴ac＝35，sin B＝，则△ABC的面积为S△ABC＝ac sin B＝14；（2）∵c＝5，∴a＝7，则由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝49+25﹣2×5×7×＝32，即b＝4由余弦定理可得：cos C＝＝，因为C∈（0，π），所以C＝．19．已知不等式ax2﹣3x+2＞0解集为{x|x＜1或x＞b}．（1）求a，b的值并求不等式bx2﹣ax﹣3＜0的解集；（2）解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【分析】（1）由已知结合二次不等式的解集端点与二次方程的根的关系即可求解；（2）结合二次不等式的求解对a进行分类讨论即可求解．解：（1）由题意可得，1，b是方程ax2﹣3x+2＝0两根，则，解可得，a＝1，b＝2，bx2﹣ax﹣3＝2x2﹣x﹣3＜0，解可得﹣1即解集为（﹣1，）；（2）由ax2﹣（ac+b）x+bc＜0可得，x2﹣（c+2）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0，当c＞2时，2＜x＜c，当c＜2时，可得c＜x＜2，当c＝2时，原不等式无解，综上，c＞2时，不等式的解集{x|2＜x＜c}当c＜2时，不等式的解集{x|c＜x＜2}，当c＝2时，不等式的解集∅20．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为5，a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用数列的通项公式的应用求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．解：（1）等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为5，a2＝4．故：，解得．故：．（2）b n＝＝，所以①，②，①﹣②得：＝﹣，解得：．21．如图，某市拟在长为8km的道路OA的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSC，该曲线段为函数y＝2sin x，x∈[0，4]的图象；赛道的后一部分为折线段CBA，若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且a sin＝b sin A．（1）求角B和C，A两点间的距离b的值；（2）求折线段赛道CBA的长a+c的最大值．【分析】（1）由三角形的内角和为π可得sin＝cos，再由正弦定理可得a sin ＝b sin A推出得sin A cos＝sin B sin A，在三角形中可得B的值，将C的横坐标代入函数y中可得C的纵坐标，进而求出|AC|的值及b边的值；（2）法i）由（1）及余弦定理和均值不等式可得a+c的最大值；法（ii）由正弦定理可得a+c用角的表达式，再由三角函数的取值范围可得a+c的最大值．【解答】解（1）因为a sin＝b sin A，A+B+C＝π，所以sin＝sin（﹣）＝cos，由正弦定理可得sin A cos＝sin B sin A，因为sin A＞0，所以cos＝2sin cos，又因为cos≠0，所以sin＝，又B∈（0，π），所以＝，即B＝π；因为x C＝4，代入函数y＝2sin x中可得y C＝2•sinπ＝2•＝3，即C（4，3），而A（8，0），所以b＝|AC|＝＝5，（2）法（i）由（1）可得B＝π，b＝5，在△ABC中，cos B＝＝﹣，整理可得a2+c2＝25﹣ac，即（a+c）2﹣25＝ac，当且仅当a＝c＝时取等号，所以a+c的最大值为．法（ii）因为a+c＝2R（sin A+sin C）＝[sin A+sin（π﹣B﹣A）]＝[sin A+sin （﹣A）]，由三角恒等变形可得a+c＝sin（A+），所以当A+＝，即A＝时a+c最大为．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2a n﹣a n﹣1+1＝0（n≥2，n∈N*）且a1＝1，数列{c n}满足c n＝（n∈N*），其前n项和为T n．（1）设b n＝a n+1，求证：数列{b n}为等比数列；（2）求S n和T n；（3）不等式T n＞log a（1﹣a）对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）直接利用关系式的变换和定义的应用求出结果．（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用和分组法的应用求出结果．（3）利用数列的单调性的应用和恒成立问题的应用及对数的解法的应用求出结果．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足2a n﹣a n﹣1+1＝0，整理得，变形为：，由于b n＝a n+1，所以，故数列{b n}为等比数列是以2为首项，为公比的等比数列．（2）数列{c n}满足c n＝＝．所以：T n＝c1+c2+c3+…+c n＝＝．数列{b n}为等比数列是以2为首项，为公比的等比数列．由于b n＝a n+1，所以a n＝b n＝a n﹣1，所以．（3）由＞0，所以数列{T n}单调递增，T n的最小值为．不等式T n＞log a（1﹣a）对任意的正整数恒成立，即，所以log a（1﹣a）＜1＝log a a，即：，解得：．。
2024届四川省眉山市彭山一中数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析
2024届四川省眉山市彭山一中数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（ ） A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π2．若函数110,1 ()=lg ,1x x f x x x -⎧≤⎨>⎩，则()()10f f =（ ）A ．9B ．1C ．110D ．03．若过点()2,M m -，(),4N m 的直线与直线50x y -+=平行，则m 的值为（ ） A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥ ③若//m α，//n α，则//m n ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④5．已知数列{}n a 的通项为()*1log (2),n n a n n N+=+∈，我们把使乘积123na aa a ⋅⋅为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2019]内的所有“优数”的和为（ ） A ．1024B ．2012C ．2026D ．20366．对于一个给定的数列{}n a ，定义：若()11n n n a a a n ∆+=-∈*N ，称数列{}1na ∆为数列{}n a 的一阶差分数列；若()2111n n n a a a n ∆∆∆+=-∈*N，称数列{}2na ∆为数列{}n a 的二阶差分数列．若数列{}n a 的二阶差分数列{}2n a ∆的所有项都等于1，且1820170a a ==，则2018a =（ ）A ．2018B ．1009C ．1000D ．5007．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，则点1A 到平面11AB D 的距离是（ ） A ．23B ．43C ．169D ．498．过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于 ( ) A ．1 B ．5C ．-1D ．-59．圆被轴所截得的弦长为（ ） A ．1B ．C ．2D ．310．某实验单次成功的概率为0.8,记事件A 为“在实验条件相同的情况下,重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件4的概率:先由计算机给出0～9十个整数值的随机数，指定0,1表示单次实验失败,2，3，4，5,6,7，8,9表示单次实验成功，以3个随机数为组,代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数，如下表: 752 029 714 985 034 437 863 694 141 469 037 623 804 601 366 959742761428261根据以上方法及数据，估计事件A 的概率为( ) A ．0.384B ．0.65C ．0.9D ．0.904二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
四川省眉山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
眉山市高中2022届第二学期期末教学质量检测 数学试题卷 2020.07本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟. 注意事项：1.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷 选择题（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设,,a b c R ∈且a b c >>，则下列各不等式中恒成立的是（ ） A.ac bc >B.||||b c >C.22a b >D.a c b c +>+2.已知向量(4,2)a =-，向量(,5)b x =，且a b ∥，那么x 等于（ ） A.10B.5C.52-D.-103.在等比数列{}n a 中，知2468a a a =，则35a a =（ ） A.3B.4C.5D.24.在ABC △中，角A ，B ， C 所对的边分别为a ，b ，c 若60A =︒，1b =，ABC S =△则c 等于（ ） A.1B.2C.3D.45.等差数列{}n a 中，10a >，公差0d <，n S 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(),n n S 在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（ ）A. B. C. D.6.在ABC △中，D 是BC 上一点，且13BD BC =，则AD =（ ）A.13AB AC +B.13AB AC -C.2133AB AC + D.1233AB AC + 7.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为（ ） A.53B.103C.56D.1168.某位居民站在离地20m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60︒，小高层底部的俯角为45︒，那么这栋小高层的高度为（ ）A.201m 3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B.20(1+C.D.9.在ABC △中，角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c，若cos cos cos a B b A C +=，||2CB =CB 在CA 方向上的投影为（ ）A.1B.2C.3D.410.当102m<<k 的取值范围为（ ） A.[2,0)(0,4]- B.[4,0)(0,2]- C.[4,2]- D.[2,4]-11.关于x 的不等式2(2)10x a x a -+++<的解集中，恰有2个整数，则a 的取值范围是（ ） A.(2,3]B.(3,4]C.[3,2)(2,3]-- D.[3,2)(3,4]--12.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足(3)()f x f x +=，(2)3f -=-，数列{}n a 满足11a =，且当2n ≥时，有22n n n n a a S S =-（其中S ，为{}n a 的前n 项和，且0S ≠）.则5911f f S S ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A.3 B.2- C.3-D.2第Ⅱ卷 非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中相应位置. 13.已知向量(1,)a x =，(2,1)b =-，若a b ⊥，则x =_________.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若553S π=，则()24cos a a +=_________. 15.已知实数0a >，0b >是8a 与2b的等比中项，则62a b+的最小值是_________.16.对下列命题: （1）4sin (0)sin y x x xπ=+<<的最小值为4；（2）若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则{}ln n a 是等差数列；（3）已知ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且最大边长为c ，若222a b c +>，则ABC △一定是锐角三角形；（4）若向量(4,2)a =，(,1)b λ=，且,a b 是锐角，则实数的取值范围为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； 其中所有正确命题的序号为_________（填出所有正确命题的序号）. 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 已知向量(1,1)a =-，||2b =，且(2)4a b b +⋅=.（1）求向量a 与b 的夹角； （2）求||a b +的值. 18.（本小题满分12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，3cos 5B =，且21AB BC ⋅=-. （1）求ABC △的面积； （2）若5c =，求角C . 19.（本小题满分12分）已知不等式2320ax x -+>解集为{}1 x x x b <>∣或. （1）求a ，b 的值并求不等式230bx ax --<的解集； （2）解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<. 20.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1a ，3a 的等差中项为5，24a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 21.（本小题满分12分）如图，某市拟在长为8km 的道路OA 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSC ，该曲线段为函数6y x π=，[0,4]x ∈的图象；赛道的后一部分为折线段CBA ，若ABC △的内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c .sinsin 2A Cb A +=.（1）求角B 和C ，A 两点间的距离b 的值； （2）求折线段赛道CBA 的长a c +的最大值. 22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*12102,n n a a n n N --+=≥∈，且11a =，数列{}n c 满足()*1(2)n c n N n n =∈+，其前n 项和为n T . （1）设1n n b a =+，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求n S 和n T . （3）不等式1log (1)3n a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围.眉山市高中2022届第二学期期末教学质量检测数学参考答案 2020.07一、选择题：1-5 DDBDC 6-10 CABAD 11-12 CA 二、填空题: 13.214.12-15.32 16.（2），（3）三、解答题：17.解：（1）由(1,1)a =-得||2a =，又因为||2b =∵2(2)22||||cos(,)24cos(,)24a b b a b b a b a b a b +⋅=⋅+=+=+= ∴1cos(,)2a b =，向量与的夹角为60︒ （2）22222||()2||2||||cos(,)||6a b a b a a b b a a b a b b +=+=+⋅+=+⋅+=18.解：（1）cos()cos 21AB BC ca B ac B π⋅=-=-=-又∵3cos 5B =，∴35ac =，4sin 5B = ∴ABC △的面积为1sin 142ABC S ac B ==△（2）∵5c =，∴7a =由余弦定理得：2222cos 32b a c ac B =+-=∴b =又由余弦定理得：222cos 22a b c C ab +-==又C 为内角 ∴4C π=另解：正弦定理得：sin sin b cB C=∴sin 2C = ∴4C π=19.解：（1）由题意知，1和b 是方程2320ax x -+=的两根，则312b ab a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得12a b =⎧⎨=⎩不等式230bx ax --<.即为2230x x --<，解得312x -<<，∴31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（2）不等式2()0ax ac b x bc -++<，即为2(2)20x c x c -++<， 即(2)()0x x c --<. ①当2c >时，2x c <<； ②当2c <时，2c x <<； ③当2c =时，原不等式无解.综上知，当2c >时，原不等式的解集为{}2x x c <<∣； 当2c <时，原不等式的解集为{}2x c x <<∣； 当2c =时，原不等式的解集为∅.20.解析：（1）由题意可得：()2111104a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴22520q q -+=∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为()*2n n a n N =∈.23122222n n n S +=++⋅⋅⋅++ 上述两式相减 可得2341111111n n n nS +=++++⋅⋅⋅-21.解：（1sin sin 2A Cb A +=，A B C π++=cos sin sin 2BA B A =又sin 0A >2sin cos 222B B B=又cos02B ≠ ∴sin 2B =∴23B π= 由题意(4,3)C ，(8,0)A ∴||5CA b ==（2）方法1：由余弦定理得：22222251cos 222a cb ac B ac ac +-+-===- 2225a c ac +-=- ∴22()252a c a cac +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭当且仅当3a c ==时取等号，3a c +≤所以a c + 方法2所以33a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 所以当6A π=时，a c +22.解：（1）由1210n n a a --+=得11122n n a a -=-，变形为：()11112n n a a -+=+， ∵1n n b a =+，∴112n n b b -=且1112b a =+= ∴数列{}n b 是以首项为2，公比为12的等比数列（2）由1111(2)22n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭121111*********n n n T c c c c n n -⎛⎫=++⋅⋅⋅++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭∴31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭；（3）由111111111021223213n n T T n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以{}n T 单调递增，n T 所以11log (1)33a a -<∴log (1)1log a a a a -<= 所以011a a a<<⎧⎨->⎩ ∴10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。
