高等流体力学第2讲
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线性尺度效应的微小的流体团。
设流体微团的中心的速度为 v ，则与其相距为d s点的速度差为：
u u u
du
x
y
z
dx
dv
dv
dw
v x w
v y w
v z w
dy dz
x
u x
xt
净伸长为： u xt x
u ---- 代表线段ab在运动过程中在x方向的线性变形率； x
v ---- 代表线段ab在运动过程中在y方向的线性变形率； y
w ---- 代表线段ab在运动过程中在z方向的线性变形率。 z
1 u
2
y
v
x
x y z
上式的三阶方阵是一个二阶微分张量， 它可以分解为一个对称张量和一个反对称张量，即：
u u u
x
y
z
v
x
v y
v z
w w w
x y z
u
x
f (x,t t) f (x,t)d0
01
01
t
f t
t t
d 0
0 (t)
03
0 (t t)
02 01
A02
dA0 n
A01
dA0 vt
03
vt
n
以d A0表示A01 、 A02面上某一微元体积，
[ f t
( f
v )]
d
广义高斯公式
如果
A
是空间体积
的封闭曲线，物理量
a
或
在
和 A 上一阶偏导数连续，则有以下体积分和面积分
的等式：
a
d
n
adA
A
d ndA
A
a
d
n
w
z
D 变形张量 ij
0
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
1 2
u y
v x
0
1 2
v z
w y
1 2
u z
w x
02 01
由图中可知，时间间隔 t内， 经过此微元面积流出的流体体积，
必定近似充满在以d A0为基底
而其棱边为向量
vt
的柱形体积内，
此微元体积为
(v
n)tdA0
A02
方程（1）右端的第二个积分：
f (x,t t) d0
dA0 n
02
f (x,t t)(v n)tdA0
---- 旋涡运动 （rotational flow），亦称涡运动
0
---- 无旋运动 （irrotational flow），或称无涡运动，
0 亦称势运动（potential flow）
判断流体是无旋运动还是旋涡运动， 应根据流体微团本身是否旋转，而与微团运动的轨迹并无关系。
在图（ a ） 中，虽然流体微团运动轨迹是圆形， 但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动； 在图（ b ）中，虽然流体微团运动轨迹是直线， 但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
1 2
v z
w y
0
角速度张量 或转动张量
Rij
各元素的物理含义：
u x ：x方向线段ab， 经过 t 时间后，
u
x
a和b运动到新的位置， ab的长度变为：
u u x x
x
u
u x
x
t
ut
的涡通量为常数，可以表征涡管内旋涡的强弱，
称之为涡管强度。
速度环量 ---- 速度沿封闭曲线的积分。
I 01
t
f t
t t
d 0
f (x,t t)(v n)tdA0 f (x,t)(v n)tdA0
A0 1
A0 2
由系统导数的定义 DI lim I Dt t0 t
A01
A02
0 (t t)
----
代表角变形率
变形张量 Dij 中其它非对角元素也具有类似的意义。
Rij中的元素代表质点象刚体一样运动时的旋转角速度分量。
一个刚体绕坐标原点作角速度为x， y ， z 的旋转运动时， 则刚体上的坐标为 x， y ， z的任一点的速度分量为：
y
u
y o
2 1
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
1 2
u y
v x
v y
1 2
v z
w y
1 2
u z
w x
1 2
v z
w y
在 t 时刻， = 0 ，相应的表面A = A0
0( t )内的各流体质点，经过时间 t 后，
已处在 A0 (t t) 面所包围的体积 0 (t t) 之内。
01 0 0 02 0 01 03 0 01
A01表示 01与02的交接面，A02 A0 A01 A'02表示 01与03的交接面，A01 A0 A02
当 t 0,01 0 ，
0 (t)
且在t 时刻 = 0 ( t ) , A = A0 ( t )
A A0 (t) 01
DI Dt
f d
t
A
f
v ndA
系统导数的欧拉法表示式
DI Dt
f d
t
A
f
v ndA
涡管里面绕同一旋转轴旋转着的流体称为涡束或涡丝。
涡通量 ---- 在流场中的某一开口曲面A，其面积分
I ndA
A
称为过曲面A的涡通量。
I > 0 称为流出曲面的涡通量； I < 0 称为流入曲面的涡通量。
涡管强度 ---- 对于流场中某时刻的涡管，涡管中任一横截面上
I 对于时间的变化率称为系统导数
DI D Dt Dt
0
fd 0
如何将系统导数转换成适合于控制体的形式？
A01
