第五届全国中学生数理化学科能力展示活动七年级数学解题技能展示试题及解答

第五届全国中学生数理化学科能力展示活动 七年级数学解题技能展示试题及解答 试卷说明：1、本试卷共计15题，满分为120分 2、考试时间为120分钟 一、选择题（共6小题，每题6分，共36分） 1、在“桑迪”飓风中，一家美国商店的某种商品被歹徒偷走了1/5,被水损坏了1/6.剩下的全部售出，结果这种商品还盈利14%。那么这种商品的售价与进价之比为 . A. 9：5 B. 2:1 C. 3:2 D. 5:3

解：设进价为a ,售价为b,则 a(1+14%)=b(1-1/5-1/6), 114%·a=19/30·b, b:a=9:5. 2、一种叫“快乐”的微生物由快乐细胞组成。1个快乐细胞每次裂变为5个快乐细胞，这5个快乐细胞中的每一个又可依次裂变为5个快乐细胞，依次类推。那么在一定时间内，1个快乐细胞可以裂变为（ ）个快乐细胞。 A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015

解： 因为， 625=54 < (2012-2015) < 55 =3075 所以625个快乐细胞未完全裂变，设其中有x 个已裂变，则裂变总数为 （625-x ）+5x=625+4x=4（156+x ）+1 符合条件的只有（B ） 3、机器猫跑7步与机器狗跑5步的路程相同；机器狗跑11步与机器人跑7步路程相同。机器猫跑5步的时间与机器狗跑3步的时间；机器狗跑7步的时间与机器人跑5步的时间相同。那么机器猫、机器人的速度之比为（ ） A. 33:35 B. 25:21 C. 35:33 D. 49:55 解：设机器猫每步跑a 米，速度为x 米/秒；设机器狗每步跑b 米，速度为y 米/秒；设机器人每步跑c 米，速度为z 米/秒. 7a=5b,11b=7c; a:c=5:11. 又:5a/x=3b/y,7b/y=5c/z;从而5a/3x=b/y=5c/7z;x:y=7a/3c=7/3·5/11 =35:33 4、1233+78被111除的商和余数分别是（ ）。 A.商16765，余28 B. 商16765，余30 C.商16775，余28 D. 商16775

，余30

解：1233+78=（1233-123）+123+78=（123-12）(1232+123×12+122)+(1728+78)

=111×16749+111×16+30 选（B ）

5、|a-b|=2，|b-c|=3，|c-d|=4.那么|a-d|的结果有几种不同的值，这些不同值的和为（ ）

A. 16

B. 18

C. 20

D. 22

解：a=b ±2,b=c ±3,c=d ±4.

A= b ±2=(c ±3) ±2=(d ±4) ±3 ±2, a-d=±4 ±3 ±2;

|a-d|=|±4 ±3 ±2|=1,3,5,9; 1+3+5+9=18 (B)

6、The figures F 1,F 2,F 3,and F 4 shown are the first in a sequence of figures.

For n ≧3,F n is constructed from F n-1 by surrounding it with a square and placingonemore

diamond on each side of the new square than F n-1 had on each side of its outside

square. For example,figure F 3 has 13 diamonds.How many diamonds are there in figure

F 20?（ ）

A. 401

B. 485

C. 585

D. 761

解答：F n =1+4×1+4×2+…+4×(n-1)=1+4[1+2+3+…+(n-1)]

=1+4×(n-1)×n ÷2=1+2n(n-1)

F 20 =1+2×20×19=761（D ）

二、填空题：（共6小题，每题8分，共48分） 7、已知a+4=b-4=-c/2=2013,且a+b+c=2013k,那么k 的值

为 .

解：a+b+c=2013k=（2013-4）+（2013+4）-2013×2=0

所以K=0

8、2012年《北京社会发展报告》编委会选取了101位市民进行问卷调

查，结果显示32.6%的市民感到生活压力加重，而这些人的压力来源是

医疗费用（73.3%）、房价居高不下（65.3%）、养老保障（64.4%）、物价

上涨（61.4%）.那么在感觉生活压力加重的人群中，同时选择医疗费用

和物价上涨作为压力来源的人最多有 人. 解：因为73.3%﹥61.4%，所以同时选择医疗费用和物价上涨作为压力来

源的人最多有61.4%.

101×32.6%×61.4%=20.2≈20（人）

F4F3F2F1

9、某银行设立大学生助学贷款，6年期的年利率为6%，贷款利率的50%由国家财政补贴.某大学生预计6年后能一次性偿还2万元，则他现在可以向银行贷款 万元（精确到0.1万元，不计复利.

解：2÷（1+6×6%×50%）=1.69≈1.7（万元）

10、在边长均为整数的三角形PQR 中，QR=16，QR 边的中线PT=9，PQ 的最大值为 . 解：利用定理：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”（可从网上搜索其证明）

延长PT 到S ，使TS=PT ，则四边形PQSR 是平行四边形.

2（PQ 2+PR 2）=QR 2+PS 2=162+182

PQ 2+PR 2=290

不妨设PQ ≧PR ，则 290﹥PQ 2≧145， PQ=13、14、15、16、17

经检验只有PQ=13，PT=11符合。

11、在凸四边形ABCD 中，AB=9，CD=12，对角线ＡＣ和ＢＤ相交于Ｅ，ＡＣ＝１４，且三角形AED 和三角形BEC 的面积相等，那么AE 的长度为 .

解：因为三角形AED 和三角形BEC 的面积相等，

所以三角形ADC 和三角形BDC 的面积也相等

从而AB ∥CD

AE ：EC=AB ：CD ，解之得：AE=6

12、如果A ﹤B ﹤C ﹤D ，且均为自然数，有1/2=1/A+1/B+1/C+1/D,则D 的最大值为 .

解：要使D 最大，1/D 应最小，从而1/A+1/B+1/C 要最大，A 、B 、C 要尽量小.

因为A ﹤B ﹤C ﹤D ，且1/2=1/A+1/B+1/C+1/D,

所以A=3，1/2-1/3=1/B+1/C+1/D,

1/6=1/B+1/C+1/D,

所以B=7，1/6-1/7=1/C+1/D, 1/42=1/C+1/D ，

所以C=43，1/42-1/43=1/D, 所以D=42×43=1806.

三、解答题（每小题12分，共36分）

13、夏季的某一天，恰好有2012名中国人在巴黎游玩，参观巴黎圣母院、埃菲尔铁塔、卢浮宫或者在塞纳河游船.在上述的4个景点中，他们至少去了1个，至多去了4个，那么他们之中至少有多少人去的景点完全相同？

解：A-巴黎圣母院、B-埃菲尔铁塔、C-卢浮宫、D-在塞纳河游船，4个景点的去法有15种，

A 、

B 、

C 、

D 、AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 、ABC 、ABD 、ACD 、BCD 、ABCD

2012÷15=134---2，所以至少有135人去的景点完全相同。