倍半角模型知识精讲
半角模型十五个结论及证明
半角模型十五个结论及证明《探索半角模型的十五个结论及证明》嗨，大家好！今天我要和大家一起探索一个超有趣的数学知识——半角模型的十五个结论及证明。
这就像是一场奇妙的数学冒险，跟我来呀！一、什么是半角模型呢？半角模型呀，就像是一个神秘的数学宝藏，藏在各种几何图形里。
想象一下，我们有一个正方形或者等腰直角三角形，然后在这个图形里出现了一个角，这个角是另外一个大角的一半，这就形成了半角模型。
比如说，在正方形里，一个角是45度，它就是直角90度的一半呢。
这时候啊，就会有好多神奇的结论冒出来。
二、结论一：线段相等我给大家举个例子哈。
在正方形ABCD中，∠EAF = 45度（E、F分别在BC、CD 上）。
我们能发现BE + DF = EF。
这是为啥呢？我们可以把△ADF绕着点A顺时针旋转90度，这样AD就和AB重合了。
旋转后的点F变成了F'。
那这个时候呀，我们就会发现△AEF和△AEF'是全等的。
为啥呢？因为AF = AF'，∠EAF = ∠EAF' = 45度，AE是公共边啊。
就像两个一模一样的小积木，那EF就等于EF'了，而EF'就是BE + DF呀。
你们说神奇不神奇？这就好比是把分散的力量集中起来了，原本分开的BE和DF，通过旋转这个魔法，就变成了和EF相等的线段。
三、结论二：三角形面积关系还有一个有趣的结论呢。
三角形AEF的面积等于三角形ABE的面积加上三角形ADF的面积。
这又怎么理解呢？我们刚刚把△ADF旋转到了△ABF'的位置。
那三角形AEF的面积就等于三角形AEF'的面积啦。
而三角形AEF'的面积就是三角形ABE的面积加上三角形ABF'（也就是原来的三角形ADF）的面积。
这就好像是把两个小地块合并起来就等于一个大地块的面积一样。
四、结论三：角平分线如果我们延长CB到G，使得BG = DF，连接AG。
我们会发现AG是∠EAG的角平分线呢。
二次函数背景下的倍、半角角度问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
例题精讲【例1】．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，＝AE×OC＝AC×EF，∵S△AEC∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C．直线y＝﹣x+2经过于点C、点B，（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第一象限抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线交线段BC于点E，交x 轴于点Q，当DE＝5EQ时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点M为第二象限抛物线上一动点，连接DM，DM交线段OC于点H，点F在线段OB上，连接HF、DF、DC、DB，当HF＝，∠CDB＝2∠MDF 时，求点M的坐标．解：（1）针对于直线y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则0＝﹣x+2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝ax2+x+c中，得∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，设点D坐标为（m，﹣m2+m+2），∵DE⊥x轴交BC于E，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∴D（m，﹣m+2），∴DE＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m，DQ＝﹣m+2，∵DE＝5EQ，∴﹣m2+m＝5（﹣m+2），∴m＝3或m＝4（点B的横坐标，舍去），∴D（3，3）；（3）如图2，由（2）知，D（3，3），由（1）知，B（4，0），C（0，2），∴DB＝，DC＝，BC＝2，∴DC＝DB，DB2+DC2＝BC2，∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠BDC＝90°，∵BDC＝2∠FDM＝90°，∴∠FDM＝45°，过点D作DP⊥y轴于P，则DQ＝DP，OP＝3，∴CP＝1＝BQ，∴△DPC≌△DQB（SAS），在CP的延长线取一点G，使PG＝QF＝n，∴OF＝3﹣n，OG＝3+n，∴△DPG≌△DQF（SAS），∴DG＝DF，∠PDG＝∠QDF，∴∠FDG＝∠PDG+∠PDF＝∠QDF+∠PDG＝∠PDQ＝90°∴∠GDM＝90°﹣∠FDM＝45°＝∠GDM，∵DH＝DH，∴△GDH≌△FDH（SAS），∴GH＝FH＝，∴OH＝OG﹣GH＝3+n﹣＝n+，在Rt△HOF中，根据勾股定理得，（n+）2+（3﹣n）2＝，∴n＝1或n＝（此时，OH＝n+＝2，所以点H与点C重合，舍去），∴H（0，），∵C（3，3），∴直线CH的解析式为y＝x+①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2②，联立①②解得，或（由于点M在第二象限，所以舍去），∴M（﹣，）．【例2】．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c 经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3①；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P （x ，x 2﹣x ﹣3），则点H （x ，x ﹣3），S 四边形ACPB ＝S △ABC +S △PCB ，∵S △ABC 是常数，故四边形面积最大，只需要S △PCB 最大即可，S △PCB ＝×OB ×PH ＝×4（x ﹣3﹣x 2+x +3）＝﹣x 2+6x ，∵﹣＜0，∴S △PCB 有最大值，此时，点P （2，﹣）；（3）过点B 作∠ABC 的角平分线交y 轴于点G ，交抛物线于M ′，设∠MBC ＝∠ABC＝2α，过点B 在BC 之下作角度数为α的角，交抛物线于点M ，过点G 作GK ⊥BC 交BC 于点K ，延长GK 交BM 于点H ，则GB ＝BH ，BC 是GH 的中垂线，OB ＝4，OC ＝3，则BC ＝5，设：OG ＝GK ＝m ，则CK ＝CB ﹣HB ＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m ）2＝m 2+1，解得：m ＝，则OG ＝GK ＝，GH ＝2OG ＝，点G （0，﹣），在Rt △GCK 中，GK ＝OG ＝，GC ＝OC ﹣OG ＝3﹣＝，则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BG的表达式为：y＝x﹣…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝或4（舍去4），则点M（，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，﹣）；故点M（，﹣）或（﹣，﹣）．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；②请直接写出使∠PBA＝∠ABC的点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）令x＝0，得＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵B（3，0），∴OB＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则，解得，∴直线BC的解析式为：y＝，设P（m，），则D（m，），∴DP＝，DE＝m，∴，∵∠BOC＝∠PDE＝90°，∴当△PDE和△BOC相似时，有两种情况：当△PDE∽△BOC时，则，即＝，解得，m＝，∴P（，）；当△PDE∽△COB时，则，即＝，解得，m＝2，∴P（2，4）．综上，当△PDE和△BOC相似时，点P的坐标（，）或（2，4）；②过B作BP平分∠ABC，交抛物线于点P，交OC于点M，过M作MN⊥BC于点N，如图1，则∠PBA＝∠ABC，OM＝MN，在Rt△BOM和Rt△BNM中，，∴Rt△BOM≌Rt△BNM（HL），∴BN＝BO＝3，设OM＝t，则MN＝MO＝t，CM＝4﹣t，CN＝BC﹣BN＝﹣3＝2，∵MN2+CN2＝MC2，∴t2+22＝（4﹣t）2，∴t＝，∴M（0，），设BM的解析式为：y＝mx+（m≠0），代入B（3，0）得，m＝，∴直线BM的解析式为：y＝﹣，解方程组得，，，∴P（，），取M（0，）关于x轴的对称点，K（0，﹣），连接BK，延长BK，交抛物线于点P'，如图2所示，则∠ABP＝∠ABC，设直线BK的解析式为y＝px（p≠0），代入B（3，0）得，p＝，∴直线BK的解析式为：y＝，解方程组得，，∴P'（，），综上，使∠PBA＝∠ABC的点P的坐标为（，）或（，）．【例3】．已知如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x轴于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C．已知OA＝OC＝2OB．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线y＝2x+m，若直线与抛物线有且只有一个交点E，求△ACE的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠EAC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于抛物线y＝ax2+bx﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OA＝OC＝2OB，∴OA＝4，OB＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），∵点A，B在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4①，∵直线y＝2x+m②与抛物线有且只有一个交点E，联立①②得，，∴x2﹣x﹣（4+m）＝0，∴△＝1+4×（4+m）＝0，∴m＝﹣，∴x2﹣x﹣＝0，∴x1＝x2＝1，∴E（1，﹣），∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣2如图1，记直线AE与y轴的交点为F，则F（0，﹣2），＝CF×|x E﹣x A|＝×2×|1﹣（﹣4）|＝5；∴S△ACE（3）由（2）知，E（1，﹣），Ⅰ、当点P在x轴上方时，如图2，将线段AE以点E为旋转中心顺时针旋转90°得到线段EG，连接AG，则∠EAG＝45°，在Rt△AOC中，OA＝OC，∴∠OAC＝45°＝∠EAG，∴∠CAE＝∠OAG，∴点P是AG与抛物线的交点，过点E作MN∥x，过点A作AM⊥MN于M，过点G作GN⊥MN于G，∵A（﹣4，0），E（1，﹣），∴AM＝，ME＝5，∴∠AME＝∠ENG＝90°，∴∠MAE+∠AEM＝90°，由旋转知，AE＝EG，∠AEG＝90°，∴∠AEM+∠NEG＝90°，∴∠MAE＝∠NEG，∴△AME≌△ENG（AAS），∴EN＝AM＝，GN＝ME＝5，∴N（，﹣），G（，），∴直线AG的解析式为y＝x+③，∵抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4④，联立③④解得，或，∴P（，），Ⅱ、由Ⅰ知，点G的坐标为G（，），N（，﹣），∴点G与点N关于x轴对称，∴点P是直线AN与抛物线的交点，∵A（﹣4，0），∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣⑤，联立④⑤，解得，或，∴P（，﹣），即满足条件的点P的坐标为P（，）或（，﹣）．变式训练【变3-1】．如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式的一般式．