矩形线框切割磁场问题分类例析二

矩形线框切割磁场问题分类例析二

二、线框转动切割

所谓线框转动切割,通常是指线框以某一固定转轴在磁场中转动切割磁感线而

产生电磁感应现象。通常情况有线框在匀强磁场、直线电流磁场、辐向磁场等三

种不同磁场中转动切割而产生电磁感应的现象。

1．在匀强磁场中转动切割

例4．如图所示，闭合的单匝线框在匀强磁场中以角度ω绕中心轴OO’逆时针转动

，已知线框的边长ab＝cd＝L1＝0.20m，bc＝ad＝L2＝0.10m，线框的电阻R＝0.50

Ω,角速度ω＝300rad/s。匀强磁场磁感强度的大小为B＝0.50T,方向与转动轴OO‘

垂直，规定当线框平面与B垂直并且ab边在纸面前时，开始计算线框的转角θ。

(1)当θ＝ωt＝30°时，如下图所示，线框中感生电动势的大小和方向？线框此

时所受的电磁力矩M磁的大小、方向如何？

(2)这时作用在线框上电磁力的瞬时功率等于多少？

(3)要维持线框做匀速转动，除电磁力矩M磁外，还必须另有外力短M外作用在线框

上，写出M外随时间变化的关系式，并以t为横坐标，M外为纵坐标，画出M外随t变

化的图线。(1982年全国高考试题)

［分析］(1)线框在匀强磁场中匀速转动时，ab段和cd段的速率

v＝ω(L2/2)＝300×0.1/2＝15(m/s)

线框内的感应电动势ε等于ab段和cd段切割磁感线产生的感应电动势之和，即

ε＝2BL1vsinθ＝BL1L2ωsinθ

当θ＝30°时，ε＝0.50×0.20×0.10×300×0.5＝1.5(v)，方向沿abcd。

线圈中的电流强度：I＝ε/R＝30(A)

ab段所受的电磁力f ab的方向如图所示，其大小f ab＝BIL1＝3(N)

电磁力f ab对于OO’轴的力短方向在俯视图中是顺时针的，大小为：

M ab＝f ab(L2/2)sinθ

cd段所受磁力矩为M cd，大小与ab段相同，因此总电磁力矩方向是顺时针的，大小

为：M磁＝M ab＋M cd＝f ab L2sinθ＝0.15(N·m)

(2)ab段上电磁力的方向与速度方向间的夹角是90＋θ,所以电磁力f ab的瞬时功率

P ab＝f ab vsin(90°＋θ)＝－f ab vsinθ

因此作用在线框上的电磁力的瞬时功率为：P＝2P ab＝－2f ab vsinθ＝－45(W)

(3)当线框绕OO’轴匀速转动时线框所受力矩的代数和等于零。因此,外力矩M外的

大小与电磁力矩M磁的大小相等、方向相反，为逆时针方向,利用(1)中得到的公式

M外＝f ab L2sinθ，f ab＝BIL1，I＝ε/R，ε＝BL1L2ωsinθ，θ＝ωt等可得：

M外＝B2L12L22ωsin2θ/R＝0.60sin2300t

以t为横坐标，M外为纵坐标的M外－t图象如下图所示。

［评述］求解本题所需要的知识是感应电动势，闭合电路欧姆定律，以及电磁力矩和磁力瞬时功率等，都是电磁学的重点，因而本题对考生的能力要求较高，而

判断电磁力的方向，对负功率的计算，以及M外－t函数关系图线的作图都突出了

对同学空间想象能力、推理能力的考查。

矩形线框切割磁场问题分类例析(二)

2．在直线电流磁场中转动切割

例5．一具有固定转轴的矩形线框abcd，处在直线电流的磁场中,转轴与直导线平行

，相距4r0，线框的ab和dc两边与转轴平行，长度都为5r0,bc和da这与转轴垂直,长

度都为6r0，转轴通过这两条边的中点，如图所示，直导线中的电流向上，当导线

框垂直于直线电流与转轴构成的平面时，ab边和cd边所在处的磁感强度的大小是已

知值B0。

(图1)

(1)若导线框以怛定的角速度ω绕固定轴转动，求当导线框转到上述位置时,线框中

的感应电动势。

(2)若导线框转到上述位置时，框内电流强度为I，方向为abcda,求导线框处在这位

置时，磁场对ab边和cd边的作用力,以及这两个力对转轴的力矩。(1998年上海市高

考试题)

［分析］(1)由于导线框是处于直线电流产生的非均匀磁场中，因而ab、cd两边所

在处的磁感强度B0的大小虽相同，但方向不同，为了解导线框转到题中所示位置的

感应电动势,出图1所示的俯视图，如下图所示，则ab、cd两边的切割速度方向垂直

轴半径O’b与O‘c，大小为v＝ω(bc/2)＝3ωr0。

ab边与cd边所在处的磁感强度方向由右手定则确定，垂直于半径Ob与Oc，设v

与B0的夹角为φ，则φ＝90°－θ。线框中的感应电动热等于ab边和cd边切割磁感

线所产生的感应电动势之和。即

ε=εab＋εcd＝2B0L ab vsinφ＝2B0L ab vcosθ＝2×B0×5r×3ωr0×5/4

＝24B0r02ω

(2)当线框中产生沿abcda方向流动的电流I时，ab、cd两边受到大小相等的磁场力

f ab＝f cd＝B0IL ab＝5B0Ir0

其方向由左手定则判断知：f ab沿半径Ob指向直导线，f cd沿半径Oc远离直导线

。它们对O’轴产生顺时针方向的力矩，如下图所示，

则M＝M ab＋M cd＝f ab L1＋f cd L2＝2f ab L1，式中L1＝L2

L1＝O‘ccosθ＝3r×4/5＝12r0/5

代入上式可得M＝2×5Ir0B0×12/5r0＝24B0Ir02

［评述］这是一道有一定难度的试题。首先是审清题意要有空间想象能力和理解能

力，其次是感应电动势以及安培力矩的计算要全面分析各物理量的关系。因此，将

题给图示进行正确变换是解题的关系。

3．在辐向磁场中转动切割

例6．如图2所示。边长为l和L的矩形线框aa’，bb‘互相垂直，彼此绝缘，可绕中心

轴O1O2转动，将两线框的始端并在一起接到滑环C，末端并在一起接到肖环D，C、D

彼此绝缘。电阻R＝2r,通过电刷跟C、D连接。线框处于磁铁和圆柱形铁心之间的磁

场中，磁场边缘中心的张角为45°,如图3所示(图中的圆表示圆柱形铁心,它使磁铁

和铁心之间的磁场沿半径方向如图箭头所示)不率线框转到磁场中的什么位置,

磁场

的方向总是沿着线框平面，磁场的长为l的边所在处的磁感强度大小恒为B，设线框

a a’和bb‘的电阻都是r，两个线框以角速度ω逆时针匀速转动。

图２图3