伯努利分布参数p的区间估计_F分布法

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各种随机变量的生成方法

各种随机变量的生成方法（1）.随机数的计算机生成一个常用的生成任意分布的随机变量的方法是先生成均匀分布的随机变量，再由它生成任意分布的随机变量。

基本原理是：若随机变量x的累积概率分布函数（即概率密度函数的积分）为Phi(x)，则Phi(x)是[0,1]区间的非减函数，Phi(x)的反函数Phi^{-1}(x)定义域为[0,1]。

设u为[0,1]区间均匀分布的随机变量，可以证明Pr(Phi^{-1}(u)<=y)=Pr(u<=Phi(y))=Phi(y)也就是说，令x=Phi^{-1}(u)的话，x的累积概率分布函数就是我们指定的Phi(.)。

则为了得到累积概率分布函数为Phi(.)的随机变量x，我们需要经过如下步骤：1.生成[0,1]区间的均匀分布的随机变量u2.令x=Phi^{-1}(u)这种方法被成为逆变换方法。

但在实际工作中，我们往往对某些常用分布用一些直接生成方式来产生，以代替逆变换方法。

以下就介绍了一些典型的分布的生成方法。

这些生成方法都是以生成均匀分布的随机变量为基础的，关于均匀分布随机变量的生成另文叙述。

（2）伯努利分布/0-1分布（Bernouli Distribution）生成离散0－1随机变量x，符合参数为p（0<p<1）的Bernouli分布BE(p)。

其累积概率分布函数为：F(x)=p if x=1F(x)=1-p if x=0生成算法：1.产生随机变量u符合(0,1)区间的均匀分布2.if u<=p then x=1;else x=03.返回x（3）二项分布（Binomial Distribution）生成离散随机变量x，符合参数为n,p的Bernouli分布BE(n,p)。

其累积概率分布函数为F(x)=\frac{n!}{(n-x)!x!}*p^x*(1-p)^{n-x},x=0,1,2,...,n生成算法：1.产生y_1,y_2,...,y_n符合Bernouli分布BE(p)2.返回x=y_1+y_2+...+y_n（4）柯西分布（Cauchy Distribution）生成随机变量x，符合参数为alpha,beta的Cauchy分布C(alpha,beta)。

伯努利概型方差公式

伯努利概型方差公式前几天写了一个概型方差公式，估计大家还没有来得及了解，这篇文章将继续写概型方差公式。

不过最近，网上出现了很多类似的数学公式，比如方差公式等等。

下面我们将介绍一个比较常用的算法：伯努利概型方差公式(Bennett Freedom Mathematical Mechanical Solutions),也就是伯努利方差公式(Bennett Freedom Mathematical Mechanical Solutions)。

伯努利概型方差公式使用两个自变量（观测值之差）来描述方差函数。

我们知道观测值的方差函数为自变量与观测值之差——通常以观测值为变量（即观测值）。

通常在求解方差方程时会用到这两个概念：观测值之差（如图1);而在求解方差方程时则通常将这两种概念结合起来来表达了一个数学计算过程并且可以用于方差方程中分析实际情形。

下面我们分别介绍伯努利概型方差公式及其求解原理和具体应用。

一、伯努利概型方差公式的原理假设有两个观测值分别是 y和 z,则用一元数表达式定义(1)和(2)式：其中 k为观测值之差; b为零，称(1- b))。

这里 p就是观察值的差异性。

在这个问题中，假定观测值 a、 b和 c 分别为 p (u, z)、 d和 z? r; e为观测值之差的绝对值；则是由观测值之差所得到的，用离散化后的概率分布形式来描述。

方差方程解时通常需要考虑以下问题：其中 a称为系数β, a和 b 两个变量；在这里 u= i, j是观测值之差；因此 p j为γ i的平方（μ j)时称该问题是一个不确定量分布的函数。