2019-2020学年四川省眉山市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年四川省眉山市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．设,,a b c ∈R ，且a b c >>，则下列各不等式中恒成立的是（ ） A ．ac bc > B ．b c >C ．22a b >D ．a c b c +>+【答案】D【解析】根据不等式的性质，逐项检验，即可判断结果. 【详解】对于选项A ，若0c ≤，显然不成立； 对于选项B ，若0,0b c =<，显然不成立； 对于选项C ，若0b a <<，显然不成立；对于选项D ，因为a b >，所以a c b c +>+，故正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.2．已知()4,2a =-，(),5b k =，且//a b ，那么k =（ ） A ．10 B ．5C ．52-D ．-10【答案】D【解析】根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得k 的值. 【详解】由于两个向量平行，所以452k ⨯=-⨯，解得10k =-. 故答案为：D 【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题. 3．在等比数列{}n a 中，知4268a a a =，则35a a =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．2【答案】B【解析】由等比数列的下标性质可得42a =，再由35a a =24a 即可得解.【详解】在等比数列{}n a 中，知463248a a a a ==，所以42a =， 35a a =244a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标性质，属于基础题.4．在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边为a ，b ，c ，A 60=，b 1=，ABCS 3=，则c 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】将三角形面积表示为1bcsinA 2，代入条件计算可得c 【详解】ABC11SbcsinA 1c sin60322==⨯⨯⨯︒=，解得c 4=．故选D ． 【点睛】 对于面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===，一般考查哪个角就使用哪一个公式，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 5．等差数列{}n a 中，10a >，公差0d <，n S 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(),n n S 在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用等差数列前n 项和的性质分析. 【详解】由等差数列的前n 和公式可知：()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 则n S 是定义在*n N ∈上的二次函数，所以，当10a >，公差0d <时，对称轴在x 轴右侧，且有最大值，C 符合要求. 故选：C . 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式及性质，结合二次函数的图象分析即可，属于基础题. 6．在ABC ∆中，D 是BC 上一点，且13BD BC =，则AD =（ ） A ．13AB AC + B ．13AB AC -C ．2133AB AC +D ．1233AB AC +【答案】C【解析】利用平面向量的三角形法则和共线定理，即可得到结果． 【详解】因为D 是BC 上一点，且13BD BC =，则()11213333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+． 故选：C ． 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算和共线定理的应用，属于基础题．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d关系式，即可求出结论. 【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.8．某位居民站在离地20m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为( )A ．201m 3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．(201m + C ．10mD ．20m【答案】B【解析】根据题意作出简图，根据已知条件和三角形的边角关系解三角形 【详解】依题意作图所示：AB 20m =，仰角DAE 60∠=，俯角EAC 45∠=， 在等腰直角ACE 中，AE EC 20m ==， 在直角DAE 中，DAE 60∠=，DE AEtan6020∴==，∴小高层的高度为((CD 20201m =+=．故选B ．【点睛】解决解三角形实际应用问题注意事项： 1.首先明确方向角或方位角的含义；2.分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图；3.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a B b Ac C ，2CB =CB 在CA 方向上的投影为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据正弦定理，将已知条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式可求cos C ，根据CB 在CA 方向上的投影为cos BC C ⋅，代入数值，即可求解．【详解】因为cos cos 2cos a B b Ac C ，所以sin cos sin cos 2 sin cos A B B A C C += ， 即()sin 2cos A B C C +=， 即sin 2 sin cos C C C =， 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以2cos 2C = ， 所以CB 在CA 方向上的投影为：cos 2451BC C ⋅=︒=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查正弦定理和平面向量投影的应用，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于中档题．10．设102m <<，若212212k k m m +≥--恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．[)(]2,00,4-⋃ B ．[)(]4,00,2- C ．[]4,2-D ．[]2,4-【答案】D【解析】由于102m <<，则1212m m +-=()()()21228122122124m m m m m m =≥=--⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭当2m=1-2m 即m=14时取等号；所以212212k k m m +≥--恒成立，转化为1212m m +-的最小值大于等于22k k -，即22k k -824k ≤∴-≤≤故选D11．关于x 的不等式2(2)10x a x a 的解集中，恰有2个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,3] B ．(3,4] C ．[3,2)(2,3]--D ．[3,2)(3,4]--【答案】C【解析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出a 的取值范围. 【详解】 原不等式可化为110xa x ，①当0a >时，11a +>，则原不等式的解集为：11x a <<+，若解集中恰有两个整数解，则解集中只有2,3两个整数，则23a <≤；②当0a <时，11a +<，则原不等式的解集为：11a x +<<，若解集中恰有两个整数解，则解集中只有1,0-两个整数，则32a -≤<-； 综上所述：a 的取值范围是(][)2,33,2--.故选：C . 【点睛】本题考查二次不等式的解法及解集中整数解个数的问题，难度一般.当涉及含参数的不等式求解问题时，注意分类讨论思想的应用.12．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足(3)()f x f x +=，(2)3f -=-，数列{}n a 满足11a =，且当2n ≥时，有22n n n n a a S S =-（其中n S 为{}n a 的前n 项和，且0n S ≠）.则5911f f S S ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．3 B ．2-C ．3-D ．2【答案】A【解析】根据当2n ≥时，22n n n n a a S S =-得到1111(2)2n n n S S --=≥，得到112n n S +=，据此求出513S =，915S =，再根据函数的奇偶性和(3)()f x f x +=，(2)3f -=-，可以求出结果. 【详解】当2n ≥时，1n n n a S S -=-代入22n n n n a a S S =-得2112()()n n n n n n S S S S S S ---=--，整理得1111(2)2n n n S S --=≥， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为11111S a ==，公差为12的等差数列， 所以1111(1)22n n n S +=+-⨯=， 所以515132S +==，919152S +==， 因为定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足(3)()f x f x +=，(2)3f -=-， 所以(0)0f =，(3)(30)(0)0f f f =+==，(5)(32)(2)(2)(3)3f f f f =+==--=--=所以51()(3)f f S =0=，91()(5)3f f S ==， 所以5911()()033f f S S +=+=. 故选：A.【点睛】本题考查了用定义法判断等差数列，考查了根据函数的奇偶性求函数值，属于中档题.二、填空题 13．已知向量1,,2,1a x b，若a b ⊥，则x =_______【答案】2【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x 的值． 【详解】 因为向量 1,,2,1ax b，若 a b ⊥，∴20a b x ⋅=-=， 则2x =.故答案为：2． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的坐标运算，属于基础题． 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若553S π=，则24cos()a a +=_______ 【答案】12-【解析】利用等差数列前n 项和，可得1523a a π+=；利用等差数列的性质可得1524a a a a +=+，然后求解三角函数值即可．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，因为()1555523a a S π+⨯==，所以15252533a a ππ+=⨯=；又1524a a a a +=+，所以()2421co c 2o s 3s a a π==-+． 故答案为：12-． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握()12n n a a n S +⨯=和若m n p q +=+，则mn p q aa a a +=+是解题的关键．15．已知实数0a >，0b >是8a 与2b 的等比中项，则62a b+的最小值是_________. 【答案】32【解析】8a 与2b 的等比中项，求得31a b +=，化简626266()(3)20b aa b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，实数0a >，0b >是8a 与2b 的等比中项，可得23228a b a b +=⨯=，解得31a b +=，所以626266()(3)202032b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当66b a a b +时，即14a b ==时，等号成立， 所以62a b+的最小值是32.故答案为：32. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 16．对下列命题: （1）4sin (0)sin y x x xπ=+<<的最小值为4； （2）若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则{}ln n a 是等差数列；（3）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且最大边长为c ，若222a b c +>，则ABC 一定是锐角三角形；（4）若向量(4,2)a =，(,1)b λ=，且,a b 是锐角，则实数的取值范围为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；其中所有正确命题的序号为_________（填出所有正确命题的序号）. 【答案】（2）（3）【解析】（1）根据基本不等式等号成立的条件可判断；（2）由等比数列的通项公式11n n a a q -=，代入得1ln (1)ln ln n a n q a =+-，进而可证明等差；（3）由大边对大角结合余弦定理可判断； （4）由数量积小于0结合两向量不共线可得解. 【详解】（1）根据基本不等式知当sin 0x >时，4sin 4sin x x +≥=，当且仅当sin 2x =时取得最小值4，但是sin (0,1)x ∈，所以4取不到，故不正确；（2）若{}n a 是各项均为正数的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，则11n n a a q -=，所以1ln (1)ln ln n a n q a =+-，所以111ln (ln ln )[ln (1)ln ]ln ln n n a a n q a n q q a +-=+-+-=， 所以{}ln n a 是等差数列，故正确；（3）ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且最大边长为c ，则角C 最大，且222cos 02a b c C ab+-=>，所以角C 为锐角，则ABC 一定是锐角三角形，故正确；（4）若向量(4,2)a =，(,1)b λ=，且,a b 是锐角， 则420a b λ⋅=+>，且24λ≠， 解得12λ>-且2λ≠，故不正确. 故答案为：（2）（3）. 【点睛】本题是一道综合试题，涉及基本不等式及等差等比数列的通项公式，余弦定理和向量的所成角求参，属于中档题.三、解答题17．已知向量()1,1,2,a b =-=且()24a b b +⋅=，（1）求向量a 与b 的夹角； （2）求a b +的值.【答案】（Ⅰ）60【解析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积的运算法则化简()24a b b +⋅=，进而求出向量a 与b 的夹角； （Ⅱ）利用()2a b a b+=+，对其化简，代入数值，即可求出结果．【详解】解：（Ⅰ）由()1,1a =-得2,a =因2b =()2222cos ,24cos ,24a b b a b ba b a b a b +⋅=⋅+=+=+=1cos ,,2a b ∴=向量a 与b 的夹角为60（Ⅱ）()2222222cos ,6a b a b a a b b a a b a b b +=+=+⋅+=+⋅+=【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，以及平面向量的夹角以及平面向量的模的求法，考查计算能力．18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，3cos 5B =，且21AB BC ⋅=-.（1）求ABC 的面积； （2）若5c =，求角C . 【答案】（1）14；（2）4C π【解析】（1）根据3cos 5B =和21AB BC ⋅=-求出ac 和sin B ，利用三角形面积公式得出答案；（2）利用余弦定理求出b 的值，再利用余弦定理求出角C ． 【详解】（1）cos()cos 21AB BC ca B ac B π⋅=-=-=- 又∵3cos 5B =，∴35ac =，4sin 5B =∴ABC 的面积为1sin 142==ABCSac B （2）∵5c =，∴7a =由余弦定理得：2222cos 32b a c ac B =+-=∴b =又由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-==又C 为内角 ∴4Cπ【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查平面向量数量积的定义，考查三角形的面积公式，属于中档题．19．已知不等式2320ax x -+>解集为{}1 xx x b <>∣或. （1）求a ，b 的值并求不等式230bx ax --<的解集； （2）解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<.