矩形线框切割磁场问题分类例析二

矩形线框切割磁场问题分类例析二
二、线框转动切割
所谓线框转动切割,通常是指线框以某一固定转轴在磁场中转动切割磁感线而
产生电磁感应现象。

通常情况有线框在匀强磁场、直线电流磁场、辐向磁场等三
种不同磁场中转动切割而产生电磁感应的现象。

1．在匀强磁场中转动切割
例4．如图所示，闭合的单匝线框在匀强磁场中以角度ω绕中心轴OO’逆时针转动
，已知线框的边长ab＝cd＝L1＝0.20m，bc＝ad＝L2＝0.10m，线框的电阻R＝0.50
Ω,角速度ω＝300rad/s。

匀强磁场磁感强度的大小为B＝0.50T,方向与转动轴OO‘
垂直，规定当线框平面与B垂直并且ab边在纸面前时，开始计算线框的转角θ。

(1)当θ＝ωt＝30°时，如下图所示，线框中感生电动势的大小和方向？线框此
时所受的电磁力矩M磁的大小、方向如何？
(2)这时作用在线框上电磁力的瞬时功率等于多少？
(3)要维持线框做匀速转动，除电磁力矩M磁外，还必须另有外力短M外作用在线框
上，写出M外随时间变化的关系式，并以t为横坐标，M外为纵坐标，画出M外随t变
化的图线。

(1982年全国高考试题)
［分析］(1)线框在匀强磁场中匀速转动时，ab段和cd段的速率
v＝ω(L2/2)＝300×0.1/2＝15(m/s)
线框内的感应电动势ε等于ab段和cd段切割磁感线产生的感应电动势之和，即
ε＝2BL1vsinθ＝BL1L2ωsinθ
当θ＝30°时，ε＝0.50×0.20×0.10×300×0.5＝1.5(v)，方向沿abcd。

线圈中的电流强度：I＝ε/R＝30(A)
ab段所受的电磁力f ab的方向如图所示，其大小f ab＝BIL1＝3(N)
电磁力f ab对于OO’轴的力短方向在俯视图中是顺时针的，大小为：
M ab＝f ab(L2/2)sinθ
cd段所受磁力矩为M cd，大小与ab段相同，因此总电磁力矩方向是顺时针的，大小
为：M磁＝M ab＋M cd＝f ab L2sinθ＝0.15(N·m)
(2)ab段上电磁力的方向与速度方向间的夹角是90＋θ,所以电磁力f ab的瞬时功率
P ab＝f ab vsin(90°＋θ)＝－f ab vsinθ
因此作用在线框上的电磁力的瞬时功率为：P＝2P ab＝－2f ab vsinθ＝－45(W)
(3)当线框绕OO’轴匀速转动时线框所受力矩的代数和等于零。

因此,外力矩M外的
大小与电磁力矩M磁的大小相等、方向相反，为逆时针方向,利用(1)中得到的公式
M外＝f ab L2sinθ，f ab＝BIL1，I＝ε/R，ε＝BL1L2ωsinθ，θ＝ωt等可得：
M外＝B2L12L22ωsin2θ/R＝0.60sin2300t
以t为横坐标，M外为纵坐标的M外－t图象如下图所示。

［评述］求解本题所需要的知识是感应电动势，闭合电路欧姆定律，以及电磁力矩和磁力瞬时功率等，都是电磁学的重点，因而本题对考生的能力要求较高，而
判断电磁力的方向，对负功率的计算，以及M外－t函数关系图线的作图都突出了
对同学空间想象能力、推理能力的考查。

矩形线框切割磁场问题分类例析(二)
2．在直线电流磁场中转动切割
例5．一具有固定转轴的矩形线框abcd，处在直线电流的磁场中,转轴与直导线平行
，相距4r0，线框的ab和dc两边与转轴平行，长度都为5r0,bc和da这与转轴垂直,长
度都为6r0，转轴通过这两条边的中点，如图所示，直导线中的电流向上，当导线
框垂直于直线电流与转轴构成的平面时，ab边和cd边所在处的磁感强度的大小是已
知值B0。

(图1)
(1)若导线框以怛定的角速度ω绕固定轴转动，求当导线框转到上述位置时,线框中
的感应电动势。

(2)若导线框转到上述位置时，框内电流强度为I，方向为abcda,求导线框处在这位
置时，磁场对ab边和cd边的作用力,以及这两个力对转轴的力矩。

(1998年上海市高
考试题)
［分析］(1)由于导线框是处于直线电流产生的非均匀磁场中，因而ab、cd两边所
在处的磁感强度B0的大小虽相同，但方向不同，为了解导线框转到题中所示位置的
感应电动势,出图1所示的俯视图，如下图所示，则ab、cd两边的切割速度方向垂直
轴半径O’b与O‘c，大小为v＝ω(bc/2)＝3ωr0。

ab边与cd边所在处的磁感强度方向由右手定则确定，垂直于半径Ob与Oc，设v
与B0的夹角为φ，则φ＝90°－θ。

线框中的感应电动热等于ab边和cd边切割磁感
线所产生的感应电动势之和。

即
ε=εab＋εcd＝2B0L ab vsinφ＝2B0L ab vcosθ＝2×B0×5r×3ωr0×5/4
＝24B0r02ω
(2)当线框中产生沿abcda方向流动的电流I时，ab、cd两边受到大小相等的磁场力
f ab＝f cd＝B0IL ab＝5B0Ir0
其方向由左手定则判断知：f ab沿半径Ob指向直导线，f cd沿半径Oc远离直导线。

