最新导数的四则运算法则
导数的四则运算法则
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
导数的基本公式及四则运算法则
常见函数的导数
指数函数
$(a^x)' = a^x ln a$
三角函数
$(sin x)' = cos x$， $(cos x)' = -sin x$
幂函数
$(x^n)' = n cdot x^{n-1}$
对数函数
$(ln x)' = frac{1}{x}$
反三角函数
$(arcsin x)' = frac{1}{sqrt{1x^2}}$
详细描述
对于两个可导函数的和或差，其导数可以通过分别对每个函数求导然后进行相应的加减运算来得到。 即，如果 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导的，那么 $(u(x) + v(x))'$ 和 $(u(x) - v(x))'$ 可以通过对 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 分别求导然后进行加法或减法运算来得到。
导数在解决实际问题中也有重要应用，如经济学、物理学和工程学等领域的问题。
导数的概念和计算方法对于培养数学思维和解决实际问题的能力具有重要意义。
导数与积分的关系
导数是微分的逆运算， 而积分是微分的积分。
通过导数和积分可以 相互转化，从而解决 复杂的数学问题。
导数和积分是微积分 中的两个基本概念， 它们之间存在密切的 联系。
THANKS
谢谢
导数的基本公式及四则运算法 则
目录
CONTENTS
• 导数的基本公式 • 导数的四则运算法则 • 导数的应用 • 导数与微积分的关系
01
CHAPTER
导数的基本公式
定义与性质
定义
导数描述了函数在某一点附近的 变化率，是函数局部性质的一种 体现。
导数四则运算和反函数求导法则
导数四则运算和反函数求导法则
一、导数四则运算规则
1、加法：如果有f(x)+g(x)，那么它们的导数为f'(x)+g'(x)
2、减法：如果有f(x)-g(x)，那么它们的导数为f'(x)-g'(x)
3、乘法：如果有f(x)g(x)，那么它们的导数为f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
4、除法：如果有f(x)/g(x)，那么它们的导数为[f'(x)g(x)-
f(x)g'(x)]/[g(x)]^2
5、幂函数：如果有f(x)=x^n，那么它们的导数为f'(x)=nx^(n-1)
6、指数函数：如果有f(x)=a^x，那么它们的导数为
f'(x)=ln(a)a^x
7、对数函数：如果有f(x)=ln(x)，那么它们的导数为f'(x)=1/x
8、三角函数：如果有f(x)=Acos(bx+c)，那么它们的导数为
f'(x)=-Absin(bx+c)
反函数求导法则是指在求解函数的导数时，可以先将要求导数的函数反过来构成一个新的函数，然后再使用普通求导法则求导。
反函数求导是在求解函数的导数时，将要求导数的函数先转化成另一个新的函数，然后再使用求导法则求导。
原函数转化为
y=f(x)
反函数：
x=f-1(y)
得到：
f’(x)=f-1’(y)⋅dy/dx公式
所以反函数求导法则就是：
先求反函数，再用dy/dx求导，最后把对应关系代入公式求出
f’(x)。
反函数求导法则的核心思想就是把复杂的导数拆分成对应的正反函数，然后再分别求每一个函数的导数。
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
导数的四则运算法则
cos 2 x sin2 cos 2 x
x
1 cos 2
x
sec2
x.
即 同理可得
(tan x) = sec2x . (cot x) = - csc2x .
例 5 设 y = sec x，求 y .
解 根据推论 2，有
y
(se
cx)
1 cos
x
(cos x) cos2 x
sin x cos2 x
tan .
y x x0
y y0
)
(1)](
x
1)
(x2
1) 2x( x ( x 2 1)2
1)
2x (x2
x2 1 1)2
.
例 4 设 f (x) = tan x， 求 f (x). 解 f ( x) (tan x) sin x
cos x
cos x(sin x) (cos x)sin x
cos2 x
一、偏导数的求法
例 6 求函数 z x2 3xy 2 y3 在点 (2 , 1) 处 的两个偏导数.