（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）当点P在直线BC的下方时，如图1，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，∵y＝（x+1）（x﹣3），∴y＝0时，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴，∵OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，BC＝3，∵∠ACO＝∠PCB，∴tan，∴BE＝，∵∠CBE＝90°，∴∠MBE＝45°，∴BM＝ME＝1，∴E（4，﹣1），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式为，∴，解得，∴，当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，如图2，同理求出BF＝，FN＝BN＝1，∴F（2，1），求出直线CF的解析式为y＝2x﹣3，∴，解得：x1＝0，x2＝4，∴P（4，5）．综合以上可得点P的坐标为（4，5）或（）；（3）∵直线l：y＝kx﹣k+2，∴y﹣2＝k（x﹣1），∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，∴直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），如图3，连接BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，求出直线BH的解析式为y＝﹣x+3，∴k＝1，∴直线l的解析式为y＝x+1，∴，解得：，，∴E（﹣1，0），F（4，5），∴＝10．1．如图，已知直线AB：y＝x﹣3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y＝x2﹣2x﹣m与y 轴交于C点，与线段AB交于D、E两点（D在E左侧）（1）若D、E重合，求m值；（2）连接CD、CE，若∠BCD＝∠BEC，求m值；（3）连接OD，若OD＝CE，求m值．解：（1）把y＝x﹣3代入抛物线y＝x2﹣2x﹣m中，得x2﹣3x+3﹣m＝0，∵D、E重合，∴△＝9﹣4（3﹣m）＝4m﹣3＝0，∴m＝；（2）∵y＝x﹣3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y＝x2﹣2x﹣m与y轴交于C点，∴B（0，﹣3），C（0，﹣m），∴BC＝3﹣m，解方程组得，，，∴，，∴BD＝，BE＝，∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，∴△BCD∽△BEC，∴，即BC2＝BD•BE，∴，解得，m＝1或3，当m＝3时，B与C重合，不符合题意，舍去，∴m＝1；（3）∵OD＝CE，∴OD2＝CE2，∴+，即，解得，m＝0，或m＝5，当m＝0时，无意义，应舍去，当m＝5+时，C点在B点下方，不合题意，舍去，∴m＝5﹣，2．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积为6．（1）求这条抛物线相应的函数表达式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标．解：（1）当y＝0时，x2﹣（a+1）x+a＝0，解得x1＝1，x2＝a，∵点A位于点B的左侧，∴点A坐标为（a，0），点B坐标为（1，0），当x＝0时，y＝a，∴点C坐标为（0，a），∴AB＝1﹣a，OC＝﹣a，∵△ABC的面积为6，∴，∴a1＝﹣3，a2＝4，∵a＜0，∴y＝x2+2x﹣3；（2）设直线BC：y＝kx﹣3，则0＝k﹣3，∴k＝3；①当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y＝3x，则，∴，，∴点P坐标为；②当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y＝﹣3x，则∴，，∴点P坐标为，综上可得点P坐标为或；（3）过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；∵AB＝4，点M到x轴的距离为d，＝×AB×d＝×4×d＝2d，∴S△AMB＝2d，∵S△MNB＝S△MNB，∴S△AMB∴，∴AE＝NF，∵AE⊥BM，NF⊥BM，∴四边形AEFN是矩形，∵∠MAN＝∠ANB，∴GN＝GA，∵AN∥BM，∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，∴∠AMB＝∠NBM，∴GB＝GM，∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，在△AMB和△NBM中∴△AMB≌△NBM（SAS），∴∠ABM＝∠NMB，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，又∵AN∥BM，∴∠ABM＝∠OAC＝45°，∴∠NMB＝45°，∴∠ABM+∠NMB＝90°，∴∠BHM＝90°，∴M、N、H三点的横坐标相同，且BH＝MH，∵M是抛物线上一点，∴可设点M的坐标为（t，t2+2t﹣3），∴1﹣t＝t2+2t﹣3，∴t1＝﹣4，t2＝1（舍去），∴点N的横坐标为﹣4，可设直线AC：y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x﹣3，当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1，∴点N的坐标为（﹣4，1）．3．如图1，抛物线C1：y＝ax2+c的顶点为A，直线l：y＝kx+b与抛物线C1交于A，C两点，＝4．与x轴交于点B（1，0），且OA＝2OB，S△OAC（1）求直线l的解析式；（2）求抛物线C1与x轴的交点坐标；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C，且抛物线C的顶点为P，交x轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ 时，求m的值．解：（1）∵B（1，0），∴OB＝1，∵OA＝2OB，∴OA＝2，∴A（0，﹣2），设直线l的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝2x﹣2；＝4，（2）∵S△OAC∴，∴x C＝4，∴y＝8﹣2＝6，∴C（4，6），将A（0，﹣2），C（4，6）代入y＝ax2+c，∴，解得，∴抛物线C1与的解析式为y＝；令y＝0，，解得x＝±2，∴抛物线C1与x轴的交点坐标为（2，0），（﹣2，0）．（3）设抛物线C表达式为：y＝x2﹣2﹣m，设点M（n，0），则n2﹣2﹣m＝0，抛物线C表达式为：y＝x2﹣n2…③，联立②③并解得：x＝2﹣n或2+n，则点N（2﹣n，2﹣2n），则NQ＝2﹣2n，MQ＝2﹣2n，∴△MNQ为等腰直角三角形，则∠MNQ＝45°，又点P（0，﹣n2），即点M（n，0），设直线MN与y轴的交点为H，则OH＝OM，则点H（0，﹣n），作NK⊥y轴于点K，在△NKH中，NK＝KH，则NH＝（2﹣n），又HP＝OH+OP＝n2﹣n，∵PN为角平分线，则∠MNP＝∠PNQ＝22.5°，故NH＝HP，则（2﹣n）＝n2﹣n，解得：n＝2或﹣2（舍去2），∵n2﹣2﹣m＝0，解得：m＝2．4．如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，①求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标；②若∠DAB＝∠BAC，求D点的坐标．解：（1）由y＝x+2可得：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）①如图1，过点D作DN⊥AC于N，交AB于F，作DH⊥AB于H，∵A（﹣4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝＝＝2，∵∠FAN+∠AFN＝90°，∠FDH+∠DFH＝90°，∠AFN＝∠DFH，∴∠FAN＝∠FDH，∴cos∠FAN＝cos∠FDH，∴，∴＝，∴DH＝DF，∴当DF有最大值时，DH有最大值，设点D，F，∴DF＝＝﹣（m+2）2+2，∴当m＝﹣2时，DF有最大值为2，∴DH的最大值为，∴当点D（﹣2，3）时，D到AB的距离最大值为；②如图2，延长CB，AD交于点E，∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，点C，∴点C（1，0），∴OC＝1，∵＝，∠AOB＝∠BOC，∴△AOB∽△BOC，∴∠BAO＝∠CBO，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO+∠CBO＝90°，∴∠ABC＝90°，∵∠DAB＝∠BAC，AB＝AB，∠ABC＝∠ABE＝90°，∴△ABC≌△ABE（ASA），∴BC＝BE，∵B（0，2），点C（1，0），∴点E（﹣1，4），∴直线AE的解析式为y＝x+，联立方程组：，解得：，，∴点D（﹣，）．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y 轴交于点C（0，4），∴，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F，∵B（8，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+m+4），则E（m，﹣m+4），∵D为抛物线上第一象限内一点，∴DE＝DF﹣EF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∴△DCB面积＝8×DE＝4（﹣m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，∴当m＝4时，△DCB面积最大，最大值为16；（3）①当点P在BC上方时，如图，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，令y＝4，则﹣x2+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．设HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴y＝﹣x+4，∴，解得：，，∴P（，﹣）．综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．6．已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠PAO＝∠BAO，求点P的坐标．解：（1）将A（5，0），B（﹣3，4）代入y＝ax2+bx，得：，解得：，∴所求抛物线的表达式为y＝x2﹣x．（2）∵抛物线的表达式为y＝x2﹣x，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴点D的坐标为（，0）．过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．∵点B的坐标为（﹣3，4），点D的坐标为（，0），∴BC＝4，OC＝3，CD＝3+＝，∴cot∠BDO＝＝．（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，如图2所示．则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴cot∠BAC＝＝＝2．∵∠PAO＝∠BAO，∴cot∠PAO＝＝＝2，即m﹣2n＝5①．∵BC⊥x轴，PQ⊥x轴，∴∠BCO＝∠PQA＝90°，∴BC∥PQ，∴＝，∴＝，即4m＝﹣3n②．由①、②得：，解得：，∴点P的坐标为（，﹣）．7．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；（2）①设点P（a，a2+a﹣6），∵点P位于y轴的左侧，∴a＜0，PE＝﹣a，∵PD＝2PE，∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）∴PE＝2或；②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，理由如下，∵抛物线y＝x2+x﹣6与y轴交于点C，∴点C（0，﹣6），∴OC＝6，∵点B（2，0），点A（﹣3，0），∴OB＝2，OA＝3，∴BC＝＝＝2，AC＝＝＝3，如图，过点A作AH⊥CP于H，∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，∴△ACH∽△BCO，∴，∴＝，∴AH＝，HC＝，设点H（m，n），∴（）2＝（m+3）2+n2，（）2＝m2+（n+6）2，∴或，∴点H（﹣，﹣）或（﹣，），当H（﹣，﹣）时，∵点C（0，﹣6），∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），∴点P的坐标（﹣2，﹣4）；当H（﹣，）时，∵点C（0，﹣6），∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去），∴点P的坐标（﹣8，50）；综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．