数模培训_数据拟合方法

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数学建模～插值与拟合(课件ppt)

• 代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式：（1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用均差的牛顿插值和埃特金插值；（2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值和高斯插值等；（3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特）插值；（4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值；（5）反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系：二者都是函数逼近的主要方法
• 区别： •运算过程上的区别：
– 拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律，是特殊到一般的过程。 – 插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是从一般到特殊。
•求解误差上的区别：
– 拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最小为拟合标准
n n ik
0 i k 而： lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法，有：
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（lagrange插值）（2）分段线性插值（3）Hermite （4）三次样条插值。

数据拟合法

第四章数据拟合法在科学实验和生产实践中，有许多函数关系仅能用由实验或观测得到的一组数据表(,)(0,1,,)i i x y i m =来表示，例如某种物质的化学反应，能够测得生成物的浓度与时间关系的一组数据表.而它们的解析表达式)(t f y =是不知道的。

但是为了要知道化学反应速度，必须要利用已知数据给出它的近似表达式，有了近似表达式，通过求导数便可知道化学反应速度。

可见已知一组数据求它的近似表达式是非常有意义的.如何求它的近似表达式呢？第二章介绍的插值方法是一种有效的方法.但是由于数据(,)(0,1,,)i i x y i m =是由测量或观测得到的，它本身就有误差，作插值时一定要通过型值点),(i i y x 似乎没有必要；其次当m 很大时，采用插值（特别是多项式插值）很不理想（会出现龙格现象），非多项式插值计算又很复杂。

为此，本章介绍一种“整体”近似的方法，即对于给定的数据(,),0,1,,i i x y i n =，选一个线性无关函数系)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ ，以它们为基底构成的线性空间为{}0span (),,()n x x ϕϕ=Φ.在此空间内选择函数()()nj j j x x ϕαϕ==∑其中(0,1,,)j j n α=为待定常数。

要求它逼近真实函数)(x f y =的误差尽可能小，这就是数据拟合问题.§1 最小二乘法一、最小二乘法设有数据(,),0,1,,i i x y i m =，令()(),0,1,,ni i i i j j i j r y x y x i m ϕαϕ==-=-=∑.并称Tm r r r r ),,,(10 =为残向量，用)(x ϕ去拟合)(x f y =的好坏问题变成残量的大小问题。

判断残量大小的标准，常用的有下面几种：(1) 确定参数(0,1,,)j j n α=，使残量绝对值中最大的一个达到最小，即i mi r ≤≤0max 为最小。

数学建模Matlab数据拟合详解

9 10 11 12 13 14 15 16
刀具厚度 y/cm 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 24.0 拟合曲线为: 拟合曲线为 y=-0.3012t+29.3804
一个15.4cm×30.48cm的混凝土柱在加压实验中的例3 一个 × 的混凝土柱在加压实验中的应力-应变关系测试点的数据如表所示应力应变关系测试点的数据如表所示
用切削机床进行金属品加工时, 例2 用切削机床进行金属品加工时为了适当地调整机床, 需要测定刀具的磨损速度. 机床需要测定刀具的磨损速度在一定的时间测量刀具的厚度, 得数据如表所示: 具的厚度得数据如表所示切削时间 t/h
0 1 2 3 4 5 6 7 8
刀具厚度 y/cm 30.0 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 切削时间 t/h
已知应力-应变关系可以用一条指数曲线来描述已知应力应变关系可以用一条指数曲线来描述, 即假设应变关系可以用一条指数曲线来描述
σ = k1ε e
k 2ε
式中, 表示应力, 表示应变. 式中 σ 表示应力单位是 N/m2; ε 表示应变
σ 令 z = ln , a0 = k2 , a1 = ln k1 , 则 z = a0ε + a1 ε
σ = k1ε e
k 2ε
式中, 表示应力, 表示应变. 式中 σ 表示应力单位是 N/m2; ε 表示应变选取指数函数作拟合时, 在拟合前需作变量代换, 指数函数作拟合时解选取指数函数作拟合时在拟合前需作变量代换化为 k1, k2 的线性函数的线性函数.
σ 于是, 于是 ln = ln k1 k2ε ε σ 令 z = ln , a0 = k2 , a1 = ln k1 ε