我们假设有两个变量 M与 T分别为正数以及零点 z所在方向的直线与点O的夹角。

1、当给定正假定在给定一个随机变量 x, y, t, z所在方向，即 n点方向上, m, n+1=4。

其中 k为观察值之差; p p j为观察值之差。

其中 p为观测值之差。

定义中的 t是离散分布：设 b对所有观测值之差都为0. b. p是观测值之差; c是离散分布参数; d是分布形式; n为个数。

伯努利分布的可加性

伯努利分布的可加性
伯努利分布是数学中经典的概率分布，它用简单的理论模型和参数来表示一个
随机变量的分布情况，可以用来解释某一种事件的成功和失败的情况。

伯努利分布的重要特性是其可加性，可加性是指如果满足基本性质，两个独立变量的伯努利概率分布之和也是一个伯努利概率分布。

对于一个随机变量，它满足可加性的前提条件是实验可以成功地实现无相关性，不考虑任何间接因素，它的结果完全取决于单个的原因。

因此，如果两个独立的伯努利变量X和Y之和T=X+Y依然是一个伯努利分布，这一点可以通过下面的定义验证：
P(X+Y=k)=P(X=k-l)*P(Y=l)+P(X=k-2)*P(Y=2)
+···+P(X=k)*P(Y=0)
此外，伯努利分布是一个二进制随机变量，它只有两个可能的取值：0和1。

它可以解释单个事件的成功和失败，并且可加性使得我们可以用伯努利分布来计算多个独立事件的成功和失败的概率。

可以用此方法来分析复杂的组合效应，而不用考虑每个事件的概率之间的内在联系和关联，这就是伯努利分布的可加性特征，同时也是它受到人们广泛重视的一个原因。

伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法

Out[109]=
1.等尾置信区间： 0.0771355, 0.385667 等尾区间长度： 0.308531 2.最短置信区间：
Out[112]=
Out[113]=
Out[114]=
Out[116]=
4
伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法.nb
0.38
0.36
Out[117]=
0.34
0.32
BetaDistribution k, n k Α 2 ; BetaDistribution k 1, n 1 Α 2 ;
1 , k ,
"2.最短置信区间：" Plot L Quantile BetaDistribution k 1, n k , 1 Β Quantile BetaDistribution k, n k 1 , Α Β , Β, 0, Α
设X1 , X2 ,
n
, Xn 为伯努利分布 B p 总体的一个 i.i.d. n为样本容量，
k
i 1
Xi 为成功数，根据定理一，知 k B n, p 。 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由 FB k FB
n,p n,p
参数 p的置信水平为 1 1 和 FB 从上两式分别得到 Α Β和 FB
n,p
伯努利分布参数 p的区间估计 _贝塔分布法本文基于 Wolfram Mathematica 9, 在证明伯努利分布与二项分布的关系、二项分布与贝塔分布关系的基础上，给出了伯努得分布参数 p的经典等尾置信区间和区间长度，以及最短置信区间和区间长度的求法，并通过程序实现。定理一：n个独立同伯努利分布 B p 的和服从二项分布 B n, p ： CharacteristicFunction BinomialDistribution n, p , t CharacteristicFunction BernoulliDistribution p , t n

伯努利分布的母函数

伯努利分布的母函数
伯努利分布的母函数（Characteristic Function）是一个重要的概率分布函数，它用于描述伯努利分布的性质和规律。

伯努利分布的母函数定义如下：
设随机变量X服从伯努利分布，成功概率为p（0<p<1），失败概率为1-p。

则伯努利分布的母函数F(x)为：
F(x) = ∑(binomial(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k))，其中x为随机变量X取值，n为试验次数，k为成功次数。

伯努利分布的母函数可以用来计算伯努利分布的各种概率，例如概率质量函数、累积分布函数等。

通过母函数，我们还可以计算伯努利分布的期望、方差等统计量。

需要注意的是，伯努利分布的母函数涉及组合数binomial(n, k)的计算，随着n和k的增大，计算量会迅速增加。

在实际应用中，我们可以利用计算机编程或数学软件来简化计算过程。

统计学中的统计分布与概率密度函数

统计学中的统计分布与概率密度函数统计学是一门涉及数据收集、分析和解释的学科。

在统计学中，我们经常使用统计分布和概率密度函数来了解随机变量的分布和概率性质。

本文将介绍统计分布和概率密度函数的概念及其在统计学中的应用。

一、统计分布统计分布是随机变量取值的可能性及其对应的概率的分布。

通过统计分布，我们可以了解随机变量在不同取值上的概率分布情况，从而得出更多关于数据的信息。

在统计学中，常见的统计分布包括二项分布、正态分布、泊松分布等。

下面我们将分别介绍这些常见的统计分布及其概率密度函数。

1. 二项分布二项分布是一种离散型概率分布，适用于一系列独立的伯努利试验，每个试验有两个可能的结果（成功或失败），且成功的概率保持不变。

二项分布的概率质量函数如下：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n为试验次数，k为成功次数，p为成功概率，C(n, k)为组合数。

