中考数学平行四边形单元测试含答案
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中考数学平行四边形单元测试含答案
一、解Βιβλιοθήκη Baidu题
1．如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动．同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片 中，在 ．上取一点 ，使 ，剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 ，试探究四边形 的形状；
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形 的两条对角线长；
（4）若四边形 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．
【点睛】
本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．
2．（1）矩形；（2）菱形；（3） ；（4）见解析
【分析】
（1）由平移推出 ，即可证得四边形 是平行四边形，再根据 ，得到 即可得到结论；
（2）由平移推出 ，证得四边形 是平行四边形，根据 得到 ，再根据勾股定理求出AF=5=AD，即可证得四边形 是菱形；
∴CD=2AE
∴AE=DF．
（2）能，理由如下；
由（1）知AE=DF
又∵DF⊥BC，∠B＝90°
∴AE∥DF
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形
∵AC＝60cm，DF= CD，CD=4t，
∴AD=60-4t，DF=2t，
∴60-4t=2t
∴t=10．
（3）当t为 时，△DEF为直角三角形，理由如下；
拓展与延伸：
(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为__________________；
(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]
（1）求证： ；
（2）用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
5．如图，点 是正方形 内的一点，连接 将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 连接 .
如图甲，求证： ；
如图乙，延长 交直线 于点 .求证： ；
如图丙，若 为等边三角形，探索线段 之间的数量关系，并说明理由.
6．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF⊥BC，AE∥DF，
∴当DE∥BC时，DF⊥DE
∴∠FDE=∠DEA=90°
在△AED中，
∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t
∴AD=4t，
又∵AC＝60cm，CD=4t，
∴AD+CD=AC，8t=60，
∴t= ．
即t= 时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF为直角三角形．
（3）先利用勾股定理求出 ，再根据菱形的面积求出 ；
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形 沿 折叠，使点 落在点 上，点 落在点 处，点 为折痕 上的任意一点，过点 作 ， ，垂足分别为点 ，点 ．若 ， ，直接写出 的值．
10．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF，求解即可得出t值．
（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．
【详解】
（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形
∵∠B＝90°，∠A＝60°
∴∠C=30°，CD=2DF，
又∵由题意知CD=4t，AE=2t，
（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）证明见解析；（2）能，10；（3） ，理由见解析；
【分析】
（1）利用题中所给的关系式，列出CD，DF，AE的式子，即可证明．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝ ，求CE的长．
7．已知如图1,四边形 是正方形， ．
如图1,若点 分别在边 上,延长线段 至 ,使得 ,若 求 的长；
① ②
9．（解决问题）如图1，在 中， ， 于点 ．点 是 边上任意一点，过点 作 ， ，垂足分别为点 ，点 ．
（1）若 ， ，则 的面积是______， ______．
（2）猜想线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在 中，若 ，点 是 内任意一点，且 ， ， ，垂足分别为点 ，点 ，点 ，求 的值．
如图2，若点 分别在边 延长线上时，求证：
如图3,如果四边形 不是正方形，但满足 且 ，请你直接写出 的长．
8．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．
3．如图，在 中， 平分 交 于点 ， 垂直平分 ，分别交 ， ， 于点 ， ， ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ， ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形 的面积．
4．如图，在正方形 中， 是边 上的一动点（不与点 、 重合），连接 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由．
2．综合与实践．
问题情境：
如图①，在纸片 中， ， ，过点 作 ，垂足为点 ，沿 剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 ．
独立思考：（1）试探究四边形 的形状．
一、解Βιβλιοθήκη Baidu题
1．如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动．同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片 中，在 ．上取一点 ，使 ，剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 ，试探究四边形 的形状；
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形 的两条对角线长；
（4）若四边形 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．
【点睛】
本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．
2．（1）矩形；（2）菱形；（3） ；（4）见解析
【分析】
（1）由平移推出 ，即可证得四边形 是平行四边形，再根据 ，得到 即可得到结论；
（2）由平移推出 ，证得四边形 是平行四边形，根据 得到 ，再根据勾股定理求出AF=5=AD，即可证得四边形 是菱形；
∴CD=2AE
∴AE=DF．
（2）能，理由如下；
由（1）知AE=DF
又∵DF⊥BC，∠B＝90°
∴AE∥DF
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形
∵AC＝60cm，DF= CD，CD=4t，
∴AD=60-4t，DF=2t，
∴60-4t=2t
∴t=10．
（3）当t为 时，△DEF为直角三角形，理由如下；
拓展与延伸：
(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为__________________；
(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]
（1）求证： ；
（2）用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
5．如图，点 是正方形 内的一点，连接 将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 连接 .
如图甲，求证： ；
如图乙，延长 交直线 于点 .求证： ；
如图丙，若 为等边三角形，探索线段 之间的数量关系，并说明理由.
6．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF⊥BC，AE∥DF，
∴当DE∥BC时，DF⊥DE
∴∠FDE=∠DEA=90°
在△AED中，
∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t
∴AD=4t，
又∵AC＝60cm，CD=4t，
∴AD+CD=AC，8t=60，
∴t= ．
即t= 时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF为直角三角形．
（3）先利用勾股定理求出 ，再根据菱形的面积求出 ；
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形 沿 折叠，使点 落在点 上，点 落在点 处，点 为折痕 上的任意一点，过点 作 ， ，垂足分别为点 ，点 ．若 ， ，直接写出 的值．
10．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF，求解即可得出t值．
（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．
【详解】
（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形
∵∠B＝90°，∠A＝60°
∴∠C=30°，CD=2DF，
又∵由题意知CD=4t，AE=2t，
（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）证明见解析；（2）能，10；（3） ，理由见解析；
【分析】
（1）利用题中所给的关系式，列出CD，DF，AE的式子，即可证明．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝ ，求CE的长．
7．已知如图1,四边形 是正方形， ．
如图1,若点 分别在边 上,延长线段 至 ,使得 ,若 求 的长；
① ②
9．（解决问题）如图1，在 中， ， 于点 ．点 是 边上任意一点，过点 作 ， ，垂足分别为点 ，点 ．
（1）若 ， ，则 的面积是______， ______．
（2）猜想线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在 中，若 ，点 是 内任意一点，且 ， ， ，垂足分别为点 ，点 ，点 ，求 的值．
如图2，若点 分别在边 延长线上时，求证：
如图3,如果四边形 不是正方形，但满足 且 ，请你直接写出 的长．
8．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．
3．如图，在 中， 平分 交 于点 ， 垂直平分 ，分别交 ， ， 于点 ， ， ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ， ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形 的面积．
4．如图，在正方形 中， 是边 上的一动点（不与点 、 重合），连接 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由．
2．综合与实践．
问题情境：
如图①，在纸片 中， ， ，过点 作 ，垂足为点 ，沿 剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 ．
独立思考：（1）试探究四边形 的形状．