《数据拟合方法》PPT课件

n
n
记 J(a1,a2,am)
2 i
[f(xi)yi]2
i1
i1
nm
[ akrk(xi)yi]2 (2) i1 k1
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
最小二乘法的求解：预备知识
超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1r12a2 r1mamy1 (nm) rn1a1rn2a2rnmamyn
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x)
（1）
其中 a1,a2, …am 为待定系数。
第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小。
即 Ra=y
其中
r11 r12 r1m
a1
y1
R ,
a
,
y
rn1 rn2 rnm
am
yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
n
如果有向量a使得
(ri1a1ri2a2 rim amyi)2达到最小，
i1
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
最小二乘法的求解
所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
(x)
( x ) ...
(x)
0
0
11
n
n
a a a y y ( , ,...,
0
1
m
*
) (

§4.常见的数学建模方法(1)---数据拟合(曲线拟合)法

实例. 找出基于下列数据的美国马萨诸塞州生产量、劳动力和投资之间变化的经
济增长模型（道格拉斯 Douglas 生产函数模型）
实例 3. 某研究所为了研究三种肥料氮, 磷, 钾对于土豆和生菜的作
用, 分别对每种作物进行了三组试验. 实验数据如下列表格所示, 其中 ha 表示公顷 , t 表示吨 , kg 表示千克. 试建立反映施肥量与产量关系的数学模型. 氮施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据
4
组数据应服从的数学模型，如记 l - 1000 = l’ , l0 – 1000 = b, al0 = k , 则有 l’ = b + kt . 可以算得：
t 42.5,
2 ' t 8100 , l i i 1
4
(l 1000)
i 1
4
0.705,
' t l i i 34.6 i 1
§4. 常见的数学建模方法(1) --- 数据拟合（曲线拟合）法
在建立数学模型时,实际问题有时仅给出一组数据. 处理这类问题的较简单易行的方法是通过数据拟合法求得 “最佳” 的近似函数式 --经验公式. 从几何上看就是找一条 “最佳” 的曲线, 使之和给定的数（ 1）决定经验公式的形式 . 根据所描绘的系统固有的特点 ,参照据点靠得最近 , 即进行曲线拟合 . 根据一组数据来确定其经验公式 , 已知数据的图形和特点或者它应服从的规律来决定经验公式的形式 . 一般可分为三步进行: 这一步是关键的一步. （2）决定经验公式中的待定参数 . 一般可用线性情况下的最小二乘法 .它误差较小,适用于测定数据比较精确的情况.在使用最小二乘法时,如遇到数学模型是非线性经验公式时其中参数的待定,通

-数学建模-数据拟合

+
+
+ i (x+ i,yi)
+ +
+
y=f(x)
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
拟合与插值的关系问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合．函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的．实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
超定方程组一般不存在解的矛盾方程组．
2 ( r a r a r a y ) 如果有向量a使得 i1 1 i 2 2 达到最小， im m i i 1
则称a为上述超定方程组的最小二乘解．
线性最小二乘法的求解所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题． Ra=y r 1 ( x1 ) 其中 R 1 ( xn ) r （3） rm ( x1 ) a1 y1 , y , a rm ( xn ) am yn
942 1032
设 R=at+b a,b为待定系数
40
60
80
100
拟合问题引例 2 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01

数学建模数据拟合教程

%作出数据点和拟合曲线的图形作出数据点和拟合曲线的图形 20.1293 -0.0317
2）计算结果：Ａ = -9.8108 ）计算结果：
f ( x ) = 9 . 8108 x 2 + 20 . 1293 x 0 . 0317
17
用MATLAB作非线性最小二乘拟合作非线性最小二乘拟合 Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数： Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数 lsqcurvefit和lsqnonlin 两个命令都要先建立M 文件fun.m lsqnonlin。 fun.m， lsqcurvefit lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定义函数f(x) 但两者定义f(x)的方式是不同的, f(x)， f(x)的方式是不同的在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可参考例题. 考例题 1. lsqcurvefit 已知数据点数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）， xdata=（数据点， ydata=（ ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）， lsqcurvefit用以求含参量用以求含参量x 向量） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数 F(x,xdata)=（），…， F(x,xdata)=（F（x，xdata1），，F（x，xdatan））T 中的参变量x(向量),使得中的参变量x(向量),使得 x(向量),
15
三
三
多
项
lines t 式三
三
10
5
0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