解 因为
z 2x 3 y, z 3x 6 y2 ,
x
y
所以
z 22 31 1 , x x2
y1
z 3 2 6 1 0 . y x2
y1
例 7 设 z x y ( x 0) , 求证：
x0 x
x0 x
lim
x0
y x
lim
x0
u(
x
)
v x
v(x)
u x
u x
v
u( x) lim v v( x) lim u lim u lim v
x0 x
x0 x x0 x x0
(完整版)导数的四则运算法则
§ 4 导数的四则运算法则、教学目标: 1知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数 f ( x) =x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。
_教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用、教学难点:导数四则运算法则的证明三教学方法：探析归纳，讲练结合、四教学过程、(-」)、复习：导函数的概念和导数公式表。
1•导数的定义：设函数y f (x)在x x o处附近有定义，如果x 0时，y与x的比」(也叫函数的平均变化率)有极限即」无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做x x函数y f (x)在x X。
处的导数，记作y/x,，即f/(x o) lim ——x)―f x 0 v2•导数的几何意义：是曲线y f (x)上点(x o, f (x o))处的切线的斜率.因此，如果y f (x)在点X。
可导，则曲线y f (x)在点(X。
，f (x。
))处的切线方程为y f (x o) f/(x o)(x X。
).3.导函数(导数)：如果函数y f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数 f /(x),称这个函数f/(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数,4.求函数y f(x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量y f(x x) f(x). (2)求平均变化率—yf(x x) f(x) (3)取极限，得导数y/= f (x) 叽~x5.常见函数的导数公式: C' 0 ; (x n)' nx n(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ，即[f(x) g(x)] f (x) g (x) [f (x) g(x)] f (x) g (x)证明：令y f(x) u(x) v(x)，y [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)][u(x x) u(x)] [v(x x) v(x)] ulim x 0 limxlimx即[u(x) v(x)]' u (x) v例1:求下列函数的导数:2 x(1) y x 2 ；(2) In (3) (x21)(x 1)；(4) 解: (1) y (x2 2x) (x2) (2x) 2x 2x l n2(2) In x) (、x) (Inx)(x21)(x 1) (x3x2x 1)(x2) (x1) (x2)12、x 。
四则运算与复合函数求导法则
四则运算与复合函数求导法则在微积分中，求导是一个重要的概念和工具。
通过求导，我们可以计算函数在某一点上的斜率，进而研究函数的性质和变化规律。
本文将介绍四则运算和复合函数求导法则，帮助读者理解和应用这些常用的求导规则。
一、四则运算求导法则四则运算是指加法、减法、乘法和除法。
求导的四则运算法则可总结如下：1. 加减法：对于两个函数的和或差，求导后的结果等于各自函数的导数之和或差。
即如果函数f(x)和g(x)可导，则有：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)2. 乘法：对于两个函数的乘积，求导后的结果等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
即如果函数f(x)和g(x)可导，则有：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x)3. 除法：对于两个函数的商，求导后的结果等于第一个函数乘以第二个函数的导数减去第二个函数乘以第一个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即如果函数f(x)和g(x)可导，并且g(x)≠0，则有： (f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x)) / (g(x))^2二、复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的复合形式，求导的复合函数法则可总结如下：1. 外函数求导后不变，内函数求导后乘上外函数对内函数的导数：若y = f(u)，u = g(x)，则y对x的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)2. 链式法则：对于一个复合函数，可以将其表示为一系列简单的函数的复合形式，利用链式法则求导，即将求导过程分解为多个简单函数的求导过程。
若y = f(u)，u = g(v)，v = h(x)，则有：dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx = f'(u) * g'(v) * h'(x)综上所述，四则运算和复合函数求导法则是微积分中常用的工具。
导数的四则运算法则
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则
求函数的导数.
知识点 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) . (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ，特别地，[cf(x)]′＝ cf′(x).
12345
6.已知
f(x)＝1＋sincoxs
，则 x
f′π3＝__23__.
解析
因为
f′(x)＝sin
x′1＋cos x－sin x1＋cos 1＋cos x2
x′
＝cos
x1＋cos x－sin 1＋cos x2
x－sin
x＝cos
x＋cos2x＋sin2x 1＋cos x2
＝1c＋oscxo＋s x12＝1＋c1os x.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确； B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′，故错误；
C.1
D.2
解析 因为 f(x)＝12 f′(－1)x2－2x＋3， 所以f′(x)＝f′(－1)x－2. 所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2， 所以f′(－1)＝－1.
12345
4.已知 f(x)＝lnxx，则 f′(1)＝__1__.