8．如图1，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝2OA＝4．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点A 到直线EF距离的最大值．解：（1）∵CO＝4，故c＝﹣4，则抛物线的表达式为y＝ax2﹣4，∵OC＝2OA＝4，故点A（﹣2，0），则0＝4a﹣4，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4；（2）过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，在△BAQ和△COA中，，∴△BAQ≌△COA（AAS），∴AQ＝OA＝2，∴Q（﹣2，﹣2），由点B、Q的坐标得，直线BQ解析式为y＝x﹣1，联立，解得x1＝2（舍去），x2＝，∴P（，）；（3）设E（x1，x12﹣4），F（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），由点P、E的坐标得，y PE＝（x1+1）x﹣4﹣x1，同理可得y PF＝（x2+1）x﹣4﹣x2，又∵PE⊥PF，∴（x1+1）（x2+1）＝﹣1，∴x1x2+x1+x2+1＝﹣1，x1x2＝﹣2﹣（x1+x2）（这里可以构造三垂模型如图3，利用相似三角形的性质得到）．同理可得EF的解析式为：y EF＝（x1+x2）x﹣4﹣x1x2，∴y EF＝（x1+x2）x﹣4+2+（x1+x2）＝（x1+x2）（x+1）﹣2，∴直线EF恒过定点（﹣1，﹣2），设该点为R，连接点AR，则AR为点A到直线EF距离的最大值，∴AR＝．9．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）M是抛物线上第一象限上的一点，连接AM，正好将△ABC的面积分成相等的两部分，求M点的坐标．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）作BC的中点N，连接AN并延长交抛物线于M，如图：∵N为BC中点，∴直线AN将△ABC的面积分成相等的两部分，即M是满足条件的点，在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），∵B（3，0），N为BC中点，∴N（，），设直线AN解析式为y＝mx+n，将A（﹣1，0），N（，）代入得：，解得，∴直线AN解析式为y＝x+，解得或，∴M（，），答：M点的坐标（，）；（3）存在点P，使∠PAB＝∠ABC，理由如下：过A作AP∥BC交抛物线于P，交y轴于S，作S关于x轴的对称轴点T，作直线AT交抛物线于P'，如图：∵AP∥BC，∴∠PAB＝∠ABC，P是满足条件的点，∵S关于x轴的对称轴点为T，∴∠P'AB＝∠PAB＝∠ABC，即P'是满足条件的点，由（2）知C（0，3），设直线BC解析式为y＝tx+3，将B（3，0）代入得：3t+3＝0，∴t＝﹣1，∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，由AP∥BC设直线AP解析式为y＝﹣x+d，将A（﹣1，0）代入得：1+d＝0，解得d＝﹣1，∴直线AP解析式为y＝﹣x﹣1，S（0，﹣1），解得或，∴P（4．﹣5），∵S（0，﹣1），S关于x轴的对称轴点为T，∴T（0，1），设直线AT解析式为y＝ex+1，将A（﹣1，0）代入得：﹣e+1＝0，解得e＝1，∴直线AT解析式为y＝x+1，解得或，∴P'（2，3），综上所述，点P的坐标为（4，﹣5）或（2，3）．10．如图（1），抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3（a为常数，a≠0）与x轴正半轴分别交于A，B（A在B的右边）．与y轴的正半轴交于点C．连接BC，tan∠BCO＝．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图（2），设抛物线的顶点为Q，P是第一象限抛物线上的点，连接PQ，AQ，AC，若∠AQP＝∠ACB，求点P的坐标；（3）如图（3），D是线段AC上的点，连接BD，满足∠ADB＝3∠ACB，求点D的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3与y轴的正半轴交于点C，∴C（0，3），∴OC＝3，∵tan∠BCO＝，∴＝，∴OB＝1，∴B（1，0），将B（1，0）代入y＝ax2+（a﹣5）x+3，得a+a﹣5+3＝0，解得：a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图（2）设PQ与x轴交于N．∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点Q（2，﹣1），∵A（3，0），B（1，0），C（0，3），∴AB＝2，OC＝OA＝3，∴∠CAO＝45°，AC＝3，过Q作QH⊥x轴于H，则QH＝AH＝1，∴∠QAH＝45°，AQ＝，∴∠CAO＝∠QAH＝45°，∵∠AQP＝∠ACB，∴△CAB∽△QAN，∴＝，即＝，∴AN＝，∴ON＝3﹣＝，∴N（，0），又Q（2，﹣1），∴直线PQ解析式为：y＝3x﹣7，联立方程组，解得：，；∴P（5，8）；（3）如图（3）作BM⊥AC于M，当点D在线段CM上时，则∠ADB＝3∠ACB，∴∠CBD＝2∠ACB，作∠CBD的平分线BE交CD于点E，∴∠CBD＝2∠CBE，∴∠ACB＝∠CBE，∴BE＝CE，∵y＝x2﹣4x+3，∴A（3，0），B（1，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∠OAC＝∠OCA＝45°，设E（a，﹣a+3），则（a﹣1）2+（a﹣3）2＝a2+a2，解得：a＝，∴E（，），设D（m，﹣m+3），∵∠BCD＝∠EBD，∠BDC＝∠EDB，∴△BCD∽△EBD，∴BD2＝CD•ED，∴（m﹣1）2+（m﹣3）2＝（m﹣）•m，解得：m＝，∴D（，）．11．如图，抛物线y＝（x﹣3）（x﹣2a）交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO＝∠PBA．求点P的坐标；（3）如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，tan∠AMN＝2，点M到x轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB＝∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：（1）把y＝0代入抛物线y＝（x﹣3）（x﹣2a），得x＝3或x＝2a，∵点A在点B的左侧，∴A（2a，0），B（3，0），∵∴∴a＝﹣1∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣6；（2）如图①，作线段BC的垂直平分线交y轴于点D，此时DC＝DB∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DCB+∠DBC＝2∠BCO，∵∠BCO＝∠PBA∴∠PBA＝2∠BCO，∴∠ODB＝∠PBA，∴tan∠ODB＝tan∠PBA，设P（m，m2﹣m﹣6），DC＝DB＝n，∵C（0，﹣6），B（3，0），∴OC＝6，OB＝3，∴OD＝6﹣n，在Rt△BOD中，（6﹣n）2+32＝m2，解得，∴，∵tan∠ODB＝tan∠PBA∴即，解得，∴∴点P的坐标为；（3）MN的为定值，定值为5∵A（﹣2，0），B（3，0），点M到x轴的距离为2L∴，＝5L∵S△AMN＝S△AMN∴S△ABM∵△ABM和△AMN同底AM，∴点B、N到直线AM的距离相等，∴AM∥BN，∴∠MAN＝∠ANB，∠AMB＝∠MBN，∠ABC＝∠MAB∴∠ANB＝∠MBN∴∠MAN＝∠AMB∵tan∠ABC＝＝＝2，tan∠AMN＝2∴△MAB≌△AMN（ASA），∴MN＝AB＝5∴MN的为定值，定值为5．12.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3①；tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；①当点P（P′）在点C的右侧时，∵∠P'BC＝∠BCO，故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；当点P在点C的左侧时，设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，∵∠P'BC＝∠BCO，∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×＝，解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②，联立①②并解得：，故点P的坐标为（﹣5，﹣8）；②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，故设直线AP的表达式为：y＝x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，故直线AP的表达式为：y＝x+1③，联立抛物线与③并解得：，故点N（，）；设△AMN的外接圆为圆R，当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，∴∠RMH＝∠GAR，∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，∴△AGR≌△RHM（AAS），∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，∴点M（m+n，n﹣m﹣3），将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3④，由题意得：AR＝NR，即（m+3）2+n2＝（m﹣）2+（﹣n）2⑤，联立④⑤并解得：，故点M（﹣，﹣）．13．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，∴直线l解析式为y＝x﹣，设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴＝＝＝2∴OR＝2OF，RM＝2DF∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m＝•（﹣2m）﹣，解得：m1＝﹣3，m2＝，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，则，解得∴直线EH解析式为y＝﹣x，解方程组，∴x＝或，∴点P的横坐标为：或．14．已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x 轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0），B（5，0），∴，解得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5．（2）∵A（1，0），B（5，0），∴OA＝1，AB＝4．∵AC＝AB且点C在点A的左侧，∴AC＝4．∴CB＝CA+AB＝8．。
2022年九年级中考数学冲刺-几何模型讲义
2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。
2025年中考数学总复习第二部分重难专题突破专题5“倍半角”模型解决旋转变换问题
∠BAD＝∠EAF.∴ ∠EAG＝∠EAF.又∵ AE＝AE，∴
△AEG≌△AEF.∴ EG＝EF.∵ EG＝BE＋BG，∴ EF
＝BE＋DF.