第三章数据拟合法

第三章数据拟合法3.1 最小二乘原理在科学实验或统计研究中，需要从一组测定的数据去求自变量与因变量之间的一个函数关系。

第二章中介绍过的插值方法在一定程度上解决了这个问题。

但实验或统计数据通常很多，在这种情况下，用插值方法来求自变量与因变量之间的插值多项式关系，往往多项式次数都比较高，对计算和应用都带来一定困难。

另一方面，实验数据或统计数据本身带有误差，在这种情况下，用插值方法的插值条件来求拟合曲线，要求所得拟合曲线精确地通过给定的所有数据点时就会使曲线保留数据原有的误差。

所以有必要考虑与插值方法不同的求自变量与因变量之间的函数关系的其它方法。

这里要介绍数据拟合法，数据拟合法是数学建模过程中常用的一个有效方法，在许多实际问题的研究和解决中都起到了重要的作用，在解决现实问题中应用非常广泛，见文献[18,19]。

1 最小二乘问题最小二乘问题的一般提法是：对于给定的数据点(,)i i x y (1,2,,)i n = ，要求在函数类01{,,,}m ϕϕϕΦ= 中寻找一个函数0011()m m x a a a ϕϕϕϕ=+++ ()m n < （3.1）使()x ϕ各点上的偏差()i i i y x δϕ=-的绝对值都尽可能小，即偏差平方和2211(())nniii i i yx δϕ===-∑∑达到极小。

设()(0)x ω≥是权函数，用来调解数据点(,)i i x y 的作用大小或准确程度，即数据点(,)i i x y 的作用越大，()i x ω取值也越大。

则偏差平方和2211(())nni ii i i yx δϕ===-∑∑达到极小等价于220111(,,,)()()(())nnm ii iii i i Q a a a x x yx ωδωϕ====-∑∑ （3.2）达到极小。

寻找函数()x ϕ就是在函数类01{,,,}m ϕϕϕΦ= 中构造（3.1），即根据（3.2）达到极小的条件来求待定系数01,,,m a a a 。

第十二讲统计模型数据拟合方法.ppt

y f (x, a,b,,c)
其中 a,b,,c 为一组待定参数，使得
m
[ yi f (xi , a,b,, c)]2
i 1
取到最小值，从而确定出参数 a,b,,c 的值。
这样就得到由这组数据确定的拟合函数。
假设我们预想到一个确定形式的模型，并且已经收集了数据并进行分析。在这里用最小二乘准则来估计各种类型曲线的参数。
投资组合：确定给资产Si投资多少的问题。
1.确定设计变量和目标变量
净收益、风险额为目标变量给每种资产的投资额为设计变量
2.确定目标函数的表达式
寻找设计变量与目标变量之间的关系
3.寻找约束条件
设计变量所受的限制
2 符号说明
符号
符号意义
Si
第
i 种资产（ i 1,2,, n, n 1 ）
S
i
表示存入银行
投资的相关数据表
Si
ri(%) qi(%) pi (%) ui(元)
S1 28 2.5 1
103
S2 21 1.5 2
198
S3 23 5.5 4.5 52
S4 25 2.6 6.5 40
1 问题分析投资策略：为了使净收益尽可能大，风险尽可能小
确定最优投资组合。问题为
以投资组合为决策变量的双目标随机规划问题。
a
i 1 m
i1 i1 m
m xi2 ( xi )2
i 1
i 1
斜率
m
m
m
m
xi2 yi xi yi xi
b i1
i 1 m
i 1
i 1
m
m xi2 ( xi )2
i 1
i 1
截距

