2.2指数函数的图像及性质

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对数函数与指数函数

对数函数与指数函数

对数函数与指数函数对数函数与指数函数是高中数学中的两个重要概念,它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。

本文将对对数函数与指数函数的定义、性质以及它们之间的关系进行探讨。

一、对数函数的定义与性质对数函数是指以某个正数为底数,使指数为某一给定数的幂等于一个给定数的函数。

通常表示为“log”。

1.1 对数函数的定义以正数a(a≠1)为底数,正数x为真数,表示为logₐ(x)。

其中,a为底数,x为真数,log为对数。

1.2 对数函数的基本性质(1)logₐ(xy) = logₐx + logₐy(2)logₐ(x/y) = logₐx - logₐy(3)logₐ(x^p) = p·logₐx(4)logₐa = 1(5)logₐ1 = 0以上是对数函数的一些基本性质,对数函数还具有域、值域以及单调性等性质,但由于篇幅限制无法一一讨论。

二、指数函数的定义与性质指数函数是以某个正数为底数,幂为自变量,函数值为因变量的函数。

通常表示为“a^x”。

2.1 指数函数的定义以正数a(a≠1)为底数,实数x为幂,表示为a^x。

其中,a为底数,x为幂。

2.2 指数函数的基本性质(1)a^x · a^y = a^(x+y)(2)a^x / a^y = a^(x-y)(3)(a^x)^y = a^(xy)(4)a^0 = 1(5)a^1 = a以上是指数函数的一些基本性质,指数函数还具有增减性、奇偶性以及图像特点等性质,但同样由于篇幅限制无法一一展开。

三、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数是互为反函数的关系,可以相互转化。

3.1 对数函数与指数函数的转化关系设y = logₐx,则x = a^y。

对数函数与指数函数之间的转化关系可以通过这个等式得到。

3.2 对数函数与指数函数的图像关系由于对数函数与指数函数之间是互为反函数的关系,它们在直角坐标系中的图像关系也是互为镜像。

对数函数的图像是指数函数图像关于直线y = x的镜像。

人教版数学必修一4.2.2指数函数图像和性质

人教版数学必修一4.2.2指数函数图像和性质

x
当 x < 0 时0,y > 1; x
定 义 域 :当Rx > 0 时, 0< y < 1。

值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
三、深入探究,加深理解
观察图像, 发现图像与底的 关系
其中 x 为自变量,定义域为 R
我 下列函数中,哪些是指数函不 是数?
y 4x y x4 y 4x
y 4x1
二、发现问题,探求新知
• 怎样得到指数函数图像? • 指数函数图像的特点? • 通过图像,你能发现指数函数的哪些
性质?
• 探究并计算并完成以下表格,观察表格, 你发现了什么规律?
n -3 -2 -1 0 1 2 3
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y ax
(a 1)
1
0
x
y
y ax
(0 a 1)
1
0
x
指数函数
的图像及性质
a>1
0<a<1

y
பைடு நூலகம்
y=ax
(a>1)
y=ax
y
(0<a<1)
象 y=1
No (0,1)
(0,1)
y=1
Image 当 x > 0 时,y >01;
当 x < 0 时,0< y < 1。

2:(1)解不等式
1 2
x2

高数数学必修一《4.2.2.2指数函数的图像和性质(二)》教学课件

高数数学必修一《4.2.2.2指数函数的图像和性质(二)》教学课件

2.函数f(x)=34−x2 的单调递增区间是(_-_∞_,_0_]___.
解析:令t=4-x2,则y=3t是单调递增函数, 当x∈(-∞,0]时,t=4-x2单调递增;当x∈[0,+∞)时,t=4-x2单调递减, 由复合函数单调性可知,当x∈(-∞,0]时,f(x)=34-x2单调递增.
微点拨❶
跟踪训练2 (1)函数y= 2x − 8的定义域为( ) A.(-∞,3) B.(-∞,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞)
答案:D
解析:由题意得2x-8≥0,所以2x≥23,解得x≥3.故选D.
(2)解关于x的不等式(13)x-4≥3-2x .
解析:不等式(13)x-4≥3-2x即34-x≥3-2x, 由于y=3x在R上单调递增,所以4-x≥-2x,x≥-4, 所以不等式的解集为[-4,+∞).
解析:因为ax+1>(1a)5-3x,所以当a>1时,y=ax为增函数,可得x+1>3x-5,所以x<3. 当0<a<1时,y=ax为减函数,可得x+1<3x-5,所以x>3. 综上,当a>1时,x的取值范围为(-∞,3), 当0<a<1时,x的取值范围为(3,+∞).
题后师说
利用指数函数单调性解不等式的步骤
综上,m=1.
(2)当a=4,b=2时,f(x)=4x+m·2x. 令t=2x>0,则g(t)=t2+mt在(0,+∞)上有最小值,所以-m2 >0,得m<0. 所以实数m的取值范围是(-∞,0).
随堂练习
1.a=20.7,b=40.37,c=(12)-1.8,则a、b、c的大小关系为(
)
A.a<b<c
(2)设a=0.81.1,b=0.80.8,c=1.10.8,则a,b,c的大小关系为( )