（3） 如图③，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠ABC与∠D互补，点E，
1
F分别在射线CB，DC上，且∠EAF＝ ∠BAD.当BC＝4，CD＝7，CF＝1
的半角模型是90°含45°，120°含60°.
（1） 如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且
∠EDF＝45°，探究线段EF，AE，FC之间的数量关系.
小明的探究思路如下：如图①，延长BC到点M，使CM＝AE，连接
DM，先证明△ADE≌△CDM，再证明△DEF≌△DMF.小亮发现
2
时，△CEF的周长为 13 .
解：（3）解析：如图②，在DF上截取DM＝BE，连接AM.
∵ ∠ABC与∠D互补，
∴ ∠D＋∠ABC＝∠ABE＋∠ABC＝180°.
∴ ∠D＝∠ABE.∵ AD＝AB，∴ △ADM≌△ABE.
∴ AM＝AE，∠DAM＝∠BAE.
∵ ∠EAF＝∠BAE＋∠BAF＝∠DAM＋∠BAF＝ ∠BAD，
∵ ∠EAF＝ ∠BAD，∴ ∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF
＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴ ∠EAF＝∠GAF.
＝，
在△AEF和△AGF中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴ △AEF≌△AGF.∴ EF＝GF.
∵ GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴ EF＝BE＋DF.
解：（2） EF＝BE＋DF.如图①，延长EB到点G，使
BG＝DF，连接AG.∵ ∠ABC＋∠D＝180°，∠ABG＋
《用“倍半角模型”解题事半功倍》
1
则∠D= ∠DBA=
∠BAC=15°， 从而构造 15°角， 而且此 15°角恰好在
Rt△DBC中，故可求出tan15°=BC=1
DC
=2.
值得一提的是，既然∠D=15°，那么∠DBC=75°，从而用图 4 还可以
的概念容易得出BC
，可设BC=，CA=BA=1.过A作AD
AC22
图6
1
⊥BC于点D，由“三线合一”易知CD=
2
BC=
1
，且∠CAD=
4
∠BAC=18°，从而构造 18°
角，而且此18°角恰好在Rt△CAD中，故可求出sin18°没用到上述“倍半角模型”，但它们都体现出了数学解题中“联想机制”的重要作用.
求出 tan75°=
BC
=2.实际上tan15°与tan75°互为倒数关系.
另外，既然15°角构造出来了，如果继续同样地操作下去，还可以
构造出7.5°角等，这个系列不妨称为“30°系列”，从而其三角函数值均
可求，此处不再一一展开.图4
（二）22.5 度角
同理，如何计算tan22.5°的值呢？由22.5°角容易联想到45°角它们之间存在着“倍半”关系.如图5，先构造一个含40°角的Rt△ABC
⊙O于点E，交PA、PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD
2
如图 2，延长CA 至 D，使 AD=AB=c，连结 BD，构造出等
腰△ABD，则∠D=∠DBA=
，从而构造出角
2
，而且此角
2
恰好在Rt△DBC中，故可求出tan=
2
a
.
bc
倍角公式和半角公式课件
倍角公式的证明方法
01
02
03
04
证明倍角公式的方法有多种， 包括直接证明、反证法、数学
归纳法等。
直接证明是利用三角函数的定 义和性质，通过代数运算和恒
等变换来证明倍角公式。
反证法是通过假设倍角公式不 成立，然后推导出矛盾，从而
证明倍角公式成立。
数学归纳法是通过数学归纳法 的基本步骤，逐步推导倍角公
倍角公式和半角公式 课件
contents
目录
• 倍角公式介绍 • 倍角公式的推导与证明 • 半角公式介绍 • 半角公式的推导与证明 • 倍角公式和半角公式的比较与联系
01
倍角公式介绍
倍角公式的定义
定义
倍角公式是指利用三角函数的基 本关系，将一个角度的三角函数 值转化为两个相同或不同角度的 三角函数值的公式。
04
半角公式的推导与证明
半角公式的推导过程
半角公式是通过三角函数的和差化积公式推导出来的，通过对正弦、余弦函数进行 一系列的变形和运算，最终得到半角公式。
半角公式的推导过程需要运用三角函数的和差化积公式、二倍角公式以及三角函数 的周期性和奇偶性等基础知识。
在推导过程中，需要注意运算的准确性和逻辑的严密性，以确保最终得到的半角公 式是正确的。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
在使用倍角公式和半角公式时，需要注意公式的适用 范围和限制条件，以确保公式的正确性和有效性。
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举例
$sin
2alpha
=
2sinalphacosalpha$，$cos
初中数学半角模型
初中数学半角模型
在初中数学中，半角模型是一个非常重要的概念。
它是指一个角度的度数为45度，也就是说，这个角度是一个直角的一半。
半角模型在初中数学中的应用非常广泛，可以用来解决各种几何问题。
半角模型可以用来求解直角三角形的边长。
在一个直角三角形中，如果已知一个角度为45度，那么可以利用半角模型求出另外两个角度的度数，从而求出三角形的边长。
例如，如果已知一个直角三角形的一个角度为45度，另一个角度为30度，那么可以利用半角模型求出第三个角度的度数为90度，从而求出三角形的边长。
半角模型还可以用来求解正方形的对角线长度。
在一个正方形中，对角线的长度可以用勾股定理求解，但是如果已知一个角度为45度，那么可以利用半角模型求出正方形的对角线长度。
例如，如果已知一个正方形的一个角度为45度，那么可以利用半角模型求出正方形的对角线长度为边长的根号2倍。
半角模型还可以用来求解其他几何问题。
例如，在一个等腰直角三角形中，如果已知一个角度为45度，那么可以利用半角模型求出另一个角度的度数为45度，从而求出三角形的边长。
同样地，在一个菱形中，如果已知一个角度为45度，那么可以利用半角模型求出菱形的对角线长度为边长的根号2倍。
半角模型是初中数学中一个非常重要的概念，它可以用来解决各种
几何问题。
在学习初中数学时，我们应该认真掌握半角模型的概念和应用，以便更好地理解和应用数学知识。
2022年中考数学几何模型提升专题08 倍半角模型
专题08倍半角模型【模型解读】半角向外构等腰，倍角向内构等腰.【必备知识】等腰三角形与“倍半角”在等腰ABC △中，AB AC =，则2CAD B ∠=∠【模型建立】 （一）向外构造等腰,得到“半”角 如图，在直角三角形中，若tan a b θ=，则tan 2a b cθ=+已知“倍角”求“半角”，只需将该倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长，“等腰现，半角出”（二）向内构造等腰得到“倍”角如图，在Rt △的直角边上取点，向内构造等腰，设x ，在粉色Rt △中，由勾股定理可以解出x ，从而得到tan 2θ已知“半角”求“倍角”，只需在该半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段，“等腰现，倍角出”； 可以看出：由“倍”造“半”，极其容易，只需口算；由“半”造“倍”，相对麻烦，需要方程；【特殊“半角”】(一)15°角问题：如何计算tan15°的值呢?由15°容易联想到30°，它们之间存在着“倍半”关系；如图，先构造一个含30°角的Rt △ABC，设1,BC CA AB ===2，再延长CA 至D 使AD=AB=2，连接BD ，构造出等腰△ABD ，则115,2D BAC ︒∠=∠=故在Rt △DBC 中，有tan152BC DC ︒===(二)22．5°角 构造可得tan 22.5BC DC ︒==1= 而tan 67.51,tan 22.5DC BC︒︒==与tan67．5°互为倒数. ba x1D(三)“345”三角形①如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △BCE 三边比为1:即若3tan ,4BAC ∠=11tan tan 23E BAC ∠=∠=②如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △ACF 三边比为1:2即若4tan ,3ABC ∠=11tan tan 22F ABC ∠=∠=121D54B54F③如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △BCD 三边比为7：24：25，即若3tan ,4A ∠=则tan 24tan 27BDC A ∠=∠=记住这些常用的数据以及来龙去脉，对于解题来说，百利而无一害．【模型实例】1．如图，在正方形ABCD 中，1AB =，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，AE AF =，60EAF ∠=︒，则CF 的长是 ．2．如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ，若4AD cm =，则CF 的长为 cm ．3．如图，ABC ∆中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，8BD =，11AC =，则边BC 的长为 ．x43B4．如图，点A 在反比例函数(0)k y x x=<上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，C 为x 轴正半轴上一点，连接AC 交y 轴于点D ，3tan 4ACB ∠=，AO 平分CAB ∠，此时，8ABC S ∆=，则k 的值为 ．5．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，则CF 的长为 ．6．如图，AB 是O 的直径，C ，P 是AB 上两点，13AB =，5AC =，如图，若点P 是AB 的中点，求PA 的长；7．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分BAC ∠，AD 交BC 于点D ，ED AD ⊥交AB 于点E ，ADE ∆的外接圆O 交AC 于点F ，连接EF ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）求O 的半径r 及3∠的正切值．8．如图，BM 是以AB 为直径的O 的切线，B 为切点，BC 平分ABM ∠，弦CD 交AB 于点E ，DE OE =．