【答案】（1）12a b =⎧⎨=⎩；31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）答案见解析.【解析】（1）由已知结合二次不等式的解集端点与二次方程的根的关系即可求解； （2）结合二次不等式的求解对a 进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）由题意知，1和b 是方程2320ax x -+=的两根，则312b a b a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩不等式230bx ax --<即为2230x x --<， 解得312x -<<， ∴31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（2）不等式2()0ax ac b x bc -++<，即为2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<. ①当2>c 时，2x c <<； ②当2c <时，2c x <<； ③当2c =时，原不等式无解.综上知，当2>c 时，原不等式的解集为{}2x x c <<∣； 当2c <时，原不等式的解集为{}2xc x <<∣； 当2c =时，原不等式的解集为∅. 【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系的应用及含参不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．20．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1a ，3a 的等差中项为5，24a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）()*2n n a n N =∈；（2）222n n n S +=-. 【解析】（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可；（2）利用错位相减法求和即可. 【详解】解析：（1）由题意可得：()2111104a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴22520q q -+= ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为()*2n n a n N =∈.（2）2n n nb =∴231232222nnn S =+++⋅⋅⋅+ 231112122222n n n n nS +-=++⋅⋅⋅++ 上述两式相减 可得23411111112222222n n n nS +=++++⋅⋅⋅-∴123111111122121222222212nn n n n nn n n S --+=++++⋅⋅⋅-=-=-- 【点睛】本题考查等比数列通项公式、错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 21．如图，某市拟在长为8km 的道路OA 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSC，该曲线段为函数6y x π=，[0,4]x ∈的图象；赛道的后一部分为折线段CBA ，若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且sinsin 2A Cb A +=.（1）求角B 和C ，A 两点间的距离b 的值； （2）求折线段赛道CBA 的长a c +的最大值. 【答案】（1）23B π=；5；（2103. 【解析】（13cossin sin 2BA B A =，再根据半角公式得3sin2B =，进而得23B π=，结合三角函数与题意得(4,3)C ，(8,0)A ，故5CA b ==；（2）方法一，由余弦定理得2225a c ac +-=-，再利用基本不等式可知103a c +≤； 方法二，由正弦定理得103sin sin 33a c A A π⎡⎤⎛⎫+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 恒等变换得10333a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再结合三角函数的性质得当6A π=时，a c +最大为1033. 【详解】解：（13sin sin 2A Ca b A +=，A B C π++= 3cos sin sin 2BA B A =又sin 0A > 32sin cos 222B B B= 又cos02B≠ ∴3sin22B =∴23B π=由题意(4,3)C ，(8,0)A∴5CA b ==（2）方法1：由余弦定理得：22222251cos 222a cb ac B ac ac +-+-===-得2225a c ac +-=-∴22()252a c a c ac +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭当且仅当a c ==a c +≤所以a c +方法2：因为2(sin sin )sin sin 33a c R A C A A π⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦根据三角恒大变换整理得：33a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ∵ 0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以根据三角函数的性质得：当6A π=时，a c + 【点睛】本题考查边角互化，边长和的最值等问题，考查运算能力，是中档题. 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*12102,n n a a n n N --+=≥∈，且11a=，数列{}n c 满足()*1(2)n c n N n n =∈+，其前n 项和为n T . （1）设1n n b a =+，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求n S 和n T . （3）不等式1log (1)3n a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）242-=--nn S n ；31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭；（3）10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【解析】（1）利用等差数列的概念进行证明；（2）由（1）可知{}n b 是等差数列，可求出{}n b 的通项公式，再得出{}n a 的通项公式，然后求解n S ，利用裂项相消法求解n T ;（3）利用（2）中n T 的结果，只需使n T 的最小值大于1log (1)3a a -，然后结合对数函数的单调性求解. 【详解】解：（1）由1210n n a a --+=得11122-=-n n a a ，变形为：()11112n n a a -+=+， ∵1n n b a =+，∴112n n b b -=且1112b a =+=， ∴数列{}n b 是以首项为2，公比为12的等比数列. （2）由1111(2)22n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，121111*********n n n T c c c c n n -⎛⎫=++⋅⋅⋅++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭∴31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭， 又1n na b =- ∴2121242113n nn S n n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---. （3）由111111111021223213n n T T n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以{}n T 单调递增，n T 最小为13n T =， 所以11log (1)33a a -<，得：log (1)1log a a a a -<=， 所以011a a a<<⎧⎨->⎩ ，解得：10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的综合运用，考查利用公式法直接求和及裂项相消法求和问题，考查学生基本运算能力，难度较大.解答时，先得出{}n b 的通项公式是关键.。
2019-2020学年四川省眉山市高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
大班数学《数的守恒》说课稿尊敬的评委老师，大家好！今天我将为大家解析的是大班数学活动《数的守恒》的教学设计。
一、说教材《数的守恒》是幼儿园大班数学教育中的重要内容，它旨在引导幼儿理解数量不因物体的形状、大小、排列方式等外在形式变化而发生改变的本质属性。
这一概念对于培养幼儿逻辑思维能力和抽象概括能力具有重要意义，同时也是幼小衔接阶段数学认知的重要基础。
二、说目标1. 知识技能目标：通过实际操作和观察比较，使幼儿理解并掌握“数的守恒”这一基本数学概念。
2. 过程方法目标：通过游戏化的教学活动，提高幼儿动手动脑解决问题的能力，发展其观察能力和逻辑推理能力。
3. 情感态度目标：激发幼儿对数学学习的兴趣，体验到数学活动的乐趣，养成实事求是、积极探索的良好学习习惯。
三、说重难点重点：让幼儿理解和感知数的守恒现象，即不论物体如何排列组合，只要总数不变，那么其代表的数量就是一样的。
难点：引导幼儿突破直观形象思维的局限，逐步建立起抽象的数理逻辑思维，能从不同排列组合中识别出相同的总量。
四、说教法与学法教法：采用情境导入、实物演示、互动探索、实践操作等多种教学手段，如设置分类、拼图、排序等游戏环节，引导幼儿主动参与、积极思考。
学法：倡导幼儿自主探索、合作交流的学习方式，鼓励他们在实践中发现问题、分析问题并解决问题，从而真正理解和掌握数的守恒。
五、说活动准备准备各类可用于变换排列组合的实物（如积木、纽扣、水果模型等），制作相应的教学课件或卡片，以辅助教学。
六、说活动过程1. 引入话题：通过故事或者生活实例引入“数的守恒”的概念。
2. 实物操作：让幼儿分组进行实物操作，比如给每组提供相同数量但形状大小不同的物品，让他们尝试变换排列方式，然后数数确认总数是否改变。
3. 游戏环节：设计相关游戏，如“神秘口袋”，让幼儿摸取物品，不论取出的顺序和方式如何，都要他们意识到总数不变的道理。
4. 反馈总结：引导幼儿分享自己的发现，教师加以点评和总结，强化“数的守恒”概念的理解。
2018-2019学年四川省眉山市高一下学期期末数学试题(解析版)
【答案】C
【解析】分析：由已知条件得到 ，进而利用数列的求和公式，即可作出判定．
详解：由已知条件 ，
可得 ，且 ，
所以 ，所以A是正确的；
又 ，所以B是正确的；
，所以C是不正确的；
，所以D是正确的，故选C．
点睛：本题考查了等差数列的前 项和公式及其应用，其中灵活应用等差数列的通项公式和前 项和公式、性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
【详解】
解：（1）由已知得 ＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，
所以 ＝sinC，又 ＝sin 2C，
所以sin 2C＝sinC，即 ，
， ，所以cosC＝ ，所以C＝ .
（2）因为sinA，sinC，sinB成等差数列，
3．已知 ，则下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：取a=-2,b=-1,代入到各个选项中得到正确答案为C．
【考点】赋值法．不等式的性质．
4．等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （）
A．12B．10C．8D．
【答案】A
【解析】根据等比数列下标和性质可求得 ，利用对数运算法则和等比数列性质可求得结果.
9．雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体 和底座 两部分组成．如图，在 中， ，在 中， ，且 米，求像体 的高度（）（最后结果精确到0.1米，参考数据： ， ， ）
A．4.0米B．4.2米C．4.3米D．4.4米
【答案】B
2018-2019学年四川省眉山市高一下学期期末数学试题(解析版)
由题意知：等差数列的公差 ， ， 的最大值为 或 ，即 的值为 或 .
故选： .
【点睛】
本题考查等差数列前 项和的最值的求解问题，关键是熟练应用等差数列前 项和的二次函数性.
7．已知 的外接圆半径为 ，且 （其中 分别为 的对边），那么角 的大小为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
20．设数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设数列 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）当 时， ，与已知式作差可求得 ；验证 时也满足，由此得到通项公式；
（2）由（1）可得 ，采用裂项相消法可求得结果.
【详解】
（1）由已知得： …①
当 时， …②
由① ②得： ， 当 时， ，
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）利用剩余员工创造的年总利润大于等于原来的年总利润可构造不等式求得结果；
【解析】在 和 中，利用正切值可求得 ，进而求得 .
【详解】
在 中， （米），
在 中， （米），
（米）.
故选： .
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题.
10．若 是一组基底,向量 =x +y (x,y∈R),则称(x,y)为向量 在基底 , 下的坐标,现已知向量 在基底 =(1,-1), =(2,1)下的坐标为(-2,2),则 在另一组基底 =(-1,1), =(1,2)下的坐标为()
四川省眉山市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
四川省眉山市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．已知复数2i z =-，则2z z -=（ ）A ．23i -B ．2i -C ．6i -D ．63i -2．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为200的样本，则高一年级李明同学被抽到的可能性为（ ） A ．0.5 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.23．已知向量()1,2a =r ，(),1b x x =-r ，若//a b r r ，则x =（ ）A ．2B ．13C ．3D ．234．若5π1sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos πα+=（ ） A ．25- B ．15- C ．15 D ．255．采购经理指数（PMI ），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测､预警作用.综合PMI 产出指数是PMI 指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于50%时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于50%，则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI 产出指数折线图如下图所示：根据该折线图判断，下列结论正确的是（ ）A ．2023年各月综合PMI 产出指数的中位数高于53%B ．2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张C ．2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩D ．2023年上半年各月综合PMI 产出指数的方差小于下半年各月综合PMI 产出指数的方差6．已知圆锥的侧面积为28πm ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A．3m B3m C3m D3 7．已知cos2π4sin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A ．14 B ．14- C ．716 D ．716- 8．柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为4π3，则此正八面体的表面积为（ ）ABC．D．二、多选题9．如图，在矩形ABCD 中，6,4,AB BC E ==是BC 的中点，F 是DC 上的一点，且2DF FC =，则下列说法正确的是（ ）A ．23AF AB AD =+u u u r u u u r u u u r B ．13AF AB AD =+u u u r u u u r u u u rC ．28AE AF ⋅=u u u r u u u rD ．32AE AF ⋅=u u u r u u u r10．下列命题正确的是（ ） A ．若直线l 与平面α平行，则平面α内有无数条直线与直线l 平行B ．若直线l 与平面α相交，则平面α内没有直线与直线l 平行C ．已知两条相交直线,m n ，若//m 平面α，则//n 平面αD ．已知直线,m n ，平面,αβ，若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n11．已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且π03f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数π6x f ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称 B ．()f x 的图象向左平移π12个单位长度后可能得到()πsin 3g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 C ．ω的值不可能是整数D ．()f x 在()0,π上仅有两个零点三、填空题12．已知复数112iz =+，则||z =.13．海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75o ，距离为A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30o ，距离为A 处向正北航行到D 处时看灯塔B 在东偏南30o ，则灯塔C 与D 处之间的距离为海里．14．已知三棱锥O ABC -中，,,A B C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ︒∠=，且三棱锥O ABC -O 的表面积为.四、解答题15．已知向量(2,3),(1,)a b x ==r r .(1)若//a r ()a b -r r ，求||b r ；(2)若()a a b ⊥+r r r ，求a r 与b r 的夹角.16．某中学为调研学生在餐厅用餐的满意度，在本校学生中随机抽取了100人，对餐厅进行评分，满分为100分.整理评分数据，将分数以20为组距分为4组，依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.(1)估计该校餐厅得分的80%分位数､众数､中位数；(2)估计该校餐厅得分的平均数x 和方差2s .17．已知函数()22sin cos 0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)将函数()f x 的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[]0,(0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.18．在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ．（1）从三棱锥P －ABC 中选择合适的两条棱填空．若⊥，则该三棱锥为“鳖臑”；（2）已知三棱锥P －ABC 是一个“鳖臑”，且AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝60°. ①若△P AC 上有一点D ，如图1所示，试在平面P AC 内作出一条过点D 的直线l ，使得l 与BD 垂直，说明作法，并给予证明；②若点D 在线段PC 上，点E 在线段PB 上，如图2所示，且PB ⊥平面EDA ，证明∠EAB 是平面EAD 与平面BAC 的二面角的平面角．19．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：BNC V 区域为荔枝林和放养走地鸡，CMA V区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC V 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘MNC V 周围筑起护栏.已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒.（1）若20m AM =时，求护栏的长度（MNC V 的周长）；（2）若鱼塘MNC V 的面积是“民宿”CMA V ACM ∠； （3）当ACM ∠为何值时，鱼塘MNC V 的面积最小，最小面积是多少？。