指数函数图像及性质

指数函数图像及性质


分裂 次数
1次
2次
3次
4次
x次
y2
x
x
……
细胞 总数
2个 21
4个
8个
16个
22
23
24
2

定义:一般地,函数y = ax(a0,且a 1)叫做 指数函数,其中x是自变量 .定义域为 R
思考:为何规定a>0且a≠1?
当a0时,ax有些会没有意义;
如:(2) ,0

1 2

1 2
当a=1时,函数值y恒等于1,没有研究价值.
布置作业 壹
继续探究 贰


训练题4.2.1
习题4.2
继续探究几何画 板软件的应用
谢谢
π (2) y 2
x
x
(1) y 0.9 x ;

(3) y
x 32

8 2. 已知指数函数 f ( x) a 满足条件 f (3) , 27
求 f (0.13) 的值(精确到 0.001).

你会解决哪些新问题?
A
BCΒιβλιοθήκη goal你学习了哪些内容?
在学习方法上 你有哪些体会?
1 1 ( 0, 且 1) a a




火眼金睛
CON T E N T S
指数函数 的图像及性质

0<a<1
y=ax (0<a<1) y=1 y
(0,1) 0 x
a>1
图 像
y y=1 0 y=ax (a>1) x
性 质
定义域: R 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点:( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .

指数函数图象及性质(二)

指数函数图象及性质(二)
探索指数函数在大数据分析、人工智能和机器学习等领域的应用,为 解决实际问题提供新的思路和方法。
谢谢观看
详细描述
当函数值大于0时,指数函数图像向上平移;当函数值小于0时,指数函数图像向下平移。平移的单位长度与平移 的常数有关。
横向伸缩
总结词
指数函数图像在x轴方向上的伸缩
详细描述
当底数大于1时,指数函数图像在x轴方向上被压缩;当底数小于1时,指数函数图像在x轴方向上被拉 伸。伸缩的程度与底数的大小有关。
象中的规律。
指数函数在解决实际问题中具有 独特的优势,能够为决策提供科
学依据。
未来研究的方向和展望
01 02 03 04
深入研究指数函数的性质和特征,探索其在不同领域的应用前景。
结合现代数学和计算机技术,发展指数函数的计算方法和数值模拟技 术。
加强指数函数与其他数学分支的交叉研究,推动数学理论的发展和应 用。
在物理领域的应用
01
02
03
放射性衰变
放射性衰变是一个指数函 数,描述了放射性物质随 时间衰减的规律。
电路中的RC电路
在RC电路中,指数函数描 述了电流随时间的变化规 律。
人口增长模型
一些人口增长模型使用指 数函数来描述人口随时间 的变化。
在数学领域的应用
求解微分方程
在求解一些初值问题和边 值问题时,我们可能需要 用到指数函数。
纵向伸缩
总结词
指数函数图像在y轴方向上的伸缩
详细描述
当底数大于1时,指数函数图像在y轴方向上被拉伸;当底数小于1时,指数函数图像在 y轴方向上被压缩。伸缩的程度与底数的大小有关。
03
指数函数的性质研究
单调性
单调增函数

2.2指数函数的图象和性质 一等奖创新教学设计

2.2指数函数的图象和性质 一等奖创新教学设计

2.2指数函数的图象和性质一等奖创新教学设计§4.2.2指数函数的图象与性质学情分析学生已有一定的函数基本知识、可建立简单的函数关系,为以函数关系的建立作为本节知识的引入做了知识准备。

此外,初中所学有理数范围内的指数相关知识,将已有知识推广至实数范围。

在此基础上进入指数函数的学习,并将所学对函数的认识进一步推向系统化。

教材分析本课时主要学习通过对指数函数图象的研究归纳其性质。

“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数,是后续知识——对数函数(指数函数的反函数)的准备知识。

通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法,此外还可类比学习后面的其它函数。

教学目标知识维度:初中已经学习了正比例函数、反比例函数和一次函数,并对一次函数、二次函数作了更深入研究,学生已经初步掌握了研究函数的一般方法,能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。

能力维度:学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握,能够为研究指数函数的性质做好准备。

素质维度:由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会,已初步了解了数形结合的思想。

知识与技能:掌握指数函数的概念(能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围);会做指数函数的图象;能归纳出指数函数的几个基本性质。

过程与方法:通过由指数函数的图象归纳其性质的学习过程,培养学生探究,归纳分析问题的能力。

情感、态度、价值观:在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如体验从特殊到一般的学习规律,认识事物之间的普遍联系与相互转化,培养学生用联系的观点看问题通过教学互动促进师生情感,激发学生的学习兴趣,提高学生抽象、概括、分析、综合的能力通过探究体会“数形结合”的思想:感受知识之间的关联性:体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程:体验研究函数的一般思维方法。

江苏省南京师范大学附属中学高中数学苏教版必修一课件:2.2.2指数函数 (共18张PPT)