（1）求证：ACB ∆是等腰直角三角形；（2）求证：2OA OE DC =；（3）求tan ACD ∠的值．9．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以CB 为半径作C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD ，BE ．（1）求证：ABD AEB ∆∆∽；（2）当43AB BC =时，求tan E ； （3）在（2）的条件下，作BAC ∠的平分线，与BE 交于点F ，若2AF =，求C 的半径．10．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧BC 的中点，BC 与AD 、OD 分别交于点E 、F ．（1）求证：//DO AC ；（2）求证：2DE DA DC ⋅=；（3）若1tan 2CAD ∠=，求sin CDA ∠的值．11．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐标；12．二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式；13．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =-++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得CDF ∆中的某个角恰好等于BAC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．15．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足2PAB ACO∠=∠．求点P的坐标；16．在平面直角坐标系中，直线122y x=-与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数212y x bx c=++的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，过点D作DM BC⊥于点M，是否存在点D，使得CDM∆中的某个角恰好等于ABC∠的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．专题08倍半角模型【模型解读】半角向外构等腰，倍角向内构等腰.【必备知识】等腰三角形与“倍半角”在等腰ABC △中，AB AC =，则2CAD B ∠=∠【模型建立】 （一）向外构造等腰,得到“半”角 如图，在直角三角形中，若tan a b θ=，则tan 2a b cθ=+已知“倍角”求“半角”，只需将该倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长，“等腰现，半角出”（二）向内构造等腰得到“倍”角如图，在Rt △的直角边上取点，向内构造等腰，设x ，在粉色Rt △中，由勾股定理可以解出x ，从而得到tan 2θ已知“半角”求“倍角”，只需在该半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段，“等腰现，倍角出”；可以看出：由“倍”造“半”，极其容易，只需口算；由“半”造“倍”，相对麻烦，需要方程；【特殊“半角”】(一)15°角问题：如何计算tan15°的值呢?由15°容易联想到30°，它们之间存在着“倍半”关系；如图，先构造一个含30°角的Rt△ABC，设1,BC CA AB===2，再延长CA至D使AD=AB=2，连接BD，构造出等腰△ABD，则115,2D BAC︒∠=∠=故在Rt△DBC中，有tan152BCDC︒===(二)22．5°角构造可得tan22.5BCDC︒==1=而tan67.51,tan22.5DCBC︒︒==与tan67．5°互为倒数.bax1D(三)“345”三角形①如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △BCE三边比为1:即若3tan ,4BAC ∠=11tan tan 23E BAC ∠=∠=②如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △ACF 三边比为1:2:即若4tan ,3ABC ∠=11tan tan 22F ABC ∠=∠=121D54B③如图，Rt△ABC三边比为3：4：5，Rt△BCD三边比为7：24：25，即若3 tan,4A∠=则tan24tan27 BDC A∠=∠=记住这些常用的数据以及来龙去脉，对于解题来说，百利而无一害．【模型实例】1．如图，在正方形ABCD中，1AB=，点E、F分别在边BC和CD上，AE AF=，60EAF∠=︒，则CF1．54Fx43B【解答】解：四边形ABCD 是正方形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，1AB BC CD AD ====，在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中， AE AFAB AD=⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt ADF(HL)∴∆≅∆，BAE DAF ∴∠=∠，60EAF ∠=︒， 30BAE DAF ∴∠+∠=︒， 15DAF ∴∠=︒，在AD 上取一点G ，使15GFA DAF ∠=∠=︒，如图所示，AG FG ∴=，30DGF ∠=︒， 1122DF FG AG ∴==，DG ，设DF x =，则DG ，2AG FG x ==， AG DG AD +=，21x ∴=，解得：2x =2DF ∴=，1(21CF CD DF ∴=-=-=；1-．2．如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE上的点G 处，折痕为AF ，若4AD cm =，则CF 的长为 (6- cm ．【解答】解：设BF x =，则FG x =，4CF x =-．在Rt ADE ∆中，利用勾股定理可得AE =．根据折叠的性质可知4AG AB ==，所以4GE =．在Rt GEF ∆中，利用勾股定理可得2224)EF x =+， 在Rt FCE ∆中，利用勾股定理可得222(4)2EF x =-+，所以22224)(4)2x x +=-+，解得2x =．则46FC x =-=-故答案为：(6-．3．如图，ABC ∆中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，8BD =，11AC =，则边BC 的长为【解答】解：延长BD 到F ，使得DF BD =， CD BF ⊥，BCF ∴∆是等腰三角形， BC CF ∴=，过点C 作//CH AB ，交BF 于点H 22ABD CHD CBD F ∴∠=∠=∠=∠， HF HC ∴=， //CH AB ，ABE CHE ∴∠=∠，BAE ECH ∠=∠， EH CE ∴=，EA EB =，AC BH ∴=，8BD =，11AC =，3DH BH BD AC BD ∴=-=-=， 835HF HC ∴==-=，在Rt CDH ∆，∴由勾股定理可知：4CD =，在Rt BCD ∆中，BC ∴==，故答案为：4．如图，点A 在反比例函数(0)ky x x=<上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，C 为x 轴正半轴上一点，连接AC 交y 轴于点D ，3tan 4ACB ∠=，AO 平分CAB ∠，此时，8ABC S ∆=，则k 的值为 6- ．【解答】解：设点A 纵坐标为m ，则点A 坐标为(km，)m ，作OE 垂直于AC 于点E ， AB m ∴=， 3tan 4AB ACB BC ∠==， 4433BC AB m ∴==， 21128223ABC S AB BC mBC m ∆∴=⋅===，解得m =或m =-)，AB ∴=，BC =，AC OE OB =，1111()82222ABC ABO AOC S S S AB BO AC OE BO AB AC BO ∆∆∆∴=+=⋅+⋅=+=⨯=，解得BO =∴点A 坐标为(，6k ∴==-．故答案为：6-．5．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，则CF 的长为 6-【解答】解：正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，2DE ∴=，AE ∴=ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，AG AE ∴==，2BG DE ==，34∠=∠，90GAE ∠=︒，90ABG D ∠=∠=︒，而90ABC ∠=︒，∴点G 在CB 的延长线上，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ， 12∴∠=∠，2413∴∠+∠=∠+∠，即GAF DAF ∠=∠， DAF AFG ∠=∠， GA GF ∴=，GF GA AE ∴===426CF CG GF ∴=-=+-=-故答案为6-6．如图，AB 是O 的直径，C ，P 是AB 上两点，13AB =，5AC =．如图，若点P 是AB 的中点，求PA 的长【解答】解：如图所示，连接PB ，AB 是O 的直径且P 是AB 的中点，45PAB PBA ∴∠=∠=︒，90APB ∠=︒，又在等腰三角形APB ∆中有13AB =，PA ∴． 7．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分BAC ∠，AD 交BC 于点D ，ED AD ⊥交AB 于点E ，ADE ∆的外接圆O 交AC 于点F ，连接EF ． （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求O 的半径r 及3∠的正切值．【解答】（1）证明：ED AD ⊥， 90EDA ∴∠=︒，AE 是O 的直径， AE ∴的中点是圆心O ，连接OD ，则OA OD =， 1ODA ∴∠=∠，AD 平分BAC ∠，21ODA ∴∠=∠=∠，//OD AC ∴，90BDO ACB ∴∠=∠=︒， BC ∴是O 的切线；（2）解：在Rt ABC ∆中，由勾股定理得，10AB ===， //OD AC ， BDO BCA ∴∆∆∽，∴OD OB AC AB =，即10610r r-=， 154r ∴=，在Rt BDO ∆中，5BD =， 853CD BC BD ∴=-=-=，在Rt ACD ∆中，31tan 262CD AC ∠===， 32∠=∠，1tan 3tan 22∴∠=∠=．