2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型2解答题规范踩点多得分第2讲三角函数练习2
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第2讲 三角函数
[考情分析] 高考中，三角函数的核心考点是三角函数的图象和性质与解三角形．高考在该部分一般有两个试题，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正、余弦定理有关的小题；如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能还会有一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的小题.
热点题型分析
热点1 三角函数的图象和性质
三角函数的单调性及周期性的求法：
(1)三角函数单调性的求法
求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)[或y ＝A cos(ωx ＋φ)](A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调性的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求解．
(2)三角函数周期性的求法
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)[或y ＝A cos(ωx ＋φ)]的最小正周期T ＝.应特别注意
2π
|ω|y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝.
π
|ω|
(2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y ＝2＋2
的值域．[f (x ＋π12)][f (x ＋π4)]解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，
所以对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，
即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，
故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.
又θ∈[0,2π)，因此θ＝或θ＝.
π23π2(2)y ＝2＋2
[f (x ＋π12)][f (x ＋π4)]
＝sin 2＋sin 2(x ＋π12)(x ＋π4)
＝＋1－cos (2x ＋
π6)21－cos (2x ＋π2)2＝1－12(32
cos2x －32sin2x )
＝1－cos .3
2(2x ＋π3)因此，所求函数的值域是.[1－3
2，1＋3
2]
求三角函数的值域，一般可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式，在转化的过程中经常要用到诱导公式、两角差(和)正
(余)弦公式、二倍角公式、辅助角公式等．
1．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－)，x ∈[0，π]．
3(1)若a ∥b ，求x 的值；
(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．
解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－)，a ∥b ，
3所以－cos x ＝3sin x .
3若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，
故cos x ≠0.于是tan x ＝－.
3
3又x ∈[0，π]，所以x ＝.
5π
6(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－)
3＝3cos x －sin x ＝2cos .33(x ＋π
6)
因为x ∈[0，π]，所以x ＋∈
，π6[π6，7π6]从而－1≤cos ≤.(x ＋π6)
32于是，当x ＋＝，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；
π6π
6当x ＋＝π，即x ＝时，f (x )取到最小值－2.
π65π
632.如图，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象经过B (A >0，ω>0，|φ|<π
2)
，C ，D 三点．(π6，0)(2π3，0)(5π12，2)
(1)写出A ，ω，φ的值；
(2)若α∈
，且f (α)＝1，求cos2α的值．(5π12，2π3)
解 (1)由题意，知A ＝2，ω＝2，φ＝－.π3(2)由(1)，得f (x )＝2sin .
(2x －π3)
因为f (α)＝1，所以sin ＝.(
2α－π3)12因为α∈，所以2α－∈.(5π12，2π3)π3(π2，π)则2α－＝，所以2α＝，则cos2α＝cos ＝－.
π35π67π67π632热点2 解三角形
解三角形的一般方法：
(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C ．
(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C ．
(1)求A ；
(2)若a ＋b ＝2c ，求sin C ．
2解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，
故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .
由余弦定理得cos A ＝＝.
b 2＋