数据拟合方法范文

数据拟合方法范文数据拟合是指利用已知的观测数据，通过建立数学模型，找到最能描述这些数据的函数关系。

数据拟合方法在科学研究、工程设计、统计分析等领域都有广泛的应用。

下面将介绍几种常用的数据拟合方法。

1.最小二乘法：最小二乘法是一种常用且经典的数据拟合方法。

它的基本思路是求解使观测数据与拟合函数之间的残差平方和最小的参数估计值。

通过最小化残差平方和，可以使拟合函数最佳地拟合已知数据。

最小二乘法可以应用于线性拟合、非线性拟合以及多项式拟合等多种情况。

2.插值法：插值法是一种通过已知数据点之间的连续函数来估计其他位置上的数值的方法。

插值法通过构造一个合适的插值函数，将已知的数据点连接起来，使得在插值函数上的数值与已知数据点的数值一致。

常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法等。

3.曲线拟合：曲线拟合是一种利用已知的散点数据来拟合一个曲线的方法。

曲线拟合可以应用于各种类型的数据，包括二维曲线、三维曲面以及任意高维的数据拟合。

曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合、对数拟合、幂函数拟合等。

4.非参数拟合：非参数拟合是一种在拟合过程中不对模型形式作任何限制的方法。

非参数拟合不依赖于已知模型的形式，而是利用数据自身的特征来对数据进行拟合。

常用的非参数拟合方法包括核密度估计、最近邻估计、局部回归估计等。

5.贝叶斯拟合：贝叶斯拟合是一种利用贝叶斯统计方法进行数据拟合的方法。

贝叶斯拟合通过将已知的先验信息与观测数据结合起来，得到拟合参数的后验分布。

贝叶斯拟合可以有效地利用先验信息来改善参数估计的准确性，并且可以对参数的不确定性进行量化。

在实际应用中，选取适合的数据拟合方法需要考虑多个因素，包括数据类型、数据规模、拟合模型的复杂度等。

不同的拟合方法有不同的假设和限制条件，因此需要根据具体情况选择最适合的方法。

在使用数据拟合方法进行拟合时，也需要进行模型验证和评估，以确定拟合模型的有效性和可靠性。

(完整版)数学建模插值和拟合

x
xn
x
4.2 MATLAB实现插值
Matlab 实现：实现插值不需要编制函数程序，它自身提供了内部的功能函数 interp1(一维分段插值) interp2(二维) interp3(三维) intern(n维)
4.3.1一维插值
用MATLAB作插值计算
一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，'method')
h=1:0.1:12;
t=interp1(hours,temps,h,'spline');
plot(hours,temps,'+',h,t,'r:')
xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius’)
例1：从1点12点的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25，29， 31，30，22，25，27，24．试估计(1)每隔1/10小时的温度值;（2）估计1点30分和13的温度值。
例1：从1点到12点的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25， 29，31，30，22，25，27，24．试估计(1)每隔 1/10小时的温度值;（2）估计1点30分和13的温度值。
hours=1:12;
temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];
x x0 y y0
x1 … xn y1 … yn
其中x0,x1, …xn是n+1个互不相同的点，求一个近似函数 (x) ，使得
( xi ) f ( xi ) i 0,1 …n

数学建模插值和拟合

一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插值结果插值节点被插值点插值方法
注意（1）所有的插值方法 ‘nearest’ 最近邻点插值；都要求x是单调的，并且xi不 ‘linear’分段线性插值； ‘spline’ 三次样条插值；能够超过x的范围； ‘cubic’ 三次多项式插值； (2)interp1()并没有提供缺省时分段线性插值．插值函数的表达式。
X Y 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 1200 1130 1320 1390 1500 1500 1500 1480 1600 1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500 2000 1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550 2400 1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510 2800 1040 1300 900 1450 1600 1600 1430 3200 900 700 1100 1200 1550 1600 1300 3600 500 900 1060 1150 1380 1600 1200 4000 700 850 950 1010 1070 1550 980
用MATLAB作散点数据的插值计算
插值函数griddata格式为:
cz =griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’）
被插值点的函数值插值节点被插值点
插值方法
要求cx取行向量， cy取为列向量．
‘nearest’最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 'v4'- MATLAB提供的插值方法缺省时, 双线性插值

数学建模课件--最小二乘法拟合

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 11数学建模课件--最小二乘法拟合4. 最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的 a 和 b 误差较大。

用最小二乘法拟合直线处理数据时, 任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。

最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的 a 和 b 。

显然，关键是如何求出最佳的 a 和b 。

(1) 求回归直线设直线方程的表达式为：(2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的 a 和 b 。

对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi ， yi ），假定自变量xi 的误差可以忽略，则在同一 xi 下，测量点 yi 和直线上的点a+bxi 的偏差 di 如下：显然最好测量点都在直线上（即 d1=d2==dn=0），求出的 a 和 b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑 d1、 d2、、dn 为最小，也就是考虑 d1+d2++dn 为最小，但因 d1、 d2、、 dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而| d1| + | d2| ++ | dn| 又不好解方程，因而不可行。