解析
f′(x)＝ln
x′·x－ln x2
导数的基本公式及四则运算法则
导数的减法法则
总结词
导数的减法法则是导数的基本运算法则 之一，它指出两个函数的导数的差等于 它们各自导数的差的负值。
VS
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处 可导，那么$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$ 。
导数的乘法法则
总结词
导数的乘法法则是说，如果一个函数乘以一 个常数，那么它的导数就是这个常数乘以该 函数的导数。
详细描述
对于对数函数f(x)=ln(x)，其导数为f'(x)=1/x。这个公式告诉我们，对数函数的斜率与x 的倒数有关。
03
导数的四则运算法则
导数的加法法则
总结词
导数的加法法则是指两个函数的导数的和等于它们各自导数的和。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，那么$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$。
04
导数在实际问题中的应用
最大值和最小值问题
总结词
导数在求解最大值和最小值问题中具有广泛 应用。
详细描述
通过求导找到函数的极值点，进而确定函数 的最大值或最小值。在经济学、工程技术和 科学研究等领域中，求解最大值和最小值问 题是一个常见的问题，导数的应用为这些问
题提供了有效的解决方案。
速度和加速度问题
导数在实际问题中的应用案例分析
总结：导数在实际问题中有着广泛的应用，通过分析导数 ，我们可以解决许多实际问题，如最优化问题、经济问题 等。
例如，在物理学中，导数可以用来描述速度和加速度的变 化；在经济学中，导数可以用来分析边际成本和边际收益 ；在工程学中，导数可以用来设计最优化的方案。
导数的基本运算法则
导数的基本运算法则导数在微积分中是一个非常重要的概念，它描述了函数在给定点的变化率。
导数的基本运算法则是微积分中的基础内容，它包括导数的四则运算、复合函数的导数、反函数的导数等内容。
在本文中，我们将详细介绍导数的基本运算法则，并通过具体的例子来展示如何应用这些法则。
导数的四则运算导数的四则运算是指对两个函数进行加、减、乘、除等运算后求导数的过程。
如果有两个函数f(f)和f(f)，它们的导数分别为f′(f)和f′(f)，那么它们的四则运算法则如下：•和函数的导数：(f(f)±f(f))′=f′(f)±f′(f)•差函数的导数：(f(f)−f(f))′=f′(f)−f′(f)•乘积函数的导数：(f(f)·f(f))′=f′(f)·f(f)+ f(f)·f′(f)•商函数的导数：$\\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)' = \\frac{f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)}{(g(x))^2}$复合函数的导数复合函数是由两个函数组合而成的函数，例如f=f(f(f))。
求复合函数的导数时，需要应用链式法则。
设f=f(f)和f=f(f)，则复合函数的导数为：$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} · \\frac{du}{dx}$反函数的导数如果函数f=f(f)在某个区间上是一一对应的，并且在该区间上是可导的，那么它的反函数f=f−1(f)的导数为：$(f^{-1}(x))' = \\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$应用举例例1：求函数y=3y2+2y在y=1处的导数首先，对f=3f2+2f按照四则运算法则求导：f′=(3f2)′+(2f)′=6f+2然后，在f=1处求导数：f′(1)=6(1)+2=8所以，函数f=3f2+2f在f=1处的导数为8。
导数的四则运算法则(学生版无答案)
第1页共8页导数的四则运算法则基本初等函数的导数公式表导数的运算法则(1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则：①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f2′±…±f n ′.②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[Cf (x )]′＝Cf′(x )．③商的求导法则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)，特别地：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．思考：商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？[提示]先对f(x)求导，即f′(x)g(x)，再对g(x)求导，即f(x)g′(x)．1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x2．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)3．已知函数f(x)＝ln xx，则f′(1)＝________.用导数的求导法则求导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝2x2＋1x－3x3；(2)y＝x＋3x2＋3；(3)y＝e x cos x＋sin x；(4)y＝x3＋lg x.应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导.第2页共8页提醒：当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，再求导.求下列函数的导数：(1)y＝1x2＋sinx2cosx2；(2)y＝x⎝⎛⎭⎪⎫x2－32x－6＋2；(3)y＝cos x ln x；(4)y＝x e x.导数运算法则的应用[探究问题]1．导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗？[提示][f 1(x)±f 2(x)±…±f n(x)]′＝f 1′(x)±f 2′(x)±…±f′n(x)．2．导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？[提示]对于积与商的导数运算法则，应避免出现“积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．第3页共8页【例2】已知函数f(x)＝ln x－ax＋1－ax－1(a∈R)．当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．1．(变换条件)本典例函数不变，条件变为“曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为x第4页共8页第5页共8页(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键.【巩固练习】 1．思考辨析(1)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f′(a )＝3a 2＋2x . ( ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤C g (x )′＝－Cg ′(x )g 2(x ). ( ) (3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数． ( )2．