四川省眉山市东坡区2023-2024学年高一下学期6月期末联合考试数学试题(解析版)
东坡区23级高一下期期末联合考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一.单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系xOy 中，直线50x y -+=的倾斜角是（）A.π6B.π4C.2π3 D.3π4【答案】B 【解析】【分析】求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案.【详解】设直线50x y -+=的倾斜角为α，直线50x y -+=的方程可化为5y x =+，所以斜率为tan 1k α==，因为0πα≤<，所以π4α=.故选：B.2.若向量()2,0,1a =- ，向量()0,1,2b =- ，则2a b -=（）A.()4,1,0-B.()4,1,4--C.()4,1,0- D.()4,1,4--【答案】C 【解析】【分析】根据向量的加减法法则求解即可.【详解】因为向量()2,0,1a =- ，向量()0,1,2b =-，所以()()()20,1,24,1,022,0,1a b ---=-=-.故选：C3.已知直线1l ：30ax y +-=和直线2l ：3230x y -+=垂直，则=a （）A.32-B.32C.23-D.23【答案】D 【解析】【分析】由直线垂直的充要条件列出关于a 的方程，解方程即可.【详解】因为直线1l ：30ax y +-=和直线2l ：3230x y -+=垂直，所以()3120a ⨯+⨯-=，解得23a =.故选：D.4.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（）A.13B.38C.12D.58【答案】C 【解析】【分析】根据题意，列出所有可能，结合古典概率，即可求解.【详解】甲、乙、丙3人投中与否的所有情况为：（中，中，中），（中，中，不中），（中，不中，中），（中，不中，不中），（不中，中，中），（不中，中，不中），（不中，不中，中），（不中，不中，不中），共8种，其中至多有1人投中的有4种，故所求概率为4182=．故选：C.5.在正四面体ABCD 中，F 是AC 的中点，E 是DF 的中点，若,,DA a DB b DC c === ，则BE =（）A.1144a b c -+B.1122a b c-+C.1144a b c ++ D.12a b c -+ 【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量的运算法则即可得()14DE a c +=r r uuu r ，再由三角形法则即可求得1144BE a b c =-+r r uur r.【详解】根据题意可得()()1122DF DA DC a c +==+uuu r uu ruur r u r u ，()1124DE DF a c +==r r uuu r uuu r ；再由()14BE BD DE DB DE b a c =+=--++=+r r r uur uu u r uuu r uu u r uuu r ，可得1144BE a b c =-+r r uur r .故选：A6.已知圆224x y +=上有四个点到直线y x b =+的距离等于1，则实数b 的取值范围为（）A.( B.⎡⎣ C.()2,2- D.()1,1-【答案】A 【解析】【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则O 到直线y x b =+的距离d 小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案.【详解】由圆的方程224x y +=，可得圆心为原点(0,0)O ，半径为2，若圆上有4个点到直线l 的距离等于1，则O 到直线y x b =+的距离d 小于1，又直线的一般方程为0x y b -+=，1d ∴=<，解得b <<，所以实数b 的取值范围为(.故选：A.7.若直线:30l kx y k -+=与曲线1C y =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A.13,24⎛⎤⎥⎝⎦B.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】直线:30l kx y k -+=即()30k x y +-=，恒过定点(3,0)-，曲线1C y =-即()()22111x y y +-=≥表示以点(0,1)为圆心，半径为1，且位于直线1y =上方的半圆（包括点(1,1)-，(1,1)），当直线l 经过点(1,1)-时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时101132k -==-+，直线记为1l ；当l1=，得34k =，切线记为2l ，分析可知当1324k ≤<时，l 与曲线有两个不同的交点，即实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.8.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，则点A 到直线1B E 的距离为（）A.12B.1C.D.32【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到直线的距离公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，得(0,0,0)A ，1(0,1,)2E ，1(1,0,1)B ，1(1,0,1)B A =-- ，11(1,1,)2B E =-- ，所以1B A 在1B E 上的投影为111321||B A B EB E ⋅==，所以点A 到直线1B E的距离为1=故选：B二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.9.设A ，B 为两个随机事件，若()()13,24P A P B ==，则下列结论中正确的是（）A.若A B ⊆，则()12P A B =B.若()38P A B ⋂=，则A ，B 相互独立C.若A 与B 相互独立，则()58P A B ⋃= D.若A 与B 相互独立，则()18P A B =【答案】BD 【解析】【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A ；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD ；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.【详解】A ，若A B ⊆，则()3()4P A B P B ==，A 错误；B ，因为()()13,24P A P B ==，则()()()B P A P B P A ==⋂38，B 正确；C ，因为A 与B 相互独立，则,A B 也相互独立，则()()()()P A B P A B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋃=-⋂=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13711111248，C 错误；D ，若A 与B 相互独立，则,A B 也相互独立，则(()()P A B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋂==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13111248，D 正确.故选：BD10.若圆1C ：223330x y x y +--+=与圆2C ：22220x y x y +--=的交点为A ，B ，则（）A.线段AB 中垂线方程为10x y -+=B.公共弦AB 所在直线方程为30x y +-=C.若实数x ，y 满足圆2C ：22220x y x y +--=，则y x -D.过点()0,2作圆2C ：22220x y x y +--=的切线方程为圆2y x =+【答案】BD 【解析】【分析】线段AB 中垂线即为直线12C ，直接求解可判断A ；圆1C 和圆2C 方程作差可判断B ；令y x t -=，代入圆的方程，通过方程有解判断C ；通过点在圆上，直接写出切线方程可判断D.【详解】圆1C ：223330x y x y +--+=的圆心133,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆2C ：22220x y x y +--=的圆心()21,1C ，对于A ：线段AB 中垂线即为直线12C C ，方程为()31211312y x --=--，即y x =，A 错误；对于B ：圆1C 和圆2C 方程作差得()2222333202x y y x y x y x +---+-+=，整理得30x y +-=，B正确；对于C ：令y x t -=，则y x t =+，代入22220x y x y +--=得()()22220x x t x x t ++--+=，整理得()2222220x t x t t +-+-=，方程有解，故()()22Δ42820t t t =---≥，解得22t -≤≤，则y x -的最大值为2，C 错误；对于D ：点()0,2在圆2C ：22220x y x y +--=上，故切线方程为01221y x --=--，即2y x =+，D 正确.故选：BD.11.已知点P 是椭圆22:184x y E +=上一点，12,F F 是椭圆E 的左、右焦点，且12F PF △的面积为4，则下列说法正确的是（）A.点P 的纵坐标为4B.12π2F PF ∠=C.12F PF 的周长为)41+ D.12F PF 的内切圆半径为)312+【答案】BC 【解析】【分析】此题先算出椭圆的基本量，运用三角形面积公式即得；再利用点P 的坐标易于求得12F PF △的边长，运用勾股定理逆定理即得；根据椭圆的定义式可得12F PF 的周长；最后利用面积相等即得内切圆半径.【详解】依题意，不妨设点(,)P x y ，由22:184x y E +=可得228,4,a b ==故2c =，则12F PF △的面积为121||||2||4,2F F y y ⨯==解得：||2y =，对于A 选项，由上分析知点P 的纵坐标为2±，故A 项错误；对于B 选项，由||2y =知，此时点P 为椭圆短轴顶点，故12||||PF PF ==，又12||4,F F =由2221212||||||PF PF F F +=知12π2F PF ∠=，故B 项正确；对于C 选项，因点P 在椭圆上，故有12||||PF PF +=于是12F PF 的周长为1212||||||4,PF PF F F ++=+故C 项正确；对于D 选项，设12F PF 的内切圆半径为r ，则由三角形面积相等可得：121211(||||||)1)422PF PF F F r r ++⋅=⨯+⋅=，解之得：1).r =-故D 项错误.故选：BC.12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M N ，分别在线段1AD 和11B C 上．给出下列四个结论中所有正确结论的序号是（）A.MN 的最小值为1B.四面体NMBC 的体积为13C.存在无数条直线MN 与1AD 垂直D.点M N ，为所在边中点时，四面体NMBC 的外接球半径为34【答案】AC 【解析】【分析】由公垂线的性质判断A ；由线面平行的性质及锥体的体积公式判断B ；根据线面垂直的判定及面面平行的判定定理结合条件判断C ；利用坐标法，根据正弦定理及球的性质结合条件可求四面体NMBC 的外接球半径判断D.【详解】对于A ：因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以11C D ⊥平面11ADD A ，11C D ⊥平面11BCC B ，又因为1AD ⊂平面11ADD A ，11B C ⊂平面11BCC B ，所以111C D AD ⊥，1111C D B C ⊥，即11C D 是1AD 与11B C 的公垂线段，因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，所以当,M N 分别与11,D C 重合时，MN 最短为1，故A 正确；对于B ：因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以平面11//ADD A 平面11BCC B ，且1AD ⊂平面11ADD A ，所以1AD //平面NBC ，当点M 在1AD 上运动时，点M 到平面NBC 的距离不变，距离1h =，由11//B C BC 可知，当点N 在11B C 上运动时，N 到BC 的距离不变，所以NBC 的面积不变，所以11111113326NB M NBC C V S h -==⨯⨯⨯⨯=⋅，所以B 错误；对于C ：连接11,A D B C ，因为11A B ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以111C D AD ⊥，又111111111,,,A D AD A D A B A A D A B ⊥=⊂ 平面11A B CD ，所以1AD ⊥平面11A B CD ，当N 不在线段11B C 端点时，过N 作11//NE A B 交11A D 于E ，过N 作1//NF B C 交1CC 于F ，平面NEF 交线段1AD 于M，因为NE ⊄平面11A B CD ，11A B ⊂平面11A B CD ，故//NE 平面11A B CD ，同理NF 平面11A B CD ，又,,NE NF N NE NF =⊂ 平面NEF ，所以平面//NEF 平面11A B CD ，故1AD ⊥平面NEF ，又MN ⊂平面NEF ，所以1MN AD ⊥，因为点N 在线段11B C 上，所以存在无数条直线MN 与1AD 垂直，故C 正确；对于D ：如图以点D 为原点，以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11,0,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，1,1,12N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,1,0B ，()0,1,0C ，所以52NB BC ==，25sin 552NBC ∠==，故NBC 的外接圆半径为5522sin 8255NC r NBC ==∠，所以可得等腰NBC 的外接圆圆心为113,1,28O ⎛⎫⎪⎝⎭，设四面体NMBC 的外接球球心为O ，则1OO ⊥平面NBC ，所以可设四面体NMBC 的外接球球心为13,,28O t ⎛⎫⎪⎝⎭，由OM OC OB ==，可得()2222131382814t t ⎛⎫+=+-+ ⎪⎝⎛⎫- ⎪⎝⎭⎭，解得1116t =，所以四面体NMBC的外接球的半径为16R ==，故D 错误.故选：AC ．【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若椭圆2214x y m +=的焦点在x 轴上，焦距为2，则实数m 的值为______．【答案】5【解析】【分析】由题意，根据椭圆方程中222a b c =+即可求解.【详解】解：因为椭圆2214x y m +=的焦点在x 轴上，焦距为2，所以4m >，且22452m ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以实数m 的值为5.故答案为：5.14.已知圆2221:C x y r +=，圆222:86160+--+=C x y x y ，若圆1C 与圆2C 相外切，则r =________.【答案】2【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解.【详解】由题意知，222:(4)(3)9C x y -+-=，所以1122(0,0),,(4,3),3C r r C r ==，因为两圆外切，所以1235r C C +==，解得2r =.故答案为：2.15.在三棱锥O ABC -中，60AOB AOC ∠=∠=︒，OA OB OC ==，BC =，则异面直线OB 与AC所成的角是_________【答案】60︒【解析】【分析】设1OA =，则1OB OC ==，BC =90BOC ∠=︒，将,,OA OB OC作为空间向量的一组基底，表示出AC,然后利用向量的夹角公式求解即可.