§5.2 常系数线性微分方程组 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt

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常微分方程的基本概念ppt课件

常微分方程的基本概念ppt课件
其中 P(x) cos x, q(x) esin x
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 : y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解

设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ;
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2


m
d
dt

g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)

gt C1,
再积一次分得:S

1 2
gt2

C1t

C2 , 其中C1,C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.

高等数学 常微分方程PPT课件

高等数学 常微分方程PPT课件
第12页/共35页
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项


法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
[提示](1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型,并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx

第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt

第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt

5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数

x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0,则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理,函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解,
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1,线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在,且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'

王高雄《常微分方程》精讲网课

王高雄《常微分方程》精讲网课
00:42:36
31
第5章线性微分方程组(8)
01:18:37
32
第6章非线性微分方程(1)
01:03:40
33
第6章非线性微分方程(2)
00:56:21
34
第6章非线性微分方程(3)
00:57:27
35
第7章一阶线性偏微分方程
00:34:11
1.精讲教材章节内容
按照教材篇章结构,辅导老师精讲教材章节内容,并在此基础上分析重难点以及各个知识点需掌握的程度。通过梳理各章知识点,将各个知识点的经络编制清晰,使知识点形成一个框架网络,强化基础知识的基础上分析教材的考点,归纳难点、重点。
17
第4章高阶微分方程(5)
00:55:05
18
第4章高阶微分方程(6)
01:18:0219第4章高阶微源自方程(7)01:22:14
20
第4章高阶微分方程(8)
01:09:17
21
第4章高阶微分方程(9)
01:07:43
22
第4章高阶微分方程(10)
00:43:25
23
第4章高阶微分方程(11)
01:15:57
00:55:35
4
第1章绪论(4)
00:54:27
5
第1章绪论(5)
00:54:01
6
第2章一阶微分方程的初等解法(1)
00:46:01
7
第2章一阶微分方程的初等解法(2)
01:11:48
8
第2章一阶微分方程的初等解法(3)
01:03:04
9
第2章一阶微分方程的初等解法(4)
01:04:55
10
第2章一阶微分方程的初等解法(5)

常微分方程 ppt课件

常微分方程  ppt课件

量,x是未知函数,是未知函数对t导数. 现
在,我们还不会求解方程(1.1),但是,如果
考虑k=0的情形,即自由落体运动,此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2

g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
ppt课件
11
一般说来,微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数,则称为常微分方程;如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数,并且在方 程中出现偏导数,则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程,有时就简称微分 方程或方程.
这样,从定义1.1可以直接验证:
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出,则得到方程
y f (x, y)
(1.9)

M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程,(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
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14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
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1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程,如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律,能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
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2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等,对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.

§52常系数线性微分方程组常微分方程课件高教社王高雄教材配套

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§5.2 常系数线性微分方程组d d xAx t矩阵指数exp At矩阵指数有性质(1) 证0exp !2!!kmAk A AAe A E A k m ∞=≡==+++++∑0exp !k kAtk A t e At k ∞=≡=∑!!!kkkk k kAtA c A t k k k ≤≤()0!kk A c k ∞=∑!k k k A t k ∞=∑矩阵指数性质(2)(2) 矩阵A 、B 可交换,即AB=BA 时有exp(A+B )=exp A ·exp B ;证000()exp()!!()!k l k l kk k l A B A B A B k l k l -∞∞===⎡⎤++==⎢⎥-⎣⎦∑∑∑0000exp exp !!!()!ijl k l k i j k l A A A BA B i j l k l -∞∞∞====⎡⎤⋅=⋅=⋅⎢⎥-⎣⎦∑∑∑∑矩阵指数性质(3)(4)(3)(exp A )-1存在且(exp A )-1=exp(-A );证(4) 如T 为非奇异矩阵,即det T ≠0,则exp(T -1AT )=T -1(exp A )T 。

