第8章 广义单自由度体系-23

或者除以长度a且代入上述力的表达式，则
1 b2 1 b2 .. b2 rab [ ( 2 1) 2 ] Z (t ) k 2 Z (t ) p(t ) 12 a 4 4a a
最后可写成
§8.2 广义性质：刚体集合
..
高等结构动力学
m* Z (t ) k * Z (t ) p* (t )
(8-15)
(8-16)
体系联合广义刚度
k ＝k －k
*
*
* g
§8.3 广义性质：分布柔性
Hamilton原理表示为
N VN 2
t2 t1

L
0
v ( x, t ) dx
'
2
(8-28*)
t2
T V dt
t1
Wnc dt 0
综上得

t2
t1
L t t " " L m x v x , t v dx EI x v x , t v x dx 0 0 L
N v ' ( x, t ) v 'dx peff (t ) v dt 0 0
(8-29*)
§8.3 广义性质：分布柔性
高等结构动力学
存在下列关系
t v g v v
v Z
" "
v' ' Z
Z v
v v
t
v" " Z
.. . c1 k2 4 4 9 ( m a m2 ) Z (t ) ( c2 ) Z (t ) ( k1 ) Z (t ) 3 9 16 16 9
16 p a f (t ) 3

(c )
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
它也可以简化形式
m Z (t ) c Z (t ) k Z (t ) p (t )
0 0

2
dx vg m( x ) Zdx dt 0 0
§8.3 广义性质：分布柔性
积分
高等结构动力学
(8-32*)

t2
t1
k *Z k * Z p* (t ) Zdt 0 m*Z g eff
* L 0
m m x 2 dx 广义质量
图 E8-3 在轴力方向的位移成分
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
现在来讨论图E8-1中的轴力N。在图E8-3中可以看出，这个力 e2 在发生虚位移 e 时所作的虚功为N e ，这个虚位移由 e1 和 二部分组成，它们与二杆的转动有关，首先讨论伴随AB杆的转 Z e ( ) Z 。同 1 动所产生的影响。由图示三角形可知 4a 样的，可以求得 e2 ( Z ) Z ，因此，总位移成为
3a
7 Z (t ) e1 e2 Z 12 a
于是轴向力做的虚功为
WN
7 NZ Z 12 a (d )
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
把方程(d)代入方程(a)，同时进行类似于导致方程(c)的简 化计算后，可见在运动方程内仅刚度这一项收到轴向力影响。 当考虑体系内轴力的效应时，联合广义刚度 * 减小为

§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
m 表示单位长度的质量，而 f (t ) 表示动荷载变化。
P1 E' D' D fD1 fi1 B' F' G'

D
E
fs1
B fD2
F
fi2
G
fs2
图 E8-2 单自由度位移及合力
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
体系的运动方程可以用于作用于体系上的力在发生虚位移 Z 时所作的总功等于零来建立。如图E8-2所示，虚位移和Z成 正比，由于有虚位移，各个分力发生移动，因此总虚功可以 写为
k ＝ EI x ( " ) 2 dx＝广义刚度
* 0 L
(8-14)
k ＝N
* g L 0
* eff
'
dx 广义几何刚度
2
L
g m( x) dx p (t ) v ＝广义等效荷载
0
运动方程
(t ) c*Z (t ) k *Z (t)＝p* (t ) m*Z eff
§8.1 单自由度体系的一般注释
高等结构动力学
§8.1 单自由度体系的一般注释
用一个坐标就可以描述质量的运动，问题就
归结为质量和坐标的选择。
将广义单自由度结构区分为二类： （1）刚体的集合，在这种集合中弹性变形完全限定于 在局部的弹簧元件中发生；
（2）体系具有分布弹性，在这个体系里变形可以在整 个结构上或它的某些元件上连续。
7 N 9 1 7 N k k k1 k2 12 a 16 9 12 a
* *
k
(e )
引入了这个修正了的广义刚度后，包含轴向力的图E8-1所示 整个体系的运动方程，可用一个和方程(8-1)相似的方程给 出。
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
动力刚度为零代表了体系的随遇稳定或临界压曲条件。引起 结构屈曲的轴向力Ncr的值(e)式中的 * 为零而求得：
* * * *
其中新符号的定义为
4 4 m m a m2 3 9
*
..
.
（8-1）
c*
c1 c2 16 16 p a f (t ) 3