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f′(1)＝1，则k 等于( )A ．e 2B ．e3 C ．－e 2 D ．－e 33．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．224．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f′(－1)＝0，则a ＝________.5．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．第6页共8页【作业】：1．已知函数f (x )＝sin x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )A ．1－cos 1B ．1＋cos 1C ．cos 1－1D ．－1－cos 1 2．函数f (x )＝e x ＋x sin x －7x 在x ＝0处的导数等于( )A ．－6B ．6C ．－4D ．－53．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12 D ．－24．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－185．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.7．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 8．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 9．求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4.第7页共8页10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．11．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]12．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A ．13B ．－13C ．73D ．－13或5313．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在坐标原点处的切线方程为________．第8页共8页。
导数运算法则公式加减乘除
导数运算法则公式加减乘除
导数运算法则是微积分中的重要内容，它包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
下面我将从多个角度全面地解释这些法则。
首先是加法法则，它表示如果一个函数是两个函数的和，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
具体公式表达为，(f+g)' = f' + g'，其中f和g是两个可导函数。
接下来是减法法则，它表示如果一个函数是两个函数的差，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
具体公式表达为，(f-g)' = f' g'，其中f和g是两个可导函数。
然后是乘法法则，它表示如果一个函数是两个函数的乘积，那么它的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
具体公式表达为，(fg)' = f'g + fg'，其中f和g是两个可导函数。
最后是除法法则，它表示如果一个函数是两个函数的商，那么它的导数等于分母函数乘以分子函数的导数减去分子函数乘以分母
函数的导数，再除以分母函数的平方。
具体公式表达为，(f/g)' = (f'g fg') / g^2，其中f和g是两个可导函数，且g不等于0。
总之，这些导数运算法则是微积分中非常重要的内容，它们帮助我们计算复杂函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律和性质。
希望这些解释能够帮助你更好地理解导数运算法则。
导数的四则运算法则公式推导过程
导数的四则运算法则公式推导过程1. 一阶导数概念：一阶导数指函数上一点的变化率或斜率，它反映了函数围绕该点的变化情况。
函数在某一点处的导数反映了函数在这一点处（即你求导所用值处）的变化速度。
一阶导数如果是非零，则这个值表示函数在该点向右是可以变大或者在该点向左可以变小；如果为零，表示函数在该点是拐点。
2. 常见的四则运算法则：（1）加法法则：函数f(x)和g(x)的一阶导数之和即为：(f+g)’=f’+g’。
（2）减法法则：函数f(x)和g(x)的一阶导数之差即为：(f-g)’=f’-g’。
（3）乘法法则：函数f(x)和g(x)的一阶导数之积即为：(f*g)’=f’*g + f*g’。
（4）除法法则：函数f(x)和g(x)的一阶导数之商即为：(f/g)’=[f’*g -f*g’]/g〔2〕。
3. 对上述四则运算法则的推导过程：（1）加法法则：函数 f(x) 和 g(x) 的导数为f’(x) 和g’(x)，根据定义，函数f(x)和g(x)的一阶导数之和即为：y’=f’(x)+g’(x)，令y=f(x)+g(x)，则y’=f’(x)+g’(x)，即有：（f+g）’=f’+g’。
（2）减法法则：函数 f(x) 和 g(x) 的导数为f’(x) 和g’(x)，根据定义，函数f(x)和g(x)的一阶导数之差即为：y’=f’(x)-g’(x)，令y=f(x)-g(x)，则y’=f’(x)-g’(x)，即有：（f-g）’=f’-g’。
（3）乘法法则：函数 f(x) 和 g(x) 的导数为f’(x) 和g’(x)，根据定义，函数f(x)和g(x)的一阶导数之积即为：y’=f'(x)·g'(x)，令y=f(x)*g(x)，令y=(f（x）·g（x））=f（x）·g（x），则y’=f'(x)·g'(x)，即有：（f*g）’=f'*g+f*g'。
导数的基本公式和四则运算法则
导数的基本公式和四则运算法则
导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在求解导数时，我们可以利用一些基本公式和四则运算法则来简化计算过程。
首先，导数的基本公式包括：
1. 对常数函数求导，常数函数的导数为0。
2. 幂函数求导，对于函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数求导，指数函数e^x的导数仍为e^x。
4. 三角函数求导，常见的三角函数sin(x)和cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)。
其次，利用四则运算法则，我们可以对复合函数进行求导。
四则运算法则包括：
1. 和差法则，对于函数f(x) = g(x) ± h(x)，其导数为f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
2. 积法则，对于函数f(x) = g(x) h(x)，其导数为f'(x) =
g'(x) h(x) + g(x) h'(x)。
3. 商法则，对于函数f(x) = g(x) / h(x)，其导数为f'(x) = (g'(x) h(x) g(x) h'(x)) / h(x)^2。
通过这些基本公式和四则运算法则，我们可以更轻松地求解各
种函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律和性质。
在实际应
用中，导数的概念和计算方法也被广泛地运用于物理、工程、经济
学等领域，为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。