江苏省南京师范大学附属中学高中数学苏教版必修一课件:2.2.2指数函数 (共18张PPT)

进一步研究
不宜过早总结比较两个幂大小的方法,而应关注学生 是否认识到单调性是研究不等关系的工具.
谢谢!
在没找到重新开始的理由前,别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间,我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多,并且穷人没有钱,所以,他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情,别忘了答应自己要去的地方,无论有多难,有多远。分手后不可以做朋友,因为彼此伤害过;不可以做敌人,因为彼此深爱过,所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去,不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱,割舍爱,这种静默才是最深情的告 时光已成过往,是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看,世界上多的不是医师,多的是撒盐的人。这世界,比你不幸的人远远多过比你幸运的人,路要 的那一步很激动人心,但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的,但没有这些脚步,或者耐不住这些平凡枯燥,你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事,往往 都会有乐观的心态,每个人也会有悲观的现状,可事实往往我们只能看到乐观的一面,却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观,也没有人能够忍受悲观,这就是 就会缅怀过去,无论是幸福或是悲伤,苍白或是绚烂,都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变,先改变我自己;要让事情变得更好,先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人,沿着不同的方向,固执的一步步远离,再也没有回去的路。想要别人尊重你,首先就要学会尊重别人。所有的胜利,与征服自己的胜利比起来,都是 与失去自己的失败比起来,更是微不足道。生命不在于活得长与短,而在于顿悟的早与晚。既不回头,何必不忘。既然无缘,何须誓言。感谢上天我所拥有的,感谢上天 千万条,成功的人生也有千万种,选对适合自己的那条路,走好自己的每段人生路,你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中,是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望,越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你,没有比记忆中更好的风景,所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉,也 满,现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟,惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演,赛场上要尽力拼搏,工作中要任劳任怨,事业上要尽职尽责。 乐,今天的抗争为了明天的收获!积德为产业,强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁,婚姻永远比爱情实惠。爱有两种,一种是抓住,你紧张他也紧张;一种是轻松拖 人无忧,智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了,而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信,而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来,或者装作不知道,万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害,选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心,慢慢通过它,慢慢抵达世界,或者,抵达 我忘记一切,时间不会改变痛,只会让我适应痛。人生不容许你任性,接受现实,好好努力。曾经以为爱情是甜蜜,幸福的,不知道它也会伤人,而且伤的很痛,很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情,请给时间一点时间。蚁穴虽小,溃之千里。多少人要离开这个世间时,都会说出同一句话,这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情,我不相信,途中聚聚散散难舍难分,终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北,却依然固执的喜欢乱走。若是得手,便是随手可丢; 爱情不是寻找共同点,而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开,不带任何声响。我错过了狠多,我总是一个人难过,3、戏路如流水,从始至终,点滴不 未变,终归大海。一步一戏,一转身一变脸,扑朔迷离。真心自然流露,举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开,地上再无演员。 相信自己有福气,但不要刻意拥有;相信

指数函数的图像和性质-课件

指数函数的图像和性质-课件


0.80.2

(3)0.3 −0.3 ,, 0.2−0.3 ;
(4)1.70.3, 0.93.1 。
同底比较大小
不同底数幂比大小
,利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
或中间变量进行
比较
不同底但同指数
底不同,指数也不同
小结: 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1)同底数指数幂比大小,构造指数函数,利用
2

指数函数的性质
通过研究对比不同底数的指数函数图像,
整理出了,指数函数与底数的关系以及
函数性质。
2
4
指数函数的图像
1
通过比较 = 2 , = 3 , = ( )
1
2
, = ( ) 的图像,我们归纳出了指数
3
函数 = 的一般像。

应用和检测
看指数函数图像比底数
比较两个幂的形式的数大小
1.75 , 41.75
(4) 3
1 −2 −3
(6) ( ) 3 , 2 5
3
当堂检测:
如图4.2-7.某城市人口呈指数增长.
(1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期);
(2)该城市人口从80万人开始,经过20年会增长到多少万人?
课堂小结
1
3
复习指数函数的概念
指数函数的定义
1
指数函数y = 2x ,y = ( )x 的图像与性


( >
1) 与 x轴
下面的指数
函数有无公
有无 公共点 ?
共点?
函数的 定义
讨论函数的
域是什么?
单调性?