2. 正态分布正态分布是一种连续型概率分布，也是最为常见的分布之一。

正态分布的概率密度函数如下：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差，e为自然对数的底。

正态分布具有对称性，呈钟形曲线状分布。

许多自然现象和统计现象都可以用正态分布来描述。

3. 泊松分布泊松分布是一种离散型概率分布，适用于描述计数型事件在给定时间或空间中发生的概率。

泊松分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ))/(k!)其中，λ为平均发生率，k为发生的次数。

泊松分布的特点是随机事件在时间或空间上是相互独立、出现概率相等的。

二、概率密度函数概率密度函数是用来描述连续型随机变量的概率分布的函数。

对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1) f(x) ≥ 0，对于所有的x。

2) ∫f(x)dx = 1，其中积分范围为X的全集。

概率密度函数可以用来计算连续型随机变量在某一范围内取值的概率。

数学中的概率分布正态分布与离散分布

数学中的概率分布正态分布与离散分布在数学中，概率分布是描述随机变量取值的规律性分布。

其中，正态分布和离散分布是两种重要的概率分布类型。

一、正态分布正态分布，也称为高斯分布，是一种连续性随机变量的概率分布。

它的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）具有钟形曲线的特点，对称于均值，并由两个参数来确定：均值（μ）和标准差（σ）。

正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x-μ)² / (2σ²))在正态分布中，68%的数据落在一个标准差范围内，95%的数据落在两个标准差范围内，99.7%的数据落在三个标准差范围内。

这个规律被称为“68-95-99.7规则”。

正态分布在实际应用中经常出现。

例如，人的身高、智力测验得分等都符合近似正态分布。

在统计学和自然科学研究中，正态分布被广泛用于描述和分析数据的分布情况。

二、离散分布离散分布是一种描述离散型随机变量的概率分布。

离散型随机变量是指只取有限个或可列个数值的随机变量，例如扔硬币的结果（正面或反面）或掷骰子的结果（1到6点）等。

常见的离散分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

下面分别介绍几种常见的离散分布：1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散分布之一，描述了只有两种可能结果的随机试验。

它的概率质量函数如下：P(x) = p^x * (1-p)^(1-x)，其中x={0, 1}，p为取得1的概率。

2. 二项分布二项分布描述了重复进行一系列相同的独立随机试验，且每次试验只有两种可能结果的情况。

它的概率质量函数如下：P(x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中C(n,x)表示组合数。

3. 泊松分布泊松分布用于描述单位时间或空间内某事件发生的次数的概率分布。

它的概率质量函数如下：P(x) = (e^(-λ) * λ^x) / x!，其中λ为单位时间或空间内事件的平均发生率。

伯努利分布的矩估计量

伯努利分布的矩估计量伯努利分布的矩估计量1. 引言伯努利分布是概率论和统计学中经常用到的一种重要的离散概率分布。

它是描述一个随机变量只有两个可能取值的情况，例如投硬币的结果（正面或反面）或者某个产品的合格率（合格或不合格）。

伯努利分布的概率质量函数可以表示为：$$f(x;p) =\begin{cases}p & \text{当} x=1 \text{时}\\1-p & \text{当} x=0 \text{时}\end{cases}$$其中，$p$ 是成功的概率，而 $1-p$ 则是失败的概率。