【详解】设1OA =，则1OB OC ==，BC =所以222OB OC BC +=，所以OBC △为直角三角形，即90BOC ∠=︒，所以0OB OC ⋅=，因为60AOB AOC ∠=∠=︒，所以111122OA OB OA OC ⋅=⋅=⨯⨯= ，因为AC OC OA =- ，所以1AC =，12OB AC OB OC OB OA ⋅=⋅-⋅=- ,设异面直线OB 与AC 所成的角为θ（090θ︒<≤︒），则112cos cos ,12OB AC OB AC OB AC θ⋅====⋅ ，因为090θ︒<≤︒，所以60θ=︒，即异面直线OB 与AC 所成的角为60︒，故答案为：60︒..16.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12π3F PF ∠=，若12F PF △的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r 3R r =时，椭圆的离心率为______．【答案】35##0.6【解析】【分析】由正弦定理得到R=，再根据三角形面积公式和余弦定理得到)3a c r -=，从而根据3R r=得到方程，求出离心率.【详解】由题意得122F F c =，由正弦定理得12122sin 32F F F PF R ∠==，故R =，由椭圆定义可知，122PF PF a +=，故()()12212112PF F S PF PF F F r a c r =++=+V ，又121212211sin 2PF F S PF PF F PF PF =⋅∠=⋅V ，由余弦定理得()2222212121212121212122cos 22PFPF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅，即222112424122a PF PF c PF PF -⋅-=⋅，解得2212443a c PF PF -⋅=，故())2222443334a c a c a cr --+==，解得)3a c r -=，因为3Rr =)33a c=-⨯，解得35c a =.故答案为：35四.解答题：17.已知直线l 经过点()1,2P -．（1）若直线l 与直线230x y --=平行，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）250x y -+=（2）20x y +=或10x y +-=【解析】【分析】（1）利用两直线平行设出直线l 的方程，代入点P 坐标即可求得直线方程；（2）分情况对截距是否为0进行分类讨论，利用直线方程的截距式即可求得结果.【小问1详解】根据题意可设直线l 的方程为20x y C -+=,将点()1,2P -代入计算可得5C =，可得直线l 的方程为250x y -+=.【小问2详解】若在两坐标轴上的截距为0，则可得直线方程为2y x =-，即20x y +=；若在两坐标轴上的截距不为0，设为a ，则直线l 的方程为1x ya a+=，代入点()1,2P -可得1a =，可得直线l 的方程为10x y +-=；综上可知，直线l 的方程为20x y +=或10x y +-=18.已知圆22:6490C x y x y ++-+=，A 是圆C 上一动点，点(3,0)B ，M 为线段AB 的中点．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）记M 的轨迹为曲线E ，过点(1,3)N 的点线l 与曲线E 有且只有一个交点，求直线l 的方程．【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）1x =或3490x y -+=.【解析】【分析】（1）令(,)M x y ，由题设得23(2),A x y -，代入已知圆方程整理即可得动点M 的轨迹方程；（2）讨论直线l 斜率存在性，设直线方程，结合点线距离公式及直线与圆的交点个数列方程求参数，即可得直线方程.【小问1详解】令(,)M x y ，由M 为线段AB 的中点，(3,0)B ，则23(2),A x y -，而A 是圆C 上一动点，故22(23)46(23)890x y x y -++--+=，整理得2220x y y +-=，即22(1)1y x +-=，所以动点M 的轨迹方程为22(1)1y x +-=.【小问2详解】由（1）知：曲线E 的圆心为(0,1)，半径1r =，且点N 在曲线E 外，若直线l 斜率不存在，即1x =，显然与曲线E 相切，满足；若直线l 斜率存在，设():31l y k x -=-，则(0,1)到直线l 的距离d r ==，22314414k k k k =⇒-+=+⇒=，此时:3490l x y -+=；综上，直线l 的方程为1x =或3490x y -+=.19.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，12；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过三小时.（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.【答案】（1）516；（2）916【解析】【分析】（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元，都付2元的概率1111428P =⨯=，都付4元的概率2111248P =⨯=，都付6元的概率31114416P =⨯=，由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率．（2）设两人费用之和8、10、12的事件分别为A 、B 、C ，()111111544242416P A =⨯+⨯+⨯=，()11113442416P B =⨯+⨯=，()1114416P C =⨯=，设两人费用之和大于或等于8的事件为W ，则W A B C =++，由此能求出两人费用之和大于或等于8的概率．【详解】解：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元.都付2元的概率为1111428P =⨯=；都付4元的概率为2111248P =⨯=；都付6元的概率为31114416P =⨯=；故所付费用相同的概率为1231115881616P P P P =++=++=.（2）设两人费用之和为8、10、12的事件分别为A 、B 、C()111111544242416P A =⨯+⨯+⨯=；()11113442416P B =⨯+⨯=；()1114416P C =⨯=.设两人费用之和大于或等于8的事件为W ，则W A B C =++所以，两人费用之和大于或等于8的概率()()()()531916161616P W P A P B P C =++=++=【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，其中一个焦点坐标是)，长轴长是短轴长的2倍.（1）求E 的方程；（2）设直线l ：2y kx =+与E 交于A ，B 两点，若2OA OB ⋅=uu r uu u r，求k 的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）6k =±.【解析】【分析】（1）由题可得c =2a b =，即可解出,a b 得出椭圆方程；（2）设A ，B 的坐标为()11,x y ，()22,x y ，联立直线与椭圆，由韦达定理结合2OA OB ⋅=uu r uu u r建立方程，即可求出k 值.【详解】（1）解：由题意得，c =2a b =，222a b c =+ 解得2a =，1b =，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．（2）解：设A ，B 的坐标为()11,x y ，()22,x y ，依题意得，联立方程组22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()221416120k x kx +++=．()22(16)48140k k ∆=-+>，234k >，1221614k x x k -+=+，1221214x x k =+，()()()()212121212121222124OA OB x x y y x x kx kx k x x k x x ⋅=+=+++=++++uu r uu u r()22222121612201244141414k k k k k k k--=+⋅+⋅+=+++，∵2OA OB ⋅=uu r uu u r ，∴2212204214k k-+=+，27364k =>，所以，6k =±.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且12AA AB ==.（1）求证：AB BC ⊥；（2）若2BC =，请问在线段1AC 上是否存在点E ，使得二面角A BE C --的大小为2π3，若存在请求出E 的位置，不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点E 为线段1AC 中点【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥侧面11A ABB ，进而可得AB BC ⊥；（2）以点A 为原点，建立空间直角坐标系，设()1101λλ=≤≤A E A C ，利用空间向量法结合二面角A BE C --的大小为2π3可表示出关于λ的关系式，求解即可.【小问1详解】证明：连接1AB 交1AB 于点D ，因1AA AB =，D 为1A B 中点，则1AD A B⊥由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC ⋂平面111A ABB A B =，AD ⊂平面11A ABB ，得AD ⊥平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥.三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，则1AA ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又1AA AD A ⋂=，1,AA AD ⊂侧面11A ABB ，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥.【小问2详解】假设在线段1AC 上存在一点E ，使得二面角A BE C --的大小为2π3，由111ABC A B C -是直三棱柱，所以以点A 为原点，以AC ､1AA 所在直线分别为y ，z 轴，以过A 点和AC 垂直的直线为x 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()10,0,2A ，()()10,22,0,(220),2,2,2，，C B B 且设()1101λλ=≤≤ A E A C ，1(0,2,2)A C =-，得(),22E λ-所以()0,,22AE λ=-，0)= AB 设平面EAB 的一个法向量()1,,n x y z = ，由1AE n ⊥ ，1AB n ⊥得：(22)0y z λ⎧+-=⎪+=，取121,1,1n λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ，由（1）知1AB ⊥平面1A BC ，所以平面CEB的一个法向量)12AB = ，所以11112π1cos 32AB n AB n ⋅==，解得12λ=，∴点E 为线段1AC 中点时，二面角A BE C --的大小为2π3.22.如图，已知圆22:430M x x y -++=，()1,P t -为直线:1l x =-上一动点，O 为坐标原点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B.（1）证明直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）求线段AB 中点的轨迹方程；（3）若两条切线PA ，PB 与y 轴分别交于点S ，T ，求ST 的最小值.【答案】（1）证明见解析，定点5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()221112636x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭（3）22【解析】【分析】（1）求出以P 为圆心，PA 为半径的圆P 的方程，再根据线段AB 为圆P 和圆M 的公共弦，将两圆的方程相减可得直线AB 的方程，令直线方程中参数项的自变量为0得解；（2）设AB 的中点为点F ，直线AB 过的定点为点H ，根据几何性质可得HF 始终垂直于FM ，进而求得方程即可；（3）设切线方程为()1y t k x -=+，根据直线与圆相切化简可得228610k kt t ++-=，设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1k ，2k ，为228610k kt t ++-=的两根，表达出()1212ST k t k t k k =+-+=-，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可.【小问1详解】由题，圆M 的圆心坐标()2,0，半径为1，所以PM =，1AM =，22228=-=+PA PM AM t ，故以P 为圆心，PA 为半径的圆P 的方程为()()22218x y t t ++-=+，显然线段AB 为圆P 和圆M 的公共弦，则直线AB 的方程为()()()222221281x x y t y t +--+--=+-，即350x ty --=，所以()350x ty --=，所以直线AB 过定点5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）知，直线AB 过定点5,03⎛⎫⎪⎝⎭，AB 的中点为直线AB 与直线MP 的交点，设AB 的中点为F ，直线AB 过的定点为H ，易知HF 始终垂直于FM ，所以F 点的轨迹是以HM 为直径的圆，5,03H ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,0M ，∴点F 的轨迹方程为()221112636x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭；【小问3详解】第21页/共21页设过点P 的圆M 的切线方程为()1y t k x -=+，即0kx y k t -++=，故()2,0M 到直线0kx y k t -++=的距离1d ==，即228610k kt t ++-=，设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1234t k k +=-，21218t k k -=，把0x =代入0kx y k t -++=，得y k t =+，则()121284ST k t k t k k =+-+=-=，故当0=t 时，ST 取得最小值为22.。
四川省眉山市彭山区2024届数学高一下期末联考模拟试题含解析
四川省眉山市彭山区2024届数学高一下期末联考模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若数列{}n a 前12项的值各异，且12n n a a +=对任意的*n N ∈都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前12项值的数列为（ ） A ．31{}k a +B ．41{}k a +C ．51{}k a +D ．61{}k a +2．圆22(3)(2)4x y -++=与圆22(7)(1)36x y -+-=的位置关系是( ) A ．相切B ．内含C ．相离D ．相交3．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ） A．B ．10CD ．84．已知圆的方程为2220x y x +-=，则圆心坐标为 （ ） A ．0,1B ．()0,1-C ．()1,0D ．()1,0-5．某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品・产量之比为2:3:4.为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为 A ．16B ．24C ．32D ．486．若样本121,1,,1n x x x +++的平均数为10，其方差为2，则对于样本1222,22,,22n x x x +++的下列结论正确的是A ．平均数为20，方差为8B ．平均数为20，方差为10C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为21，方差为107．计算:2sincos12122cos 112πππ=- A．6 BCD．8．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( ) A ．92，2B ．92，2.8C ．93，2D ．93，2.89．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b =，3π4c =，则c =（ ） A ．5B ．1C ．2D ．610．已知(4-2),b (cos ,sin )a ，αα==且a b ⊥，则33sin cos sin cos αααα+-为（ ） A ．2B ．95C ．3D ．35二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
四川省眉山市高一下册第二学期期末考试数学试卷含答案【精选】.doc