A02 A01
A02
0 (t t)
在 t 时刻取系统体积0 ，
0 (t)
同时以它所占的空间作为控制体 。
02
03 A A0 (t) 01
四、输运定理（transport theorem）
---- 系统导数
A0 (t)
0 (t)
任取一个体积为 0 (t) ，表面为 A0 (t) 的系统。
定义系统的某种物理量 I (t) f (x,t) d 0
0
其中 f (x, t) 可以是空间坐标及时间的标量或向量函数。
I 表示 t 时刻该系统物理量 f 的总和。
这正是转动张量Rij中各元素的表达式。
旋转角速度的二倍， 2 叫作涡量。
柯西—海姆霍兹速度分解定理： 流体微团运动是由平动、变形（包括线变形和 角变形）和旋转三种运动构成的。
六、 迹线与流线
迹线 ---- 流体质点运动的轨迹。 Lagrange法描述
x x(a,b, c,t) y y(a,b, c,t) z z(a,b, c,t)
这就是质点迹线的参数方程。从中消去 t ，并给定(a, b, c)值， 就可得到以x、y、z表示的某流体质点(a, b, c)的迹线。
迹线给出了同一质点经过的路径及其在不同位置时的速度方向。
Euler 法描述
dx udt
dy
vdt
dz wdt
这就是质点迹线的微分方程。
流线 ---- 在同一时刻，该曲线上任一点的切线方向与
其方向的正负按右手法则确定。
在流场中，涡量是位置和时间的函数
(x, y, z,t)
如同流速场描述流体质点的运动情况， 涡量场则描述流体微团的旋转情况。
涡线 ---- 在同一时刻，该曲线上任一点的切线方向与 流体在该点的涡矢量方向一致。
涡线一般不与流线重合，但相交
流线 涡线
涡线的微分方程与流线的微分方程类似
f
(
x,
t
)
d
0
01
f (x,t t) d0 f (x,t) d0
（1）
02
03
对方程（1）右端进行改造，由微分中值定理知：
f
(x,t
t)
f
(x,t)
t
f
, 0 1
t tt
方程（1）右端的第一个积分：
表示式右端的面积分表示物理量 f 在控制面上的输运量，
故此表达式称为输运定理。
第一项表示单位时间内，控制体 中所含物理量 fd 的增量， 它是由于流场的不定常性引起的；
第二项表示单位时间内，通过控制面A流出的相应物理量，
它是由于流场的不均匀性引起的。
利用散度定理，输运定理可表示成
DI Dt
流体力学中多采用涡量（vorticity）来描述流体微团的旋转。
涡量 —— 旋转角速度的二倍。
2
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
v rot v
涡量是矢量，它与旋转的平面垂直，
dx dy dz x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
涡面 ---- 在涡量场中任取一条非涡线的曲线， 过该曲线上的每一点作同一时刻的涡线构成的曲面。
涡管 ---- 在涡量场中任取一条非涡线的闭合曲线， 过该曲线上的每一点作同一时刻的涡线构成的管状曲面。
adA
A
式中
n
为微元曲面
d
A
的外法向单位向量。
散度定理 梯度定理 旋度定理
五、 柯西—海姆霍兹（Cauchy-Helmholtz）速度分解定理
流体与刚体不一样，它在运动中是可以变形的。 现在来追随一个流体微团来看它在运动过程中的情况。 流体微团与流体质点是两个不同的概念。 • 在连续介质中流体质点是可以忽略线性尺度效应 （如膨胀、变形、转动等）的最小单元； • 流体微团则是由大量流体质点所组成的具有
0 (t t)
I 在时间间隔示 t 内 的增量为
0 (t)
02
I I (t t) I (t)
03
01
f (x,t t) d0 f (x,t) d0
01 02
01 03
f
(x,t
t)
式中的时间 t 是作为常数来处理的参数
流管 ---- 在流场中任取一条非流线的闭合曲线， 在同一时刻经过该曲线上每一点的流线所组成的曲面 称为流面，这个流面包围的体积称为流管。
流管是处理管流问题时常常采用的流体力学模型。
七、 涡量与环量
根据 Cauchy-Helmholtz 速度分解定理 ， 我们可以把自然界和工程实际中的流动分为两大类型：
流体在该点的速度方向一致。
流线给出了同一时刻不同流体质点的速度方向。
根据此定义，可得流线方程：
v dr 0
r
---- 空间某点的向径；dr ----
流线切线方向的微元向量
直角坐标系中，流线微分方程可写成：
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
A0 1
A01
dA0 vt
vt n
03
02 01
A01
方程（1）右端的第三个积分：
A02
vt
f
(x,t)
d 0
03
f (源自文库,t)(v n)tdA0
dA0
n
vt
dA0 n
03
02 01
A0 2
I 在时间间隔示 t 内 的增量可改写为
v
u y z z y v z x x z x w x y y x
对上式针对x， y ， z 求解得：
x