在实际应用中，我们常常需要通过样本数据来估计伯努利分布的参数，即成功的概率 $p$。

为了得到合理可靠的估计结果，我们可以使用矩估计这一常用的参数估计方法。

2. 伯努利分布的矩估计量矩估计是一种基于样本矩的参数估计方法，它的核心思想是样本矩与理论矩之间的等值关系。

对于伯努利分布而言，我们可以通过样本的均值来估计成功的概率 $p$。

设我们观测到的样本中成功的次数为$X$，则样本均值可以表示为：$$\bar{X} = \frac{X}{n}$$其中，$n$ 是总样本容量。

由于伯努利随机变量的取值只有0和1两种情况，所以 $X$ 的期望值即为成功的概率 $p$，即：$$E(X) = p$$我们可以将样本均值 $\bar{X}$ 作为成功的概率 $p$ 的矩估计量。

3. 伯努利分布的矩估计性质及优缺点矩估计有许多优点，例如计算简单、易于理解和解释等。

对于伯努利分布的成功概率 $p$，矩估计量具有以下性质：- 无偏性：当样本容量足够大时，矩估计量是无偏估计，即估计值的期望等于真实参数值。

- 一致性：随着样本容量的增加，矩估计量的方差逐渐减小，同时估计值逐渐接近真实参数值。

- 有效性：在满足一致性的前提下，矩估计量的方差趋于最小，使估计结果更加精确。

然而，矩估计也存在一些缺点。

当样本容量较小时，估计结果可能不够准确，估计量的方差较大；矩估计方法对数据分布的偏离不够敏感，可能会导致估计结果的偏差。

常用概率分布间简介

其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1）（2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得

随机变量分布律

随机变量分布律一、概述随机变量是概率论中的一个重要概念，它表示实验结果的数值化表达。

在随机变量的研究中，分布律是一个非常重要的概念。

分布律描述了随机变量取各个值的概率，是随机变量研究的基础。

二、离散型随机变量分布律1. 离散型随机变量的定义离散型随机变量是指只取有限或可数个数值的随机变量。

例如，掷骰子得到点数就是一个离散型随机变量。

2. 离散型随机变量分布律的定义设X是一个离散型随机变量，如果对于任意实数x有P(X=x)=p(x)，其中p(x)为非负函数，且满足Σp(x)=1，则称p(x)为X的分布律。

3. 离散型随机变量分布律的性质（1）0≤P(X=x)≤1（2）ΣP(X=x)=1（3）对于任意实数c和d(c<d)，有P(c≤X≤d)=ΣP(X=x)三、连续型随机变量分布律1. 连续型随机变量的定义连续型随机变量是指取值范围为一段区间的随机变量。

例如，身高、体重等就是连续型随机变量。

2. 连续型随机变量分布律的定义设X是一个连续型随机变量，如果存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x有P(X=x)=0，且对于任意实数a和b(a<b)有P(a≤X≤b)=∫f(x)dx，则称f(x)为X的概率密度函数。

3. 连续型随机变量分布律的性质（1）f(x)≥0（2）∫f(x)dx=1（3）对于任意实数c和d(c<d)，有P(c≤X≤d)=∫c~d f(x)dx四、常见分布律1. 伯努利分布伯努利试验是指只有两种结果的试验。

例如，掷硬币正反面就是一个伯努利试验。

当试验成功时，记为1；当试验失败时，记为0。

伯努利分布就是描述这种试验结果概率的分布律。

2. 二项式分布二项式分布是由n个独立重复进行的伯努利试验所构成的概率模型。

例如，抛n次硬币，正面朝上的次数就是一个二项式分布。

3. 泊松分布泊松分布是描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。

例如，单位时间内到达某个地方的车辆数、单位时间内接到的电话数等都可以用泊松分布来描述。

三种分布介绍(正态分布,伯努利分布,泊松分布)

1、正态分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution），若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

当μ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布N（0，1)。

概率密度函数为：正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

2、伯努利分布如果随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为：则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布，若令q=1一p，则X的概率函数可写为：伯努利分布（二点分布）的期望E(X)=p，D(X)=p(1-p)。

（其中，离散数据的方差计算公式为D(X)=E{[X-E(X)]^2}）n重伯努利分布（二项分布）的期望E(X)=np，D(X)=np(1-p)。

3、泊松分布在统计学上，只要某类事件满足三个条件，它就服从"泊松分布"。

三个条件分别是：①事件X的发生是小概率事件②事件X的发生是随机而且互相独立的③事件X发生的概率相对稳定。

泊松分布的公式为：各个参数的含义：单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率，即P（X=k）事件X发生k次的概率，λ表示事件X稳定发生的概率。

