第四章理想流体的动力学基础共42页文档

z
2
t
vxv y
即为葛罗米柯——兰姆形式。 由此可见：运动有有旋、有势之分。
第三节 恒定有旋流动沿流线的 伯努利方程
先做如下假定：
❖ （１）理想流体恒定流动；
❖ （２）质量力有势；
❖
（３）正压流体， P
dp f (p)
❖ （４）沿流线积分。
由条件（1） vx 0,vy 0,vz 0； t t t
葛罗米柯形式含有（2），（3）两个条件。
有法向压力。
先看质量力，FQ分力：
FQ FQ
x y
f f
x y
d d
x x
d d
y y
d d
z z
FQ
z
fz d xd
y
d
z
再看表面力，按泰勒展开，略去二阶以上 微小量，于是： 在y轴方向表面力
p p yd 2 y d x d z p p yd 2 y d x d z p yd x d y d z
第四节 恒定有势流动中的欧拉积分
恒定流动， vx 0,vy 0,vz 0, p 0,
t t t t
有势则： ωxωyωz 0, 葛—兰方程变成
v2
(U P ) 0
x
2
(U P v 2 ) 0
y
2
v2
(U P ) 0
z
2
U P v 2 与x,y,z无关，也与t无关，分乘 2
t
（4-３） （4-４）
这就是理想流体运动运动微分方程——欧
拉方程。
对静止流体 d v 0 ,
dt
v F
1
grad
pv
0
变为平衡欧拉方程。
（4-3）中未知量：vx,vy,vz, p,ρ
fx , fy , fz已知，联立连续方程
d(vx vy vz)0
dt x y z
对不可压缩ρ=const，四个方程封闭可解。
将上式各式左边分乘dx,dy,dz，右边分乘 vxdt，vydt，vzdt，相加，有
(UPv2)dx (UPv2)dy
x
2
y
2
(UPv2)dz 0
z
2
d(U P v2 ) 0 2
积分
wk.baidu.com
U
P v2 2
Cl
对不同流线，Cl 不同，而在同一流线上，势 能，压力能，动能之和为常数。
※我们是在有旋条件下得到，而在结果上却 与有旋，无旋无关，只要是理想，正压，质 量力有势，恒定沿流线即可。
x
(U
P
v2 ) 2
2(wyvz
wzvy )
于是变为
y
(U
P
v2 )
2
2(wzvx
wxvz )
z
(U
P
v2 ) 2
2(wxvy
w yvx )
对恒定流动，迹线与流线重合，沿流线积分
即沿迹线积分。
由于dl=vdt，dl分量为dx,dy,dz，dx=vxdt, dy=vydt，dz=vzdt.
Fy FQypydxdydz
fydxdydzpydxdydzfy pydxdydz
按第二定律，产生ay加速度，m=ρdxdydz
Fymaydxdydzddvty
dvy dt
fy
p y
同理得x，z方向即：
fx
1
p x
d vx dt
fy
1
p y
d vy dt
fz
1
p z
d vz dt
t t y y t
vz
( )
()
t t z z t
x
(U
P
v2 2
t
)
0
： 代入兰姆方程
y
(U
P
v2 2
) t
0
(U
P
v2
)
向量：
ur F
1
ur grad p
r dv
dt
（4-1） （4-２）
(4-1)变形
fx
1
p x
vx t
vx x
vx
vx y
vy
vx z
vz
fy
1
p y
vy t
vy x
vx
vy y
vy
vy z
vz
fz
1
p z
vz t
vz x
vx
vz y
vy
r
vz z
vz
向量： u F r1graduprv(vr)vr
dx,dy,dz，相加，再积分：
U P v2 C 此为欧拉积分。 2
说明：只要理想，正压，流体在有势质量力 作用下做恒定无旋运动，任一微团的三项和 为常数。与伯努利积分的不同在于欧拉积分 没有沿流线的限制。
第五节 非恒定有势流动的拉格朗日
积分
vx
(
)
()
t t x x t
vy ( ) ( )
(v2 2
)
vx
vx y
vy
vy y
vz
vz y
z
(v2 2
)
vx
vx z
vy
vy z
vz
vz z
代入（4-3），有：
fx
1
p x
x
(v2 2
)
vx t
vy
(
vx y
vy x
)
vz
(
vx z
vx x
)
vx t
2wyvz
2wzvy
fy
1
p y
y
v2 (
2
)
vy t
2wzvx
2wxvz
例：对可压流体，加上连续方程，状态方程 ρ=f（p，T），封闭。虽然理论上可解，但 是初始条件，边界条件难以用数学表达给出， 一般不可解。
第二节 运动微分方程的葛罗米柯 ——兰姆形式
v2vx2vy2vz2
v2 ()
x 2
(vx2 x
vy2 2
vz2 )
vx
vx x
vy
vy x
vz
vz x
y
P
dp f (p)
微分 d P 1 d p
（4-7）
展开：
PdxPdyPdzPdt 1pdx
x y z t x
1 pdy 1 pdz 1 pdt
y z t
dx,dy,dz 系数相同，于是：
P x 1 p x, P y 1 p y, P z 1 p z
对于ρ=const， P p ρ
对等温下，可压缩流体： p
RTD
C,
有
P
Cdp p
Cln
p
对等熵变化
p
k
C,P(C p)1dp1p
于是（4-5）式变为
(U P v 2 ) v x 2 w y w z
x
2
t
v yvz
(U P v 2 ) v y 2 w z w x
y
2
t
v zv x
(U P v 2 ) v z 2 w x w y
第一节 理想流体运动微分方程
在牛顿第二定律基础上给出微分方程式。
如图：
z
o x
p-∂p/∂y·dy/2 y
•
A(x,y,z)
p+∂p/∂y·dy/2 Q
在流体中取平行六面微元体，边长dx，dy， dz 。在某时刻t，中心A（x,y,z）处，压强p （x,y,z,t），中心速度v分量vx，vy，vz 。因 为是理想流体，无牛顿内摩擦力存在，只
fz
1
p z
z
(v2 2
)
vz t
2wxvy
2wyvx
向量： u F r 1gradu p rgrad(v 2 2) v rt2u w rv r
（4-6）
假定：（1）质量力是有势力，存在力函数
U（x,y,z,t），有
fx
U, x
fy
U y,fz
U z
。
(2）ρ=f(p)，p(x,y,z,t)，引入压力函数