证exp exp()exp(())exp0A A A A E⋅-=+-==()1111111110()exp()!!exp !!k k k k k k k k T AT T A T T AT E E k k A A E T T T T T A T k k --∞∞-==∞∞---===+=+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑基解矩阵定理8证()exp t AtΦ=()2321'()exp 'exp ()1!2!!k kA t A t A tt At A A At A t k +Φ==+++++==Φdet (0)det 10E Φ==≠d (33)d xAx t=例1对对角矩阵(其中未写出的元均为零)试求x’=Ax 的基解矩阵解12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦122112222212exp1!2!2!n n n k a tk a tk k a t n a a a a t t At E a a a e a t ea e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦例2 试求的基解矩阵解21'12x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦212001120210A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2222200100101exp exp exp 020000002!0tt etAt t t E t e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⋅=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦201000000⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2222220011exp 00010tt t tt t e etet At E t e e e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值和特征向量特征多项式特征方程特征值特征向量()det()p E Aλλ≡-λ例3 试求矩阵的特征值和特征向量解•同样3553A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦235det()634053E A λλλλλ--⎡⎤-==-+=⎢⎥-⎣⎦12u u u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11212125555()05555u iu u i E A u u u iu i λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦1u i α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11222125555()05555v iv v i E A v v v iv i λ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦1i v β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦例4 试求矩阵的特征值和对应的特征向量解2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦2221det()69(3)014E A λλλλλλ--⎡⎤-==-+=-=⎢⎥-⎣⎦11221211()011c c c E A c c c c λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦1(0)1c αα⎡⎤=≠⎢⎥⎣⎦注•例3例4det[,]20iu viαβαβαβ==≠矩阵不具有重特征值时定理9'(33)x Ax =1212()[,,,],()n tttn t e v e v e v t λλλΦ=-∞≤≤∞1exp ()(0)AteAt t -==ΦΦ定理9A特征向量v1,, v2,, …,v n特征值λ1,λ2,…,λn的基解矩阵证1212()[,,,],()ntt tnt e v e v e v tλλλΦ=-∞≤≤∞(1,2,,)jtje v j nλ=1212()[,,,]ntt tnt e v e v e vλλλΦ=12det(0)det[,,,]0nv v vΦ=≠1exp()(0)At t-=ΦΦ例5、6 试求x’=Ax 的基解矩阵及exp At解3553A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1,1i u v i ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12(35)(35)(35)(35)()[,]i t i t t ti t i te i e t e u e v i eeλλ+-+-⎡⎤Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦1(35)(35)(35)(35)1(35)(35)(35)(35)(35)(35)(35)(35)(35)(35)(35)(111exp ()(0)112()12()i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t e i e i e i e i At t i i i e e i e e e e i e e i e e e e -+-+--+-+-+-+-+-+⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=ΦΦ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+--=-+335)cos5sin 5sin 5cos5t i t t t e t t -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦常系数线性方程组解公式定理110()()!j j n i kti i jj i t t e A E v i λϕλ-==⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑1,(0,,0,1,0,,0)Tn i e e e η=++=12,,,ne e e ηηη===10exp ()!in tii t At e A E i λλ-==-∑A 具有重特征值时()0(48)j jnj n A E u λ-=1k v v η=++(1,,)j j v U j k ∈=()0,,1,,j lj n j j A E v l n j kλ-=≥=解公式证明证exp()j j j j j t tt t j t e ee Et e E e λλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212(exp )(exp )[exp()][exp()]()()()2!(1)!j j j j j ttj j j j jn t n j j j j j At v At eEt v e A Et v t t e E t A E A E A E v n λλλλλλλλ--=-=-⎡⎤=+-+-++-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦111212()(exp )(exp )(exp )()()()2!(1)!j j j k kj jj j n k t n j j j j t At At v At v t t e E t A E A E A E v n λϕηλλλ==--===⎡⎤=+-+-++-⎢⎥-⎢⎥∑∑∑(续) 解公式证明12exp (exp )[(exp ),(exp ),,(exp )]n At At E At e At e At e ==12,,,ne e e ηηη===()0nA E u λ-=10exp exp()()!in ttii tAt e A E t e A E i λλλλ-==-=-∑例7如果为例4的矩阵试解初值问题并求exp At解2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦',(0)x Ax ϕη==11123332212()10()[(3)]()10ttt t t e E t A E e E t e t ηηηηϕηηηηη+-+⎛-⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭333101exp [(3)]101ttt tt At e E t A E e E t e t t ⎛-⎫-⎡⎤⎡⎤=+-=+= ⎪⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎝⎭31exp 1ttt At e t t -⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦1122n ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦及1210,01e