(完整版)高中化学常见函数图像

(完整版)高中化学常见函数图像

完整版)高中化学常见函数图像1.引言在高中化学学习中,我们经常会遇到各种各样的函数图像,这些函数图像代表了不同化学反应的关系式。

掌握常见的化学函数图像可以帮助我们更好地理解和分析化学反应的特性和规律。

本文将介绍高中化学中常见的函数图像及其特点。

2.常见的化学函数图像2.1 直线函数图像直线函数图像在化学中常用来描述比例关系或线性规律。

在化学实验中,当两个物质的反应遵循简单的比例关系时,函数图像往往是一条直线。

直线函数图像的特点是斜率恒定,代表了化学反应的恒定速率。

2.2 指数函数图像指数函数图像在化学中常用来描述指数衰减或指数增长的情况。

例如,放射性衰变反应的速率就遵循指数函数规律。

指数函数图像的特点是曲线逐渐上升或下降,且增长或衰减的速度逐渐加快。

2.3 对数函数图像对数函数图像在化学中常用来描述浓度和反应速率之间的关系。

当反应速率与浓度呈指数关系时,函数图像往往是一条对数曲线。

对数函数图像的特点是曲线呈现逐渐平缓的增长或衰减趋势。

2.4 正弦函数图像正弦函数图像在化学中常用来描述周期性变化的情况。

例如,电化学反应中的电势变化往往呈现正弦函数规律。

正弦函数图像的特点是周期性波动,曲线呈现出波峰和波谷的交替变化。

2.5 反比例函数图像反比例函数图像在化学中常用来描述浓度和反应速率之间的关系。

当反应速率与浓度呈反比关系时,函数图像往往是一条反比例曲线。

反比例函数图像的特点是曲线逐渐趋于水平轴,并且在某个点处存在间断。

3.总结掌握常见的化学函数图像有助于我们更好地理解和分析化学反应的规律和特性。

直线函数图像代表了恒定速率,指数函数图像代表了增长或衰减的速度逐渐加快,对数函数图像代表了增长或衰减的速度逐渐减慢,正弦函数图像代表了周期性变化,反比例函数图像代表了反比关系。

通过对这些函数图像的分析,我们可以更深入地理解和应用化学知识。

以上就是关于高中化学常见函数图像的介绍。

希望本文能帮助到你在学习中的理解和应用。

指数函数、对数函数、幂函数图像及性质讲义

指数函数、对数函数、幂函数图像及性质讲义

精选文档指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算;理解指数函数的观点,理解指数函数的单一性,掌握指数函数图象经过的特别点;理解对数的观点及其运算性质,理解对数函数的观点,理解对数函数的单一性,掌握对数函数图象经过的特别点。

认识指目标数函数y=a x与对数函数ylog a x 互为反函数〔a0,且a1〕。

认识幂函数的概11念。

联合函数y=x ,y=x 2,y=x 3,y ,y x 2的图象,认识它们的变化状况。

x要点指数、对数的运算性质;指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用;幂函数图像的应用。

难点 指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用,幂函数图像的应用。

方法建议第一回首指数、对数的运算性质;指数函数、对数函数的图像与性质等根底知识。

再经过经典例题的解析,帮助学生理解根底知识,加深对知识的认识和记忆。

再通过精题精练,使学生形成能力。

在例题和习题的选择上能够依据学生的实质状况进 行。

讲堂精讲例题 搭配讲堂训练题 课后作业程度及数目A 类 〔4 〕道 〔4 〕道 〔11 〕道B 类 〔3 〕道 〔3 〕道 〔10 〕道C 类 〔0〕道 〔0〕道 〔0〕道理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算;理解指数函数的观点,理解指数函数的单一性,掌握指数函数图象经过的特别点。

理解对数的观点及其运算性质。

理解对数函数的观点, 理解对数函数的单一性,掌握对数函数图象经过的特别点。

认识指数函数 y=a x 与对数函数y log a x 互为反函数〔 a 0,且a 1〕。

认识幂函数的观点。

联合函数 y=x ,y=x 2,y=x 3,1y1,yx 2的图象,认识它们的变化状况。

指数函数、对数函数在高中数学中据有十x分重要的地位,是高考要点考察的对象, 热门是指数函数、 对数函数的图象与性质的综合应用.同时考察分类议论思想和数形联合思想;多以选择、填空题的形式出现,有时会与其余知识联合在知识交汇点处命题。

高中数学必修一课件:2.1.2.2指数函数及其性质的应用

高中数学必修一课件:2.1.2.2指数函数及其性质的应用
11
2070年的人口数是 y 161.0250 43(亿);
2075年的人口数是 y 161.0255 48(亿);
2080年的人口数是 y 161.0260 52(亿);
2085年的人口数是 y 161.0265 58(亿); 2090年的人口数是 y 161.0270 6(4 亿);
13
(4)你是如何看待我国的计划生育政策的? 计划生育是我国的基本国策,是千年大计!
14
三、导学(时间约18分钟)
探究点3 指数函数在解题中的应用
例9.将下列各数值按从小到大的顺序排列
(
4
)
1 3
,
(
2
)3
,
(
3
)
1 2
,
(
5
)0
.
3 34 6
分析:根据指数函数的性质,指数幂的运算法则进行,
注意采用中间值0和1进行比较。
所以,20年后的人口数是 131.0120 16(亿), 33年后人口数是 131.0133 2(5 亿)。
9
(2)如果人口年平均增长率保持在2%,利用计算器分别 计算202X到2100年,每隔5年相应的人口数。 以例题中计算的202X年我国的人口数16亿为基准。
这时函数模型是 y 16 1.02x. 2025年的人口数是 y 161.025 18(亿); 2030年的人口数是 y 161.0210 20(亿);
解:( 2)3 0;
0
(
3
)
1 2
1;
(5)0 1;
(
4
)
1 3
1.
3
4
6
3
所以,
15
例10.解下列不等式:

