倍半角模型知识精讲

倍半角模型知识精讲

一、二倍角模型处理方法

1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.

例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.

2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.

例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.

例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90º.

【解答】见解析

【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D.

则∠ACE＝∠A，AE＝CE，

∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC，

又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90º；

【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE. 由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90º，

∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D，

∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD，

又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90º.

【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE. ∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，

∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E，

又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90º.

二、倍半角综合

1. 由“倍”造“半”

已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.

如图，若，则（）

2. 由“半”造“倍”

已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.

如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.

三、一些特殊的角度

1. 由特殊角30º求tan15º的值

如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，

.

2. 由特殊角45º求tan22.5º的值

由图可得，.

3. “345”三角形

（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；

（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；

（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，

则.