e ηη⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦例8如果试求exp At解4100004100004000004000004A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦242exp (4)(4)2!t t At e E t A E A E -⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦2244101000001001002!100100000000100exp 10000000000001002!10000000000000101000000000000001t t t t t t At e t e --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦3(4)0A E +=例9 如果试求初值问题的解, 并求exp At解311201112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦',(0)x Ax ϕη==2det()(1)(2)0E A λλλ-=--=2()0,(2)0A E u A E v -=-=211()2110111A E u u -⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12312312320200u u u u u u u u u -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩22111000(2)2211100110110A E u u u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦121200u u u u -+=⎧⎨-+=⎩(续)例91122,v U v U ∈∈120,v v βαβαγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦123ηβηαβηαγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦123,,βηαβηαγη=+=+=211321,,αηηβηγηηη=-==-+112121213210,v v ηηηηηηηηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦212()((2))t tt e Ev e E t A E v ϕ=++-(续)例91221121213212111221213212101110()22111010(2121t t t t t t t e e E t e t t t t e t t t e e t t ηϕηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηη⎡-⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++-=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3211321321)()t ηηηηηηηηηη-+⎡⎤⎢⎥+-+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦222222222(1)exp (1)t t tttt tt t tttt t etete At e t ee te te e e e ee ⎡⎤+-⎢⎥=-++-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦非齐次线性微分方程组常数变易公式定理证'()x Ax f t=+()exp[()]exp[()]()dttt t t A t s A f s sϕη=-+-⎰11()exp(),()()exp[()]s As t s t s A --Φ=-ΦΦ=-()exp[()]ht t t Aϕη=-例10 设试求方程x’=Ax+f (t )满足初值条件时的解φ(t ) 解35,()530t e A f t -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦0(0)1ϕ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦3cos5sin 5exp sin 5cos5tt t At e t t ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦0033()334cos5sin 50cos5()sin 5()()d sin 5cos51sin 5()cos5()0sin 5cos5cos5sin 5sin 5d cos5sin 5cos5cos5sin 5s t t t s tt tt s t t t t s t s e t e e s t t t s t s t t s t s e e e s t t s t s ϕ---⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰00440440cos5d (4cos55sin 5)1625sin 5d (4sin 55cos5)1625s t stst s s t stst s e e s s s s e es s s s =--==--==-++=--+⎰⎰4344cos546sin 541()4146cos54sin 55t tt t t e t e t t e ϕ--⎡⎤+-=⎢⎥--⎢⎥拉普拉斯变换的应用[()]()d st f t e f t t+∞-ℑ=⎰'(),(0)x Ax f t x η=+=例11 利用拉普拉斯变换求解例10解'11212'21235,(0)0,(0)153t x x x ex x x x x -⎧=++⎪==⎨=-+⎪⎩1122()[()],()[()]X s x t X s x t =ℑ=ℑ1122121()3()5()1()15()3()sX s X s X s s sX s X s X s ⎧=++⎪+⎨⎪-=-+⎩12121(3)()5()15()(3)()1s X s X s s X s s X s ⎧--=⎪+⎨⎪+-=⎩122222222222223513511()4464411(3)5(3)5(3)55313511()4645411(3)5(3)5(3)5s s s X s s s s s s s s X s s s s s -⎧+⎪⎡⎤-+==+-⎪⎢⎥+-+-+-+⎪⎣⎦⎨⎪--⎡⎤-⎪+==--⎢⎥⎪+-+-+-+⎣⎦⎩341341()(4cos546sin 54)411()(46cos54sin 55)t tt t x t e t t e x t e t t e --⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--例12 试求方程组满足初值条件为φ1(0)=0,φ2(0)=1的解φ1(t ),φ2(t )并求它的基解矩阵解'112'21224x x x x x x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩1122()[()],()[()]X s t X s t ϕϕ=ℑ=ℑ11122212()(0)2()()()(0)()4()sX s X s X s sX s X s X s ϕϕ-=+⎧⎨-=-+⎩121122(2)()()(0)0()(4)()(0)1s X s X s X s s X s ϕϕ--==⎧⎨+-==⎩122221211(),()3(3)(3)(3)s X s X s s s s s -===+----333312(),()(1)ttttt te t e te t eϕϕ==+=+(续) 例12121122(2)()()(0)1()(4)()(0)0s X s X s X s s X s ψψ--==⎧⎨+-==⎩122224111(),()3(3)(3)(3)s X s X s s s s s --==-=----3312()(1),()t tt t e t teψψ=-=-11322()()1()()()1t t t tt t e t t t t ψϕψϕ-⎡⎤⎡⎤Φ==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦直接求解髙阶的方程组例13 解''''1221''11222022tx x x xx x x e-⎧--+=⎪⎨-+=-⎪⎩1122()[()],()[()]X s t X s tϕϕ=ℑ=ℑ21122112[()32]2[()3]()2()02[()3]2()()1s X s s sX s sX s X ssX s X s sX ss⎧-----+=⎪⎨---+=⎪+⎩212(2)()(2)()031(2)()()s s X s s X sss X s sX s⎧---=⎪⎨+-+=⎪(续) 例13•注212341111 ()(1)(1)(2)112211()(1)(1)11s sX ss s s s s sX ss s s s⎧--==++⎪+---+-⎪⎨⎪==-⎪+--+⎩212(),()t t t t t t e e e t e e ϕϕ--=++=-。

