§5.2 常系数线性微分方程组 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt

6
第五章线性方程组§5.2
例2
试求
x
'
2 1
1 2
x
的基解矩阵
解因
2 1 2 0 0 1 A 1 2 0 2 1 0
后面两个矩阵可交换，可得
exp
At
exp
2 0
0 2
t
exp
0 0
1 e2t
0 t
0
0 e2t
E
0 0
1 0
t
0 0
12 0
t2 2!
因 0 12 0 0 0 0 0 0
k
k0 l0
Al l!
Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
(3) (expA)-1存在且(expA)-1 =exp(-A)；
证 因A与-A可交换，取B=-A，由性质(1)得
exp Aexp(A) exp(A (A)) exp 0 E
i e(35i)t 1
e(35i)t
i
i 1 1
1 2
e(35i)t i e(35i)t
i e(35i)t 1
e(35 i )t
i
i
1
1
e(35i)t e(35i)t
2 i (e(35i)t e(35i)t )
i (e(35i)t e(35i)t e(35i)t e(35i)t
• 同样，对应特征值λ2=3-5i的特征向量v必须
满足线性代数方程组
(2
E
A)v
5
5
i
5
5
i
v1 v2
5iv1
5v1
5v2 5iv2
0
解得对应特征值λ2=3-5i的特征向量 • 其中 , 为任意非零常数。
v
i 1
9 第五章线性方程组§5.2
的特征例值4和试对求应矩的阵特A征 2向1 14量
A
3 5
5 3
解 由例3知，A的特征值为λ1,2=3±5i ，
特征向量 •
u
1
i
,
v
i 1
线性无关。
由定理9, 方程组的基解矩阵为
• 且有
(t)
[e1tu,
e2t v]
e(35 i )t
i e(35i)t
i e(35i)t
e(35 i )t
exp
At
(t)1(0)
e(35i)t
i e(35i)t
• 因此，方程组(33)的满足初值条件φ(t)=(expAt)η的解可写成 (52)式。为从(52)中得到expAt，注意到
exp At (exp At)E [(exp At)e1, (exp At)e2, , (exp At)en]
• 其中ei为仅在第i位为1其余位为0的n维列向量。 • 这可依次取初始向量 e1, e2 , , en
• 特征方程的根λ称为特征值，或特征根。 • 而线性代数方程组(λE-A)u=0的非零解u
称为对应特征值λ的特征向量。 • n次特征方程有n个特征值（包括重数）。 • 如p(λ)含因子(λ- λ0)k而不含因子(λ- λ0)k+1 ，
则称特征值λ0为k重根。 k=1时称为单根。 • 特征值λ0可以是实的， 也可以是复的。
(1)
eAt exp At Aktk k0 k !
在t的任有限区间上一致收敛；
证 对一切正整数k，当|t|≤c时有
Ak t k
Ak tk
A k ck
k!
k!
k!
•
而数值级数
A ck
k0 k !
是收敛的，故
Aktk
k0 k !
一致收敛。
2
第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
于是(expA)-1 =exp(-A) 。
(4) 如T为非奇异矩阵，即detT≠0，
则
exp(T-1AT)=T-1 (expA)T。
证有
exp(T 1AT ) E (T 1AT )k E T 1AkT
k1 k !
k1 k !
E
T
1
k 1
Ak k!
T
T 1
k0
Ak k!
T
求得n个解作为列组成矩阵得到expAt 。 • 当矩阵A仅有一特征值λ时，无需分解初始向量，
对任何u均有 ( A E)n u 0 • 即(A- λE)n是一个零矩阵，由expAt的定义得
exp At et exp( A E)t et n1 ti (A E)i
i0 i!
• 定理证毕。
18 第五章线性方程组§5.2
解 特征方程为
det(E
A)
1
2
1
4
2
6
9
(
3)2
0
λ =3是A的二重特征值。 • 其对应特征值λ=3的特征向量c
应满足
(
E
A)c
1 1
1 1
c1 c2
c1 c1
c2 c2
0
• 解得对应特征值λ=3的特征向量
c
1 1
( 0)
10
第五章线性方程组§5.2
注
• 例3中的特征向量u和v线性无关，
• 利用公式(53)有
exp
At
e3t
[
E
t
(
A
3E)]
e3t
E
t
1 1
0 0
e3t
1 t
t
t
1
t
•
亦可取
e1
1 0
,
e2
0 1
• 分别代入解式，同样可得
exp
At
e3t
1 t
t
t
1
t
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第五章线性方程组§5.2
4 1 0 0 0
例8 如果 试求expAt
0
A 0
0
4 1
0
§5.2 常系数线性微分方程组
常系数线性方程组 d x Ax dt
其中A为n×n常数矩阵
1 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数 expAt
• n×n阶常数矩阵A的矩阵指数定义为
eA exp A Ak E A A
k0 k !
2!
其中A0 = E为单位矩阵。
Am m!
矩阵指数有性质：
)
e3t
cos 5t sin 5t
sin 5t
cos
5t
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第五章线性方程组§5.2
常系数线性方程组解公式
定理 常系数线性方程组(33)有的解
(t)
k
ejt
j 1
nj 1 i0
ti i!
(
A
i
E
)i
v
j
• expAt的计算可通过分解
e1 en, ei (0, ,0,1,0, ,0)T
ei仅在第i位为1。并依次取初始向量
e1, e2,
, en
利用上式求得n个解作为列组成矩阵得到expAt 。
• 当矩阵A仅有一特征值λ时，有
exp At et n1 ti ( A E)i
i0 i!