指数函数-人教版高中数学

指数函数-人教版高中数学

知识图谱-指数函数指数函数的图像与性质指数型函数定点问题与指数函数有关的单调性问题指数方程的求解第02讲_指数函数错题回顾指数函数知识精讲一.指数函数的概念函数称指数函数.二.指数函数的图象与性质过定点,图像都在一、二象限对于相同的,函数的图象关于轴对称.当时,当时,在上是增函数当时,;当时,在上是减函数三.指数方程的类型及解法在指数里含有未知数的方程叫做指数方程.可分为:1.形如的方程,化为求解.2.形如的方程,用换元法化为一元二次方程求解.三点剖析一.注意事项1. 当底数大小不定时,必须分和两种情形讨论;2. 当时,;当,图像随着的增大,递增速度越快;当时,的值越小,图像随的增大,递减速度越慢;3. 熟悉指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系;4. 在轴右侧,图像从上到下相应的底数由大变小;5. 在轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小;6. 解指数函数与二次函数的复合函数的问题时,要注意对底数的讨论.题模精讲题模一 指数函数的图像与性质例1.1、指出下列函数哪些是指数函数,不是指数函数的说明理由 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨且例1.2、函数(0<a <1)的图象的大致形状是()A 、B 、C 、D 、题模二 指数型函数定点问题例2.1、已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a-b的值为____.例2.2、不论为何值时,函数恒过定点,则这个定点的坐标是()A、B、C、D、题模三与指数函数有关的单调性问题例3.1、设集合A={x|2x﹣2<1},B={x|1﹣x≥0},则A∩B等于()A、{x|x≤1}B、{x|1≤x<2}C、{x|0<x≤1}D、{x|0<x<1}例3.2、求函数的单调区间例3.3、已知函数f(x)=.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)判断并证明f(x)的单调性;(3)求关于x的不等式f(2x-1)+f(x+3)>0的解集.题模四指数方程的求解例4.1、已知函数.若关于x的方程有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是()A、B、C、D、例4.2、若关于a的方程22x+2x•a+1=0有实根,则实数a的取值范围是____.例4.3、已知定义在上的函数.(1)若,求的值;(2)若对于恒成立,求实数的取值范围.随堂练习随练1.1、若函数f(x)=a x(a>0且a≠1)经过点(1,2),则f(2)=()A、2B、3C、4D、8随练1.2、函数y=2-x的图象大致是()A.B.C.D.A、A选项B、B选项C、C选项D、D选项随练1.3、函数y=a x-2-1(a>0,a≠1)过定点____.随练1.4、已知函数(且)的图象恒过定点,则____.随练1.5、若与在区间上都是减函数,则的取值范围是________.随练1.6、已知函数f(x)=.(1)当a=b=1时,求满足f(x)≥3x的x的取值范围;(2)若y=f(x)的定义域为R,又是奇函数,求y=f(x)的解析式,判断其在R上的单调性并加以证明.随练1.7、若函数对于R上的任意x1≠x2都有,则实数a的取值范围是.随练1.8、方程4x-2x+1=0的解为____.随练1.9、若为方程的两个实数解,则=________.随练1.10、若关于的方程有实根,求的取值范围.自我总结课后作业作业1、若函数f(x)=2x+b﹣1(b∈R)的图象不经过第二象限,则有()A、b≥1B、b≤1C、b≥0D、b≤0作业2、已知f(x)=(x-a)(x-b)(其中b<a),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的图象是()A、B、C、D、作业3、已知函数f(x)=a x+b+3(a>0且a≠1)恒过定点(-1,4),则b的值为()A、1B、-1C、2D、-2作业4、函数且中,无论取何值恒过一个定点,则这个定点的坐标是___________.作业5、已知指数函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图象过点(3,8),则a2.5与a2.3的大小为()A、a2.5=a2.3B、a2.5<a2.3C、a2.5>a2.3D、无法确定作业6、若函数,满足,则的单调递减区间是()A、B、C、D、作业7、已知函数.(1)求f(0);(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax)<f(2)的x的范围.作业8、若关于x的方程9x+(a+4)•3x+4=0有实数解,则实数a的取值范围是()A、(-∞,-8]∪[0,+∞)B、(-∞,-4)C、[-8,-4)D、(-∞,-8]作业9、方程4x+2x-2=0的解是____.。

幂函数与指数函数的性质

幂函数与指数函数的性质

幂函数与指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的两类函数,它们在数学和科学研究中有着重要的应用。