最新常微分方程 第五章 线性微分方程组幻灯片课件精品课件

最新常微分方程   第五章 线性微分方程组幻灯片课件精品课件
的n个方程式,如果(rúguǒ)从其中解得
再代回通解或通积分中,就得到所求的初值问题的解.
第六页,共39页。
为了(wèi le)简洁方便,经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(1) 令n维向量函数
并定义(dìngyì)
则(1)可记成向量(xiàngliàng)形式
第七页,共39页。
初始条件可记为 其中(qízhōng)
(5.19)
第三十三页,共39页。
例1 求解(qiú jiě)方程组
解 向量(xiàngliàng)函数组
是对应齐次方程组的基本解组(jiě zǔ).现在求非齐次方程组形如
的特解,此时(5.18)的纯量形式为 解之得
第三十四页,共39页。
从而(cóng ér) 最后(zuìhòu)可得该方程组的通解为
则该解组(jiě zǔ)在I上必线性相关.
第二十二页,共39页。
实际上,这个(zhè ge)推论是定理5.4的逆否命题. 推论5.3 方程组(5.2)的n个解在其定义区间I上线
性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上 任一点不为零.
条件的充分性由推论5.1立即可以得到. 必要性用反证法及推论5.2证明是显然的.证毕. 2.一阶线性齐次微分方程组解空间的结构.
第二十九页,共39页。
5.4.2 拉格朗日常数变易法 在第一章我们介绍了对于一阶线性非齐次方程,可用常数变易法求其
通解.现在,对于线性非齐次方程组,自然要问,是否也有常数变易法求 其通解呢?事实上,定理5.10告诉我们,为了求解非齐次方程组(5.1),只 需求出它的一个特解和对应(duìyìng)齐次方程组(5.2)的一个基本解组.而 当(5.2)的基本解组已知时,类似于一阶方程式,有下面的常数变易法可以 求得(5.1)的一个特解.

42常系数线性微分方程的解法常微分方程课件高教社王高雄教材配套

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dt
n
a1 (t )
dt
n1

an1 (t )
dt
an (t ) z f (t )
的复值函数z(t)称为方程(1)的复值解。
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复值函数性质
• 极限
• 导数 • 微分
t t0
lim z (t ) lim (t ) i lim (t )
t t0 t t0
复指数函数性质
• 设、为实数,t为实变量,则K= +i 为复数,复指 数函数定义为 eK t e( i )t et (cos t i sin t ) • 有 1 1 cos t (ei t e i t ), sin t (ei t e i t )
连续 lim z (t ) z (t0 )
t t0
t t0
lim
z (t ) z (t0 ) d z (t0 ) z '(t0 ) t t0 dt
d z (t ) d (t ) d (t ) i dt dt dt
d z1 (t ) d z2 (t ) d [ z1 (t ) cz2 (t )] c dt dt dt
n
e
( 1 2 L n )t
1
M
2
M
n
M
n 1 n

