平面向量基础知识点总结 (1)

平面向量知识点总结

基本知识回顾：

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示-----AB u u u r

(几何表示法)；

②用字母a r 、b r

等表示(字母表示法)；

③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：

分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r

作为基底。任作一个向量a

，由平

面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj r r

，),(y x 叫做向量a 的（直

角）坐标，记作(,)a x y r

，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，

特别地，i r (1,0) ，j r (0,1) ，0(0,0) r

。a r ),(11y x A ，),(22y x B ，

则 1212,y y x x

，AB 3.零向量、单位向量：

①长度为0的向量叫零向量，记为0；

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.|

|a 就是单位向量）

4.平行向量：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0r 与任一向量平行.向量a r 、b r 、c r 平行，记作a r ∥b r ∥c r

.共线向量与平行向量

关系：平行向量就是共线向量.

性质：//(0)(a b b a b r u r r r r r 是唯一）||b a b a a b

u r r

u r r r r 0,与同向方向---0,与反向长度---

1221//(0)0a b b x y x y r u r r r （其中 1122(,),(,)a x y b x y r u r

）

5.相等向量和垂直向量：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2

性质：0a b a b r u r r r

g

12120a b x x y y r u r （其中 1122(,),(,)a x y b x y r u r

）

6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则：

AC a b u u u r r r

（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）

三角形法则,

加法首尾相连

减法终点相连方向指向被减数

——加法法则的

推广：

112n AB AB B B u u u u r u u u r u u u u r ……1n n B B u u u u u u r

即n 个向量12,,a a u r u u r ……n a u u r 首尾相连成一个封闭图形，则有12a a u r u u r ……0n a u u r r

②向量的减法向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差。即：a r b r = a r

+ ( b r )； 差向量的意义： OA = a r , =b r , 则=a r b r

③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y r

，22(,)b x y r ，则a b r r ),(2121y y x x ，

a b r r ),(2121y y x x ，(,)a x y r

。

④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+) ⑤常用结论：

（1）若1()2

AD AB AC u u u r u u u r u u u r

，则D 是AB 的中点

（2）或G 是△ABC 的重心，则0GA GB GC u u u r u u u r u u u r r

7．向量的模：

1、定义：向量的大小，记为 |a r | 或 |AB u u u r

|

2、模的求法：

若 (,)a x y r ，则 |a r |22

x y 若1122(,),(,)A x y B x y ， 则 |AB u u u r |22

2121()()x x y y 3、性质：

（1）2

2||a a r r ； 22||(0)||a b b a b r r （实数与向量的转化关系） （2）22

||||a b a b r r r r ，反之不然

（3）三角不等式：||||||||||a b a b a b r r r r r r

（4）||||||a b a b r r r r g （当且仅当,a b r r

共线时取“=”）

即当,a b r r 同向时 ，||||a b a b r r r r g

； 即当,a b r r 同反向时 ，||||a b a b r r r r

g （5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，

即2222

2||2||||||a b a b a b r r r r r r

8．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa |=|λ||a

|；

（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa

=；

（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa

+λb

交换律：a b b a r r r r g

g ; 分配律：()a b c a c b c r r r r r r r

g

g g ( )·b r = (·b r )=·( b r

);

——①不满足结合律：即()()a b c a b c r r r r r r g

g g g ②向量没有除法运算。如：a b c b a c r r r r r r g

g ，2a a a b b

r r r r r g 都是错误的 （4）已知两个非零向量,a b r r ，它们的夹角为 ，则

a b r r g =||||cos a b r r

坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y r u r ，则1212a b x x y y r u r

g

（5）向量AB a u u u r r

在轴l 上的投影为：

︱a r ︱cos ， （ 为a n r r

与的夹角，n r 为l 的方向向量） 其投影的长为//

||a n A B n r r g r （||

n n r r 为n r 的单位向量）