8．如图，BM 是以AB 为直径的O 的切线，B 为切点，BC 平分ABM ∠，弦CD 交AB 于点E ，DE OE =．（1）求证：ACB ∆是等腰直角三角形； （2）求证：2OA OE DC =； （3）求tan ACD ∠的值．【解答】证明：（1）BM 是以AB 为直径的O 的切线，90ABM ∴∠=︒， BC 平分ABM ∠，1452ABC ABM ∴∠=∠=︒AB 是直径90ACB ∴∠=︒，45CAB CBA ∴∠=∠=︒ AC BC ∴=ACB ∴∆是等腰直角三角形；（2）如图，连接OD ，OCDE EO =，DO CO =EDO EOD ∴∠=∠，EDO OCD ∠=∠ EDO EDO ∴∠=∠，EOD OCD ∠=∠EDO ODC ∴∆∆∽∴OD DEDC DO=2OD DE DC ∴=2OA DE DC EO DC ∴==（3）如图，连接BD ，AD ，DO ，作BAF DBA ∠=∠，交BD 于点F ，DO BO =ODB OBD ∴∠=∠，2AOD ODB EDO ∴∠=∠=∠，453CAB CDB EDO ODB ODB ∠=∠=︒=∠+∠=∠，15ODB OBD ∴∠=︒=∠ 15BAF DBA ∠=∠=︒AF BF ∴=，30AFD ∠=︒ AB 是直径90ADB ∴∠=︒2AF AD ∴=，DF =2BD DF BF AD ∴=++tan tan 2AD ACD ABD BD ∴∠=∠===-9．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以CB 为半径作C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD ，BE ． （1）求证：ABD AEB ∆∆∽； （2）当43AB BC =时，求tan E ； （3）在（2）的条件下，作BAC ∠的平分线，与BE 交于点F ，若2AF =，求C 的半径．【解答】解：（1）90ABC ∠=︒， 90ABD DBC ∴∠=︒-∠，由题意知：DE 是直径， 90DBE ∴∠=︒， 90E BDE ∴∠=︒-∠， BC CD =， DBC BDE ∴∠=∠，ABD E ∴∠=∠， A A ∠=∠， ABD AEB ∴∆∆∽；（2）:4:3AB BC =，∴设4AB =，3BC =，5AC ∴==， 3BC CD ==，532AD AC CD ∴=-=-=，由（1）可知：ABD AEB ∆∆∽，∴AB AD BDAE AB BE==，2AB AD AE ∴=， 242AE ∴=，8AE ∴=，在Rt DBE ∆中 41tan 82BD AB E BE AE ====；（3）过点F 作FM AE ⊥于点M ， :4:3AB BC =，∴设4AB x =，3BC x =，∴由（2）可知；8AE x =，2AD x =，6DE AE AD x ∴=-=，AF 平分BAC ∠，∴BF ABEF AE =， ∴4182BF x EF x ==， 1tan 2E =，cos E ∴=，sin E =，∴BE DE =，BE ∴=，23EF BE ∴==，sin MF E EF ∴=， 85MF x ∴=，1tan 2E =， 1625ME MF x ∴==， 245AM AE ME x ∴=-=，222AF AM MF =+，222484()()55x x ∴=+，x ∴C ∴的半径为：3x =．另解：由上述知1tan 3FMFAM AM∠==， BC DC CE ==，35BC AC =， ::2:3:3AD DC CE ∴=，1tan 2FME ME∠==， 设FM a =，则3AM a =，2ME a =， 5AE a ∴=，31588DC AE a ∴==，由勾股定理可知：AF =，2AF =，a ∴=DC ∴=10．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧BC 的中点，BC 与AD 、OD 分别交于点E 、F ． （1）求证：//DO AC ； （2）求证：2DE DA DC ⋅=； （3）若1tan 2CAD ∠=，求sin CDA ∠的值．【解答】解：（1）因为点D 是弧BC 的中点， 所以CAD BAD ∠=∠，即2CAB BAD ∠=∠， 而2BOD BAD ∠=∠， 所以CAB BOD ∠=∠， 所以//DO AC ； （2）CD BD =，CAD DCB ∴∠=∠， DCE DAC ∴∆∆∽，2CD DE DA ∴=⋅；（3）1tan 2CAD ∠=，连接BD ，则BD CD =，DBC CAD ∠=∠，在Rt BDE ∆中，1tan 2DE DE DBE BD CD ∠===， 设：DE a =，则2CD a =， 而2CD DE DA =⋅，则4AD a =， 3AE a ∴=，∴3AEDE=， 而AEC DEF ∆∆∽，即AEC ∆和DEF ∆的相似比为3， 设：EF k =，则3CE k =，8BC k =， 1tan 2CAD ∠=， 6AC k ∴=，10AB k =，3sin 5CDA ∴∠=．11．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐标；【解答】解：（1）在122y x =-+中，令0y =，得4x =，令0x =，得2y =(4,0)A ∴，(0,2)B把(4,0)A ，(0,2)B ，代入212y x bx c =-++，得2116402c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++ （2）如图，过点B 作x 轴得平行线交抛物线于点E ，过点D 作BE 的垂线，垂足为F//BE x 轴，BAC ABE ∴∠=∠ 2ABD BAC ∠=∠，2ABD ABE ∴∠=∠即2DBE ABE ABE ∠+∠=∠DBE ABE ∴∠=∠DBE BAC ∴∠=∠设D 点的坐标为213(,2)22x x x -++，则BF x =，21322DF x x =-+tan DF DBE BF ∠=，tan BO BAC AO∠= ∴DF BO BF AO=，即2132224x xx -+= 解得10x =（舍去），22x = 当2x =时，2132322x x -++=∴点D 的坐标为(2,3)12．二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ． （1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式；【解答】解：（1）二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴2(4)(4)4040a b a b ⎧⋅-+⋅-+=⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=-⎩，∴该二次函数的表达式为234y x x =--+；（2）如图，设BP 与y 轴交于点E ， //PD y 轴， DPB OEB ∴∠=∠， 2DPB BCO ∠=∠， 2OEB BCO ∴∠=∠， ECB EBC ∴∠=∠，BE CE ∴=，令0x =，得4y =， (0,4)C ∴，4OC =，设OE a =，则4CE a =-， 4BE a ∴=-，在Rt BOE ∆中，由勾股定理得：222BE OE OB =+，222(4)1a a ∴-=+， 解得：158a =， 15(0,)8E ∴， 设BE 所在直线表达式为(0)y kx e k =+≠， ∴150810k e k e ⎧⋅+=⎪⎨⎪⋅+=⎩， 解得：158158k e ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BP 的表达式为151588y x =-+； 13．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =-++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得CDF ∆中的某个角恰好等于BAC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得(4,0)A -，(0,2)C ， 抛物线212y x bx c =-++经过A 、C 两点，∴1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩， ∴322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 213222y x x ∴=--+；（2）(4,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，AC ∴=，BC ，5AB =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∴∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，3(2P ∴-，0)，52PA PC PB ∴===， 2CPO BAC ∴∠=∠， 4tan tan(2)3CPO BAC ∴∠=∠=， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：如图，2DCF BAC DGC CDG ∴∠=∠=∠+∠， CDG BAC ∴∠=∠， 1tan tan 2CDG BAC ∴∠=∠=， 即12RC DR =， 令213(,2)22D a a a --+，DR a ∴=-，21322RC a a =--，∴2131222a aa --=-， 10a ∴=（舍去），22a =-， 2D x ∴=-，情况二，2FDC BAC ∴∠=∠， 4tan 3FDC ∴∠=， 设4FC k =，3DF k ∴=，5DC k =，31tan 2k DGC FG ∠==， 6FG k ∴=，2CG k ∴=，35DG k =，25RC k ∴=，45RG k =， 4511535DR k k k =-=， ∴21155132522kDR a RC a ak -==--，10a ∴=（舍去），22911a =-， 点D 的横坐标为2-或2911-．14．