1n1e t
n 1 t 2 e L
n 1 1n1 2 L
1 j i n

(i j ) 0.
即n个解在区间上线性无关,构成的基本解组。 方程有通解 t t t
x c1e 1 c2e
dn x d n1 x dx a ( t ) L a ( t ) an (t ) x u(t ) iv(t ). (**) 1 n1 n n1 dt dt dt

高阶常系数线性微分方程、欧拉方程 ppt课件

高阶常系数线性微分方程、欧拉方程  ppt课件
ppt课件 PPTPPT 课件 课件 9
故当特征方程有一对共轭复根
1 i ,2 i
时,原方程的通解可表示为
y e x (C1 cos x C2 sin x) 。
ppt课件 PPTPPT 课件 课件
10
二阶常系数齐线性微分方程 特征方程
y p y q y 0
x
ppt课件 PPTPPT 课件 课件 16
k 移项,并记 a ,则有 m
2
它能正确描述 我们的问题吗?
d2 x 2 a x 0 , (a 0) 。 2 dt 记拉长后,突然放手的时刻为 t 0,则有初始条件:
初始位移 x
t 0
x0 ,
初始速度
dx dt
0。
t 0
我们要找的规律是下列初值问题的解:
的特征方程为
(1)
2 p q 0 。
3) 特征方程有一对共轭复根:1 i ,2 i ,则
y1 e1x e( i ) x, y2 e2 x e( i ) x
是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解,其通解为
y C1 y1 C2 y2 C1e ( i ) x C2 e ( i ) x。
开始拉长, 当点 O 的位移为 x x0 时, 突然放手, 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 簧运动的规律(设其弹性系数为 k )。

取 x 轴如如图所示。
由力学的虎克定理,有
f k x 。 ( 恢复力与运动方向相反 )
O
x0
由牛顿第二定律,得
d2 x m 2 k x 。 dt
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常系数线性微分方程的解法常微分方程课件高教社王高雄教材配套

常系数线性微分方程的解法常微分方程课件高教社王高雄教材配套
收敛速度:数值解法的误差随着计算步长的减小而减小的速度,决定了数值解法的精度和计算 效率
汇报人:
特征值和特征向量
特征值:线性变 换的特征值是线 性变换矩阵的特 征多项式的根
特征向量:线性 变换的特征向量 是线性变换矩阵 的特征多项式的 解
特征值和特征向 量的关系:特征 值和特征向量是 线性变换矩阵的 特征多项式的解 和根
特征值和特征向量 的应用:特征值和 特征向量在常系数 线性微分方程的解 法中有广泛的应用, 如求解线性微分方 程的解、求解线性 微分方程组的解等
积分因子法
积分因子法的定义:通过求解积分因子,将微分方程转化为积分方程,从而求解微分方程的方法。 积分因子法的步骤:首先,求解积分因子;然后,将微分方程转化为积分方程;最后,求解积分方程。
积分因子法的应用:适用于求解常系数线性微分方程,如二阶常系数线性微分方程。
积分因子法的优缺点:优点是简单易行,缺点是适用范围有限,仅适用于常系数线性微分方程。
,
汇报人:
目录
定义和形式
常系数线性微分方程:含有未知函数及其导数的方程,其系数为常数
一阶常系数线性微分方程:形如y' + py = q(t)的方程,其中p和q(t)为常数
二阶常系数线性微分方程:形如y'' + py' + qy = r(t)的方程,其中p、q和r(t)为 常数
高阶常系数线性微分方程:形如y(n) + p(n-1)y(n-1) + ... + qy = r(t)的方程,其中p(n-1)、q和r(t)为常 数
描述物体运动:如自由落体、弹簧 振子等
在物理中的应用
描述热传导:如热传导方程、热扩 散方程等