1 2
w y
v z
y
1 2
u z
w x
z
1 2
v x
u y
设流体微团的中心的速度为 v ，则与其相距为d s点的速度差为：
u u u
du
x
y
z
dx
dv
dv
dw
v x w
v y w
v z w
dy dz
x
u x
xt
净伸长为： u xt x
u ---- 代表线段ab在运动过程中在x方向的线性变形率； x
v ---- 代表线段ab在运动过程中在y方向的线性变形率； y
w ---- 代表线段ab在运动过程中在z方向的线性变形率。 z
1 u
2
y
v
x
x y z
上式的三阶方阵是一个二阶微分张量， 它可以分解为一个对称张量和一个反对称张量，即：
u u u
x
y
z
v
x
v y
v z
w w w
x y z
u
x
f (x,t t) f (x,t)d0
01
01
t
f t
t t
d 0
0 (t)
03
0 (t t)
02 01
A02
dA0 n
A01
dA0 vt
03
vt
n
以d A0表示A01 、 A02面上某一微元体积，
[ f t
( f
v )]
d
广义高斯公式
如果
A
是空间体积
的封闭曲线，物理量
a
或
在
和 A 上一阶偏导数连续，则有以下体积分和面积分
的等式：
a
d
n
adA
A
d ndA
A
a
d
n
w
z
D 变形张量 ij
0
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
1 2
u y
v x
0
1 2
v z
w y
1 2
u z
w x
02 01
由图中可知，时间间隔 t内， 经过此微元面积流出的流体体积，
必定近似充满在以d A0为基底
而其棱边为向量
vt
的柱形体积内，
此微元体积为
(v
n)tdA0
A02
方程（1）右端的第二个积分：
f (x,t t) d0
dA0 n
02
f (x,t t)(v n)tdA0
---- 旋涡运动 （rotational flow），亦称涡运动
0
---- 无旋运动 （irrotational flow），或称无涡运动，
0 亦称势运动（potential flow）
判断流体是无旋运动还是旋涡运动， 应根据流体微团本身是否旋转，而与微团运动的轨迹并无关系。
在图（ a ） 中，虽然流体微团运动轨迹是圆形， 但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动； 在图（ b ）中，虽然流体微团运动轨迹是直线， 但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
1 2
v z
w y
0
角速度张量 或转动张量
Rij
各元素的物理含义：
u x ：x方向线段ab， 经过 t 时间后，
u
x
a和b运动到新的位置， ab的长度变为：
u u x x
x
u
u x
x
t
ut
的涡通量为常数，可以表征涡管内旋涡的强弱，
称之为涡管强度。
速度环量 ---- 速度沿封闭曲线的积分。
I 01
t
f t
t t
d 0
f (x,t t)(v n)tdA0 f (x,t)(v n)tdA0
A0 1
A0 2
由系统导数的定义 DI lim I Dt t0 t
A01
A02
0 (t t)
----
代表角变形率
变形张量 Dij 中其它非对角元素也具有类似的意义。
Rij中的元素代表质点象刚体一样运动时的旋转角速度分量。
一个刚体绕坐标原点作角速度为x， y ， z 的旋转运动时， 则刚体上的坐标为 x， y ， z的任一点的速度分量为：
y
u
y o
2 1
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
1 2
u y
v x
v y
1 2
v z
w y
1 2
u z
w x
1 2
v z
w y
在 t 时刻， = 0 ，相应的表面A = A0
0( t )内的各流体质点，经过时间 t 后，
已处在 A0 (t t) 面所包围的体积 0 (t t) 之内。
01 0 0 02 0 01 03 0 01
A01表示 01与02的交接面，A02 A0 A01 A'02表示 01与03的交接面，A01 A0 A02
当 t 0,01 0 ，
0 (t)
且在t 时刻 = 0 ( t ) , A = A0 ( t )
A A0 (t) 01
DI Dt
f d
t
A
f
v ndA
系统导数的欧拉法表示式
DI Dt
f d
t
A
f
v ndA
涡管里面绕同一旋转轴旋转着的流体称为涡束或涡丝。
涡通量 ---- 在流场中的某一开口曲面A，其面积分
I ndA
A
称为过曲面A的涡通量。
I > 0 称为流出曲面的涡通量； I < 0 称为流入曲面的涡通量。
涡管强度 ---- 对于流场中某时刻的涡管，涡管中任一横截面上
I 对于时间的变化率称为系统导数
DI D Dt Dt
0
fd 0
如何将系统导数转换成适合于控制体的形式？
A01
A02 A01
A02
0 (t t)
在 t 时刻取系统体积0 ，
0 (t)