如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【解答】解：（1）当0x =时，55y x =-=-，则(0,5)C -， 当0y =时，50x -=，解得5x =，则(5,0)B ，把(5,0)B ，(0,5)C -代入26y ax x c =++得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为265y x x =-+-；（2）作AN BC ⊥于N ，NH x ⊥轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于1M ，交AC 于E ，如图， 11M A M C =，11ACM CAM ∴∠=∠， 12AM B ACB ∴∠=∠，ANB ∆为等腰直角三角形， 2AH BH NH ∴===，(3,2)N ∴-，易得AC 的解析式为55y x =-，E 点坐标为1(2，5)2-，设直线1EM 的解析式为15y x b =-+，把1(2E ，5)2-代入得15102b -+=-，解得125b =-，∴直线1EM 的解析式为11255y x =--， 解方程组511255y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则113(6M ，17)6-；在直线BC 上作点1M 关于N 点的对称点2M ，如图2，则212AM C AM B ACB ∠=∠=∠，设2(,5)M x x -， 13632x +=， 236x ∴=， 223(6M ∴，7)6-， 综上所述，点M 的坐标为13(6，17)6-或23(6，7)6-．15．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接AC ，点P 在抛物线上，且满足2PAB ACO ∠=∠．求点P 的坐标；【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)A ，(0,3)C - ∴10003b c c ++=⎧⎨++=-⎩解得：23b c =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的函数表达式为223yx x =+-（2）①若点P 在x 轴下方，如图1，延长AP 到H ，使AH AB =，过点B 作BI x ⊥轴，连接BH ，作BH 中点G ，连接并延长AG 交BI 于点F ，过点H 作HI BI ⊥于点I 当2230x x +-=，解得：13x =-，21x = (3,0)B ∴- (1,0)A ，(0,3)C -1OA ∴=，3OC =，AC ==4AB = Rt AOC ∴∆中，sin OA ACO AC ∠==，cos OC ACO AC ∠==AB AH =，G 为BH 中点AG BH ∴⊥，BG GH =BAG HAG ∴∠=∠，即2PAB BAG ∠=∠2PAB ACO ∠=∠ BAG ACO ∴∠=∠Rt ABG ∴∆中，90AGB ∠=︒，sin BG BAG AB ∠=BG ∴==2BH BG ∴= HBI ABG ABG BAG ∠+∠=∠+∠=︒ HBI BAG ACO ∴∠=∠=∠Rt BHI ∴∆中，90BIH ∠=︒，sin HI HBI BH ∠=cos BI HBI BH ∠==45HI ∴==，125BI = 411355H x ∴=-+=-，125H y =-，即11(5H -，12)5-设直线AH 解析式为y kx a =+ ∴0111255k a k a +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩解得：3434k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴直线33:44AH y x =-2334423y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点)A ，22943916x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩9(4P ∴-，39)16-；②若点P 在x 轴上方，如图2，在AP 上截取AH AH '=，则H '与H 关于x 轴对称 11(5H '∴-，12)5设直线AH '解析式为y k x a ''=+ ∴0111255k a k a ''+=⎧⎪⎨''-+=⎪⎩解得：3434k a ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ∴直线33:44AH y x '=-+2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点)A ，221545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩15(4P ∴-，57)16． 综上所述，点P 的坐标为15(4-或9(4-，39)16-．解法二：在y 轴上取一点T ，是的AT CT =，则ACT TAC ∠=∠， 2ATO TAC ACT ACT ∴∠=∠+∠=∠，设OT t =，则3AT CT t ==-， 在Rt AOT ∆中，则有2221(3)t t +=-， 43t ∴=，即43OT =， ①当P 在y 轴的正半轴上时，过点A 作1AK AT ⊥交y 轴于1K ， 由OAT ∆∽△1OK A 得到OK OAOA OT=， 134OK ∴=， 13(0,)4K ∴，∴直线1AK 的解析式为3344y x =-+， 由2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或1545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即115(4P -，57)16． 当2K 在y 轴的负半轴上时，根据对称性可知23(0,)4K -，∴直线2AK 的解析式为3344y x =-， 由2334423y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或943916x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即29(4P -，39)16-．16．在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数212y x bx c =++的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式；（2）如图过点D 作DM BC ⊥于点M ，是否存在点D ，使得CDM ∆中的某个角恰好等于ABC ∠的2倍？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把0x =代122y x =-得2y =-， (0,2)C ∴-．把0y =代122y x =-得4x =， (4,0)B ∴，设抛物线的解析式为1(4)()2y x x m =--，将(0,2)C -代入得：22m =-，解得：1m =-，(1,0)A ∴-．∴抛物线的解析式1(4)(1)2y x x =-+，即213222y x x =--． （2）如图所示：过点D 作DR y ⊥垂足为R ，DR 交BC 与点G ．(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C -，AC ∴BC =，5AB =，222AC BC AB ∴+=， ABC ∴∆为直角三角形．取AB 的中点E ，连接CE ，则CE BE =， 2OEC ABC ∴∠=∠． 4tan 3OC OEC OE ∴∠==． 当2MCD ABC ∠=∠时，则1tan tan 2CDR ABC ∠=∠=．设213(,2)22D x x x --，则DR x =，21322CR x x =-+．∴2131222x xx -+=，解得：0x =（舍去）或2x =． ∴点D 的横坐标为2．当2CDM ABC ∠=∠时，设3MD k =，4CM k =，5CD k =． 1tan 2MGD ∠=， 6GM k ∴=，GD =， 2GC MG CM k ∴=-=，GR ∴=，CR =．RD ∴==．∴21322x x CR DR x -+==21129022x x -+=，解得：0x =（舍去）或2911x =． ∴点D 的横坐标为2911． 综上所述，当点D 的横坐标为2或2911．。
【模型导学】细解倍角含半角模型，举例说明其应用
【模型导学】细解倍角含半角模型，举例说明其应用“倍角含半角模型”（也称半角模型），是中考中最常见的题型之一。
因为其内容丰富，变换灵活，所以具有一定的难度。
虽然网络上对于“倍角含半角模型”的文章比较多，但仅仅是对某一具体的模型挖掘的比较透彻——尤其是对“90°含45°模型”挖掘的比较透彻，但对于“倍角含半角模型”的一般情况研究的不多，且对于“倍角含半角模型”和“对角互补模型”之间的关系研究不多。
方法是利器，思想是灵魂。
本文尝试运用“从特殊到一般的思想”和“从一般到特殊思想”来研究下“倍角含半角模型”。
重点研究“倍角含半角模型”的由来及应对策略，以期建立通法通解，并揭示“倍角含半角模型”与“对角互补模型”的关系。
关于“90°含45°半角模型”及“对角互补模型”的相关内容，请大家自己百度，不是本文重点讲述内容。
基本模型一：等腰三角形顶角之半角例1、如图1，已知正△ABC中，BD=CE=2，∠DAE=30°，求DE；解析：如图2，∵△ABC为正三角形，且BD=CE=2，易想到三线合一，作BC边上的高AF，则FB=FD。
设FD=FE=x，则FB=FC=x+2,AB=AC=2x+4,AF=√3（x+2）.如果能够建立关于x的方程，即可求解。
显然，此时还不能构造方程——思路受阻！观察到题目中∠DAE=30°还没有用到，显然，∠BAD=∠DAF=∠FAE=∠EAC=15°。
如图3，作DM⊥AB于M，则易证△MAD≌△FAD，则DM=DF。
因为BD=2，∠B=60°，则易知BM=1，则DM=DF=FE=√3，则DE=2√3。
例2、如图4，已知正△ABC中，BD=1，CE=3，∠DAE=30°，求DE；解析：这道题目，由于BD≠EC，大家可以尝试一下，仿照例1的方法好像已经行不同了。
那么我们必须寻找别的思路。
如图5，把△ABD以AD所在直线为对称轴折叠到△ADM的位置，连接ME。
倍角和半角公式PPT课件
一、素称发达的官营手工业
1、官营手工业的特点
历史悠久、 素称发达
材料一：继发现我国最早的道路网、最早的宫城之后，在位 于河南省偃师市的二里头遗址内，考古工作人员又在宫城附 近发现了我国最早的官营手工业作坊区，其中的绿松石器制 造作坊是迄今东亚地区发现的唯一一处。
——浙江在线新闻网站
倍角、半角公式 及三角函数的 积化和差与和差化积
复习目标： 1.掌握倍角、半角公式，并能用这些公式 进行简单三角函数式的化简、求值和证明 恒等式。 2.了解积化和差，和差化积公式的推导过 程。初步运用公式进行和积互化。进行简 单的三角函数求值、化简、证明。
题型一：求三角函数值
问题：求非特殊角的三角函数值的基 本思路是什么呢？
答：将非特殊角化为特殊角，不 能化成特殊角的经过化简后抵消 或约分.
