伯努利分布参数p的区间估计_F分布法

显然L1是Β的函数，可以证明其在 0, Α 内具有唯一极小值 L1min。我们可以通过程序计算其最小值 。
In[362]:= Needs "HypothesisTesting`" X RandomVariate BernoulliDistribution .15 , 10 ; n Length X ; k n Mean X ;
k L1 pU pL
k n k 1 F1 Α Β 2 n k 1 , 2 k
Α 取Β , 可得到p的等尾置信区间
2
k1 k 1 n k FΒ 2 n k , 2 k 1
k FΑ 2 2 k, 2 n k 1 pL
n k 1 k FΑ 2 2 k, 2 n k 1
k k n k 1 F1 Α 2 2 n k 1 , 2 k
1p 1p 0
tp n tp n
定理二：二项分布 B n, p 与F分布F n1, m 的分布函数分别记为 FB n,p k 和FF n1,m x ,
则有 FB n,p k
FF 2 n k ,2 k 1
k 11 p 。
nk p
In[101]:= Assuming n 0 && 0 p 1 && k Integers && 0 k n, CDF BinomialDistribution n, p , k
BetaRegularized 1 p, n Floor k , 1 Floor k 1 0
0kn kn True
BetaRegularized 1 p, k n, 1 k 1 k k n
Out[102]=
0
True
1 pp 0
0 Out[103]=
推论：由F分布的性质知 FF Α,Β p 1 从而 得 FB n,p k FF 2 n k ,2 k 1
FF Β,Α 1 p ,
k 11 p 1
nk p
FF 2 k 1 ,2 n k
nk p 。
k 11 p
伯努利分布 B p 参数p的经典置信区间 ：
设X1, X2, , Xn 为伯努利分布 B p 总体的一个 i.i.d. n为样本容量 ，
n
k
Xi 为成功数 ，根据定理一 ，知 k B n, p 。
i1
n k 1 k FΑ Β 2 k, 2 n k 1
k k n k 1 F1 Α Β 2 n k 1 , 2 k
k1 pU
k 1 n k FΒ 2 n k , 2 k 1
k 1 F1 Β 2 k 1 , 2 n k n k k 1 F1 Β 2 k 1 , 2 n k
当k 0 时，我们规定 pL 0，当k n时，我们规定 pU 1。 其区间长度
k1 pU
k 1 n k FΑ 2 2 n k , 2 k 1
k 1 F1 Α 2 2 k 1 , 2 n k n k k 1 F1 Α 2 2 k 1 , 2 n k
其区间长度
k L1 pU pL
k n k 1 F1 Α 2 2 n k 1 , 2 k
k1
k1 n k FΑ 2 2 n k , 2 k 1
In[362]:=
伯努利分布参数p的区间估计_F分布法.nb 3
Α 0.05;
"1.等尾置信区间 ："
"1.2常规区间估计 ——F比分布："
If k 0, pL 0, F FRatioDistribution 2 n k 1 , 2 k ,
q Quantile F, 1 Α 2 ,
pL k k n k 1 q ;
Clear F, q ;
If k n, pU 1, F FRatioDistribution 2 k 1 , 2 n k ,
q Quantile F, Α 2 ,
pU k 1
n kq k 1 ;
Clear F, q ;
pL, pU
"等尾区间长度 ："
L0 pU pL
Clear pLLeabharlann Baidu pU ;
"2.最短置信区间 ："
伯努利分布参数 p的区间估计 _F分布法
本文基于 Wolfram Mathematica 9, 在证明伯努利分布与二项分布的关系 、 二项分布与 F分布关系的基础上 ，给出了伯努得分布参数 p的经典等尾置信区间和区间长度 ， 以及最短置信区间和区间长度的求法 ，并通过程序实现 。
定理一：n个独立同伯努利分布 B p 的和服从二项分布 B n, p ： CharacteristicFunction BinomialDistribution n, p , t CharacteristicFunction BernoulliDistribution p , t n
Assuming n 0 && 0 p 1 && k Integers && 0 k n,
k 11 p CDF FRatioDistribution 2 n k , 2 k 1 ,
nk p
FullSimplify
, k Integers && 0 k n && 0 p 1
FullSimplify
Out[101]=
参数p的置信水平为 1 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由 FB n,p k 1
1 Α Β和 FB n,p k Β决定，其中0 Β Α。根据定理二及其推论 ，得到
FB n,p k 1
2 伯努利分布参数p的区间估计_F分布法.nb
FF 2 n k 1 ,2 k 和
k 1p nk1 p
1 FF 2 k,2 n k 1
If k 0, pL 0, F FRatioDistribution 2 n k 1 , 2 k ,
q Quantile F, 1 Α Β ;
pL k k n k 1 q
Clear F, q ;
nk1 p k 1p
1ΑΒ
k 11 p
nk p
FB n,p k FF 2 n k ,2 k 1
1 FF 2 k 1 ,2 n k
Β
nk p
k 11 p
从上两式分别得到
nk1 p FΑ Β 2 k, 2 n k 1
k 1p
k 11 p FΒ 2 n k , 2 k 1
nk p
k FΑ Β 2 k, 2 n k 1 pL
Plot L k 1
n k Quantile FRatioDistribution 2 k 1 , 2 n k , Β k 1
k k n k 1 Quantile FRatioDistribution 2 n k 1 , 2 k , 1 Α Β , Β, 0, Α
Β Α;
i Α 10;
Label begin1 ;