2019最新第13章 非正弦周期电流电路 2 非正弦周期函数的有效值和平均功率物理

L1 1000 40 103 40Ω L2 1000 10 103 10Ω
1
C1

1
C2

1 1000 25 106
40Ω
j40
j10
UILU111、cb1C1I12L2发2001生0并0 V联谐U振adI。11 a+U1j40IC11122cU0310d0ILjV2140 _ b
1
ak
2
0 f (t )cos k1td(1t)
1
bk
2
0 f (t)sin k1td(1t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
利用函数的对称性可使系数的确定简化
f(t) （1）偶函数
－
f (t) f (t) bk 0 T/2
)

(R R
jXL5)( jXC5) j(5XL5 XC5)

208.3

89.53
U 5 I5s Z (51 ) 20 106
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 2
(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 1.57 mV
I
I
2 0

k 1
I
2 km
2
I
I
2 0

I12

I
2 2


结论
周期函数的有效值为直流分量及各
次谐波分量有效值平方和的方根。
3. 非正弦周期函数的平均值

若 i(t) I0 Ik cos(kt k ) 则其平均值为： k 1
I AV
1 T
T
0 i(t )dt I0
(3) 正弦偶次分量； O T/4 t (4) 余弦奇次分量。
试画出 f(t) 的波形。
解 (1) 正弦分量； f(t)
T/2 T/4
O T/4 T/2 t
(2) 余弦分量；
f(t)
T/2 T/4
O T/4
f(t) (3) 正弦偶次分量；
T/2 T/4
O T/4
f(t) (4) 余弦奇次分量。
30 cd
iL2
i
C1 25F
C2 25F
a+
u
_
b
(1)
u0=30V作用于L电1 路iC，10 Lc1、30Ld2
短L路2 ,C1 iL20
、
C2开路.
i0
C1
a+
C2
_
u0
b
i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0,
uad0= ucb0 = u0 =30V
(2) u1=120cos1000t V作用
iS
R
Cu
L
XL>>R
Z (1 )

(R jX L ) ( jXC R j(XL XC )
)
XLXC R

L RC

50k
Z(1 ) 50KΩ is1 100sin106 t μ A
U 1

I1

Z (1）
100 106 2

50

5000 2
mV
(c)三次谐波作用
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0 78.5A IS0
R u0
电容断路，电感短路:
U0 RI S0 20 78 .5 106 1.57 mV
（b)基波作用
1
1is1

100sin106 t
1C 106 1000 1012 1k 1L 106 103 1k
k p
2. 非正弦周期函数的有效值

若 i(t) I0 Ikm cos(kt k )
则有效值:
k 1
I 1 T i2 td(t)
T0

1 T
T 0
I0

k 1
I km
coskt
k
2 d (t )

利用三角函数的正交性得：
正弦量的平均值为0
4. 非正弦周期交流电路的平均功率

u(t ) U0 U km cos(kt uk )
k 1

i(t ) I0 Ikm cos(kt ik )
1
k 1
T
P T
0
u idt
利用三角函数的正交性，得：

P U0I0 Uk Ik cosk (k uk ik )
IC11

jC1U1
120
2 0 j40

3 90 A 2
(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用
2ωL1 2000 40 103 80Ω, 2ωL2 2000 10 103 20Ω
1 2ωC1

1 2ω C 2

1 2000 25 106
K为奇数
ak

2

2
0 iS (t ) cos源自文库ktd (t )

2Im


1 k
sin kt

0

0
AK
bK2 aK2
bK

2Im
k
（K为奇数）
K
arctan aK bK
0
i 的展开式为： s
iS

Im 2

2Im

(sint

1 sin 3t
3

1 sin5t
k 1
P0 P1 P2 ......
P U0I0 U1I1 cos1 U2I2 cos2
结论
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功 率
13.4 非正弦周期交流电路的计算
1. 计算步骤
（1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展 开成若干种频率的谐波信号； （2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波 信号分别应用相量法计算； （注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流C 相 当于开路、L相于短路。） （3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
is3
is5
iS
Im
T/2 T
Akm 矩形波的频谱图
t 0 3 5 7
iS

Im 2

2Im

(sin
t

1 sin 3
3t

1 sin 5
5
t
)
例2 给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量：
f(t)
(1) 正弦分量；
(2) 余弦分量；
5
代入已知数据：
Im 157μ A, T 6.28μ s
直流分量
I0