常微分方程全册ppt课件

常微分方程全册ppt课件

z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程 注: 本课程主要研究常微分方程,同时把常微分方程简称 为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为 微分方程的阶数.
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数只有一个,则这样 的微分方程称为常微分方程
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子,蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形(fractal)
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系,与时间有关,是一个动态系 统 从已知的自然规律出发,考虑主要因素,构造出由自变量、未 知函数及其导数的关系史,即微分方程,从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质,检查是否与实际相吻合, 不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质
如:
dy (1) 2x dx
是一阶微分方程
(2) xdy ydx 0
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程
是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
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教学课件
常微分方程

《常系数微分方程》PPT课件

《常系数微分方程》PPT课件

证明(反证法) 假若这些函数线性相关,则有
m
m
( A0(r)
A1(r )t
...
A t )e (r ) kr 1 rt kr 1
=
Pr (t)ert =0,
r 1
r 1
(4.27)
其中A(j r )是常数,不全为0. 不失一般性,假定多项式Pm (t)至少有一个系数不等于0,
因此Pm (t) 0.(4.27)两边除以e1t , 然后对t微分k1次,我们得到 m
=
Pr (t )ert =0,
r 1
r 1
其中A(j r )是常数,不全为0.
(4.27)
15
dnx
d n1x
dx
L[x] dt n a1 d n1t ... an1 dt an x 0 (4.19)
F () n a1 n1 ... an1 an 0 (4.21)
x ye1t
dx dt
an x
0
(4.19)
F () n a1 n1 ... an1 an 0 (4.21)
x ye1t
于是(4.19)化为
y=f(x) 只要找到y,
L1[ y] 其中b1 ,
dny dt n
b1
d n1 y d n1t
...
bn 1
dy dt
bn y
0,
(4.23)
b2 ,..., bn仍为常数,而相应的特征方程为
. 特征根是有重根的情形
设1是特征方程(4.21)的k1重特征根,则方程(4.19)如下k1个解:
e1t , te1t ,..., t k1 e 1 1t
(4.25)
证明 分两种情况:
(1)1 0. 此时证明过程很简单. (2)1 0. 作变量变换x ye1t , 注意到

《常微分方程》课件

《常微分方程》课件
学习变量分离法解决一些特定类型的常微分方程,为深入研究提供技术支持。
齐次常微分方程及非齐次常微 分方程
理解齐次和非齐次常微分方程的区别,学习它们的解法并应用于实际问题。
常微分方程的初值问题及其解 法
探索常微分方程的初值问题,并学习如何求解初值问题的特解和解的存在唯 一性。
高阶常微分方程转化为一阶常微分方程
学习将高阶常微分方程转化为一阶形式,为解决复杂问题提供简化和便利。
常微分方程的特殊解与通解
探索常微分方程的特殊解和通解的概念,以及如何求解并理解其意义。
线性常微分方程及其解法
深入研究 的解法。
变量分离法求解常微分方程
《常微分方程》PPT课件
欢迎来到《常微分方程》PPT课件!本课程将带你深入了解常微分方程的基础 概念和解法,并展示其在各个领域的应用。
常微分方程基础
探索微分方程的定义、基本类型和解析解的概念,为后续学习打下坚实基础。
一阶常微分方程解法
介绍一阶常微分方程的多种解法,包括分离变量法、恰当方程法和线性方程 法。

常微分方程(王高雄)第三版 5.2

常微分方程(王高雄)第三版 5.2
证明: “反证法”若有t0 [a, b], 使得W (t0 ) 0, 则 数值向量组x1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 )线性相关,
1 , c 2 ,, c n ,使得 从而存在不全为零的常数c
1x1 (t0 ) c 2 x2 (t0 ) c n xn (t0 ) 0, (5.17) c
即(5.15)n个解x1 (t ), x2 (t ), xn (t )所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零.
dx A(t ) x, (5.15) dt
(4)定理5 (5.15)一定存在n个线性无关的解. 证明: 任取t0 [a, b], 由解的存在唯一性定理知, (5.15)一定存在满足初始条件 1 0 0 0 1 0 x1 (t0 ) , x2 (t0 ) , , xn (t0 ) 0 0 1 的解x1 (t ), x2 (t ), xn (t ); t [a, b]
在任何区间都是线性相关的. 证明: 取c1 1, c2 1, 则
故x1 (t ), x2 (t )在任何区间线性相关
cos 2 t (1 sin 2 t ) 0 0 , c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) 1 1 t 0 t t
由这n个向量函数所构成的行列式
x11 (t ) xn1 (t ) W [ x1 (t ), x2 (t ), xn (t )] W (t ) x21 (t )
x12 (t ) x1n (t ) ,
x22 (t ) x2 n (t ) xn 2 (t ) xnn (t )
故解组x1 (t ), x2 (t ), xn (t )在a t b上线性相关, 矛盾
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(1)
eAt exp At Aktk k0 k !
在t的任有限区间上一致收敛;
证 对一切正整数k,当|t|≤c时有
Ak t k
Ak tk
A k ck
k!
k!
k!

