直线的参数方程及弦长公式

y
•
M
O
P
x
y
•
M P
O
结论也成立
小结
1、回忆直线的参数方程的推导
2、掌握直线参数方程的设法
x

y

x0 y0
t t
cos sin

(t为参数)
3、t的几何意义。
4、利用直线的参数方程解决问题
教学目标： 推导直线的参数方程。掌握直
线参数方程的设法。理解直线参数 方程中t的几何意义。
由(*)解得：x1

1 2
5 ，x2

1 2
5
y1

3 2
5 ，y2

3 2
来自百度文库
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1
5 3 ,
5 )，B( 1
5 3 ,
5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
复习回顾
经过点M0(x0 , y0),倾斜角为α的直线的参数方程：

x y

x0 y0
t t
cos sin

(t为参数)
上式称为直线参数方程的标准方程
思考：t 的几何意义是什么？
x x0 t cos

y

y0

t
sin

(t为参数)
（1） | MM0 || t |
（2）uMuuMuur0与e 同向时，t>0
uuuuur
（3）MM0与e 异向时，t<0
（4）t=0时，M 与 M 0重合
三 .直线的参数方程的应用: 1. 求弦长
例1：已知直线方程 x+y－1=0与抛物 线 y=x2 交于点A、B。 (1)求弦长AB (2)求点M（－1，2）到A，B两点的距 离之积。
| MA |g| MB || t1gt2 | 2
（1） M1M2 t1 t2
（2） t t1 t2
2
特别地，若中点为M 0 , 则t

t1
t2 2
0，即t1
2
0
直线

x y

2 1t 2
1 1 2
t
(t为参数)
被圆 x2 y2 4
教学重难点： 理解直线参数方程中t的几何意义。 巧妙利用直线的参数方程解决问
题。
2 4t 5
t
直接代入(y－
化简得
7t2
t1 t2
30t30 ,5t10t2
72
0

15 7
则中点 M ( 16 , 2)
77
3.求直线方程：
若点M
是线段M1M
的三等分点，则
2
t t1 2t2 3
Q M为定点M0,则t1 2t2 0。
4.直线与圆锥曲线的关系
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
t1 t2 2, t1t2 2
（3）
AB、MA

MB
与t1，t
有什
2
么关系？
由参数的几何意义得： | AB || t1 t2 | t1 t2 2 4t1t2 10
三 .直线的参数方程的应用: 1. 求弦长
解：由由xy韦达y求x定2 1解理 得 如0本：果题x得1在呢：xx学2？2习x1， 直1 x线10 x的2 参1(数*) 方程之前,你会怎样
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
截得的弦长为__22__t_1__t_2_____1_4
2.求弦的中点坐标 例2：直线L


x y

1 3 t
（t5为参数）
2 4t 5
与双曲线(y－2)2－x2=1相交于 A、
B两点，求弦AB中点M的坐标 .
解：把

x

2)2－x2=1y

1 3 5