现在采取一种等效方法：当 d1对 a 和 b 为最小时， d1、 d2、、 dn也为最小。

取（d12+d22++dn22+d22++dn2）为最小值，求 a和 b 的方法叫最小二乘法。

数据拟合方法

数据拟合方法-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1第二讲数据拟合方法在实验中，实验和戡测常常会产生大量的数据。

为了解释这些数据或者根据这些数据做岀预测、判断，给决策者提供重要的依据。

需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。

数据拟合方法与数据插值方法不同，它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差，所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。

数据拟合方法求拟合函数，插值方法求插值函数。

这两类函数最大的不同之处是，对拟合函数不要求它通过所给的数据点，而插值函数则必须通过每一个数据点。

例如，在某化学反应中，测得生成物的质量浓度33显然，连续函数关系y(t)是客观存在的。

但是通n过表中的数据不可能确—'—'—'—'—I—；—:—：切地得到这种关系。

何心・况，由于仪器和环境的§*影响，测量数据难免有*误差。

因此只能寻求一 3.个近拟表达式7寻求合理的近拟表达6式，以反映数据变化的§规律，这种方法就是数据拟合方法。

数据拟合40 2 4 6 3 10 12 -4 -6需要解决两个问题：第一，选择什么类型的函数0(0作为拟合函数(数学模型)；第二，对于选定的拟合函数，如何确定拟合函数中的参数八数学模込应建立在合理假设的基础上，假设的合理性首先体现在选择某种类型的拟合函数使之符合数据变化的趋势(总体的变化规律)。

拟合函数的选择比较灵活，可以选择线性函数、多项式函数、指数函数、三角函数或其它函数，这应根据数据分布的趋势作岀选择。

为了问题假设拟合函数是线性函数，即拟合函数的图形是一条平面上的直线。

而表中的数据点未能精确地落在一条直线上的原因是实验数据的误差。

则下一步是确定函数y=a + bx中系数。

和b 各等于多少从儿何背景来考虑，就是要以。

和b 作为待定系数，确定一条平面直线使得表中数据所对应的10个点尽可能地幕近这条直线。

第四章数据拟合法

第四章数据拟合法一、内容分析与教学建议本章内容是对样条函数及其理论的简单介绍，主要介绍了三次样条和B 样条。

样条插值是分段多项式插值的深化和完善，是插值方法中最重要和最常用的方法。

（一）最小二乘法1、数值逼近的另一种重要方法——数据拟合方法，它有别于插值法的主要特点是：不要求拟合曲线过插值点。

而最小二乘法是最重要的数据拟合方法之一。

2、阐明最小二乘法的最小二乘原理，由最小二乘原理得到超定方程组（又称矛盾方程组），解得超定方程组的解，即得所求拟合曲线的方程。

3、使用最小二乘法，关键是根据已知数据点的大致走势，选好基函数，构造拟合函数。

4、建议用多媒体演示，给出大量的数据，根据所给数据的特点，选择不同的基函数，构造不同的拟合函数，用计算机现场演算，并画出拟合函数曲线及所给数据点，使学生直观地了解最小二乘法的精髓。

（二）正交多项式1、阐明正交多项式的一般定义。

2、介绍几个常用的正交多项式：Legendre 多项式、Tchebyshev 多项式、Laguerre 多项式、Hermite 多项式，了解它们的表达式以及下列信息：Legendre 多项式在[1,1]-上关于权()1x ρ≡正交； Tchebyshev 多项式在[1,1]-上关于权()x ρ=Laguerre 多项式在[1,)-+∞上关于权()x x e ρ-=正交； Hermite 多项式在(,)-∞+∞上关于权2()x x e ρ-=正交。

（三）最佳平方逼近1、了解最佳平方逼近及最佳平方逼近多项式的概念。

2、通过具体例子讲解如何求函数的最佳平方逼近多项式。

（四）最佳一致逼近1、简介Bernstein 多项式的概念和性质，以及通过构造Bernstein 多项式，人们非常简洁地证明了Weierstrass 定理，并由此引如一致逼近的概念。

2、阐述最佳一致逼近及最佳一致逼近多项式的概念，重点介绍描述最佳一致逼近多项式特征的Tchebyshev 定理，并举例说明。