而数值级数
A ck
k0 k !
是收敛的,故
Aktk
k0 k !
一致收敛。
2
第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换,即AB=BA时有
ei仅在第i位为1。并依次取初始向量
e1, e2,
, en
利用上式求得n个解作为列组成矩阵得到expAt 。
• 当矩阵A仅有一特征值λ时,有
exp At et n1 ti ( A E)i
i0 i!
15 第五章线性方程组§5.2
A具有重特征值时
• 现讨论当n×n矩阵A具有重特征值时常系数线性方程组的
• 因Φ(t)和expAt都是方程组(33)的基解矩阵,
由定理2* ,存在非奇异常数矩阵C使得expAt= Φ(t)C。
• 当取t=0时有 E= Φ(0)C, 即 C=Φ-1(0)。
于是有
exp At (t)1(0)
• 定理证毕。
13 第五章线性方程组§5.2
例5、6 试求x’=Ax的基解矩阵及expAt
6
第五章线性方程组§5.2
例2
试求
x
'
2 1
1 2
x
的基解矩阵
解因
2 1 2 0 0 1 A 1 2 0 2 1 0
后面两个矩阵可交换,可得
exp
At
exp
2 0
0 2
t
exp
0 0
1 e2t
0 t
0
0 e2t
E
0 0
1 0
t
0 0
12 0
t2 2!
因 0 12 0 0 0 0 0 0
11 第五章线性方程组§5.2
矩阵不具有重特征值时
• 当n×n矩阵A具有n个线性无关特征向量时可以由下
面定理具体计算常系数线性方程组的基解矩阵:
定理9 如A有n个线性无关特征向量v1, v2, …,vn 它们对应的特征值为λ1,λ2,…,λn (可以相同), 则常系数线性微分方程组 x ' Ax (33)
• 同样,对应特征值λ2=3-5i的特征向量v必须
满足线性代数方程组
(2
E
A)v
5
5
i
5
5
i
v1 v2
5iv1
5v1
5v2 5iv2
0
解得对应特征值λ2=3-5i的特征向量 • 其中 , 为任意非零常数。
v
i 1
9 第五章线性方程组§5.2
的特征例值4和试对求应矩的阵特A征 2向1 14量
an
解 由定义得
a1
exp At E
a2
an
t 1!
a12
a22
t2 2!
an2
a1k
a2k
tk 2!
ank
ea1t
ea2t
eant
此即为所求的基解矩阵。 实际上,原方程组可写成
n个方程 xk’=Axk (k=1,2,…,n) 分别进行积分。
于是(expA)-1 =exp(-A) 。
(4) 如T为非奇异矩阵,即detT≠0,