本文将探讨幂函数和指数函数的性质,包括定义、图像、增减性、奇偶性以及反函数等方面。

1. 幂函数的性质幂函数的一般形式为f(x) = x^n,其中n为正整数,是幂函数的指数。

幂函数的定义域为实数集,由于x^n中的n是正整数,所以幂函数的值域可以是正数、负数或零。

1.1. 幂函数的图像根据幂函数的指数n的奇偶性,幂函数的图像有不同的特点。

当n为偶数时,幂函数的图像相对于y轴对称,关于原点对称;而当n为奇数时,幂函数的图像关于原点对称。

1.2. 幂函数的增减性幂函数的增减性与指数n的值相关。

当指数n为正数时,幂函数在定义域上递增;当指数n为负数时,幂函数在定义域上递减。

值得注意的是,当指数n为偶数时,幂函数的绝对值增长速度比n为奇数时慢。

1.3. 幂函数的奇偶性当幂函数的指数n为偶数时,幂函数是偶函数;当指数n为奇数时,幂函数是奇函数。

这意味着幂函数的图像关于y轴对称或者关于原点对称。

1.4. 幂函数的反函数由于幂函数的定义域为实数集,而幂函数的指数并不一定能覆盖所有实数,所以幂函数的反函数并不一定存在。

当幂函数的指数n为倒数时,幂函数的反函数存在。

2. 指数函数的性质指数函数的一般形式为f(x) = a^x,其中a为常数,称为底数。

指数函数的定义域为实数集,底数a大于0且不等于1。

2.1. 指数函数的图像指数函数的图像与底数a有关。

当底数a大于1时,指数函数在整个定义域上递增;当底数a介于0和1之间时,指数函数在整个定义域上递减。

指数函数的图像经过点(0, 1),即当x等于0时,指数函数的值为1。

2.2. 指数函数的增减性指数函数的增减性取决于底数a的值。

当底数a大于1时,指数函数在整个定义域上递增;当底数a介于0和1之间时,指数函数在整个定义域上递减。

2.3. 指数函数的奇偶性指数函数一般情况下不具有奇偶性,即指数函数的图像不关于y轴对称也不关于原点对称。

指数函数的图像及性质 PPT

指数函数的图像及性质 PPT
面积是多少?(用y 表示面积)
知新益能
1.指数函数定义 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做__指__数__函__数___,其
中__x_为自变量,函数的定义域为_R__.
注意:
1.底数为常数,指数为自变量 2.三个“1”
小试牛刀
下列哪些是指数函数?
(1)y= 2x (3)y=(-2)x (5)y= 2-x (7)y= 2x+1
(2)y= x2 (4)y=-2x (6)y= 22x (8)y= 2x+1
新知 2
一下指数函数的图象。
新知提炼
2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质
a>1
0<a<1
图 象
定义域为_R_;值域为__(0_,__+__∞__) __
性 质
根据指数函数的概念,求函数解析式. 例1 指数函数 f ( x) 的图象过点 (3 , 27),求 f (0) , f (1) , f (2) 的值
解:设 f ( x) a x (a 0且a 1)
因为函数 f (x) 过点( 3 , 27 ) 所以有 f (3) 27 ,即a3 27 解得 a 3, 于是 f (x) 3x
过定点__(0_,_1_) ,即_x_=__0_时,__y=__1_ 若x>0,则__y_>__1_; 若x>0,则_0_<__y_<__1_; 若x<0,则_0_<__y_<__1_ 若x<0,则_y_>__1__
在R上是__增__函_数___ 在R上是__减__函__数__
考点突破
指数函数的概念
所以 f (0) 30 1 , f (1) 3 ,
f (2) 32 1 9