眉山市高中2020届第二学期期末教学质量检测数学 试 题 卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式312+-x x ＞0的解集是 A ．（21，∞+）B ．（4，∞+）C ．（∞-，－3）∪（4，+∞）D ．（∞-，－3）∪（21，∞+） 2. 设x R ∈，向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r，则||a b +=r rA 5 10C.25D.10 3. 设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则A ．bc ac >B ．c b c a -<-C ．22b a >D ．33b a >4. 在△ABC 中内角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，且bc c b a -+=222，则角A = A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°5. 已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足011327=--a a a ，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则=86b b A ．2B ．4C ．8D ．166. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，οο105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出 A 、B 两点的距离为 A.m 2225 B ．m 225 C ．m 250 D ．m 350 7. 某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积 (结果保留π)为A ．π224+B ．π424+C ．π+24D ．π-248. ABC ∆中，AB 边上的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r，0a b ⋅=r r，||1a =r ，||2b =r ，则AD =u u u r A.1133a b -r r B.2233a b -r r C.3355a b -r r D.4455a b -r r 9. 已知数列{}n a ，如果1a ，12a a -，23a a -，……，1--n n a a ，……，是首项为1，公比为31的等比数列，则n a = A ．）（n 31123- B ．）（131123--n C ．）（n 31132- D ．）（131132--n 10. 已知x ，0>y ，12=+y x ，若yx 12+>432++m m 恒成立，则实数m 的取值范围是A ．1-≥m 或4-≤mB ．4≥m 或1-≤mC ．14<<-mD ．41<<-m11. 大衍数列，于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…则此数列第20项为 A ．180 B ．200 C ．128D ．16212. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 是等差数列，若32=a ，137=a ，则=+⋯+++)()()()(2018321a f a f a f a fA ．－2B ．－3C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卷中的相应位置. 13. 正项等比数列{}n a 中，1052=⋅a a ，则=+43lg lg a a .14. 某等腰直角三角形的一条直角边长为4，若将该三角形绕着直角边旋转一周所得的几何体的体积是V ，则V = ．15. 已知ABC ∆的面积为34，三个内角C B A 、、成等差数列，则=⋅ ．16. 如果关于x 的不等式0)(<x f 和0)(<x g 的解集分别为a (，)b 和b 1(，)1a，那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式x x ⋅-θ2cos 34202<+ 与不等式x x ⋅+θ2sin 42201<+为“对偶不等式”，且2(πθ∈，)π，那么θ= .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. （1）求n a ； （2）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是，，，c b a 设向量),(b a m =ρ，)sin (sin A B n ，=ρ，)22(--=a b p ，ρ．（1）若m ρ∥n ρ，试判断△ABC 的形状并证明；（2）若m ρ⊥p ρ，边长2=c ，∠C=3π，求△ABC 的面积．19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11=a ，且n a a nn n (221+=-≥),2*N n ∈（1）求证数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设2(21)nn nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n B .20.（本小题满分12分）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒. A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°.（1）求A 、C 两地的距离；（2）求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)21.（本小题满分12分）、设函数1)(2--=mx mx x f .（1）若对于一切实数0)(,<x f x 恒成立，求m 的取值范围； （2）对于]3,1[∈x ，5)(+-<m x f 恒成立，求m 的取值范围．22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和)(42*2N n S n n ∈-=+，函数()f x 对任意的x R ∈都有()(1)1f x f x +-=，数列{}n b 满足)1()1()2()1()0(f nn f n f n f f b n +-++++=K .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，n T 是数列{}n c 的前n 项和，是否存在正实数k ，使不等式()29264n n k n n T nc -+>对于一切的*n N ∈恒成立？若存在请求出k 的取值范围；若不存在请说明理由．眉山市高中2020届第二学期期末教学质量检测数学参考答案及评分意见 2018.0713.1 14.364π 15.816. 65π三、解答题 (本题共6小题，共70分) 17.(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩解得113a q =⎧⎨=⎩因此13n n a -=. ……………………………5分 （2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==. …………………………10分 18.解：（1）ABC 为等腰三角形；证明：∵ m ρ=（a ，b ），=n ρ（sinB ，sinA ），m ρ∥n ρ，∴B b A a sin sin =， …………………………2分即R a a2=Rbb 2，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴b a = ∴△ABC 为等腰三角形…………………………4分（2）∵)2,2(--=a b p ρ，由题意m ρ⊥p ρ，∴0)2()2(=-+-a b b aab b a =+ ………………………6分由余弦定理可知，4=a 2+b 2﹣ab=（a+b ）2﹣3ab ………………………8分 即（ab ）2﹣3ab ﹣4=0，∴ab=4或ab=﹣1（舍去） ………………………10分 ∴S=21absinC=21×4×sin 3π=3． ………………………12分 19.解：（1）∵122nn n a a -=+ ∴12122n n n n a a -=+ ∴11122n n n n a a --=+， 即11122n n nn a a ---= ………………………2分 ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项11122a =，公差为1. ………………………4分 ∴121(11222n na n n -=+-⨯=）∴21=22nn n a -⋅ ………………………6分 (2)由（1）21=22n n n a -⋅，2(21)nn n b n a =+=2(21)(21)n n -+=112121n n --+ …8分 ∴数列{}n b 的前n 项和n B =1231+n n b b b b b -++++L =11()13-+11()35-+11()57-+L +11()2321n n ---+11()2121n n --+ …………10分 =121=2121nn n -++ ……………12分 20.解：（1）由题意，设AC ＝，则BC ＝－217×340＝－40. ……………2分 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝BA 2＋AC 2－2×BA ×AC ×cos ∠BAC ， ……………4分 即(－40)2＝10 000＋2－100，解得＝420. ……………6分 ∴A 、C 两地间的距离为420m. ……………7分 （2）在Rt △ACH 中，AC ＝420，∠CAH ＝30°，所以CH ＝AC ×tan ∠CAH ＝140 3. ……………10分 答 该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米． ……………12分21.解：（1）解 (1)要使m 2－m －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意； ……………2分若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. ……………4分 ∴ 实数m 的范围(]4,0-－4<m ≤0. ……………6分 （2）方法1 当∈[1,3]时，f ()<－m ＋5恒成立，即当∈[1,3]时，m (2－＋1)－6<0恒成立． ……………8分∵2－＋1＝2)21(-x ＋34>0，又m (2－＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ……………10分∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝43)21(62+-x 在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．综上所述，m 的取值范围是)76(，-∞. ……………12分 方法2 要使f ()<－m ＋5在∈[1,3]上恒成立．就要使m 221）（-x ＋34m －6<0在∈[1,3]上恒成立． ……………7分 令g ()＝m 2)21(-x ＋34m －6，∈[1,3]． ……………8分当m >0时，g ()在[1,3]上是增函数，∴g ()ma ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； ……………9分当m ＝0时，－6<0恒成立； ……………10分 当m <0时，g ()在[1,3]上是减函数，∴g ()ma ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0. ……………11分 综上所述，m 的取值范围是)76(，-∞. ……………12分 22.（1） 12111,244n a S +===-= …………………………1分()()21112,24242n n n n n n n a S S +++-≥=-=---=1n =时满足上式，故()1*2n n a n N +=∈ …………………3分∵()(1)f x f x +-=1∴11()()1n f f n n-+= …………………………4分 ∵12(0)()()n b f f f n n =+++L 1()(1)n f f n-++①∴12(1)()()n n n b f f f n n--=+++L (1)(0)f f ++ ② ∴①+②，得1212n n n b n b +=+∴=…………………………… 6分 （2）∵n n n b a c ⋅=，∴nn n c 2)1(⋅+= ∴，nn n T 2)1(242322321⋅++⋯+⋅+⋅+⋅=①14322)1(22423222+⋅++⋅+⋯+⋅+⋅+⋅=n n n n n T ， ②①－②得1322)1(2224+⋅+-+⋯+++=-n n n n T 即12+⋅=n n n T…………………………8分要使得不等式()29264n n k n n T nc -+>恒成立，()29260n n n T -+>Q 恒成立()24926nnnc k n n T ∴>-+对于一切的n N *∈恒成立， 即()221926n k n n +>-+……………………………10分令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+，则211)1(36)1(22)1(3611)1(236)1(11)1()1(2)(2=-+⋅+≤++-+=++-++=n n n n n n n n g 当且仅当5n =时等号成立，故()max 2g n = 所以2k >为所求.…………12分。
四川省眉山市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(教师版)
眉山市高2025届2022-2023学年度下期期末教学质量检测数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数4π4π6cos isin 33⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A.3--B.3i --C.3-+D.3-【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式求出三角函数值即可求解复数.【详解】因为4πππ1coscos πcos 3332⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，4πππsin sin πsin 3332⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，所以4π4π136cos isin 6i 33322⎛⎫⎛⎫+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A2.数据1，2，3，4，5，6，7，8的60%分位数为（）A.4.5B.5C.5.5D.6【答案】B 【解析】【分析】由百分位数的求法求60%分位数即可，【详解】由题设，860 4.8⨯=%，故60%分位数为5.故选：B.3.若角α是第二象限角，则是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角【答案】C 【解析】【分析】由角α是第二象限角，得到＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z，，由此能求出-2α是第一或第三象限角．【详解】∵α是第二象限角，∴＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z，∴＋k π＜＜＋k π，k ∈Z.当k 为偶数时，是第一象限角；当k 为奇数时，是第三象限角【点睛】本题考查角所在象限的求法，考查象限角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.能使平面α与平面β平行的一个条件是（）A.α与β都平行于同一条直线B.一条直线l 分别与α和β所成的角相等C.α内有无数条直线都与β平行D.α内的任何一条直线都与β平行【答案】D 【解析】【分析】平行于同一条直线的平面可能平行,也可能相交，由此判断A ；通过取特殊位置排除B ；通过取特殊位置，结合线面平行的判定定理判断C ；两个平面平行的定义：若α与β没有公共点，则α与β平行.根据条件可得α与β没有公共点，再根据平面与平面平行的定义判断D.【详解】对A ，若α与β都平行于同一条直线,则α与β可能平行，也可能相交，故A 错误；对B ，若α与β相交，直线l 与α和β都平行，则直线l 与平面α和β成的角相等，都是0 ，而此时α与β不平行，故B 错误；对C ，设α与β相交于直线,,//l a a l α⊂，则a β⊄，则//a β，则α内所有与a 平行的直线（除外）都与β平行，即α内有无数条直线都与β平行,而此时α与β不平行，故C 错误.对D ，若α内的任何一条直线都与β平行，则α与β没有公共点，故α与β平行，故D 正确.故选：D.5.sin105sin15cos105cos15︒︒-︒︒的值为（）A.32B.12C.0D.12-【答案】B 【解析】【分析】利用两角和的余弦公式化简求得表达式的值.【详解】sin105sin15cos105cos15(cos105cos15sin105sin15)︒︒-︒︒=-︒︒-︒︒1cos(105+15)cos120cos(18060)cos 602=-︒︒=-︒=-︒-︒=︒=.故选：B6.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30B =︒，b =，2c =，则（）A.45C =︒B.15A =︒C.1a =- D.ABC 为钝角三角形【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理求解45C = 或135C = ，再分类讨论逐个判断即可.【详解】由正弦定理sin sin b c B C =得221sin 2C =，所以2sin 2C =，因为0180C << ，所以45C = 或135C = ，故三角形有两种解，故ABC 均错误，当45C = 时，1845301050A =--= ，ABC 为钝角三角形，当135C = 时，ABC 为钝角三角形，故D 正确.故选：D7.三棱台111ABC A B C -中，两底面ABC 和111A B C △分别是边长为2和1的等边三角形，1CC ⊥平面ABC .若12CC =，则异面直线AC 与1BC 所成角的余弦值为（）A.144B.77C.24D.22【答案】C 【解析】【分析】以,AC AB 为邻边作平行四边形ABDC ，则//AC BD 且AC BD =，从而可得1DBC ∠即为异面直线AC 与1BC 所成角或其补角，再解1BDC 即可.【详解】如图，以,AC AB 为邻边作平行四边形ABDC ，则//AC BD 且AC BD =，故1DBC ∠即为异面直线AC 与1BC 所成角或其补角，因为1CC ⊥平面ABC ，,BC CD ⊂平面ABC ，所以11,CC BC CC CD ⊥⊥，则114422,4422BC DC =+==+=在1BDC 中，22211114882cos 242222BD BC DC DBC BD BC +-∠===⋅⨯⨯，即异面直线AC 与1BC 所成角的余弦值为24.故选：C .8.折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB ，其半径为3，150AOB ∠=︒，点E ，F 分别在 AB ，CD 上，且2FE OF =，则AF OE ⋅的取值范围是（）A.156,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.933,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.33,322⎡-+⎢⎣⎦D.936,32⎡-+⎢⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围.【详解】设AOE θ∠=，则0150θ≤≤，因为13AF AO OF AO OE =+=+，所以2111()33cos(180)99cos 3333AF OE AO OE OE AO OE OE θθ⋅=+⋅=⋅+=⨯⨯-+⨯=-+，又0150θ≤≤ ，所以3cos 12θ-≤≤，所以369cos 332θ-≤-+≤+，所以AF OE ⋅ 的取值范围是936,32⎡-+⎢⎣⎦.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某运动员在一次射击训练中射靶10次，其命中环数依次为7，5，8，9，6，6，7，7，8，7，则该运动员射击成绩的（）A.众数为7B.中位数为8C.平均数为7D.方差为65【答案】ACD 【解析】【分析】根据众数的定义即可判断A ，根据中位数、平均数、方差的公式计算即可判断BCD.