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似。

设X~B（n,p)，当n很大,p很小,且λ＝np适中时,有P(x=k)≈λ^k/k! ·e^(-λ)，推导过程如下所示：为第二重要极限公式，上面的推到会涉及到。

10分布参数体系

10分布参数体系分布参数体系是概率统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量的分布情况。

它包括了多种常见的概率分布，每个分布都有自己的参数来描述它的特征。

下面我将介绍十种常见的分布参数体系。

1. 正态分布（Normal distribution）是最常见的分布之一，它的参数是均值μ和标准差σ。

正态分布是一个对称的钟形曲线，大部分数据点集中在均值附近，标准差越小，曲线越窄。

2. 二项分布（Binomial distribution）描述了重复n次的独立的二元试验中成功的次数。

它的参数是试验次数n和成功的概率p。

4. 几何分布（Geometric distribution）描述了在一系列独立的伯努利试验直到首次成功之间所需的试验次数。

它的参数是成功的概率p。

5. 负二项分布（Negative binomial distribution）描述了在一系列独立的伯努利试验中直到r次成功所需的试验次数。

它的参数是成功的概率p和成功的次数r。

6. 均匀分布（Uniform distribution）描述了一个随机变量在一个有限的区间上取值的概率是相等的。

它的参数是最小值a和最大值b。

9. 威布尔分布（Weibull distribution）是一种常用的可靠性分布，用于描述时间到达或设备故障的概率。

它的参数是形状参数k和尺度参数λ。

10. 贝塔分布（Beta distribution）是用于描述在一个有限区间内的概率分布，例如概率或比例。

它的参数是两个形状参数α和β。

这些分布参数体系是概率统计学中最常见的分布，它们在不同领域的数据分析和建模中发挥了重要的作用。

通过确定合适的参数值，我们可以根据这些分布来描述和预测随机变量的行为。

这对于决策和风险评估非常重要。

伯努利分布b(1,p),样本方差的概率分布

题目：深度探讨伯努利分布b(1,p)和样本方差的概率分布一、伯努利分布b(1,p)伯努利分布是概率论和统计学中常见的离散概率分布，它描述了在单次试验中两种可能结果（成功和失败）的概率分布。

伯努利分布的参数p表示成功的概率，而1-p表示失败的概率。

在实际应用中，我们经常使用伯努利分布来模拟二元随机变量，比如抛硬币的结果、产品合格或不合格的判断等。

接下来，我们来探讨下伯努利分布b(1,p)的一些特性。

我们可以通过数学公式得出伯努利分布的期望和方差。

伯努利分布b(1,p)的期望E(X)等于p，方差Var(X)等于p(1-p)。

这意味着当成功的概率p越接近0或1时，方差越小，成功和失败的差异越大；当成功的概率p接近0.5时，方差达到最大值，成功和失败的差异最小。

伯努利分布还具有独立性和相加性的特性。

如果我们进行了多次伯努利试验，每次试验都是独立的，并且具有相同的成功概率p，那么这些独立的伯努利试验的结果之和将呈现出二项分布的特性。

这为我们在实际问题中的应用提供了便利，比如在进行多次重复实验时，可以利用二项分布来描述成功次数的分布情况。

总结：通过对伯努利分布b(1,p)的深入探讨，我们可以清晰地了解它的数学特性和在实际中的应用。

伯努利分布作为最简单的概率分布之一，具有清晰的特性和广泛的应用领域，为我们理解概率分布提供了一个良好的起点。

二、样本方差的概率分布在统计学中，样本方差是描述样本数据离散程度的重要指标。

它衡量了样本数据与样本均值之间的差异程度，是对数据变异性的度量。

在实际应用中，我们经常需要研究样本方差的概率分布，以便进行假设检验、置信区间估计等统计推断。

下面我们来探讨一下样本方差的概率分布特性。

在数理统计中，样本方差的概率分布通常服从卡方分布。

如果我们有n个来自总体分布为正态分布的随机变量X的样本数据，那么这n个样本数据的样本方差S^2服从自由度为n-1的卡方分布。

卡方分布是一种右偏且非对称的分布，其形状由自由度决定。

伯努利分布与两点分布的区别

伯努利分布与两点分布的区别
伯努利分布与两点分布的区别在于：
1. 定义不同：伯努利分布是指只有两种可能结果的随机试验，
例如抛硬币的结果只有正面和反面两种可能；而两点分布是指随机变
量只能取两个取值，即0和1。