因此，熟
练掌握导数的基本公式和四则运算法则对于学习和应用微积分知识
都是至关重要的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数的四则运算法则
§4 导数的四则运算法则
主讲：陈晓林时间：2012-2-23
一、教学目标：
1．知识与技能
掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法
通过用定义法求函数f（x）=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观
培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用
教学难点：导数四则运算法则的证明
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处附近有定义，如果«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的比«Skip Record If...»（也叫函数的平均变化率）有极限即«Skip Record If...»无限趋近于某个常
数，我们把这个极限值叫做函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数，记作«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»
2. 导数的几何意义：是曲线«Skip Record If...»上点（«Skip Record If...»）处的切线的斜率因此，如果«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»可导，则曲线
«Skip Record If...»在点（«Skip Record If...»）处的切线方程为«Skip Record If...»3. 导函数(导数):如果函数«Skip Record If...»在开区间«Skip Record If...»内的每点处都有导数，此时对于每一个«Skip Record If...»，都对应着一个确定的导数
«Skip Record If...»，从而构成了一个新的函数«Skip Record If...», 称这个函数
«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数«Skip Record If...»的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量«Skip Record If...»2）求平均变化率«Skip Record If...»（3）取极限，得导数«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»5.常见函数的导数公式：«Skip Record If...»；«Skip Record If...»
（二）、探析新课
两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
«Skip Record If...»
证明：令«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»«Skip Record If...»，
∴«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
即«Skip Record If...»．
例1：求下列函数的导数：
（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»；（4）«Skip Record If...»。
解：（1）«Skip Record If...»。
（2）«Skip Record If...»。
（3）«Skip Record If...»。
«Skip Record If...»
例2：求曲线«Skip Record If...»上点（1，0）处的切线方程。
解：«Skip Record If...»。
将«Skip Record If...»代入导函数得«Skip Record If...»。
即曲线«Skip Record If...»上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为«Skip Record If...»，
即«Skip Record If...»。
设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»。
我们来求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数。
«Skip Record If...»
令«Skip Record If...»，由于«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
知«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数值为«Skip Record If...»。
因此«Skip Record If...»的导数为«Skip Record If...»。
一般地，若两个函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的导数分别是«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，我们有
«Skip Record If...»
特别地，当«Skip Record If...»时，有
«Skip Record If...»
例3：求下列函数的导数：
（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»。
解：（1）«Skip Record If...»；
（2）«Skip Record If...»；
（3）«Skip Record If...»。
例4：求下列函数的导数：
（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»。
解：（1）«Skip Record If...»；
（2）«Skip Record If...»
(三)、练习：课本«Skip Record If...»练习：1、2. 课本«Skip Record If...»练习1.
（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；
2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；
3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
（五）、作业：课本«Skip Record If...»习题2-4：A组2、3 B组2
五、教后反思：
本节课成功之点：
（1）从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f （x）=x+x2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明
（2）由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
（3）通过上述的教学过程，让学生自己探索求法法则，总结出求导公式培养了学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
不足之处：
学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。