exp(T-1AT)=T-1 (expA)T。
证有
exp(T 1AT ) E (T 1AT )k E T 1AkT
k1 k !
k1 k !EFra bibliotekT1
k 1
Ak k!
T
T 1
k0
Ak k!
T
• 因此,方程组(33)的满足初值条件φ(t)=(expAt)η的解可写成 (52)式。为从(52)中得到expAt,注意到
exp At (exp At)E [(exp At)e1, (exp At)e2, , (exp At)en]
• 其中ei为仅在第i位为1其余位为0的n维列向量。 • 这可依次取初始向量 e1, e2 , , en
这因为
i
det[u,v]
2 0
i
即u和v构成二维欧几里得空间的基。
• 但在例4中的特征向量c只构成一维子空间。
根据线性代数理论,给定矩阵A的任何k个不同特征值 所对应的k个特征向量是线性无关的。
• 因此,如果矩阵A具有n个不同特征值,则所对应的n 个特征向量就构成n维欧几里得空间的一个基。
基解矩阵的计算。设λ1,λ2,…,λk分别是矩阵的n1,n2,…,nk重特
征值,且n1+n2(+A…+ jnEkn=j )nn
,则线性代数方程组
j u 0 (48)
• 的非零解uj的全体构成欧几里得空间U的一个nj维子空间Uj
U=U1 U2 … Uk 即 u=u1+u2+…+uk
• 在欧几里得空间U中将初始值向量分解为
• 利用公式(53)有
exp
At
e3t
[
E
t
(
A
3E)]
e3t
E
t
1 1
0 0
e3t
1 t
t
t
1
t

亦可取
e1
1 0
,
e2
0 1
• 分别代入解式,同样可得
exp
At
e3t
1 t
t
t
1
t
19
第五章线性方程组§5.2
4 1 0 0 0
例8 如果 试求expAt
0
A 0
0
4 1
0
1
v
j
• 根据(50),知微分方程组(33)的解可表示为
k
k
(t) (exp At) (exp At)v j (exp At)v j
j 1
j 1
k
ej t
j 1
E
t(AjE)
t2 2!
(
A
j
E)2
t nj 1 (n j 1)!
(
A
j
E)nj
1
vj
17
第五章线性方程组§5.2
(续) 解公式证明
• 特征方程的根λ称为特征值,或特征根。 • 而线性代数方程组(λE-A)u=0的非零解u
称为对应特征值λ的特征向量。 • n次特征方程有n个特征值(包括重数)。 • 如p(λ)含因子(λ- λ0)k而不含因子(λ- λ0)k+1 ,
则称特征值λ0为k重根。 k=1时称为单根。 • 特征值λ0可以是实的, 也可以是复的。
§5.2 常系数线性微分方程组
常系数线性方程组 d x Ax dt
其中A为n×n常数矩阵
1 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数 expAt
• n×n阶常数矩阵A的矩阵指数定义为
eA exp A Ak E A A
k0 k !
2!
其中A0 = E为单位矩阵。
Am m!
矩阵指数有性质:
1! 2!
k!
即是方程组(33)的解矩阵。
Aexp At A(t)

det (0) det E 1 0
得Φ(t)是基解矩阵。 • 由基解矩阵的性质,
知方程组(33)的任一解可表为(expAt)c
5 第五章线性方程组§5.2
a1
例1 对对角矩阵(其中未写出的
A
a2
元均为零)试求x’=Ax的基解矩阵
证 因每一个向量函数 ej tvj ( j 1, 2, , n) 都是(33)的一个解 • 故矩阵 (t) [e1tv1, e2tv2, , entvn]
是(33)的一个解矩阵。而由特征向量v1,, v2,, …,vn线性无关得
det (0) det[v1, v2, , vn ] 0
• 根据定理2* 知,Φ(t)是方程组(33)的基解矩阵。
ej
t
exp( j Et)
ej
t
ej t
• 由上式及(51)式得
E
e
j
t
(exp At)v j (exp At)ej t[exp( j Et)]v j ej t[exp( A j Et)]v j
ej
t
E
t(A
jE)
t2 (A 2!
j E)2
t nj 1 (
(n j 1)!
A
j
E)nj
i e(35i)t 1
e(35i)t
i
i 1 1
1 2
e(35i)t i e(35i)t
i e(35i)t 1
e(35 i )t
i
i
1
1
e(35i)t e(35i)t
2 i (e(35i)t e(35i)t )
i (e(35i)t e(35i)t e(35i)t e(35i)t
exp(A+B)=expA·expB; 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !
k 0
l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B
i0
Ai i!
j0
Aj j!
求得n个解作为列组成矩阵得到expAt 。 • 当矩阵A仅有一特征值λ时,无需分解初始向量,
对任何u均有 ( A E)n u 0 • 即(A- λE)n是一个零矩阵,由expAt的定义得
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