【详解】对选项A ：根据众数的定义知，该运动员射击成绩出现环数最多的是7环，正确；对选项B ：把10个射击成绩从小到大排列为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以该运动员射击成绩的中位数为7772+=，错误；对选项C ：该运动员射击成绩的平均数为7589667787710+++++++++=，正确；对选项D ：该运动员射击成绩的方差为2222222222(77)(57)(87)(97)(67)(67)(77)(77)(87)(77)6105-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=，正确.故选：ACD10.已知单位向量a ，b满足2-= a b ，则以下结论正确的有（）A.12a b ⋅=B.()a ab ⊥- C.向量a，b的夹角为30︒D.b 在a 上的投影向量为12a【答案】AD 【解析】【分析】将2-=a b 两边平方结合数量积得运算律即可判断A ，由()0a a b ⋅-= 是否成立即可判断B ，根据数量积夹角的求法即可判断C ，根据投影向量得定义即可判断D.【详解】由单位向量a ，b满足2-= a b ，得()2222444413a ba ab b a b -=-⋅+=-⋅+=，所以12a b ⋅= ，故A 正确；因为()211122a ab a a b ⋅-=-⋅=-= ，所以(),a a b - 不垂直，故B 错误；1cos ,2a b a b a b ⋅==，0,180a b ︒︒≤≤ ，所以向量a ，b的夹角为60︒，故C 错误；b 在a上的投影向量为12a b a aa a ⋅=⋅，故D 正确.故选：AD.11.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.12A ωϕ=B.函数()f x 的图象关于直线56x =对称C.函数()f x 在2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.将函数.2x f ω⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x 为偶函数【答案】ACD 【解析】【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数性质及图象变换判断各选项．【详解】对A ，根据函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，可得2A =，12π1144312T ω=⨯=-，所以2πω=，利用五点法作图，可得12ππ3ϕ⨯+=，可得π3ϕ=，所以()π2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则124A ωϕπ==，故A 正确；对B ，令56x =，求得()0f x =，故函数()y f x =的图象不关于直线56x =对称，故B 错误；当2,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,333x ππ5ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 单调递增，故C 正确；对D ，22ππ2sin 2π2sin 22π33x x f x ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+=+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把其图象向左平移π12个单位可得()πππ2sin 22sin 22cos 21232x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭=⎝⎝，根据余弦函数cos y x =为偶函数，可知()g x 为偶函数，故D 正确．故选：ACD ．12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱CD 上的动点，则下列结论正确的是（）A.1AD 与1B E 所在的直线异面B.11B E AD ⊥C.三棱锥111A EB D -的体积为定值 D.直线1AB 与平面1ACD 所成角的正弦值为63【答案】ABCD 【解析】【分析】连接11,A D B C ，设11A D AD O ⋂=，说明直线1B E 不过点O ，即可判断A ；证明1AD ⊥平面11A B CD ，结合线面垂直的性质即可判断B ；说明三棱锥111E A B D -的体积为定值，即可判断C ；先利用等体积法求出点1B 到平面1ACD 的距离，从而可求得直线1AB 与平面1ACD 所成角的正弦值.【详解】如图，连接11,A D B C ，设11A D AD O ⋂=，则1AD 平面11A B CD O =，1B E ⊂平面11A B CD ，因为E 是棱CD 上的动点，所以直线1B E 不过点O ，所以1AD 与1B E 所在的直线异面，故A 正确；在1111ABCD A B C D -中，11,AD A D CD ⊥⊥平面11ADD A ，因为1AD ⊂平面11ADD A ，所以1AD CD ⊥，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面11A B CD ，所以1AD ⊥平面11A B CD ，又1B E ⊂平面11A B CD ，所以11B E AD ⊥，故B 正确；对于C ，因为//CD 平面1111D C B A ，E CD ∈，所以点E 到平面1111D C B A 的距离为定值，即三棱锥111E A B D -的高为定值，又因111A B D S △为定值，所以三棱锥111E A B D -的体积为定值，即三棱锥111A EB D -的体积为定值，故C 正确；对于D ，设正方体的棱长为2，则111AC AD CD AB ====，11111111111111B ACD ABCD A B C D B ABC C B C D A B A D D ACDV V V V V V ------=----111111118222222222222222323232323=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，112ACD V =⨯= ，设点1B 到平面1ACD 的距离为d ，则1833⨯=，所以d =所以直线1AB 与平面1ACD 所成角的正弦值为163dAB ==，故D 正确.故选：ABCD .【点睛】1.方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某学校高中一年级有男生500人，女生400人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，则所抽取的女生人数为______.【答案】20【解析】【分析】先求出抽样比,再乘以样本容量即可得到应抽取的女生人数.【详解】从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，其抽样比例为45150040020=+，所以抽取的女生人数为14002020⨯=.故答案为：20.14.已知平面向量()3,1a = ，()1,1b =- ，(),6c x =-.若()2//a b c + ，则x ＝______.【答案】2-【解析】【分析】根据向量坐标运算及向量共线的充要条件得到方程，解出即可.【详解】()()()23,121,11,3a b +=+-=，因为()2//a b c + ，则36x =-，解得2x =-，故答案为：2-.15.复平面内复数185i z =+，242i z =+对应的两点之间的距离为______.【答案】5【解析】【分析】先求出两点坐标，再用两点间距离公式求解.【详解】在复平面内，复数185i z =+，242i z =+，对应的两点的坐标分别为(8,5)，(4,2)，则两点间的距离为5=，故答案为：5.16.如图，三棱锥A BCD -中，平面ACD ⊥平面BCD ，ACD 是边长为2的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒.若A ，B ，C ，D 四点在某个球面上，则该球体的表面积为______.【答案】52π3##52π3【解析】【分析】作出相关面的外心，利用面面垂直的性质、勾股定理以及正弦定理即可得到答案.【详解】作出底面BCD 的外心1O ，侧面ACD 的外心2O ，取CD 中点E ，连接AE ，因为平面ACD ⊥平面BCD ，面ACD 平面BCD CD =，因为ACD 是边长为2的等边三角形，所以AE CD ⊥，又因为AE ⊂平面ACD ，所以⊥AE 平面BCD ，由球的性质可得1OO ⊥平面BCD ，所以12//OO O E ，同理21//OO O E ，所以四边形12OO EO 为平行四边形，故1211333OO O E AE ===⨯，在BCD △中，因为2BD CD ==，120BDC ∠=︒，则30DBC ∠=︒，设BCD △的外接圆半径为r ，根据正弦定理有242sin sin 30DC r DBC ===∠︒，则2r =，设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ，则222221313233R OO r ⎛=+=+= ⎝⎭，则外接球的表面积为2524ππ3R =.故答案为：52π3.【点睛】关键点睛：本题关键在于利用正弦定理与球的截面性质求得BCD △的外接圆半径r 与1OO ，从而利用勾股定理即可得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数1i z m =+，22i z m =+，其中i 是虚数单位，m ∈R .（1）若12z z ⋅为纯虚数，求m 的值；（2）若211220z z -+=，求21z z 的虚部.【答案】（1）0（2）12-【解析】【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可；（2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可.【小问1详解】由题意得，()()()212i 2+i +2i z z m m m m ⋅=+=+因为12z z ⋅为纯虚数，所以0m =且220m ≠+，解得0m =.【小问2详解】因为1i z m =+，所以()()2i 2i 20m m +-++=，即()()2121i 0m m -+-=，所以1m =，所以212i (2i)(1i)31i 1i (1i)(1i)22z z ++⋅-===-++⋅-，所以21z z 的虚部为12-.18.已知函数()22cos f x x x m =++在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.（1）求常数m 的值；（2）当x ∈R 时，求函数()f x 的最小值，以及相应x 的集合.【答案】（1）2-（2）3-，2π|π,Z 3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式及两角和的正弦公式化成标准形式，根据x 的范围求函数的最大值，然后让最大值等于1即可求解；（2）当x ∈R 时，根据正弦函数的性质求函数的最小值及取到最小值时的x 的值.【小问1详解】2()22cos f x x x m =++21cos 2x x m=+++π2sin 216x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当ππ262x +=即π6x =时，函数()f x 取得最大值，于是有max π()(2116f x f m ==++=，解得2m =-；【小问2详解】由（1）得π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当x ∈R 时，函数()f x 的最小值为213--=-，此时π3π22π62x k +=+，解得2ππ(Z)3x k k =+∈即2π|π,Z 3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭时()f x 取最小值，所以所求集合为2π|π,Z 3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.19.为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），将全部数据按区间[)0,50，[)50,100，…，[]350,400分成8组，得到如下的频率分布直方图：（1）求图中a 的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）.【答案】（1）0.001a =，平均值为182.5（2）第一档的范围是[]0,233，第二档的范围是(233,350]，第三档的范围是(350,)+∞.【解析】【分析】（1）根据频率和为1列出方程解出a ，再根据频率分布直方图计算平均值即可；（2）根据百分位数定义计算即可.【小问1详解】由直方图可得，样本落在[0,50),[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]的频率分别为50a ,100a ,200a ,0.3,150a ,100a ,50a ,50a ，由501002000.315010050501a a a a a a a +++++++=，解得0.001a =，则样本落在[0,50),[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[]350,400的频率分别为0.05,0.1,0.2,0.3,0.15,0.1,0.05,0.05,所以月用电量的平均值为050501001001501502002002500.050.10.20.30.150.122222+++++⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯2503003003503504000.050.05182.5222++++⨯+⨯=，【小问2详解】为了使75%的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的75%分位数；20%的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的95%分位数.因为0.050.10.20.30.65,0.050.10.20.30.150.8+++=++++=，则使75%的居民缴费在第一档，月用电量的75%分位数位于[200,250)区间内，于是0.750.65200502330.80.65-+⨯≈-.又0.050.10.20.30.150.10.050.95++++++=,所以95%对应的用电量为350.所以第一档的范围是[]0,233，第二档的范围是(233,350]，第三档的范围是(350,)+∞.20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知221cos 2a c bc ab C --=.（1）求角A 的大小；（2）若a =，求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）2π3（2）4+【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简计算可得；（2）由正弦定理边角关系可得134sin cos 22b c B B ⎛⎫+==+ ⎪ ⎪⎝⎭，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】因为222222221cos 222a b c a b c a c bc ab C ab ab +-+---==⨯=，所以222b c a bc +-=-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又0πA <<，所以2π3A =；【小问2详解】由正弦定理可知:4sin sin sin 32a b c A B C ====，则4sin ,4sin b B c C ==，所以π13π4sin 4sin 4sin sin 4sin cos 4sin 3223b c B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为π03B <<，所以ππ2π333B <+<，所以3πsin 123B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以4b c <+≤，所以4a b c <+++≤，所以ABC 周长的取值范围为4+.21.在ABC 中，点P 为ABC 所在平面内一点.（1）若点P 在边BC 上，且13BP PC = ，用AB ，AC 表示AP ；（2）若点P 是ABC 的重心.①求证：0PA PB PC ++=；②若35sin 21sin 15sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅= ，求cos BAC ∠.【答案】（1）3144AP AB AC =+ （2）①证明见解析；②1314.【解析】【分析】（1）作辅助线利用向量的平行四边形法则及向量的线性运算即可求解；（2）①利用重心的概念及向量的线性运算即可证明；②通过向量分解得到sin :sin :sin 3:5:7A B C =，利用正弦定理及余弦定理即可求解cos BAC ∠.【小问1详解】如图：过点P 作PD CA 交AB 于点D ，PE BA ∥交AC 于点E ，则四边形ADPE 为平行四边形，所以AP AD AE =+ ，由13BP PC = ，所以34AD CP AB CB ==，即34AD AB = ，同理14AE BP AC BC ==，即14AE AC = ，所以3144AP AB AC =+ ；【小问2详解】①如图：延长AP 交BC 于点F ，因为点P 是ABC 的重心，所以点F 为BC 的中点，且2AP PF =，所以2PA PF =- ，即20PA PF += ，又2PB PC PF += ，所以0PA PB PC ++= ；②点P 是ABC 的重心时，由①知0PA PB PC ++= 及35sin 21sin 15sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅= ，所以35sin :21sin :15sin 1:1:1A B C =，所以sin :sin :sin 3:5:7A B C =，由正弦定理知::sin :sin :sin 3:5:7a b c A B C ==，不妨设3,5,7a t b t c t ===，0t >，由余弦定理得2222222549913cos 225714b c a t t t BAC bc t t +-+-∠===⨯⨯.22.已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB DC ，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且1PA AD DC ===，2AB =，M 是PB 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAC ；（2）判断直线CM 与平面PAD 的位置关系，并证明你的结论；（3）求二面角A MC B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）//CM 平面PAD ，证明见解析（3）23-【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可证明；（2）利用线面平行的判定定理即可证明；（3）几何法求解.先确定二面角的平面角，再利用解三角形知识求角.【小问1详解】由PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，在直角梯形ABCD 中，222AB AC BC =+，则AC BC ⊥，又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ；【小问2详解】//CM 平面PAD ，证明如下：如图：取PA 中点E ，连接ME ，DE ，由于M 是PB 的中点，故ME AB ∥，且1ME =，由AB DC ，则ME DC ∥，且ME DC =，从而四边形CDEM 是平行四边形，故CM DE ∥，又CM ⊄平面PAD ，DE ⊂平面PAD ，所以//CM 平面PAD ；【小问3详解】作AN CN ⊥，垂足为N ，连接BN，如图：在Rt PAB 中，AM MB =，又AC CB =，所以AMC ≌BMC △，可得AN BN =，则AMN ≌BMN ，故BN CM ⊥，故ANB ∠为所求二面角的平面角，由（1）知BC ⊥平面PAC ，由PC ⊂平面PAC ，可得BC PC ⊥，在Rt PCB 中，CM MB =，所以52CM AM ==，在等腰三角形AMC中，AN MC AC ⋅=，所以3302552AN ==，因为2AB =，在ANB 中，由余弦定理得2222cos 23AN BN AB ANB AN BN +-∠==-⨯⨯，所以二面角的余弦值为2 3 .【点睛】方法点睛：立体几何图形证明线面、面面位置关系或求线面、面面角可从以下几点考虑：（1）证明线面、面面位置关系的一般方法是利用相关的判定定理和性质定理，需注意二者的相互转化.若有坐标系也可利用向量法证明.（2）求线面、面面角的一般方法是向量法，若图形容易确定所求角，也可利用几何法，结合解三角形知识求角.。