k*
k 9 k1 2 16 9
p*
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
这些符号分别称为此体系的广义质量，广义阻尼，广义 刚度和广义荷载，他们根据广义坐标 Z (t ) 计算，而 Z (t ) 在此用以确定体系的位移。
3 3 1 Z Z (t ) Z W k1Z (t ) * Z k2 Z (t ) * c1 4 4 3 3 4 4 . .. Z 4 2 .. Z c2 Z (t ) Z 2a m Z (t ) a m Z (t ) 2 3 4a
2 Z (t ) 2 Z 2 m2 8 p af (t ) Z 3 3 3 ..
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
假定两根杆都是刚性的，体系只有一个自由度，其动力 反应可由一个运动方程来表达。 可以用直接平衡法来建立，因为体系较复杂，用虚功原 理来建立运动方程。
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
结构可能产生的位移如图E8-2所示，可以用铰的运动Z(t)作为 基本量，而它的一切位移可以利用它来表示。例如DD’=Z/4, EE’=3Z/4,FF’=2Z/3等等。作用于体系上的力也示于图中，每 一个抗力均可用Z或它对时间的导数表达如下：
其中
2 rab b * m (1 2 ) 3 a 2 b * k k 2 a
p* (t ) p (t )
§8.3 广义性质：分布柔性
高等结构动力学
§8.3 广义性质：分布柔性
体系具有分布弹性，在这个体系里变形可 以在整个结构上或它的某些元件上连续。
§8.3 广义性质：分布柔性
高等结构动力学
P1 E' D' D fD1 fi1 B' F' G'
D
E
fs1
B fD2
F
fi2
G
fs2
§8.2 广义性质：刚体集合
3 f s1 k1 ( EE ) k1 Z (t ) 4 1 ' f s 2 k2 (GG ) k2 Z (t ) 3 . dDD ' 1 f D1 c1 ( ) c1 Z (t ) dt 4
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
§8.2 广义性质：刚体集合
刚体的集合，在这种集合中弹性变形完全 限定于在局部的弹簧元件中发生。
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
均质杆及均质板的质量及质量惯性矩
图 8-1 均质杆和单位厚度均质板的刚体质量和质心质量惯性矩
§8.2 广义性质：刚体集合
假定这个体系只能按唯一的形状挠曲
v( x, t ) x Z t
形状函数
(8-2)
x
2 1 L ( x, t ) dx T m x v (8-25*) 塔动能 2 0
v ( x, t ) Z t
(8-3)
图 8-2 可作单自由度处理的柔性结构
§8.2 广义性质：刚体集合
b f s k Z (t ) a b .. f 2 rab Z (t ) 2a 1 .. f 1 rab Z (t ) 2 a 2 b 2 1 .. M rab Z (t ) 12 a
高等结构动力学
对于这个简单体系的运动方程，可以直接用。对于铰支座 的力矩平衡来写出： a a f s b f 1 f 2 M p (t )a 2 2
v Z
' '
百度文库
Z v
v Z
(8-30*)
得

t2
t1
L 2 Z Z L m x g (t ) m( x ) dx dx Zv 0 0 L " 2 L '
(8-31*)
L
Z Z EI x ( ) dx NZ Z
'
高等结构动力学
f D 2 c2 Z (t ) f 1
.. 1 .. 1 .. m1 Z (t ) m L Z (t ) 2a m Z (t ) 2 2 ..
.
1 m L L2 .. 4 2 .. M 1 I 0 Z (t ) Z (t ) a m Z (t ) 4a 4a 12 3 .. 2 f I 2 m2 Z (t ) 3 外荷载力为p1 8 p af (t )
§8.3 广义性质：分布柔性 弯曲变形位能
2 1 L Vt EI x v "( x, t ) dx 0 2 2 1 L ' e t v ( x, t ) dx 0 2
高等结构动力学
(8-26*) (8-11)
塔顶竖向位移分量 轴向力N的位能
k
于是
9 1 7 N cr 0 k1 k2 16 9 12 a
27 4 N cr ( k1 k2 )a 28 21
(f)
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
一般来说，轴向压引力趋向减少结构体系的刚度，而轴 向拉力则引起刚度的响应增加。这种荷载对动力荷载下结构 的反应可能有显著影响。而且所引起的刚度改变总是应该算 出，以便确定它在给定问题中的重要性。这里有一点需注意， 在目前以及以后的讨论中均认为轴向力的作用线平行于构件 未变形的原始轴线，并且假定在结构发生运动时它的作用线 方向不变。
例题E8-2建立刚体集合运动方程的第二个例子，就是图E8-4 所示的体系。这个体系的小振幅运动可以用荷载作用点的竖 向位移Z(t)来描述，而抵抗体系运动的个力可以用Z(t)表达 如下：
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
fs
f
I1
r=质量/面积
f
I2
p(t)
图 E8-4 在动力情况下的单自由度板
高等结构动力学
高等结构动力学
第八章
广义单自由度体系
高等结构动力学
第8章 广义单自由度体系
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 单自由度体系的一般注释 广义性质：刚体集合 广义性质：分布柔性 广义体系特性的表达式 用Rayleigh法进行振动分析 Rayleigh振动形状的选择 改进的Rayleigh法
.
(a )
§8.2 广义性质：刚体集合
.. . c1 am 4 [(a m m2 ) Z (t ) ( c2 ) Z (t ) 3 9 16
高等结构动力学
k 9 16 p a ( k1 2 ) Z (t ) f (t )] Z 0 16 9 3

(b)
因为虚位移 Z 是任意的，所以方括号内的项必须 等于零。因此，运动方程最后变为
高等结构动力学
例题E8-1 一个典型的刚体集合的例子示于图E8-1，它由两 根刚性杆组成，二杆间用铰B链接，在A点和H点分别支承于 固定铰支座和滚轴支座上，动力干扰是沿杆AE长度线性变化 的横向荷载p(x,t).此外，还有一个不变的轴向力N作用在整 个体系上。体系的运动受到离散弹簧和阻尼器的约束，它们 沿杆长的设置位置如图所示。AB杆的质量是沿杆均匀分布的， 而在无重杆EH上支撑一集中质量m2，具有质量惯性矩J2。