同时以它所占的空间作为控制体 。
02
03 A A0 (t) 01
四、输运定理（transport theorem）
---- 系统导数
A0 (t)
0 (t)
任取一个体积为 0 (t) ，表面为 A0 (t) 的系统。
定义系统的某种物理量 I (t) f (x,t) d 0
0
其中 f (x, t) 可以是空间坐标及时间的标量或向量函数。
I 表示 t 时刻该系统物理量 f 的总和。
这正是转动张量Rij中各元素的表达式。
旋转角速度的二倍， 2 叫作涡量。
柯西—海姆霍兹速度分解定理： 流体微团运动是由平动、变形（包括线变形和 角变形）和旋转三种运动构成的。
六、 迹线与流线
迹线 ---- 流体质点运动的轨迹。 Lagrange法描述
x x(a,b, c,t) y y(a,b, c,t) z z(a,b, c,t)
这就是质点迹线的参数方程。从中消去 t ，并给定(a, b, c)值， 就可得到以x、y、z表示的某流体质点(a, b, c)的迹线。
迹线给出了同一质点经过的路径及其在不同位置时的速度方向。
Euler 法描述
dx udt
dy
vdt
dz wdt
这就是质点迹线的微分方程。
流线 ---- 在同一时刻，该曲线上任一点的切线方向与
其方向的正负按右手法则确定。
在流场中，涡量是位置和时间的函数
(x, y, z,t)
如同流速场描述流体质点的运动情况， 涡量场则描述流体微团的旋转情况。
涡线 ---- 在同一时刻，该曲线上任一点的切线方向与 流体在该点的涡矢量方向一致。
涡线一般不与流线重合，但相交
流线 涡线
涡线的微分方程与流线的微分方程类似
f
(
x,
t
)
d
0
01
f (x,t t) d0 f (x,t) d0
（1）
02
03
对方程（1）右端进行改造，由微分中值定理知：
f
(x,t
t)
f
(x,t)
t
f
, 0 1
t tt
方程（1）右端的第一个积分：
表示式右端的面积分表示物理量 f 在控制面上的输运量，
故此表达式称为输运定理。
第一项表示单位时间内，控制体 中所含物理量 fd 的增量， 它是由于流场的不定常性引起的；
第二项表示单位时间内，通过控制面A流出的相应物理量，
它是由于流场的不均匀性引起的。
利用散度定理，输运定理可表示成
DI Dt
流体力学中多采用涡量（vorticity）来描述流体微团的旋转。
涡量 —— 旋转角速度的二倍。
2
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
v rot v
涡量是矢量，它与旋转的平面垂直，
dx dy dz x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
涡面 ---- 在涡量场中任取一条非涡线的曲线， 过该曲线上的每一点作同一时刻的涡线构成的曲面。
涡管 ---- 在涡量场中任取一条非涡线的闭合曲线， 过该曲线上的每一点作同一时刻的涡线构成的管状曲面。
adA
A
式中
n
为微元曲面
d
A
的外法向单位向量。
散度定理 梯度定理 旋度定理
五、 柯西—海姆霍兹（Cauchy-Helmholtz）速度分解定理
流体与刚体不一样，它在运动中是可以变形的。 现在来追随一个流体微团来看它在运动过程中的情况。 流体微团与流体质点是两个不同的概念。 • 在连续介质中流体质点是可以忽略线性尺度效应 （如膨胀、变形、转动等）的最小单元； • 流体微团则是由大量流体质点所组成的具有
0 (t t)
I 在时间间隔示 t 内 的增量为
0 (t)
02
I I (t t) I (t)
03
01
f (x,t t) d0 f (x,t) d0
01 02
01 03
f
(x,t
t)
式中的时间 t 是作为常数来处理的参数
流管 ---- 在流场中任取一条非流线的闭合曲线， 在同一时刻经过该曲线上每一点的流线所组成的曲面 称为流面，这个流面包围的体积称为流管。
流管是处理管流问题时常常采用的流体力学模型。
七、 涡量与环量
根据 Cauchy-Helmholtz 速度分解定理 ， 我们可以把自然界和工程实际中的流动分为两大类型：
流体在该点的速度方向一致。
流线给出了同一时刻不同流体质点的速度方向。
根据此定义，可得流线方程：
v dr 0
r
---- 空间某点的向径；dr ----
流线切线方向的微元向量
直角坐标系中，流线微分方程可写成：
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
A0 1
A01
dA0 vt
vt n
03
02 01
A01
方程（1）右端的第三个积分：
A02
vt
f
(x,t)
d 0
03
f (源自文库,t)(v n)tdA0
dA0
n
vt
dA0 n
03
02 01
A0 2
I 在时间间隔示 t 内 的增量可改写为
v
u y z z y v z x x z x w x y y x
对上式针对x， y ， z 求解得：
x
1 2
w y
v z
y
1 2
u z
w x
z
1 2
v x
u y