Im 2
157 78.5μ A 2
基波最大值 I1m
三次谐波最大值 五次谐波最大值
2Im 2 1.57 100 A

I3m
1 3.14
31I1m
33.3A
I5m 5 I1m 20μA
t T/2
（2）奇函数
f(t)
f (t) f (t)
ak

0
－
T/2
（3）奇谐波函数
f (t)
t T/2
f (t) f (t T ) 2
a2k b2k 0
T/ T t 2
例1 周期性方波信号的分 解 图示矩形波电解流在一
iS
个周期内的表达式为： I m

I
m
iS (t)
T/2 T/4
O T/4
T/2 t T/2 t T/2 t
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
(1)正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
0 sin ktd(t) 0
k整数
2
0 cos ktd(t) 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。

f (t) a0 [ak cos k1t bk sin k1t]
k 1
系数之间的关系为
A0 a0
Akm
a
2 k

bk2
ak Akm cosk
k

arctan
bk ak
bk Akm sink
系数的计算：
1T
A0 a0 T 0 f (t )dt
5
)
周期性方波波形分解 直流分量 t
三次谐波
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i i i IS0
s1
s3 s5
iS

Im 2

2Im

(sin
t

1 3
sin
3t

1 5
sin
5
t
)
IS0
is1
0
0 t T 2
T tT
t T/2 T

2
1
直流分量：IO T
T
1
0 iS (t) dt T
T /2
0 Imdt

Im 2
谐波分量：bK
1

Im ( 1 cos
k
2
0 iS (
k
t
)

0
t)

sin k

2
0 Im
k
td ( t)
K为偶数
i=i0+ i1 + i2 =1A iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A
第13章 非正弦周期电流电路
重点 1. 周期函数分解为付里叶级数 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率
3. 非正弦周期电流电路的计算
13.1 非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到 非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、 计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都 是周期性的非正弦波形。
2 sin 2 ktd(t) 0
2 cos2ktd(t) 0
（3） 三角函数的正交性
2
0 cos kt sin ptd(t ) 0
2
0 cos kt cos ptd(t ) 0
2
0 sin kt sin ptd (t ) 0
12.47
106 33.3
2
89.20 mV
374.5

89.190
2
(d)五次谐波作用
1
is5
100 15
sin 5 106
t
A
51C 5 106 1000 1012 0.2(KΩ)
51L 5 106 103 5kΩ
Z (5 1
角频率


2
T
2 3.14 6.28 106
10 6 rad/s
电流源各频率的谐波分量为：
IS0 78.5 A
is3

100 3
sin 3 106 t
A
i
s1
is
100
100 5 5
sin106 t
sin 5 106
t
A
A
(2)对各种频率的谐波分量单独计算：
A2m cos(21t 2 )
二次谐波 （2倍频）
Anm cos(n1t n ) 高次谐波

f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
也可表示成：
Akm cos(k1t k ) ak cos k1t bk sin k1t
2. 计算举例
例1
方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF
Im 157μ A、 T 6.28S
iS
R
Cu
L
解 （1）已知方波信号的展开式为：iS
Im
iS

Im 2

2Im

(sint

1 sin 3t
3

T/2
T
t
1 sin 5t )
1
31C

3 106
is131000103100s12in
3 106 t 0.33 K
31L 3 106 103 3kΩ
Z (31 )

(R R
jXL3)( j( XL3
jXC3) XC 3)
374.5

89.190
U 3

IS3 Z(31 )
U1

5000mV 2
U 3

12.47 2


89.2
mV
U 5

4.166 2


89.53 mV
u U0 u1 u3 u5
1.57 5000 sin t
12.47 sin( 3t 89.2 )
4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化
f (t) f (t kT )
例1 半波整流电路的输出信号
例2
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
例3 脉冲电路中的脉冲信号
t T
13.2 周期函数分解为付里叶级数
周期函数展开成付里叶级数： 直流分量
基波
f (t) A0 A1m cos(1t 1)
20Ω
LI2IUU、2L22aC2d22I发6Cj022生10U2,并1L42联5U0谐Vcb6I2振20a。+Uj2220jj824005IC61202cU310342d5IjL2Vj2220045_Ab
所求的电压、电流的瞬时值为：
例2 已 知 : u 30 120cos1000t 60cos(2000t π ) V.
4
求图示电路中各表读数(有效值)及电路吸收的功率。
A1 a+
L1 C140mH 25F A2
30d
L2
V2 10mH
A3
c
C2 25F
VV1 1
u
_
b
解
L1 40mH
L2 10mH
iC1