它们对O’轴产生顺时针方向的力矩，如下图所示，
则M＝M ab＋M cd＝f ab L1＋f cd L2＝2f ab L1，式中L1＝L2
L1＝O‘ccosθ＝3r×4/5＝12r0/5
代入上式可得M＝2×5Ir0B0×12/5r0＝24B0Ir02
［评述］这是一道有一定难度的试题。

首先是审清题意要有空间想象能力和理解能
力，其次是感应电动势以及安培力矩的计算要全面分析各物理量的关系。

因此，将
题给图示进行正确变换是解题的关系。

3．在辐向磁场中转动切割
例6．如图2所示。

边长为l和L的矩形线框aa’，bb‘互相垂直，彼此绝缘，可绕中心
轴O1O2转动，将两线框的始端并在一起接到滑环C，末端并在一起接到肖环D，C、D
彼此绝缘。

电阻R＝2r,通过电刷跟C、D连接。

线框处于磁铁和圆柱形铁心之间的磁
场中，磁场边缘中心的张角为45°,如图3所示(图中的圆表示圆柱形铁心,它使磁铁
和铁心之间的磁场沿半径方向如图箭头所示)不率线框转到磁场中的什么位置,
磁场
的方向总是沿着线框平面，磁场的长为l的边所在处的磁感强度大小恒为B，设线框
a a’和bb‘的电阻都是r，两个线框以角速度ω逆时针匀速转动。

图２图3
(1)求线框aa’转到图3位置时，感应电动势的大小。

(2)求转动过程中电阻R上的电压最大值。

(3)从线框aa‘进入磁场开始时正确作出O－T(T是线框转动周期)时间内通过R的电流
强度iR随时间变化的图象。

(4)求外力驱动两线框转动一周所做的功。

(1990年上海市高考题)
［分析］(1)根据磁场分布特点，线框不论转到磁场中哪一位置,切割磁感线的速度
始终与磁场方向垂直，故线框aa’转到图3所示位置时，感应电动势的大小。

ε＝2Blv＝2Bl(ωL/2)＝BlLω
(2)线框转动过程中，只能有一个线框进入磁场(作电源)，另一个线框与外接电阻R
并联后一起作为外电路，其等效电路如下图所示，
其电源内阻为r，外电路总电阻
R外＝Rr/R＋r＝2r/3，故R两端的电压最大值：
U R＝IR外＝[ε/(r＋2r/3)](2r/3)＝2ε/5＝2BlLω/5
(3)线框aa‘或bb’在磁场中，通过R的电流大小相等，i R＝U R/R＝
(2BlLω/5)(1/2r)
＝BlLω/5r
从线框aa‘进入磁场开始计时,每隔T/8(线框转动45°)电流发生一次变化,如下
表所示：
其i R随时间t变化的图象如下图所示。

(4)因每个线框作为电源时产生的总电流和提供的功率分别为：
I＝ε/(r＋2r/3)＝3ε/5r，P＝Iε＝3ε2/5r＝3(BlLω)2/5r 两个线框转动一周时间内，上线圈只有两次进行磁场，每次在磁场内的时间
(即作为电源时的做功时间)为T/8，根据能的转化和守恒，外力驱动两线圈转动一
周的功，完全转化为电源所获得的电能，所以
W外＝4P(T/8)＝PT/2＝πP/ω＝3πB2l2L2ω/5r
［评述］该题用辐向磁场的线框切割磁感线的电磁感应问题为背景。

突出考查了同
学对感应电动势的大小和方向，闭合电路欧姆定律，串并联电路。

能的转化和守恒
等知识点。

同学能否具有将熟悉情景下的物理问题迁移到陌生情景中的迁移能力，
是解决本题的关键。

综上所述，解答矩形线框切割磁感线的电磁感应问题，要涉及到法拉第电磁感
应定律，磁场对电流的作用，闭合线框的平衡，线框的机械能和电动的转化等方面
的知识点。

它要求同学能根据线框的初始状态和受力情况对线框的运动性质作出准
确判断，对线框中感应电流的大小与方向以及能量转化情况作出分析。

由于这类问
题综合性强，涉及的物理过程复杂多变,从而使这类试题可以考查学生的思维品质,
因此成为高考中的热点。

期盼同学们通过对本文的阅读能引起对这一问题的重视。

摘自物理在线。