2. 参数不同：伯努利分布的参数是成功的概率，记为p；两点分布的参数是取值为1的概率，记为q。

3. 应用场景不同：伯努利分布常用于描述单次试验的成功与否，例如在进行一次射击时，命中目标或未命中的结果可以用伯努利分布
来描述；两点分布常用于描述某个事件是否发生，例如投掷n次硬币，正面朝上的次数可以用两点分布来描述。

4. 概率密度函数不同：伯努利分布的概率密度函数为：P(X=k)
= p^k(1-p)^(1-k)，当k为0或1时有非零概率；两点分布的概率密
度函数为：P(X=k) = q^k(1-q)^(1-k)，当k为0或1时有非零概率。

伯努利试验定义随机变量解题教学-二项分布

1-2 二项分布前言：当今社会中，机率的理论几乎在各个领域都应用得到。

这一节我们要根据机率的概念，讨论由伯努利试验所定义出的随机变量，并导出其机率分布Recall：A、B为样本空间之二事件，且0<P(A)<1，0<P(B)<1，若P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，也就是说事件发生与否都不会影响另一事件的发生与否，则称A、B为独立事件，否则称A、B为相依事件或相关事件Recall：设A、B为样本空间之二事件，若A、B为独立事件，则P(A⋂B)=P(A)⨯P(B)Define：一个试验若为重复做多次的独立试验，我们称为重复试验Ex：(龙-例1)盒中有6张大小相同的卡片，分别标示号码1，2，2，3，3，3。

今从中一次取出一张，取完都再放回，连取三次。

求：(1)连续三次都取出1的机率。

(2)三次的总和为6的机率解：取到1，2，3的机率分别为111,,632(1)连续三次都取出1的机率为1111666216⨯⨯=(2)三次的总和为6的事件为三次都取出2或取出1，2，3各一张，其机率为11111111113!33363227654⨯⨯+⨯⨯⨯=+=Ex：(龙-例1-类) 阿呆上学时须经过三处路口，在三处路口遇到红灯的机率依次为0.4，0.4，0.6。

设此三处的红绿灯号志均互相独立。

求阿呆上学时(1)接连遇到三个红灯的机率(2)最多只遇到一次红灯的机率解：在三处路口遇到红灯的机率依次为0.4，0.4，0.6遇到绿灯的机率依次为0.6，0.6，0.4(1)接连遇到三个红灯的机率为0.4 ⨯ 0.4 ⨯ 0.6 = 0.096。

(2)最多只遇到一次红灯的机率为三次皆遇到绿灯或三次中有一次红灯，其机率为0.6 ⨯ 0.6 ⨯ 0.4 + 0.4 ⨯ 0.6 ⨯ 0.4 + 0.6 ⨯ 0.4 ⨯ 0.4 + 0.6 ⨯ 0.6 ⨯ 0.6 = 0.5521.(龙-习4)甲、乙两队进行5战3胜制的棒球比赛，前3场中甲队以1胜2败暂时落后﹒已知过去两队的比赛中，单场比赛甲队胜的机率是0.7，求最终甲队获胜的机率 Ans ：0.49Define ：假设一个试验的结果只有成功与失败两种，这样的试验称为伯努利试验Notation ：1.已知一个试验为伯努力试验，若成功的机率为p ，则失败的机率为1p - 2.许多的试验其实都可以看成是重复多次的伯努利试验，例如丢一枚硬币20次或罚球5次。

伯努利分布的概率密度函数

伯努利分布的概率密度函数
若随机变量x服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为n(μ，σ2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

当μ=0,σ=1时的正态分布是标准正态分布。

正态分布（normaldistribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（gaussiandistribution），最早由棣莫弗（abrahamdemoivre）在求二项分布的渐近公式中得到。

c.f.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

p.s.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。