题型二：求角
合作探究：（5分钟） 要求：1.通过小组合作，达成共识，总结 应该注意的问题，准备展示与点评。
2.合作完成两个小问题。
合作探究：
1.如何解决给值求角问题？
答：转化为先求角的某个三角函数值， 再求出角。 2.求角时应注意的问题是什么？
布置作业：
请同学们根据自己的不同情况， 课后选择性的完成A案中的内容。
青州二中 王明华
新课标人教版课件系列
《高中历史》
必修2
第二课 古代手工业的进步
教学目 标
• 课标要求： • 1、知识目标：列举古代中国手工业发展的基本史
实，认识古代中国手工业发展的特征。
• 2、情感态度与价值观方面：
• 让学生认识在人类发展进程中，经济活动是人类 赖以生存和发展的基础，它与社会生活息息相关， 并在社会政治、文化的发展中起决定作用。了解 自古以来中外经济的发展和社会生活的变迁，以 及人类为发展社会经济、改善生活所做出的努力， 进一步加深对人类社会发展进程中经济和社会生 活领域的认识。
高一数学倍角公式和半角公式知识精讲
高一数学倍角公式和半角公式【本讲主要内容】倍角公式和半角公式（正弦、余弦、正切）【知识掌握】 【知识点精析】1. 倍角公式：二倍角公式sin sin cos ()cos cos sin ()cos sin tan tan tan ()222211222122222222αααααααααααααα==-=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪S C T注意：①公式T 2α只有当αππαππ≠+≠+∈k k k Z 242和()才成立； ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它只要两个角有二倍的关系，如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是32α的二倍等等都可以用二倍角公式。
例如：cos cos sin sin cos sin αααααα3663312622=-=， 12242151153022-=-=sin cos tan tan tan αα，°°°③熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）④注意公式的变形应用与逆用。
特别是公式：cos cos sin 2211222ααα=-=-可变形为cos cos sin cos 22122122αααα=+=-，，两式相除得tan cos cos 21212ααα=-+，这样就得到了降幂公式。
降幂公式sin cos cos cos tan cos cos 2221221221212ααααααα=-=+=-+⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪升幂公式cos cos sin cos sin 221122222ααααα=-=-=-⎧⎨⎪⎩⎪2. 半角公式：()()半角公式，，sin cos cos cos tan cos cos sin cos cos sin ααααααααααππαααπααα212212*********=±-⎛⎝ ⎫⎭⎪=±+⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+≠+∈=-≠∈⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪S C T k k Z k k Z 注意：①应用半角公式时，要特别注意根号前的符号，它是由α2所在象限的三角函数符号确定。
半角模型12个结论，你知道几个？
半⾓模型12个结论，你知道⼏个？坚持是⼀种品质，优秀是⼀种习惯；不忘初⼼，成就学⽣梦想；为孩⼦们节约更多的时间成本。
初中的学习⽣活很短，也很有意义；希望能够陪着你慢慢成长，畅游知识海洋。
⽂章说明半⾓模型（也叫⾓含半⾓模型）应该是初中阶段⼏何模型中（初中阶段⼏何模型共有9个经典模型，以后我们都会慢慢介绍到），这个算是⽐较经典模型。
不好意思让同学们期待了这么久，今天我就把半⾓模型的相关结论加以总结，送给各位同学。
下⾯我会根据⼀道题逐⼀介绍可以得到的结论.【条件】在正⽅形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满⾜∠EAF=45°，AE、AF分别与对⾓线BD交于点M、N.1结论分类证明第1个结论：BE+DF=EF这个是半⾓模型中最基本的结论了，估计也记烂了~~将△ABE逆时针旋转90°，与△ADE'重合∵AE=AE' ∠EAF=∠E'AF=45° AF=AF∴△EAF ≌△E'AF（SAS）∴EF=E'F=DE'+DF∴BE+DF=EF第2个结论：S△ABE+S△ADF=S△AEF注：这个证明省略····第3个结论：AH=AD第4个结论：△CEF的周长=2倍的边长=2AB注：这个证明省略····第5个结论：当BE=DF时，△CEF的⾯积最⼤（证明如下）对于这个结论，也可以换⼀个说话法，就是△CEF⾯积最⼤。
第6个结论：BM 2+DN 2=MN 2注：这个证明省略····第7个结论：存在多组三⾓形相似注：这5组三⾓形相似也可以利⽤“相似△的传递性”去证明更快。
第8个结论：EA和FA是△CEF的2个外⾓平分线注：图1-16（第2幅图）证明同理可证，故在此省略。
第9个结论：4组共圆问题注：通过证明得到4点共圆，那么就可以推出其他的很多结论~~~第10个结论：△ANE和△AMF是等腰直⾓注：这个证明省略····第11个结论：MN与EF的数量关系第12个结论：△AEF的⾯积=2倍△AMN的⾯积2同类题型训练经典例题1经典例题2课后总结今天分享的内容⽐较重要，希望同学们能够及时总结复习，这样对我们学习半⾓模型有很多的意义。
高数—二倍角与半角的余弦、正弦和正切教师版
【答案】 证明：由 3sin2 1 2sin2 得 3sin2 cos 2 ……①
由 3sin 2 2sin 2 得 3sin cos sin 2 ……② , 都是锐角
①②得 sin cos 2 cos cos 2 sin sin 2 0 cos sin 2
22
2
二、半角公式和万能公式
（一）知识精讲
sin 1 cos ； cos 1 cos ； tan 1 cos
2
2
2
2
2 1 cos
（ tan sin 1 cos ） 2 1 cos sin
2 tan
1 tan2
2 tan
13
5
【难度】★★
【答案】∵ 0 π ，∴ cos 1 sin2 5 ．
2
13
又∵ 0 π ， 0 π ，∴ 0 ．若 0 π ，
2
2
2
∵ sin( ) sin ，∴ 不可能．故 π ．∴ cos( ) 3 ．
3 / 24
【难度】★★
【答案】 a b 1 ab
【例 8】（1）已知 sin 5 , ( , ) ，求 sin 2 ， cos 2 ， tan 2 的值；
13
2
（2） tan 1 , 则cos 2
；
2
（3）若 cos 48 a , 则sin 2004 的值是
0,
2
，则
sin
.
7 / 24
【难度】★★
【答案】 sin 4 2 . 9
倍半角模型之强方法
倍半角模型【倍半角的识别】(1)大角内部有一小角，且小角角度是大角角度的一半.(2)大角的两边相等，保证旋转之后边能够完全重合。
(3)大角两边与其他两边形成的两个角互补，保证旋转之后的两个三角形两边能在同一直线.上【目标问题】1.共顶点的两个角，大角是较小角的2倍（较小角是大角的一半），大角的两边相等，这是共顶点倍半角模型的基本特征。
如果在图形中发现这一特征信息，就可以利用旋转或对称的办法，进行角度的加（减）组合，构造出新的等角关系，进而借助三角形全等解决问题。
2.在倍半角关系模型中，有时会遇到非共顶点的倍半角关系，其基本解题策略是通过构造等腰三角形或是对称、翻折等方法“化不等量为等量”，将倍半角关系转化为等角关系进一步求解。
一、倍半角关系模型之共顶点倍半角：（一）背景是等腰（直角）三角形或等边三角形例1如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=900,D,E为AB边上两点，且∠DCE=450，若AD=2，BE=1,则DE=【方法提炼】已知∠ACB=900，∠DCE=450,关注信息∠ACD+∠BCE=∠DCE，CA=CB,利用“截大、补小”的转化策略构造等角，将∠ACD+∠BCE=∠DCE这一条件信息转化为两角相等问题，借助三角形全等进一步转化等量关系。
此题有“旋转”和“对称”两种解法.【方法应用】如图，∠ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交边AB、AC于M、N两点，连接MN，完成下列各题：(1) 若MN//BC，请写出线段BM、MN、NC之间的数量关系，不要求证明。
(2) 如图2，若MN与BC不平行，其他条件不变，试问（1）中线段BM、MN、NC之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由。
(3) 若点M、N分别是边AB、CA延长线上的点，其他条件不变，探究线段BM、MN、NC之间的数量关系，并加以证明。
（二）背景是正方形例2如图①,已知在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=450.求证:EF=BE+DF如图②,已知在正方形ABCD中,若点E在CB的延长线上,点F在DC的延长线上,∠EAF=450试判断线段BE,DF,EF 之间的关系,并证明.①②【方法提炼】发现“共顶点倍半角”模型，可以将∠ADF绕点A顺时针旋转900，得到∠ABG，由旋转的性质及∠EAF=450，可得∠EAF=∠GAE，从而证明∠AEF∠∠AEG，从而证出（1）的结论，类比上述方法得出（2）的结论【方法应用】1、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M,N．（1）当∠MAN绕点A旋转到如图1的位置时，求证：BM+DN=MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样数量关系呢？并对你的猜想加以说明．(三)与抛物线结合例3如图,抛物线y=ax2+bx+4过A(2,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,过点C作x轴的平行线与抛物线的另一交点为(1)求抛物线的函数解析式和∠ACB 的正切值;(2)若∠ACP=45°,求m 的值【方法提炼】由已知信息“∠ACP=45°”入手，注意到∠OCD=90°,联想到“共顶点倍半角”模型，过点B 作BM ⊥CD 于点M ，交CP 于点N ，发现正方形BOCM ，连接AN 。
初中数学九大几何模型-半角模型、二倍角模型、倍长中线模型
初中数、复杂、多变性质的几何内容进行分类划分、定性的重要手段。也是将解决几何问题的几种数学思想一一定位、一一对号入座的最佳方法。是学生能够轻松学习几何的捷径。
从繁琐复杂的多变题库中，抽取、剥离出同类几何问题，进行数学建模，研究出一种针对该种问题的特定解决方法是数学界、教育界一直以来所致力的方向。，
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倍半角模型知识精讲
一、二倍角模型处理方法
1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.
例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.
2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.
例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.
例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90º.
【解答】见解析
【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D.
则∠ACE＝∠A，AE＝CE，
∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC，
又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90º；
【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE. 由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90º，
∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D，
∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD，
又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90º.
【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE. ∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E，
又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90º.
二、倍半角综合
1. 由“倍”造“半”
已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.
如图，若，则（）
2. 由“半”造“倍”
已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.
如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.
三、一些特殊的角度
1. 由特殊角30º求tan15º的值
如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，
.
2. 由特殊角45º求tan22.5º的值
由图可得，.
3. “345”三角形
（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；
（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；
（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，
则.。