指数函数的图像及其性质教案设计

指数函数的图像及其性质教案设计
师:各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢?(如过定点(0,1), 与 的图象关于y轴对称)
【学情预设: 对于从图象的角度研究的,可先选没对底数进行分类的小组上台汇报;
问其它小组有没不同的看法,上台补充,让学生对底数进行分类,引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性,以什么为分界,教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化。】
3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
四、教学目标
根据任教班级学生的实际情况,本节课我确定的教学目标是:能画出具体指数函数的图象;在理解指数函数概念、性质的基础上,能应用所学知识解决简单的数学问题;在教学过程中通过类比,回顾归纳从图象研究函数性质的数学方法,加深对指数函数的认识,让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要;同时通过本节课的学习,使学生获得研究函数的规律和方法;培养学生主动学习、合作交流的意识。
【设计意图: 函数的表示法有三种:列表法、图象法、解析法,通过这个活动,让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手,从图象角度研究可以直观的看出函数的一些性质。
让学生上台汇报研究成果,让学生有种成就感,同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力,培养其数学素养;
对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点,让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。】
总结本节课中所用到的数学思想方法。
③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系,相互作用,才能融会贯通。】
4.作业:课本59页习题2.1A组第5题。
七、教学反思
1.本节课改变了以往常见的函数研究方法,让学生从不同的角度去研究函数,对函数进行一个全方位的研究,不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质,更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去,教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。
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第一章 基本初等函数2 指数函数的图像及性质一、学习目标1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质. 二、知识梳理 1.指数函数的定义一般地,函数y =a x (a >0,且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 2.指数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域R ,值域(0,+∞) 图象过定点(0,1),即x =0时,y =1当x >0时,y >1; 当x <0时,0<y <1 当x >0时,0<y <1; 当x <0时,y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数三、典型例题知识点一 指数函数的概念 例1 给出下列函数:①y =2·3x ;②y =3x +1;③y =3x ;④y =x 3;⑤y =(-2)x .其中,指数函数的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .4 答案 B解析 ①中,3x 的系数是2,故①不是指数函数;②中,y =3x+1的指数是x +1,不是自变量x ,故②不是指数函数;③中,3x 的系数是1,幂的指数是自变量x ,且只有3x 一项,故③是指数函数;④中,y =x 3的底为自变量,指数为常数,故④不是指数函数.⑤中,底数-2<0,不是指数函数.规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征:(1)底数a 为大于0且不等于1的常数;(2)指数位置是自变量x ;(3)a x 的系数是1.2.求指数函数的关键是求底数a ,并注意a 的限制条件.跟踪演练1 若函数y =(4-3a )x 是指数函数,则实数a 的取值范围为________. 答案 {a |a <43,且a ≠1}解析 y =(4-3a )x 是指数函数,需满足:⎩⎪⎨⎪⎧4-3a >0,4-3a ≠1,解得a <43且a ≠1.故a 的取值范围为{a |a <43,且a ≠1}.知识点二 指数函数的图象例2 如图是指数函数①y =a x ,②y =b x ,③y =c x ,④y =d x 的图象,则a ,b ,c ,d 与1的大小关系是( )A .a <b <1<c <dB .b <a <1<d <cC .1<a <b <c <dD .a <b <1<d <c 答案 B解析 方法一 在y 轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大. 由指数函数图象的升降,知c >d >1,b <a <1. ∴b <a <1<d <c .方法二 作直线x =1,与四个图象分别交于A 、B 、C 、D 四点,由于x =1代入各个函数可得函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知b <a <1<d <c .故选B.规律方法 1.无论指数函数的底数a 如何变化,指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象与直线x =1相交于点(1,a ),由图象可知:在y 轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大.2.处理指数函数的图象:①抓住特殊点,指数函数图象过点(0,1);②巧用图象平移变换;③注意函数单调性的影响.跟踪演练2 (1)函数y =|2x -2|的图象是( )(2)直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点,则a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)0<a <12解析 (1)y =2x -2的图象是由y =2x 的图象向下平移2个单位长度得到的,故y =|2x -2|的图象是由y =2x -2的图象在x 轴上方的部分不变,下方部分对折到x 轴的上方得到的.(2)当a >1时,在同一坐标系中作出函数y =2a 和y =|a x -1|的图象(如图(1)).由图象可知两函数图象只能有一个公共点,此时无解.当0<a <1,作出函数y =2a 和y =|a x -1|的图象(如图(2)).若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0且a ≠1)的图象有两个交点,由图象可知0<2a <1,所以0<a <12.知识点三 指数型函数的定义域、值域 例3 求下列函数的定义域和值域: (1)y =4-12x ;(2)y =1-2x;(3)y =⎝⎛⎭⎫12322--x x .解 (1)由x -4≠0,得x ≠4, 故y =4-12x 的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠4}.又1x -4≠0,即4-12x ≠1, 故y =4-12x 的值域为{y |y >0,且y ≠1}.