15 第五章线性方程组§5.2
A具有重特征值时
• 现讨论当n×n矩阵A具有重特征值时常系数线性方程组的
例7
如果为例4的矩阵
2 A 1
1 4
试解初值问题
x' Ax, (0) 并求expAt
解 由例4知，λ =3是的二重特征值，
这时，只有一个子空间U1 将
n1
2及
1 2
代入公式(52)得
(t)
e3t [ E
t(
A
3E)]
e3t
E
t
1 1
0 0
1 2
e3t
1 2
t(1 t(1
2 ) 2 )
，最后得基解矩阵为
e2t exp At
0
0 0
e2t
E
0
1 e2t
0
t
0
te2t e2t
e2t
1 0
t 1
7 第五章线性方程组§5.2
特征值和特征向量
• 对n×n阶(实)常数矩阵A，n次多项式 p() det(E A)
• 称为的特征多项式。 n次代数方程p(λ)=0 称为A的特征方程，或线性微分方程组的特征方程。
这因为
i
det[u,v]
2 0
i
即u和v构成二维欧几里得空间的基。
• 但在例4中的特征向量c只构成一维子空间。
根据线性代数理论，给定矩阵A的任何k个不同特征值 所对应的k个特征向量是线性无关的。
• 因此，如果矩阵A具有n个不同特征值，则所对应的n 个特征向量就构成n维欧几里得空间的一个基。
an
解 由定义得
a1
exp At E
a2
an
t 1!
a12
a22
t2 2!
an2
a1k
a2k
tk 2!
ank
ea1t
ea2t
eant
此即为所求的基解矩阵。 实际上，原方程组可写成
n个方程 xk’=Axk (k=1,2,…,n) 分别进行积分。
• λ0为复数时，则其共轭复数 0 也是特征值。 8
第五章线性方程组§5.2
例3
试求矩阵
A
3 5
5 3
的特征值和特征向量
解 A的特征值就是的特征方程
det(E A)
的根。解得λ1,2=3±5i。 • 对应特征值λ1=3+5i的特征向量
5
3
u
u1 u2
5
3
2
6
34
0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0
1! 2!
k!
即是方程组(33)的解矩阵。
Aexp At A(t)
而
det (0) det E 1 0
得Φ(t)是基解矩阵。 • 由基解矩阵的性质，
知方程组(33)的任一解可表为(expAt)c
5 第五章线性方程组§5.2
a1
例1 对对角矩阵(其中未写出的
A
a2
元均为零)试求x’=Ax的基解矩阵
1
v
j
• 根据(50)，知微分方程组(33)的解可表示为
k
k
(t) (exp At) (exp At)v j (exp At)v j
j 1
j 1
k
ej t
j 1
E
t(AjE)
t2 2!
(
A
j
E)2
Hale Waihona Puke Baidu
t nj 1 (n j 1)!
(
A
j
E)nj
1
vj
17
第五章线性方程组§5.2
(续) 解公式证明
• 的基解矩阵可表为
(t) [e1tv1,e2tv2, ,entvn], ( t )
• 且有 eAt exp At (t)1(0)
12 第五章线性方程组§5.2
定理9 A特征向量v1,, v2,, …,vn特征值λ1,λ2,…,λn 的基解矩阵
(t) [e1tv1,e2tv2, ,entvn], ( t )
T 1 exp
AT
4
第五章线性方程组§5.2
基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
基解矩阵的计算。设λ1,λ2,…,λk分别是矩阵的n1,n2,…,nk重特
征值，且n1+n2(+A…+ jnEkn=j )nn
，则线性代数方程组
j u 0 (48)
• 的非零解uj的全体构成欧几里得空间U的一个nj维子空间Uj
U=U1 U2 … Uk 即 u=u1+u2+…+uk
• 在欧几里得空间U中将初始值向量分解为
ej
t
exp( j Et)
ej
t
ej t
• 由上式及(51)式得
E
e
j
t
(exp At)v j (exp At)ej t[exp( j Et)]v j ej t[exp( A j Et)]v j
ej
t
E
t(A
jE)
t2 (A 2!
j E)2
t nj 1 (
(n j 1)!
A
j
E)nj
0
0 4 0 0
• 因Φ(t)和expAt都是方程组(33)的基解矩阵，
由定理2* ，存在非奇异常数矩阵C使得expAt= Φ(t)C。
• 当取t=0时有 E= Φ(0)C, 即 C=Φ-1(0)。
于是有
exp At (t)1(0)
• 定理证毕。
13 第五章线性方程组§5.2
例5、6 试求x’=Ax的基解矩阵及expAt
11 第五章线性方程组§5.2
矩阵不具有重特征值时
• 当n×n矩阵A具有n个线性无关特征向量时可以由下
面定理具体计算常系数线性方程组的基解矩阵：
定理9 如A有n个线性无关特征向量v1, v2, …,vn 它们对应的特征值为λ1,λ2,…,λn (可以相同)， 则常系数线性微分方程组 x ' Ax (33)
证 因每一个向量函数 ej tvj ( j 1, 2, , n) 都是(33)的一个解 • 故矩阵 (t) [e1tv1, e2tv2, , entvn]
是(33)的一个解矩阵。而由特征向量v1,, v2,, …,vn线性无关得
det (0) det[v1, v2, , vn ] 0
• 根据定理2* 知，Φ(t)是方程组(33)的基解矩阵。
v1 vk
其中 v j U j ( j 1, , k)
• 则vj为(48)的解，于是
( A j Enj )l v j 0, l nj , j 1, , k
• 利用上式可证明后面定理：
16 第五章线性方程组§5.2
解公式证明
证 由例1知, 易计算对角阵时的expAt ，于是
ej t
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !
k 0
l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B
i0
Ai i!
j0
Aj j!