2023-2024学年四川省眉山市东坡区部分学校高一(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年四川省眉山市东坡区部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设平面向量a =(1,2)，b =(x,−3)，若a //b ，则x =( )A. −6B. −32C. −23D. 62.已知平行四边形ABCD 中，AB =(1,2)，C(5,3)，则点D 的坐标为( )A. (2,−1)B. (−4,−1)C. (4,1)D. (6,5)3.在△ABC 中，已知A =120°，AB =5，BC =7，则AC 为( )A. 4B. 5C. 3D. 64.如图，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量{i ,j }作为基底，若|a |= 2，θ=45°，则向量a 的坐标为( )A. (1,1)B. (−1,−1)C. ( 2,2)D. (− 2,−2)5.已知α∈(0,π4)，sin2α=35，则sin (α+π4)=( )A.525B.55C. 255D. 456.若sin θ2−cos θ2=12,π2<θ<π，则cosθ=( )A. −74B.74C. −34D. 347.在△ABC 中，若2a−b =2ccosB ，cosA +cosB =1，则△ABC 一定是( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 无法确定8.已知向量a ,b ，若|a |=|b |=1,a 与b 的夹角为60°；若a +b 与ta−b 的夹角为钝角，则t 取值范围为( )A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (−1,1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(−1,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.要得到函数y =cos (2x +π3)的图象，只需将函数y =cosx 图象上所有点的坐标( )A. 向右平移π6个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)B. 向左平移π3个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)C. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π12个单位长度10.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )A. ω=2B. 函数y =f(x−π6)为偶函数C. 函数y =f(x)的图象关于直线x =−5π12对称D. 函数y =f(x)在[−π3,π12]上的最小值为−311.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =b(2cosA +1)，则下列结论正确的有( )A. A =2BB. 若a =3b ，则△ABC 为直角三角形C. 若△ABC 为锐角三角形，1tanB −1tanA 的最小值为1D. 若△ABC 为锐角三角形，则c a 的取值范围为( 22,2 33)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年四川省眉山市仁寿县三校联考高一(下)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年四川省眉山市仁寿县三校联考高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数(1−i )2的虚部为( )A. −2B. 2C. −2iD. 2i2.已知向量a =(2m,1),b =(1,−3)，若a ⊥b ，则实数m =( )A. −23B. 23C. 32D. −323.甲、乙两位同学去参加某高校科研项目面试.已知他们通过面试的概率都是45，且两人的面试结果相互之间没有影响，则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为( )A. 425B. 45C. 2425D. 8254.已知A ，B ，C ，D 四点在平面α内，且任意三点都不共线，点P 在α外，且满足AP +BP−3CP +zDP =0，则z =( )A. 0B. 1C. 2D. 35.在△ABC 中，点E 为△ABC 的重心，则EC =( )A. 13AB−23ACB. −13AB +23ACC. −13AB−23ACD. 13AB +23AC 6.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断错误的是( )A. 若m ⊂α，n ⊂α，m⋂n =A ，m//β，n//β，则α//βB. 若m ⊥α，n//α，则m ⊥nC. 若m//α，n ⊂α，则m//nD. 若α⊥β，α⋂β=m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β7.如图，平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB = 2，AD = 2，AA 1=2 2，且∠A 1AD =∠A 1AB =60°，则线段AC 1的长为( )A. 2 6B. 2 5C. 26D. 3 38.一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，则红球的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共4小题，共20分。
四川省眉山市东坡区2023-2024学年高一下学期6月期末联合考试数学试题
当直线 l
经过点
(-1,1)
时， l
与曲线 C
有两个不同的交点，此时
k
=
1- 0 -1+ 3
=
1 2
，直线记为 l1
；
当l
与半圆相切时，由
|
3k -1| k2 +1
=
1，得
k
=
3 4
，切线记为 l2
，
分析可知当
1 2
£
k
<
3 4
时，
l
与曲线
C
有两个不同的交点，即实数
k
的取值范围是
é êë
1 2
,
3 4
1 2
B．1
C． 5
2
D． 3 2
二、多选题
9．设
A，B
为两个随机事件，若
P
(
A)
=
1 2
,
P(B)
=
3 4
，则下列结论中正确的是（
）
A．若
A
Í
B
，则 P (
AU
B)
=
1 2
B．若
P
(
A
Ç
B)
=
3 8
，则
A，B
相互独立
C．若
A
与
B
相互独立，则
P
(
A
È
B)
=
5 8
D．若
A
与
B
相互独立，则
P
(
A
I
B
)
=
9．BD 【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断 A；根据相互独立事件及对立事件的交事 件的概率公式即可判断 BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断 C.
2023-2024学年四川省眉山市东坡区两校高一下学期期末联考数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省眉山市东坡区两校高一下学期期末联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.OA +BC−BA =( )A. OBB. COC. ACD. OC2.平面向量a =(1,−2)，b =(−2,x )，若a //b ，则x 等于( )A. 4B. 2C. −1D. −43.sin 4π3cos 5π6tan (−4π3)=( )A. −3 34B.3 34C. −34D.344.已知复数z =3+i1+i (i 是虚数单位)，则z 所对应的点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.在ΔABC 中，若a cos B =c ，则ΔABC 的形状是( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形6.关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是( )A. f(x)的最小正周期为π2B. f(x)是偶函数C. f(x)的图象关于直线x =kπ2(k ∈Z)对称D. f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k ∈Z)内单调递增7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP ⋅AB 的取值范围是( )A. (−2,6)B. (−6,2)C. (−2,4)D. (−4,6)8.已知函数f(x)=sin (ωx +π3)，(ω>0)在区间[−2π3,5π6]上是增函数，且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是( )A. (0,15]B.[12,35] C.[16,15] D.[12,52)二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )A. 若|a|=0，则a=0B. AB+BA=0C. 若e1,e2为单位向量，则e1=e2D. a|a|是与非零向量a共线的单位向量10.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是( )A. b=7,c=3,C=π6B. b=5,c=6,C=π4C. a=6,b=33,B=π3D. a=20,b=15,B=π611.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )A. 函数y=f(x)的图象关于点(−π12,0)对称B. 函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称C. 函数y=f(x)在[−2π3,−π6]单调递减D. 该图象向右平移π12个单位可得y=2sin3x的图象三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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四川省眉山市高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2019·永州模拟) 若集合，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）设椭圆＋＝1和x轴正半轴交点为A，和y轴正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB面积最大值为（）
A . a
B . a
C . a
D . 2a
3. （2分） (2016高二上·襄阳期中) 已知一组数据x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，2x4﹣1，2x5﹣1的平均数，方差分别是（）
A . 3，
B . 3，
C . 4，
D . 4，
4. （2分） (2017高二上·大庆期末) 某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是
（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）(2016·肇庆模拟) 下列说法中不正确的个数是（）
①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件
②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx0≥1”
③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
6. （2分）已知中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径是1,，且满足条件
,则的面积的最大值为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）平面内有三点，设，，若，则有（）
A . 三点必在同一直线上
B . △ 必为等腰三角形且为顶角
C . △ 必为直角三角形且
D . △ 必为等腰直角三角形
8. （2分） (2018高一下·北京期中) 已知在△ABC中，，则＝（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2017·青州模拟) 设函数，若不等式g（x2）＞g（ax）对一切x∈[﹣1，0）∪（0，1]恒成立，则a的取值范围是（）
A . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B . （﹣1，1）
C . （﹣1，+∞）
D . （1，+∞）
二、填空题 (共5题；共5分)
11. （1分） (2016高一下·武城期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知C= ，a=1，b= ，则B=________．
12. （1分） (2019高二上·开封期中) 已知实数、满足约束条件，则的最小值为________．
13. （1分） (2016高一下·重庆期中) 已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=（n+1）（n+2）（n∈N*），则an=________．
14. （1分） (2016高一上·泗阳期中) 关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜4}，则bc的值是________．
15. （1分） (2017高三上·九江开学考) 有下列五个命题：
①函数y=4cos2x，x∈[﹣10π，10π]不是周期函数；
②已知定义域为R的奇函数f（x），满足f（x+3）=f（x），当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，则函数f （x）在区间[0，6]上的零点个数是9；
③为了得到函数y=﹣cos2x的图象，可以将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移；
④已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1 ，x2∈[﹣， ]且f（x1）+f（x2）＞0，则x1+x2＞0；
⑤设曲线f（x）=acosx+bsinx的一条对称轴为x= ，则点（，0）为曲线y=f（﹣x）的一个对称中心．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题 (共6题；共55分)
16. （5分） (2018高一下·吉林期中) 已知向量是同一平面内的三个向量，其中 .
（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；
（Ⅱ）若，且，求与的夹角 .
17. （10分） (2016高一下·黄山期末) 已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+b，a，b为实数．
（1）当b=﹣6时，解关于a的不等式f（1）＞0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．
18. （10分） (2018高一下·汕头期末) 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
附：相关系数公式，参考数据，．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：
周光照量（单位：小时）
光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．
19. （10分）(2016·南平模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin（A﹣B）+sinC= sinA．
（1）求角B的值；
（2）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值时角A，C的值．
20. （5分）(2017·临沂模拟) 已知数列{an}，{bn}，Sn为{an}的前n项和，且满足Sn+1=Sn+an+2n+2，若a1=b1=2，bn+1=2bn+1，n∈N* ．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．
21. （15分） (2016高二下·东莞期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且对任意的n∈N*都有Sn=2an﹣n，
（1）求数列{an}的前三项a1，a2，a3；
（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明；
（3）求证：对任意n∈N*都有．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、
17-1、
17-2、
18-1、18-2、19-1、
19-2、20-1、
21-1、21-2、21-3、。