(2)由1-2x ≥0,得2x ≤1,∴x ≤0, ∴y =1-2x 的定义域为(-∞,0].由0<2x ≤1,得-1≤-2x <0,∴0≤1-2x <1, ∴y =1-2x 的值域为[0,1).(3)y =⎝⎛⎭⎫12322--x x 的定义域为R . ∵x 2-2x -3=(x -1)2-4≥-4, ∴⎝⎛⎭⎫12322--x x ≤⎝⎛⎭⎫12-4=16. 又∵⎝⎛⎭⎫12322--x x >0, 故函数y =⎝⎛⎭⎫12322--x x 的值域为(0,16]. 规律方法 对于y =a f (x )(a >0,且a ≠1)这类函数, (1)定义域是使f (x )有意义的x 的取值范围; (2)值域问题,应分以下两步求解: ①由定义域求出u =f (x )的值域;②利用指数函数y =a u 的单调性求得此函数的值域. 跟踪演练3 (1)函数f (x )=1-2x +1x +3的定义域为( ) A .(-3,0] B .(-3,1]C .(-∞,-3)∪(-3,0]D .(-∞,-3)∪(-3,1] (2)函数f (x )=⎝⎛⎭⎫13x -1,x ∈[-1,2]的值域为________. 答案 (1)A (2)[-89,2]解析 (1)由题意,自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1-2x ≥0,x +3>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,x >-3,∴-3<x ≤0.(2)∵-1≤x ≤2,∴19≤⎝⎛⎭⎫13x ≤3,∴-89≤⎝⎛⎭⎫13x -1≤2,∴值域为⎣⎡⎦⎤-89,2. 四、课堂练习1.下列各函数中,是指数函数的是( ) A .y =(-3)x B .y =-3x C .y =3x -1 D .y =⎝⎛⎭⎫13x 答案 D解析 由指数函数的定义知a >0且a ≠1,故选D. 2.y =⎝⎛⎭⎫34x 的图象可能是( )答案 C解析 0<34<1且过点(0,1),故选C.3.y =2x ,x ∈[1,+∞)的值域是( ) A .[1,+∞) B .[2,+∞) C .[0,+∞) D .(0,+∞) 答案 B解析 y =2x 在R 上是增函数,且21=2,故选B.4.函数f (x )=a x 的图象经过点(2,4),则f (-3)的值是________. 答案 18解析 由题意知4=a 2,所以a =2,因此f (x )=2x ,故f (-3)=2-3=18.5.函数y =⎝⎛⎭⎫12x 2-1的值域是________. 答案 (0,2]解析 ∵x 2-1≥-1,∴y =⎝⎛⎭⎫121-2x ≤⎝⎛⎭⎫12-1=2,又y >0, ∴函数值域为(0,2].1.指数函数的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),且f (0)=1.2.当a >1时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快.当0<a <1时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快.五、巩固练习 1.y =2x-1的定义域是( )A .(-∞,+∞)B .(1,+∞)C .[1,+∞)D .(0,1)∪(1,+∞) 答案 A解析 不管x 取何值,函数式都有意义,故选A.2.已知集合M ={-1,1},N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x +1<4,x ∈Z ,则M ∩N 等于( ) A .{-1,1} B .{-1} C .{0} D .{-1,0} 答案 B解析 ∵12<2x +1<4,∴2-1<2x +1<22,∴-1<x +1<2,∴-2<x <1.又∵x ∈Z ,∴x =0或x =-1,即N ={0,-1},∴M ∩N ={-1}. 3.函数y =2x+1的图象是( )答案 A解析 当x =0时,y =2,且函数单调递增,故选A. 4.当x ∈[-2,2)时,y =3-x -1的值域是( ) A .(-89,8] B .[-89,8]C .(19,9)D .[19,9]答案 A解析 y =3-x -1,x ∈[-2,2)上是减函数,∴3-2-1<y ≤32-1,即-89<y ≤8.5.指数函数y =(2-a )x 在定义域内是减函数,则a 的取值范围是________. 答案 1<a <2解析 由题意可知,0<2-a <1,即1<a <2. 6.函数y =a x -5+1(a ≠0)的图象必经过点________. 答案 (5,2)解析 指数函数的图象必过点(0,1),即a 0=1,由此变形得a 5-5+1=2,所以所求函数图象必过点(5,2). 7.已知函数f (x )=a x -1(x ≥0)的图象经过点(2,12),其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值;(2)求函数y =f (x )(x ≥0)的值域. 解 (1)∵f (x )的图象过点(2,12),∴a 2-1=12,则a =12.(2)由(1)知,f (x )=(12)x -1,x ≥0.由x ≥0,得x -1≥-1, 于是0<(12)x -1≤(12)-1=2,所以函数y =f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]. 8.函数y =5-|x |的图象是( )答案 D解析 当x >0时,y =5-|x |=5-x =(15)x ,又原函数为偶函数,故选D.9.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,x +1,x ≤0.若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于( )A .-3B .-1C .1D .3 答案 A解析 依题意,f (a )=-f (1)=-21=-2,∵2x >0,∴a ≤0,∴f (a )=a +1=-2,故a =-3, ∴选A.10.方程|2x -1|=a 有唯一实数解,则a 的取值范围是____________. 答案 {a |a ≥1,或a =0}解析 作出y =|2x -1|的图象,如图,要使直线y =a 与图象的交点只有一个,∴a ≥1或a =0.11.求函数y =(12)x 2-2x +2(0≤x ≤3)的值域.解 令t =x 2-2x +2,则y =(12)t ,又t =x 2-2x +2=(x -1)2+1, ∵0≤x ≤3,∴当x =1时,t min =1,当x =3时,t max =5. 故1≤t ≤5,∴(12)5≤y ≤(12)1,故所求函数的值域[132,12].12.函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2,求a 的值.解 ①若a >1,则f (x )是增函数,∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (2),最小值为f (1). ∴f (2)-f (1)=a 2,即a 2-a =a2.解得a =32.②若0<a <1,则f (x )是减函数,∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (1),最小值为f (2), ∴f (1)-f (2)=a 2,即a -a 2=a2,解得a =12综上所述,a =12或a =32.13.设0≤x ≤2,y =421x -3·2x +5,试求该函数的最值.解 令t =2x,0≤x ≤2, ∴1≤t ≤4.则y =22x -1-3·2x +5=12t 2-3t +5.又y =12(t -3)2+12,t ∈[1,4],∴y =12(t -3)2+12,t ∈[1,3]上是减函数;t ∈[3,4]上是增函数,∴当t =3时,y min =12;当t =1时,y max =52.故函数的最大值为52,最小值为12.。

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