《1.3.2 矩阵乘法的运算律》教案2

《1.3.2 矩阵乘法的运算律》教案1

教学目的

一、知识与技能：理解矩阵乘法不满足交换吕和消去律，会验证矩阵乘法满足结合律 二、过程与方法：比较演算法

三、情感态度和价值观：体会类比推理中结论全真的含义

教学重点、难点

熟练运用各种运算

教学过程

一、矩阵的加法 定义2 设

}

{ij a A = 和

}

{ij b B = 是 n m ⨯ 的矩阵，A 与B 的加法（或称和），记作A + B ，定

义为一个n m ⨯ 的矩阵：

1111

1212112121

22222211

22

{}n n n n ij m m m m mn mn a b a b a b a b

a b a b c a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥

===⎢⎥⎢

⎥

+++⎣⎦

C A +B 。

例2 设

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2015A , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4012B ，计算 B A +。 负矩阵 设

{}ij m n

a ⨯=A ，称矩阵

{}

ij a -=-A 为矩阵A 的负矩阵。矩阵的减法：

11111212

1121212222221122

()n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥

-=+-=⎢⎥⎢

⎥

---⎣⎦

A B A B

二、数与矩阵相乘

定义3 （矩阵数乘） 数λ与矩阵

n

m ij a A ⨯=}{的乘积（称之为数乘），记作A λ 或λA ，定义为一个

n m ⨯ 的矩阵

1112

12122212

()()n n ij m n ij m n

m m mn a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥

====⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

A A 。

以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：

交换律 A B B A +=+

结合律 )()(C B A C B A ++=++

A O A =+ O A A =-

数对矩阵的分配律 B A B A λλλ+=+)( 矩阵对数的分配律 A A A μλμλ+=+)( 结合律 )()(A A μλλμ=

例3 设

312157543-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，754519321-⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦B 且 2,+=A X B 求矩阵X 。 解：由2+=A X B 得

23-31(-)=2-212

-1-3-2⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦X B A 。 三、矩阵与矩阵相乘 设有两个线性变换：

111112213

2211222233

y a x a x a x y a x a x a x =++⎧⎨=++⎩ ，其系数矩阵

1112132122

23a a a a

a a ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦A ；

111112222112223

311322x b t b t x b t b t x b t b t

=+⎧⎪

=+⎨⎪=+⎩ ，其系数矩阵

111221223132b b b b b b ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦B 从而可得从21,t t 到21,y y 的线性变换：

()()()()111111221133111112122213322

221112221233112112222223322y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t =+++++⎧⎪⎨=+++++⎪⎩ ，其系数矩阵，记做C 则

1111

12211331111212221332211122212331

211222222332a b a b a b a b a b a b C a b a b a b a b a b a b ++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦ 。

显然，矩阵C 是由矩阵A 、B 产生的，把这种运算称为矩阵与矩阵的乘积。 定义4 （矩阵乘法） 设

}

{ij a A =是一个s m ⨯矩阵，

}

{ij b B =是一个n s ⨯矩阵，A 与B 的乘法，

记作AB ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵

{}ij m n

c ⨯==C AB ，其中

∑==+++=s

k kj

ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 1

2211

),,2,1;

,,2,1(n j m i ==.

由定义，不难看出（强调）：

只有在左矩阵A 的列数和右矩阵B 的行数相等时，才能定义乘法AB ； 矩阵C=AB 的行数是A 的行数，列数则是B 的列数； 矩阵C=AB 在

),(j i 位置上的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和。

例4 设矩阵

10312102-⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦A ，410113201134⎡⎤

⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

B ，求AB 和BA

(BA 无意义)。

例5 设矩阵 2422,1211-⎡⎤⎡⎤

==⎢

⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B , 求 AB 和 BA 。

例6 设A 是n ⨯1的矩阵（行向量），B 是1⨯n 的矩阵（列向量），即

()

12n a a a =A ，

12n b b b ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪ ⎪

⎝⎭B ， 求 AB 和 BA 。

上述几个例子显示，当AB 有意义时，BA 不一定有意义（例4）；即使AB 和BA 都有意义（例5、6），但不一定有相同的阶数（例6），即便有相同的阶数，也不一定相等（例5）。例5还说明，如果AB = O ，不是一定有A = O 或B = O 。 一般情况而言矩阵乘法不满足交换律。

特殊的，若两个矩阵A 和B 满足 AB =BA ，则称矩阵A 和B 是可交换的。 例7 设

m n

⨯A 是一般矩阵，

m

E 和

n

E 分别是m 和n 阶单位阵，则

m m n m n

⨯⨯=E A A 和

m n n m n

⨯⨯= A E A 。

如果A 是方阵时，有

AE = EA = A ，E 相当于数1的作用。这就是称E 为单位阵的原因。 矩阵乘法满足以下运算律： 结合律 )()(BC A C AB =。